平面与平面垂直的性质(教案)
“平面与平面垂直的判定定理”教案讲义
引入
建筑工人砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌 的墙面是否和地面垂直，如果系有铅锤的线和墙面紧贴， 那么所砌的墙面与地面垂直。 大家知道其中的理论根据吗？
——它就是本节课的内容之一：平面与平面垂直的判定定理。
问题 问引题2入
判定定理
面面垂直的判定方法：
1、定义法： 找二面角的平面角
求证：直线AB⊥平面β。
α A
D
B C
在平面β内过B点作BE⊥CD
β
E
问题 发现 猜想 证明 证明 过程 结论 注
性质定理
平面与平面垂直的性质定理是：
如果两个平面相互垂直，那么在一个平面 内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
α A
D
β
B C
问题 发现 猜想 证明 证明过程 结论 注
性质定理
1) 面面垂直线面垂直； （线是一个平面内垂直于两平面交线的一条直线）
平面与平面垂直的判定定理
（Excellent handout training template）
引入 问题 问引题2入
判定定理
平面与平面垂直的判定定理是：
如果一个平面经过另一个平面的一条 垂线，那么这两个平面相互垂直。
β A
D
α
B C
判定定定定理理 证明 证明过程 判定方法
引入
建筑工人砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌 的墙面是否和地面垂直，如果系有铅锤的线和墙面紧贴， 那么所砌的墙面与地面垂直。 大家知道其中的理论根据吗？
说明该平面角是直角。
（一般通过计算完成证明。）
2、判定定理：
要证两个平面垂直，只要在其中一个平面内找到
判定定理
另一个平面的一条垂线。 （线面垂直面面垂直）
人教课标版高中数学必修2《平面和平面垂直的判定和性质》教学设计
2.3.2平面和平面垂直的判定和性质一、教学目标（一）核心素养（1）通过本节教学，提高学生空间想象能力．（2）通过问题解决，提高等价转化思想渗透的意识．（3）进一步提高学生分析问题、解决问题的能力．（二）学习目标（1）两个平面互相垂直的判定．（2）两个平面互相垂直的性质．（三）学习重点两个平面垂直的判定、性质．（四）学习难点（1）两个平面垂直的判定定理、性质定理运用．（2）正确作出符合题意的空间图形．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第67页到第69页，填空：二面角的定义：平面内的一条直线把平面分为两部分,其中的每一部分都叫做半平面,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．（2）平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．（3）判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直⎭⎬⎫l⊥αl⊂β⇒α⊥β性质定理如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面⎭⎬⎫α⊥βα∩β＝al⊥al⊂β⇒l⊥α1．直线a⊥直线b，a⊥平面β，则b与β的位置关系是（）A．b⊥βB．b∥βC．b⊂βD．b⊂β或b∥β【解题过程】由垂直和平行的有关性质可知b⊂β或b∥β，故选D.【答案】D2.设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解题过程】若α⊥β，因为α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，所以根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α，又a⊂α，所以a⊥b；反过来，当a∥m时，因为b⊥m，且a，m共面，一定有b⊥a，但不能保证b⊥α，所以不能推出α⊥β.故选A.【答案】A3．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面（）A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α.B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α.C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α.D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α.【解题过程】A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；C中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正确；D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误．【答案】C(二)课堂设计1．知识回顾（1）直线和平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫l⊥al⊥ba∩b＝Oa⊂αb⊂α⇒l⊥α（2）直线和平面垂直的判定的另外一种判定方法文字语言图形语言符号语言判定方法如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面．ba//，α⊥a．则α⊥b（3）直线和平面垂直的性质定理性质定理如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行⎭⎬⎫a⊥αb⊥α⇒a∥b2．问题探究探究一实例引领，认识平面和平面垂直的概念★●活动①简单类比，引出定义两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情形．教室的墙面与地面、一个正方体中每相邻的两个面、课桌的侧面与地面都是互相垂直的．两个平面互相垂直的概念和平面几何里两条直线互相垂直的概念类似，也是用它们所成的角为直角来定义的．