备战2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题45 直线与方程
备战2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题03 命题形式变化及真假判定
专题03 命题形式变化及真假判定【热点聚焦与扩展】（一）命题结构变换1、四类命题间的互化：设原命题为“若p ，则q ”的形式，则 （1）否命题：“若p ⌝，则q ⌝” （2）逆命题：“若q ，则p ” （3）逆否命题：“若q ⌝，则p ⌝”2、p q ∨，p q ∧（1）用“或”字连接的两个命题（或条件），表示两个命题（或条件）中至少有一个成立即可，记为p q ∨ （2）用“且”字连接的两个命题（或条件），表示两个命题（或条件）要同时成立，记为p q ∧3、命题的否定p ⌝：命题的否定并不是简单地在某个地方加一个“不”字，对于不同形式的命题也有不同的方法 （1）一些常用词的“否定”：是→不是 全是→不全是 至少一个→都没有 至多n 个→至少1n +个 小于→大于等于 （2）含有逻辑联结词的否定：逻辑联接词对应改变，同时,p q 均变为,p q ⌝⌝：p 或q →p ⌝且q ⌝ p 且q →p ⌝或q ⌝（3）全称命题与存在性命题的否定全称命题：():,:,()p x M p x p x M p x ∀∈→⌝∃∈⌝ 存在性命题：():,:,()p x M p x p x M p x ∃∈→⌝∀∈⌝ 规律为：两变一不变① 两变：量词对应发生变化（∀⇔∃），条件()p x 要进行否定()p x ⇒⌝ ② 一不变：x 所属的原集合M 的不变化（二）命题真假的判断：判断命题真假需要借助所学过的数学知识，但在一组有关系的命题中，真假性也存在一定的关联。
1、四类命题：原命题与逆否命题真假性相同，同理，逆命题与否命题互为逆否命题，所以真假性也相同。
而原命题与逆命题，原命题与否命题真假没有关联2、p q ∨，p q ∧，如下列真值表所示：简而言之“一真则真” 简而言之“一假则假” 3、p ⌝：与命题p 真假相反。
4、全称命题：真：要证明每一个M 中的元素均可使命题成立 假：只需举出一个反例即可 5、存在性命题：真：只需在M 举出一个使命题成立的元素即可假：要证明M 中所有的元素均不能使命题成立【经典例题】例1【2017山东，理3】已知命题p:()x x ∀+＞0,ln 1＞0；命题q ：若a ＞b ，则a b 22＞，下列命题为真命题的是（ ）（A ） ∧p q （B ）⌝∧p q （C ） ⌝∧p q （D ）⌝⌝∧p q 【答案】B【名师点睛】解答简易逻辑联结词相关问题，关键是要首先明确各命题的真假，利用或、且、非真值表，进一步作出判断.例2【2017北京，理13】能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则a+b ＞c”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为______________________________． 【答案】-1，-2，-3（答案不唯一）3【名师点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时利用赋值的方式举反例进行验证，答案不唯一． 例3.命题“若2πα=，则sin 1α=”的逆否命题是（ ）A. 若2πα≠，则sin 1α≠ B. 若2πα=，则sin 1α≠C. 若sin 1α≠，则 2πα≠ D. 若sin 1α=，则 2πα=【答案】B【解析】命题“若p ，则q ”的逆否命题是“若q ⌝，则p ⌝，”故命题“若2πα=，则sin 1α=”的逆否命题是若sin 1α≠，则 2πα≠，故选C.例4【2018届新疆乌鲁木齐市高三第二次监测】命题:p 若0x <，则()l n 10x +<； q 是p 的逆命题，则（ ） A. p 真， q 真 B. p 真， q 假 C. p 假， q 真 D. p 假， q 假 【答案】C【解析】由题意， ()ln 10x +<，所以011x <+<，得10x -<<， 所以命题p 为假命题，又因为q 是p 的逆命题，所以命题q ：若()ln 10x +<，则0x <为真命题，故选C. 例5.有下列命题:①面积相等的三角形是全等三角形; ②“若,则”的逆命题; ③“若,则”的否命题;④“矩形的对角线互相垂直”的逆否命题.其中真命题为 A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ②④ 【答案】B【解析】逐一考查所给的命题：①面积相等的三角形不一定是全等三角形，该命题错误; ②“若,则”的逆命题为“若,则”，该命题正确; ③“若,则”的否命题为“若,则”，该命题正确;④“矩形的对角线互相垂直”为假命题，则其逆否命题为假命题，原命题错误. 综上可得：真命题为②③.本题选择B 选项. 例6.已知命题,使;命题,都有.给出下列结论:A. 命题是真命题B. 命题“”是真命题C. 命题“”是真命题D. 命题“”是假命题【答案】B本题选择B 选项.例7.命题“2,1x R x ∃∈=-使得”的否定是（ ） A. 2,1x R x ∀∉=-都有 B. 2,1x R x ∃∉=-使得 C. 2,1x R x ∃∈≠-使得 D. 2,1x R x ∀∈≠-都有 【答案】D【解析】特称命题的否定为全称命题，将存在量词变为全称量词，同时将结论进行否定，故命题“x R ∃∈，使得21x =-”的否定是“x R ∀∈，都有21x ≠-”，故选D.例8【2018届湖南省张家界市高三三模】命题p ： 2x ∀>， 230x->的否定是（ ）A. 2x ∀>， 230x -≤B. 2x ∀≤， 230x-> C. 02x ∃>， 230x -≤ D. 02x ∃>， 230x->【答案】C【解析】由题意可知，命题p 为全称命题，其否定须由全称命题来完成，并否定其结果，所以命题p 的否定是502x ∃>， 230x -≤.故选C.例9【2018届北京市首师大附高三十月月考】已知命题“2,210x R x ax ∃∈++<”是真命题,则实数a 的取值范围是（ ）A. (),1-∞-B. ()1,+∞C. ()(),11,-∞-⋃+∞D. ()1,1- 【答案】C【解析】因为命题“2,210x R x ax ∃∈++<”是真命题, 所以244011a a a ∆=->∴><-或，选C.x&kw例10【2018届江西省八所重点中学高三下学期联考】已知命题:p 对任意0x >，总有sin x x <；命题:q 直线1:210l ax y ++=， ()2:110l x a y +--=，若12//l l ，则2a =或1a =-；则下列命题中是真命题的是（ ）A. p q ∧B. ()()p q ⌝∧⌝C. ()p q ⌝∨D. p q ∨ 【答案】D【精选精练】1．【2017山东，文5】已知命题p ：,x ∃∈R 210x x -+≥;命题q ：若22a b <,则a <b .下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B.p q ∧⌝ C.p q ⌝∧ D.p q ⌝∧⌝ 【答案】B【解析】由0x =时210x x -+≥成立知p 是真命题,由221(2),12<->-可知q 是假命题,所以p q ∧⌝是真命题,故选B.【名师点睛】判断一个命题为真命题,要给出推理证明；判断一个命题是假命题,只需举出反例．根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假．2．【2018届安徽省江淮十校高三第三次（4月）联考】下列命题中，真命题是（ ）A. x R ∀∈，有()ln 10x +>B. (),x k k Z π≠∈C. 函数()22xf x x =-有两个零点 D. 1a >， 1b >是1ab >的充分不必要条件 【答案】D【解析】x=0时lnx=0,A 错误；当sinx=-1B 错误； ()22x f x x =-有三个零点，x=2,4,还有一个小于0，C 错误；当1a >， 1b >时，一定有1ab >，但当2a =-， 3b =-时， 61ab =>也成立，故D 正确,选D.3．【2018届山西省榆社中学高三诊断性模拟】设集合2{|670}A x x x =--<， {|}B x x a =≥，现有下面四个命题：1:,p a R A B ∃∈⋂=∅； 2:p 若0a =，则()7,A B ⋃=-+∞；3p ：若(),2R C B =-∞，则a A ∈； 4p ：若1a ≤-，则A B ⊆.其中所有的真命题为（ ）A. 14,p pB. 134,,p p pC. 23,p pD. 124,,p p p 【答案】B【名师点睛】此题主要考查集合的补集、交集、并集、包含等基本关系与运算，以及二次不等式、命题的真假判断等运算与技能，属于中低档题型，也是常考题型.在二次不等式的求解过程中，首先要算出其相应二次方程的根()1212,x x x x <，当0a >时，则有“大于号取两边，即()()12,x x -∞⋃+∞，，小于号取中间，即()12,x x ”. 4．【2018届河南省南阳市第一中学高三第十二次】设有下面四个命题： ①“若，则与的夹角为锐角”及它的逆命题均为真命题②若,则③“”是“或”的充分不必要条件 ④命题“中，若，则”的逆命题为真命题其中正确命题的个数是( ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 07【答案】B5．命题:p 函数()2(0xf x a a =->且1)a ≠图像恒过点()0,2;-命题下列结论中成立的是A. p q ∨为真B. p q ∧为真C. p ⌝为假D. q ⌝为真 【答案】A【解析】:p 函数图像恒过点()0,1- 所以命题不正确；可知q 命题正确，所以根据复合命题的判断方法可知p q ∨正确，故选A.6．【2018届河南省高三4月测试】下列说法中，正确的是（ ） A. 命题“若，则”的逆命题是真命题 B. 命题“，”的否定是“，”C. 命题“或”为真命题，则命题“”和命题“”均为真命题D. 已知，则“”是“”的充分不必要条件【答案】B【解析】对于选项A,逆命题为“若”，当m=0时，不成立，所以是假命题；对于选项B ，特称命题的否定是正确的；对于选项C ，命题“或”为真命题，则命题“”和命题“”至少有一个是真命题，不是全都是真命题，所以是假命题；对于选项D ， “”是“”的必要不充分条件,所以是假命题.故选B.7．【2018届湖南省（长郡中学、衡阳八中）、江西省（南昌二中）等十四校高三第二次联考】已知命题p ： x R ∀∈，()22log 231x x ++>；命题q ： 0x R ∃∈， 0sin 1x >，则下列命题中为真命题的是（ ）A. p q ⌝∧⌝B. p q ∧⌝C. p q ⌝∧D. p q ∧ 【答案】A【解析】()2223122x x x ++=++≥， ()22log 231x x ∴++≥，故p 为假命题， p ⌝为真命题，因为x R ∀∈，sin 1x ≤，所以命题q ： 0x R ∃∈， 0sin 1x >，为假命题，所以q ⌝为真命题， p q ⌝∧⌝为真命题，故选A.8．若“,,tan 144x m x ππ⎡⎤∀∈-≤+⎢⎥⎣⎦”为真命题，则实数m 的最大值为________. 【答案】09．【2018届山东省桓台第二中学高三4月月考】若命题“0x R ∃∈，使得2+20x x a +≤”是假命题，则实数a 的取值范围是________． 【答案】()1+∞，【解析】因为命题“0x R ∃∈，使得2+20x x a +≤”是假命题， 所以“x R ∀∈，使得2+20x x a +>”为真命题，10．下列命题： ①若，则；②已知，，且与的夹角为锐角，则实数 的取值范围是；③已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的重心； ④在中，，边长分别为，则只有一解；⑤如果△ABC 内接于半径为的圆，且则△ABC 的面积的最大值；其中正确的序号为_______________________。
高考数学一轮复习 考点题型 课下层级训练45 直线与圆、圆与圆的位置关系(含解析)-人教版高三全册数
课下层级训练(四十五) 直线与圆、圆与圆的位置关系[A 级 基础强化训练]1．已知点(a ，b )在圆C ：x 2＋y 2＝r 2(r ≠0)的外部，则ax ＋by ＝r 2与C 的位置关系是( ) A ．相切 B ．相离 C ．内含D ．相交【答案】D [由已知a 2＋b 2>r 2，且圆心到直线ax ＋by ＝r 2的距离为d ＝r 2a 2＋b 2，则d <r ，故直线ax ＋by ＝r 2与C 的位置关系是相交．]2．(2019·某某莱芜模拟)在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线x －3y －4＝0相切，则圆O 的方程为( ) A ．x 2＋y 2＝4 B ．x 2＋y 2＝3 C ．x 2＋y 2＝2D ．x 2＋y 2＝1【答案】A [依题意，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y －4＝0的距离，即r ＝41＋3＝2，得圆O的方程为x 2＋y 2＝4.]3．(2019·某某某某模拟)过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( ) A ．y ＝－34 B ．y ＝－12C ．y ＝－32D ．y ＝－14【答案】B [圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为(1,0)，半径为1，以|PC |＝1－12＋－2－02＝2为直径的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB 所在直线的方程为2y ＋1＝0，即y ＝－12.]4．(2019· 某某某某月考)过原点且倾斜角为60°的直线被圆x 2＋y 2－4y ＝0所截得的弦长为( ) A ． 3 B ．2 C ． 6D ．2 3【答案】D [过原点且倾斜角为60°的直线方程为3x －y ＝0，圆x 2＋(y －2)2＝4的圆心(0,2)到直线3x －y ＝0的距离为d ＝|3×0－2|3＋1＝1，因此弦长为2R 2－d 2＝24－1＝2 3.]5．(2019· 某某某某模拟)由直线y ＝x ＋1上的一点向圆x 2－6x ＋y 2＋8＝0引切线，则切线长的最小值为( )A ．1B ．2 2C ．7D ．3【答案】C [切线长的最小值在直线y ＝x ＋1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3,0)到直线的距离为d ＝|3－0＋1|2＝22，圆的半径为1，故切线长的最小值为d 2－r 2＝8－1＝7.] 6．(2019·某某某某模拟)已知圆C ：(x －3)2＋(y －1)2＝1和两点A (－t,0)，B (t,0)(t >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则实数t 的最小值为____________．【答案】1 [由∠APB ＝90°得，点P 在圆x 2＋y 2＝t 2上，因此由两圆有交点得|t －1|≤|OC |≤t ＋1⇒|t －1|≤2≤t ＋1⇒1≤t ≤3，即t 的最小值为1.]7．圆x 2＋y 2＝50与圆x 2＋y 2－12x －6y ＋40＝0的公共弦的长度为____________．【答案】2 5 [两圆的公共弦长即两圆交点间的距离，将两圆方程联立，可求得弦所在直线为2x ＋y －15＝0，原点到该直线的距离为d ＝|－15|22＋1＝35，则公共弦的长度为2r 2－d 2＝250－352＝2 5.]8．点P 在圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|PQ |的最小值是____________．【答案】35－5 [把圆C 1、圆C 2的方程都化成标准形式，得(x －4)2＋(y －2)2＝9，(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4.圆C 1的圆心坐标是(4,2)，半径是3；圆C 2的圆心坐标是(－2，－1)，半径是 2.圆心距d ＝4＋22＋2＋12＝3 5. 所以|PQ |的最小值是35－5.]9．已知圆C 的圆心与点P (－2,1)关于直线y ＝x ＋1对称，直线3x ＋4y －11＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝6，求圆C 的方程．【答案】解 设点P 关于直线y ＝x ＋1的对称点为C (m ，n )， 则由⎩⎪⎨⎪⎧1＋n 2＝－2＋m2＋1，n －1m ＋2·1＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝－1.故圆心C 到直线3x ＋4y －11＝0的距离d ＝|－4－11|9＋16＝3，所以圆C 的半径的平方r 2＝d 2＋|AB |24＝18．故圆C 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝18．10．已知圆C 经过点A (2，－1)，和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上．(1)求圆C 的方程；(2)已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程． 【答案】解 (1)设圆心的坐标为C (a ，－2a )， 则a －22＋－2a ＋12＝|a －2a －1|2．化简，得a 2－2a ＋1＝0，解得a ＝1． ∴C (1，－2)，半径r ＝|AC |＝1－22＋－2＋12＝2．∴圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2．(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，此时直线l 被圆C 截得的弦长为2，满足条件． ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ，由题意得|k ＋2|1＋k2＝1，解得k ＝－34， ∴直线l 的方程为y ＝－34x ，即3x ＋4y ＝0．