2017_2018学年高中数学阶段质量检测(二)圆锥曲线北师大版选修4_1
2017-2018学年高中数学北师大版选修2-2同步配套阶段质
阶段质量检测(四) 定积分[考试时间：90分钟 试卷总分：120分]第Ⅰ卷 (选择题)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知∫b a f (x )d x ＝m ，则∫ba nf (x )d x ＝( )A ．m ＋nB ．m －nC ．mnD ．m n2.∫10(e x ＋2x )d x 等于( )A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋13．若∫k 0(2x －3x 2)d x ＝0，则k 等于( )A ．0B ．1C ．0或1D ．不确定4．(江西高考)若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( ) A ．－1 B ．－13C.13D ．15．已知f (x )为偶函数且⎠⎛06f (x )d x ＝8，则⎠⎛6－6f (x )d x ＝( ) A ．0 B ．4 C ．8 D ．166.从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为( )A.12B.13C.14D.157．由y ＝－x 2与直线y ＝2x －3围成的图形的面积是( ) A.53 B.323 C.643D ．98．由曲线y ＝x ，x ＝4和x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转生成的旋转体的体积为( ) A ．16π B ．32π C ．8πD ．4π 9．已知自由落体运动的速率v ＝gt ，则落体运动从t ＝0到t ＝t 0所走的路程为( ) A ．gt 20B.gt 203 C.gt 202D.gt 20610.如图，两曲线y ＝3－x 2与y ＝x 2－2x －1所围成的图形面积是( )A ．6B ．9C ．12D ．3答 题 栏二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)11. ⎠⎜⎛0π3 cos x d x ＝________.12．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若∫10f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________． 13．有一横截面面积为4 cm 2的水管控制往外流水，打开水管后t s 末的流速为v (t )＝6t －t 2(单位：cm/s)(0≤t ≤6)．则t ＝0到t ＝6这段时间内流出的水量为________cm 3.14．已知函数y ＝f (x )的图像是折线段ABC ，其中A (0,0)，B ⎝⎛⎭⎫12，5，C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图像与x 轴围成的图形的面积为________．三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)求由曲线y ＝x 2＋2与直线y ＝3x ，x ＝0，x ＝2所围成的平面图形的面积．16.(本小题满分12分)如图，求由曲线y ＝－x 2,4y ＝－x 2及直线y ＝－1所围图形的面积．17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x －1，直线l 1：x ＝1，l 2：y ＝e t －1(t 为常数，且0≤t ≤1)，直线l 1，l 2与函数f (x )的图像围成的封闭图形，以及直线l 2，y 轴与函数f (x )的图像围成的封闭图形如图中阴影部分所示．求当t 变化时，阴影部分的面积的最小值．18．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝13x 3＋12ax 2＋bx ，f ′(x )是函数f (x )的导数．在区间[－1,1]内任取实数a ，b ，求方程f ′(x )＝0有实数根的概率．答 案1．选C 根据定积分的性质，∫ba nf (x )d x ＝n ∫b a f (x )d x ＝mn . 2．选C∫10(e x ＋2x )d x ＝(e x ＋x 2)⎪⎪⎪1＝(e 1＋1)－e 0＝e ，故选C.3．选B∫k 0(2x －3x 2)d x ＝(x 2－x 3)⎪⎪⎪k＝k 2－k 3＝0，∴k ＝0(舍去)或k ＝1，故选B. 4．选B ∵f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，∴⎠⎛01f (x )d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋2x ⎠⎛01f (x )d x 10＝13＋2⎠⎛01f (x )d x . ∴⎠⎛01f (x )d x ＝－13.5．选D ∵f (x )为偶函数，∴其图像关于y 轴对称， ∴⎠⎛－66f (x )d x ＝2⎠⎛06f (x )d x ＝16. 6．选B 根据题意得S 阴影＝∫103x 2d x ＝x 3⎪⎪⎪1＝1，则点M 取自阴影部分的概率为S 阴影S 长方形＝13×1＝13. 7．选B 解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，y ＝2x －3，得交点A (－3，－9)，B (1，－1)．则y ＝－x 2与直线y ＝2x －3围成的图形的面积S ＝∫1－3(－x 2)d x －∫1－3(2x －3)d x＝－13x 3| 1－3－(x 2－3x ) |1－3＝323. 8．选C 由图知旋转体的体积为π∫40(x )2d x ＝π2x 2 |4＝8π.9．选C s ＝⎠⎛0t0v (t )d t ＝12gt 2⎪⎪⎪t 00＝12gt 20. 10．选B 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3－x 2，y ＝x 2－2x －1， 解得交点(－1,2)，(2，－1)，所以S ＝∫2－1[(3－x 2)－(x 2－2x －1)]d x ＝∫2－1(－2x 2＋2x ＋4)d x＝⎝⎛⎭⎫－23x 3＋x 2＋4x ⎪⎪⎪2－1＝9.11．解析：⎠⎜⎛0π3cos x d x ＝sin x |30π＝32.答案：3212．解析：∫10f (x )d x ＝∫10(ax 2＋c )d x ＝⎝⎛⎭⎫13ax 3＋cx |10＝a 3＋c ＝ax 20＋c ， 则x 0＝33. 答案：3313．解析：由题意可得t ＝0到t ＝6这段时间内流出的水量V ＝∫604(6t －t 2)d t ＝4∫60(6t－t 2)d t ＝4⎝⎛⎭⎫3t 2－13t 3⎪⎪⎪60＝144(cm 3)． 答案：14414．解析：由题意可得f (x )＝⎩⎨⎧10x ，0≤x ≤12，10－10x ，12<x ≤1，所以y ＝xf (x )＝⎩⎨⎧10x 2，0≤x ≤12，10x －10x 2，12<x ≤1.与x 轴围成的图形的面积为⎠⎜⎛012∫12010x 2d x ＋⎠⎜⎛121 (10x －10x 2)d x ＝103x 3⎪⎪⎪⎪120＋⎝⎛⎭⎫5x 2－103x 3⎪⎪⎪⎪112＝54.答案：5415．解：S ＝⎠⎛01(x 2＋2－3x )d x ＋⎠⎛12(3x －x 2－2)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－32x 2＋2x |10＋⎝⎛⎭⎫－13x 3＋32x 2－2x |21 ＝⎝⎛⎭⎫13－32＋2＋⎝⎛⎭⎫－13×8＋32×4－4－⎝⎛⎭⎫－13＋32－2 ＝56－23＋56＝53－23＝1. 16．解：由图形的对称性知，所求图形面积为位于y 轴右侧图形面积的2倍．法一：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，y ＝－1，得C (1，－1)．同理得D (2，－1)．则所求图形的面积S ＝2⎩⎨⎧⎭⎬⎫∫10⎣⎡⎦⎤－x 24－(－x 2)d x ＋∫21⎣⎡⎦⎤－x 24－(－1)d x ＝2⎝⎛⎭⎫∫103x 24d x －∫21x 24d x ＋∫21d x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 34⎪⎪⎪10－x 312⎪⎪⎪ 21＋x ⎪⎪⎪21＝43.法二：同法一得C (1，－1)，D (2，－1)．则所求图形的面积为S ＝2∫0－1(2－y －－y )d y＝2∫0－1－y d y ＝2×⎝⎛⎭⎫－23×(－y )32⎪⎪⎪－1＝43. 17．解：依题意知，阴影部分的面积S ＝∫t 0(e t －1－e x ＋1)d x ＋∫1t (e x －1－e t＋1)d x ＝∫t 0(e t －e x )d x ＋∫1t (e x －e t )d x＝(x e t－e x)⎪⎪⎪t0＋(e x －x e t )⎪⎪⎪1t＝(2t －3)e t ＋e ＋1，令g (t )＝(2t －3)e t ＋e ＋1(0≤t ≤1)，则g ′(t )＝(2t －1)e t ， 取g ′(t )＝0，解得t ＝12.当t ∈⎣⎡⎭⎫0，12时，g ′(t )<0，g (t )是减函数； 当t ∈⎝⎛⎦⎤12，1时，g ′(t )>0，g (t )是增函数． 因此g (t )的最小值为g ⎝⎛⎭⎫12＝e ＋1－2e 12＝(e －1)2， 故阴影部分的面积的最小值为(e －1)2. 18.解：f ′(x )＝x 2＋ax ＋b .若方程f ′(x )＝0，即x 2＋ax ＋b ＝0有实数根，则Δ≥0，即a 2≥4b ， 因此方程f ′(x )＝0有实数根的条件是⎩⎪⎨⎪⎧－1≤a ≤1，－1≤b ≤1，a 2≥4b ，满足此不等式组的点P (a ，b )形成的图形为图中阴影部分，其面积为 S 1＝∫1－1⎣⎡⎦⎤a 24－(－1)d a ＝∫1－1⎝⎛⎭⎫a 24＋1d a＝a 312 |1－1＋2＝136. 而坐标满足条件－1≤a ≤1，－1≤b ≤1的点形成的图形的面积S ＝4，根据几何概型的概率公式可知，方程f ′(x )＝0有实数根的概率为P ＝S 1S ＝1324.。
2018学年高中数学北师大版选修4-1章末综合测评 第2章
章末综合测评(二)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下列说法不正确的是( ) A.圆柱面的母线与轴线平行B.圆柱面的任一轴截面总是垂直于直截面(垂直于母线的截面)C.圆柱面被平面截得的椭圆的离心率与圆柱面半径无关，只与母线和斜截面的夹角有关D.平面截圆柱面的截线椭圆中，短轴长即为圆柱面的半径【解析】 A 显然正确；轴截面总过轴线，因此轴截面与直截面垂直，∴B 正确；由公式e ＝cos θ知，C 正确；短轴长实际上是圆柱面的直径，故D 错.【答案】 D2.(全国卷)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A.(－1,3)B.(－1，3)C.(0,3)D.(0，3)【解析】 若双曲线的焦点在x 轴上，则⎩⎨⎧ m 2＋n ＞0，3m 2－n ＞0.又∵(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4，∴m 2＝1，∴⎩⎨⎧1＋n ＞0，3－n ＞0，∴－1<n <3.若双曲线的焦点在y 轴上，则双曲线的标准方程为y 2n －3m 2－x 2－m 2－n ＝1，即⎩⎨⎧n －3m 2＞0，－m 2－n ＞0，即n >3m 2且n <－m 2，此时n 不存在.故选A. 【答案】 A3.圆锥的顶角为60°，截面与母线所成的角为60°，则截面所截得的截线是( )A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线【解析】 依题意截面与圆锥轴线的夹角为90°，∴截线为圆. 【答案】 A4.若双曲线的两条准线与实轴的交点是两顶点间线段的三等分点，则其离心率为( )【导学号：96990055】A. 3B.2C.3D.2 3【解析】 由题意知2a 2c ＝2a 3，∴e ＝ca ＝3. 【答案】 C5.如图1，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )图1A.500π3 cm 3 B.866π3 cm 3 C.1 372 π3cm 3D.2048π3cm 3【解析】 设球的半径为R ，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4，球心到截面圆的距离为R －2，则R 2＝(R －2)2＋42解得R ＝5，∴V 球＝4π×533＝500π3cm 3，故选A. 【答案】 A6.设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 是其右准线上纵坐标为3c (c 为半焦距)的点，且|F 1F 2|＝|F 2P |，则椭圆的离心率是( )A.3－12B.12C.5－12D.22【解析】 如图所示，|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，3c ，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，0 在Rt △PF 2M 中，|PF 2|2－|PM |2＝|MF 2|2， ∴(2c )2－(3c )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c －c 2∴a ＝2c ，e ＝c a ＝22. 【答案】 D7.若圆柱的一正截面(垂直于轴的截面)的截线为半径r ＝3的⊙O ，该圆柱的斜截面与轴线成60°角，则截线椭圆的离心率e ＝( )A.32 B.22 C.12D.232【解析】 依题意，在椭圆中， a ＝r sin 60°＝332＝23，b ＝r ＝3，∴c ＝a 2－b 2＝(23)2－32＝3，∴e ＝c a ＝12. 【答案】 C8.已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )A.(0,1)B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C.⎝⎛⎭⎪⎫0，22D.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 【解析】 由题意知b ＞c ，即a 2－c 2＞c 2， ∴0＜c a ＜22. 