1.1.3勾股定理课件
2024年北师大版八年级上册第一章 勾股定理第一章 勾股定理
一、单元学习主题本单元是“图形与几何”领域“图形的性质”主题中的“勾股定理”.二、单元学习内容分析1.课标分析《义务教育数学课程标准(2022年版)》(以下简称《标准2022》)指出初中阶段图形与几何领域包括“图形的性质”“图形的变化”和“图形与坐标”三个主题,“图形的性质”强调通过实验探究、直观发现、推理论证来研究图形,在用几何直观理解几何基本事实的基础上,从基本事实出发推导图形的几何性质和定理.通过信息技术的演示或者代数推理,让学生掌握勾股定理并会验证勾股定理,进而应用勾股定理解决生活中的数学问题.探索勾股定理及其逆定理,并能运用他们解决一些简单的实际问题是课标对勾股定理的直接要求.在前面学生已经掌握了三角形的基本性质,研究了三角形的边满足相等的条件下等腰、等边三角形的相关知识,还研究了当三角形一个角是90°,即直角三角形的相关性质.对于直角三角形三边之间的关系将在本章研究.本章主要内容是勾股定理及其逆定理,勾股定理揭示了直角三角形三边的数量关系,是直角三角形非常重要的性质,它可以用来解决许多直角三角形的计算问题,是解直角三角形的重要工具之一,是搭建代数与几何的重要桥梁.同时本章对于渗透数学文化有着很好的载体,相关素材对于培养学生的民族自豪感,开展学科德育教育有积极的意义和作用.2.本单元教学内容分析北师大版教材八年级上册第一章“勾股定理”,本章包括三个小节:1.1探索勾股定理;1.2一定是直角三角形吗;1.3勾股定理的应用.本章内容主要研究勾股定理及其逆定理,包括发现、证明、应用三个环节.首先让学生观察发现两直角边的平方和等于斜边的平方的结论并加以证明,从而得到勾股定理.然后运用勾股定理解决问题,在此基础上引入勾股定理的逆定理.在勾股定理和其逆定理的探索过程中,要引导学生观察、归纳和总结,并将结论运用到问题解决中,注意体会数形结合、转化等数学思想.在实际生活中,有不少问题的解决都涉及直角三角形的三边关系——勾股定理.数学源于生活,又应用于生活,是本章所体现的主要思想.本章的主要内容是勾股定理及其逆定理.勾股定理是初中数学中的一个重要的定理,它揭示了直角三角形中三边之间的数量关系,是数形结合的典范,是直角三角形特有的性质,可以解决许多直角三角形中的计算问题.本章的重点是勾股定理及其逆定理,难点是勾股定理及其逆定理的应用.本章主要有如下特点:1.在呈现方式上,突出实践性与研究性.例如,证明勾股定理,是通过问题引出的.2.突出学数学、用数学的意识与过程.勾股定理的应用尽量和实际问题联系起来.3.对实际问题的选取,注意联系学生的实际生活,注意拓展学生的知识面,注意系统训练的科学性,减少操作性习题,增加探索性问题的比重.本章节勾股定理的背景资料非常丰富,使学生对勾股定理的发展过程有所了解,感受勾股定理丰富的文化内涵,激发学生的学习兴趣.通过介绍我国在勾股定理研究方面取得的成就,激发学生热爱祖国,热爱祖国悠久文化的思想感情,培养学生的民族自豪感.三、单元学情分析本单元内容是北师大版数学八年级上册第一章勾股定理,学生已经学过三角形、等腰三角形、全等三角形及简单的多边形对学习勾股定理有很大的帮助,但本章内容思维量大,对思维的严谨、归纳推理能力要求较高,学生学起来有一点的难度.八年级学生已经具备一定的观察、归纳、猜想和推理的能力.他们在小学已学习了一些几何图形的面积计算方法(包括割补、拼接),但运用面积法和割补思想来解决问题的意识和能力还不够.另外,学生普遍学习积极性较高,课堂活动参与较主动,但合作交流的能力还有待加强.四、单元学习目标1.在研究图形性质和运动等过程中,进一步发展空间观念,培养学生几何直观和抽象能力的核心素养.2.