请同学思考两个平面互相垂直的定义.两个平面互相垂直的定义可表述为：如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直．那么两个互相垂直的平面画其直观图时，应把直立平面的边画成和水平平面的横边垂直，如下图．平面α和β垂直，记作α⊥β．●活动②实例引领，思维激活实例：如图,检查工件的相邻两个平面是否垂直时,只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上,另一边在工件的另一个面上转动,观察尺边是否和这个面密合就可以了,这是为什么?曲尺的一边在一面内转动即为形成一个平面,而另一边与此平面垂直,且又紧靠在另一平面上,即垂线在另一平面内．所以我们得到面面垂直的判定定理．如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．）下面我们一起给出分析，证明：已知：AB⊥β，AB∩β＝B，AB⊂α．【解题过程】要证α⊥β，需证α 和β 构成的二面角是直二面角，而要证明一个二面角是直二面角，需找到其一个平面角，并证明这个二面角的平面角是直角．证明：设α∩β＝CD，则由AB⊂α知，AB、CD共面．∵AB⊥β，CD⊂β，∴AB⊥CD，垂足为点B．在平面β内过点B作直线BE⊥CD．则∠ABE是二面角α-CD-β的平面角．又AB⊥BE，即二面角α-CD-β是直二面角．∴α⊥β．现在同学们明确了面面垂直的判定定理，请思考：建筑工人在砌墙时，常用一段系有铅锤的线来检查所砌墙面是否和水平面垂直，依据是什么？［学生］依据是两个平面垂直的判定定理，一面经过另一面的一条垂线．［老师］从转化的角度来看，两个平面垂直的判定定理可简述为：线面垂直⇒面面垂直请同学们接着思考如下问题：在所给正方体中，下式是否正确：①平面ADD1A1⊥平面ABCD；②D1A⊥AB；③D1A⊥面ABCD．［学生］①∵AB⊥面ADD1A1，AB⊂面ABCD．∴平面ABCD⊥平面ADD1A1．②∵AB⊥面ADD1A1，D1A⊂面ADD1A1∴AB⊥D1A③∵AA1⊥面ABCD，∴AD1与平面ABCD不垂直．平面ADD1A1⊥面ABCD，平面ADD1A1∩平面ABCD＝AD，A是平面ADD1A1内一点．过点A可以在平面ADD1A1内作无数条直线，而这些直线满足什么条件就可以使之与平面垂直？判定定理解决两个平面如何垂直，性质定理可以解决上述线面垂直．从转化的角度可表述为：面面垂直，则线面垂直．也给了我们以后证明问题的一种思想方法．下面我们一起来完成证明.证明过程如下：已知：α⊥β、α∩β＝a，AB⊂α，AB⊥a于B．【解题过程】：在平面β内作BE⊥a垂足为B，则∠ABE就是二面角α-a-β的平面角．由α⊥β可知，AB⊥BE．又AB⊥a，BE与a是β内两条相交直线，∴AB⊥β．证明的难点在于“作BE⊥a”．为什么要做这一步？主要是由两面垂直的关系，去找其二面角的平面角来决定的.【设计意图】构造二面角的平面角过程可以体现学生的创新精神、转化能力．【答案】见解题过程.探究二层层深化，掌握平面和平面垂直的判定定理和性质定理．●活动①互动交流，初步实践例1 求证：（1）如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面互相垂直；（2）如果一个平面与另一个平面的垂面平行，那么这两个平面互相垂直．【知识点】平面和平面垂直的判定.【数学思想】化归思想.【解题过程】（1）已知：l∥α，l⊥β，求证：α⊥β.证明：在平面α内任取一点P．∵l ∥α，∴P ∉l ．P 、l 可确定一平面γ．设α∩γ＝l ′则l ∥l ′．⎪⎭⎪⎬⎫⊂'⊥'⇒⎭⎬⎫'⊥αββl l l l l //⇒α⊥β［该题目难在构造既符合题，又能使问题得证的立体图形．］ (2)已知：α⊥β，β∥γ．求证：α⊥γ证明：过β 内一点P 作直线l ，使l ⊥α则l ⊂β． l 与γ内任一点Q 确定平面δ，设δ∩γ＝l ′，则l ∥l ′． l ′⊥α，因此γ⊥α．【思路点拨】题目较抽象，构造图形，创造条件，使问题转化为可利用已有定理来解决．由此我们又多了两个判断面面垂直的结论. 【答案】见解题过程. ●活动②巩固基础，检查反馈例2 如图，AB 是⊙O 的直径，P A 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上异于A 、B 的任意一点，求证：平面P AC ⊥平面PBC ．【知识点】平面和平面垂直的判定 【数学思想】化归思想【解题过程】证明：因为AB 是⊙O 的直径，C 是圆周上的点，所以有BC ⊥AC ①．因为P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，则P A ⊥BC ②． 由①②及AC ∩PA ＝A ，得BC ⊥平面P AC ．因为BC⊂平面PBC，有平面P AC⊥平面PBC．【思路点拨】低一级的垂直关系是判定高一级垂直关系的依据，根据条件，由线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直．通过这个例题展示了空间直线与平面的位置关系的内在联系，垂直关系的判定和性质共同构成了一个完整的知识体系．【答案】见解题过程.例3 如图，P是△ABC所在平面外的一点，且P A⊥平面ABC，平面P AC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC．【知识点】平面和平面垂直的判断和性质.【数学思想】转化思想.【解题过程】证明：在平面P AC内作AD⊥PC，交PC于D．因为平面P AC⊥平面PBC于PC，AD⊂平面P AC，且AD⊥PC，所以AD⊥平面PBC．又因为BC⊂平面PBC，于是有AD⊥BC①．另外P A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以P A ⊥BC．由①②及AC∩PA＝A，可知BC⊥平面P AC．因为AC⊂平面P AC，所以BC⊥AC．【思路点拨】在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直．