平面向量解三角形数列知识点总结
期中复习
一. 向量有关概念：
uuu
1向量的概念2 .零向量3.单位向量(AB ); 4 .相等向量5.平行向量(也叫共线向量)零向量和任何向量平行。
|AB| 6.相反向量
二.
向量的表示方法：1 .几何表
示法：女口 AB 2.符号表示法：如 a ； 3.坐标表示法： a = x,y
三?平面向量的基本定理：如果 e i 和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量
a ,有且只有一
对实数 1、
2
，使a= 1 e i + 2e 2。女口
(1) 下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是
iTun
irun
IT
un u uu 1 3 A. e i (0,0), e 2 (1, 2) B. e i
( 1,2)? (5,7) C. e i (3,5)? (6,10) D. ? (2, 3)?
(,)(答：B )；
2 4
四.
实数与向量的积：实数 与向量a 的积是一个向量，记作 a
五. 平面向量的数量积：
-
- uun T uuu T
1.
两个向量的夹角：对于非零向量 a , b ，作OA a,OB b , AOB 0
称为向量a , b 的夹角
-T -T
T T r f
2.
平面向量的数量积：如果两个非零向量 a , b ，它们的夹角为 ，我们把数量
|a||b|cos 叫做a 与b 的数量积(或
“ f — r T T
内积或点积)，记作：a ? b ，即a ? b = a b cos 。女口
-“ a
?b T T T T
4
1
③ 非零向量a , b 夹角 的计算公式：cos T T ；④| a?b | | a ||b |。如：(答：
或 0且 )；
|a||b|
3
3
(1)已知a ( ,2 ) , b (3 ,2)，如果a 与b 的夹角为锐角，贝U 的取值范围是 _______
六. 向量的运算：
r r T 3. b 在a 上的投影为|b|cos
=
a b
，它是一个实数，但不
| a |
定大于
0。
| a |
T T T T
4.向量数量积的性质：设两个非零向量 a , b ，其夹角为
，则：① a b a ?b 0 ；
—■
—F-
—■
—?
T T T 2 T T T 2 T / r 2 I —
—I T
②当a , b 同向时，a ? b = a b ,特别地，a a?a a j a V a ;当a 与b 反向时，a ? b =—
a b ;当为
(4) 已知 a,b 是两个非零向量，且 aba b ，则a 与 a b 的夹角为
_______________ (答：30°) 锐角时，a ? b >0，且a 、b 不同向，；当 为钝角时，a ? b v 0，且a 、b 不反向
("△ ABC 中，| AB | 3 , | AC |
4 , | BC | 5，贝U AB BC (答：一9);
(2) (3) 已知 已知
T 1 T 1TTTlTTTT,u 匚
a (1-),
b (0, -),
c a kb,
d a b , c 与 d 的夹角为一，则 k 等于 (答:
T
2 T T
2
T T
4
a 2,
b 5,agr 3，贝U a b 等于 ____ (答：岳)；
1);
un uuu UUT uuu 3
(1)已知 OA ( 1,2),OB (3,m)，若 OA OB ，则 m ______________ (答：一)；
2
⑵以原点O 和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形 OAB , B 90，则点B 的坐标是 ______________
⑶已知n (a,b),向量n m ，且n m ，则m 的坐标是 ___________________ (答：(佝或(3, — i ))；(答：?, &)或(b,a))
1. 几何运算：“平行四边形法贝
贝”
2. 坐标运算：设a (^, y 1),b
urni
若 A(x , y ), B(X , y )，则 AB
“三角形法则”
T (x 2,y 2)，则:a X X , y y b (X i X 2, y i
y 2)
X 1X 2 y i y 2
T |a a X i ,y i
~2 2 T 2
?、X y , a
X i , y i
T
222
|a| y
若 A 为，％ ,B X 2,y 2 ,则 | AB |
X 2 X i 2
y 2 2
y i 。
T T T T T T 2 T T 2
七.向量平仃(共线)的条件：a//b
a b (a b)2 (|a||b|) X i y 2 y i X 2 = 0。如
UUT uun uuu
(1)设 PA (k,12),PB (4,5), PC (10,k)， 则 k = 时，A,B,C 共线 T T
八.向量垂直的充要条件： a b a b 0 | a b | |a b |
X 1X 2
y i y 2 0 ?如
(答：—2 或 11)
九、向量中一些常用的结论: （1）在ABC 中，
①若A X
1』,B X2,y2 ,C X3, y3 , 则其重心的坐标为G X1 X2 X3 y1 y2 y3 -
3 J 3
uur uuu uuu uuur uuu uuu uuur r
②PG 3(PA PB PC) G为ABC的重心，特别地PA PB PC 0 P为ABC的重心;
urn i uut uuu uuu uuu uuu
③ PA PB PB PC PC PA P 为ABC 的垂心; uur uuir
④向量（_AB ACL）（0）所在直线过ABC的内心（是BAC的角平分线所在直线）;
|AB| |AC|
uuu uuu uuu uun u u uuu
（2）向量PA、PB、PC中三终点A、B、C共线存在实数、使得PA PB PC且 1 . （二）解三角形:
（1）内角和定理：三角形三角和为,（2）正弦定
理：a sin
A
b sin B
c si nC 2R（R为三角形外接圆的半径）
注意：① 正弦定理的一些变式：i a b c sin A sin B sinC ; ii sin A a,sin B b,sin C c
2R 2R 2R
iii a 2RsinA,b 2Rsin B, b 2Rsin C;
②已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解
（3）余弦定理：a2b2c22bccosA,cosA b C L等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状.