在多种形式的数学活动中,发展合情推理能力,培养学生推理能力、运算能力.3.经历从不同角度分析问题和解决问题,体验解决问题方法的多样性,发展学生创新意识.4.探索勾股定理及其逆定理,并能运用它们解决一些简单的实际问题,培养学生的应用意识.六、单元评价与课后作业建议本单元课后作业整体设计体现以下原则:针对性原则:每课时课后作业严格按照《标准2022》要求设定针对性的作业,及时反馈学生的学业质量情况.层次性原则:教师注意将课后作业分层进行,注重知识的层次性和学生的层次性.知识由易到难,由浅入深,循序渐进,突出基础知识、基本技能,渗透人人学习数学,人人有所获.重视过程与方法,发展数学的应用意识和创新意识.根据以上建议,本单元课后作业设置为两部分,基础性课后作业和拓展性课后作业.。
探索勾股定理北师大版数学课件
4组织学生自主完成教 材中的P2页的第（3） 问。总结出直角三角 形的三边上的三个正 方形面积之间的关系 关系。A+B=C
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1归纳出直角三角形 的三边上的三个正 方形面积之间的关 系关系。
2有条理的表达出来 所获的结论。
♣教师活动
5出示教材P3中的做一做 进一步巩固探究过程。 6 出示教材3页的议一议
指导并小结完成的情况。
巩固所学知识。
检查学生的掌握情况。 培养学生的动手操作 能力。
10引导学生对本节内 容作出总结。
组员之间互相补充切磋 得到本节 所学主要内容。
提高学生的归纳能 力和语言表达能力， 合作能力。
教学重点和难点
● ○ 重点
1 利用观察归纳猜想方法 :即由特殊到一般的探索 定理的过程. 2 体会数形结合的 思想. 3 掌握勾股定理的内容. 4 会利用勾股定理解决一些实际问题.
● ○ 难点
1勾股定理的发现
我国著名的数学家华罗庚教 授曾建议“发射”一种勾股 定理图形作为与“外星人” 联系的信号。
81
B
& 教学设计
♣教师活动
1 出示投影图文 p1，教师 介绍我国古代在勾股定理研 究方面的贡献，并结合课本 p5谈一谈，讲述我国是最早 了解勾股定理的国家之一， 介绍商高(三千多年前周期的 数学家)在勾股定理方面的贡 献.
☺ 学生活动
1了解勾股定理的重要 性. 2勾股定理悠久的历史, 以及古代人民的聪明 才智.
7出示勾股定理的内容
熟悉并记忆
并介绍勾股弦的含义。
♣教师活动
11 出示 错例辨析： 直角△ABC的两边为3和4，求第 三边 解：由于三角形的两边为3、4 所以它的第三边的c应满足=25 即：c=5
新北师大版八年级上册数学1.1探索勾股定理(1)课件
△ABC面积为2__4___,斜边为上的高为4_._8____.
A D
C
B
4．在△ABC中，∠C=90º, （1） 若a=5，b=12，则c=___1_3____； （2） 若a=15，c=25，则b=__2_0_____； （3） 若c=61，b=60，则a=___11_____； （4） 若a:b=3:4，c=10，则a=__6______，b=__8______； （5） 若a:c=3:5 ，b=8，则a=___6_____；
勾股定理在中国有着悠久的历史, “勾三,股四,弦五” 结论可以上溯到大禹治水时代(大约公元前21世纪),一般 勾股定理最晚到公元前6至7世纪己经明确并得到广泛的 应用.
勾股定理是数学中最重要的基本定理之一,20世纪80 代,科学界曾征集有史以来科学上的十大发现,结果数学只 有唯一的一条入选,它就是勾股定理.
5. 一高为2.5米的木梯,架在高为2.4米的墙 上(如图),这时梯脚与墙的距离是多少?
A
解：在Rt△ABC中，根据勾
股定理，得 BC2+AC2=AB2
即 BC2+2.42 = 2.52
∴ BC=0.7.
