平面和平面垂直的性质
直线与平面面,平面与平面垂直的性质
A.1
B.2
C.3 D.4
2、如图，已知四边形ABCD是矩形，AD=4,AB=2,F是线段BC 的中点，PA⊥平面ABCD,求证PF⊥FD.
P
提示：连接AF.
A
D
B
FC
2.3.4 平面与平面垂直的性质
回顾
1.面面垂直的定义：
两个平面相交， 如果它们所成的二面 角是直二面角，就说 这两个平面互相垂直。
垂直于同一个平面的两条直线平行
二、怎样证线线垂直：
1.利用平面几何中的定理：半圆上 的圆周角是直角、勾股定理的逆定 理……
2.利用平移：a⊥b,b∥c，则 a⊥c
3.利用线面垂直定义：a⊥α,b α，则 a⊥b
4.利用三垂线定理或其逆定理（以后学）
n
a
a n
a
同理b
bl aα
β
n γm
b // a
a b
b //
b
l
b // l b
lb
线面平行判定
线面平行性质
思考：还可以怎样作辅助线？
2、已知a、b是两条不重合的直线，
P
α、β、γ是三个两两不重合的
平面，给出下列四个命题：
若a⊥α，a⊥β，则α∥β；
A
若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
O
若α∥β，aα，bβ，则a∥b； B
若α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，则
a∥b。其中正确命题的序号是 （D）
D C
A. B. C. D.
面 具有什么位置关系?
α
直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质
D、a 或a //
应用举例
例1：在正方体ABCD A1B1C1D1中，M是AB上
一点，N是A1C上的一点，MN 平面A1DC
求证：MN // AD1
分证析明：：要证A1 AMDND//1是AD正1 , 方 只需形证明
ADA1D1 平面A1AD1DC.只需证 明CADD1垂直平于面平A1面ADA1DD1C内 的两AD条1 相C交D直线即可。
简记： 线面垂直
线线平行
作用：证明空间直线的平行。
课堂练习（一）：
判断下列命题是否正确： (1)垂直于同一条直线的两个平面互相平行。（ ）
(2)垂直于同一个平面的两条直线互相平行。（ ）
(3)平行于同一个平面的两条直线互相平行。（ ）
课堂练习（二）：
（D ）
A、a //
B、a
已则C知a、与直a线的a位,b置和关平系面是，且a b,b ,
线线垂直判定 定定 义理线面垂直性性 质质 判定定理 定理线线平行．
新知探究二：平面与平面垂直的性质
如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，
平面AC 平面D1C
平面AC 平面D1C DC D1
C1
D1D 平面D1C
A1
B1
D1D CD D1D 平面AC
D A
C B
平面与平面垂直的性质定理
直则于平A面BE，是须二证面 明直角
E
线 相 件垂 交 已- C直 直 有D于 线 一平 ， 条面而，的内题故平两中可面条条过角
D
B
A
该直AB线作B辅E助线.
C
AB CD
CD , BE , BE CD B
AB
2.3.4平面与平面的垂直的性质
性质
若两个平面垂直,则在一个平面内 性质定理：
垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.
在β内作直线BE⊥CD于B, 则∠ABE是二面角α-CD-β 的平面角 由α⊥β知,AB⊥BE ∴AB⊥β
A
D C B
E
又AB⊥CD 而BE和CD是β内的两条相交直线
面面垂直
线面垂直
举例
例： 已知
l , , ,
判定定理 判定定理
线线垂直
定义
线面垂直
性质定理
面面垂直
作业 1. 求证：两条异面直线不能同时
和一个平面垂直；
2. 求证：三个两两垂直的平面的 交线两两垂直.
平面与平面 垂直的性质
先直观感受平面与平面 垂直的情形
复习
1.定义：两个平面相交，如果它们所成 的二面角是直二面角，则两个平面垂直
记作α⊥β
性质:
1.凡是直二面角都相等； 2.两个平面相交,可引成四个二面角,如果其中有一 个是直二面角,那么其他各个二面角都是直二面角.