2bc
⑷面积公式：S gah a labsinC *r（a b c）（其中r为三角形内切圆半径）.
如：（1）ABC中，A、B的对边分别是a、b，且A=60o, a . 6, b 4，那么满足条件的ABC
A、有一个解
B、有两个解
C、无解
D、不能确定（答：C）; （2）ABC中，若sin 2 A cos2 B cos2 A si n2B sin2 C，判断ABC的形状（答：直角三角形）（3）在厶ABC中，若2cosBsinA= ABC的形状一定是（）
A.等腰直角三角形B?直角三角形C?等腰三角形D?等边三角形
（4）如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B, D为两岛上的两座灯
塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为，，于水面C处测得B 点和D
点的仰角均为，AC=0.1km。试探究图中B, D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B,
D的距离（计算结果精确到0.01km,,）
（二）数列：
1?等差数列的有关概念：
（1）等差数列的判断方法：定义法a n 1 a n d（d为常数）或a n 1 a n a n a n 1（n
a a a
如：设｛a n｝是等差数列，求证：以b n=」- -n N*为通项公式的数列｛0｝为等差数列。
n
（2）等差数列的通项：a n a1 （n 1）d或a n a m （n m）d。
如①等差数列｛a n｝中，a10 30 , a20 50 ,则通项a. _______________ ;
②首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是_______________________ ;
（3）等差数列的前n和：S n 尬,S n na1 n（n 1）d。
2 2
1* 3 15
如①数列｛a n｝中，a a n 1 -（n 2,n N）, a. —，前n 项和S n 一，则a1 = , n = _________
2 2 2 _
②已知数列｛a n｝的前n项和S n 12n n，求数列｛| a n |｝的前n项和T n ?
2
2?等差数列的性质：
(1)当公差d 0时，等差数列的通项公式 a n a i (n 1)d dn a i d 是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和S n na 1 n(n 1)
d d
n 2
(a 1 d
)n 是关于n 的二次函数且常数项为 o.
2 2 2
(2)
若公差d 0，则为递增等差数列，若
公差 d 0,则为递减等差数列，若公差
d 0,则为常数列。
(3) 当m n p q 时，则有a m a . a p a q ，特别地，当 m n 2p 时，则有a m a . 2a p . 如等差数列｛a .｝中，S n 18,a n a n 1 a n 2 3,S 3 1，则 n = ________________________ ；
⑷ 若是等差数列，则S n ,S 2n S n ,S 3n S 2n ,…也成等差数列
如等差数列的前 n 项和为25,前2n 项和为100，则它的前3n 和为 _____________________ 。 (5)若等差数列｛a n ｝、｛b n ｝的前n 和分别为A n 、B n ，且$ f(n)，则書
(2
“
警
篦'f(2 n 1).
