2018版数学-第8章第五讲 直线、平面垂直的判定及其性质
直线与平面垂直的判定与性质(共26张PPT)
目 录
• 直线与平面垂直的判定 • 直线与平面垂直的性质 • 直线与平面垂直的证明 • 直线与平面垂直的应用 • 总结与展望 • 参考文献
01
直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直的定义
01
直线与平面垂直是指直线与平面 内的任意一条直线都垂直。
02
如果一条直线与平面内的任意一 条直线都垂直，则这条直线与该 平面垂直。
建筑设计
在建筑设计中，直线与平面垂直的应用非常重要， 如确定建筑物的垂直度和水平面等。
机械制造
在机械制造中，直线与平面垂直的应用可以帮助 制造出精确的机械部件。
道路建设
在道路建设中，直线与平面垂直的应用可以帮助 确保道路的平直度和坡度等。
05
总结与展望
总结直线与平面垂直的判定与性质
判定方法 通过直线与平面内两条相交直线垂直来判定直线与平面垂直。
通过直线与平面内无数条直线垂直来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
• 通过直线与平面垂直的性质定理来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
01
性质定理
02
03
04
直线与平面垂直，则该直线与 平面内任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直，则该直线所 在的所有直线都与该平面垂直
证明
假设有一条直线l与平面α垂直，那么直线l与平面α内的任意一条直线m都垂直。 由于直线l与平面α内的直线m都垂直，所以它们之间的夹角为90°，即直线l与平 面α内的任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直的性质推论
推论1
证明
推论2
证明
如果一条直线与平面内的两 条相交直线都垂直，那么这
高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第5讲 直线、平面垂直的判定及其性质 理(2021年最新整理)
2018版高考数学一轮复习第八章立体几何第5讲直线、平面垂直的判定及其性质理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高考数学一轮复习第八章立体几何第5讲直线、平面垂直的判定及其性质理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第5讲直线、平面垂直的判定及其性质一、选择题1．设l,m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）．A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α B．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α,m∥α，则l∥m答案B2．已知α、β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β"是“m⊥β”的( ）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析由面面垂直的判定定理，知m⊥β⇒α⊥β.答案B3．已知P为△ABC所在平面外的一点，则点P在此三角形所在平面上的射影是△ABC垂心的充分必要条件是（)．A．PA＝PB＝PCB．PA⊥BC，PB⊥ACC．点P到△ABC三边所在直线的距离相等D．平面PAB、平面PBC、平面PAC与△ABC所在的平面所成的角相等解析条件A为外心的充分必要条件,条件C、D为内心的必要条件，故选B。
答案B4。
如图,在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°,BC1⊥AC，则C在底面ABC上的射影H必在1( )．A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析由BC1⊥AC，又BA⊥AC，则AC⊥平面ABC1，因此平面ABC⊥平面ABC1,因此C1在底面ABC上的射影H在直线AB上．答案A5．设α，β为不重合的平面,m,n为不重合的直线,则下列命题正确的是 ( ）．A．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥αB．若m⊂α，n⊂β,m⊥n,则n⊥αC．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥αD．若m∥α,n∥β，m⊥n,则α⊥β解析与α、β两垂直相交平面的交线垂直的直线m，可与α平行或相交，故A错；对B,存在n∥α情况,故B错；对D,存在α∥β情况，故D错．由n⊥α,n⊥β，可知α∥β,又m⊥β,所以m⊥α，故C正确，选C.答案C6．如图（a)，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点,现在沿AE、AF 及EF把这个正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H,如图(b）所示，那么,在四面体A－EFH中必有 ( ）．A．AH⊥△EFH所在平面B．AG⊥△EFH所在平面C．HF⊥△AEF所在平面D．HG⊥△AEF所在平面解析折成的四面体有AH⊥EH，AH⊥FH，∴AH⊥面HEF。
第八章 第5讲 直线、平面垂直的判定及性质
第5讲直线、平面垂直的判定及性质基础知识整合1．直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的判定定理(2)直线与平面垂直的性质定理2．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定定理(2)平面与平面垂直的性质定理直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线．(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．(5)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．1．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，下列结论正确的是()A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥mC．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥m答案 A解析根据线面垂直的判定定理知A正确；当α⊥β，l⊂α，m⊂β时，l与m 可能平行、垂直或异面，故B错误；当l∥β，l⊂α时，α与β可能平行，也可能相交，故C错误；当α∥β，l⊂α，m⊂β时，l与m可能平行，也可能异面，故D错误．故选A.2．(2019·浙江模拟)已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m ∥α，n⊥β，则()A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥n答案 C解析∵α∩β＝l，∴l⊂β，∵n⊥β，∴n⊥l.