综上所述，直线l 的方程为x ＝0或3x ＋4y ＝0．[B 级 能力提升训练]11．(2019·某某某某模拟)以(a,1)为圆心，且与两条直线2x －y ＋4＝0,2x －y －6＝0同时相切的圆的标准方程为( )A ．(x －1)2＋(y －1)2＝5B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝5 C ．(x －1)2＋y 2＝5D ．x 2＋(y －1)2＝5【答案】A [由题意得，点(a,1)到两条直线的距离相等，且为圆的半径． ∴|2a －1＋4|22＋－12＝|2a －1－6|22＋－12，解得a ＝1．∴r ＝|2×1－1＋4|22＋－12＝5，∴所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝5.]12．已知点P (a ，b )(ab ≠0)是圆x 2＋y 2＝r 2内的一点，直线m 是以P 为中点的弦所在的直线，直线l 的方程为ax ＋by ＝r 2，那么( ) A ．m ∥l ，且l 与圆相交 B ．m ⊥l ，且l 与圆相切 C ．m ∥l ，且l 与圆相离D ．m ⊥l ，且l 与圆相离【答案】C [∵点P (a ，b )(ab ≠0)在圆内，∴a 2＋b 2<r 2．∵圆x 2＋y 2＝r 2的圆心为O (0,0)，故由题意得OP ⊥m ，又k OP ＝b a ，∴k m ＝－a b ，∵直线l 的斜率为k l ＝－a b＝k m ，圆心O 到直线l 的距离d ＝r 2a 2＋b 2>r 2r＝r ，∴m ∥l ，l 与圆相离. ]13．(2018·某某某某模拟)已知直线x ＋y －k ＝0(k ＞0)与x 2＋y 2＝4交于不同的两点A 、B ，O 为坐标原点，且|OA →＋OB →|≥33|AB →|，则k 的取值X 围是______________．【答案】[2，22) [由已知得圆心到直线的距离小于半径，即|k |2＜2，又k ＞0，故0＜k ＜2 2. ①如图，作平行四边形OACB ，连接OC 交AB 于M ，由|OA →＋OB →|≥33|AB →|得|OM →|≥33|BM →|，即∠MBO ≥π6，因为|OB |＝2，所以|OM |≥1，故|k |2≥1，k ≥ 2. ②综合①②得，2≤k ＜2 2.]14．(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝____________．【答案】4 [如图所示，∵直线AB 的方程为x －3y ＋6＝0，∴k AB ＝33，∴∠BPD ＝30°， 从而∠BDP ＝60°． 在Rt △BOD 中，∵|OB |＝23，∴|OD |＝2．取AB 的中点H ，连接OH ，则OH ⊥AB ，∴OH 为直角梯形ABDC 的中位线，∴|OC |＝|OD |，∴|CD |＝2|OD |＝2×2＝4.]15．(2019·某某某某月考)已知圆C 经过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且圆心C 在直线x ＋y －1＝0上． (1)求圆C 的方程；(2)若直线l ∥PQ ，且l 与圆C 交于点A ，B 且以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求直线l 的方程． 【答案】解 (1)∵P (4，－2)，Q (－1,3)，∴线段PQ 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32， 12，斜率k PQ ＝－1， 则PQ 的垂直平分线方程为y －12＝1×(x －32)，即x －y －1＝0．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，∴圆心C (1,0)，半径r ＝4－12＋－2－02＝13．故圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝13． (2)由l ∥PQ ，设l 的方程为y ＝－x ＋m ． 代入圆C 的方程，得2x 2－2(m ＋1)x ＋m 2－12＝0． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝m ＋1，x 1x 2＝m 22－6．故y 1y 2＝(m －x 1)(m －x 2)＝m 2＋x 1x 2－m (x 1＋x 2)， 依题意知OA ⊥OB ，则OA →·OB →＝0． ∴(x 1，y 1)·(x 2，y 2)＝x 1x 2＋y 1y 2＝0，于是m 2＋2x 1x 2－m (x 1＋x 2)＝0，即m 2－m －12＝0． ∴m ＝4或m ＝－3，经检验，满足Δ>0． 故直线l 的方程为y ＝－x ＋4或y ＝－x －3．16．(2019·某某东部六校联考)已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方． (1)求圆C 的方程；(2)过点M (1,0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解 (1)设圆心C (a,0)⎝ ⎛⎭⎪⎫a >－52，则|4a ＋10|5＝2 ⇒a ＝0或a ＝－5(舍)． 所以圆C ：x 2＋y 2＝4．(2)当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB ．当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4y ＝k x －1得，(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1．若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN ⇒y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝0⇒k x 1－1x 1－t ＋k x 2－1x 2－t＝0⇒2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0⇒2k 2－4k 2＋1－2k 2t ＋1k 2＋1＋2t ＝0⇒t ＝4， 所以当点N 为(4,0)时，能使得∠ANM ＝∠BNM 总成立．。
备战高考数学复习考点知识与题型讲解60---直线的方程
备战高考数学复习考点知识与题型讲解第60讲直线的方程考向预测核心素养直线是解析几何中最基本的内容，对直线的考查一是在选择题、填空题中考查直线的倾斜角、斜率、直线的方程等基本知识；二是在解答题中与圆、椭圆、双曲线、抛物线等知识进行综合考查.直观想象、数学运算一、知识梳理1．直线的方向向量设A，B是直线上的两点，则AB→就是这条直线的方向向量．2．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴作为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α＜180°．3．直线的斜率(1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α(α≠90°)．(2)过两点的直线的斜率公式如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝y2－y1x2－x1．4．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y－y0＝k(x－x0)不含直线x＝x0斜截式y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线两点式y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1(x1≠x2，y1≠y2)不含直线x＝x1和直线y＝y1截距式xa＋yb＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用常用结论1．直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系α00<α<π2π2π2<α<πk 0k>0不存在k<0 2.识记几种特殊位置的直线方程(1)x轴：y＝0.(2)y轴：x＝0.(3)平行于x轴的直线：y＝b(b≠0)．(4)平行于y轴的直线：x＝a(a≠0)．(5)过原点且斜率存在的直线：y＝kx.二、教材衍化1．(人A选择性必修第一册P58习题2.1 T7改编)若过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为( )A．1 B.4C.1或3D.1或4答案：A2．(人A选择性必修第一册P60例1改编)经过点P(2，－3)，倾斜角为45°的直线方程为________．答案：x－y－5＝03．(人A选择性必修第一册P67习题2.2 T7改编)过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为______________________．解析：当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；当截距不为0时，设直线方程为xa＋ya＝1，则2a＋3a＝1，解得a＝5.所以直线方程为x＋y－5＝0.答案：3x－2y＝0或x＋y－5＝0一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( )(2)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( )(3)经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示．( )答案：(1)×(2)×(3)×二、易错纠偏1．(多选)(不理解倾斜角和斜率致误)下列说法正确的是( )A．有的直线斜率不存在B．若直线l的倾斜角为α，且α≠90°，则它的斜率k＝tan αC．若直线l的斜率为1，则它的倾斜角为3π4D．截距可以为负值答案：ABD2．(不理解直线位置关系致误)如果AB＜0，且BC＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过( )A．第一象限 B.第二象限C．第三象限 D.第四象限答案：D3．(搞混倾斜角和斜率关系致误)若直线l的斜率为k，倾斜角为α，且α∈[π6，π4)∪[2π3，π)，则k的取值范围是________．解析：当α∈[π6，π4)时，k ＝tan α∈[33，1)； 当α∈[2π3，π)时，k ＝tan α∈[－3，0)．综上可得k ∈[－3，0)∪[33，1)． 答案：[－3，0)∪[33，1)考点一 直线的倾斜角与斜率(思维发散)复习指导：1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素． 2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．(1)直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.[)0，π B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π(2)已知点A (1，3)，B (－2，－1)．若直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 恒相交，则k 的取值范围是( )A ．k ≥12B.k ≤－2C ．k ≥12或k ≤－2 D.－2≤k ≤12【解析】 (1)设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α. 因为sin α∈[－1，1]， 所以－1≤tan θ≤1，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ＜π，故选B. (2)直线l ：y ＝k (x －2)＋1经过定点P (2，1)， 因为k PA ＝3－11－2＝－2，k PB ＝－1－1－2－2＝12， 又直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 恒相交， 所以－2≤k ≤12.【答案】 (1)B (2)D本例(2)直线l 改为y ＝kx ，若l 与线段AB 恒相交，则k 的取值范围是________________．解析：直线l 过定点P (0，0)， 所以k PA ＝3，k PB ＝12，所以k ≥3或k ≤12.答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12∪[3，＋∞)(1)斜率的求法①定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k ＝tan α求斜率；②公式法：若已知直线上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，一般根据斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求斜率．(2)倾斜角及斜率取值范围的两种求法①数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定；②函数图象法：根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可．|跟踪训练|1．已知直线方程为x cos 300°＋y sin 300°＝3，则直线的倾斜角为( ) A ．60° B.60°或300° C ．30°D.30°或330°解析：选C.直线的斜率为k ＝－cos 300°sin 300°＝－cos （360°－60°）sin （360°－60°）＝－cos （－60°）sin （－60°）＝cos 60°sin 60°＝33.因为直线倾斜角的范围为[0°，180°)， 所以倾斜角为30°，故选C.2．直线l 过点P (1，0)，且与以A (2，1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．解析：如图，因为k AP ＝1－02－1＝1， k BP ＝3－00－1＝－3，所以直线l 的斜率k ∈(]－∞，－3∪[)1，＋∞. 答案：(]－∞，－3∪[)1，＋∞考点二 直线的方程(自主练透)复习指导：根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式、斜截式、截距式及一般式)，体会斜截式与一次函数的关系．1．已知△ABC 的三个顶点坐标为A (1，2)，B (3，6)，C (5，2)，M 为AB 的中点，N 为AC 的中点，则中位线MN 所在直线的方程为( )A ．2x ＋y －12＝0 B.2x －y －12＝0 C ．2x ＋y －8＝0D.2x －y ＋8＝0解析：选C.由题知M (2，4)，N (3，2)，中位线MN 所在直线的方程为y －42－4＝x －23－2，整理得2x ＋y －8＝0.2．(多选)(链接常用结论2)下列命题正确的有( ) A ．直线斜率是关于直线倾斜角的增函数 B ．方程x ＝ty ＋m 可以表示垂直于x 轴的直线C ．直线过不同的两点A ()x 1，y 1，B ()x 2，y 2，则方程()x 2－x 1()y －y 1＝()y 2－y 1()x －x 1可以表示平行于x ，y 轴和经过坐标原点的直线D ．直线方程bx ＋ay ＝ab 不能表示平行于x ，y 轴的直线 解析：选BCD.倾斜角0≤α<π，斜率k ＝tan α(α≠π2)，由正切函数的单调性知直线斜率不是关于直线倾斜角的增函数，故A 错误；方程x ＝ty ＋m 中t ＝0时，表示直线x ＝m ，故B 正确；当x 2－x 1＝0时，方程()x 2－x 1()y －y 1＝()y 2－y 1()x －x 1为()y 2－y 1()x －x 1＝0， 当y 2－y 1＝0时，方程()x 2－x 1()y －y 1＝()y 2－y 1()x －x 1为()x 2－x 1()y －y 1＝0， 当x ＝0，y ＝0时，代入方程可得－y 1()x 2－x 1＝－x 1()y 2－y 1成立， 故方程可以表示平行于x ，y 轴和经过坐标原点的直线，故C 正确；当a ＝0，b ≠0时，方程为bx ＝0，当b ＝0，a ≠0时，方程为ay ＝0不能表示平行于x ，y 轴的直线，故D 正确．3．经过点B (3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线的方程为________． 解析：由题意可知，所求直线的斜率为±1. 又过点(3，4)，由点斜式得y －4＝±(x －3)． 所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0. 答案：x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝04．经过两条直线l 1：x ＋y ＝2，l 2：2x －y ＝1的交点，且直线的一个方向向量v ＝(－3，2)的直线方程为________________．解析：联立⎩⎨⎧x ＋y ＝2，2x －y ＝1，得x ＝1，y ＝1，所以直线过点(1，1)，因为直线的方向向量v ＝(－3，2)， 所以直线的斜率k ＝－23.则直线的方程为y －1＝－23(x －1)，即2x ＋3y －5＝0. 答案：2x ＋3y －5＝0巧设直线方程的方法(1)已知一点坐标，可采用点斜式设直线方程，但要注意讨论直线斜率不存在的情况； (2)已知两点或可通过计算表示出两点的坐标，则可采用两点式设直线方程，但要注意讨论分母为零的情况；(3)当题目涉及直线在x 轴、y 轴上的截距时，可采用截距式设直线方程，但要注意莫遗漏直线在x 轴、y 轴上的截距为0的情况；(4)已知直线的斜率或倾斜角，考虑利用点斜式或斜截式设直线方程．[注意] (1)当已知直线经过点(a ，0)，且斜率不为0时，可将直线方程设为x ＝my ＋a ；(2)当已知直线经过点(0，a )，且斜率存在时，可将直线方程设为y ＝kx ＋a ； (3)当直线过原点，且斜率存在时，可将直线方程设为y ＝kx .