复习
若一个平面经过另一个平面 2.判定定理： 的一条垂线,则这两个平面互相垂直.
D
A垂直
思考
(1) 黑板所在平面与地面所在平面垂直,你能 否在黑板上画一条直线与地面垂直? (2) 如图,长方体中, 平面A1ADD1与平面 ABCD垂直,直线A1A A1 垂直于其交线AD,平 面A1ADD1内的直线 A A1A与平面ABCD垂 直吗？ D1 B1 D B C C1
求证： l
l
m
n
a
b P
证明：在平面 a m，b n
平面与平面垂直的性质 课件
【技法点拨】 1.线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化 通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直关系的相互转化， 即直线与直线垂直 噲垐直垐线 直垐与 线平 与垐垐面 平垂 面垐直 垂垐的 直直判 的垐垐定 定线定 义与理垎垐平面垂直 噲垐平 平垐面 面垐与 与平 平垐垐面 面垂 垂垐 直 直垐的 的平判 性垐垐定 质面定 定理 理垎与垐平面垂直.
试着完成下列各题,总结线线、线面、面面位置关系之间
的相互转化.
1.已知两个不同的平面α,β和两条不重合的直线m,n,有下列
四个结论：(1)若m∥n,m⊥α,则n⊥α.(2)若m⊥α,m⊥β,则
α∥β.(3)若m⊥α,m⊥n,n⊥β,则α⊥β.(4)若α⊥β,
α∩β=n,m⊥n,则m⊥α,其中正确结论的个数是( )
2.3.4 平面与平面垂直的性质
1.探究平面与平面垂直的性质定理,进一步培养学生的空间想 象能力. 2.能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题. 3.了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理 间的相互联系,掌握等价转化思想在解决问题中的运用.
平面与平面垂直的性质定理
(1)文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直
【解析】1.选C.利用平行线的性质(1)正确.由线面垂直的性质 知(2)正确.(3)m⊥α,m⊥n,则n⊂α或n∥α,又n⊥β,故α⊥β,正 确.(4)错误,m⊥n但m不一定在平面β内,故不一定垂直于平面 α. 2.选A.因为AD⊥AB,AD⊥PA且AB,PA⊂平面PAB, 所以AD⊥平面PAB,所以平面PAD⊥平面PAB, 因为BC∥AD,所以BC⊥平面PAB, 所以平面PBC⊥平面PAB.
【证明】如图,在a上任取点Q,过b与 Q作一平面交α于直线a1,交β于直 线a2. 因为b∥α,所以b∥a1. 同理,b∥a2. 因为a1,a2同过Q且平行于b,所以a1,a2重合. 又a1⊂α,a2⊂β,所以a1,a2都是α,β的交线,即都重合于a. 因为b∥a1,所以b∥a.而a⊥γ,所以b⊥γ.
1.2.3面面垂直的判定与性质
H C
由①②得AB⊥BC ①②得AB⊥
3、已知PD⊥矩形平面ABCD所在平面, 已知PD⊥矩形平面ABCD所在平面, PD ABCD所在平面 图中互相垂直的平面有几对? 图中互相垂直的平面有几对?
Pa
l
练习： 练习： 1、下列命题中错误的是（ B ） 、下列命题中错误的是（ A 如果平面 α ⊥平面 β ,那么平面 那么平面 直线平行于平面 β B如果平面 α ⊥平面 β ,那么平面 如果平面 那么平面 线都垂直于平面 β
α 内一定存在 α 内所有直 α 内一
β 交
C如果平面 α 不垂直于平面 β ，则平面 如果平面 定不存在直线垂直于平面 β D如果平面 α 、β 都垂直于平面 ，且 如果平面 都垂直于平面γ， 平面γ 于直线 a，则 a ⊥平面 ，
面面垂直的判定与性质
两面面垂直的定义： 两面面垂直的定义：
如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直， 如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直， 又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线 互相垂直，那么就说这两个平面互相垂直 两个平面互相垂直. 互相垂直，那么就说这两个平面互相垂直.