【答案】 C9.平面π与圆锥的轴线平行，圆锥母线与轴线夹角为60°，则平面与圆锥交线的离心率是( )A.2B.12C.32D.23【解析】 设平面与轴线夹角为β，母线与轴线夹角为α.由题意，α＝60°，∴e ＝cos βcos α＝112＝2.【答案】 A10.一平面截圆锥面得一椭圆，已知截面与圆锥面的轴线的夹角为60°，该截面的Dandelin 双球的半径分别为r 和2r ，球心距为4r ，则椭圆的离心率是( )A.12B.14C.33D.21515 【解析】 设圆锥的顶角为2σ， 则cos σ＝(4r )2－(2r －r )24r ＝154， ∴椭圆的离心率e ＝cos 60°cos σ＝12154＝21515.【答案】 D11.若双曲线x 29－y 2＝1的两焦点是F 1、F 2，A 是该曲线上一点，且|AF 1|＝5，那么|AF 2|等于( )A.10B.11C.12D.13【解析】由题意知a＝3，c＝10，点A在靠近焦点F1的一支上，∴|AF2|－|AF1|＝6，∴|AF2|＝11.【答案】 B12.(陕西高考)若抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝()A. 2B.2 2C.2 3D. 3【解析】抛物线的准线方程为x＝－p2，p>0，双曲线的焦点为F1(－2，0)，F2(2，0)，所以－p2＝－2，p＝2 2.【答案】 B二、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分，把答案填在横线上)13.已知F1，F2为椭圆x225＋y29＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点.若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.【解析】由已知得|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝10，∴|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝20，∴|AF1|＋|BF1|＝20－|AF2|－|BF2|＝20－12＝8，即|AB|＝8.【答案】814.已知圆锥面的轴截面是正三角形，用一个与轴线成45°角的不过圆锥顶点的平面去截圆锥面时，所得的交线是________.【解析】由已知圆锥的母线与轴线的夹角为30°，又45°＞30°，∴交线是椭圆.【答案】椭圆15.一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，则这个球的体积为________.【解析】设正六棱柱的底面边长为x，则6x＝3，∴x＝1 2.设正六棱柱的高为h，由其体积V＝98知，98＝6×34×⎝⎛⎭⎪⎫122×h，∴h＝ 3.∵正六棱柱外接球的直径恰好是正六棱柱的体对角线长，∴2R＝(3)2＋1，∴R＝1.∴V球＝4 3π.【答案】4 3π16.一平面与半径为4的圆柱面相截，截面的Dandelin双球的球心距离为12，则截线椭圆的离心率e＝________.【导学号：96990056】【解析】依题意：Dandelin双球球心距离即为圆柱母线长.∴2a＝12，∴a ＝6.又b＝r＝4，∴c＝a2－b2＝62－42＝2 5.∴椭圆的离心率e＝ca＝256＝53.【答案】5 3三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)高5 m和3 m的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 cm，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A(－5,0)，B(5,0)，求地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程.【解】设P(x，y)，依题意5(x＋5)2＋y2＝3(x－5)2＋y2，化简即得：4x2＋4y2－85x＋100＝0.18.(本小题满分12分)一个圆锥形漏斗口的内周长为8π cm.漏斗深9.6 cm，将一个球放进漏斗里，球的最高点比漏斗口所在平面高出2.4 cm，求球的体积.【解】作共同的轴截面图(如图)，得等腰△P AB和圆O，球的最高点C，球心O和圆锥顶点P三点共线，D＝AB∩PC，依题设：PD ＝9.6，CD ＝2.4，AD ＝8π2π＝4.过C 作A1B 1∥AB 与P A ，PB 的延长线分别交于点A 1，B 1，则A 1B 1与圆O 相切于C .且有A 1C AD ＝PC PD ＝129.6＝1.25. ∴A 1C ＝5，AD ＝4. P A 1＝A 1C 2＋PC 2＝13.记P A 1与圆O 的切点为E ，则A 1C ＝A 1E ， 且△PEO ∽△PCA 1，即PE PC ＝OEA 1C ，PE ＝P A 1－A 1E ＝13－5＝8，∵OE ＝PE ·A 1C PC ＝103，即得球半径R ＝103， 所以它的体积为V ＝43πR 3＝4 000π81(cm 3).19.(本小题满分12分)已知抛物线y 2＝2px 上有三点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，且x 1＜x 2＜x 3，若线段AB ，BC 在x 轴上射影长相等.求证：A ，B ，C 三点到焦点的距离顺次成等差数列.【证明】 根据题意，得x 2－x 1＝x 3－x 2， 即x 1，x 2，x 3成等差数列，又由抛物线的定义得： |AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p2， |CF |＝x 3＋p2.∵2|BF |＝2(x 2＋p2)＝2x 2＋p ，∴|AF |＋|CF |＝x 1＋x 3＋p ＝2x 2＋p ＝2|BF |， ∴|AF |，|BF |，|CF |成等差数列.20.(本小题满分12分)平面α与圆柱轴线成60°角，截圆柱面所得椭圆焦距为23，求圆柱面的半径.【解】 如图所示，O 为椭圆中心，AA ′是椭圆的长轴，其长设为2a ，过O 向圆柱母线作垂线，垂足为B ，则△OAB 是直角三角形，且∠OAB ＝60°是平面α与圆柱母线(也是与轴线)所成的角.设圆柱面半径为r ，则a ＝r sin60°＝23r 3.椭圆的短轴长2b ＝2r ，即b ＝r ， 由已知焦距2c ＝23，∴c ＝ 3.又在椭圆中，a 2＝b 2＋c 2，∴⎝⎛⎭⎪⎫23r 32＝r 2＋(3)2. 解得r ＝3，即圆柱面的半径为3.21.(本小题满分12分)已知抛物线的焦点F ，准线l ，设F 到l 的距离|EF |＝p (p ＞0)，一定点A 到直线EF 的距离也为p ，在抛物线上找一点B ，使点B 到A ，F 距离和最小，求此时△BEF 的面积.【解】 如图所示，过点B 作准线l 的垂线，垂足为C .由抛物线定义，|BC |＝|BF |，欲使|BA |＋|BF |最小，只要|AB |＋|BC |最小即可.而当A ，B ，C 共线时，|AB |＋|BC |最小，此时，直线AB ∥EF ，又点A 到直线EF 的距离也为p .故点B 到直线EF 的距离也为p . 又|EF |＝p ，∴S △BEF ＝12p ·p ＝12p 2.22.(本小题满分12分)求过点A (2,0)且与圆x 2＋4x ＋y 2－32＝0内切的圆的圆心的轨迹方程.【解】 将圆的方程化为标准形式(x ＋2)2＋y 2＝62，这时，已知圆的圆心坐标为B (－2,0)，半径为6，作图知(如图所示)：设动圆圆心M 的坐标为(x ，y )，由于动圆与已知圆相内切，设切点为C .∴已知圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之差等于两圆心的距离，即|BC |－|MC |＝|BM |，而|BC |＝6，∴|BM |＋|CM |＝6，又|CM |＝|AM |，∴|BM |＋|AM |＝6，根据椭圆的定义知点M 的轨迹是以点B (－2,0)和点A (2,0)为焦点、线段AB 的中点(0,0)为中心的椭圆.∴a＝3，c＝2，b＝a2－c2＝5，∴所求圆心的轨迹方程为x29＋y25＝1.。
2017_2018学年高中数学阶段质量检测(二)圆锥曲线与方程苏教版选修1_1
阶段质量检测(二) 圆锥曲线与方程[考试时间：120分钟 试卷总分：160分]一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在题中的横线上) 1．(江苏高考)双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线的方程为____________________．2．(四川高考改编)抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是________．3．(辽宁高考)已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．4．已知动圆P 与定圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝1相外切，又与定直线l ：x ＝1相切，那么动圆的圆心P 的轨迹方程是________________________．5．两个焦点为(±2,0)且过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－32的椭圆的标准方程为_____________________．6．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，AF ＝2，则BF ＝________.7．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若AB ＝10，BF ＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为________．8．抛物线y ＝x 2上到直线2x －y ＝4距离最近的点的坐标是________．9．设点P 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)与圆x 2＋y 2＝2a 2的一个交点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，且PF 1＝3PF 2，则双曲线的离心率为________．10．已知双曲C 1＝x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐进线的距离为2，则抛物线C 2的方程为________________________．11．(新课标全国卷Ⅰ改编)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为_____________________．12．若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m >n >0)和双曲线x 2a －y 2b＝1(a >b >0)有相同的左、右焦点F 1，F 2，P 是两条曲线的一个交点，则PF 1·PF 2的值是________．13．若椭圆mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0)与直线y ＝1－x 交于A 、B 两点，过原点与线段AB 的中点的连线斜率为22，则nm的值为________． 14．(四川高考改编)从椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是________．二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知双曲线与椭圆x 236＋y 249＝1有公共的焦点，并且椭圆的离心率与双曲线的离心率之比为37，求双曲线的方程．16．(本小题满分14分)已知中心在坐标原点、焦点在x 轴上的椭圆，它的离心率为32，且与直线x ＋y －1＝0相交于M 、N 两点，若以MN 为直径的圆经过坐标原点，求椭圆的方程．17.(本小题满分14分)如图，F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值．18．(本小题满分16分)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l与C相交于A，B两点，若|AB|＝8，求直线l的方程．19．(本小题满分16分)(陕西高考)已知动点M(x，y)到直线l：x＝4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍．(1)求动点M的轨迹C的方程；(2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A，B两点，若A是PB的中点，求直线m的斜率．20．(本小题满分16分)如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B1作直线交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求△PB2Q的面积．答 案阶段质量检测(二) 圆锥曲线与方程1．解析：令x 216－y 29＝0，解得y ＝±34x .答案：y ＝±34x2．解析：因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，而双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，所以所求距离为|±3×1－0|1＋3＝32.答案：323．解析：由题意因为PQ 过双曲线的右焦点(5,0)，所以P ，Q 都在双曲线的右支上，则有FP －PA ＝6，FQ －QA ＝6，两式相加，利用双曲线的定义得FP ＋FQ ＝28，所以△PQF 的周长为FP ＋FQ ＋PQ ＝44.答案：444．解析：设P (x ，y )，动圆P 在直线x ＝1的左侧，其半径等于1－x ，则PC ＝1－x ＋1，即x ＋2＋y 2＝2－x .∴y 2＝－8x . 答案：y 2＝－8x5．解析：∵两个焦点为(±2,0)， ∴椭圆的焦点在x 轴上，且c ＝2.