考点三 直线方程的综合应用(思维发散)复习指导：求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式或函数单调性求解最值．(一题多解)已知直线l 过点M (2，1)，且分别与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 为原点，当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程．【解】 方法一：设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)(k <0)，则A ⎝⎛⎭⎪⎫2－1k ，0，B (0，1－2k )，S △AOB ＝12(1－2k )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋（－4k ）＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ≥12(4＋4)＝4，当且仅当－4k＝－1k ，即k ＝－12时，等号成立．故直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.方法二：设直线l ：x a ＋y b ＝1，且a >0，b >0，因为直线l 过点M (2，1)，所以2a ＋1b ＝1，则1＝2a ＋1b≥22ab ，故ab ≥8，故S △AOB 的最小值为12×ab ＝12×8＝4，当且仅当2a ＝1b ＝12时取等号，此时a ＝4，b ＝2，故直线l 为x 4＋y2＝1，即x ＋2y －4＝0.1．在本例条件下，当|OA |＋|OB |取最小值时，求直线l 的方程． 解：由本例方法二知，2a ＋1b＝1，a >0，b >0，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b＝3＋a b ＋2ba≥3＋22， 当且仅当a ＝2＋2，b ＝1＋2时等号成立，所以当|OA |＋|OB |取最小值时，直线l 的方程为x ＋2y ＝2＋ 2. 2．本例中，当|MA |·|MB |取得最小值时，求直线l 的方程． 解：方法一：由本例方法一知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －1k ，0，B (0，1－2k )(k ＜0)． 所以|MA |·|MB |＝1k2＋1·4＋4k 2＝21＋k 2|k |＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－k ）＋1（－k ）≥4. 当且仅当－k ＝－1k，即k ＝－1时取等号．此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.方法二：由本例方法二知A (a ，0)，B (0，b )，a ＞0，b ＞0，2a ＋1b＝1.所以|MA |·|MB |＝|MA →|·|MB →|＝－MA →·MB →＝－(a －2，－1)·(－2，b －1) ＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5 ＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b －5＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥4，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程．(3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．|跟踪训练|已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．解：(1)证明：直线l 的方程可化为k (x ＋2)＋(1－y )＝0， 令⎩⎨⎧x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝1.所以无论k 取何值，直线l 总经过定点(－2，1)． (2)由方程知，当k ≠0时直线在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎨⎧－1＋2kk ≤－2，1＋2k ≥1，解得k ＞0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k 的取值范围是[0，＋∞)． (3)由题意可知k ≠0，再由直线l 的方程， 得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k k ，0，B (0，1＋2k )． 依题意得⎩⎨⎧－1＋2k k ＜0，1＋2k ＞0，解得k ＞0. 因为S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k | ＝12·（1＋2k ）2k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4， 当k ＞0且4k ＝1k ，即k ＝12时等号成立，所以S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.[A 基础达标]1．(2022·北京市昌平区期中)已知点A ()2，－3，B ()－3，－2，直线l ：mx ＋y －m －1＝0与线段AB 相交，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≤－4或m ≥34B.m ≤－34或m ≥4C ．－4≤m ≤34D.－34≤m ≤4解析：选B.直线l ：mx ＋y －m －1＝0过定点P ()1，1， 由mx ＋y －m －1＝0可得y ＝－m ()x －1＋1， 作出图象如图所示：k PA ＝－3－12－1＝－4，k PB ＝－2－1－3－1＝34， 若直线l 与线段AB 相交，则－m ≥34或－m ≤－4，解得m ≤－34或m ≥4，所以实数m 的取值范围是m ≤－34或m ≥4.2．若平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，则a ＝( ) A ．1±2或0 B.2－52或0 C.2±52D.2＋52或0 解析：选A.由题意知k AB ＝k AC ，即a 2＋a 2－1＝a 3＋a 3－1，即a (a 2－2a －1)＝0，解得a ＝0或a＝1± 2.3．(2022·江西省抚州检测)已知k ＋b ＝0，k ≠0，则直线y ＝kx ＋b 的位置可能是( )解析：选B.因为直线方程为y ＝kx ＋b ，且k ≠0，k ＋b ＝0，即b ＝－k ，所以y ＝kx －k ＝k (x －1)，令y ＝0，得x ＝1，所以直线与x 轴的交点坐标为(1，0)．只有选项B 中的图象符合要求．4．直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( )A ．[－2，2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2，0)∪(0，2]D ．(－∞，＋∞)解析：选C.令x ＝0，得y ＝b2，令y ＝0，得x ＝－b ，所以所求三角形的面积为12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2·|－b |＝14b 2，且b ≠0，14b 2≤1，所以b 2≤4，所以b 的取值范围是[－2，0)∪(0，2]．5．(多选)(2022·昌平一中期中考试改编)直线l 过点P (2，－1)且在两坐标轴上的截距之和为0，则直线l 的方程为( )A ．x －y －3＝0 B.2x ＋y －3＝0 C ．x ＋2y ＝0D.x ＋y －1＝0解析：选AC.当直线l 过原点时，直线l 的方程为y ＝－12x ⇒x ＋2y ＝0符合题意． 当直线l 不过原点时，设直线l 的方程为x a ＋y－a＝1，将P 点坐标代入得2a ＋1a ＝1⇒a ＝3，x 3－y3＝1⇒x －y －3＝0.所以直线l 的方程为x ＋2y ＝0或x －y －3＝0.6．把直线x －y ＋3－1＝0绕点(1，3)逆时针旋转15°后，所得直线l 的方程是________．解析：已知直线的斜率为1，则其倾斜角为45°，绕点(1，3)逆时针旋转15°后，得到的直线l 的倾斜角α＝45°＋15°＝60°，直线l 的斜率为tan α＝tan 60°＝3，所以直线l 的方程为y －3＝3(x －1)，即y ＝3x .答案：y ＝3x7．在平面直角坐标系中，已知矩形OABC ，O ()0，0，A ()2，0，C ()0，1，将矩形折叠，使O 点落在线段BC 上，设折痕所在直线的斜率为k ，则k 的取值范围是________．解析：如图，要想使折叠后O 点落在线段BC 上，可取BC 上任意一点D ， 作线段OD 的垂直平分线l ，以l 为折痕可使O 与D 重合， 因为k OD ≥k OB ＝12，所以k ＝－1k OD≥－2，且k <0.又当折叠后O 与C 重合时，k ＝0， 所以－2≤k ≤0，所以k 的取值范围是[]－2，0. 答案：[－2，0]8．设直线l 的方程为2x ＋(k －3)y －2k ＋6＝0(k ≠3)，若直线l 的斜率为－1，则k ＝________；若直线l 在x 轴、y 轴上的截距之和等于0，则k ＝________．解析：因为直线l 的斜率存在，所以直线l 的方程可化为y ＝－2k －3x ＋2，由题意得－2k －3＝－1，解得k ＝5. 直线l 的方程可化为x k －3＋y2＝1，由题意得k －3＋2＝0，解得k ＝1. 答案：5 19．已知两点A (－3，4)，B (3，2)，过点P (1，0)的直线l 与线段AB 有公共点．(1)求直线l 的斜率k 的取值范围； (2)求直线l 的倾斜角α的取值范围． 解：如图，由题意，知k PA ＝4－0－3－1＝－1，k PB ＝2－03－1＝1.(1)要使直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是k ≤－1或k ≥1. (2)由题意可知，直线l 的倾斜角介于直线PB 与PA 的倾斜角之间，又直线PB 的倾斜角是45°，直线PA 的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°.10．已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3，0)，B (2，1)，C (－2，3)，求： (1)BC 边所在直线的方程； (2)BC 边的垂直平分线DE 的方程．解：(1)因为直线BC 经过B (2，1)和C (－2，3)两点， 所以BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0.(2)由(1)知，直线BC 的斜率k 1＝－12，则直线BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2.因为BC 边的垂直平分线DE 经过BC 的中点(0，2)， 所以所求直线方程为y －2＝2(x －0)， 即2x －y ＋2＝0.[B 综合应用]11．(多选)下列说法正确的是( )A ．截距相等的直线都可以用方程x a ＋y a＝1表示 B ．方程x ＋my －2＝0(m ∈R )能表示平行于y 轴的直线C ．经过点P (1，1)，倾斜角为θ的直线方程为y －1＝tan θ(x －1)D ．经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线方程为(y 2－y 1)(x －x 1)－(x 2－x 1)(y －y 1)＝0解析：选BD.对于A ，若直线过原点，横纵截距都为0，则不能用方程x a ＋y a＝1表示，所以A 不正确；对于B ，当m ＝0时，平行于y 轴的直线方程为x ＝2，所以B 正确；对于C ，若直线的倾斜角为90°，则该直线的斜率不存在，不能用y －1＝tan θ(x －1)表示，所以C 不正确；对于D ，设点P (x ，y )是经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线上的任意一点，则根据P 1P 2→∥P 1P →可得(y 2－y 1)(x －x 1)－(x 2－x 1)(y －y 1)＝0，所以D 正确，故选BD.12．(2022·东北三省三校调研)设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为[0，π4]，则点P 横坐标的取值范围为( )A ．[－1，－12]B.[－1，0] C ．[0，1]D.[12，1] 解析：选A.由题意知，y ′＝2x ＋2，设P (x 0，y 0)，则在点P 处的切线的斜率k ＝2x 0＋2. 因为曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为[0，π4]，则0≤k ≤1，即0≤2x 0＋2≤1，解得－1≤x 0≤－12.13．(2022·江西九江模拟)在△ABC 中，已知A (5，－2)，B (7，3)，且AC 的中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上，则直线MN 的方程为_______________________________________________________．解析：设C (x 0，y 0)， 则M (5＋x 02，y 0－22)，N (7＋x 02，3＋y 02)．因为点M 在y 轴上，所以5＋x 02＝0，所以x 0＝－5. 因为点N 在x 轴上，所以y 0＋32＝0，所以y 0＝－3，即C (－5，－3)，所以M (0，－52)，N (1，0)，所以直线MN 的方程为x1＋y －52＝1，即5x －2y －5＝0.答案：5x －2y －5＝014．已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当a ＝________时，四边形的面积最小，最小值为________．解析：由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2，2)，直线l 1在y 轴上的截距为2－a ，直线l 2在x 轴上的截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝⎛⎭⎪⎫a －122＋154，故当a ＝12时，四边形的面积最小，最小值为154.答案：12154[C 素养提升]15．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，P 是线段AB 上的点，则P 到AC ，BC 的距离的乘积的最大值为________．解析：以C 为坐标原点，CB 所在直线为x 轴建立直角坐标系(如图所示)，则A (0，4)，B (3，0)，直线AB 的方程为x 3＋y4＝1.设P (x ，y )(0≤x ≤3)，所以P 到AC ，BC 的距离的乘积为xy ，因为x 3＋y 4≥2x 3·y 4， 当且仅当x 3＝y 4＝12时取等号，所以xy ≤3，所以xy 的最大值为3. 答案：3 16.如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1，0)作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解：由题意可得k OA ＝tan 45°＝1， k OB ＝tan(180°－30°)＝－33，所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )， 所以AB 的中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2， 由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎨⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，（m －0）·（－3n －1）＝（n －0）·（m －1），解得m＝3，所以A(3，3)．又P(1，0)，所以k AB＝k AP＝33－1＝3＋32，所以l AB：y＝3＋32(x－1)，即直线AB的方程为(3＋3)x－2y－3－3＝0.。
专题73 利用同构特点解决问题-备战2019年高考数学之高三复习大一轮热点聚焦与扩展(解析版)