α A a B β C D b E
α与
B 2、已知两个平面垂直，下列命题中正确的有（ ）个 、已知两个平面垂直，下列命题中正确的有（
①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意 直线； 直线； ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无 数条直线； 数条直线； ③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面； 一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面； ④过一个平面内的任意一点做交线的垂线，则此垂线 过一个平面内的任意一点做交线的垂线， 必垂直于另一个平面。 必垂直于另一个平面。 A 3 B 2 C 1 D 0
两个平面垂直的判定和性质
α
l
所以 BD⊥α，BD⊥BC， 所以△CBD是 ⊥ ， ⊥ ， 所以△ 是 直角三角形， 直角三角形， 在直角△ 在直角△BAC中，BC= 3 + 4 = 5 中
2 2
在直角△CBD中，CD= 52 + 122 = 13 在直角△ 中 所以CD的长为 所以 的长为13cm. 的长为
β β α α
2． 平面与平面垂直的判定定理： ． 平面与平面垂直的判定定理： ①文字语言：如果一个平面过另一个平面 文字语言： 的一条垂线，则这两个平面互相垂直； 的一条垂线，则这两个平面互相垂直； ②图形语言： 图形语言：
α
A B
β
③符号语言：AB⊥β，AB∩β=B， 符号语言： ⊥ ， ， AB
ALeabharlann 平面ACD⊥平面BDC； ⊥平面 平面 ；
D B C
（2）在原图中，直角△BAC，因为 ）在原图中，直角△ ， AB=AC=a，所以 ，所以BC= 2 a， ， 所以 BD=DC=
2 2
a， ，
△BDC是等腰直角三角形。 是等腰直角三角形。 是等腰直角三角形 所以BC= 所以BC= 2 BD= a A 是等腰直角三角形。 △BDC是等腰直角三角形。 是等腰直角三角形 所以AB=AC=BC， ， 所以 因此∠ 因此∠BAC=60°. °
B D C
练习题 1． 下列命题中正确的是（ C ） ． 下列命题中正确的是（ 分别过两条互相垂直的直线， （A）平面 和β分别过两条互相垂直的直线， ）平面α和 分别过两条互相垂直的直线 则α⊥β ⊥ 内的一条直线垂直于平面β内 （B）若平面 内的一条直线垂直于平面 内 ）若平面α内的一条直线垂直于平面 的两条平行直线， 的两条平行直线，则α⊥β ⊥ 内的一条直线垂直于平面β内 （C）若平面 内的一条直线垂直于平面 内 ）若平面α内的一条直线垂直于平面 的两条相交直线， 的两条相交直线，则α⊥β ⊥ 内的一条直线垂直于平面β内 （D）若平面 内的一条直线垂直于平面 内 ）若平面α内的一条直线垂直于平面 的无数条直线， 的无数条直线，则α⊥β ⊥
两平面垂直的判定与性质
05
两平面垂直的实例分析
实例一：简单的几何图形
总结词
通过观察几何图形，可以直观地判断两平面是否垂直。
详细描述
在平面几何中，常见的图形如矩形、正方形和正六面体等，它们的相对面都是垂直的。通过观察这些图形的角和 边，可以直观地判断两平面是否垂直。
பைடு நூலகம்
实例二：建筑模型的分析
总结词
建筑模型中的墙面和地面通常都是垂直的。
判定定理的应用
应用场景
判定两平面是否垂直，特别是在几何、工程和物理学等领域中，两平面垂直的判 定定理具有广泛的应用价值。
实际应用
在建筑学中，为了确保结构的稳定性和安全性，需要判定各个平面是否垂直；在 机械工程中，判定两平面是否垂直对于零件的设计和制造至关重要；在物理学中 ，两平面垂直的判定定理可用于研究物体的运动轨迹和力的分布。
判定定理的证明
• 证明过程：设两平面分别为α和β，且α内的两条相交直线a和b 分别与β垂直。在直线a上任取一点A，由于a与β垂直，作直线c 平行于a且在β内，使得A落在c上。同理，在直线b上任取一点B， 作直线d平行于b且在β内，使得B落在d上。由于a和b相交，所 以点A和B确定了一个平面γ。由于c和d都在β内，且c与d相交， 所以β包含在γ内。又因为α与γ内的两条相交直线a和b都垂直， 所以α与γ垂直。由此可知，α与β垂直。
详细描述
在建筑领域，墙面和地面通常都是垂直的。这是因为垂直的 平面能够提供更好的支撑和稳定性。通过观察建筑物的结构 和设计，可以分析出两平面是否垂直。
实例三：物理实验的现象分析
总结词
物理实验中经常涉及到两平面垂直的情 况，如重力的方向与地面垂直。
VS
详细描述
在物理实验中，很多现象都涉及到两平面 垂直的情况。例如，在研究重力时，重力 的方向总是垂直于地面向下。通过分析这 些实验的现象和结果，可以深入理解两平 面垂直的性质和应用。
平面与平面垂直的性质定理-PPT课件
[证明] 设 AC∩BD＝O，连接 EO，则 EO∥PC. ∵PC＝CD＝a，PD＝ 2a， ∴PC2＋CD2＝PD2，∴PC⊥CD.