B n
b n
(2n 1)b n
B 2n 1
如设｛a n ｝与 ｛b n ｝是两个等差数列，它们的前 ____________________________________________________________ n 项和分别为
S n 和T n ,若 鱼
3n 1
，那么 竺
；
T n 4 n 3
b n
① 等差数列｛a n ｝中，a 1 25 , S S 17，问此数列前多少项和最大并求此最大值；
② 右｛a .｝是等差数列，首项a 1 0, a 2003 82004 0,82003 82004 0，则使前 n 项和S n 0成立的最大正整数 n 是 ___________________
3?等比数列的有关概念：
(1) 等比数列的判断方法：定义法 玉丄q(q 为常数)，其中q 0,a n 0或9」丑(n 2)。
a
n
a
n
a
n 1
如①一个等比数列｛a n ｝共有2n 1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则a n 1为 __________ ；
②数列｛a n ｝中，S n =4a n 1+1 (n 2)且ag ，若b n a “ 1 2a “，求证：｛ b ｝是等比数列。
(2) 等比数列的通项：a n a 1q n 1
或a n a m q n m
。
如设等比数列｛a n ｝中，a 1
a n 66 , a 2a n 1 128，前n 项和S n = 126,求n 和公比q .如等比数列中，q = 2, S 9g =77,求a 3 a 6 a 99 ；
4.等比数列的性质:
2
a p ga q ,特别地，当 m n 2p 时，则有a m ga n a p .
如①在等比数列｛a n ｝中，a 3 a 8 124, a 4a 7
512，公比q 是整数，则q 0=—；
②各项均为正数的等比数列 ｛a n ｝中，若a 5 a 6 9，则log 3 a 1 log 3a 2 L
log 3a 10 ________
⑵ 若｛a n ｝是等比数列，则数列 S n ,S 2n &,务 S ?n ，…也是等比数列。
如在等比数列｛a n ｝中，S n 为其前n 项和，若S 30 13S 10,S 10 S 30 140，则S ?。的值为-
5?数列的通项的求法：
⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。
1 1 1 1
如已知数列3 —,5-,7—,9 —, 试写出其一个通项公式：
4 8 16 32
如①已知｛a n ｝的前n 项和满足log 2(S n 1)
(4)等差中项：若a, A, b 成等差数列，则 A 叫做a 与b 的等差中项，且 A
(3)等比数列的前n 和：当q 1时，S n
na 1 ;当 q 1 时，S n
印(1 q n
)
印
a .q
1 q
(4)等比中项：若 a, A,b 成等比数列，那么 A 叫做a 与b 的等比中项。A 2
=ab (1)当 m n p q 时，则有 a m ga n
⑵已知S n (即a 1 a 2 L a n
f (n))求a .,用作差法：a n
S 1,(n 1)
S
n S n 1,( n
n 1，求 a n ；
1 ②数列｛a n｝满足一a1
2 》a2 L ^an 2n 5，求a n
f(1),(n 1)
⑶已知a1?2gL ga n f (n)求a n，用作商法: a n严一,(n 2)
f(n 1)八丿
如数列｛a n ｝中，a i 1,对所有的n 2都有玄卫鸟玄彳 ⑷若a n i a n f(n)求用累加法：
a-i (n 2)。
⑹已知递推关系求a n ，用构造法(构造等差、等比数列)。特别地，(1)形如a n ka n
1
b 、a “ ka “ 1 b n
( k,b 为
常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为
k 的等比数列后，再求 a n 。
如已知a 1 1,a n 3a n 1 2，求； ②已知印1耳 3a “ 1 2n
，求；
a n 的递推数列都可以用倒数法求通项。
ka n 1 b
6?数列求和的常用方法：
(1) 公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式， 如等比数列｛a n ｝的前n 项和$ = 2n
— 1,贝V a ； a ； (2) 分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”
如求和：S n 1 3 5 7 L ( 1)n
(2 n 1)
(3) 倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相
加法，发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前
n 和公式的推导方法)?