设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫522a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322b 2＝1a 2－b 2＝4，，解得a 2＝10，b 2＝6.∴椭圆的标准方程为x 210＋y 26＝1.答案：x 210＋y 26＝16．解析：设点A ，B 的横坐标分别是x 1，x 2，则依题意有，焦点F (1,0)，AF ＝x 1＋1＝2，x 1＝1，直线AF 的方程是x ＝1，故BF ＝AF ＝2.答案：27．解析：在△ABF 中，AF 2＝AB 2＋BF 2－2AB ·BF ·cos∠ABF ＝102＋82－2×10×8×45＝36，则AF ＝6.由AB 2＝AF 2＋BF 2可知，△ABF 是直角三角形，OF 为斜边AB 的中线，c ＝OF ＝AB2＝5.设椭圆的另一焦点为F 1，因为点O 平分AB ，且平分FF 1，所以四边形AFBF 1为平行四边形，所以BF ＝AF 1＝8.由椭圆的性质可知AF ＋AF 1＝14＝2a ⇒a ＝7，则e ＝c a ＝57.答案：578．解析：设P (x ，y )为抛物线上任意一点，则P 到直线的距离d ＝|2x －y －4|5＝|2x －x 2－4|5＝x －2＋3|5，∴当x ＝1时，d 取最小值35，此时P 的坐标为(1,1)．答案：(1,1)9．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧PF 1－PF 2＝2a ，PF 1＝3PF 2得PF 1＝3a ，PF 2＝a ，设∠F 1OP ＝α，则∠POF 2＝180°－α， 在△PF 1O 中，PF 21＝OF 21＋OP 2－2OF 1·OP ·cos α ①，在△OPF 2中，PF 22＝OF 22＋OP 2－2OF 2·OP ·cos(180°－α) ②，由cos(180°－α)＝－cos α与OP ＝2a ， ①＋②得c 2＝3a 2，∴e ＝ca＝3aa＝ 3.答案： 310．解析：∵双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的率心率为2.∴c a ＝a 2＋b 2a＝2，∴b ＝3a .∴双曲线的渐近线方程为 3 x ±y ＝0.∴抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2到双曲线的渐近线的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪3×0±p 22＝2.∴p ＝8.∴所求的抛物线方程为x 2＝16y . 答案：x 2＝16y11．解析：因为直线AB 过点F (3,0)和点(1，－1)，所以直线AB 的方程为y ＝12(x －3)，代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24＋b 2x 2－32a 2x ＋94a 2－a 2b 2＝0，所以AB 的中点的横坐标为32a 22⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24＋b 2＝1，即a 2＝2b 2，又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝c ＝3. 所以E 的方程为x 218＋y 29＝1.答案：x 218＋y 29＝112．解析：取P 在双曲线的右支上， 则⎩⎨⎧PF 1＋PF 2＝2 m ，PF 1－PF 2＝2 a ，∴⎩⎨⎧PF 1＝m ＋a ，PF 2＝m －a .∴PF 1·PF 2＝(m ＋a )(m －a )＝m －a . 答案：m －a13．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点(x 0，y 0)．由⎩⎪⎨⎪⎧mx 2＋ny 2＝1，y ＝1－x ，得(m ＋n )x 2－2nx ＋n －1＝0∴x 1＋x 2＝2n m ＋n ，∴x 0＝n m ＋n .∴y 0＝mm ＋n. 又y 0x 0＝22，∴m n ＝22，∴nm＝ 2. 答案： 214．解析：由已知，点P (－c ，y )在椭圆上，代入椭圆方程，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a .∵AB ∥OP ，∴k AB ＝k OP ，即－b a ＝－b 2ac ，则b ＝c ，∴a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，则c a ＝22，即该椭圆的离心率是22.答案：2215．解：在椭圆x 236＋y 249＝1中，焦点坐标为(0，±13)，离心率e ′＝137， 设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝13，137∶a 2＋b 2a ＝37，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝4.∴双曲线的方程为y 29－x 24＝1.16．解：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，∵e ＝32，∴a 2＝4b 2，即a ＝2b . ∴椭圆方程为x 24b 2＋y 2b2＝1.把直线方程代入并化简，得5x 2－8x ＋4－4b 2＝0. 设M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝85，x 1x 2＝15(4－4b 2)．∴y 1y 2＝(1－x 1)(1－x 2)＝1－(x 1＋x 2)＋x 1x 2＝15(1－4b 2)．由于OM ⊥ON ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0. 解得b 2＝58，a 2＝52.∴椭圆方程为25x 2＋85y 2＝1.17．解：(1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ，所以e ＝12.(2)法一：a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，直线AB 的方程为y ＝－3(x －c )．代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，－335c .所以|AB |＝1＋3·|85c －0|＝165c .由S △AF 1B ＝12|AF 1|·|AB |sin ∠F 1AB ＝12a ·165c ·32＝235a 2＝403，解得a ＝10，b ＝5 3.法二：设AB ＝t .因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a . 由椭圆定义BF 1＋BF 2＝2a 可知，BF 1＝3a －t . 由余弦定理得(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos 60°可得，t ＝85a .由S △AF 1B ＝12a ·85a ·32＝235a 2＝403知，a ＝10，b ＝5 3.18．解：抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，当直线l 斜率不存在时，|AB |＝4，不合题意．设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，代入y 2＝4x ，整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知k ≠0， 则x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.由抛物线定义知，|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2， ∴x 1＋x 2＋2＝8，即2k 2＋4k2＋2＝8.解得k ＝±1.所以直线l 的方程为y ＝±(x －1)， 即x －y －1＝0，x ＋y －1＝0.19．解：(1)设M 到直线l 的距离为d ，根据题意d ＝2|MN |. 由此得|4－x |＝2x －2＋y 2，化简得x 24＋y 23＝1，所以，动点M 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.(2)法一：由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋3代入x 24＋y 23＝1中，有(3＋4k 2)x 2＋24kx ＋24＝0，其中Δ＝(24k )2－4×24(3＋4k 2)＝96(2k 2－3)＞0，故k 2>32.由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝－24k3＋4k2，① x 1x 2＝243＋4k2.② 又因为A 是PB 的中点，故x 2＝2x 1，③ 将③代入①，②，得x 1＝－8k 3＋4k 2，x 21＝123＋4k2， 可得⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 3＋4k 22＝123＋4k 2，且k 2＞32，解得k ＝－32或k ＝32，所以直线m 的斜率为－32或32.法二：由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∵A 是PB 的中点， ∴x 1＝x 22，①y 1＝3＋y 22.② 又x 214＋y 213＝1，③ x 224＋y 223＝1，④ 联立①，②，③，④解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0.即点B 的坐标为(2,0)或(－2,0)， 所以直线m 的斜率为－32或32.20．解：(1)设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，右焦点为F 2(c,0)．因△AB 1B 2是直角三角形且|AB 1|＝|AB 2|， 故∠B 1AB 2为直角，从而|OA |＝|OB 2|，即b ＝c2.结合c 2＝a 2－b 2得4b 2＝a 2－b 2，故a 2＝5b 2，c 2＝4b 2，所以离心率e ＝c a ＝255.在Rt △AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2，故S △AB 1B 2＝12·|B 1B 2|·|OA |＝|OB 2|·|OA |＝c2·b ＝b 2，由题设条件S △AB 1B 2＝4得b 2＝4，从而a 2＝5b 2＝20. 因此所求椭圆的标准方程为x 220＋y 24＝1. (2)由(1)知B 1(－2,0)，B 2(2,0)．由题意，直线PQ 的倾斜角不为0， 故可设直线PQ 的方程为x ＝my －2，代入椭圆方程得 (m 2＋5)y 2－4my －16＝0.(*)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1，y 2是方程(*)的两根， 因此y 1＋y 2＝4m m 2＋5，y 1·y 2＝－16m 2＋5. 又2B P ＝(x 1－2，y 1)，2B Q ＝(x 2－2，y 2)，所以2B P ·2B Q ＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2 ＝(m 2＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16 ＝－16m 2＋1m 2＋5－16m2m 2＋5＋16 ＝－16m 2－64m 2＋5，由PB 2⊥QB 2，知2B P ·2B Q ＝0， 即16m 2－64＝0，解得m ＝±2.当m ＝2时，方程(*)化为9y 2－8y －16＝0. 故y 1＝4＋4109，y 2＝4－4109，|y 1－y 2|＝8109，△PB 2Q 的面积S ＝12|B 1B 2|·|y 1－y 2|＝16109.- 11 - 当m ＝－2时，同理可得(或由对称性可得)△PB 2Q 的面积S ＝16109. 综上所述，△PB 2Q 的面积为16109.。
2017-2018学年高中数学选修4-5阶段质量检测(一)B卷含答案
阶段质量检测（一） B卷（时间90分钟，满分120分）（本大题共10小题,每小题5分,共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1．“｜x|≤2”是“|x＋1｜＜1”的( ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B |x＋1｜＜1⇒－1＜x＋1＜1⇒－2＜x＜0⇒｜x|＜2⇒|x｜≤2.反之不成立，故选B.2．设a,b∈R，若a－|b|＞0，则下列不等式中正确的是（) A．b－a＞0 B．a2＋b2＜0C．b＋a＞0 D．a2－b2＜0解析:选C 由a－|b|＞0知a＞｜b｜≥－b，于是a＋b＞0，故选C。
3．若错误!〈错误!〈0，则下列结论不正确的是（）A．a2〈b2B．ab<b2C.错误!＋错误!>2 D．｜a|－｜b｜＝｜a－b|解析:选D 法一（特殊值法）:令a＝－1，b＝－2，代入A、B、C、D,知D不正确．法二：由错误!〈错误!〈0，得b<a<0，所以b2>ab，ab>a2，故A、B正确．又由错误!〉1，错误!>0，且错误!≠错误!，即错误!＋错误!>2正确．从而A、B、C均正确，对于D,由b〈a<0⇔｜a|<｜b|。
即｜a|－｜b｜〈0，而｜a－b｜≥0,故D错．4．设x，y∈R＋，且满足x＋4y＝40,则lg x＋lg y的最大值是( ) A．40 B．10 C．4 D．2解析：选D 因为x,y∈R＋，∴错误!≤错误!.∴xy≤错误!＝10。
∴xy≤100.∴lg x＋lg y＝lg xy≤lg 100＝2。
5．若a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，则( ）A．ab＞bc B．ac＞bcC．ab＞ac D．a｜b|＞c｜b｜解析：选C ∵a＋b＋c＝0,a＞b＞c。
∴a＞0，又b>c，∴ab〉ac.6．函数y＝x2＋错误!（x＞0)的最小值是( )A.错误!错误!B.错误!C.错误!D.错误!错误!解析：选A y＝x2＋错误!＝x2＋错误!＋错误!≥3错误!＝3错误!＝错误!错误!，当x2＝错误!，即x＝错误!错误!时,取等号．7．已知x>1，y>1，且lg x＋lg y＝4，则lg x lg y的最大值是( ）A．4 B．2 C．1 D.错误!解析：选A 由x>1,y〉1,故lg x〉0,lg y>0.∴4＝lg x＋lg y≥2错误!。