专题73 利用同构特点解决问题【热点聚焦与扩展】本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，举例说明利用同构特点解决问题的方法与技巧. 1、同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式 2、同构式的应用：（1）在方程中的应用：如果方程()0f a =和()0f b =呈现同构特征，则,a b 可视为方程()0f x =的两个根（2）在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系.可比较大小或解不等式（3）在解析几何中的应用：如果()()1122,,,A x y B x y 满足的方程为同构式，则,A B 为方程所表示曲线上的两点.特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线AB 的方程（4）在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于(),n a n 与()1,1n a n --的同构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解【经典例题】例1.设,x y R ∈，满足()()()()5512sin 1312sin 11x x x y y y ⎧-++-=⎪⎨-++-=⎪⎩ ，则x y +=（ ）A. 0B. 2C. 4D. 6 【答案】B()()1111f x f y -=⎧⎪⎨-=-⎪⎩ ()()11f x f y ∴-=-- ()112x y x y ∴-=--⇒+=答案：B.例2.设,a b R Î，则|“a b >”是“a a b b >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充要又不必要条件 【答案】C答案：C .例3.若1201x x <<<，则（ ） A. 2121ln ln x x ee x x ->- B. 1221ln ln x x e e x x ->-C. 1221x x x ex e > D. 1221x x x e x e <【答案】C【解析】思路：本题从选项出发可发现，每个选项通过不等式变形将12,x x 分居在不等式两侧后都具备同构的特点， 所以考虑将相同的形式构造为函数，从而只需判断函数在()0,1的单调性即可 解： A 选项：21212121ln ln ln ln x x x x ee x x e x e x ->-⇔->-，设()ln xf x e x =-()'11x xxe f x e x x-∴=-=，设()1x g x xe =-，则有()()'10xg x x e =+>恒成立，所以()g x 在()0,1单调递增，所以()()010,110g g e =-<=->，从而存在()00,1x ∈，使得()00g x =，由单调性可判断出：()()()()()()''''000,,00,,1,00x x g x f x x x g x f x ∈<⇒<∈>⇒> ，所以()f x 在()0,1不单调，不等式不会恒成立 B 选项：12122112ln ln ln ln xx x x e ex x e x e x ->-⇔+>+，设()ln x f x e x =+可知()f x 单调递增.所以应该()()12f x f x <，B 错误C 选项：12122112x x x x e e x e x e x x >⇔>，构造函数()x e f x x =，()()'21x x e f x x -=，则()'0f x <在()0,1x ∈恒成立.所以()f x 在()0,1单调递减，所以()()12f x f x >成立D选项：12122112x xx xe ex e x ex x<⇔<，同样构造()xef xx=，由C选项分析可知D错误答案：C例4.已知函数()f x是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有()()()11xf x x f x+=+，则20152f⎛⎫⎪⎝⎭的值是（）A. 0B. 12C. 1D.52【答案】A例5．【2018届山东省潍坊市青州市三模】已知(1)求的单调区间;(2)设，为函数的两个零点，求证：.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】分析：（1）由函数，求得，通过讨论实数的取值范围，即可求出函数的单调区间；（2）构造函数，与图象两交点的横坐标为，问题转化为，令，根据函数的单调性由，得，时，，时，，∴时，易知的单调递增区间为，单调递减区间为，（2）由（1）知的单调递增区间为，单调递减区间为，不妨设，由条件知，即构造函数，与图象两交点的横坐标为由可得而，∴知在区间上单调递减，在区间上单调递增，可知则，所以为增函数，又，结合知，即成立，即成立.点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.例6.【2018年浙江卷】已知函数f(x)=−lnx．（Ⅰ）若f(x)在x=x1，x2(x1≠x2)处导数相等，证明：f(x1)+f(x2)>8−8ln2；（Ⅱ）若a≤3−4ln2，证明：对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析【解析】分析: （Ⅰ）先求导数，根据条件解得x1，x2关系，再化简f(x1)+f(x2)为，利用基本不等式求得取值范围，最后根据函数单调性证明不等式，（Ⅱ）一方面利用零点存在定理证明函数有零点，另一方面，利用导数证明函数在上单调递减，即至多一个零点.两者综合即得结论.学科&网详解：（Ⅰ）函数f（x）的导函数，设，则，所以所以g（x）在[256，+∞）上单调递增，故，即．（Ⅱ）令m=，n=，则f（m）–km–a>|a|+k–k–a≥0，f（n）–kn–a<≤<0，所以，存在x0∈（m，n）使f（x0）=kx0+a，所以，对于任意的a∈R及k∈（0，+∞），直线y=kx+a与曲线y=f（x）有公共点．由f（x）=kx+a得．设h（x）=，则h′（x）=，点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略：(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.例7.如图，设点()00,P x y 在直线(),01,x m y m m m =≠±<<且为常数上，过点P 作双曲线221x y -=的两条切线,PA PB ，切点为,A B ，求证：直线AB 过某一个定点【答案】见解析所以()()()()222221111441410ky kx k y kx k ∆=-+--+-=()()22114410y kx k ∴-+-= 学#科网()()2222222111111112101210k x kx y y k x k kx y y -++-=⇒--++=22111x y -= 222211111,1x y y x ∴-=+=代入可得： 222111120y k x y k x -+=即()2110y k x -=即11x k y =()111111:1x PA y y x x y y x x y ∴-=-⇒=- 同理，切线PB 的方程为211y y x x =-()0,P m y 在切线,PA PB 上，所以有01102211y y mx y y mx =-⎧⎨=-⎩ ,A B ∴满足直线方程01y y mx =-，而两点唯一确定一条直线0:1AB y y mx ∴=- 所以当10x m y ⎧=⎪⎨⎪=⎩时，无论0y 为何值，等式均成立∴点1,0m ⎛⎫ ⎪⎝⎭恒在直线AB 上，故无论P 在何处，AB 恒过定点1,0m ⎛⎫ ⎪⎝⎭例8.已知椭圆C 中心在原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点为()0,1（1）求椭圆C 的方程（2）过右焦点F 作直线l 交椭圆于,A B ，交y 轴于R ，若,RA AF RB BF λμ==，求λμ+【答案】（1）2215x y +=；（2）10. 【解析】（1）c e a == 1b = 2221a c b -==解得2a c == 22:15x C y ∴+=22105200x x k ++-=的两个不同根，进而利用韦达定理即可得到10λμ+=-解：由（1）得()2,0F ，设直线():2l y k x =-，可得()0,2R k -，设()()1122,,,A x y B x y 可得：()()1111,2,2,RA x y k AF x y =+=-- ，由RA AF λ=可得：()111111221221x x x k y k y y λλλλλ⎧=⎪=-⎧⎪+⇒⎨⎨-+=-⎩⎪=⎪+⎩① 因为A 在椭圆上，221155x y ∴+=，将①代入可得：()2222222+5=54205111k k λλλλλ-⎛⎫⎛⎫⇒+=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭22105200k λλ∴++-=对于μ， ()()2222,2,2,RB x y k BF x y =+=--，RB BF μ=同理可得：22105200k μμ∴++-=,λμ∴为方程22105200x x k ++-=的两个不同根 10λμ∴+=-例9.已知函数()1ax x ϕ=+，a 为正常数，若()()ln g x x x ϕ=+，且对任意(]1212,0,2,x x x x ∈≠，都有()()21211g x g x x x ->--，求a 的取值范围．学。
专题74 极坐标与参数方程-备战2019年高考数学之高三复习大一轮热点聚焦与扩展(解析版)
专题74 极坐标与参数方程【热点聚焦与扩展】极坐标与参数方程是高考选考内容之一，在知识上结合解析几何，考查学生曲线方程的转化能力，以及解析几何的初步技能，考查数学式子变形能力、运算求解能力、数形结合思想、逻辑推理能力等.题目难度不大，但需要学生能够快速熟练的解决问题.本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，举例说明. （一）极坐标：1、极坐标系的建立：以平面上一点为中心（作为极点），由此点引出一条射线，称为极轴，这样就建立了一个极坐标系2、点坐标的刻画：用一组有序实数对(),ρθ确定平面上点的位置，其中ρ代表该点到极点的距离，而θ表示极轴绕极点逆时针旋转至过该点时转过的角度，通常：[)0,0,2ρθπ>∈3、直角坐标系与极坐标系坐标的互化：如果将极坐标系的原点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴重合，则同一个点可具备极坐标(),ρθ和直角坐标(),x y ，那么两种坐标间的转化公式为：222cos sin x y x y ρθρθρ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩，由点组成的直角坐标方程与极坐标方程也可按照此法则进行转化，例如：极坐标方程cos sin 11x y ρθρθ+=⇒+=（在转化成,x y 时要设法构造cos ,sin ρθρθ ，然后进行整体代换即可） （二）参数方程：1、如果曲线(),0F x y =中的变量,x y 均可以写成关于参数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎪⎨=⎪⎩，那么()()x f t y g t =⎧⎪⎨=⎪⎩就称为该曲线的参数方程，其中t 称为参数 2、参数方程与一般方程的转化：消参法（1）代入消参：()323323x t y x y t =+⎧⇒=+-⎨=+⎩（2）整体消参：2211x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，由222112t t t t ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭可得：22x y =+（3）平方消参：利用22sin cos 1θθ+=消去参数例如：22cos 3cos 312sin 94sin 2xx x y y y θθθθ⎧=⎪=⎧⎪⇒⇒+=⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩ 3、常见图形的参数方程：（1）圆：()()222x a y b r -+-=的参数方程为：[)cos 0,2sin x a r y b r θθπθ=+⎧∈⎨=+⎩，，其中θ为参数，其几何含义为该圆的圆心角（2）椭圆：()222210x y a b a b +=>>的参数方程为[)cos 0,2sin x a y b θθπθ=⎧∈⎨=⎩，，其中θ为参数，其几何含义为椭圆的离心角（3）双曲线：()222210x y a b a b -=>>的参数方程为[)10,2cos tan x ay b θπθθ⎧=⎪∈⎨⎪=⎩，，其中θ为参数，其几何含义为双曲线的离心角（4）抛物线：()220y px p =>的参数方程为222x pt y pt⎧=⎨=⎩，其中t 为参数（5）直线：过(),M a b ，倾斜角为θ的直线参数方程为cos sin x a t t R y b t θθ=+⎧∈⎨=+⎩，，其中t 代表该点与M 的距离注：对于极坐标与参数方程等问题，通常的处理手段是将方程均转化为直角坐标系下的一般方程，然后利用传统的解析几何知识求解【经典例题】例1.【2018年江苏卷】在极坐标系中，直线l 的方程为，曲线C 的方程为，求直线l 被曲线C 截得的弦长．【答案】直线l 被曲线C 截得的弦长为【解析】分析：先根据直线与圆极坐标方程得直线与圆的一个交点为A （4，0），且OA 为直径.设直线与圆的另一个交点为B ，根据直线倾斜角得∠OAB =．最后根据直角三角形OBA 求弦长.详解：因为曲线C 的极坐标方程为，所以曲线C 的圆心为（2，0），直径为4的圆．连结OB，因为OA为直径，从而∠OBA=，所以．因此，直线l被曲线C截得的弦长为．例2.【2018年新课标I卷理】在直角坐标系中，曲线的方程为.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求的直角坐标方程；学/科网（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程.【答案】(1) .(2) .【解析】分析：(1)就根据，以及，将方程中的相关的量代换，求得直角坐标方程；(2)结合方程的形式，可以断定曲线是圆心为，半径为的圆，是过点且关于轴对称的两条射线，通过分析图形的特征，得到什么情况下会出现三个公共点，结合直线与圆的位置关系，得到k 所满足的关系式，从而求得结果.详解：（1）由，得的直角坐标方程为．（2）由（1）知是圆心为，半径为的圆．经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与有两个公共点．当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点．综上，所求的方程为．例3.【2018年全国卷Ⅲ文】在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点．（1）求的取值范围；（2）求中点的轨迹的参数方程．【答案】（1）；（2）为参数，【解析】分析：（1）由圆与直线相交，圆心到直线距离可得.（2）联立方程，由根与系数的关系求解详解：（1）的直角坐标方程为．当时，与交于两点．当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，即或．所以点的轨迹的参数方程是为参数，．例4.【2018年全国卷II理】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）.（1）求和的直角坐标方程；（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．【答案】（1）当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为．（2）【解析】分析：(1)根据同角三角函数关系将曲线的参数方程化为直角坐标方程，根据代入消元法将直线的参数方程化为直角坐标方程，此时要注意分与两种情况.(2)将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，根据参数几何意义得之间关系，求得，即得的斜率．详解：（1）曲线的直角坐标方程为．当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为．（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程．①若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则(1)M1，M2两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0＋t2cos α，y0＋t2sin α).(2)|M1M2|＝|t1－t2|.学/科-+网(3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t＝，中点M到定点M0的距离|MM0|＝|t|＝.(4)若M0为线段M1M2的中点，则t1＋t2＝0.例5．【山东、湖北部分重点中学2018届冲刺模拟（二）】在直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数，为直线倾斜角）.以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.（Ⅰ）当时，求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点的直角坐标为，直线与曲线交于两点，当面积最大时，求直线的普通方程.【答案】(Ⅰ)的普通方程为.的直角坐标方程为.(Ⅱ).【解析】试题分析：（Ⅰ）当时，消去参数可得直线的普通方程为.极坐标化为直角坐标可得曲线的直角坐标方程为.（Ⅱ）由题意可得.满足题意时，△ABC为等腰直角三角形，则点到直线的距离为，结合点到直线距离公式可得直线的斜率，直线的普通方程为.所以曲线的直角坐标方程为.（Ⅱ）曲线是以为圆心，2为半径的圆，.当时面积最大.此时点到直线的距离为，所以，解得：，所以直线的普通方程为.例6.【陕西省咸阳市2018年5月】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线和曲线有三个公共点，求以这三个点为顶点的三角形的面积.【答案】（1）,（2）16【解析】分析: （Ⅰ）利用参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程互化的方法，可得曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）曲线和曲线都是关于轴对称的图形，它们有三个公共点，所以原点的它们其中的一个公共点，从而可确定，进而得到三角形的面积.点睛: 参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式，等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，本题这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．例7．【2018届山东省潍坊市青州市三模】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数),在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线是圆心在极轴上，且经过极点的圆.已知曲线上的点对应的参数，射线与曲线交于点（1）求曲线、的直角坐标方程；（2）若点在曲线上的两个点且，求的值.