上
八
x 2
血
1 1
1 如已知 f(x) 2，则 f (1)
f(2) f(3) f(4) f H) f(;) f(;)=
1 x
2 3
4
AB
AC
ACsi n60
訂2
在°ABC 中，sin BCA sin ABC '即 AB
= sin 15
(4) 错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法 如数列｛a n ｝中，成才 P 30
(5) 裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和 常用裂项形式有： ①1 1 n(n 1) n 1 如①求和：— 1 4 1 . n 1 ； 1 4 7 n(n k) 1(n
1 (3n 2) (3n 1)
1 — --- ，且 S n =
.n 、n 1
解:在△ ABC 中，/ DAC=30 , / ADC=60 — / DAC=30所以 CD=AC=又 / BCD=180 — 60° — 60°=60°,
②在数列｛a n ｝中, a n
2 r
a
n n ，则
a 3
a 5
_________ (a
n 1 a
n 2
) L
(a
2 a 1)
a
n
(a
n a
n 1)
如已知数列｛a n ｝满足a - 1 , a n a n ⑸已知旦口 f (n)求a n ,用累乘法: a 如已知数列｛a n ｝中，a 1
1
、；'n 1 弄
a
n a
n 1
a
n
a
n 1
a
n
2，前n 项和S n ，若S n
(n 2)，则 a n = L
2 2
n a n
a
2
a 1 (n 2)。 a -
，求a n
a n 1
(2)形如 如已知a 1 1,a
n
— ，求 a
n ；② 已知数列满足 a
1=1
- / a
n 1
- a n - a n a
n
3a
n 1
1
用a n
S n S n 1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗(
常需运用关系式a n
S
n
S n ，求 a
n ；
注意：(1)
(2) 一般地当已知条件中含有 a n 与S n 的混合关系时, S n
的关系式，然后再求解。 S n n 2，当 n 1 时，a 1
,先将已知条件转化为只含
S 1 )
；
如数列｛a n ｝满足a 1
4,S n S n 1
|a n 1,求 a n ；
3
2 a 3
2
a
n = ______ , -- ；
中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和
故CB 是厶CAD 底边AD 的中垂线，所以BD=BA
因此,
3/2
BD= 0.33km。故B, D的距离约为0.33km。
平面向量知识点总结(精华)
必修4 平面向量知识点小结 一、向量的基本概念 1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别. 向量常用有向线段来表示 . 注意：不能说向量就是有向线段，为什么？提示：向量可以平移. 举例 1 已知A（1,2），B（4,2），则把向量u A u B ur按向量a r（ 1,3）平移后得到的向量是. 结果：（3,0） 2.零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作：0r，规定：零向量的方向是任意的； 3.单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位 向量（与u A uu B r共线uuur 的单位向量是u A u B ur ）； | AB| 4.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 5.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量 a r、 b r叫做平行向量，记作：a r∥b r， 规定：零向量和任何向量平行 . 注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合； ③平行向量无传递性！（因为有r0）； ④三点A、B、C 共线u A uu B r、u A u C ur共线. 6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量 . a r的相反向量记作a r. 举例 2 如下列命题：（1）若|a r | |b r | ，则a r b r. （2）两个向量相 等的充要条件是它们的起点相同，终点相同 . （3）若u A u B ur u D u C u r，则ABCD是平行四边形 . （4）若ABCD是平行四边形，则u A uu B r u D u C uur. （5）若a r b r，b r c r，则a r c r. （6）若a r / /b r，b r / /c r则a r / /c r.其中正确的是. 结果：（4）（5） 二、向量的表示方法
解三角形知识点归纳总结
第一章 解三角形 一.正弦定理： 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外 接圆的直径，即 R C c B b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 2.变形：1）sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++=== A + B +A B ． 2）化边为角： C B A c b a sin :sin :sin ::=； ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a = 3）化边为角：C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== 4）化角为边： ;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin c a C A = 5）化角为边： R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin = == 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： 4. ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； 例：已知角B,C,a ， 解法：由A+B+C=180o ，求角A,由正弦定理 ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a =求出b 与c ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。 例：已知边a,b,A, 解法：由正弦定理B A b a sin sin =求出角B,由A+B+C=180o 求出角C ，再使用正弦定理C A c a sin sin =求出c 边 4.△ABC 中，已知锐角A ，边b ，则 ①A b a sin <时，B 无解； ②A b a sin =或b a ≥时，B 有一个解； ③b a A b < 高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b 高考平面向量知识点总结 16、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 17、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式： a b a b a b -≤+≤+． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+； ②结合律：()() a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=． ⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++． 18、向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为 () 11,x y ， () 22,x y ，则 ()1212,x x y y AB =--． 19、向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=； ②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=． ⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③() a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==． 