本题是利用直线和平面垂直的定义及判定定理等知识来解答的问题．解答此类问题必须作到：概念清楚、问题理解透彻、相关知识能灵活运用．【答案】见解题过程.例4 P为120°角α-a-β内一点，P到α和β的距离均为10，求点P到棱a的距离．【知识点】二面角的概念，距离.【数学思想】化归思想.【解题过程】如图，过点P 作P A ⊥α于A ，PB ⊥β于B ，设相交直线P A 、PB 确定的平面为γ，a ∩γ＝O ，则α∩γ＝OA ，β∩γ＝OB 连结PO ，则AP =BP =10∵P A ⊥α，PB ⊥β，∴a ⊥γ，而PO ⊂平面γ，∴a ⊥PO ， ∴PO 的长即为点P 到直线a 的距离． 又∵a ⊥γ，γ⊂OA ，γ⊂OB∴∠AOB 是二面角α-a -β的平面角，即∠AOB =120°．而四边形AOBP 为一圆内接四边形，且PO 为该四边形的外接圆直径． ∵四边形AOBP 的外接圆半径等于由A 、B 、O 、P 中任意三点确定的三角形的外接圆半径，因此求PO 的长可利用△APB ． 在△APB 中，AP =BP =10，∠APB =60°，∴AB =10． 由正弦定理：332060sin 2=︒==AB R PO ． 【思路点拨】(1)该题寻找120°的二面角的平面角，所采取的方法即为垂面法，由此可见，若题目可找到与棱垂直的平面，用“垂面法”确定二面角的平面角也是一种可取的方法．（2）充分借助于四边形P AOB 为一圆内接四边形，∵P A ⊥OA ，PB ⊥OB ，∵PO 即为其外接圆直径，然后借助于四边形的外接圆直径等于其中任一三角形的外接圆直径进行转移，由正弦定理帮助解决了问题．【答案】.3320活动③ 强化提升，灵活应用例5.过点S 引三条不共面的直线SA 、SB 、SC ，如图，∠BSC =90°，∠ASC =∠ASB =60°，若截取SA =SB =SC =a .(1)求证：平面ABC ⊥平面BSC ； (2)求S 到平面ABC 的距离．【知识点】面面垂直的证明，距离. 【数学思想】化归思想【解题过程】(1)证明：∵SA =SB =SC =a ， 又∠ASC =∠ASB =60°，∴△ASB 和△ASC 都是等边三角形，∴AB =AC =a ， 取BC 的中点H ，连结AH ，∴AH ⊥BC ． 在Rt △BSC 中，BS =CS =a ， ∴SH ⊥BC ，a BC 2=，∴2)22(222222a a a CH AC AH =-=-=，∴222a SH =． 在△SHA 中，∴222a AH =，222a SH =，22a SA =， ∴222HA SH SA +=，∴AH ⊥SH ，∴AH ⊥平面SBC ．∵AH ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BSC ． 或：∵SA =AC =AB ，∴顶点A 在平面BSC 内的射影H 为△BSC 的外心， 又△BSC 为Rt △，∴H 在斜边BC 上，又△BSC 为等腰直角三角形，∴H 为BC 的中点，∴AH ⊥平面BSC ． ∵AH ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BSC ．(2)由前所证：SH ⊥AH ，SH ⊥BC ，∴SH ⊥平面ABC ，∴SH 的长即为点S 到平面ABC 的距离，a BC SH 222==，∴点S到平面ABC的距离为a22．【思路点拨】（1）要证明平面ABC⊥平面BSC，根据面面垂直的判定定理，须在平面ABC或平面BSC内找到一条与另一个平面垂直的直线；（2）外心为三角形外接圆的圆心，即三条中垂线的交点.【答案】（1）见解题过程；（2）a22．同类训练如图，在三棱台ABC－DEF中，CF⊥平面DEF，AB⊥B C.(1)设平面ACE∩平面DEF＝a，求证：DF∥a；(2)若EF＝CF＝2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG⊥平面CDE？若存在，请确定G点的位置；若不存在，请说明理由．【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明.【解题过程】(1)证明：在三棱台ABC－DEF中，AC∥DF，AC⊂平面ACE，DF 平面ACE，∴DF∥平面ACE.又∵DF⊂平面DEF，平面ACE∩平面DEF＝a，∴DF∥a.(2)线段BE上存在点G，且BG＝13BE，使得平面DFG⊥平面CDE.证明如下：取CE的中点O，连接FO并延长交BE于点G，连接GD、GF，∵CF＝EF，∴GF⊥CE.在三棱台ABC－DEF中，AB⊥BC⇒DE⊥EF.由CF⊥平面DEF⇒CF⊥DE.又CF ∩EF ＝F ，∴DE ⊥平面BEF ，∴DE ⊥GF .GF CE GF DE GF CDE CE DE E ⎫⎪⇒⎬⎪⎭⊥⊥⊥平面＝.又GF ⊂平面DFG ，∴平面DFG ⊥平面CDE .此时，如平面图所示，∵O 为CE 的中点，EF ＝CF ＝2BC ，由平面几何知识易证△HOC ≌△FOE ，∴HB ＝BC ＝12EF .由△HGB ∽△FGE 可知12BG GE =，即13BG BE =. 【思路点拨】“探索性问题”的规律方法：一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明．【答案】（1）见解题过程；（2）线段BE 上存在点G ，且13BG BE =，使得平面DFG ⊥平面CDE .3. 课堂总结知识梳理（1）证明面面垂直的方法（2）重难点归纳空间中直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直三者之间可以相互转化，每一种垂直的判定都是从某种垂直开始转向另一种垂直最终达到目的，其转化关系为在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．（三）课后作业基础型 自主突破一、选择题1．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（）A．AB∥mB．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明.