2017-2018学年高中数学北师大版选修2-1同步配套阶段质
阶段质量检测(二) 空间向量与立体几何 [考试时间：90分钟 试卷总分：120分]第Ⅰ卷 (选择题)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设a ＝(x,4,3)，b ＝(3,2，z )，若a ∥b ，则xz ＝( ) A ．－4 B ．9 C ．－9D.6492.如图所示，已知四面体ABCD ，E ，F ，G ，H 分别为AB ，BC ，CD ，AC 的中点，则12(AB ＋BC ＋CD )＝( )A ．BFB ．EHC ．HGD ．FG3．P 是△ABC 所在平面上一点，若PA ·PB ＝PB ·PC ＝PC ·PA ，则P 是△ABC的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心4．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则平面ABC 的一个单位法向量是( ) A.⎝⎛⎭⎫33，33，－33 B.⎝⎛⎭⎫33，－33，33 C.⎝⎛⎭⎫－33，33，33 D.⎝⎛⎭⎫－33，－33，－33 5．已知空间四个点A (1,1,1)，B (－4,0,2)，C (－3，－1,0)，D (－1,0,4)，则直线AD 与平面ABC 的夹角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°6．已知正四棱锥S －ABCD 的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE ，SD 夹角的余弦值为( )A.13B.23C.33 D.237.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别为AA 1，AB ，BB 1，B 1C 1的中点，则异面直线EF 与GH 的夹角等于( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°8．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 夹角的余弦值为( )A.24B.23 C.33D.329．在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是AA 1的中点，则点A 1到平面MBD 的距离是( )A.66aB.36aC.34a D.63a 10．三棱锥O －ABC 中，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，且OG ＝3GG 1，若OG ＝x OA ＋y OB ＋z OC ，则(x ，y ，z )为( )A.⎝⎛⎭⎫14，14，14B.⎝⎛⎭⎫34，34，34 C.⎝⎛⎭⎫13，13，13 D.⎝⎛⎭⎫23，23，23答 题 栏二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)11．已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，点F 是侧面CDD ′C ′的中心，若AF ＝AD ＋x AB ＋y AA '，则x －y ＝____________.12．已知向量a ＝(－3,2,5)，b ＝(1，x ，－1)，且a·b ＝2，则x 的值为________．13.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E是A1B1的中点，则点E到平面ABC1D1的距离是________．14. 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1的夹角的正弦值为________．三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知a＝(3,5，－4)，b＝(2,1,2)．求：(1)a·b；(2)a与b夹角的余弦值；(3)确定λ，μ的值使得λa＋μb与z轴垂直，且(λa＋μb)·(a＋b)＝77.16．(本小题满分12分)四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是一个平行四边形，AB＝(2，－1，－4)，AD＝(4,2,0)，AP＝(－1,2，－1)．(1)求证：P A⊥底面ABCD；(2)求四棱锥P－ABCD的体积．17．(本小题满分12分)如图所示，直三棱柱ABC－AB1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点．(1)求A1到平面BCN的距离；(2)求证：A1B⊥C1M.18．(本小题满分14分)如图①，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝6，D，E 分别是AC，AB上的点，CD＝BE＝2，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图②所示的四棱锥A′-BCDE，其中A′O＝ 3.(1)证明：A ′O ⊥平面BCDE ；(2)求平面A ′CD 与平面BCD 的夹角的余弦值．答 案1．选B ∵a ∥b ，∴x 3＝42＝3z .∴x ＝6，z ＝32.∴xz ＝9.2．选C ∵12(AB ＋BC ＋CD )＝12(AC ＋CD )＝12AD ，又∵HG ＝12AD ，∴12(AB ＋BC ＋CD )＝HG .3．选D ∵PA ·PB ＝PB ·PC ＝PC ·PA ，∴PB ·(PA －PC )＝0，即PB ·CA ＝0，∴PB ⊥CA .同理PC ·(PB －PA )＝0，∴PC ·AB ＝0，∴PC ⊥AB ，∴P 是△ABC 的垂心．4．选D 设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．则n ·AB ＝0，即(x ，y ，z )·(－1,1,0)＝0，∴－x ＋y ＝0.n ·BC ＝0， 即(x ，y ，z )·(0，－1,1)＝0，∴－y ＋z ＝0，令x ＝1，则y ＝1，z ＝1，∴n ＝(1,1,1)， 与n 平行的单位向量为⎝⎛⎭⎫33，33，33或⎝⎛⎫－33，－33，－33. 5．选A 设n ＝(x ，y,1)是平面ABC 的一个法向量．∵AB ＝(－5，－1,1)，AC＝(－4，－2，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－5x －y ＋1＝0，－4x －2y －1＝0，∴⎩⎨⎧x ＝12，y ＝－32，∴n ＝⎝⎛⎭⎫12，－32，1.又AD ＝(－2，－1,3)，设AD 与平面ABC 所成的角为θ， 则sin θ＝|AD ·n ||AD ||n |＝727＝12，∴θ＝30°.6.选C 建立如图所示的空间直角坐标系．令正四棱锥的棱长为2，则A (1，－1,0)，D (－1，－1,0)，S (0,0，2)，E ⎝⎛⎭⎫12，12，22， AE ＝⎝⎛⎭⎫－12，32，22，SD ＝(－1，－1，－2)，∴cos 〈AE ，SD 〉＝AE ·SD |AE ||SD |＝－33，∴AE ，SD 夹角的余弦值为33. 7．选B 以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(图略)，设正方体棱长为1，则E ⎝⎛⎭⎫1，0，12，F ⎝⎛⎭⎫1，12，0，G ⎝⎛⎭⎫1，1，12，H ⎝⎛⎭⎫12，1，1，∴EF ＝⎝⎛⎭⎫0，12，－12，GH ＝⎝⎛⎭⎫－12，0，12，cos 〈EF ·GH 〉＝－1422×22＝－12.∴EF 与GH 的夹角为60°.8．选C 以A 为坐标原点，以AB ，AD ，AA 1分别为x 轴，y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则C 1(1，1,1)，A 1(0,0,1)，B (1,0,0)，D (0,1,0)．∵1AC ＝(1,1,1)，1BA ＝(－1,0,1)，BD ＝(－1,1,0)，∴1AC ·1BA ＝0，1AC ·BD ＝0，∴1AC 即为平面A 1BD 的法向量． 设BC 1与面A 1BD 夹角为θ，又1BC ＝(0,1,1)， 则sin θ＝|1AC ·1BC ||1AC ||1BC |＝23×2＝63，∴cos θ＝33.9．选A 以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则D (0,0,0)，B (a ，a,0)，M ⎝⎛⎭⎫a ，0，12a ，A 1(a,0，a )．∴DB ＝(a ，a,0)，DM ＝⎝⎛⎭⎫a ，0，12a ，1A M ＝⎝⎛⎭⎫0，0，－12a . 设平面BDM 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋ay ＝0，ax ＋12za ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x ＋12z ＝0.令z ＝2，得x ＝－1，y ＝1.∴n ＝(－1,1,2)， ∴n 0＝⎝⎛⎭⎫－66，66，266.∴A 1到平面BDM 的距离为d ＝|1A M ·n 0|＝⎪⎪⎪⎪－12a ×266＝66a . 10．选A ∵OG ＝341OG ＝34(OA ＋1AG )＝34OA ＋34×23⎣⎡⎦⎤12( AB ＋AC )＝34OA ＋14[(OB －OA )＋ (OC －OA )]＝14OA ＋14OB ＋14OC ，而OG ＝x OA ＋y OB ＋z OC ，∴x ＝14，y ＝14，z ＝14.11．解析：如图，∵AF ＝AD ＋DF ，DF ＝12(DC ＋DD ')＝12(AB ＋AA ')，∴AF ＝AD ＋12AB ＋12AA '，又AF ＝AD ＋x AB ＋y AA '，∴x ＝12，y ＝12，即x －y ＝12－12＝0.答案：012．解析：∵a ＝(－3,2,5)，b ＝(1，x ，－1)，且a·b ＝2，∴－3×1＋2x ＋5×(－1)＝2，∴x ＝5.答案：513.解析：建立如图所示的空间直角坐标系，∵正方体的棱长为1，∴A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，C 1(0,1,1)，D 1(0,0,1)，E ⎝⎛⎭⎫1，12，1. 设平面ABC 1D 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )．∴n ·AB ＝0，且n ·1BC ＝0，即(x ，y ，z )·(0,1,0)＝0，且(x ，y ，z )·(－1,0,1)＝0.∴y ＝0，且－x ＋z ＝0，令x ＝1，则z ＝1，∴n ＝(1,0,1)．∴n 0＝⎝⎛⎭⎫22，0，22，又1EC ＝⎝⎛⎭⎫－1，12，0，∴点E 到平面ABC 1D 1的距离为 |1EC ·n 0|＝⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫－1，12，0·⎝⎛⎭⎫22，0，22＝22.答案：2214．解析：建立如图所示的空间直角坐标系．则A (2,0,0)，C 1(0,2,1)，A 1(2,0,1)，∴1AC ＝(－2,2,1)，1AA ＝(0,0,1)． 由长方体的性质知平面A 1B 1C 1D 1的法向量为1AA ＝(0，0,1)． ∴cos 〈1AC ，1AA 〉＝1AC ·1AA |1AC ||1AA |＝13×1＝13，∴AC 1与平面A 1B 1C 1D 1的夹角的正弦值为13.答案：1315．解：(1)a·b ＝(3,5，－4)·(2,1,2)＝3×2＋5×1＋(－4)×2＝3. (2)∵|a |＝32＋52＋(－4)2＝52， |b |＝22＋12＋22＝3.∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝352×3＝210.(3)取z 轴上的单位向量n ＝(0,0,1)，a ＋b ＝(5,6，－2)． 依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧(λa ＋μb )·n ＝0，(λa ＋μb )·(a ＋b )＝77，即⎩⎪⎨⎪⎧(3λ＋2μ，5λ＋μ，－4λ＋2μ)·(0，0，1)＝0，(3λ＋2μ，5λ＋μ，－4λ＋2μ)·(5，6，－2)＝77， 化简整理，得⎩⎪⎨⎪⎧－4λ＋2μ＝0，53λ＋12μ＝77，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，μ＝2.16．解：(1)证明：∵AP ·AB ＝－2－2＋4＝0， ∴AP ⊥AB .又∵AP ·AD ＝－4＋4＋0＝0，∴AP ⊥AD .∵AB ，AD 是底面ABCD 上的两条相交直线， ∴AP ⊥底面ABCD .(2)设AB 与AD 的夹角为θ，则cos θ＝AB ·AD |AB ||AD |＝8－24＋1＋16×16＋4＝3105.V ＝13|AB |·|AD |·sin θ·|AP |＝23105×1－9105×1＋4＋1＝16. 17．解：如图，建立空间直角坐标系．(1)依题意得B (0,1,0)，N (1,0,1)，A 1(1,0,2)，B 1(0,1,2)，∴1BA ＝(1，－1,2)，1CB ＝(0,1,2)，1BA ·1CB ＝3，|1BA |＝6，|1CB |＝5，∴cos 〈1BA ，1CB 〉＝1BA ·1CB |1BA ||1CB |＝3010.设平面BCN 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，BN ＝(1，－1，1)，CB ＝(0,1,0)，得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋z ＝0，y ＝0，取x ＝1，得n ＝(1,0，－1)．n 0＝⎝⎛⎭⎫22，0，－22，则A 1到平面BCN 的距离为d ＝|1BA ·n 0|＝|22－2|＝22. (2)证明：依题意得C 1(0,0,2)，M ⎝⎛⎭⎫12，12，2，1A B ＝(－1,1，－2)，1C M ＝⎝⎛⎭⎫12，12，0. ∵1A B ·1C M ＝－12＋12＋0＝0，∴1A B ⊥1C M .∴A 1B ⊥C 1M .18．解：(1)证明：在折叠前的图形中，在等腰直角三角形ABC 中，因为BC ＝6，O 为BC 的中点，所以AC ＝AB ＝32，OC ＝OB ＝3.如图，连接OD ，在△OCD 中，由余弦定理可得OD ＝ OC 2＋CD 2－2OC ·CD cos 45°＝ 5.在折叠后的图形中，因为A ′D ＝22，所以A ′O 2＋OD 2＝A ′D 2，所以A ′O ⊥OD . 同理可证A ′O ⊥OE .又OD ∩OE ＝O ，所以A ′O ⊥平面BCDE .(2)以点O 为原点，建立空间直角坐标系O -xyz ，如图所示，则A ′(0,0，3)，C (0，－3,0)，D (1，－2,0)，所以OA '＝(0,0，3)，CA '＝(0,3，3)，DA '＝(－1,2，3)．设n ＝(x ，y ，z )为平面A ′CD 的一个法向量，则⎩⎨⎧n ·CA '＝3y ＋3z ＝0.n ·DA '＝－x ＋2y ＋3z ＝0.令z ＝3，得n ＝(1，－1，3)，|n |＝1＋1＋3＝ 5.由(1)知，OA '＝(0,0，3)为平面CDB 的一个法向量，又|OA '|＝3，OA '·n ＝0×1＋0×(－1)＋3×3＝3，所以cos 〈n ，OA '〉＝n ·OA '|n ||OA '|＝33×5＝155，即平面A ′CD 与平面BCD 的夹角的余弦值为155。