C
B
6.在等腰三角形ABC中， AC=BC=5cm,AB=6cm,
求三角形ABC的面积
重要的 思想方 法及数 学思想
格？它们的面积各是多少？
4,4,8
C
A
（3）你能发现两图中三个
B
C 图1-1 A
正方形A，B，C的面积之 间有什么关系吗？
9,9,18； 4,4,8
B
图1-2
SA+SB=SC
（图中每个小方格代表一个单位面积）
2.阅读课本P3做一做
1.1探索勾股定理3
第一节探索勾股定理教学目标：1、 经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推力意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。
2、 探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单的推理的意识及能力。
重点难点：重点：了结勾股定理的由来，并能用它来解决一些简单的问题。
难点：勾股定理的发现 教学过程掌握勾股定理的内容，能利用勾股定理进行计算与证明。
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
即：c 2=a 2+b 2(c 为斜边)。
它反映了直角三角形三边之间的数量关系，是解决直角三角形中计算问题以及解直角三角形的主要依据之一。
一、问题的提出：小明放学回家要经过一块长方形的麦地。
如图： 1、 小明本来应走大路从A 经B 到C 可是他却直接从A 到C ，为什么？ 2、 为什么近、近多少？ 3、用数学知识如何解答？二、量一量，算一算：1、直角三角形的两条直角边的长度分别为3㎝，4㎝和5㎝，12㎝请你量出斜边的长度。
2、进行有关的计算。
3、得出结论： 三、证明结论：利用拼合三角形的方法，如下：（1）b a a bca c cb a a a b a bc b c b b c aa b a b （1） （2）由（1）S ab c ab c 正=⨯+=+412222 A B C D由（2）S a b ab 正=++222 ∴+=++22222ab c a b ab ∴+=a b c 222（2）如图：S c S S S a b b a a b b a a b a b c a b 正正小正==+=⨯+-=++-=+∴=+222222222441222∆() 练习： 1、判断：（1）已知a 、b 、c 是三角形的三边，则∴+=a b c 222（ ） （2）在直角三角形中两边的平方和等于第三边的平方。
（ ） （3）在Rt ABC ∆90=∠B ∴+=a b c 222（ ） 2、填空：在Rt ABC ∆中，∠=C 90（1）如果a=3，b=4，则c= （2）如果a=6，b=8，则c= （3）如果a=5，b=12，则c= (4) 如果a=15，b=20，则c=3、 解决新课开始提出的问题c ab ac b b c ba ac。
1.1第01课时探索勾股定理
A
bc a
C
B
如右图，∆ ABC是直角三角形，∠ ACB=90° 。 （1）如果每个小方格子都是边长为1的正方形，那么Rt ∆ABC的三边AC,BC,AB的长各是多少?以AC,BC,AB为边的 三个正方形的面积各是多少？这些面积之间具有怎样的等 量关系？ （2）如果这个直角三角形的三边长分别是a，b，c，那么 可以怎样用a，b，c把图中三个正方形面积之间的关系表 示出来呢？
40
A
90
B
C
160 40
答：两孔中心A，B的距离为130mm.
谈谈你的收获！
１.这节课你的收获是什么？ ２.理解“勾股定理”应该注 意什么问题？ ３.你觉得“勾股定理” 维去解读世界的习惯。 只有不断的思考，才会有新的发现；只 有量的变化，才会有质的进步。 其实数学在我们的生活中无处不在, 只要你是个有心人,就一定会发现在我 们的身边,我们的眼前, 还有很多象 “勾股定理”那样的知识等待我们去探 索，等待我们去发现……
（1）观察图2-1 正方形A中含有 9 个 小方格，即它的面积是 9 个单位面积。
C A B
图2-1
正方形B的面积是 3 1 2
图2-2
9 个单位面积。 正方形C的面积是 18 个单位面积。
（图中每个小方格代表一个单位面积）
一、阅读课本 回答问题
（2）在图2-2中，正 方形1，2，3中各含 有多少个小方格？它 们的面积各是多少？
探索勾股定理
假如我们一旦和外星人见面， 该使用什么语言呢？使用“符号 语言”与外星人联系是最经济和 最有效的，外星人也最可能使用 这种语言,并且最可能是数学语言。 中国科学家曾向外星发射“勾股 图”与外星人勾通。因为这种自 然图形所具备的“数形关系”在 整个宇宙中是普遍的。
数学：第一章_探索勾股定理(一)课件(北师大版八年级上)
你知道毕达哥拉斯想到 了什么吗？
（黑白相间的地砖）
探究活动1
问题1：你能发现下图中三个正方形面积之间有 怎样的关系？
一、情境引入
2002年世界数学家大会在我国北京召开，下 图是本届数学家大会的会标：
会标中央的图案是赵爽弦 图，它与“勾股定理”有关， 数学家曾建议用“勾股定理” 的图来作为与“外星人”联系 的信号.