【答案】（1），；（2）【解析】分析：（1）将及对应的参数，代入，解得，即可得出曲线的直角坐标方程，由于曲线是圆心在极轴上，且过极点的圆，将点代入，即可求解曲线的方程；（2）设在曲线上，求得和，即可求解的值.所以曲线的极坐标方程为，即（2）设在曲线上，所以，，所以例8.【2018届福建省三明市第一中学适应性练习（一）】在直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数），在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为. （1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若曲线与交于，两点，点的坐标为，求.【答案】(1)；.(2) .【解析】分析：（1）消元法解出直线的普通方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式解出圆的直角坐标方程（2）将直线的参数方程为代入圆的直角坐标方程并化简整理关于的一元二次方程.利用的几何意义求解问题.详解：（1）曲线的极坐标方程为，即，将其代入中并化简，得.设点对应参数为，点对应参数为，则，，从而.学%科网点睛：将直线的参数方程为代入圆的直角坐标方程并化简整理关于的一元二次方程.利用的几何意义求解问题是解决直线上的定点与交点问题的常规解法.注意，要去绝对值符号，需判断交点与定点的位置关系，上方为正，下方为负.例9．【辽宁省葫芦岛市2018年二模】直角坐标系中，直线的参数方程为 (为参数)，在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的方程为.（1）求圆的直角坐标方程；（2）设圆与直线交于点，若点的坐标为，求的最小值.【答案】（1）（2）.【解析】分析：（1）将两边同乘，根据直角坐标与极坐标的对应关系得出直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入圆的普通方程，根据参数的几何意义与根与系数的关系得出．详解：（1）由，化为直角坐标方程为，例10．【2018届四川省双流中学二模】已知曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；(2)若射线分别与曲线，交于，两点(异于极点)，求的值.【答案】（1）,（2）【解析】试题分析：（1）根据参普互化的公式和极直互化的公式得到两条曲线的直角坐标方程；（2）分别联立射线和两条曲线的极坐标方程，求得，，而，代入求值即可.(2)联立，得，联立，得，故.点睛：这个题目考查了参数方程化为普通方程的方法，极坐标化为直角坐标的方法，以及极坐标中极径的几何意义，极径代表的是曲线上的点到极点的距离，在参数方程和极坐标方程中，能表示距离的量一个是极径，一个是t的几何意义，其中极径多数用于过极点的曲线，而t的应用更广泛一些.【精选精练】1．【2018届北京市十一学校三模】若直线〔为参数)与圆(为参数)相切，则（）A. -4或6B. -6或4C. -1或9D. -9或1【答案】A【解析】分析：先把参数方程化为普通方程，再利用直线与圆相切的充要条件是圆心到直线的距离等于半径，即可求出答案.解析：把直线〔为参数)与圆(为参数)的参数方程分别化为普通方程得：直线：；圆：.此直线与该圆相切，，解得或6.故选：A.2．【2018年天津卷】已知圆的圆心为C，直线(为参数)与该圆相交于A，B 两点，则的面积为___________.【答案】【解析】分析：由题意首先求得圆心到直线的距离，然后结合弦长公式求得弦长，最后求解三角形的面积即可.则.点睛：处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．3．【2018年北京卷】在极坐标系中，直线与圆相切，则a=__________．【答案】【解析】分析：根据将直线与圆极坐标方程化为直角坐标方程，再根据4．过椭圆（为参数）的右焦点作一直线交椭圆于、两点，若，则该直线斜率为__________．【答案】.【解析】分析：显得出椭圆的标准方程：故右焦点为（），然后设出直线的参数方程，由参数方程可知等价于，然后联立方程结合韦达定理即可. 学/科网详解：由题可知椭圆方程为：，右焦点为（），故可设直线的参数方程为：（t为参数），所以，联立方程：故斜率为：5．【2018年天津市河西区三模】在极坐标系中，直线的极坐标方程为，设抛物线的参数方程为（为参数，），其焦点为，点（）是抛物线上一点，圆与线段相交于点，且被直线截得的弦长为，若，则__________．【答案】1【解析】分析：先将直线的极坐标方程和抛物线的参数方程转化为直角坐标方程，利用点在抛物线上求出点的坐标，再利用直线和圆的弦长公式和抛物线的定义进行求解.详解：将直线的方程化为，将抛物线的方程为（为参数，）化为，所以,因为，又，所以，所以，所以，解得，则.点睛：1.进行曲线的参数方程和直角坐标方程的互化时，要注意参数的选择，因为参数的不同，导致转化后的方程和曲线不同；学--科/网2.涉及抛物线的过焦点的弦时，往往利用抛物线的定义将抛物线的点到焦点的距离转化为到准线的距离，如抛物线上的点到焦点的距离为.6．【2018届江西省抚州市临川区第一中学最后一模】以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为.（1）写出曲线的参数方程；（2）在曲线上任取一点，过点作轴，轴的垂直，垂足分别为，，求矩形的面积的最大值. 【答案】(1).(2).【解析】分析：（1）先根据将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，再故曲线的参数方程（为参数）；（2）由（1）可设点的坐标为，，则矩形的面积为.令，，，故当时，.点睛：利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题非常简捷方便，是我们解决这类问题的好方法.椭圆参数方程：，圆参数方程：，直线参数方程：7．【2018届江苏省盐城中学全仿真】在直角坐标平面内，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为(为参数).(I)求曲线的直角坐标方程;(I)若点在曲线上，且到直线的距离为1，求满足这样条件的点的个数.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)3个.【解析】分析：（I）利用直角坐标与极坐标间的互化关系，进行代换即可；（Ⅱ）求出圆心坐标到直线l的距离，即可得出结论.所以满足这样条件的点的个数为3个.8．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，曲线的参数方程为（为参数）.（1）求曲线，的普通方程；（2）求曲线上一点到曲线距离的取值范围.【答案】(1) ；.（2）.【解析】分析：（1）直接消掉参数即得普通方程；（2）求曲线上一点到曲线距离的取值范围.可借助参数方程设此点为，然后根据点到直线的距离公式得出表达式转化为三角函数求最值问当时，即，.∴取值范围为.9．【2018届云南省玉溪市适应性训练】已知曲线的参数方程为（为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线上的点按坐标变换得到曲线.（Ⅰ）求曲线的普通方程；学科；网（Ⅱ）若点在曲线上，点，当点在曲线上运动时，求中点的轨迹方程.【答案】(1).(2).【解析】分析：（Ⅰ）根据坐标变换，代入变换方程，即可得到变换后的参数方程，进而转化为普通方程. （Ⅱ）根据中点坐标公式求出P点的参数方程，代入普通方程得到中点的轨迹，再化为标准方程即可.详解：（Ⅰ）将代入，得的参数方程为，∴动点的轨迹方程为.10．【2018届安徽省安庆市第一中学热身】在平面直角坐标系中,以原点为极点, 轴正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知曲线,直线.(1)将曲线上所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的2倍、倍后得到曲线,请写出直线,和曲线的直角坐标方程；(2)若直线经过点且与曲线交于点,求的值.【答案】（1），；（2）2【解析】分析：（1）根据极坐标和直角坐标系间的转化公式及变换公式可得所求的方程．（2）由题意可求得直线的参数方程，将其代入曲线的方程消元后得到关于参数的二次方程，然后根据参数的几何意义可得所求．详解：（1）将代入，可得，∴直线的直角坐标方程为．设曲线上任一点坐标为，则，所以，代入得，设点对应的参数分别为，则，由直线参数的几何意义可知．点睛：直线的参数方程中参数的几何意义为求线段的长度带来了方便，但此时要求参数方程中参数的系数的平方和为1，只有在这一条件下参数的绝对值才表示直线上的点到定点的距离．11．【2018届湖北省华中师范大学第一附属中学5月押题】以直角坐标系的原点为极点，以轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，已知直线的参数方程为（为参数，），曲线的极坐标方程为．（1）若，求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线相交于，两点，当变化时，求的最小值．【答案】(1)，.(2).【解析】分析：（1）将代入到直线的参数方程，消去即可得直线的普通方程，再根据，即可求得曲线的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入到曲线的直角坐标方程，根据韦达定理可得，，结合参数的几何意义及三角函数的图象与性质即可求得的最小值．详解：（1）当时，由直线的参数方程消去得，即直线的普通方程为；∵，，.∴当，即时，的最小值为．12.【2018届安徽亳州市涡阳一中最后一卷】在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （1）求曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线交于，两点，线段的中点的直角坐标为，求直线的方程.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）曲线的极坐标方程中将和换成和即可得到曲线的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入的直角坐标方程得，利用韦达定理以及直线参数方程的几何意义可得，从而可得结果.整理可得，设，所对应的参数分别为，，则，∴ ，∴ 直线的斜率，∴ 直线的方程为.点睛：本题考查圆的参数方程和普通方程的转化、直线极坐标方程和直角坐标方程的转化以及点到直线距离公式，消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法，极坐标方程化为直角坐标方程，只要将和换成和即可.。
备战2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题03 命题形式变化及真假判定
—————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————专题03 命题形式变化及真假判定【热点聚焦与扩展】（一）命题结构变换1、四类命题间的互化：设原命题为“若p ，则q ”的形式，则 （1）否命题：“若p ⌝，则q ⌝” （2）逆命题：“若q ，则p ” （3）逆否命题：“若q ⌝，则p ⌝”2、p q ∨，p q ∧（1）用“或”字连接的两个命题（或条件），表示两个命题（或条件）中至少有一个成立即可，记为p q ∨ （2）用“且”字连接的两个命题（或条件），表示两个命题（或条件）要同时成立，记为p q ∧3、命题的否定p ⌝：命题的否定并不是简单地在某个地方加一个“不”字，对于不同形式的命题也有不同的方法 （1）一些常用词的“否定”：是→不是 全是→不全是 至少一个→都没有 至多n 个→至少1n +个 小于→大于等于 （2）含有逻辑联结词的否定：逻辑联接词对应改变，同时,p q 均变为,p q ⌝⌝：p 或q →p ⌝且q ⌝ p 且q →p ⌝或q ⌝（3）全称命题与存在性命题的否定全称命题：():,:,()p x M p x p x M p x ∀∈→⌝∃∈⌝ 存在性命题：():,:,()p x M p x p x M p x ∃∈→⌝∀∈⌝ 规律为：两变一不变① 两变：量词对应发生变化（∀⇔∃），条件()p x 要进行否定()p x ⇒⌝ ② 一不变：x 所属的原集合M 的不变化（二）命题真假的判断：判断命题真假需要借助所学过的数学知识，但在一组有关系的命题中，真假性也存在一定的关联。
1、四类命题：原命题与逆否命题真假性相同，同理，逆命题与否命题互为逆否命题，所以真假性也相同。
而原命题与逆命题，原命题与否命题真假没有关联2、p q ∨，p q ∧，如下列真值表所示：简而言之“一真则真” 简而言之“一假则假” 3、p ⌝：与命题p 真假相反。
4、全称命题：真：要证明每一个M 中的元素均可使命题成立 假：只需举出一个反例即可 5、存在性命题：真：只需在M 举出一个使命题成立的元素即可 假：要证明M 中所有的元素均不能使命题成立【经典例题】例1【2017山东，理3】已知命题p:()x x ∀+＞0,ln 1＞0；命题q ：若a ＞b ，则a b 22＞，下列命题为真命题的是（ ）（A ） ∧p q （B ）⌝∧p q （C ） ⌝∧p q （D ）⌝⌝∧p q 【答案】B【名师点睛】解答简易逻辑联结词相关问题，关键是要首先明确各命题的真假，利用或、且、非真值表，进一步作出判断.例2【2017北京，理13】能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则a+b ＞c”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为______________________________． 【答案】-1，-2，-3（答案不唯一）【名师点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时利用赋值的方式举反例进行验证，答案不唯一． 例3.命题“若2πα=，则sin 1α=”的逆否命题是（ ）A. 若2πα≠，则sin 1α≠ B. 若2πα=，则sin 1α≠C. 若sin 1α≠，则 2πα≠ D. 若sin 1α=，则 2πα=【答案】B【解析】命题“若p ，则q ”的逆否命题是“若q ⌝，则p ⌝，”故命题“若2πα=，则sin 1α=”的逆否命题是若sin 1α≠，则 2πα≠，故选C.例4【2019届新疆乌鲁木齐市高三第二次监测】命题:p 若0x <，则()l n 10x +<； q 是p 的逆命题，则（ ） A. p 真， q 真 B. p 真， q 假 C. p 假， q 真 D. p 假， q 假 【答案】C【解析】由题意， ()ln 10x +<，所以011x <+<，得10x -<<， 所以命题p 为假命题，又因为q 是p 的逆命题，所以命题q ：若()ln 10x +<，则0x <为真命题，故选C. 例5.有下列命题:①面积相等的三角形是全等三角形; ②“若,则”的逆命题; ③“若,则”的否命题;④“矩形的对角线互相垂直”的逆否命题.其中真命题为 A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ②④ 【答案】B【解析】逐一考查所给的命题：①面积相等的三角形不一定是全等三角形，该命题错误;②“若,则”的逆命题为“若,则”，该命题正确; ③“若,则”的否命题为“若,则”，该命题正确;④“矩形的对角线互相垂直”为假命题，则其逆否命题为假命题，原命题错误. 综上可得：真命题为②③. 本题选择B 选项. 例6.已知命题,使;命题,都有.给出下列结论:A. 命题是真命题B. 命题“”是真命题C. 命题“”是真命题D. 命题“”是假命题【答案】B本题选择B 选项.例7.命题“2,1x R x ∃∈=-使得”的否定是（ ） A. 2,1x R x ∀∉=-都有 B. 2,1x R x ∃∉=-使得 C. 2,1x R x ∃∈≠-使得 D. 2,1x R x ∀∈≠-都有 【答案】D【解析】特称命题的否定为全称命题，将存在量词变为全称量词，同时将结论进行否定，故命题“x R ∃∈，使得21x =-”的否定是“x R ∀∈，都有21x ≠-”，故选D.例8【2019届湖南省张家界市高三三模】命题p ： 2x ∀>， 230x ->的否定是（ ） A. 2x ∀>， 230x -≤ B. 2x ∀≤， 230x -> C. 02x ∃>， 230x -≤ D. 02x ∃>， 230x -> 【答案】C【解析】由题意可知，命题p 为全称命题，其否定须由全称命题来完成，并否定其结果，所以命题p 的否定是02x ∃>， 230x -≤.故选C.例9【2019届北京市首师大附高三十月月考】已知命题“2,210x R x ax ∃∈++<”是真命题,则实数a 的取值范围是（ ）A. (),1-∞-B. ()1,+∞C. ()(),11,-∞-⋃+∞D. ()1,1- 【答案】C【解析】因为命题“2,210x R x ax ∃∈++<”是真命题, 所以244011a a a ∆=->∴><-或，选C.x&kw例10【2019届江西省八所重点中学高三下学期联考】已知命题:p 对任意0x >，总有sin x x <；命题:q 直线1:210l ax y ++=， ()2:110l x a y +--=，若12//l l ，则2a =或1a =-；则下列命题中是真命题的是（ ）A. p q ∧B. ()()p q ⌝∧⌝C. ()p q ⌝∨D. p q ∨ 【答案】D【精选精练】1．【2017山东，文5】已知命题p ：,x ∃∈R 210x x -+≥;命题q ：若22a b <,则a <b .下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B.p q ∧⌝ C.p q ⌝∧ D.p q ⌝∧⌝ 【答案】B【解析】由0x =时210x x -+≥成立知p 是真命题,由221(2),12<->-可知q 是假命题,所以p q ∧⌝是真命题,故选B.【名师点睛】判断一个命题为真命题,要给出推理证明；判断一个命题是假命题,只需举出反例．