2017-2018学年高中数学阶段质量检测(一)坐标系北师大版选修4-4
阶段质量检测（一）坐标系（时间：90分钟，满分：120分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分•在每小题给出的四个选项中只 有一个是正确的）1.在极坐标中有如下三个结论：①点 P 在曲线C 上，则点P 的极坐标满足曲线 C 的极n ____坐标方程；②tan 0 = 1与0== （ p 》0）表示同一条曲线；③ p = 3与p =— 3表示同一一 4条曲线.在这三个结论中正确的是 （ ）A.l'c n 3 n c. 8, 4, -4A. ①③ B .① C. ②③D.③2. 原点与极点重合，x 轴正半轴与极轴重合，则点 （—5,— 5 3）的极坐标是（A. / 4n \B. 10, V 2n 、C. —10，- 丁(2n ) ° 10, T3. 已知点P 的柱坐标为 i ；'2,亍,1 ,则它的直角坐标为（）A. C. (.2,1,1)B .D. (1,1,1)(1,0,1)4. p = 2cos 0 — 2sin 0表示的曲线是A. 直线 B .C. 射线D. 半圆5.2曲线 p + 2 p (3cos 0 — 2sin 0 ） = 0的对称中心的直角坐标是 （A. (3,2) B . (2,3)C.(-3,2)6. 设点P 的直角坐标为 D. （ — 3, — 2）（4,4,4 2），则它的球坐标为（C. p cos 0 = 4D. p cos 0=—47.在极坐标系中，与圆p = 4sin 0相切的一条直线方程为（）A. p sin 0 = 2B. p cos 0 = 2C. p cos 0 = 4D. p cos 0=— 4则d 的最大值为（A. 5 C. 4则曲线C 与C 2交点的极坐标为13. ______________________________________________________________ 在极坐标系中，点 ?，青 到直线p sin J —青=1的距离是 ___________________________________ .14. 在极坐标系中，曲线C : p （ 2cos 0 + sin 0 ） = 1 与曲线 G ： p= a （a >0）的一个交点在极轴上，则 a= ____________ .三、解答题（本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）15. （本小题满分12分）（广东高考改编）在极坐标系中，曲线 C 和C 2的方程分别为2p sin 0 = cos 0和p sin 0 = 1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴， 建立平面直角坐标系，求曲线C 和C 2的交点的直角坐标.&在极坐标系中, =4cos 0 + 4sin 0的圆心坐标是5n才9.在极坐标系中, 设圆 p = 3上的点到直线 p (cos 0 + 3sin 0 ) = 2 的距离为d ,B . D.10.在极坐标系中，过点 A (6 , n )作圆 p =— 4cos 0的切线，则切线长为（A. 2 B .C. 2 3二、填空题（本大题共4小题，每小题 D..2_15 5分，共20分.把答案填在题中横线上）11.已知曲线C i, C 2的极坐标方程分别为 p cos 0 = 3,p =p >0,0< 0 <2 ，12. 若曲线的极坐标方程为 p = tan 01cosr ，则该曲线的直角坐标方程为7tA.，4B.7tC.，4D.C. p cos 0 = 4D. p cos 0=— 4形的位置关系是什么?16.（本小题满分12分）极坐标方程p =— cos 0 与 p cos1表示的两个图17.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，以原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设椭圆的长轴长为10，中心为（3,0），—个焦点在直角坐标原点.（1）求椭圆的直角坐标方程，并化为极坐标方程；18. （本小题满分14分）如图所示，点P 为直线x + y = 1上的动点， 点，求正方形 OPQ 的顶点R Q 轨迹的极坐标方程，并化成直角坐标方程.答案1•选D 在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，但在极坐标系内，n曲线上一点的所有坐标不一定适合方程，故①是错误的；tan 0 = 1不仅表示B =丁这条射5 n线，还表示0 = 丁这条射线，故②亦不对； p = 3与p =- 3差别仅在于方向不同，但都4 表示一个半径为3的圆，故③正确.2. 选 B 设点（一5,- 5 3）的极坐标为（p , 0 ），则 tan 0 =_—5_3= . 3, x<0,=最小正角 0 = ~3, p = ,— ；.：+— 5 ;3= 10.3. 选B 设点P 的直角坐标为（x , y , z ）. 贝U 有 x = r cos 0 = 2cos 肓=1,y = r sin 0 = 2sin -4 = 1, z = 1.•••点P 的直角坐标为（1,1,1）.⑵ 当椭圆过直角坐标原点的弦长为640时，求弦所在直线的直角坐标方程.24. 选B 两边同乘以 p 得：p = 2 p cos 0 — 2 p sin 0 .2 2 2把 p = x + y , x =p cos 0 , y = p sin 0 代入得：2 2x + y — 2x + 2y = 0,表示圆.5.选C 原方程可化为：x 2+ y 2 + 6x — 4y = 0.22即：(x + 3) + (y — 2) = 13. •••它的对称中心为(一3,2). 6. 选A 设点P 的球坐标为(r , 0 , 0 ), 则 r = 42 + 42+] 2 2= 8, tan 0 =三=4= 1.n又T X >0,「・0 = _・4 ■/ 4 2 = 8cos nT 0< 0 W n ,•• 0 =才.••点 P 的球坐标为|8, 4, "4.7.选B 如图，O C 的极坐标方程为 p = 4sin 0 , CQL Ox OA 为直径，| OA = 4, p sin 0 = 2表示直线 y = 2, p cos 0 = 4表示直线 x = 4, p cos 0 = — 4表示直线 x =— 4,均不 与圆相切，只有B 符合.&选A 将原方程化成直角坐标方程，得 (x — 2)2+ (y — 2)2= 8,圆心坐标为(2,2),化 成极坐标为\2 2, n .9. 选C 极坐标方程p = 3转化成直角坐标方程为x 2+ y 2= 9,所以圆心为(0,0),半径(]),••cos为3, p (cos 0 + 3sin 0 ) = 2转化成直角坐标方程为x+ 3y= 2.则圆心到直线x+〔3y,亠|0 + 0 —2| 2=2 的距离d'= - =；= 1.\1 + 寸32•••圆上的点到直线的最大距离为d'+ 3= 1 + 3 = 4.2 210. 选C 圆p =—4cos 0 化为(x + 2) + y = 4,点(6 , n )化为(一6,0),所以切线长=,42- 22=12 = 2 3.p cos 0 = 3,11 •解析：由cp = 4cos 0 ,2得 4cos 0 = 3.1 ••• 2(1 + cos2 0 ) = 3, cos 2 0 =n又 0W2 0 < n ,• 0 =—.故 p = 2\J 3,答案：2 3，十” 「 1 si n 0 + 212. 解析：由 p = tan 0 • eg 0 =曲 0，得 P cos 0 = sin 0 ,2 2 2• p cos 0 = p sin 0 ,化为直角坐标方程为 x = y .答案：x 2= y13. 解析：点2, -6化为直角坐标为（3, 1）,直线方程可化为-2- p sin 0 —£ p cos 0l— J3X 1+ 2|=1，即x — 3y + 2= 0,由点到直线的距离公式得d = 2：2= 1.1 + s答案：114. 解析：曲线C 的直角坐标方程为 J 2x + y = 1,曲线C 2的直角坐标方程为 x 2 + y 2= a 2, C 与x 轴的交点坐标为 肖,0，，此点也在曲线 Q 上，代入解得a =乎. 答案：-215.解：由 ・2p sin 0 = cos 0 ?2 . 2p sin 0 = p2cos 0 ? y = x ,y 2=x ,x = 1, 又由 p sin 0 = 1? y = 1,联立?y = 1y = 1.故曲线C 和 C 2交点的直角坐标为（1,1）.16.解：p =—cos 0可变为 2p =— p cos0 ,化为普通方程为x + y =— 2x ,即（x +1）2+ y 2 = 1,它表示圆，圆心为（一1,0），半径为1.•曲线C 与C 2的交点的极坐标为将p cos 0 +_n = 1化为普通方程为 x — 3y — 2= 0.| 一 1 一 21 3•••圆心(一1,0)到直线的距离为 ----- =-> 1,V1 + 3 2•••直线与圆相离.17.解：（1）由已知，得 a = 5, c = 3，故 b = a —c = 4, n 22亠=1 1616+ n ），则有 p1= 5— 3cos 0，16p 2= 5 + 3cos 0 .640 16 由于 P 1 + P 2= 640，所以 5—cos所以所求直线的直角坐标方程为y = . 3x 或y =— 3x .18 .解：以Ox 为极轴建立极坐标系，则直线x + y = 1的极坐标方程为 p (cos0 ) = 1.设点 R p 0, 0 0) , Q p 1, 0 1) , R ( p 2, 0 2),'p 1= . 2p 0,由题意n0 1= 0 0± —.所以椭圆的直角坐标方程为 x — 25由于 x = p cos 0 , y = p sinp cos 0 —22+0，代入上式，得25p sin 216 匚=1, 即 25 p 2 = （16 + 3 p cos0 ）2 ,即 卩 5 所以椭圆的极坐标方程为 = 16p= 5— 3cos (2)设过直角坐标原点的弦的倾斜角为0，弦的两端点分别为 P ( p 1,0 ) , P 2( p 2,640 0+ 5 + 3cos 0 = 640，则 161 25— 9cos2 0 4 2 1=91?cos 0 = 4? cos 1=± 2? 0 =n ■或2n=〒0 + sin110P 2=P 0,e 2=e o 土手由①得P o (cos e o + sin e o ) = 1,•••点Q 的轨迹方程为 1|cos化简得点R 的轨迹方程为P 2(sin e 2— cos e 2) = 1 或 p 2(cos e2—sin e 2) = 1.化为直角坐标方程为： x — y + 1 = o 或x — y — 1 = o.e o =7t化简得P 1sin e 1 = 1或 P 1cos e 1= 1.化为直角坐标方程为 y = 1或x = 1.P o =由②得| e o=P 2,n e 2?~2,代入 p o (cos e o + sin e o ) = 1 得2cos e 2?nn + sine 1?-4 +sin。
2017-2018学年高中数学阶段质量检测(一)直线、多边形、圆北师大版选修4-1
A. 2B. 4阶段质量检测（一）直线、多边形、圆（时间：90分钟，满分：120分）、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分•在每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的）在四边形 ABCD 中, AB// CD AC BD 相交于 0点，BO= 7, DO= 3, AC= 25，贝U AO 的长为（如图，四边形 ABCD 内接于O Q 则/ BO T （）已知D 是厶ABC 中 AB 边上一点，DE// BC 且交AC 于 E, EF// AB 且交BC 于 F ,且 &ADE T 1, S A EFC T 4,则四边形 BFED 勺面积等于（ ）1.如图，已知△ ABB A ADE 且/ ADE=Z B ,则下列比例式中正 确的是（ ） A. AE AD BE TDC AE AD B A E TA CC.AD DE 荷BCAE DE D T D ACBC2.如图，四边形ABCD^接于O 0,如果它的一个外角/ DC T 64°，那么/ BO T ()A. 128°D. 32° C. 64°3. A. 10 B .12.5 C. 15D .17.5 4.A. 140° C. 130° 5.D. 150°点 o / AO G 30°，连接 AC BD 若 AB= 4,A. 2 C. 310. 如图，点A 是半圆上一个三等分点，点 B 是弧AN 的中点，点P 是直径MNh —动点，O O 的半径为1，则AP+ BP 的最小值为（）A. 1 C. 3 — 1D. 2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分•把答案填在题中横线上 ） 11. 如图，点D 在O O 的弦AB 上移动，AB= 4，连接OD 过点D 作OD 的垂 线交O O 于点C,则CD 的最大值为 ________ .C . 5D. 96/ 如图， 已知 P 在O O 外, PM 切 O O 于 C, PAB 交 O O 于 A,B,则( A . ZMC Bz匚ABCB. z PAC =z /一 PC. z PCA =z (ABCD.z PAC =z(BCA7. 如 图, PAB PCD 为O O 的两条割线，若PA = 5, AB= 7, CD=11 贝U AC ： BD=()A . 1 :3 B. 5 :12C . 5 :7D. 5 :11 & 如 图, 以 OB 为直径的半圆与半圆 O 交于点P.丿A Q C,B 在同AB 的长等于（A. 3B. 5C. 8D. 79 .如图，两个等圆O A O B 分别与直线l 相切于点C, D,连接 AB 与直线I 相交于B . 一条直线上，作ADL AB 与BP 的延长线交于点 D,若半圆O 的半径为2, / D的余弦值是方程 3x 2— 10x + 3 = 0的根，则则圆的半径为（B12. （重庆高考）过圆外一点P作圆的切线PAA为切点），再作割线PBC分求证：△ CEF ^A CBA别交圆于 B, C 若 PA= 6, AG= 8, BC= 9,贝U AB= _______ .13.（广东高考）如图，在矩形 ABCD 中, AB=g BC= 3, BE L AC 垂足为 E ,贝U EA14.（重庆高考）如图，在厶 ABC 中, / C - 90°, / A = 60°, AB= 20, 过5乍厶ABC 的外接圆的切线 CD BDL CD BD 与外接圆交于点 E,贝U DE 的长为 _________ .三、解答题（本大题共4小题，共50分•解答应写出必要的文字说 明、证明过程或演算步骤）15.（本小题满分12分）如图,。