∵平面 PCD⊥平面 ABCD，CD 为交线，
∴PC⊥平面 ABCD，
∴EO⊥平面 ABCD.
又 EO 平面 EDB，
故有平面 EDB⊥平面 ABCD.
所以 AE 平面PCD 又 PD 平面PCD, PD AE;
因为 AB AE A,所以 PD 平面 ABE.
例1: 在四棱锥P ABCD中，PA 底面ABCD，AB AD， AC CD，ABC 60，PA AB BC，E是PC的中点。
证明: (1)CD AE; (2)PD 平面ABE; (3)平面PCD 平面ABE.
平面与平面垂直的性质定理
平面与平面垂直的性质定理
【教学目标】
1.探究平面与平面垂直的性质定理，进一步培养学生的空间想 象能力. 2.面面垂直的性质定理的应用，培养学生的推理能力. 3.通过平面与平面垂直的性质定理的学习,培养学生转化的思想. 【重点难点】
教学重点:平面与平面垂直的性质定理. 教学难点:平面与平面性质定理的应用. 【课时安排】1课时
（3）因为 PD 平面 PCD 所以平面 PCD 平面 ABE
变式：（课本P41）在空间四边形 SABC 中，SO 平面 ABC ，
O 为 ABC的垂心.求证：平面 SOC 平面 SAB
【证明】 延长 CO 交 AB于 D ，连接 SD
因为 O 为 ABC 的垂心，所以 CD AB
因为 SO 平面 ABC,
平面PAD 平面ABCD AD,
且AB AD, 所以 AB 平面PAD
又PD 平面PAD, 所以 PD AB;
2.3.4平面与平面垂直的性质2
1.平面与平面垂直的定义是什 么？如何判定平面与平面垂直？
定义和判定定理
2.平面与平面垂直的判定定理， 解决了两个平面垂直的条件问题； 反之，在平面与平面垂直的条件下， 能得到哪些结论？
知识探究（一）平面与平面垂直的性质定理
思考1:如果平面α 与平面β 互相垂 直，直线l在平面α 内，那么直线l与 平面β 的位置关系有哪几种可能？
α A
β
B
思考2:上述分析表明：如果两个平 面互相垂直，那么经过一个平面内 一点且垂直于另一个平面的直线， 必在这个平面内.该性质在实际应用 中有何理论作用？
α A
β
B
思考3:对于三个平面α 、β 、γ ， 如果α ⊥γ ，β ⊥γ ， l ，那 么直线l与平面γ 的位置关系如何？ 为什么？
α l α l α
l
β β β
知识探究（一）平面与平面垂直的性质定理
思考2:黑板所在平面与地面所在平 面垂直，在黑板上是否存在直线与 地面垂直？若存在，怎样画线？
α
β
思考3:如图，长方体ABCD—A1B1C1D1 中，平面A1ADD1与平面ABCD垂直，其 交线为AD，直线A1A，D1D都在平面 A1ADD1内，且都与交线AD垂直，这两 条直线与平面ABCD垂直吗？
C1 B1 C B A A1 D1
D
思考4:一般地， , CD AB , AB CD ,垂足为B，那么直 线AB与平面 的位置关系如何？为 什么？
β E D B C A
α
思考5:据上分析可得什么定理？试 用文字语言表述之. β
D
B C A
α
定理 若两个平面互相垂直，则在 一个平面内垂直交线的直线与另一 个平面垂直.