根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假．2．【2019届安徽省江淮十校高三第三次（4月）联考】下列命题中，真命题是（ ） A. x R ∀∈，有()ln 10x +> B. 22sin 3sin x x+≥ (),x k k Z π≠∈ C. 函数()22xf x x =-有两个零点 D. 1a >， 1b >是1ab >的充分不必要条件 【答案】D【解析】x=0时lnx=0,A 错误；当sinx=-1时， 22sin 1sin x x+=-，B 错误； ()22x f x x =-有三个零点，x=2,4,还有一个小于0，C 错误；当1a >， 1b >时，一定有1ab >，但当2a =-， 3b =-时， 61ab =>也成立，故D 正确,选D.3．【2019届山西省榆社中学高三诊断性模拟】设集合2{|670}A x x x =--<， {|}B x x a =≥，现有下面四个命题：1:,p a R A B ∃∈⋂=∅； 2:p 若0a =，则()7,A B ⋃=-+∞；3p ：若(),2R C B =-∞，则a A ∈； 4p ：若1a ≤-，则A B ⊆.其中所有的真命题为（ ）A. 14,p pB. 134,,p p pC. 23,p pD. 124,,p p p 【答案】B【名师点睛】此题主要考查集合的补集、交集、并集、包含等基本关系与运算，以及二次不等式、命题的真假判断等运算与技能，属于中低档题型，也是常考题型.在二次不等式的求解过程中，首先要算出其相应二次方程的根()1212,x x x x <，当0a >时，则有“大于号取两边，即()()12,x x -∞⋃+∞，，小于号取中间，即()12,x x ”. 4．【2019届河南省南阳市第一中学高三第十二次】设有下面四个命题：①“若，则与的夹角为锐角”及它的逆命题均为真命题②若,则③“”是“或”的充分不必要条件 ④命题“中，若，则”的逆命题为真命题其中正确命题的个数是( ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B5．命题:p 函数()2(0xf x a a =->且1)a ≠图像恒过点()0,2;-命题()():lg 0q f x x x =≠有两个零点，则下列结论中成立的是A. p q ∨为真B. p q ∧为真C. p ⌝为假D. q ⌝为真 【答案】A【解析】:p 函数图像恒过点()0,1- 所以命题不正确；根据偶函数()lg f x x =可知q 命题正确，所以根据复合命题的判断方法可知p q ∨正确，故选A.6．【2019届河南省高三4月测试】下列说法中，正确的是（ ） A. 命题“若，则”的逆命题是真命题 B. 命题“，”的否定是“，”C. 命题“或”为真命题，则命题“”和命题“”均为真命题D. 已知，则“”是“”的充分不必要条件【答案】B【解析】对于选项A,逆命题为“若”，当m=0时，不成立，所以是假命题；对于选项B ，特称命题的否定是正确的；对于选项C ，命题“或”为真命题，则命题“”和命题“”至少有一个是真命题，不是全都是真命题，所以是假命题；对于选项D ， “”是“”的必要不充分条件,所以是假命题.故选B.7．【2019届湖南省（长郡中学、衡阳八中）、江西省（南昌二中）等十四校高三第二次联考】已知命题p ： x R ∀∈，()22log 231x x ++>；命题q ： 0x R ∃∈， 0sin 1x >，则下列命题中为真命题的是（ ）A. p q ⌝∧⌝B. p q ∧⌝C. p q ⌝∧D. p q ∧ 【答案】A【解析】()2223122x x x ++=++≥， ()22log 231x x ∴++≥，故p 为假命题， p ⌝为真命题，因为x R ∀∈，sin 1x ≤，所以命题q ： 0x R ∃∈， 0sin 1x >，为假命题，所以q ⌝为真命题， p q ⌝∧⌝为真命题，故选A.8．若“,,tan 144x m x ππ⎡⎤∀∈-≤+⎢⎥⎣⎦”为真命题，则实数m 的最大值为________. 【答案】09．【2019届山东省桓台第二中学高三4月月考】若命题“0x R ∃∈，使得2+20x x a +≤”是假命题，则实数a 的取值范围是________． 【答案】()1+∞，【解析】因为命题“0x R ∃∈，使得2+20x x a +≤”是假命题， 所以“x R ∀∈，使得2+20x x a +>”为真命题，因此=440 1.a a ∆-∴ 10．下列命题：①若，则；②已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是；③已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的重心；④在中，，边长分别为，则只有一解；⑤如果△ABC内接于半径为的圆，且则△ABC的面积的最大值；其中正确的序号为_______________________。
备战2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题51 曲线与方程——求轨迹方程
专题51 曲线与方程----求轨迹方程【热点聚焦与扩展】纵观近几年的高考试题，高考对曲线与方程的考查，主要有以下两个方面：一是确定的轨迹的形式或特点；二是求动点的轨迹方程，同时考查到求轨迹方程的基本步骤和常用方法.一般地，命题作为解答题一问，小题则常常利用待定系数法求方程或利用方程判断曲线类别.本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明求点的轨迹方程问题的常见解法. 1、求点轨迹方程的步骤： （1）建立直角坐标系（2）设点：将所求点坐标设为(),x y ，同时将其他相关点坐标化（未知的暂用参数表示） （3）列式：从已知条件中发掘,x y 的关系，列出方程 （4）化简：将方程进行变形化简，并求出,x y 的范围 2、求点轨迹方程的方法（1）直接法：从条件中直接寻找到,x y 的关系，列出方程后化简即可（2）代入法：所求点(),P x y 与某已知曲线()00,0F x y =上一点()00,Q x y 存在某种关系，则可根据条件用,x y 表示出00,x y ，然后代入到Q 所在曲线方程中，即可得到关于,x y 的方程（3）定义法：从条件中能够判断出点的轨迹为学过的图形，则可先判定轨迹形状，再通过确定相关曲线的要素，求出曲线方程.常见的曲线特征及要素有： ① 圆：平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹直角→圆：若AB AC ⊥，则A 点在以BC 为直径的圆上 确定方程的要素：圆心坐标(),a b ，半径r② 椭圆：平面上到两个定点的距离之和为常数（常数大于定点距离）的点的轨迹 确定方程的要素：距离和2a ，定点距离2c③ 双曲线：平面上到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于定点距离）的点的轨迹 注：若只是到两定点的距离差为常数（小于定点距离），则为双曲线的一支 确定方程的要素：距离差的绝对值2a ，定点距离2c④ 抛物线：平面上到一定点的距离与到一定直线的距离（定点在定直线外）相等的点的轨迹确定方程的要素：焦准距：p .若曲线位置位于标准位置（即标准方程的曲线），则通过准线方程或焦点坐标也可确定方程（4）参数法：从条件中无法直接找到,x y 的联系，但可通过一辅助变量k ，分别找到,x y 与k 的联系，从而得到,x y 和k 的方程：()()x f k y g k =⎧⎪⎨=⎪⎩，即曲线的参数方程，消去参数k 后即可得到轨迹方程. 【经典例题】例1.【2019届北京石景山区一模】如图，已知线段AB 上有一动点D （D 异于A B 、）,线段CD AB ⊥,且满足2CD AD BD λ=⋅（λ是大于0且不等于1的常数），则点C 的运动轨迹为（ ）A. 圆的一部分B. 椭圆的一部分C. 双曲线的一部分D. 抛物线的一部分 【答案】B例2.设点A 到图形C 上每一个点的距离的最小值称为点A 到图形C 的距离．已知点A （1，0），圆C ：x 2+2x+y 2=0，那么平面内到圆C 的距离与到点A 的距离之差为1的点的轨迹是（ ） A. 双曲线的一支 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 射线 【答案】D【解析】圆的标准方程为()2211x y ++=，如图所示，设圆心坐标为'A ，满足题意的点为点P ，由题意有：'11PA PA --=，则'2'PA PA AA -==，设()2,0B ，结合几何关系可知满足题意的轨迹为射线AB . 本题选择D 选项.例3.动点在曲线上移动，点和定点连线的中点为，则点的轨迹方程为（ ）．A. B.C. D.【答案】B例4.已知直线y kx m =+与抛物线22y x =交于,A B 两点，且OA OB OA OB +=-，其中O 为坐标原点，若OM AB ⊥于M ，则点M 的轨迹方程为（ ）A. 222x y += B. ()2211x y -+=C. ()2211x y +-= D. ()2214x y -+=【答案】B【解析】思路：先处理条件OA OB OA OB +=-可得由,OA OB 为邻边的平行四边形对角线相等，所以该四边形为矩形.即OA OB ⊥，设()()1122,,,A x y B x y ，即12120x x y y +=，联立直线与抛物线方程并利联立方程：22y kx m y x=+⎧⎨=⎩，消去x 可得：222202ky y m ky y m =+⇒-+= 122my y k∴=222121224y y m x x k == 2220m m k k ∴+=，由0km ≠可得2m k =- ():22l y kx m kx k k x ∴=+=-=-，即直线过定点()2,0C OM AB ⊥即OM CM ⊥ M ∴的轨迹为以OC 为直径的圆则该圆的圆心为()1,0，半径1r =∴轨迹方程为()2211x y -+=答案：B 例5.点是圆上的动点，定点，线段的垂直平分线与直线的交点为，则点的轨迹方程是___．【答案】【解析】由垂直平分线的性质有，所以，又，根据双曲线的定义，点Q 的轨迹是C ，F 为焦点，以4为实轴长的双曲线，，，所以点Q 的轨迹方程是.例6.【2019届福建省漳州市高三上学期期末】已知直线l 过抛物线C ： 24y x =的焦点， l 与C 交于A ， B 两点，过点A ， B 分别作C 的切线，且交于点P ，则点P 的轨迹方程为________. 【答案】1x =-1y =-，故原抛物线C 相应的点P 的轨迹方程为x 1=-，故答案为x 1=-.例7.【2017课标II ，理】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.(1) 求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F. 【答案】(1) 222x y +=.(2)证明略. 【解析】（2）由题意知()1,0F -.设()()3,,,Q t P m n -,则()()3,,1,,33OQ t PF m n OQ PF m tn =-=---⋅=+-， ()(),,3,OP m n PQ m t n ==---.由1=OP PQ 得2231m m tn n --+-=，又由（1）知222m n +=，故330m tn +-=.所以0=OQ PF ，即⊥OQ PF .又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F.例8.已知抛物线：的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q两点.（I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；（II ）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程. 【答案】（I ）详见解析；（II ）．【解析】由题设.设，则，且.记过两点的直线为，则的方程为.（I ）由于在线段上，故. 记的斜率为，的斜率为，则当与轴不垂直时，由可得.而，所以.当与轴垂直时，与重合.所以，所求轨迹方程为.例9.【2019届河北衡水金卷】已知焦点为的的抛物线：（）与圆心在坐标原点，半径为的交于，两点，且，，其中，，均为正实数.（1）求抛物线及的方程；（2）设点为劣弧上任意一点，过作的切线交抛物线于，两点，过，的直线，均于抛物线相切，且两直线交于点，求点的轨迹方程.【答案】(1)答案见解析；(2).【解析】试题分析:(1)由题意可得到将点A坐标代入方程可得到m=2,进而得到点A的坐标，由点点距得到半径；（2）设，，，,由直线和曲线相切得到，：，同理：，联立两直线得，根据点在圆上可消参得到轨迹.解析：（1）由题意，，故。
专题74 极坐标与参数方程-备战2019年高考数学之高三复习大一轮热点聚焦与扩展(解析版)
专题74 极坐标与参数方程【热点聚焦与扩展】极坐标与参数方程是高考选考内容之一，在知识上结合解析几何，考查学生曲线方程的转化能力，以及解析几何的初步技能，考查数学式子变形能力、运算求解能力、数形结合思想、逻辑推理能力等.题目难度不大，但需要学生能够快速熟练的解决问题.本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，举例说明. （一）极坐标：1、极坐标系的建立：以平面上一点为中心（作为极点），由此点引出一条射线，称为极轴，这样就建立了一个极坐标系2、点坐标的刻画：用一组有序实数对(),ρθ确定平面上点的位置，其中ρ代表该点到极点的距离，而θ表示极轴绕极点逆时针旋转至过该点时转过的角度，通常：[)0,0,2ρθπ>∈3、直角坐标系与极坐标系坐标的互化：如果将极坐标系的原点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴重合，则同一个点可具备极坐标(),ρθ和直角坐标(),x y ，那么两种坐标间的转化公式为：222cos sin x y x y ρθρθρ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩，由点组成的直角坐标方程与极坐标方程也可按照此法则进行转化，例如：极坐标方程cos sin 11x y ρθρθ+=⇒+=（在转化成,x y 时要设法构造cos ,sin ρθρθ ，然后进行整体代换即可）（二）参数方程：1、如果曲线(),0F x y =中的变量,x y 均可以写成关于参数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎪⎨=⎪⎩，那么()()x f t y g t =⎧⎪⎨=⎪⎩就称为该曲线的参数方程，其中t 称为参数 2、参数方程与一般方程的转化：消参法（1）代入消参：()323323x t y x y t =+⎧⇒=+-⎨=+⎩（2）整体消参：2211x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，由222112t t t t ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭可得：22x y =+（3）平方消参：利用22sin cos 1θθ+=消去参数例如：22cos 3cos 312sin 94sin 2xx x y y y θθθθ⎧=⎪=⎧⎪⇒⇒+=⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩ 3、常见图形的参数方程： （1）圆：()()222x a y b r -+-=的参数方程为：[)cos 0,2sin x a r y b r θθπθ=+⎧∈⎨=+⎩，，其中θ为参数，其几何含义为该圆的圆心角（2）椭圆：()222210x y a b a b +=>>的参数方程为[)cos 0,2sin x a y b θθπθ=⎧∈⎨=⎩，，其中θ为参数，其几何含义为椭圆的离心角（3）双曲线：()222210x y a b a b -=>>的参数方程为[)10,2cos tan x a y b θπθθ⎧=⎪∈⎨⎪=⎩，，其中θ为参数，其几何含义为双曲线的离心角（4）抛物线：()220y px p =>的参数方程为222x pt y pt ⎧=⎨=⎩，其中t 为参数（5）直线：过(),M a b ，倾斜角为θ的直线参数方程为cos sin x a t t R y b t θθ=+⎧∈⎨=+⎩，，其中t 代表该点与M 的距离注：对于极坐标与参数方程等问题，通常的处理手段是将方程均转化为直角坐标系下的一般方程，然后利用传统的解析几何知识求解【经典例题】例1.【2018年江苏卷】在极坐标系中，直线l 的方程为，曲线C 的方程为，求直线l 被曲线C 截得的弦长．【答案】直线l 被曲线C 截得的弦长为【解析】分析：先根据直线与圆极坐标方程得直线与圆的一个交点为A （4，0），且OA 为直径.设直线与圆的另一个交点为B ，根据直线倾斜角得∠OAB =．最后根据直角三角形OBA 求弦长.详解：因为曲线C 的极坐标方程为，所以曲线C的圆心为（2，0），直径为4的圆．连结OB，因为OA为直径，从而∠OBA=，所以．因此，直线l被曲线C截得的弦长为．例2.【2018年新课标I卷理】在直角坐标系中，曲线的方程为.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求的直角坐标方程；（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程.【答案】(1) .(2) .【解析】分析：(1)就根据，以及，将方程中的相关的量代换，求得直角坐标方程；(2)结合方程的形式，可以断定曲线是圆心为，半径为的圆，是过点且关于轴对称的两条射线，通过分析图形的特征，得到什么情况下会出现三个公共点，结合直线与圆的位置关系，得到k所满足的关系式，从而求得结果.详解：（1）由，得的直角坐标方程为．（2）由（1）知是圆心为，半径为的圆．经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与有两个公共点．当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点．综上，所求的方程为．例3.