2017-2018学年高中数学北师大版选修2-2同步配套阶段质
阶段质量检测(一) 推理与证明 [考试时间：90分钟 试卷总分：120分]第Ⅰ卷 (选择题)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．数列3,5,9,17,33，…的通项a n ＝( ) A ．2n B ．2n ＋1 C ．2n －1D ．2n ＋12．用反证法证明命题“若关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，a ，b ，c ∈Z )有有理根，那么a ，b ，c 中至少有一个是奇数”时，下列假设正确的是( )A ．假设a ，b ，c 都是奇数B ．假设a ，b ，c 都不是奇数C ．假设a ，b ，c 至多有一个奇数D ．假设a ，b ，c 至多有两个奇数3．因为奇函数的图像关于原点对称(大前提)，而函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ＋1)， x >0，0， x ＝0，x (x －1)， x <0是奇函数(小前提)，所以f (x )的图像关于原点对称(结论)．上面的推理有错误，其错误的原因是( )A ．大前提错导致结论错B ．小前提错导致结论错C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提都错导致结论错4．某同学在电脑上打出如下若干个“★”和“”：★★★★★★……依此规律继续打下去，那么在前2 014个图形中的“★”的个数是( )A ．60B ．61C ．62D.635．对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出：正四面体的内切球切于四面各正三角形的位置是( )A ．各正三角形内的任一点B ．各正三角形的中心C ．各正三角形边上的任一点D ．各正三角形的某中线的中点6．已知函数f (x )＝5x ，则f (2 014)的末四位数字为( )A ．3 125B ．5 625C ．0 625D ．8 1257．用数学归纳法证明不等式“1＋12＋13＋…＋12n ≤12＋n (n ∈N ＋)”时，第一步应验证( )A ．1＋12≤12＋1B ．1≤12＋1C ．1＋12＋13＋14≤12＋2D ．1＜12＋18．用数学归纳法证明等式：(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)，从k 到k ＋1，左边需要增乘的代数式为( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1 D.2k ＋3k ＋19．对于函数f (x )，g (x )和区间D ，如果存在x 0∈D ，使|f (x 0)－g (x 0)|≤1，则称x 0是函数f (x )与g (x )在区间D 上的“友好点”．现给出下列四对函数：①f (x )＝x 2，g (x )＝2x －3； ②f (x )＝x ，g (x )＝x ＋2； ③f (x )＝e －x ，g (x )＝－1x ； ④f (x )＝ln x ，g (x )＝x －12.其中在区间(0，＋∞)上存在“友好点”的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④ 10．已知f (x )＝x 3＋x ，a ，b ∈R ，且a ＋b >0，则f (a )＋f (b )的值一定( ) A ．大于零 B ．等于零 C ．小于零 D ．正负都有可能答 题 栏二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)11．设f (n )＝1＋12＋13＋…＋12n －1(n ∈N ＋)，那么f (n ＋1)－f (n )＝________.12．已知点A (x 1，3x 1)，B (x 2，3x 2)是函数y ＝3x 的图像上任意不同两点，依据图像可知，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图像的上方，因此有结论3x 1＋3x 22>3x 1＋x 22成立．运用类比思想方法可知，若点A (x 1，tan x 1)，B (x 2，tan x 2)是函数y ＝tan x ⎝⎛⎭⎫－π2<x <0的图像上任意不同两点，则类似地有____________________成立．13．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，….根据上述规律，第五个等式为________________________．14．(福建高考)已知集合{a ，b ，c }＝{0,1,2}，且下列三个关系：①a ≠2；②b ＝2；③c ≠0 有且只有一个正确，则100a ＋10b ＋c 等于________．三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)若a 1>0，a 1≠1，a n ＋1＝2a n 1＋a n (n ＝1,2，…)．(1)求证：a n ＋1≠a n ；(2)令a 1＝12，写出a 2，a 3，a 4，a 5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式a n .16.(本小题满分12分)已知△ABC 的三边a ，b ，c 的倒数成等差数列，试分别用综合法和分析法证明B 为锐角．17．(本小题满分12分)已知a ，b ，c ∈(0,1)． 求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于14.18．(本小题满分14分)是否存在二次函数f (x )，使得对于任意n ∈N ＋，都有12＋22＋32＋…＋n 2n＝f (n )成立，若存在，求出f (x )；若不存在，说明理由．答 案1．选B2．选B 命题“a ，b ，c 中至少有一个是奇数”的否定是“a ，b ，c 都不是奇数”，故选B.3．选B 因为f (1)＝f (－1)＝2，所以f (－1)≠－f (1)，所以f (x )不是奇函数，故推理错误的原因是小前提错导致结论错．4．选C 第一次出现“★”在第一个位置，第二次出现“★”在第(1＋2)个位置， 第三次出现“★”在第(1＋2＋3)个位置，…，第n 次出现“★”在第(1＋2＋3＋…＋n )个位置．∵1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，当n ＝62时，n (n ＋1)2＝62×(62＋1)2＝1 953,2 014－1 953＝61<63，∴在前2 014个图形中的“★”的个数是62.5．选B 正三角形类比正四面体，正三角形的三边类比正四面体的四个面，三边的中点类比正三角形的中心．6．选B 因为f (5)＝55＝3 125的末四位数字为3 125，f (6)＝56＝15 625的末四位数字为5 625，f (7)＝57＝78 125的末四位数字为8 125，f (8)＝58＝390 625的末四位数字为0 625，f (9)＝59＝1 953 125的末四位数字为3 125，故周期T ＝4.又由于2 014＝503×4＋2，因此f (2 014)的末四位数字与f (6)的末四位数字相同，即f (2 014)的末四位数字是5 625.7．选A 当n ＝1时不等式左边为1＋12，右边为12＋1，即需要验证：1＋12≤12＋1.8．选B 当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )(k ＋k ＋1)(k ＋k ＋2)， 所以，增乘的式子为 (2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1＝2(2k ＋1)．9．选C 对于①，|f (x )－g (x )|＝|x 2－(2x －3)|＝|(x －1)2＋2|≥2，所以函数f (x )与g (x )在区间(0，＋∞)上不存在“友好点”，故①错，应排除A ，D ；对于②，|f (x )－g (x )|＝|x －(x ＋2)|＝⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫x －122＋74≥74，所以函数f (x )与g (x )在区间(0，＋∞)上也不存在“友好点”，故②错，排除B ；同理，可知③④均正确．10．选A ∵f (x )＝x 3＋x ，∴f (x )是增函数且是奇函数． ∵a ＋b >0，∴a >－b ， ∴f (a )>f (－b )，∴f (a )＋f (b )>0.11．解析：∵f (n ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12n －1＋12n ＋12n ＋1，∴f (n ＋1)－f (n )＝12n ＋12n ＋1.答案：12n ＋12n ＋112．解析：因为y ＝tan x ⎝⎛⎭⎫－π2<x <0图像是上凸的，因此线段AB 的中点的纵坐标tan x 1＋tan x 22总是小于函数y ＝tan x ⎝⎛⎭⎫－π2<x <0图像上的点⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，tan x 1＋x 22的纵坐标，即有tan x 1＋tan x 22<tan x 1＋x 22成立．答案：tan x 1＋tan x 22<tan x 1＋x 2213．解析：由所给等式可得：等式两边的幂式指数规律明显，底数关系如下： 1＋2＝3,1＋2＋3＝6,1＋2＋3＋4＝10，即左边底数的和等于右边的底数．故第五个等式为： 13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212. 答案：13＋23＋33＋43＋53＋63＝21214．解析：可分下列三种情形：(1)若只有①正确，则a ≠2，b ≠2，c ＝0，所以a ＝b ＝1与集合元素的互异性相矛盾，所以只有①正确是不可能的；(2)若只有②正确，则b ＝2，a ＝2，c ＝0，这与集合元素的互异性相矛盾，所以只有②正确是不可能的；(3)若只有③正确，则c ≠0，a ＝2，b ≠2，所以b ＝0，c ＝1，所以100a ＋10b ＋c ＝100×2＋10×0＋1＝201.答案：20115．解：(1)证明：采用反证法．假设a n ＋1＝a n ， 即2a n1＋a n ＝a n，解得a n ＝0或a n ＝1， 从而a 1＝0或a 1＝1，与题设a 1>0，a 1≠1相矛盾， 故a n ＋1≠a n 成立．(2)a 1＝12，a 2＝23，a 3＝45，a 4＝89，a 5＝1617，猜想：a n ＝2n－12n －1＋1.16．证明：法一(分析法)：要证明B 为锐角，因为B 为三角形的内角，则只需证cos B >0. 又∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，∴只需证明a 2＋c 2－b 2>0.∴即证a 2＋c 2>b 2.∵a 2＋c 2≥2ac ，∴只需证明2ac >b 2. 由已知2b ＝1a ＋1c，即2ac ＝b (a ＋c )，∴只需证明b (a ＋c )>b 2，即证a ＋c >b 成立，在△ABC 中，最后一个不等式显然成立．∴B 为锐角．法二(综合法)：由题意得：2b ＝1a ＋1c ＝a ＋c ac ，则b ＝2aca ＋c ，b (a ＋c )＝2ac >b 2(∵a ＋c >b )．∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ≥2ac －b 22ac >0，又y ＝cos x 在(0，π)上单调递减，∴0<B <π2，即B 为锐角．17．证明：假设(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 都大于14.因为0<a <1,0<b <1,0<c <1，所以1－a >0.由基本不等式，得(1－a )＋b2≥(1－a )b >14＝12. 同理，(1－b )＋c 2>12，(1－c )＋a 2>12.将这三个不等式两边分别相加，得(1－a )＋b 2＋(1－b )＋c 2＋(1－c )＋a 2>12＋12＋12， 即32>32，这是不成立的，故(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于14. 18．解：假设存在二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，使得对于∀n ∈N ＋，都有12＋22＋32＋…＋n 2n＝f (n )成立．当n ＝1时，a ＋b ＋c ＝1， ① 当n ＝2时，4a ＋2b ＋c ＝12＋222， ②当n ＝3时，9a ＋3b ＋c ＝12＋22＋323， ③联立①②③式得a ＝13，b ＝12，c ＝16，则由以上可假设存在二次函数f (x )＝13x 2＋12x ＋16，使得对于∀n ∈N ＋，都有12＋22＋32＋…＋n 2n＝f (n )成立．下面用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，121＝1，f (1)＝13＋12＋16＝1，所以121＝f (1)成立；(2)假设当n ＝k 时，12＋22＋32＋…＋k 2k ＝f (k )成立，那么，当n ＝k ＋1时，12＋22＋32＋…＋(k ＋1)2k ＋1＝12＋22＋32＋…＋k 2k ·k k ＋1＋(k ＋1)＝f (k )·kk ＋1＋(k ＋1)＝⎝⎛⎭⎫13k 2＋12k ＋16·k k ＋1＋(k ＋1) ＝(k ＋1)(2k ＋1)6·kk ＋1＋(k ＋1)＝k (2k ＋1)6＋(k ＋1) ＝k 23＋76k ＋1 ＝13(k ＋1)2＋12(k ＋1)＋16 ＝f (k ＋1)，故当n ＝k ＋1时，12＋22＋32＋…＋(k ＋1)2k ＋1＝f (k ＋1)也成立．由(1)(2)知，对于∀n ∈N ＋，12＋22＋32＋…＋n 2n＝f (n )都成立．即存在二次函数f (x )＝13x 2＋12x ＋16，使得对于∀n ∈N ＋，都有12＋22＋32＋…＋n 2n ＝f (n )成立．。