二、探索发现勾股定理
探究活动一：
观察下面地板砖示意图：
观察这三 个正方形
你发现图中三个正方形的面积之间 存在什么关系吗？
换个角度来看呢？
你发现了什么？
结论1 以等腰直角三角形两直角
边为边长的小正方形的面积的和，等 于以斜边为边长的正方形的面积.
探究活动二：
观察右边两 幅图：
A B B Biblioteka A C分析表中数据，你发现了什么？
A的面积 左图 右图 B的面积 C的面积
4 16
9 9
13 25
S A S B SC
结论2 以直角三角形两直角边为
边长的小正方形的面积的和，等于以
斜边为边长的正方形的面积.
议一议：
（1）你能用直角三角形的两直角边的长a，b和 斜边长c来表示图中正方形的面积吗？
2 2 2
c
C c b a
B
化简,得 a 2 b2 c 2 .
其他验证法：勾股定理的无字证明
以刘徽的“青朱出入图”为代表，证明不需用任何数学 符号和文字，更不需进行运算，隐含在图中的勾股定理 便清晰地呈现，整个证明单靠移动几块图形而得出，被 称为“无字证明”。
约公元 263 年，三国时代魏国的数学家 刘徽为古籍《九章算术》作注释时，用 “出入相补法”证明了勾股定理。
北师大版八年级下册数学1.1直角三角形的性质和判定课件
（2）两条直线平行，同旁内角互补； 真 逆命题：同旁内角互补两直线平行 真
（3）如果ab=0，那么a=0，b=0. 假 逆命题：如果a=0，b=0，那么ab=0. 真
小结：由此可知，一个命题是真命题，它的逆 命题不一定是真命题；如果一个定理的逆命题 经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其 中一个定理称之为另一个定理的逆定理。如定 理1和定理2是一对互逆定理，定理3和定理4也 是一对互逆定理。
解：
A
∵∠A=∠B=45°
∴ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱC=180°-(∠A+∠B)
=180°-90°=90°,
且 AC=BC
又∵BC=3,∴在Rt△ABC中，
AB AC2 BC2 3 2
C
B
2、如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,E为BC上一点， 且∠BAE=25°，∠CDE=65°,AE=2,DE=3,求AD的长。
∴这个三角形是直角三角形
几何语言： ∵在Rt△ABC中， ∠A+∠B=90°
∴△ABC是直角三角形
勾股定理
我们曾经利用数方格和割补的方法得到了勾股定理。事 实上，利用基本事实和已有定理，我们能够证明勾股定理 （参见读一读）
勾股定理：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
随堂小练：
1、在△ABC中，已知∠A=∠B=45°,BC=3,求AB长。
本课小结
1、学习了直角三角形的性质定理
定理1：直角三角形两锐角互余
定理3：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
2、学习了直角三角形的判定定理
定理2：有两锐角互余的三角形是直角三角形
定理4：勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第 三边的平方， 那么这个三角形是直角三角形
北师大版《探索勾股定理》ppt优秀课件5
a2 b2 c2 （在西方称为毕达哥拉斯定理）
（在西方称为毕达哥拉斯定理） （在西方称为毕达哥拉斯定理） 2、如图：已知在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=17，BC=8。
三、自学检测
1、已知在Rt△ABC中，∠C=90°
若a=3，b=4，则c=____5____ 条钢索，如果这条钢索在地面的固定点
A 225
400
81
B 225
新知运用
如图，从电线杆离地面8m处向地面拉一 条钢索，如果这条钢索在地面的固定点 距离电线杆底部6m，那么需要多长的钢索？
巩固练习
1、如图，求等腰三角形ABC的边AB上的高。
中考链接
1、如图所示的图形中，所有的四边形都是正 方形，所有的三角形都是直角三角形，A、 B、C、D表示对应正方形的面积，A=9， B=16，C=36，D=64，
条钢索，如果这条钢索在地面的固定点
条钢索，如果这条钢索在地面的固定点
所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方
2、如图：已知在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=17，BC=8。
1、如图：A所代表的正方形的面积是
。
（2）、 Rt△ABC的面积。
求（1）、AC的长
条钢索，如果这条钢索在地面的固定点
2、理解勾股定理，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用。
1、指出右图直角三角形各部分的名称，并用符号表示这个直角三角形。
（2）、 Rt△ABC的面积。
直角三角形两直角边的平方和等于 1、如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，A、B、C、D表示对应正方形的面积，A=9，B=16，
C=36，D=64，
（2）、 Rt△ABC的面积。