故选C.3．设m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，下列命题为真命题的是()A．若m⊥α，α⊥β，则m∥βB．若m∥α，m⊥β，则α⊥βC．若m⊥n，m⊥α，则n∥αD．若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n答案 B解析对于A，m可以在β内，故A错误；对于C，n可以在α内，故C错误；对于D，m与n可以平行，故D错误．4．(2017·全国卷Ⅲ)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则() A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1D．A1E⊥AC答案 C解析解法一：如图，∵A1E在平面ABCD上的投影为AE，而AE不与AC，BD垂直，∴B，D错误；∵A1E在平面BCC1B1上的投影为B1C，且B1C⊥BC1，∴A 1E ⊥BC 1，故C 正确；(证明：由条件易知，BC 1⊥B 1C ，BC 1⊥CE ，又CE ∩B 1C ＝C ，∴BC 1⊥平面CEA 1B 1.又A 1E ⊂平面CEA 1B 1，∴A 1E ⊥BC 1)∵A 1E 在平面DCC 1D 1上的投影为D 1E ，而D 1E 不与DC 1垂直，故A 错误．故选C.解法二：(空间向量法)建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，D (0，0,0)，A 1(1,0,1)，C 1(0,1,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，∴A 1E →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，－1，DC 1→＝(0,1,1)，BD →＝(－1，－1，0)，BC 1→＝(－1,0,1)，AC →＝(－1,1,0)，∴A 1E →·DC 1→≠0，A 1E →·BD →≠0，A 1E →·BC 1→＝0，A 1E →·AC →≠0，∴A 1E ⊥BC 1.故选C.5．如图所示，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，则C 1在面ABC 上的射影H 必在( )A ．直线AB 上 B ．直线BC 上 C ．直线CA 上D ．△ABC 内部 答案 A解析 ∵CA ⊥AB ，CA ⊥BC 1，AB ∩BC 1＝B ，∴CA ⊥平面ABC 1.∴平面ABC ⊥平面ABC1.∴过C1作垂直于平面ABC的直线在平面ABC1内．∴H∈AB.6．(2019·沈阳模拟)已知P为△ABC所在平面外一点，且P A，PB，PC两两垂直，则下列命题：①P A⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.其中正确的个数是________．答案 3解析如图所示．∵P A⊥PC，P A⊥PB，PC∩PB＝P，∴P A⊥平面PBC.又∵BC⊂平面PBC，∴P A⊥BC.同理PB⊥AC，PC⊥AB.但AB不一定垂直于BC.核心考向突破考向一有关垂直关系的判断例1(1)已知平面α及α外的一条直线l，下列命题中不正确的是()A．若l垂直于α内的两条平行线，则l⊥αB．若l平行于α内的一条直线，则l∥αC．若l垂直于α内的两条相交直线，则l⊥αD．若l平行于α内的无数条直线，则l∥α答案 A解析由直线与平面平行的有关定理和结论可知选项B，D正确，选项C是直线和平面垂直的判定定理，而A中，直线l也可以是与平面α斜交或平行的直线，故选A.(2)(2019·福建质量检查)如图，AB是圆O的直径，VA垂直圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是()A．MN∥ABB．MN与BC所成的角为45°C．OC⊥平面VACD．平面VAC⊥平面VBC答案 D解析依题意，MN∥AC，又直线AC与AB相交，因此MN与AB不平行，A 错误；注意到AC⊥BC，因此MN与BC所成的角是90°，B错误；注意到直线OC 与AC不垂直，因此OC与平面VAC不垂直，C错误；由于BC⊥AC，BC⊥VA，因此BC⊥平面VAC.又BC⊂平面VBC，所以平面VBC⊥平面VAC，D正确．故选D.触类旁通判断垂直关系需注意的问题(1)作图要熟练，借助几何图形来说明线面关系要做到作图快、准．(2)善于寻找反例，若存在反例，结论就被驳倒了.(3)要思考完整，反复验证所有可能的情况，必要时要运用判定或性质定理进行简单说明.即时训练 1.(2018·北京东城模拟)已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是() A．α⊥β，且m⊂αB．m∥n，且n⊥βC．α⊥β，且m∥αD．m⊥n，且n∥β答案 B解析因为α⊥β，m⊂α，则m，β的位置关系不确定，可能平行、相交、m 在β面内，故A错误；由线面垂直的性质定理可知B正确；若α⊥β，m∥α，则m，β的位置关系也不确定，故C错误；若m⊥n，n∥β，则m，β的位置关系也不确定，故D错误．故选B.2．(2019·银川模拟)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有()A．AH⊥平面EFH B．AG⊥平面EFHC．HF⊥平面AEF D．HG⊥平面AEF答案 A解析由平面图形得AH⊥HE，AH⊥HF，又HE∩HF＝H，∴AH⊥平面HEF，故选A.考向二直线与平面垂直的判定与性质角度1利用线线垂直证明线面垂直例2(1)(2018·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝22，P A＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．①证明：PO ⊥平面ABC ；②若点M 在棱BC 上，且MC ＝2MB ，求点C 到平面POM 的距离． 解 ①证明：因为AP ＝CP ＝AC ＝4，O 为AC 的中点，所以OP ⊥AC ，且OP ＝2 3.连接OB ，因为AB ＝BC ＝22AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2.由OP 2＋OB 2＝PB 2知OP ⊥OB .由OP ⊥OB ，OP ⊥AC ，AC ∩OB ＝O ，知PO ⊥平面ABC .②作CH ⊥OM ，垂足为H .又由①可得OP ⊥CH ，所以CH ⊥平面POM .故CH的长为点C到平面POM的距离．由题设可知OC＝12AC＝2，CM＝23BC＝423，∠ACB＝45°.在△OCM中根据余弦定理可求得OM＝253，CH＝OC·MC·sin∠ACBOM＝455.所以点C到平面POM的距离为45 5.(2)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝BB1，AB1∩A1B＝E，D为AC上的点，B1C∥平面A1BD.①求证：BD⊥平面A1ACC1；②若AB＝1，且AC·AD＝1，求三棱锥A－BCB1的体积．