20、向量共线定理：向量() 0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ ，使b a λ=． 设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向 b a C B A a b C C -=A -AB =B 数学必修4第二章 平面向量知识点 2.1 平面向量的实际背景及基本概念 1. 向量：既有大小又有方向的量。 2. 向量的模：向量的大小即向量的模（长度），如,AB a uu r r 的模分别记作|AB u u u r |和||a r 。 注：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。 3. 几类特殊向量 (1)零向量：长度为0的向量，记为0r ，其方向是任意的，0r 与任意向量平行， 零向量a ＝0r ｜a ｜＝0。由于0r 的方向是任意的，且规定0r 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别） (2)单位向量：模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量0||1a u u r 。将一个 向量除以它的模即得到单位向量，如a r 的单位向量为： ||a a e a r r r (3)平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量,称为平行向量.记作a ∥b 。 规定：0r 与任何向量平等， 任意一组平行向量都可以移到同一直线上，由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。 （4）相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量。记作a r 。 关于相反向量有：① 零向量的相反向量仍是零向量， ②)(a =a ； ③ ()0a a v v v ； ④若a 、b 是互为相反向量，则 a = b ,b =a ,a +b =0 。 实用标准 —tanC。 例 1 ? (1 )在 ABC 中，已知 A 32.00 , B 81.80 因为 00 v B v 1800，所以 B 640，或 B 1160. c as nC 空啤 30(cm). sin A s in400 ②当B 1160时, 点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形; 对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2 :三角形面积 2 , AC 2 , AB 3，求tan A 的值和 ABC 的面积。 2 (2 )在 ABC 中，已知 a 20 cm ， b 28 cm ， 40°，解三角形（角度精确到 10，边长精确 到 1cm ) o 解：（1 ）根据三角形内角和定理, C 1800 (A B) 1800 (32.00 81.80) 66.20 ； 根据正弦定理，b asinB 42.9sin81.80 si nA 眾厂 80.1(cm)； 根据正弦定理，c 聲C 丝9也彰 74.1(cm). sin 32.0 （2 ）根据正弦定理, s"B 舸 A 28sin4°0 a 20 0.8999. ,a 42.9 cm ，解三角形; ①当 B 640 时， C 1800 (A B) 1800 (40° 640) 760, C 1800 (A B) 1800 (400 116。)240 , c asinC si nA 呼 13(cm). sin 40 (2) 解法一：先解三角方程，求出角 A 的值。 例2 ?在ABC 中， sin A cos A si nA cos A j2cos(A 45 )-—, 2 1 cos(A 45 )-. 又 0 A 180 , A 45o 60o , A 105.° o o 1 \/3 L tan A tan(45 60 ) 一字 2 J3, 1 73 42 si nA sin105 sing5 60) sin4 5 co$60 cos45 si n60 ——-—. 1 1 /2 洽 n S ABC AC AB si nA 2 3 近 46)。 2 2 4 4 解法二：由sin A cos A 计算它的对偶关系式 si nA cos A 的值。 v 2 — si nA cos A —— ① 2 2 1 (si nA cos A)2 2 1 2sin Acos A — 2 Q0o A 180o , si nA 0,cos A 0. 1 另解(si n2A —) 2 2 3 (s in A cos A) 1 2 sin Acos A —, *'6 _ si nA cos A — ② 2 $2 J6 ①+②得sin A --------------- 。 4 ①-②得 cosA <6 。 4 u 而丄 A si nA J 2 J 6 4 c 匚 从而 tan A l l 2 ~3。 cosA 4 v2 v 6 解三角形专题题型归纳 《解三角形》知识点、题型与方法归纳 一、知识点归纳（★☆注重细节，熟记考点☆★） 1．正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径） 变式：12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式） 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（） sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2．正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边； （2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）. 3．余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-=+-=+-= 4．余弦定理适用情况： （1）已知两边及夹角； （2）已知三边. 注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式. 5．常用的三角形面积公式 （1）高底??=?2 1ABC S ； （2）()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径 （两边夹一角）； 6．三角形中常用结论 （1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边） （2）sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中，即大边对大角，大角对大边） （3）在ABC ?中，A B C π++=，所以 ①()sin sin A B C +=；②()cos cos A B C +=-； ③()tan tan A B C +=-；④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22 A B C += 7．实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角 平面向量知识点总结归纳 1、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 2、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+ ． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+ ；②结合律：()() a b c a b c ++=++ ； ③00a a a +=+= ． ⑸坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y +=++ ． 3、向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y -=-- ． b a C B A a b C C -=A -AB =B 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =-- ． 