正比例的认识
《正比例的认识》教学设计
城西小学胡翠云
南五十家子小学张彤彦
双桥小学李凌军
教学内容：冀教版《数学》六年级下册第7～9页。
教材分析：
学生已经学习过比的意义、比的化简与比的应用，体会了生活中存在的变量之间的关系，这些都为学生学习正比例奠定了基础。正比例关系是数学中比较重要的一种数量关系，通过学习这部分知识，可以帮助学生加深对过去学过的数量关系的认识，使学生初步学会从变量的角度来认识两个量之间的关系，从而初步体会函数的思想。教材联系学生已有的生活经验和学习经验，设计了两个情境。活动一是学生首次感知正比例关系，教材作了很细致的安排。活动一把感知过程设计成五步：学会看里程表，计算汽车的速度；由汽车的速度不变，填出不同小时内汽车行的路程；写出相对应的路程和时间比，并求出比值；交流发现“90既是比值又是速度”，归纳出路程/时间=速度（一定）；提“议一议”的问题，结合实例总结概括出路程和时间这两种量成正比例，为认识正比例的意义奠定基础。
在数量关系中，学生对“路程比时间等于速度”很熟悉，速度“一定”是这个问题情境里的规律，是正比例意义的生长点。教材先通过填表、求比值。再指出这辆汽车行驶的路程和时间的比值总是一定，可以说路程和时间成正比例，学生在这里首次感知了正比例关系。
在前两步感知活动的基础上，教材给出了正比例关系的一般化描述，并说明成正比例的两种量，它们的关系叫做正比例关系。而正比例是两个相关联量的关系，说它们“相关联”，是因为一种量变化，另一种量也随着变化，正如时间变化，路程也随着变化，数量变化，总价也随着变化，但这两种量中相对应的两个数的比值要一定，即路程/时间=速度，速度一定；总价/数量=单价，单价一定。
教学目标：
1．结合具体实例，经历认识成正比例的量的过程。
2．知道正比例的意义，能判断两种量是否成正比例关系，能找出生活中成正比例的实例，并进行交流。
3．对显示生活中成正比例关系的事物有好奇心，在判断成正比例量的过程中，能进行有条理的思考。
教学重点：正确理解正比例的意义，并能准确判断成正比例的量。
教学难点：正确理解正比例的意义，并能准确判断成正比例的量。
课前准备：课件实物投影。
教学方案：
一、创设情境，设疑激趣。
1．出示教材中的两幅里程表图片。
师：同学们，你们知道这是什么吗？
生：里程表。（学生给不出，教师介绍。）
师：这是汽车里的一个装置，是专门记录汽车行驶的路程的，叫做里程表。2．用课件展示教材上的问题情境，让学生了解情境中的数学信息，并计算出汽车1小时行驶多少千米。启发学生解释计算的合理性。
师：请同学们认真观察屏幕上这两幅里程表的图片，你能发现什么信息？
生：第一幅图片中显示的时刻是8时整，指针指向的里程是8724千米。第二幅图片中显示的时刻是9时整，指针指向的里程是8814千米。
师：从刚才的资料中，你了解到什么情况？
学生可能会说：
●汽车8点开始行驶，9点停车，行驶了1小时。
●汽车行驶这1小时行驶的路程是可以计算的：8814-8724=90（千米）。
●由此可见，这辆车现的的行驶速度是每小时90千米。
师可随着学生的回答进行简略板书。
3．引导：有一辆车就是以每小时90千米的速度匀速行驶的，这样的行程问题在以前我们也经常接触，但今天我们换个角度来研究他，你会发现数学的知识里奥妙无穷。
二、引导探究，自主建构。
1．填写例题中表格，并初步分析当速度不变时路程随时间的变化情况。
师：，请同学们认真观察下面表格，并填好当汽车行驶5小时、6小时的路程。
随着学生的回答，师生共同完成表格。
师：观察并分析表格，说一说，表格中有哪几种量呢？这些量哪些是变化的？哪些是不变的？变化的量有什么规律？
给学生充足的思考、交流、讨论的时间。然后科学引导学生，得到下面的结论。
●表中有时间、路程和速度三种量，时间和路程是变化的，速度是不变的（90千米）；
●路程随着时间变化而变化；当时间变大，路程也变大；时间缩小，路程也缩小；（或说：行驶的时间越长，行驶的路程越长……）
●它们扩大和缩小的倍数也是相同的；（或说，路程随着时间按比例扩大……）
●也可以说路程和时间的变化方向相同（可用双臂同节奏起落演示说明）
2．提出“写出相对应的路程和时间的比，并求出比值”的要求，师生共同完成。
师：同学们的观察很细致，我们下面做进一步的深入研究。请大家写出相对应的路程和时间的比，并求出比值。
师生共同完成，板书结果：
观察写出的比和比值，你发现了什么？（比值都是90，比值都相等，这个比值就是速度，要求中已经说明，速度不变，所以比值都是相等的），你能用式子表示上面几个量之间的关系吗？
师：在我们这个题目中有一个非常关键的一点，速度是不变的，所以我们可以在关系式后面写出（一定）两个字。
师：根据比的基本性质，比的前项和后项怎样变化他的比值才能保持不变？