解①证明：如图，连接ED，∵平面AB1C∩平面A1BD＝ED，B 1C ∥平面A 1BD ， ∴B 1C ∥ED ，∵E 为AB 1的中点，∴D 为AC 的中点， ∵AB ＝BC ，∴BD ⊥AC ，由A 1A ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，得A 1A ⊥BD ， 又∵A 1A ，AC 是平面A 1ACC 1内的两条相交直线， ∴BD ⊥平面A 1ACC 1.②由AB ＝1，得BC ＝BB 1＝1，由①知AD ＝12AC ，又AC ·AD ＝1，∴AC 2＝2， ∴AC 2＝2＝AB 2＋BC 2，∴AB ⊥BC ， ∴S △ABC ＝12AB ·BC ＝12，∴VA －BCB 1＝VB 1－ABC ＝13S △ABC ·BB 1＝13×12× 1＝16. 角度2 利用线面垂直证明线线垂直例3 (1)(2019·四川模拟)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，E 是CD 的中点，以AE 为折痕将△DAE 向上折起，D 变为D ′，且平面D ′AE ⊥平面ABCE .①求证：AD ′⊥EB ；②求点E 到平面ABD ′的距离． 解 ①证明：∵AE ＝BE ＝22，AB ＝4， ∴AB 2＝AE 2＋BE 2，∴AE ⊥EB .取AE 的中点M ，连接MD ′，则AD ′＝D ′E ＝2⇒MD ′⊥AE ，∵平面D′AE⊥平面ABCE，MD′⊂平面D′AE，∴MD′⊥平面ABCE，∴MD′⊥BE，AE∩D′E＝M，从而EB⊥平面AD′E，∴AD′⊥EB.②由①知MD′⊥平面ABCE，且MD′＝2，S△AEB＝4，易知BM＝10，BD′＝23，AD′＝2，AB＝4，S△ABD′＝2 3.设点E到平面ABD′的距离为d，由V E－ABD′＝V D′－ABE，得13×23d＝13×2×4，∴d＝26 3.(2) (2019·江苏模拟)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝AA1，M，N分别是AC，B1C1的中点．求证：①MN∥平面ABB1A1；②AN⊥A1B.证明①取AB的中点P，连接PM，PB1.因为M，P分别是AC，AB的中点，所以PM∥BC，且PM＝12BC.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BC∥B1C1，BC＝B1C1. 因为N是B1C1的中点，所以PM∥B1N且PM＝B1N.所以四边形PMNB1是平行四边形，所以MN∥PB1，而MN⊄平面ABB1A1，PB1⊂平面ABB1A1，所以MN∥平面ABB1A1.②因为三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，所以BB1⊥平面A1B1C1.又因为BB1⊂平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1B1C1.又因为∠A1B1C1＝∠ABC＝90°，所以B1C1⊥B1A1.又平面ABB1A1∩平面A1B1C1＝B1A1，B1C1⊂平面A1B1C1，所以B1C1⊥平面ABB1A1.又因为A1B⊂平面ABB1A1，所以B1C1⊥A1B，即NB1⊥A1B.连接AB1，因为在平行四边形ABB1A1中，AB＝AA1，所以AB1⊥A1B.又因为NB1∩AB1＝B1，且AB1，NB1⊂平面AB1N，所以A1B⊥平面AB1N，而AN⊂平面AB1N，所以A1B⊥AN.触类旁通证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α)；③面面平行的性质(a ⊥α，α∥β⇒a ⊥β)；④面面垂直的性质．(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直有时需借助线面垂直的性质.即时训练3．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，P A ＝PD ＝AD ＝2，点M 在线段PC 上，且PM ＝2MC ，N 为AD 的中点．(1)求证：AD ⊥平面PNB ；(2)若平面P AD ⊥平面ABCD ，求三棱锥P －NBM 的体积．解 (1)证明：连接BD .∵P A ＝PD ，N 为AD 的中点，∴PN ⊥AD .又底面ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，∴△ABD 为等边三角形，∴BN ⊥AD .又PN ∩BN ＝N ，∴AD ⊥平面PNB .(2)∵P A ＝PD ＝AD ＝2，∴PN ＝NB ＝ 3.又平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PN ⊥AD ，∴PN ⊥平面ABCD ，∴PN ⊥NB ，∴S △PNB ＝12×3×3＝32.∵AD ⊥平面PNB ，AD ∥BC ，∴BC ⊥平面PNB .又PM ＝2MC ，∴V P －NBM ＝V M －PNB ＝23V C －PNB ＝23×13×32×2＝23.4．(2017·全国卷Ⅲ) 如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，AD ＝CD .(1)证明：AC⊥BD；(2)已知△ACD是直角三角形，AB＝BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．解(1)证明：如图，取AC的中点O，连接DO，BO.因为AD＝CD，所以AC⊥DO.又由于△ABC是正三角形，所以AC⊥BO.从而AC⊥平面DOB，又BD⊂平面DOB，故AC⊥BD.(2)连接EO.由(1)及题设知∠ADC＝90°，所以DO＝AO.在Rt △AOB 中，BO 2＋AO 2＝AB 2.又AB ＝BD ，所以BO 2＋DO 2＝BO 2＋AO 2＝AB 2＝BD 2，故∠DOB ＝90°.由题设知△AEC 为直角三角形，所以EO ＝12AC .又△ABC 是正三角形，且AB ＝BD ，所以EO ＝12BD .故E 为BD 的中点，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12，即四面体ABCE 与四面体ACDE的体积之比为1∶1.考向三 面面垂直的判定与性质例4 (1)(2018·全国卷Ⅲ)如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧C D 所在平面垂直，M 是CD ︵上异于C ，D 的点．①证明：平面AMD ⊥平面BMC ；②在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由．解 ①证明：由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD .因为BC ⊥CD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面CMD ，故BC ⊥DM .因为M 为CD ︵上异于C ，D 的点，且DC 为直径，所以DM ⊥CM .又BC ∩CM ＝C ，所以DM ⊥平面BMC .而DM⊂平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC.②当P为AM的中点时，MC∥平面PBD.证明如下：连接AC交BD于O.因为四边形ABCD为矩形，所以O为AC的中点．连接OP，因为P为AM的中点，所以MC∥OP.又MC⊄平面PBD，OP⊂平面PBD，所以MC∥平面PBD.