【解题过程】如图所示，AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；AB∥l⇒AB∥β，只有D不一定成立，故选D.【思路点拨】由题意，画出满足条件的图形，依据面面垂直的性质以及线面平行的性质等知识解答.【答案】D.2．设a是空间中的一条直线，α是空间中的一个平面，则下列说法正确的是（）A．过a一定存在平面β，使得β∥αB．过a一定存在平面β，使得β⊥αC．在平面α内一定不存在直线b，使得a⊥bD．在平面α内一定不存在直线b，使得a∥b【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明.【解题过程】当a与α相交时，不存在过a的平面β，使得β∥α，故A错误；直线a与其在平面α内的投影所确定的平面β满足β⊥α，故选B；平面α内的直线b只要垂直于直线a在平面α内的投影，则就必然垂直于直线a，故C错误；当a与α平行时，在平面α内存在直线b，使得a∥b，故D错误．【思路点拨】A.根据面面平行的定义和性质判断；B.利用面面垂直的性质和定义判断；C.根据线面垂直的性质判断；D.根据线面平行的性质判断.【答案】B．3.设直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，（）A．若m∥α，则l∥m B．若α∥β，则l⊥mC．若l⊥m，则α∥β D．若α⊥β，则l∥m【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明.【解题过程】A中直线l与m互相垂直，不正确；B中根据两个平面平行的性质知是正确的；C中的α与β也可能相交；D中l与m也可能异面，也可能相交，故选B.【思路点拨】通过线面平行的性质定理和线面垂直的性质定理即可判断A；由一直线垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另一个，结合线面垂直的性质定理即可判断B；举反例，由线面垂直的性质定理即可判断C；举反例，结合线面垂直和面面垂直的性质定理即可判断D.【答案】B.4．设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是() A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明.【解题过程】A中，两直线可以平行、相交或异面，故不正确；B中，两直线平行，故不正确；C中，由α∥β，a⊂α可得a∥β，又b⊥β，得a⊥b，故正确；D 中，两直线可以平行，相交或异面，故不正确．【思路点拨】通过线面垂直的性质定理判断A；通过面面平行的性质和线面垂直的性质判断B；通过面面平行的性质和线面垂直的定义判断C；由线面平行的性质和面面垂直的性质判断D.【答案】C.5.如图，在四面体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列正确的是（）A ．平面ABC ⊥平面ABDB ．平面ABD ⊥平面BDCC ．平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ADC ⊥平面BDED ．平面ABC ⊥平面ADC ，且平面ADC ⊥平面BDE【知识点】面面垂直的判定.【解题过程】因为AB ＝CB ，且E 是AC 的中点，所以BE ⊥AC ，同理有DE ⊥AC ，于是AC ⊥平面BDE .因为AC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BDE .又由于AC ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面BDE ，所以选C.【思路点拨】缺少【答案】C.6.在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB 、AC 互相垂直，则AB 2＋AC 2＝BC 2．”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确结论是：“设三棱锥A -BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两相互垂直”，则______．【解题过程】此题是突破以往高考命题模式的又一典范，丰富的想象和联想是增强创新意识的利器，本题如果能联想构造一长方体，用一平面去截长方体易得满足条件的棱锥A -BCD ，进而易证结论：“2222ABC ACD ADB BCD SS S S ++=．” 【答案】2222ABC ACD ADB BCD S S S S ++=．7.如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD (只要填写一个你认为正确的条件即可)．【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明.【解题过程】∵PC在底面ABCD上的射影为AC，且AC⊥BD，∴BD⊥P C.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD ⊥平面PC D.【答案】DM⊥PC(或BM⊥PC)8.如图所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD ＝DE＝2AB，F为CD的中点．求证：(1)AF∥平面BCE；(2)平面BCE⊥平面CDE.【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明。
8.6.3平面与平面垂直的性质定理(教学课件)-高中数学人教A版(2019)必修第二册
a
探究新知
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
符号语言：
1. 平面与平面垂直的性质定理
面面垂直线面垂直
图形语言：
a
b
探究新知
直线与直线垂直
直线与平面垂直
平面与平面垂直
例题讲解
例1 定理辨析.
已知平面α⊥平面β，α∩ β＝l下列命题.