2017_2018学年高中数学阶段质量检测四导数应用北师大版选修1_1201806061104
阶段质量检测(四)导数应用[考试时间：90分钟试卷总分：120分]三题号一二总分15 16 17 18得分第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f(x)＝2x－cos x在(－∞，＋∞)上()A．无最值B．有极值C．有最大值D．有最小值2．函数f(x)＝2x2－ln x的递增区间是()1A.(0，2 )B.(0，2 4)1 1 1C.(，＋∞)D.(－，0)和(0，2 )2 23．已知对任意实数x，有f(－x)＝f(x)，且x＞0时，f′(x)＞0，则x＜0时() A．f′(x)＞0 B．f′(x)＜0C．f′(x)＝0 D．无法确定4．设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a＞0)，则f(x)在R上为增加的充要条件是() A．b2－4ac＞0 B．b＞0，c＞0C．b＝0，c＞0 D．b2－3ac≤05．若函数f(x)在(0，＋∞)上可导，且满足f(x)＞－xf′(x)，则一定有()f xA．函数F(x)＝在(0，＋∞)上为增加的xf xB．函数F(x)＝在(0，＋∞)上为减少的xC．函数G(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上为增加的D．函数G(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上为减少的6．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值与最小值分别是()A．5，－15 B．5,4C．－4，－15 D．5，－167．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3处取得极值，则a＝()A．2 B．31C．4 D．58．把长为12 cm的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是()3 3A. cm2 B．4 cm22C．3 2 cm2 D．2 3 cm29．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1为函数f(x)e x的一个极值点，则下列图像不可能为y＝f(x)的图像的是()10．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170p－p2，则最大毛利润(毛利润＝销售收入－进货支出)为()A．30元B．60元C．28 000元D．23 000元答题栏题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)211．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－3 )x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是________________________________________________________________________．112．若函数f(x)＝ax2＋2x－ln x(a≠0)在区间[1,2]上是增加的，则实数a的最小值为2________．213．某厂生产产品x件的总成本c(x)＝1 200＋x3(万元)，已知产品单价P(万元)与产品75500件数x满足：P＝，则产量定为________件时，总利润最大．xa14．已知函数f(x)＝2ln x＋(a＞0)．若当x∈(0，＋∞)时，f(x)≥2恒成立，则实数ax2的取值范围是________________________．2三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.(1)若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x2＝1，求实数a的值；(2)是否存在实数a，使得f(x)是(－∞，＋∞)上的单调函数？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．16．(本小题满分12分)已知f(x)＝ax3＋bx2－2x＋c在x＝－2时有极大值6，在x＝1时有极小值，求a，b，c的值；并求f(x)在区间[－3,3]上的最大值和最小值．317．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3x＋1.(1)当a＝－2时，讨论f(x)的单调性；(2)若x∈[2，＋∞)时，f(x)≥0，求a的取值范围．118．已知函数f(x)＝x2－a ln x，a∈R.2(1)若a＝2，求这个函数的图像在点(1，f(1))处的切线方程；(2)求f(x)在区间[1，e]上的最小值．4答案1．选A∵f(x)＝2x－cos x，∴f′(x)＝2＋sin x＞0恒成立．故f(x)＝2x－cos x在(－∞，＋∞)上是增加的，既没有最大值也没有最小值．1 4x2－1 12．选C f′(x)＝4x－＝(x>0)，令f′(x)>0，得x> .x x 21(，＋∞).∴f(x)的单调递增区间为23．选B因为f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．又x＞0时，f′(x)＞0，故f(x)在x＞0时为增加的，由偶函数在对称区间上单调性相反，可知当x＜0时，f(x)为减少的．4．选D要使f(x)在R上为增加的，则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c≥0在R上恒成立(但f′(x)不恒等于零)，故只需Δ＝4b2－12ac≤0，即b2－3ac≤0.5．选C设y＝xf(x)，则y′＝xf′(x)＋f(x)＞0，故y＝xf(x)在(0，＋∞)上为增加的．6．选A y′＝6x2－6x－12，令y′＝0，得x＝－1,2，又f(2)＝－15，f(0)＝5，f(3)＝－4，∴最大值、最小值分别是5，－15.7．选D∵f′(x)＝3x2＋2ax＋3，又f(x)在x＝－3处取得极值，∴f′(－3)＝30－6a＝0.得a＝5.8．选D设一个三角形的边长为x cm，则另一个三角形的边长为(4－x) cm，两个三角形3 3 3的面积和为S＝x2＋(4－x)2＝x2－2 3x＋4 3(0<x<4)．4 4 2令S′＝3x－2 3＝0，则x＝2，且x<2时，S′<0,2<x<4时，S′>0.所以x＝2时，S取最小值2 3.9．选D∵[f(x)e x]′＝f′(x)e x＋f(x)(e x)′＝[f′(x)＋f(x)]e x，又x＝－1为函数f(x)e x的一个极值点，∴f′(－1)＋f(－1)＝0，而选项D中f′(－1)>0，f(－1)>0，故D中图像不可能为y＝f(x)的图像．5。
2017-2018学年高中数学 阶段质量检测(四)定积分 北师大版选修2-2
阶段质量检测(四) 定积分[考试时间：90分钟 试卷总分：120分]第Ⅰ卷 (选择题)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知∫b a f (x )d x ＝m ，则∫ba nf (x )d x ＝( )A ．m ＋nB ．m －nC ．mnD ．m n2.∫10(e x＋2x )d x 等于( ) A ．1 B ．e －1 C ．eD ．e ＋13．若∫k0(2x －3x 2)d x ＝0，则k 等于( ) A ．0 B ．1 C ．0或1D ．不确定4．(江西高考)若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A ．－1B ．－13C.13D ．15．已知f (x )为偶函数且⎠⎛06f (x )d x ＝8，则⎠⎛6－6f (x )d x ＝( ) A ．0 B ．4 C ．8 D ．166.从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为( )A.12B.13C.14D.157．由y ＝－x 2与直线y ＝2x －3围成的图形的面积是( ) A.53 B.323C.643D ．98．由曲线y ＝x ，x ＝4和x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转生成的旋转体的体积为( )A ．16πB ．32πC ．8πD ．4π9．已知自由落体运动的速率v ＝gt ，则落体运动从t ＝0到t ＝t 0所走的路程为( ) A ．gt 20B.gt 203 C.gt 202D.gt 20610.如图，两曲线y ＝3－x 2与y ＝x 2－2x －1所围成的图形面积是( )A ．6B ．9C ．12D ．3答 题 栏二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)11. ⎠⎜⎛0π3 cos x d x ＝________.12．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若∫10f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________． 13．有一横截面面积为4 cm 2的水管控制往外流水，打开水管后t s 末的流速为v (t )＝6t －t 2(单位：cm/s)(0≤t ≤6)．则t ＝0到t ＝6这段时间内流出的水量为________cm 3.14．已知函数y ＝f (x )的图像是折线段ABC ，其中A (0,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5，C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图像与x 轴围成的图形的面积为________．三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)求由曲线y ＝x 2＋2与直线y ＝3x ，x ＝0，x ＝2所围成的平面图形的面积．16.(本小题满分12分)如图，求由曲线y ＝－x 2,4y ＝－x 2及直线y ＝－1所围图形的面积．17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x－1，直线l 1：x ＝1，l 2：y ＝e t－1(t 为常数，且0≤t ≤1)，直线l 1，l 2与函数f (x )的图像围成的封闭图形，以及直线l 2，y 轴与函数f (x )的图像围成的封闭图形如图中阴影部分所示．求当t 变化时，阴影部分的面积的最小值．18．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝13x 3＋12ax 2＋bx ，f ′(x )是函数f (x )的导数．在区间[－1,1]内任取实数a ，b ，求方程f ′(x )＝0有实数根的概率．答 案1．选C 根据定积分的性质，∫b a nf (x )d x ＝n ∫ba f (x )d x ＝mn .2．选C ∫10(e x ＋2x )d x ＝(e x ＋x 2)⎪⎪⎪ 1＝(e 1＋1)－e 0＝e ，故选C.3．选B ∫k0(2x －3x 2)d x ＝(x 2－x 3)⎪⎪⎪k＝k 2－k 3＝0，∴k ＝0(舍去)或k ＝1，故选B. 4．选B ∵f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，∴⎠⎛01f (x )d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫13x 3＋2x ⎠⎛01f x x 10＝13＋2⎠⎛01f (x )d x . ∴⎠⎛01f (x )d x ＝－13. 5．选D ∵f (x )为偶函数，∴其图像关于y 轴对称，∴⎠⎛－66f (x )d x ＝2⎠⎛06f (x )d x ＝16.6．选B 根据题意得S 阴影＝∫103x 2d x ＝x 3⎪⎪⎪1＝1，则点M 取自阴影部分的概率为S 阴影S 长方形＝13×1＝13.7．选B 解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，y ＝2x －3，得交点A (－3，－9)，B (1，－1)．则y ＝－x 2与直线y ＝2x －3围成的图形的面积S ＝∫1－3(－x 2)d x －∫1－3(2x －3)d x＝－13x 3| 1－3－(x 2－3x ) |1－3＝323.8．选C 由图知旋转体的体积为π∫40(x )2d x ＝π2x2 |40＝8π.9．选C s ＝⎠⎛0 t 0v (t )d t ＝12gt 2⎪⎪⎪t 00＝12gt 20. 10．选B 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3－x 2，y ＝x 2－2x －1，解得交点(－1,2)，(2，－1)，所以S ＝∫2－1[(3－x 2)－(x 2－2x －1)]d x＝∫2－1(－2x 2＋2x ＋4)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23x 3＋x 2＋4x ⎪⎪⎪2－1＝9.11．解析：⎠⎜⎛0π3cos x d x ＝sin x ＝32.答案：3212．