(2)如图，已知多面体P ABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形，P A⊥底面ABCD，ED∥P A，且P A＝2ED＝2.①证明：平面P AC⊥平面PCE；②若∠ABC＝60°，求三棱锥P－ACE的体积．解①证明：如图，连接BD，交AC于点O，设PC的中点为F，连接OF，EF.易知O 为AC 的中点，所以OF ∥P A ，且OF ＝12P A .因为DE ∥P A ，且DE ＝12P A ，所以OF ∥DE ，且OF ＝DE ，所以四边形OFED 为平行四边形，所以OD ∥EF ，即BD ∥EF .因为P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥BD .因为四边形ABCD 是菱形，所以BD ⊥AC .因为P A ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面P AC .因为BD ∥EF ，所以EF ⊥平面P AC .因为EF ⊂平面PCE ，所以平面P AC ⊥平面PCE .②解法一：因为∠ABC ＝60°，所以△ABC 是等边三角形，所以AC ＝2.又P A ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥AC .所以S △P AC ＝12P A ×AC ＝2.因为EF ⊥平面P AC ，所以EF 是三棱锥E －P AC 的高．易知EF ＝DO ＝BO ＝3，所以三棱锥P －ACE 的体积V 三棱锥P －ACE ＝V 三棱锥E －P AC ＝13S △P AC ×EF ＝13×2×3＝233.解法二：因为底面ABCD 为菱形，且∠ABC ＝60°，所以△ACD 为等边三角形． 取AD 的中点M ，连接CM ，则CM ⊥AD ，且CM ＝ 3.因为P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥CM ，又P A ∩AD ＝A ，所以CM ⊥平面P ADE ，所以CM 是三棱锥C －P AE 的高．易知S △P AE ＝2，所以三棱锥P －ACE 的体积V 三棱锥P －ACE ＝V 三棱锥C －P AE ＝13S △P AE ×CM ＝13×2×3＝233.触类旁通在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决.如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.故熟练掌握“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键.即时训练 5.(2018·江苏高考)在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ，AB 1⊥B 1C 1.求证：(1)AB ∥平面A 1B 1C ；(2)平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC .证明 (1)在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ∥A 1B 1.因为AB ⊄平面A 1B 1C ，A 1B 1⊂平面A 1B 1C ，所以AB ∥平面A 1B 1C .(2)在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，四边形ABB 1A 1为平行四边形．又因为AA1＝AB，所以四边形ABB1A1为菱形，所以AB1⊥A1B.又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC.又因为A1B∩BC＝B，A1B⊂平面A1BC，BC⊂平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC.因为AB1⊂平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.。
直线、平面垂直的判定及其性质 课件
又由 AE＝CF 得AADE＝CCDF，故 AC∥EF．
由此得 EF⊥HD，故 EF⊥HD′，所以 AC⊥HD′．
(2)由 EF∥AC 得ODHO＝AADE＝14．
由 AB＝5，AC＝6 得 DO＝BO＝ AB2－AO2＝4．
所以 OH＝1，D′H＝DH＝3．
(说明：取棱 PD 的中点 N，则所找的点可以是直线 MN 上任 意一点)
(2)证明：由已知，PA⊥AB，PA⊥CD，因为 AD∥BC，BC＝12AD，所以直线 AB 与 CD 相交， 所以 PA⊥平面 ABCD，所以 PA⊥BD．连接 BM，因为 AD∥BC， BC＝12AD，M 为 AD 的中点，所以 BC∥MD，且 BC＝MD， 所以四边形 BCDM 是平行四边形， 所以 BM＝CD＝12AD，所以 BD⊥AB．又 AB∩AP＝A， 所以 BD⊥平面 PAB． 又 BD⊂平面 PBD，所以平面 PAB⊥平面 PBD．
和 β 是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推
出 m⊥β 的是
()
A．α⊥β 且 m⊂α
B．α⊥β 且 m∥α
C．m∥n 且 n⊥β
D．m⊥n 且 α∥β
解析：由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定
理，可知 C 正确．
答案：C
2．如图，S 是 Rt△ABC 所在平面外一点，且 SA＝ SB＝SC．D 为斜边 AC 的中点． (1)求证：SD⊥平面 ABC； (2)若 AB＝BC，求证：BD⊥平面 SAC． 证明：(1)如图所示，取 AB 的中点 E，连接 SE，DE， 在 Rt△ABC 中，D，E 分别为 AC，AB 的中点． ∴DE∥BC，∴DE⊥AB，∵SA＝SB，∴SE⊥AB． 又 SE∩DE＝E，∴AB⊥平面 SDE． 又 SD⊂平面 SDE，∴AB⊥SD． 在△SAC 中，SA＝SC，D 为 AC 的中点，∴SD⊥AC． 又 AC∩AB＝A，∴SD⊥平面 ABC．
(完整版)《直线与平面垂直的判定》ppt课件
符号表示：
P
m ,n
mn
m nP
l
l m, l n
定理补充 “平面内”，“相交”，“垂直”三个条件必不可少
简记为：线线垂直
线面垂直
例1 如图，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α.
分析：在平面内作两条相交直线.
证明：在平面 内作两条相交 a
b
直线m，n．
因为直线 a ，
根据直线与平面垂直的定义知 m
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
BD,CD都在桌面内，BD∩CD=D， AD⊥CD,AD⊥BD,
直线AD所在的A直线与桌面垂直
l
B
D
C
P
mn
直线和平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，
则该直线与此平面垂直．
直线也是垂直的.
C1 C
α
B1 B
直线和平面垂直的定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直， 我们就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.