生：同时扩大或缩小相同的倍数。
师：非常正确，这也正是我们刚才观察到的，路程和时间同比例扩大或缩小的原因。
3、初步概括正比例概念。
师：象我们刚才研究的这种现象——在时间一定的情况下，路程和时间的这种关系，我们称为正比例关系。请同学们再次用自己的语言描述一下，路程和时间存在着什么样的关系。
学生尽量要得到这样的描述效果：在上面的问题中，路程随着时间的变化而变化，时间扩大，路程也随着扩大，反之，时间缩小，路程也随着缩小。而且：路程和时间的比值一定（速度一定）。我们就说路程和时间这两种量成正比例。
4、购物问题
（1）．教师说明生活中有不少类似的问题，并出示买笔问题。让学生自主计算，然后师生共同完成填表。
师：在行程问题中，当速度一定时，路程与时间成正比例。生活中还有很多类似的问题，比如：购物问题。
请大家看小黑板：
小黑板出示：
师：买一支自动笔1.6元，请同学们算一算买2支、3支、5支、6支、7支、8支各花多少钱？
学生计算完后，指名说计算结果，教师填在表格中。得出下表：
（2）、分析题目中各种量的关系
师：观察分析表格，你发现有哪几种量？哪种量是一定的？哪些量是变化的？变化时有什么规律？
在学生自主探讨与合作交流后，引导得出这样的结论：
●表中有数量、总价和单价三种量，总价随数量变化，单价是不变的（1.6元）；
●买自动笔的数量越多，花的钱就越多。
●买自动笔的数量越少，花的钱就越少。
●单价一定，也就是花的钱数和买自动笔支数比值一定。（师顺势引导学生写出关系式：）
●花的钱数和买的数量是成比例的量。
（3）．提出“议一议”的问题，让学生判断并得出：花的钱数与买笔的数量这两种量成正比例。
师：买自动笔的总价和买自动笔的数量这两种量成正比例吗？为什么？
学生可能会说：
●是正比例。因为自动笔的单价一定，所以购买的数量越多，所花的钱数越多；反之购买的数量越少，所花的钱数越少。
师：谁能用一句话说出总价和数量的关系呢？
单价一定，买笔的总价和买自动笔的数量成正比例。
5、建立模型，抽象出正比例概念。
师：分析两个“正比例”的例子，你发现它们有什么共同点？
师：请同学们分析一下上面的两个例子和数量关系式，你们发现它们有什么共同点？
学生可能会说：
（1）在行程问题中，速度一定，路程随着时间的变化而变化，时间越长，路程越长；反之，时间越短，路程也就越短。在购物问题中，单价一定，总价随着数量的变化而变化，数量越多，总价就越多；反之，数量越少，总价也就越少。
（2）它们都是有两个量变化，一个量不变。
（3）都是两个变化量的比值不变。
第（2）、（3）如说法没有，教师可启发或参与交流。
师：那么到底是什么是正比例呢？请认真阅读教材9页最上方一段话。
“像上面两个问题中，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量。它们的关系叫做正比例关系。”
学生阅读后，可以谈一谈自己的理解和困惑。
师：我们已经知道什么叫做成正比例关系的量。谁来说一说两个成正比例关系的量需要具备哪几个条件？
学生可能会说：
●这两个量的比值一定。
●一个量扩大，另一个也按比例扩大，一个量缩小，另一个量也按比例缩小。
●这两种量是关联的。
●一个量扩大，另一个量也成倍数增加。
三、强化训练，应用拓展。
1、试一试题目。让学生看试一试中的题，先自己判断并和同学交流，然后指名回答。重点指导学生用正比例的定义进行判断。重在第（3）题，学生的理由可能是：
●虽然，它们是相关的量，但“每月的收入”不是“支出的钱数”与“剩下的钱数”的比值。
●支出的钱数和剩下的钱数不是相除的关系。它们的关系是：每月收入-支出钱数=剩余的钱数。
师小结：同学们说得很好，看来判断两个量是不是成正比例关系，只看有关系还不行，关键要看这两个量相除的商（或说这两个量的比值）是不是一定。
2、练一练第1题。可以学生自己判断，然后小组合作交流。不明白问题再请教老师或其他组同学。
3、教师谈话并提出蓝灵鼠的问题，让学生举例并说明理由。
师：刚才我们判断了两种量是否成正比例，生活中还有许多成正比例关系的例子和同学交流一下。
学生可能会说出许多，只要合理，就给予肯定。
4、练一练第2题，先自己填表，再判断并用语言描述葡萄的质量和箱数的正比例关系。
5参考习题：
判断下面各题中的两个量是否成正比例，并说明理由。
（1）一袋面粉的质量一定，面粉的总质量和袋数。
（2）一个人的身高和年龄。
（3）小麦每公顷的产量一定，小麦的公顷数和总产量。
（4）平行四边形的高一定，它的面积和底。
（5）书的总页数一定，已经看的页数和未看的页数。
（6）正方形的周长和边长。
（7）正方形的面积和边长。
四、自主反思，深化体验。
这节课你学了什么？怎么学的？学得怎么样？还存在什么困惑？