（2）垂直于交线l的直线必垂直于平面β（ ）
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例题讲解
课堂练习
4. 如图所示，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，E为棱CC'中点， 求二面角A'-BD-E的大小．
课堂练习
1. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”. (1) 如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β. (2) 如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β. (3) 如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β.
[解析] 如图，在平面 内，作 于点 .
∵平面 平面 ，且平面 平面 ， 平面 ， 平面 .又 平面 ，
.又 平面 ， 平面 ， .又 ， 平面 .又 平面 ， .
课本例10
（1）定义法:
以二面角的棱a上任意一点O为端点，在两个面内分别作垂直于a的两条射线OA,OB，则∠AOB就是此二面角的平面角.
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13Байду номын сангаас
平面与平面垂直的性质(教案)
平面与平面垂直的性质（教案）揭阳第一中学许丹敏教学目的通过对面面垂直性质定理的探索、证明，培养学生的观察、分析、论证等思维能力教学目标：1 理解掌握面面垂直的性质定理2 能初步运用性质定理解决问题教学重点难点：重点：理解掌握面面垂直的性质定理难点：运用性质定理解决实际问题教学过程：(一) 复习提问师：请大家回顾一下，怎样判断线面垂直和面面垂直？（提问）生：线面垂直判定定理：如果一条直线和一个平面内两条相交直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面.生：面面垂直判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.(二)引入新课师：今天我们要学习“两个平面垂直的性质”，先来看下面问题：如图，长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，判断下面结论的正误。
1)平面ADD′A′⊥平面ABCD2) DD′⊥面ABCD3)AD′⊥面ABCD师：我们发现：平面ADD′A′⊥平面ABCD，平面ADD′A′∩平面ABCD = AD，D′是平面ADD′A′内一点，过D′点可作无数条直线，这些直线中有与平面ABCD垂直的，也有不垂直的，那么，满足什么条件的直线能与平面ABCD垂直呢？（提出问题，引发思维,并引导学生积极寻找这些直线与交线AD的关系）生：（略）师：平面ADD′A′⊥平面ABCD，平面ADD′A′内的任一点，平面内过该点且垂直于交线的直线垂直于平面ABCD。
（三）新课已知：面α⊥面β，α∩β = a, AB α , AB⊥a于 B，求证：AB⊥β(让学生思考怎样证明)师：(分析：要证明直线垂直于平面，须证明直线垂直于平面内两条相交直线，而题中条件已有一条，故可过该直线作辅助线）证明：在平面β内过B作BE⊥a，又∵AB⊥a，∴∠ABE为α﹣a﹣β的二面角，又∵α⊥β，∴∠ABE = 90° , ∴AB⊥BE 又∵AB⊥a, BE∩a = B,∴AB⊥β1. 面面垂直的性质定理：两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.（用符号语言表述）若α⊥β，α∩β = a, AB α , AB⊥a于 B，则 AB⊥β师：从面面垂直的性质定理可知，要证明线垂直于面可通过面面垂直来证明，而前面我们知道，面面垂直也可通过线面垂直来证明。
平面与平面垂直的性质教案
一、教学目标1. 让学生理解平面与平面垂直的概念，掌握平面与平面垂直的性质。
2. 培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
二、教学内容1. 平面与平面垂直的定义2. 平面与平面垂直的性质定理3. 平面与平面垂直的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：平面与平面垂直的性质定理及其应用。
2. 教学难点：平面与平面垂直的性质定理的理解和运用。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解平面与平面垂直的定义、性质定理及应用。
2. 利用几何模型和实物模型，直观展示平面与平面垂直的现象，增强学生的空间想象力。
3. 开展小组讨论，让学生互相交流、探讨，加深对平面与平面垂直性质的理解。
4. 运用例题讲解，培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。
五、教学步骤1. 导入新课：通过展示生活中的实例，引导学生思考平面与平面垂直的现象。
2. 讲解平面与平面垂直的定义，让学生理解垂直的概念。
3. 讲解平面与平面垂直的性质定理，引导学生通过图形进行验证。
5. 总结本节课的主要内容，布置课后作业。
教案仅供参考，具体实施时可根据学生的实际情况进行调整。
六、教学评价1. 课后作业：布置有关平面与平面垂直性质的习题，巩固所学知识。
2. 课堂练习：设置一些有关平面与平面垂直的应用题，检验学生对性质定理的掌握程度。
3. 学生互评：鼓励学生之间相互评价，提高学生的沟通能力。
七、教学拓展1. 探讨平面与平面垂直的其他性质定理。
2. 研究平面与平面垂直在实际工程中的应用。
八、教学反思1. 教师在课后要对课堂进行反思，总结教学过程中的优点和不足。