【2018年全国卷Ⅲ文】在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点．（1）求的取值范围；（2）求中点的轨迹的参数方程．【答案】（1）；（2）为参数，【解析】分析：（1）由圆与直线相交，圆心到直线距离可得.（2）联立方程，由根与系数的关系求解详解：（1）的直角坐标方程为．当时，与交于两点．当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，即或．所以点的轨迹的参数方程是为参数，．例4.【2018年全国卷II理】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）.（1）求和的直角坐标方程；（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．【答案】（1）当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为．（2）【解析】分析：(1)根据同角三角函数关系将曲线的参数方程化为直角坐标方程，根据代入消元法将直线的参数方程化为直角坐标方程，此时要注意分与两种情况.(2)将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，根据参数几何意义得之间关系，求得，即得的斜率．详解：（1）曲线的直角坐标方程为．当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为．（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程．①若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则(1)M1，M2两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0＋t2cos α，y0＋t2sin α).(2)|M1M2|＝|t1－t2|.学/科-+网(3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t＝，中点M到定点M0的距离|MM0|＝|t|＝.(4)若M0为线段M1M2的中点，则t1＋t2＝0.例5．【山东、湖北部分重点中学2018届冲刺模拟（二）】在直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数，为直线倾斜角）.以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.（Ⅰ）当时，求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点的直角坐标为，直线与曲线交于两点，当面积最大时，求直线的普通方程.【答案】(Ⅰ)的普通方程为.的直角坐标方程为.(Ⅱ).【解析】试题分析：（Ⅰ）当时，消去参数可得直线的普通方程为.极坐标化为直角坐标可得曲线的直角坐标方程为.（Ⅱ）由题意可得.满足题意时，△ABC为等腰直角三角形，则点到直线的距离为，结合点到直线距离公式可得直线的斜率，直线的普通方程为.所以曲线的直角坐标方程为.（Ⅱ）曲线是以为圆心，2为半径的圆，.当时面积最大.此时点到直线的距离为，所以，解得：，所以直线的普通方程为.例6.【陕西省咸阳市2018年5月】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线和曲线有三个公共点，求以这三个点为顶点的三角形的面积.【答案】（1）,（2）16【解析】分析: （Ⅰ）利用参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程互化的方法，可得曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）曲线和曲线都是关于轴对称的图形，它们有三个公共点，所以原点的它们其中的一个公共点，从而可确定，进而得到三角形的面积.点睛: 参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式，等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，本题这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．例7．【2018届山东省潍坊市青州市三模】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数),在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线是圆心在极轴上，且经过极点的圆.已知曲线上的点对应的参数，射线与曲线交于点（1）求曲线、的直角坐标方程；（2）若点在曲线上的两个点且，求的值.【答案】（1），；（2）【解析】分析：（1）将及对应的参数，代入，解得，即可得出曲线的直角坐标方程，由于曲线是圆心在极轴上，且过极点的圆，将点代入，即可求解曲线的方程；（2）设在曲线上，求得和，即可求解的值.所以曲线的极坐标方程为，即（2）设在曲线上，所以，，所以例8.【2018届福建省三明市第一中学适应性练习（一）】在直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数），在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为. （1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若曲线与交于，两点，点的坐标为，求.【答案】(1)；.(2) .【解析】分析：（1）消元法解出直线的普通方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式解出圆的直角坐标方程（2）将直线的参数方程为代入圆的直角坐标方程并化简整理关于的一元二次方程.利用的几何意义求解问题.详解：（1）曲线的极坐标方程为，即，将其代入中并化简，得.设点对应参数为，点对应参数为，则，，从而.点睛：将直线的参数方程为代入圆的直角坐标方程并化简整理关于的一元二次方程.利用的几何意义求解问题是解决直线上的定点与交点问题的常规解法.注意，要去绝对值符号，需判断交点与定点的位置关系，上方为正，下方为负.例9．【辽宁省葫芦岛市2018年二模】直角坐标系中，直线的参数方程为 (为参数)，在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的方程为.（1）求圆的直角坐标方程；（2）设圆与直线交于点，若点的坐标为，求的最小值.【答案】（1）（2）.【解析】分析：（1）将两边同乘，根据直角坐标与极坐标的对应关系得出直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入圆的普通方程，根据参数的几何意义与根与系数的关系得出．详解：（1）由，化为直角坐标方程为，例10．【2018届四川省双流中学二模】已知曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；(2)若射线分别与曲线，交于，两点(异于极点)，求的值.【答案】（1）,（2）【解析】试题分析：（1）根据参普互化的公式和极直互化的公式得到两条曲线的直角坐标方程；（2）分别联立射线和两条曲线的极坐标方程，求得，，而，代入求值即可.(2)联立，得，联立，得，故.点睛：这个题目考查了参数方程化为普通方程的方法，极坐标化为直角坐标的方法，以及极坐标中极径的几何意义，极径代表的是曲线上的点到极点的距离，在参数方程和极坐标方程中，能表示距离的量一个是极径，一个是t的几何意义，其中极径多数用于过极点的曲线，而t的应用更广泛一些.【精选精练】1．【2018届北京市十一学校三模】若直线〔为参数)与圆(为参数)相切，则（）A. -4或6 B. -6或4 C. -1或9 D. -9或1【答案】A【解析】分析：先把参数方程化为普通方程，再利用直线与圆相切的充要条件是圆心到直线的距离等于半径，即可求出答案.解析：把直线〔为参数)与圆(为参数)的参数方程分别化为普通方程得：直线：；圆：.此直线与该圆相切，，解得或6.故选：A.2．【2018年天津卷】已知圆的圆心为C，直线(为参数)与该圆相交于A，B两点，则的面积为___________.【答案】【解析】分析：由题意首先求得圆心到直线的距离，然后结合弦长公式求得弦长，最后求解三角形的面积即可.则.点睛：处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．3．【2018年北京卷】在极坐标系中，直线与圆相切，则a=__________．【答案】【解析】分析：根据将直线与圆极坐标方程化为直角坐标方程，再根据4．过椭圆（为参数）的右焦点作一直线交椭圆于、两点，若，则该直线斜率为__________．【答案】.【解析】分析：显得出椭圆的标准方程：故右焦点为（），然后设出直线的参数方程，由参数方程可知等价于，然后联立方程结合韦达定理即可.详解：由题可知椭圆方程为：，右焦点为（），故可设直线的参数方程为：（t为参数），所以，联立方程：故斜率为：5．【2018年天津市河西区三模】在极坐标系中，直线的极坐标方程为，设抛物线的参数方程为（为参数，），其焦点为，点（）是抛物线上一点，圆与线段相交于点，且被直线截得的弦长为，若，则__________．【答案】1【解析】分析：先将直线的极坐标方程和抛物线的参数方程转化为直角坐标方程，利用点在抛物线上求出点的坐标，再利用直线和圆的弦长公式和抛物线的定义进行求解.详解：将直线的方程化为，将抛物线的方程为（为参数，）化为，所以,因为，又，所以，所以，所以，解得，则.点睛：1.进行曲线的参数方程和直角坐标方程的互化时，要注意参数的选择，因为参数的不同，导致转化后的方程和曲线不同；学--科/网2.涉及抛物线的过焦点的弦时，往往利用抛物线的定义将抛物线的点到焦点的距离转化为到准线的距离，如抛物线上的点到焦点的距离为.6．【2018届江西省抚州市临川区第一中学最后一模】以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为.（1）写出曲线的参数方程；（2）在曲线上任取一点，过点作轴，轴的垂直，垂足分别为，，求矩形的面积的最大值. 【答案】(1).(2).【解析】分析：（1）先根据将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，再故曲线的参数方程（为参数）；（2）由（1）可设点的坐标为，，则矩形的面积为.令，，，故当时，.点睛：利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题非常简捷方便，是我们解决这类问题的好方法.椭圆参数方程：，圆参数方程：，直线参数方程：7．【2018届江苏省盐城中学全仿真】在直角坐标平面内，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为(为参数).(I)求曲线的直角坐标方程;(I)若点在曲线上，且到直线的距离为1，求满足这样条件的点的个数.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)3个.【解析】分析：（I）利用直角坐标与极坐标间的互化关系，进行代换即可；（Ⅱ）求出圆心坐标到直线l的距离，即可得出结论.所以满足这样条件的点的个数为3个.8．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，曲线的参数方程为（为参数）.（1）求曲线，的普通方程；（2）求曲线上一点到曲线距离的取值范围.【答案】(1) ；.（2）.【解析】分析：（1）直接消掉参数即得普通方程；（2）求曲线上一点到曲线距离的取值范围.可借助参数方程设此点为，然后根据点到直线的距离公式得出表达式转化为三角函数求最值问当时，即，.∴取值范围为.9．【2018届云南省玉溪市适应性训练】已知曲线的参数方程为（为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线上的点按坐标变换得到曲线.（Ⅰ）求曲线的普通方程；（Ⅱ）若点在曲线上，点，当点在曲线上运动时，求中点的轨迹方程.【答案】(1).(2).【解析】分析：（Ⅰ）根据坐标变换，代入变换方程，即可得到变换后的参数方程，进而转化为普通方程. （Ⅱ）根据中点坐标公式求出P点的参数方程，代入普通方程得到中点的轨迹，再化为标准方程即可.详解：（Ⅰ）将代入，得的参数方程为，∴动点的轨迹方程为.10．【2018届安徽省安庆市第一中学热身】在平面直角坐标系中,以原点为极点, 轴正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知曲线,直线.(1)将曲线上所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的2倍、倍后得到曲线,请写出直线,和曲线的直角坐标方程；(2)若直线经过点且与曲线交于点,求的值.【答案】（1），；（2）2【解析】分析：（1）根据极坐标和直角坐标系间的转化公式及变换公式可得所求的方程．（2）由题意可求得直线的参数方程，将其代入曲线的方程消元后得到关于参数的二次方程，然后根据参数的几何意义可得所求．详解：（1）将代入，可得，∴直线的直角坐标方程为．设曲线上任一点坐标为，则，所以，代入得，设点对应的参数分别为，则，由直线参数的几何意义可知．点睛：直线的参数方程中参数的几何意义为求线段的长度带来了方便，但此时要求参数方程中参数的系数的平方和为1，只有在这一条件下参数的绝对值才表示直线上的点到定点的距离．11．【2018届湖北省华中师范大学第一附属中学5月押题】以直角坐标系的原点为极点，以轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，已知直线的参数方程为（为参数，），曲线的极坐标方程为．（1）若，求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线相交于，两点，当变化时，求的最小值．【答案】(1)，.(2).【解析】分析：（1）将代入到直线的参数方程，消去即可得直线的普通方程，再根据，即可求得曲线的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入到曲线的直角坐标方程，根据韦达定理可得，，结合参数的几何意义及三角函数的图象与性质即可求得的最小值．详解：（1）当时，由直线的参数方程消去得，即直线的普通方程为；∵，，.∴当，即时，的最小值为．12.【2018届安徽亳州市涡阳一中最后一卷】在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （1）求曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线交于，两点，线段的中点的直角坐标为，求直线的方程.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）曲线的极坐标方程中将和换成和即可得到曲线的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入的直角坐标方程得，利用韦达定理以及直线参数方程的几何意义可得，从而可得结果.整理可得，设，所对应的参数分别为，，则，∴ ，∴ 直线的斜率，∴ 直线的方程为.点睛：本题考查圆的参数方程和普通方程的转化、直线极坐标方程和直角坐标方程的转化以及点到直线距离公式，消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法，极坐标方程化为直角坐标方程，只要将和换成和即可.。
2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题51 曲线与方程——求轨迹方程