l
平面α的垂线
A
直线l的垂面 垂足
直线和平面垂直的画法 注：画直线与水平平面垂直时，通常把直线画成 与表示P
α
思考2 若直线与平面内的无数条直线垂直，则直
直线与平面垂直判定完整版课件
绘制图表，将实验数据 可视化展示，便于分析 和比较。
03
分析实验数据，总结直 线与平面垂直的判定方 法和规律。
04
根据实验结果，评估实 验方法的准确性和可靠 性，并提出改进意见。
06
课程总结与回顾
知识点梳理
01
直线与平面垂直的定义
如果直线$l$与平面$alpha$内的任意一条直线都垂直，那么我们就说
角的范围
异面直线所成角的取值范围是 (0, 90°]。
异面直线所成角求解方法
01
02
03
平移法
将两条异面直线平移到同 一个起点上，然后用余弦 定理或三角函数求解。
向量法
建立空间直角坐标系，将 异面直线的方向向量表示 出来，然后通过向量的夹 角公式求解。
投影法
将一条直线投影到另一条 直线上，通过投影长度和 原长度之间的关系，利用 三角函数求解。
易错点提示
忽略直线与平面内两条相交直线 都垂直的条件，只考虑与其中一
条直线垂直或平行的情况。
在证明直线与平面垂直时，未明 确说明平面内的两条相交直线， 或者错误地认为只要与平面内无
数条直线垂直即可。
符号使用不规范，如将直线与平 面垂直的符号误写为平行或相交
等。
下一讲预告
下一讲我们将继续深入学习空间几何中的直线与平面的位置关系，包括直线与平面 平行的判定和性质等内容。
确定未知量
根据题目要求，确定需要求解 的未知量。
建立方程
利用已知条件和几何性质，建 立关于未知量的方程。
求解方程
解方程得到未知量的值，注意 解的合理性。
解答题规范步骤和答案
画出图形
根据题意画出相应 的图形，标注已知 量和未知量。
高中数学知识点总结(第八章 立体几何 第五节 直线、平面垂直的判定与性质)
第五节 直线、平面垂直的判定与性质一、基础知识1．直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义：直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直， 就说直线l 与平面α互相垂直.(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理：文字语言 图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫a ，b ⊂αa ∩b ＝Ol ⊥a l ⊥b⇒l ⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b⎣⎢⎡⎦⎥⎤❶如果一条直线与平面内再多（即无数条）的直线垂直，但这些直线不相交就不能说明这条直线与此平面垂直. 2．平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言 图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线❷，则这两个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫l ⊂βl ⊥α⇒α⊥β 性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βl ⊂βα∩β＝a l ⊥a ⇒l ⊥α[❷要求一平面只需过另一平面的垂线．]二、常用结论直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线．(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直．(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．考点一直线与平面垂直的判定与性质[典例]如图，在四棱锥PABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.[证明](1)在四棱锥PABCD中，∵P A⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，∴P A⊥CD，又∵AC⊥CD，且P A∩AC＝A，∴CD⊥平面P AC.∵AE⊂平面P AC，∴CD⊥AE.(2)由P A＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝P A.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.∵PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵P A⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，∴P A⊥AB.又∵AB⊥AD，且P A∩AD＝A，∴AB⊥平面P AD，∵PD⊂平面P AD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.[解题技法]证明线面垂直的4种方法(1)线面垂直的判定定理：l ⊥a ，l ⊥b ，a ⊂α，b ⊂α，a ∩b ＝P ⇒l ⊥α. (2)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β. (3)性质：①a ∥b ，b ⊥α⇒a ⊥α，②α∥β，a ⊥β⇒a ⊥α. (4)α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l ⇒l ⊥γ.(客观题可用) [口诀归纳]线面垂直的关键，定义来证最常见， 判定定理也常用，它的意义要记清. 平面之内两直线，两线相交于一点， 面外还有一直线，垂直两线是条件. [题组训练]1．(2019·安徽知名示范高中联考)如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝BB 1，AB 1∩A 1B ＝E ，D 为AC 上的点，B 1C ∥平面A 1BD .(1)求证：BD ⊥平面A 1ACC 1；(2)若AB ＝1，且AC ·AD ＝1，求三棱锥A BCB 1的体积． 解： (1)证明：如图，连接ED ，∵平面AB 1C ∩平面A 1BD ＝ED ，B 1C ∥平面A 1BD ， ∴B 1C ∥ED ， ∵E 为AB 1的中点， ∴D 为AC 的中点， ∵AB ＝BC ，∴BD ⊥AC .∵A 1A ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，∴A 1A ⊥BD . 又∵A 1A ，AC 是平面A 1ACC 1内的两条相交直线， ∴BD ⊥平面A 1ACC 1.(2)由AB ＝1，得BC ＝BB 1＝1，由(1)知AD ＝12AC ，又AC ·AD ＝1，∴AC 2＝2，∴AC 2＝2＝AB 2＋BC 2，∴AB ⊥BC ， ∴S △ABC ＝12AB ·BC ＝12，∴V A BCB 1＝V B 1ABC ＝13S △ABC ·BB 1＝13×12×1＝16.2.如图，S是Rt△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.证明：(1)如图所示，取AB的中点E，连接SE，DE，在Rt△ABC中，D，E分别为AC，AB的中点．∴DE∥BC，∴DE⊥AB，∵SA＝SB，∴SE⊥AB.又SE∩DE＝E，∴AB⊥平面SDE.又SD⊂平面SDE，∴AB⊥SD.在△SAC中，∵SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.又AC∩AB＝A，∴SD⊥平面ABC.(2)∵AB＝BC，∴BD⊥AC，由(1)可知，SD⊥平面ABC，又BD⊂平面ABC，∴SD⊥BD，又SD∩AC＝D，∴BD⊥平面SAC.考点二面面垂直的判定与性质[典例](2018·江苏高考)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1.求证：(1)AB∥平面A1B1C；(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.[证明](1)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB∥A1B1.因为AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C.(2)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1＝AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B.因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC.因为A1B∩BC＝B，A1B⊂平面A1BC，BC⊂平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC.因为AB1⊂平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.[解题技法] 证明面面垂直的2种方法 定义法利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题定理法 利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线线垂直加以解决[题组训练]1．(2019·武汉调研)如图，三棱锥P ABC 中，底面ABC 是边长为2的正三角形，P A ⊥PC ，PB ＝2.求证：平面P AC ⊥平面ABC .证明：取AC 的中点O ，连接BO ，PO . 因为△ABC 是边长为2的正三角形， 所以BO ⊥AC ，BO ＝ 3.因为P A ⊥PC ，所以PO ＝12AC ＝1.