平面与平面垂直的性质
直线与平面垂直的性质、平面与平面垂直的性质[新知初探]1．直线与平面垂直的性质定理(1)文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行． (2)图形语言：(3)符号语言：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b . (4)作用：①线面垂直⇒线线平行； ②作平行线．[点睛] (1)直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法． (2)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据．2．平面与平面垂直的性质定理 (1)文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． (2)图形语言：(3)符号语言：⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝la ⊂αa ⊥l⇒a ⊥β. (4)作用：①面面垂直⇒线面垂直； ②作面的垂线．[点睛] 对面面垂直的性质定理的理解(1)定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直． (2)已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直．[小试身手]1．若a，b表示直线，α表示平面，下列命题中正确的个数为()①a⊥α，b∥α⇒a⊥b；②a⊥α，a⊥b⇒b∥α；③a∥α，a⊥b⇒b⊥α；④a⊥α，b⊥α⇒a∥b.A．1B．2C．3D．0解析：选B由线面垂直的性质知①、④正确．②中b可能满足b⊂α，故②错误；③中b可能与α相交(不垂直)，也可能平行，故③不正确．2．两个平面互相垂直，一个平面内的一条直线与另一个平面()A．垂直B．平行C．斜交D．以上都有可能答案：D3．平面α⊥平面β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的位置关系是________．解析：由题意知n⊥α，而m⊥α，∴m∥n.答案：平行线面垂直性质定理的应用[典例] 如图，已知正方体A1C.(1)求证：A1C⊥B1D1.(2)M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求证：MN∥A1C.[证明](1)如图，连接A1C1.∵CC1⊥平面A1B1C1D1，B1D1⊂平面A1B1C1D1，∴CC1⊥B1D1.∵四边形A1B1C1D1是正方形，∴A1C1⊥B1D1.又∵CC1∩A1C1＝C1，∴B1D1⊥平面A1C1C.又∵A1C⊂平面A1C1C，∴B1D1⊥A1C.(2)如图，连接B1A，AD1.∵B1C1綊AD，∴四边形ADC1B1为平行四边形，∴C1D∥AB1.∵MN⊥C1D，∴MN⊥AB1.又∵MN⊥B1D1，AB1∩B1D1＝B1，∴MN⊥平面AB1D1.由(1)知A1C⊥B1D1.同理可得A1C⊥AB1.又∵AB1∩B1D1＝B1，∴A1C⊥平面AB1D1.∴A1C∥MN.(1)若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行，可考虑利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直，证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质．(2)直线与平面垂直的其他性质：①如果一条直线和一个平面垂直，则这条直线和这个平面内任一条直线垂直．②若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．③若l⊥α于A，AP⊥l，则AP⊂α.④垂直于同一条直线的两个平面平行．⑤如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面．[活学活用]如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中点．证明：(1)∵四边形ADD1A1为正方形，∴AD1⊥A1D.又∵CD⊥平面ADD1A1，∴CD⊥AD1.∵A1D∩CD＝D，∴AD1⊥平面A1DC.又∵MN⊥平面A1DC，∴MN∥AD1.(2)连接ON，在△A1DC中，A1O＝OD，A1N＝NC，∴ON綊12CD綊12AB.∴ON∥AM.又∵MN∥OA，∴四边形AMNO为平行四边形．∴ON＝AM.∵ON＝12AB，∴AM＝12AB.∴M是AB的中点.面面垂直性质定理的应用[典例]已知P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC.[证明]如图，在平面PAC内作AD⊥PC于点D，∵平面PAC⊥平面PBC，AD⊂平面PAC，且AD⊥PC，∴AD⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC.∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，∵AD∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC，又AC⊂平面PAC，∴BC⊥AC.若所给题目中有面面垂直的条件，一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直、线线垂直．应用面面垂直的性质定理，注意三点：①两个平面垂直是前提条件；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线．[活学活用]如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是边长为a的菱形，且∠DAB＝60°.侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB.证明：(1)如图，在菱形ABCD中，连接BD，由已知∠DAB＝60°，∴△ABD为正三角形，∵G 是AD 的中点，∴BG ⊥AD . ∵平面PAD ⊥平面ABCD ， 且平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ， ∴BG ⊥平面PAD . (2)如图，连接PG .∵△PAD 是正三角形，G 是AD 的中点， ∴PG ⊥AD ，由(1)知BG ⊥AD . 又∵PG ∩BG ＝G .∴AD ⊥平面PBG . 而PB ⊂平面PBG ，∴AD ⊥PB .垂直关系的综合应用[典例] BCD ， ∠ADB ＝60°，E ，F 分别是AC ，AD 上的动点，且AE AC ＝AFAD ＝λ(0<λ<1)． (1)求证：无论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC . (2)当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD?[解] (1)证明：∵AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ， ∴AB ⊥CD .∵CD ⊥BC ，AB ∩BC ＝B ，∴CD ⊥平面ABC . 又∵AE AC ＝AFAD ＝λ(0<λ<1)，∴无论λ为何值，恒有EF ∥CD ，∴EF ⊥平面ABC . 又∵EF ⊂平面BEF ，∴无论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC . (2)由(1)知BE ⊥EF ，∵平面BEF ⊥平面ACD ，平面BEF ∩平面ACD ＝EF ， ∴BE ⊥平面ACD .又∵AC ⊂平面ACD ，∴BE ⊥AC .∵BC ＝CD ＝1，∠BCD ＝∠ABD ＝90°，∠ADB ＝60°， ∴BD ＝2，∴AB ＝2tan 60°＝6， ∴AC ＝AB 2＋BC 2＝7.由Rt △AEB ∽Rt △ABC ，得AB 2＝AE ·AC ， ∴AE ＝67，∴λ＝AE AC ＝67.故当λ＝67时，平面BEF ⊥平面ACD .(1)空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种关系不是孤立的，而是相互关联的．它们之间的转化关系如下：线线垂直判定定理线面垂直定义线面垂直判定定理性质定理面面垂直(2)空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解题时，要抓住几何图形自身的特点，如等腰(边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等．还可以通过解三角形，产生一些题目所需要的条件，对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题．[活学活用](陕西高考)如图(1)，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π2，AB ＝BC ＝12AD＝a ，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE 折起到图(2)中△A 1BE 的位置，得到四棱锥A 1-BCDE .(1)证明：CD ⊥平面A 1OC ；(2)当平面A 1BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥A 1-BCDE 的体积为362，求a 的值． 解：(1)证明：在图(1)中，因为AB ＝BC ＝12AD ＝a ，E 是AD 的中点，∠BAD ＝π2，所以BE ⊥AC .即在图(2)中，BE ⊥A 1O ，BE ⊥OC ， 从而BE ⊥平面A 1OC .又CD ∥BE ，所以CD ⊥平面A 1OC . (2)由已知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ， 且平面A 1BE ∩平面BCDE ＝BE ，又由(1)可得A 1O ⊥BE ，所以A 1O ⊥平面BCDE . 即A 1O 是四棱锥A 1-BCDE 的高． 由图(1)知，A 1O ＝22AB ＝22a ，平行四边形BCDE 的面积S ＝BC ·AB ＝a 2， 从而四棱锥A 1-BCDE 的体积为 V ＝13S ·A 1O ＝13×a 2×22a ＝26a 3.由26a3＝362，得a＝6.层级一学业水平达标1．设l是直线，α，β是两个不同的平面()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β解析：选B对于选项A，两平面可能平行也可能相交；对于选项C，直线l可能在β内也可能平行于β；对于选项D，直线l可能在β内或平行于β或与β相交．2．已知平面α，β和直线m，l，则下列命题中正确的是()A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥βB．若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥βC．若α⊥β，l⊂α，则l⊥βD．若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β解析：选D选项A缺少了条件：l⊂α；选项B缺少了条件：α⊥β；选项C缺少了条件：α∩β＝m，l⊥m；选项D具备了面面垂直的性质定理的全条件．3．在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD ＝CD，则BD与CC1()A．平行B．共面C．垂直D．