2. 针对学生的学习情况，调整教学策略，提高教学效果。
九、课后作业1. 习题：完成教材后的相关习题，加深对平面与平面垂直性质的理解。
2. 实践作业：观察生活中的平面与平面垂直现象，拍摄图片，进行简要描述。
十、教学进度安排1. 本节课计划用2课时完成，第1课时讲解平面与平面垂直的定义和性质定理，第2课时进行应用讲解和课后作业布置。
教案 平面与平面垂直的判定和性质
【教学过程】*揭示课题9.4.3 平面与平面垂直的判定和性质*情境导入[实例]建筑工人在砌墙时，把线的一端系一个铅锤，另一端用砖压在墙壁面上（图9−50），观察系有铅锤的线与墙面是否紧贴（在铅锤处应有一空隙），即判断所砌墙面是否经过地面的垂线，以此保证所砌的墙面与地面垂直．*引入新知 平面与平面垂直的判定方法：一个平面经过另一个平面的垂线则两个平面垂直． 如图9−51所示，如果AB β⊥，AB 在α内，那么αβ⊥．画表示两个互相垂直平面的图形时，一般将两个平行四边形的一组对边画成垂直的位置，可以把直立的平面画成矩形（图9−49（1）），也可以把直立的平面画成平行四边形（图9−49（2））．β（2）α图9−49 图9−51*例题讲解例1 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1（如图9−52）中，判断平面B 1AC 与平面B 1BDD 1是否垂直．例2 如图，PA 垂直于o 所在的平面，AB 是o 的直径，C 是圆周上异于A ，B 的任意一点，试判断平面PAC 与平面PBC 的位置关系，并说明理由*练习强化1. 判断下列说法是否正确，并说明理由（1）过平面外一点只可作一个平面与已知平面垂直（2）过平面外一条直线可以作无数个平面与已知平面垂直（3）若两个平面垂直，则一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面2.如图，ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体，求证：平面111AC CA B D DB ⊥*揭示课题8.4.4 平面与平面垂直的性质定理*情境导入【实验】如图9−53所示，在正方体1A C 的侧面11A ABB 中，作1EE AB ⊥，观察1EE 与底面ABCD 的关系．*引入新知可以看到，由于1EE AB ⊥，故11EE BB ∥，又1BB BC ⊥，因此1EE BC ⊥．这样，1EE 就与底面ABCD 中的两条相交直线AB BC 、都垂直，所以1EE 与底面ABCD 垂直．由大量的观察与实践，归纳出平面与平面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．*例题讲解例1 如图9−54所示，平面α⊥平面β， AC 在平面α内，且AC ⊥AB ，BD 在平面β内，且BD ⊥AB ，AC ＝12 cm ，AB ＝3 cm ，BD ＝4 cm ．求CD 的长．图9−54*练习强化1．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，与平面1AB 垂直的平面有 个，与平面1AB 垂直的棱有 条．1A 1D 1C 1B A D D CB图9−53E 1 E A B C D D A B 第1题图2.如图，ABCD 中，AB=3，AD=6,90BAC ∠=,沿对角线AC 折叠，求折后两个顶点B 、D 间的距离*归纳小结 平面与平面垂直的判定方法：一个平面经过另一个平面的垂线则两个平面垂直．平面与平面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．。
平面与平面垂直的性质定理教学设计及平面与平面垂直的判定与性质教案完美版
平面与平面垂直的性质定理教学设计及平面与平面垂直的判定与性质教案完美版教学设计：一、教学目标：1.知识目标：掌握平面与平面垂直的性质定理，了解平面与平面垂直的判定方法。
2.能力目标：能够正确判断平面与平面是否垂直，并运用性质定理求解问题。
3.情感目标：培养学生对几何知识的兴趣，提高解决几何问题的能力。
二、教学内容：1.平面与平面垂直的性质定理。
2.平面与平面垂直的判定方法。
三、教学步骤：1.导入新知识（10分钟）教师引入本节课的知识内容，告诉学生本节课要学习平面与平面垂直的性质定理和判定方法，并和学生一起回顾正交的概念，引发学生的思考。
2.学习性质定理（30分钟）教师通过多个例子，引导学生观察和总结平面与平面垂直的性质定理。
-性质定理一：如果两个平面的法向量相互垂直，则这两个平面垂直。
-性质定理二：如果两个平面中的各一条直线互相垂直，则这两个平面垂直。
教师先给出性质定理一的证明过程，再由学生自行推导性质定理二的证明过程。
学生在学习性质定理的过程中，教师可以组织学生进行小组讨论，让学生互相讨论并分享自己的理解和想法。
3.学习判定方法（30分钟）教师介绍平面与平面垂直的判定方法：-判定方法一：如果两个平面的法向量相互垂直，则这两个平面垂直。
-判定方法二：如果两个平面中的各一条直线互相垂直，则这两个平面垂直。
教师给出一些实际应用的例子，引导学生通过观察图形来判断两个平面是否垂直。
4.综合练习（20分钟）教师设计一些相关练习题，让学生通过运用刚刚学习的性质定理和判定方法来解决问题。
5.总结和课堂小结（10分钟）教师总结本节课学习的内容，提醒学生注意关键点，并给出总结性的提问，激发学生思维。
四、教学手段：1.教师板书法通过板书法概括和总结平面与平面垂直的性质定理和判定方法。
2.多媒体教学法运用多媒体教学展示相关的图片和视频，帮助学生更好地理解和掌握平面与平面垂直的性质定理和判定方法。
3.讨论和合作学习通过讨论和合作学习的方式，激发学生思维，增加学生的参与感和主动性。
高中数学面面垂直判定教案
高中数学面面垂直判定教案
教学目标：
1. 了解什么是垂直面。
2. 学会判断两个平面是否垂直。
3. 掌握垂直平面的相关性质和定理。