4、向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ ． ①a a λλ= ； ②当0λ>时，a λ 的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ 的方向与a 的方向相 反；当0λ=时，0a λ= ． ⑵运算律：①()()a a λμλμ= ；②()a a a λμλμ+=+ ；③() a b a b λλλ+=+ ． ⑶坐标运算：设(),a x y = ，则()(),,a x y x y λλλλ== ． 5、向量共线定理：向量() 0a a ≠ 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使 b a λ= ． 设()11,a x y = ，()22,b x y = ，其中0b ≠ ，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、 () 0b b ≠ 共线． 6、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于 这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+ ．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底） 7、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ， ()22,x y ，当12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλ λ++?? ?++??． 8、平面向量的数量积： ⑴() cos 0,0,0180a b a b a b θθ?=≠≠≤≤ ．零向量与任一向量的数量积为0． ⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①0a b a b ⊥??= ．②当a 与b 同向时， a b a b ?= ；当a 与b 反向时，a b a b ?=- ；22a a a a ?== 或a ．③ a b a b ?≤ ． ⑶运算律：①a b b a ?=? ；②()()()a b a b a b λλλ?=?=? ；③() a b c a c b c +?=?+? ． ⑷坐标运算：设两个非零向量()11,a x y = ，()22,b x y = ，则1212a b x x y y ?=+ ． 解三角形知识点归纳总 结 Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT 第一章 解三角形 一.正弦定理： 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于 外接圆的直径，即 R C c B b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半 径） 2.变形：1）sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++=== A + B +A B ． 2）化边为角： C B A c b a sin :sin :sin ::=； 3）化边为角：C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== 4）化角为边： ;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin c a C A = 5）化角为边： R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin = == 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： 4. ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； 例：已知角B,C,a ， 解法：由A+B+C=180o ，求角A,由正弦定理;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a =求出b 与c ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。 例：已知边a,b,A, 解法：由正弦定理B A b a sin sin =求出角B,由A+B+C=180o 求出角C ，再使用 正弦定理C A c a sin sin =求出c 边 4.△ABC 中，已知锐角A ，边b ，则 ①A b a sin <时，B 无解； ②A b a sin =或b a ≥时，B 有一个解； ③b a A b < 1. 任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异 于原点），它与原点的距离是 0r =>，那么 sin ,cos y x r r αα= =， () tan ,0y x x α=≠ 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 2.三角函数在各象限的符号： （一全二正弦，三切四余弦） ＋ ＋ － ＋ － ＋ － － － ＋ ＋ － sin α cos α tan α 3. 同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系： 22221sin cos 1,1tan cos αααα+=+= （2）商数关系： sin tan cos α αα= （用于切化弦） ※平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意“1”的代换 4.三角函数的诱导公式 诱导公式（把角写成α π±2k 形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限） Ⅰ）?????=+=+=+x x k x x k x x k tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(πππ Ⅱ）?????-=-=--=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin( Ⅲ） ?????=+-=+-=+x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅳ）?????-=--=-=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅴ）???????=-=-ααπααπsin )2cos(cos )2sin( Ⅵ）???????-=+=+ααπααπsin )2cos(cos )2sin( 平面向量知识点及方法总结总结 一、平面向量两个定理 1、平面向量的基本定理 2、共线向量定理。 二、平面向量的数量积 1、向量在向量上的投影：，它是一个实数，但不一定大于0、 2、的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积、三坐标运算：设，，则（1）向量的加减法运算：，、（2）实数与向量的积：、（3）若，，则，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标、（4）平面向量数量积：、（5）向量的模：、 四、向量平行(共线)的充要条件、 五、向量垂直的充要条件、六、七、向量中一些常用的结论 1、三角形重心公式在中，若，，，则重心坐标为、 2、三角形“三心”的向量表示（1）为△的重心、（2）为△的垂心、（3）为△的内心； 3、向量中三终点共线存在实数，使得且、 4、在中若D为BC边中点则 5、与共线的单位向量是七、向量问题中常用的方法 （一）基本结论的应用 1、设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，则（A）8 （B）4 （C）2 （D） 12、已知和点M满足、若存在实数m使得成立，则m= A、2 B、3 C、4 D、 53、设、都是非零向量，下列四个条件中，能使成立的条件是（） A、 B、 C、 D、且 4、已知点____________ 5、平面向量，，（），且与的夹角等于与的夹角，则（） A、 B、 C、 D、6、中,P是BN上一点若则m=__________ 7、o为平面内一点，若则o是____心 8、（xx课标I理）已知向量的夹角为，则、 （二）利用投影定义 9、如图，在ΔABC中，，，，则= （A）（B）（C）（D 10、已知点、、、,则向量在方向上的投影为 A、 B、 C、 D、11设是边上一定点,满足,且对于边上任一点,恒有则 A、 B、 C、 D、 （二）利用坐标法 12、已知直角梯形中，//,,,是腰上的动点，则的最小值为____________、 13、（xx课标II理）已知是边长为的等边三角形，为平面内一点，的最小值是（） （三）向量问题基底化 14、在边长为1的正三角形ABC中, 设则____________、 15、（xx天津理）在中，，，、若，，且，则的值为 ___________、 16、见上第11题 （四）数形结合代数问题几何化，几何问题代数化例题 1、中,P是BN上一点若则m=__________ 三角函数及解三角形知识点 总结 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 1. 