解析：∫10f (x )d x ＝∫10(ax 2＋c )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋cx |10＝a 3＋c ＝ax 20＋c ，则x 0＝33. 答案：3313．解析：由题意可得t ＝0到t ＝6这段时间内流出的水量V ＝∫604(6t －t 2)d t ＝4∫60(6t－t 2)d t ＝4⎝⎛⎭⎪⎫3t 2－13t 3⎪⎪⎪60＝144(cm 3)．答案：14414．解析：由题意可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x ，0≤x ≤12，10－10x ，12<x ≤1，所以y ＝xf (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x 2，0≤x ≤12，10x －10x 2，12<x ≤1.与x 轴围成的图形的面积为⎠⎜⎛012∫12010x 2d x ＋⎠⎜⎛121 (10x －10x 2)d x ＝103x 3⎪⎪⎪⎪120＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5x 2－103x 3⎪⎪⎪⎪112＝54. 答案：5415．解：S ＝⎠⎛01(x 2＋2－3x )d x ＋⎠⎛12(3x －x 2－2)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－32x 2＋2x |10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋32x 2－2x |21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－32＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×8＋32×4－4－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋32－2＝56－23＋56＝53－23＝1. 16．解：由图形的对称性知，所求图形面积为位于y 轴右侧图形面积的2倍．法一：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，y ＝－1，得C (1，－1)．同理得D (2，－1)．则所求图形的面积S ＝2⎩⎨⎧⎭⎬⎫∫10⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x24－－x2d x ＋∫21⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x 24－－d x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫∫103x 24d x －∫21x 24d x ＋∫21d x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 34⎪⎪⎪ 1－x 312⎪⎪⎪21＋x ⎪⎪⎪21＝43. 法二：同法一得C (1，－1)，D (2，－1)．则所求图形的面积为S ＝2∫0－1(2－y －－y )d y ＝2∫0－1－y d y＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23×(－y－1＝43. 17．解：依题意知，阴影部分的面积S ＝∫t 0(e t －1－e x ＋1)d x ＋∫1t (e x －1－e t＋1)d x ＝∫t 0(e t －e x )d x ＋∫1t (e x －e t)d x ＝(x e t －e x )⎪⎪⎪t＋(e x －x e t )⎪⎪⎪1t＝(2t －3)e t ＋e ＋1，令g (t )＝(2t －3)e t＋e ＋1(0≤t ≤1)，则g ′(t )＝(2t －1)e t， 取g ′(t )＝0，解得t ＝12.当t ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12时，g ′(t )<0，g (t )是减函数； 当t ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1时，g ′(t )>0，g (t )是增函数．因此g (t )的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e ＋1－(e －1)2，故阴影部分的面积的最小值为(e －1)2. 18.解：f ′(x )＝x 2＋ax ＋b .若方程f ′(x )＝0，即x 2＋ax ＋b ＝0有实数根，则Δ≥0，即a 2≥4b ，因此方程f ′(x )＝0有实数根的条件是⎩⎪⎨⎪⎧－1≤a ≤1，－1≤b ≤1，a 2≥4b ，满足此不等式组的点P (a ，b )形成的图形为图中阴影部分，其面积为S 1＝∫1－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤a24－－d a ＝∫1－1⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24＋1d a ＝a 312|1－1＋2＝136.而坐标满足条件－1≤a ≤1，－1≤b ≤1的点形成的图形的面积S ＝4，根据几何概型的概率公式可知，方程f ′(x )＝0有实数根的概率为P ＝S 1S ＝1324.。
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1
阶段质量检测(二) 圆锥曲线
(时间：90分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，
只有一个是正确的)
1．一组平行平面与一圆锥面的交线，具有( )
A．相同的焦距 B．相同的准线
C．相同的焦点 D．相同的离心率
2．如图，三棱锥S－ABC中，E，F，G，H分别是SA，SB，BC，AC的中
点，且AB⊥SC，则四边形EFGH是( )
A．平行四边形 B．矩形
C．正方形 D．菱形
3．下列叙述中，不是圆锥曲线的是( )
A．平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹
B．平面上到两个定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹
C．平面上到定点和定直线的距离相等的点的轨迹
D．到角的两边距离相等的点的轨迹
4．方程x2－3x＋2＝0的两根可作为( )
A．两个椭圆的离心率
B．一双曲线、一条抛物线的离心率
C．两双曲线的离心率
D．一个椭圆、一条抛物线的离心率
5．已知平面β与一圆柱斜截口(椭圆)的离心率为22，则平面β与圆柱母线的夹角是
( )
A．30° B．60°
C．45° D．90°
6．棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E，F分别是棱AA1，
DD1的中点，则直线EF被球O
截得的线段长为( )
A．22 B．1
C．1＋22 D．2
2
7．双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，那么它的离心率为( )
A．43 B．53
C．2 D．3
8．一平面与圆柱母线的夹角为45°，则该平面与圆柱面交线是( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
9．已知椭圆x225＋y216＝1上一点P到一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为
( )
A．2 B．3
C．5 D．7
10．已知椭圆x24＋y23＝1内一点P(1，－1)，F是右焦点，在椭圆上有一点M，使|MP|＋
2|MF|的值最小，则点M的坐标( )
A．－1，263 B．263，－1
C．263，1 D．1，263
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
11．设圆锥的顶角(圆锥轴截面上两母线的夹角)为120°.当圆锥的截面与轴成60°时，
截得的二次曲线是________．
12．水平地面上有一篮球，在斜平行光线的照射下，其阴影为一椭
圆(如图)，在平面直角坐标系中，O为原点，设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝
1(a>0，b>0)，篮球与地面的接触点为H，则|OH|＝________.
13．将两个半径为2 cm的球嵌入底面半径为2 cm的圆柱中，使两球的距离为6 cm；
用一个平面分别与两个球相切，所成的截线为一个椭圆，则该椭圆的长轴长为________cm，
短轴长为________cm，焦距为________cm，离心率为________cm.
14．有半径为13的球面上有A，B，C三点，AB＝6，BC＝8，CA＝10，则
(1)球心到平面ABC的距离为________；
(2)过A，B两点的大圆面与平面ABC所成二面角(锐角)的正切值为________．
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算
3
步骤)
15．(本小题满分12分)设圆锥的顶角(圆锥轴截面上两条母线的夹角)为120°，当圆
锥的截面与轴成45°角时，求截得二次曲线的形状及离心率．
16．(本小题满分12分)P是椭圆上的任意一点，设∠F1PF2＝θ，∠
PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，椭圆离心率为e
.
求证：e＝sin θsin α＋sin β，并写出在双曲线中类似的结论．
4
17．(本小题满分13分)如图所示，用一个平面分别与球O1，O2切于F1，
F2，截圆柱轴截面于G1，G
2
点，求证：所得截面为椭圆．
18.(本小题满分13分)一个顶角为60°的圆锥面被一个平面γ所截，如图所示的“焦
球”均在顶点S的下方，且一个半径为1，另一个半径为5，则截线的形状是什么曲线？其
离心率是多少？
5
答 案
1．选D 因为平行平面与圆锥轴线夹角相等．由离心率定义e＝cosβcosα，故e相同．
2．选B ∵EF∥AB、HG∥AB，
∴EF∥HG，同理EH∥FG.
∴四边形EFGH为平行四边形．
又AB⊥SC，∴EF⊥FG，∴四边形EFGH为矩形．
3．选D D是角平分线，故不是圆锥曲线，A，B，C分别描述的是椭圆、双曲线、抛物
线．
4．选B 方程x2－3x＋2＝0，两根x1＝1，x2＝2.
故表示双曲线与抛物线的离心率．
5．选C 设平面β与圆柱曲线的夹角是φ
∴cosφ＝22，∴φ＝45°.
6．选D 设球半径为R，
则2R＝12＋12＋12，
∴R＝32.
又直线EF与球O的球心距离为12，
∴直线EF被球O截得的线段长MN＝2 R2－122＝2 322－122＝2.
7．选B 由4b＝2a＋2c，
∴2b＝a＋c，∴4b2＝a2＋2ac＋c2，
6
∴4c2－4a2＝a2＋2ac＋c2，
∴5a2＋2ac－3c2＝0，
∴ca＝53.
8．选B 由定义知为椭圆．
9．选D 因P在椭圆x225＋y216＝1上，
设左、右焦点分别为F1，F2，
则PF1＋PF2＝10，
∴P到另一个焦点的距离为10－3＝7.
10．选B 设M(x，y)，由M引右准线的垂线，垂足M1，由第二定义知|MM1|＝2|MF|，
∴|MP|＋2|MF|＝|MP|＋|MM1|.显然，当P，M，M1三点共线时有最小值，过P引准线的
垂线y＝－1.
由 3x2＋4y2＝12，y＝－1，
解得M点坐标为263，－1.
11．解析：由题知α＝60°，β＝60°，满足β＝α.
∴截得的是抛物线．
答案：抛物线
12．解析：接触点H是椭圆的一个焦点，证明如下：椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a>0，b>0)，
设焦距为2c.
球的半径为R，则b＝R，
则AA′∥BB′∥OO′.
∠AO′B＝180°－∠O′AB－∠O′BA
＝180°－12(∠A′AB＋∠B′BA)＝180°－12×180°＝90°，
在Rt△AO′B中，OA＝OB＝OO′＝a，
又由O′H＝R＝b，O′H⊥AB，
得OH＝O′O2－O′H2＝a2－b2.
答案：a2－b2
7
13．解析：由圆锥曲线的定义知
长轴长为6 cm，短轴长为4 cm，焦距25 cm
∴e＝ca＝53.
答案：6 4 25 53
14.解析：∵AB2＋BC2＝CA2，
∴∠ABC＝π2，
∴△ABC外接圆圆心为AC中点，且半径为5.
(1)如图，BO1＝5且OO1⊥面ABC，
又OB＝13，
∴OO1＝132－52＝12.
(2)作O1D⊥AB于D，则O1D綊12BC，
∴O1D＝4，连接OD，则OD⊥AB，
∴∠ODO1为所求二面角．
∴tan∠ODO1＝OO1O1D＝124＝3.
答案：(1)12 (2)3
15．解：由题意知α＝60°，β＝45°，满足β<α，这时截面截圆锥得的交线是双曲
线，其离心率为e＝cos 45°cos 60°＝2.
16．证明：在△PF1F2中，
由正弦定理得PF1sin β＝PF2sin α＝F1F2sin θ，
∴PF1＝F1F2×sin βsin θ，PF2＝F1F2×sin αsin θ.
设椭圆的长轴长为2a，焦距为2c.
由椭圆定义，2a＝PF1＋PF2＝F1F2×sin βsin θ＋sin αsin θ＝F1F2×sin α＋sin βsin θ，
∴e＝ca＝2c2a＝F1F2F1F2×sin α＋sin βsin θ＝sin θsin α＋sin β.
8
对于双曲线的离心率e有：e＝sin θ|sin α－sin β|.
17．证明：由平面图形的性质可知，当点P与G1或G2重合时．G2F1＋G2F2＝BD＝AC，
G1F
1
＋G1F2＝AC.当P不与G1，G2重合时，连接PF1，PF2分别是两个球面的切线，切点分别是F1，
F2，过P作圆柱的母线，与两个球分别相交于K1，K2，由切线长定理可知：PF1＝PK1，PF
2
＝
PK2，所以有PF1＋PF2＝PK1＋PK2＝K1K2＝AC＝G1G2，由于AC为定值且AC>F1F2，故点P
的轨迹
为椭圆．
18．解：“焦球”均在顶点S的同侧，截线是椭圆．
设A，B是椭圆的长轴的两个端点，
∴BF1＋BF2＝BC＋BD＝43，
∴a＝23.
又O1O2＝8，O1F＝6，
在Rt△O1O2F中，
FO2＝F1F2＝82－62＝27，∴c
＝7.
故离心率e＝216.