因为PB ＝2，所以OP 2＋OB 2＝PB 2，所以PO ⊥OB . 因为AC ∩OP ＝O ， 所以BO ⊥平面P AC . 又OB ⊂平面ABC ， 所以平面P AC ⊥平面ABC .2.(2018·安徽淮北一中模拟)如图，四棱锥P ABCD 的底面是矩形，P A ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是AB ，PD 的中点，且P A ＝AD .求证：(1)AF ∥平面PEC ； (2)平面PEC ⊥平面PCD .证明：(1)取PC 的中点G ，连接FG ，EG ， ∵F 为PD 的中点，G 为PC 的中点， ∴FG 为△CDP 的中位线， ∴FG ∥CD ，FG ＝12CD .∵四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点， ∴AE ∥CD ，AE ＝12CD .∴FG ＝AE ，FG ∥AE ， ∴四边形AEGF 是平行四边形，∴AF ∥EG ，又EG ⊂平面PEC ，AF ⊄平面PEC ，∴AF∥平面PEC.(2)∵P A＝AD，F为PD中点，∴AF⊥PD，∵P A⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴P A⊥CD，又∵CD⊥AD，AD∩P A＝A，∴CD⊥平面P AD，∵AF⊂平面P AD，∴CD⊥AF.又PD∩CD＝D，∴AF⊥平面PCD.由(1)知EG∥AF，∴EG⊥平面PCD，又EG⊂平面PEC，∴平面PEC⊥平面PCD.[课时跟踪检测]A级1．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是() A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β解析：选C对于C项，由α∥β，a⊂α可得a∥β，又b⊥β，得a⊥b，故选C.2．(2019·湘东五校联考)已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α⊥β；④若m∥l，则α⊥β.其中正确的命题是()A．①④B．③④C．①②D．①③解析：选A对于①，若α∥β，m⊥α，l⊂β，则m⊥l，故①正确，排除B.对于④，若m∥l，m⊥α，则l⊥α，又l⊂β，所以α⊥β.故④正确．故选A.3．已知P A垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B两点的任一点，则下列关系不正确的是()A．P A⊥BC B．BC⊥平面P ACC．AC⊥PB D．PC⊥BC解析：选C由P A⊥平面ACB⇒P A⊥BC，故A不符合题意；由BC⊥P A，BC⊥AC，P A∩AC＝A，可得BC⊥平面P AC，所以BC⊥PC，故B、D不符合题意；AC⊥PB显然不成立，故C符合题意．4.如图，在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么点D在平面ABC内的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析：选A因为AB⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，所以AC⊥平央ABD，又AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABD，所以点D在平面ABC内的射影H必在直线AB上．5.如图，在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下面四个结论不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面P AEC．平面PDF⊥平面P AED．平面PDE⊥平面ABC解析：选D因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，故选项A正确．在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，所以BC⊥平面P AE，又DF∥BC，则DF⊥平面P AE，从而平面PDF⊥平面P AE.因此选项B、C均正确．6.如图，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△P AC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有________个；与AP垂直的直线有________个．解析：∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC.∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面P AC，又∵AP⊂平面P AC，∴AB⊥AP，与AP垂直的直线是AB.答案：317．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α∥β；②若α外的一条直线l与α内的一条直线平行，则l∥α；③设α∩β＝l，若α内有一条直线垂直于l，则α⊥β；④直线l⊥α的充要条件是l与α内的两条直线垂直．其中所有的真命题的序号是________．解析：①正确；②正确；满足③的α与β不一定垂直，所以③错误；直线l⊥α的充要条件是l与α内的两条相交直线垂直，所以④错误．故所有的真命题的序号是①②.答案：①②8．在直三棱柱ABCA1B1C1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α.有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE.其中正确命题的序号是________．解析：如图所示，因为AA1∥平面α，平面α∩平面AA1B1B＝EH，所以AA1∥EH.同理AA1∥GF，所以EH∥GF，又ABCA1B1C1是直三棱柱，易知EH＝GF＝AA1，所以四边形EFGH是平行四边形，故①正确；若平面α∥平面BB1C1C，由平面α∩平面A1B1C1＝GH，平面BCC1B1∩平面A1B1C1＝B1C1，知GH∥B1C1，而GH∥B1C1不一定成立，故②错误；由AA1⊥平面BCFE，结合AA1∥EH知EH⊥平面BCFE，又EH⊂平面α，所以平面α⊥平面BCFE，故③正确．答案：①③9．(2019·太原模拟)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，P A＝PD＝AD＝2，点M在线段PC上，且PM＝2MC，N为AD的中点．(1)求证：AD⊥平面PNB；(2)若平面P AD⊥平面ABCD，求三棱锥PNBM的体积．解：(1)证明：连接BD.∵P A＝PD，N为AD的中点，∴PN⊥AD.又底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴BN⊥AD，又PN∩BN＝N，∴AD⊥平面PNB.(2)∵P A＝PD＝AD＝2，∴PN＝NB＝ 3.又平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，PN⊥AD，∴PN⊥平面ABCD，∴PN⊥NB，∴S△PNB＝12×3×3＝32.∵AD⊥平面PNB，AD∥BC，∴BC ⊥平面PNB .又PM ＝2MC ， ∴V P NBM ＝V M PNB ＝23V C PNB ＝23×13×32×2＝23.10.如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1⊥A 1B 1.求证：(1)直线DE ∥平面A 1C 1F ； (2)平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .证明：(1)在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AC ∥A 1C 1， 在△ABC 中，因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点． 所以DE ∥AC ，于是DE ∥A 1C 1，又因为DE ⊄平面A 1C 1F ，A 1C 1⊂平面A 1C 1F ， 所以直线DE ∥平面A 1C 1F .(2)在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1， 因为A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1，所以AA 1⊥A 1C 1，又因为A 1C 1⊥A 1B 1，A 1B 1∩AA 1＝A 1，AA 1⊂平面ABB 1A 1，A 1B 1⊂平面ABB 1A 1， 所以A 1C 1⊥平面ABB 1A 1， 因为B 1D ⊂平面ABB 1A 1， 所以A 1C 1⊥B 1D ，又因为B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1∩A 1F ＝A 1，A 1C 1⊂平面A 1C 1F ，A 1F ⊂平面A 1C 1F ， 所以B 1D ⊥平面A 1C 1F ， 因为直线B 1D ⊂平面B 1DE ， 所以平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .B 级1．(2018·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥P ABC 中，AB ＝BC ＝22，P A ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点．(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且MC ＝2MB ，求点C 到平面POM 的距离． 