任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意 一点（异于原点），它与原点的距离是0r =>，那么 sin ,cos y x r r αα= =，()tan ,0y x x α=≠ 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 2.三角函数在各象限的符号： （一全二正弦，三切四余弦） ＋ ＋ － ＋ － ＋ － － － ＋ ＋ － sin α cos α tan α 3. 同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系：22221 sin cos 1,1tan cos αααα +=+= （2）商数关系：sin tan cos α αα = （用于切化弦） ※平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意“1”的代换 4.三角函数的诱导公式 诱导公式（把角写成 απ ±2 k 形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限） Ⅰ）??? ??=+=+=+x x k x x k x x k tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(πππ Ⅱ）?????-=-=--=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin( Ⅲ） ?? ???=+-=+-=+x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅳ）?????-=--=-=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅴ）???????=-=-ααπααπsin )2cos(cos )2sin( Ⅵ）??? ????-=+=+α απααπsin )2cos(cos )2sin( 平面向量 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量向量一般用a,b,c……来表示，或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示，如：AB几何表示法AB , a ；坐标表示法a =xi ? yj (x, y).向量 的大小即向量的模(长度)，记作| A B |即向量的大小，记作I 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小. ②零向量：长度为0的向量，记为0,其方向是任意的，0与任意向量平行零向量a = 0 = I a I = 0"由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行(共线) 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件. (注意与0的区别) ③单位向量：模为1个单位长度的向量向量a0为单位向量二I a0I = 1 ④平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a // b ■由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为 亠％ =x2 小相等，方向相同(x「yj = (x2, y2)=」 y2 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法t―4 ―4 设AB 二a, BC =b，贝y a + b =AB BC = AC (1)0 a a，0二a ；( 2)向量加法满足交换律与结合律； 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”： (1)用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 (2)三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则?向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB BC CD PQ ? QR二AR，但这时必须“首尾相连” ? 3向量的减法 ①相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量 记作-a,零向量的相反向量仍是零向量 关于相反向量有：(i) -(-a)=a ； (ii) a+(-a)=( - a)+ a = 0 ； (iii) 若a、b是互为相反向量， 则a=-b,b = -a,a + b=0 ②向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差， 记作：a - b二a ? (-b)求两个向量差的运算，叫做向量的减法 ③作图法：a -b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量(a、b有共同起点) 4实数与向量的积： ①实数入与向量a的积是一个向量，记作入a，它的长度与方向规定如下： (I) a a ； 高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示，如：AB 几何表示法 AB ，a ；坐标表示法),(y x yj xi a =+= 向 量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a ｜ 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ?｜ a ｜＝ 由于0 的方向是任意的，且规定0 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线） 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量?｜0a ｜＝1 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b (即 自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必 须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的． ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a =大 小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x =???==?2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b == ，则a +b =AB BC + =A C （1）a a a =+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律； 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”： （1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法 欢迎阅读 第一章 解三角形 一.正弦定理： 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即 R C c B b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 2.变形：1）sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B ． 