教学准备：
1. 教材：高中数学教科书
2. 教具：黑板、彩色粉笔、几何工具箱、投影仪
3. 辅助教学资料：包含平面垂直判定例题的练习册
教学步骤：
一、导入
1. 显示一个三维图形，引导学生思考其中的平面之间可能存在的关系。
2. 引导学生提出平面的垂直关系，并与垂直直线进行对比。
二、概念讲解
1. 解释垂直平面的定义。
2. 理论性讲解平面垂直的判定方法。
三、例题演练
1. 利用黑板进行示范，解答几个基础的垂直平面判定题目。
2. 让学生自行尝试几道练习题，并及时纠正。
四、深化延伸
1. 引导学生思考：如何用平面方程去判断两个平面是否垂直？
2. 讲解垂直平面的性质及相关定理。
五、课堂小结
1. 复习本节课所学的知识点，并强调重点。
2. 鼓励学生在课后多进行练习，巩固所学内容。
六、作业布置
1. 布置一定量的平面垂直判定练习题作为课后作业。
2. 提醒学生及时复习本节课所学内容。
教学反思：
1. 观察学生的学习情况，及时调整教学步骤和讲解方式。
2. 鼓励学生多提出问题，促进思维的拓展和深入。
3. 关注学生的作业情况，及时纠正错误，巩固学习成果。
高中数学平面垂直教案设计
高中数学平面垂直教案设计
教学内容：平面垂直的概念、性质及相关应用
教学目标：
1. 理解平面垂直的概念和性质；
2. 掌握平面垂直的判定方法；
3. 能够在实际问题中运用平面垂直的知识。
教学重点：
1. 平面垂直的定义和性质；
2. 平面垂直的判定方法。
教学难点：
1. 如何应用平面垂直的知识解决实际问题。
教学准备：
1. 教师：授课PPT、教学视频、教具；
2. 学生：课本、笔记本、讲义。
教学过程：
一、导入（5分钟）
教师引入平面垂直的概念，通过生活中的例子引导学生理解平面垂直的意义，并激发学生的兴趣。
二、概念讲解（15分钟）
1. 定义平面垂直，并介绍平面垂直的性质；
2. 根据性质引出平面垂直的判定方法。
三、示例演练（20分钟）
教师通过示例演练，让学生掌握平面垂直的判定方法，并加深对概念的理解。
四、课堂练习（15分钟）
学生独立完成课堂练习，巩固所学知识。
五、实际应用（10分钟）
教师引导学生运用平面垂直的知识解决实际问题，培养学生的综合应用能力。
六、课堂总结（5分钟）
教师对本节课的重点内容进行总结，并布置下节课的预习任务。
教学评价：
1. 学生在课堂练习中的表现；
2. 学生在实际问题应用中的解决能力；
3. 学生对平面垂直概念的掌握程度。
云南省德宏州潞西市芒市中学高中数学教案：平面与平面垂直的性质 必修二
一、内容及其解析１．内容：本节内容是在学习了上节“直线与平面平行的判定”的基础上用同样的思想方法来研究“直线与平面垂直的判定”；包括：直线与平面垂直的判定、平面与平面垂直的判定、直线与平面垂直的性质、平面与平面垂直的性质。
２．解析：本节内容的处理继续遵循“直观感知—操作确认———思辨论证———度量计算”的认识过程展开。
直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理通过具体实例，按照直观感知、操作确认的方式得出，并用精确语言表达；直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质定理则在观察、操作的基础上作出猜想，然后通过推理论证，得出猜想的正确性。
二、目标及其解析１．目标：（１）探究直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理，培养学生的空间想象能力；（２）掌握直线与平面垂直的判定定理、平面与平面垂直的判定定理的应用，培养学生分析问题、解决问题的能力；（３）让学生明确直线与平面垂直、平面与平面垂直在立体几何中的地位；２．解析：空间中直线与平面之间的位置关系中，垂直是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范.空间中直线与平面的垂直问题是连接线线垂直和面面垂直的桥梁和纽带，可以说线面垂直是立体几何的核心.三、教学问题诊断本节教学中，教师要注意引导学生类比上节内容的研究方法，遵循“直观感知—操作确认———思辨论证———度量计算”的认识过程展开，这个认识过程要让学生充分感受到。
本节的重点是：直观感知、操作确认，概括出判断定理和性质定理；难点是：性质定理的证明。
四、教学支持条件应用基本教学设施教学五、教学过程设计（一）教学基本流程从人类生产实践的需要引入课题构建直线与平面平行的概念探究直线与平面平行的性质定理平面与平面垂直的性质定理的运用课堂小结、作业（二）教学情境１．创设情景，导入新课如图２，长方体ABCD—A′B′C′D′中，平面A′ADD′与平面ABCD垂直,直线A′A垂直于其交线AＤ．平面A′ADD′内的直线A′A与平面ABCD垂直吗？图２２．新知探究问题１如图３,若α⊥β,α∩β=CD,AB α,AB⊥CD,AB∩CD=Ｂ．请同学们讨论直线AB与平面β的位置关系.[来源:学*科*网Z*X*X*K]图３师生活动：学生讨论并积极发言，教师引导学生作图或借助模型探究得出直线AB 与平面β的关系： 通过学生作图或借助模型探究得出直线AB 与平面β垂直,如图３。
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平面与平面垂直的性质（教案）
教学目的
通过对面面垂直性质定理的探索、证明，培养学生的观察、分析、论证等思维能力
教学目标：
1 理解掌握面面垂直的性质定理
2 能初步运用性质定理解决问题
教学重点难点：
重点：理解掌握面面垂直的性质定理
难点：运用性质定理解决实际问题
教学过程：
(一) 复习提问
师：请大家回顾一下，怎样判断线面垂直和面面垂直？（提问）
生：线面垂直判定定理：
如果一条直线和一个平面内两条相交直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面.