解：(1)证明：因为P A ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点， 所以PO ⊥AC ，且PO ＝2 3. 连接OB ， 因为AB ＝BC ＝22AC ， 所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2.所以PO 2＋OB 2＝PB 2，所以PO ⊥OB . 又因为AC ∩OB ＝O ，所以PO ⊥平面ABC . (2)作CH ⊥OM ，垂足为H ， 又由(1)可得OP ⊥CH ， 所以CH ⊥平面POM .故CH 的长为点C 到平面POM 的距离．由题设可知OC ＝12AC ＝2，CM ＝23BC ＝423，∠ACB ＝45°，所以OM ＝253，CH ＝OC ·MC ·sin ∠ACB OM ＝455.所以点C 到平面POM 的距离为455.2．(2019·河南中原名校质量考评)如图，在四棱锥P ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面P AD ⊥底面ABCD ，P A ⊥AD ，E ，F 分别是CD ，PC 的中点．求证：(1)BE ∥平面P AD ； (2)平面BEF ⊥平面PCD .证明：(1)∵AB ∥CD ，CD ＝2AB ，E 是CD 的中点， ∴AB ∥DE 且AB ＝DE ， ∴四边形ABED 为平行四边形，∴AD ∥BE ，又BE ⊄平面P AD ，AD ⊂平面P AD ， ∴BE ∥平面P AD .(2)∵AB ⊥AD ，∴四边形ABED 为矩形， ∴BE ⊥CD ，AD ⊥CD ，∵平面P AD ⊥底面ABCD ，平面P AD ∩底面ABCD ＝AD ，P A ⊥AD ， ∴P A ⊥底面ABCD ， ∴P A ⊥CD ，又P A ∩AD ＝A ， ∴CD ⊥平面P AD ，∴CD ⊥PD ， ∵E ，F 分别是CD ，PC 的中点， ∴PD ∥EF ，∴CD ⊥EF ，又EF ∩BE ＝E ， ∴CD ⊥平面BEF ，∵CD ⊂平面PCD ，∴平面BEF ⊥平面PCD .。
直线与平面垂直的判定定理与性质定理ppt课件
7. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠ABC＝60°，PC⊥平 面ABC，PC＝4，M是AB上的一个动点，则PM的最小值为________．
M
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11. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC 所在平面外一点，且SA＝SB＝SC. (1)求证：SD⊥平面ABC； (2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
6
②二面角的平面角
如图，过二面角 α-l-β 的棱 l 上一点 O 在两个半平面内分别 作 BO⊥l，AO⊥l，则__∠__A_O_B__就叫做二面角 α-l-β 的平面角． ③二面角的范围 设二面角的平面角为 θ，则 θ∈_[_0_，__π_]__．
π ④当 θ＝___2_____时，二面角叫做直二面角．
7
2．学会三种垂直关系的转化
在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂 线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决．如 有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的 垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．
8
1．(2015·高考浙江卷)设 α，β是两个不同的平面，l，m 是
质 个平面的两
定 条直线 理 __平__行____
符号语言
a⊥α b⊥α
⇒a∥
b
3
2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言
图形语言
一个平面过另一 判定 个平面的_垂_线__，
定理 则这两个平面互
相垂直
两个平面互相垂
直，则一个平面
性质 定理
内垂直于_交__线___
的直线垂直于另
一个平面
符号语言
16
3.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB∥CD，AB⊥AD， CD＝2AB，平面 PAD⊥底面 ABCD，PA⊥AD，E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点．求证： (1)PA⊥底面 ABCD； (2)BE∥平面 PAD； (3)平面 BEF⊥平面 PCD.
直线平面垂直的判定与性质 课件
师生共研
题型一 直线与平面垂直的判定与性质
例1 如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3，BC＝2，D 是BC的中点，F是CC1上一点.当CF＝面垂直的常用方法及关键 (1)证明线面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性；③面 面垂直的性质. (2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直，则需借助线面垂 直的性质.
1.直线与平面垂直
(1)定义 如果直线l与平面α内的 任意一条 直线都垂直，则直线l与平面α互相垂直， 记作l⊥α，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面.
(2)判定定理与性质定理 文字语言
图形语言
判定 定理
一条直线与一个平面内的 两条 相交 直线都垂直，则 该直线与此平面垂直
符号语言
_a_，__b_⊂__α _a_∩__b_＝__O_ _l_⊥__a_ _l_⊥__b_
(1)判定面面垂直的方法 ①面面垂直的定义； ②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β). (2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的 垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.
题型三 垂直关系的综合应用
命题点1 直线与平面所成的角 例3 如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于 A，B的一动点.
⇒l⊥α
性质 垂直于同一个平面的两条 定理 直线_平__行__
_a_⊥__α_ _b_⊥__α_
⇒a∥b
2.直线和平面所成的角
(1)定义 平面的一条斜线和 它在平面上的射影 所成的锐角，叫做这条直线和这个平 面所成的角.若一条直线垂直于平面，它们所成的角是 直角 ，若一条直线和 平面平行，或在平面内，它们所成的角是 0° 的角. (2)范围：0，π2.
2018版高考数学大一轮复习第八章立体几何8.5直线平面垂直的判定与性质课件文
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9
10 11 12
2.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正 确的是 答案
解析
A.若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B.若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n C.若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β D.若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β √ A中，m与n可垂直、可异面、可平行；
4
证明：D′H⊥平面ABCD.
证明
几何画板展示
思维升华
证明线面垂直的常用方法及关键
(1)证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②垂直于平面的
传递性(a∥b ， a⊥α⇒b⊥α) ；③面面平行的性质(a⊥α ， α∥β⇒a⊥β) ；
④面面垂直的性质.
(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面
又D为AB1的中点，因此DE∥AC.
又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，
所以DE∥平面AA1C1C.
(2)BC1⊥AB1.
证明
题型二 平面与平面垂直的判定与性质 例2 如图，四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝
2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点. (1)求证：CE∥平面PAD； 证明
答案 解析
1与B1E是异面直线 C.AE与B1C1是异面直线，且AE⊥B1C1 √ D.A1C1∥平面AB1E B.AC⊥平面ABB1A1
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4.正方体ABCD－A′B′C′D′中，E为A′C′的中点，则直线CE垂直于 A.A′C′ 连接B′D′，
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第五讲 考点2 平面与垂直平行的判定与性质
直线、平面垂直的判定及其性质
1.二面角 (1)二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角.