2）化边为角：C B A c b a sin :sin :sin ::=； ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a = 3）化边为角：C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== 4）化角为边： ;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin c a C A = 5）化角为边： R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin === 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： 4. ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； 例：已知角B,C,a ， 解法：由A+B+C=180o ，求角A,由正弦定理;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a =求出b 与c ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。 例：已知边a,b,A, 解法：由正弦定理B A b a sin sin =求出角B,由A+B+C=180o 求出角C ，再使用正弦定理C A c a sin sin =求出c 边 4.△ABC 中，已知锐角A ，边b ，则 ①A b a sin <时，B 无解； ②A b a sin =或b a ≥时，B 有一个解； ③b a A b < 平面向量知识点总结 第一部分：向量的概念与加减运算，向量与实数的积的运算。 一．向量的概念： 1． 向量：向量是既有大小又有方向的量叫向量。 2． 向量的表示方法： （1）几何表示法：点—射线 有向线段——具有一定方向的线段 有向线段的三要素：起点、方向、长度 记作（注意起讫） （2）字母表示法：可表示为 3.模的概念：向量的大小——长度称为向量的模。 记作：|| 模是可以比较大小的 4.两个特殊的向量： 1?零向量——长度（模）为0的向量，记作。的方向是任意的。 注意与0的区别 2?单位向量——长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。 二．向量间的关系： 1．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。 记作：∥∥ 规定：与任一向量平行 2． 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 记作：= 规定：= 任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。 3． 共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上 ， 所以平行向量也叫共线向量。 三．向量的加法： 1．定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。 注意：；两个向量的和仍旧是向量（简称和向量） 2．三角形法则： 强调： a b c a + b A A A B B B C C a +b a + b a a b b b a a 1?“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点 2?可以推广到n 个向量连加 3?a a a =+=+00 4?不共线向量都可以采用这种法则——三角形法则 3.加法的交换律和平行四边形法则 1?向量加法的平行四边形法则（三角形法则）： 2?向量加法的交换律：+=+ 3?向量加法的结合律：(+) +=+ (+) 4.向量加法作图：两个向量相加的和向量，箭头是由始向量始端指向终向量末端。 四．向量的减法： 1.用“相反向量”定义向量的减法 1?“相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量。记作 -a 2?规定：零向量的相反向量仍是零向量。-(-a ) = a 任一向量与它的相反向量的和是零向量。a + (-a ) = 0 如果a 、b 互为相反向量，则a = -b , b = -a , a + b = 0 3?向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差。 即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法。 2.用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算： 若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b 3.向量减法做图：表示a - b 。强调：差向量“箭头”指向被减数 总结：1?向量的概念：定义、表示法、模、零向量、单位向量、平行向量、 相等向量、共线向量 2?向量的加法与减法：定义、三角形法则、平行四边形法则、运算定律 五：实数与向量的积（强调：“模”与“方向”两点) 1.实数与向量的积 实数λ与向量a ρ的积，记作：λa ρ 定义：实数λ与向量a ρ的积是一个向量，记作：λa ρ 1?|λa ρ|=|λ||a ρ | 2?λ>0时λa ρ与a ρ方向相同；λ<0时λa ρ与a ρ方向相反；λ=0时λa ρ = 2．运算定律：结合律：λ(μa ρ)=(λμ)a ρ ① 第一分配律：(λ+μ)a ρ=λa ρ+μa ρ ② 第二分配律：λ(a ρ+b ρ)=λa ρ +λb ρ ③ 3.向量共线充要条件： 三角函数知识点 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠． 平面向量 1、 向量的定义：既有大小又有方向的量叫向量 2、 向量的表示方法 （1）几何表示：以A 为起点，以B 为终点的有向线段记作AB u u u r ，如果有向线段AB u u u r 表示 一个向量，通常我们就说向量AB u u u r . （2）字母表示：印刷时 粗黑体字母 a ， b ， c …向量 手写时 带箭头的小写字母 a ，b r … 3、向量点的长度（模） 向量的大小叫做向量的长或模，记作|AB u u u r |、｜a ｜ 4、零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行 a ＝0 ｜a ｜＝0 单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 ｜0a ｜＝1 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量称为平行向量，也叫共线向量 记作a ∥b 5、相等向量：长度相等且方向相同的向量 相等向量经过平移后总可以重合，记为b a 即大小相等，方向相同),(),(2211y x y x 21 2 1y y x x 6、 对于任意非零向量的单位向量是 . 7、向量的加法 （1）三角形法则 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ，则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r 对于零向量与任意向量a 的和有a a a 00 （2）平行四边形法则 已知两个不共线的向量a ，b r ，做,AB a BC b u u u r u u u r r r ，则A 、B 、D 三点不共线，以 AB 、AD 为邻边作平行四边形ABCD ，则对角线上的向量AC u u u r =a +b r . 平面向量知识点汇总 基本知识回顾： 1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向. 2.向量的表示方法： ①用有向线段表示-----AB (几何表示法)； ②用字母a 、b 等表示(字母表示法)； ③平面向量的坐标表示（坐标表示法）： 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=，222121()()AB x x y y =-+-3.零向量、单位向量： ①长度为0的向量叫零向量，记为0； ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.就是单位向量） 4.平行向量： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量； ②我们规定0与任一向量平行.向量a 、b 、c 平行，记作a ∥b ∥c .共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量. 性质：//(0)(a b b a b λλ≠?=是唯一）||b a b a a b λλλ??>???? 最新解三角形知识点归纳(附三角函数公式)
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