生：面面垂直判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.
(二)引入新课
师：今天我们要学习“两个平面垂直的性质”，先来看下面问题：如图，长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，判断下面结论的正误。
1)平面ADD′A′⊥平面ABCD
2) DD′⊥面ABCD
3)AD′⊥面ABCD
师：我们发现：平面ADD′A′⊥平面ABCD，平面ADD′A′∩平面ABCD = AD，D′是平面ADD′A′内一点，过D′点可作无数条直线，这些直线中有与平面ABCD垂直的，也有不垂直的，那么，满足什么条件的直线能与平面ABCD垂直呢？
（提出问题，引发思维,并引导学生积极寻找这些直线与交线AD的关系）生：（略）
师：平面ADD′A′⊥平面ABCD，平面ADD′A′内的任一点，平面内过该点且垂直于交线的直线垂直于平面ABCD。
（三）新课
已知：面α⊥面β，α∩β = a, AB α , AB⊥a于B，
求证：AB⊥β
(让学生思考怎样证明)
师：(分析：要证明直线垂直于平面，须证明直线垂直于
平面内两条相交直线，而题中条件已有一条，
故可过该直线作辅助线）
证明：在平面β内过B作BE⊥a，又∵AB⊥a，
∴∠ABE为α﹣a﹣β的二面角，又∵α⊥β，
∴∠ABE = 90° , ∴AB⊥BE 又∵AB⊥a, BE∩a = B,
∴AB⊥β
1.面面垂直的性质定理：
两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
（用符号语言表述）若α⊥β，α∩β = a, AB α , AB⊥a于B，则AB⊥β
师：从面面垂直的性质定理可知，要证明线垂直于面可通过面面垂直来证明，而前面我们知道，面面垂直也可通过线面垂直来证明。
这种互相转换的证明方法是常用的数学思想方法。
同学们在学习中要认真理解和体会。
2. 例题分析
例1．空间四边形ABCD中，ΔABD与ΔBCD都为
正三角形，面ABD⊥面BCD，试在平面BCD
内找一点，使AE⊥面BCD
解：在ΔABD中，∵AB=AD,取BD的中点E，
连结AE，则AE为BD的中线
∴AE⊥BD
又∵面BCD∩面ABD=BD, 面ABD⊥面BCD
∴AE⊥面BCD
例2．如图，已知平面α、β，α⊥β，α∩β =AB，直线a⊥β, a α,求证：a ∥α
(引导学生思考)
(分析：因为直线与平面有在平面内、相交、平行三种关系)
证明：在α内作垂直于α、β交线AB的直线b，
又∵α⊥β,
∴b⊥β 又∵a⊥β
∴a ∥b , a α
∴a ∥α
3．课堂练习：练习P77
4.小结：
①面面垂直的性质定理：
两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
②利用性质定理解决问题
5思考题
1 已知平面α、β，直线a,且α⊥β, α∩β =AB，a ∥α ,
a⊥AB,试判断直线a与平面β的位置关系
(分析:因为直线与平面在平面内、相交、平行三种关系)
解: ∵a ∥α , 过a作平面与α相交于直线b,则 a ∥ b ∵a⊥AB , ∴b⊥AB
又∵a⊥β , α∩β =AB
∴b⊥β (面面垂直性质定理)
∴a⊥β
a b
α
β
A
B
β
A
b
α
a B
2 已知α∩β = c, α⊥γ, β⊥γ, 求证: c⊥γ
(可从多方面思考证明本题)
问题1:能否证明直线c垂直于平面γ内的两条相交直线?
问题2:能否运用两平行直线中的一条垂直于平面γ,那么另一条也和该平面γ垂直?
问题3:能否直接围绕直线本身的特征进行论证?
6.作业：P78 1 , 4。