图8-5-3 (2)二面角的平面角:如图8-5-3,在二面角α-l-β的棱l上任取一点P,以点P为垂足,在半平面α,β内 分别作垂直于棱l的射线PA和PB,则射线PA和PB构成的∠APB叫作二面角α-l-β的平面角. 二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度. 我们规定,二面角的取值范围是[0°,180°].平面角是直角的二面角叫作直二面角.
图8-5-5 符号语言:α⊥β,α∩β=CD,AB⊂α,AB⊥CD⇒AB⊥β.
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知识全通关 8
第五讲
直线、平面垂直的判定及其性质
【名师提醒】 1.两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情况,正 方体中任意相邻的两个面都是互相垂直的; 2.由定理可知,要证明平面与平面垂直,可转化为从 现有直线中寻找平面的垂线,即证明线面垂直; 3.面面垂直的判定定理提供了找出垂直于一个平面
命题趋势
直关系的简单命题.
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考情精解读 1
第五讲
直线、平面垂直的判定及其性质
考纲解读
考点
2016全国
2015全国
2014全国
自主命题区域
2016浙江,17(Ⅰ)
命题规律
直线与平面
2016北京,17(Ⅰ) 2015北京,17,14分 全国Ⅱ,19(Ⅰ)
垂直的判定
2015江苏,16(2)
2015浙江,17(Ⅰ) 2014浙江,20,15分 2014山东,17,12分
性问题在2018年高考复习时应引起重视.
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知识全通关
数学
知识全通关 1
第五讲 考点一 直线与垂直平行的判定与性质
直线、平面垂直的判定及其性质
1.直线与平面垂直的判定定理 (1)自然语言:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直. (2)图形语言:如图8-5-1所示.
图8-5-1 (3)符号语言:a⊂α,b⊂α,a∩b=P,l⊥a,l⊥b⇒l⊥α.
命题趋势
与性质 【90%】
分
分
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考情精解读 4
第五讲
直线、平面垂直的判定及其性质
考纲解读
1.热点预测 主要考查线线垂直、线面垂直、面面
命题规律
垂直的判定和性质以及线面角、二面角的求法,以 选择题、填空题或解答题的一问呈现,分值5~6分. 2.趋势分析 以柱体或锥体为载体,考查推理论证
命题趋势
能力和空间想象能力,关于垂直中的存在性与探索
图8-5-4 符号语言:AB⊥β,AB⊂α⇒α⊥β.
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【注意】平面和平面垂直的判定定理的两个条件:l⊂α,l⊥β,缺一不可.
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知识全通关 7
第五讲
直线、平面垂直的判定及其性质
3.平面与平面垂直的性质定理 自然语言:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 图形语言:如图8-5-5所示.
【注意】斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线,而不是线段.
规律总结 1.直线与平面垂直的定义常常逆用,即a⊥α,b⊂α⇒a⊥b.
2.若平行直线中一条垂直于平面,则另一条也垂直于该平面.
3.垂直于同一条直线的两个平面平行.
4.过一点有且只有一条直线与已知平面垂直. 5.过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.
的另一个平面的依据.
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题型全突破
数学
题型全突破 1
第五讲 考法1 线面垂直的判定与性质
直线、平面垂直的判定及其性质
考法指导 证明直线与平面垂直的方法:
(1)定义法:若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线,则这条直线垂直于这个平面(不常用);
(2)判定定理(常用方法); (3)若两条平行直线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面(客观题常用); (4)若一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,则它必垂直于另一个平面(客观题常用); (5)若两平面垂直,则在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面(常用方法); (6)若两相交平面同时垂直于第三个平面,则这两个平面的交线垂直于第三个平面(客观题常用).
目 录 Contents
考情精解读 A.知识全通关 B.题型全突破 C.能力大提升
考点1
考点2
考法1 考法3
考法2 考法4
专题
考情精解读
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考情精解读 1
第五讲
直线、平面垂直的判定及其性质
考纲解读
考试大纲
命题规律
02
1.以立体几何的有关定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面垂 直、面面垂直的有关性质与判定定理,并能够证明相关性质定理. 2.能运用线面垂直、面面垂直的判定及性质、定理证明一些空间图形的垂
命题趋势
与性质 【90%】
2014天津,17(Ⅰ)
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考情精解读 3
第五讲
直线、平面垂直的判定及其性质
考纲解读
考点
2016全国
2015全国
2014全国
自主命题区域
命题规律
平面与垂直 平行的判定 全国Ⅰ,18,12 全国Ⅰ,18,12
2016江苏,16(2)
2015北京,17(Ⅰ) 2014江苏,16(2)
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知识全通关 6
第五讲
直线、平面垂直的判定及其性质
2.平面与平面垂直的判定定理 (1)两个平面垂直的定义 如果两个相交平面所成的二面角是直二面角,那么就说这两个平面互相垂直.平面α与β垂 直,记作α⊥β. (2)两个平面垂直的判定定理 自然语言:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直. 图形语言:如图8-5-4所示.
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知识全通关 5
第五讲
直线、平面垂直的判定及其性质
(3)找二面角的平面角的方法
①垂面法:由二面角的平面角的定义知,只需作与棱垂直的平面,则该平面与两个半平面的
交线构成的角即二面角的平面角.
②平移法:先分别在两个半平面内找一条垂直于棱的射线,然后平移到一起,两射线的夹角
即二面角的平面角.
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知识全通关 2
第五讲
直线、平面垂直的判定及其性质
2.直线与平面垂直的性质定理
自然语言:垂直于同一个平面的两条直线平行. 图形语言:如图8-5-2所示.
图8-5-2
符号语言:a⊥α,b⊥α⇒a∥b.
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知识全通关 3
第五讲
直线、平面垂直的判定及其性质
3.直线与平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫作这条直线和这个平面所成的角. 一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是直角;一条直线和平面平行或在平面内,我们 说它们所成的角是0°角.因此,直线与平面所成的角的范围是[0°,90°].