备战2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题51 曲线与方程——求轨迹方程纵观近几年的高考试题，高考对曲线与方程的考查，主要有以下两个方面：一是确定的轨迹的形式或特点；二是求动点的轨迹方程，同时考查到求轨迹方程的基本步骤和常用方法.一般地，命题作为解答题一问，小题则常常利用待定系数法求方程或利用方程判断曲线类别.本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明求点的轨迹方程问题的常见解法. 1、求点轨迹方程的步骤： （1）建立直角坐标系（2）设点：将所求点坐标设为(),x y ，同时将其他相关点坐标化（未知的暂用参数表示） （3）列式：从已知条件中发掘,x y 的关系，列出方程 （4）化简：将方程进行变形化简，并求出,x y 的范围 2、求点轨迹方程的方法（1）直接法：从条件中直接寻找到,x y 的关系，列出方程后化简即可（2）代入法：所求点(),P x y 与某已知曲线()00,0F x y =上一点()00,Q x y 存在某种关系，则可根据条件用,x y 表示出00,x y ，然后代入到Q 所在曲线方程中，即可得到关于,x y 的方程（3）定义法：从条件中能够判断出点的轨迹为学过的图形，则可先判定轨迹形状，再通过确定相关曲线的要素，求出曲线方程.常见的曲线特征及要素有： ① 圆：平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹直角→圆：若AB AC ⊥，则A 点在以BC 为直径的圆上 确定方程的要素：圆心坐标(),a b ，半径r② 椭圆：平面上到两个定点的距离之和为常数（常数大于定点距离）的点的轨迹 确定方程的要素：距离和2a ，定点距离2c③ 双曲线：平面上到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于定点距离）的点的轨迹 注：若只是到两定点的距离差为常数（小于定点距离），则为双曲线的一支 确定方程的要素：距离差的绝对值2a ，定点距离2c④ 抛物线：平面上到一定点的距离与到一定直线的距离（定点在定直线外）相等的点的轨迹确定方程的要素：焦准距：p .若曲线位置位于标准位置（即标准方程的曲线），则通过准线方程或焦点坐标也可确定方程（4）参数法：从条件中无法直接找到,x y 的联系，但可通过一辅助变量k ，分别找到,x y 与k 的联系，从而得到,x y 和k 的方程：()()x f k y g k =⎧⎪⎨=⎪⎩，即曲线的参数方程，消去参数k 后即可得到轨迹方程. 【经典例题】例1.【2018届北京石景山区一模】如图，已知线段AB 上有一动点D （D 异于A B 、）,线段CD AB ⊥,且满足2CD AD BD λ=⋅（λ是大于0且不等于1的常数），则点C 的运动轨迹为（ ）A. 圆的一部分B. 椭圆的一部分C. 双曲线的一部分D. 抛物线的一部分 【答案】B例2.设点A 到图形C 上每一个点的距离的最小值称为点A 到图形C 的距离．已知点A （1，0），圆C ：x 2+2x+y 2=0，那么平面内到圆C 的距离与到点A 的距离之差为1的点的轨迹是（ ） A. 双曲线的一支 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 射线 【答案】D【解析】圆的标准方程为()2211x y ++=，如图所示，设圆心坐标为'A ，满足题意的点为点P ，由题意有：'11PA PA --=，则'2'PA PA AA -==，设()2,0B ，结合几何关系可知满足题意的轨迹为射线AB . 本题选择D 选项.例3.动点在曲线上移动，点和定点连线的中点为，则点的轨迹方程为（ ）．A. B.C. D.【答案】B例4.已知直线y kx m =+与抛物线22y x =交于,A B 两点，且OA OB OA OB +=-，其中O 为坐标原点，若OM AB ⊥于M ，则点M 的轨迹方程为（ ）A. 222x y += B. ()2211x y -+=C. ()2211x y +-= D. ()2214x y -+=【答案】B【解析】思路：先处理条件OA OB OA OB +=-可得由,OA OB 为邻边的平行四边形对角线相等，所以该四边形为矩形.即OA OB ⊥，设()()1122,,,A x y B x y ，即12120x x y y +=，联立直线与抛物线方程并利联立方程：22y kx m y x=+⎧⎨=⎩，消去x 可得：222202ky y m ky y m =+⇒-+= 122my y k∴=222121224y y m x x k == 2220m m k k ∴+=，由0km ≠可得2m k =- ():22l y kx m kx k k x ∴=+=-=-，即直线过定点()2,0C OM AB ⊥即OM CM ⊥ M ∴的轨迹为以OC 为直径的圆则该圆的圆心为()1,0，半径1r =∴轨迹方程为()2211x y -+=答案：B 例5.点是圆上的动点，定点，线段的垂直平分线与直线的交点为，则点的轨迹方程是___．【答案】【解析】由垂直平分线的性质有，所以，又，根据双曲线的定义，点Q 的轨迹是C ，F 为焦点，以4为实轴长的双曲线，，，所以点Q 的轨迹方程是.例6.【2018届福建省漳州市高三上学期期末】已知直线l 过抛物线C ： 24y x =的焦点， l 与C 交于A ， B 两点，过点A ， B 分别作C 的切线，且交于点P ，则点P 的轨迹方程为________. 【答案】1x =-1y =-，故原抛物线C 相应的点P 的轨迹方程为x 1=-，故答案为x 1=-.例7.【2017课标II ，理】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.(1) 求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F. 【答案】(1) 222x y +=.(2)证明略. 【解析】（2）由题意知()1,0F -.设()()3,,,Q t P m n -,则()()3,,1,,33OQ t PF m n OQ PF m tn =-=---⋅=+-， ()(),,3,OP m n PQ m t n ==---.由1=OP PQ 得2231m m tn n --+-=，又由（1）知222m n +=，故330m tn +-=.所以0=OQ PF ，即⊥OQ PF .又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F.例8.已知抛物线：的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q两点.（I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；（II ）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程. 【答案】（I ）详见解析；（II ）．【解析】由题设.设，则，且.记过两点的直线为，则的方程为.（I）由于在线段上，故.记的斜率为，的斜率为，则当与轴不垂直时，由可得.而，所以.当与轴垂直时，与重合.所以，所求轨迹方程为.例9.【2018届河北衡水金卷】已知焦点为的的抛物线：（）与圆心在坐标原点，半径为的交于，两点，且，，其中，，均为正实数.（1）求抛物线及的方程；（2）设点为劣弧上任意一点，过作的切线交抛物线于，两点，过，的直线，均于抛物线相切，且两直线交于点，求点的轨迹方程.【答案】(1)答案见解析；(2).【解析】试题分析:(1)由题意可得到将点A坐标代入方程可得到m=2,进而得到点A的坐标，由点点距得到半径；（2）设，，，,由直线和曲线相切得到，：，同理：，联立两直线得，根据点在圆上可消参得到轨迹. 解析：（1）由题意，，故。
备战2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题02 充分条件与必要条件
专题02 充分条件与必要条件【热点聚焦与扩展】高考对命题及其关系和充分条件、必要条件的考查主要是以小题的形式来考查，由于知识载体丰富，因此题目有一定综合性，属于中、低档题．命题重点主要有三个：一是以函数、方程、三角函数、数列、不等式、立体几何线面关系、平面解析几何等为背景的充分条件和必要条件的判定与探求；二是考查等价转化与化归思想；三是由充分条件和必要条件探求参数的取值范围． 1、定义：（1）对于两个条件,p q ，如果命题“若p 则q ”是真命题，则称条件p 能够推出条件q ，记为p q ⇒， （2）充分条件与必要条件：如果条件,p q 满足p q ⇒，则称条件p 是条件q 的充分条件；称条件q 是条件p 的必要条件2、对于两个条件而言，往往以其中一个条件为主角，考虑另一个条件与它的关系，这种关系既包含充分方面，也包含必要方面。
所以在判断时既要判断“若p 则q ”的真假，也要判断“若q 则p ”真假3、两个条件之间可能的充分必要关系：（1）p 能推出q ，但q 推不出p ，则称p 是q 的充分不必要条件 （2）p 推不出q ，但q 能推出p ，则称p 是q 的必要不充分条件（3）p 能推出q ，且q 能推出p ，记为p q ⇔，则称p 是q 的充要条件，也称,p q 等价 （4）p 推不出q ，且q 推不出p ，则称p 是q 的既不充分也不必要条件 4、如何判断两个条件的充分必要关系(1)定义法：若 ,p q q p ⇒≠> ，则p 是q 的充分而不必要条件；若,p q q p ≠>⇒ ，则p 是q 的必要而不充分条件；若,p q q p ⇒⇒，则p 是q 的充要条件； 若,p q q p ≠>≠> ，则p 是q 的既不充分也不必要条件。
(2)等价法：即利用p q ⇒与q p ⌝⌝⇒；q p ⇒与p q ⌝⌝⇒；p q ⇔与q p ⌝⌝⇔的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．(3) 充要关系可以从集合的观点理解，即若满足命题p 的集合为M ，满足命题q 的集合为N ，则M 是N 的真子集等价于p 是q 的充分不必要条件，N 是M 的真子集等价于p 是q 的必要不充分条件，M ＝N 等价于p 和q 互为充要条件，M ，N 不存在相互包含关系等价于p 既不是q 的充分条件也不是q 的必要条件. 4、充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．5、对于充要条件的证明问题，可用直接证法，即分别证明充分性与必要性.此时应注意分清楚哪是条件，哪是结论，充分性即由条件证明结论；而必要性则是由结论成立来证明条件也成立，千万不要张冠李戴；也可用等价法，即进行等价转化，此时应注意的是所得出的必须是前后能互相推出，而不仅仅是“推出”一方面（即由前者可推出后者，但后者不能推出前者）.【经典例题】例1【2017天津，理4】设θ∈R ，则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】πππ||012126θθ-<⇔<< 1sin 2θ⇒< ，但10,sin 2θθ=<，不满足 ππ||1212θ-<，所以是充分不必要条件，选A.例2【2019届山东省天成大联考高三第二次考试】已知，，，，则是（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】D例3【2019届江西省高三监测】已知命题p ： 2230x x +->；命题q ：01x ax a ->--，且q ⌝的一个必要不充分条件是p ⌝，则a 的取值范围是（ ） A. []3,0- B. ][(),30,-∞-⋃+∞ C. ()3,0- D. ()(),30,-∞-⋃+∞ 【答案】A【解析】x 2＋2x －3>0，得x<－3或x>1，故⌝p ：－3≤x≤1；命题q ： 1,x a x a >+<或，故⌝q ： 1a x a ≤≤+。
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~ 1 专题45 直线与方程
【热点聚焦与扩展】 高考对直线与方程的考查要求较低，以小题的形式考查直线与方程，一般难度不大，但呈现综合性较强的趋势，与充要条件、基本不等式、导数等相结合.较多年份在大题中与其它知识综合考查.要求考生熟练掌握直线方程的基础知识，熟练掌握两条直线的位置关系、点到直线的距离、平行直线间的距离等.其中两直线的平行与垂直的判断、两直线的平行与垂直的条件的应用，是高考的热点，另外，两直线的位置关系与向量的结合，也应予以足够的重视．本专题通过例题说明关于直线问题的解法与技巧. （一）直线与方程： 1、倾斜角：若直线l与x轴相交，则以x轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与l重合所成的角称为直线l
的倾斜角，通常用,,,表示 （1）若直线与x轴平行（或重合），则倾斜角为0 （2）倾斜角的取值范围0, 2、斜率：设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为tank （1）当2时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的 （2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率 （3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系） （4）k越大，直线越陡峭
（5）斜率k的求法：已知直线上任意两点1122,,,AxyBxy，则2121yykxx，即直线的斜率是确定的，与所取的点无关. 3、截距：若直线l与坐标轴分别交于,0,0,ab，则称,ab分别为直线l的横截距，纵截距 （1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可0（不要顾名思义误认为与“距离”相关） （2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线 4、直线方程的五种形式：首先在直角坐标系中确定一条直线有两种方法：一种是已知直线上一点与直线的方向（即斜率），另一种是已知两点（两点确定一条直线），直线方程的形式与这两种方法有关 （1）一点一方向： ① 点斜式：已知直线l的斜率k，直线上一点00,Pxy，则直线l的方程为： ~ 2 00yykxx
证明：设直线l上任意一点,Qxy，根据斜率计算公式可得：00yykxx，所以直线上的每一点都应满足：00yykxx，即为直线方程
② 斜截式：已知直线l的斜率k，纵截距b，则直线l的方程为：ykxb 证明：由纵截距为b可得直线与y轴交点为0,b，从而利用点斜式得：0ybkx 化简可得：ykxb （2）两点确定一条直线： ③ 两点式：已知直线l上的两点1122,,,AxyBxy，则直线l的方程为：
221212
yyxxyyxx
④ 截距式：若直线l的横纵截距分别为,0abab，则直线l的方程为：1xyab 证明：从已知截距可得：直线上两点,0,0,ab，所以00bbkaa :01bxylybxbxayabaab
⑤ 一般式：由前几类直线方程可知：直线方程通常由,xy的一次项与常数项构成，所以可将直线的通式写为：0AxByC（,AB不同时为0），此形式称为直线的一般式
一般式方程的作用：可作为直线方程的最终结果 可用于判定直线的平行垂直关系 点到直线距离公式与平行线间距离公式需要用直线的一般式 5、五种直线形式所不能表示的直线： （1）点斜式，斜截式：与斜率相关，所以无法表示斜率不存在的直线（即竖直线） （2）截距式：① 截距不全的直线：水平线，竖直线 ② 截距为0的直线：过原点的直线 6、求曲线（或直线）方程的方法：在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种： （1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率 （2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解~ 3 出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致）
（二）直线位置关系： 1、在解析几何中直线的位置关系有三种：平行，相交（包含垂直），重合 如果题目中提到“两条直线”，则不存在重合的情况，如果只是12,ll，则要考虑重合的情况. 2、直线平行的条件 （1）斜截式方程：设直线111222:,:lykxblykxb ① 121212,kkbbll∥ ② 若直线12,ll的斜率存在，则1212llkk∥ （2）一般式方程：设11112222:0,:0lAxByClAxByC，则
① 当111222ABCABC时，1l∥2l ② 1221ABAB，且1221ACAC和1221BCBC中至少一个成立，则1l∥2l（此条件适用于所有直线） 3、直线垂直的条件： （1）斜截式方程：设直线111222:,:lykxblykxb，则12121llkk （2）一般式方程：设11112222:0,:0lAxByClAxByC，则： 1212120AABBll 4、一般式方程平行与垂直判定的规律： 可选择与一般式方程0AxByC对应的向量：,aAB，即有： 11111112222222:0,,:0,lAxByCaABlAxByCaAB，从而12,aa的关系即可代表
12,ll的关系，例如：
12211212ABABaall∥∥（注意验证是否会出现重合的情况）
121212121200AABBaaaall
（三）距离问题： 1、两点间距离公式：设1122,,,AxyBxy，则221212ABxxyy ~ 4 2、点到直线距离公式：设00,,:0PxylAxByC
则点P到直线l的距离0022PlAxByCdAB 3、平行线间的距离：1122:0,:0lAxByClAxByC 则12,ll的距离为1222CCdAB （四）对称问题 1、中心对称：
（1）几何特点：若',AA关于O点中心对称，则O为线段'AA的中点 （2）解析特征：设00,Axy，,Oab，则与A点关于O点中心对称的点',Axy满足：
00
00
2222xxaxaxyyybyb
2、轴对称 （1）几何特点：若若',AA关于直线l轴对称，则l为线段'AA的中垂线，即'AAl，且'AA的中点在l上 （2）解析特征：设00,Axy，:lykxb，则与A点关于l轴对称的点',Axy满足：
'0000
122AAyykxxkyyxxkb
，解出',Axy即可
（3）求轴对称的直线：设对称轴为直线l，直线1l关于l的对称直线为'1l ① 若1l∥l，则'1l∥1l，且'1l到对称轴的距离与l到对称轴的距离相等 ② 若1l与l相交于P ，则取1l上一点A，求出关于l的对称点'A，则'AP即为对称直线'1l （五）直线系方程：满足某种特征的一类直线组成的集合称为直线系，直线系的方程通常含有参数（以参数的不同取值确定直线） 1、平行线系：集合中的直线呈两两平行关系——参数不会影响斜率的取值 （1）与直线0AxByC平行的直线系方程为：0AxBym（m为参数，且mC） （2）与直线0AxByC垂直的直线系方程为：0BxAym（m为参数） ~ 5 2、过定点的直线：
（1）若参数的取值影响直线的斜率，则可寻找该直线是否围绕一个定点旋转：即把含参数的项划为一组并提取参数，只需让参数所乘的因式为0即可 （2）已知11112222:0,:0lAxByClAxByC（1l与2l不重合），则过12,ll交点的直线系方程为：1211122200llAxByCAxByC（该直线无法表示2l）
3、直线系方程的用途：主要是在求直线方程时可充分利用平行，垂直或过定点的条件，将直线设为只含一个参数的方程，从而在思路上就可围绕如何求参数配置资源，寻找条件解出参数，即可得到所求直线方程 【经典例题】
例1.过点2,Ma和,4Na 的直线的斜率为1，则实数a的值为（ ） A．1 B．2 C．1或4 D．1或2 【答案】A 【解析】依题意有41,12aaa． 例2.已知直线方程为,3300sin300cosyx则直线的倾斜角为（ ） A.60 B.30060或 C.30 D.33030或 【答案】C 【解析】由直线方程为,3300sin300cosyx
所以直线的斜率为3360sin60cos)60sin()60cos()60360sin()60360cos(300sin300cosk 因为直线倾斜角的范围)180,0[ 所以倾斜角为30 故答案为C. 例3. 坐标平面内有相异两点2(cos,sin),(0,1)AB，经过两点的直线的的倾斜角的取值范围是（ ）
A．,44 B．30,,44 C．30,,44 D．3,44 【答案】34