不垂直解析：选C如图所示，在四边形ABCD中，∵AB＝BC，AD＝CD.∴BD⊥AC.∵平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面AA1C1C.又CC1⊂平面AA1C1C，∴BD⊥CC1，故选C.4.如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是()A．EF⊥平面αB．EF⊥平面βC．PQ⊥GED．PQ⊥FH解析：选B因为EG⊥平面α，PQ⊂平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，则由PQ ⊂平面β，得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故选B.5．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出如下命题：①若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α；④若α⊥β，m∥α，则m⊥β.其中正确命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选B根据平面与平面垂直的性质知①正确；②中，α，β可能平行，也可能相交，不正确；③中，α⊥β，m⊥β，m⊄α时，只可能有m∥α，正确；④中，m与β的位置关系可能是m∥β或m⊂β或m与β相交，不正确．综上，可知正确命题的个数为2，故选B.6.如图，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O为AB中点，则图中直角三角形的个数为________．解析：∵CA＝CB，O为AB的中点，∴CO⊥AB.又平面ABC⊥平面ABD，交线为AB，∴CO⊥平面ABD.∵OD⊂平面ABD，∴CO⊥OD，∴△COD为直角三角形．所以图中的直角三角形有△AOC，△COB，△ABC，△AOD，△BOD，△COD共6个．答案：67.如图，直二面角α-l-β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD的长为________．解析：如图，连接BC，∵二角面α-l-β为直二面角，AC⊂α，且AC⊥l，∴AC⊥β.又BC⊂β，∴AC⊥BC，∴BC2＝AB2－AC2＝3，又BD⊥CD，∴CD＝BC2－BD2＝ 2.答案： 28．已知m，n是直线，α，β，γ是平面，给出下列说法①若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α或n⊥β；②若α∥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则m∥n；③若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线；④若α∩β＝m，n∥m且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β.其中正确的说法序号是________(注：把你认为正确的说法的序号都填上)．解析：①错，垂直于交线，不一定垂直平面；②对；③错，凡是平面内垂直于m的射影的直线，m都与它们垂直；④对．答案：②④9.如图：三棱锥P-ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，∠ACP＝30°，平面PAC⊥平面ABC.求证：平面PAB⊥平面PBC.证明：∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊥AC，∴PA⊥平面ABC.又BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.又∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB⊂平面PAB，PA⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB.又BC⊂平面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC.10.如图，边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，AC⊥BC，且AC＝BC.(1)求证：AM⊥平面EBC；(2)求直线EC与平面ABE所成角正弦值．解：(1)证明：∵平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，BC⊥AC，∴BC⊥平面ACDE.又AM⊂平面ACDE，∴BC⊥AM.∵四边形ACDE是正方形，∴AM⊥CE.又BC∩CE＝C，∴AM⊥平面EBC.(2)取AB的中点F，连接CF，EF.∵EA⊥AC，平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，∴EA⊥平面ABC，∴EA⊥CF.又AC＝BC，∴CF⊥AB.∵EA∩AB＝A，∴CF⊥平面AEB，∴∠CEF即为直线EC与平面ABE所成的角．在Rt△CFE中，CF＝2，FE＝6，tan∠CEF＝26＝33.层级二应试能力达标1．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．相交或平行解析：选B∵圆柱的母线垂直于圆柱的底面，所作的垂线也垂直于底面，由线面垂直的性质定理可知，二者平行．2．(安徽高考)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是()A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行．．．，则在α内不存在．．．与β平行的直线D．若m，n不平行．．．，则m与n不可能．．．垂直于同一平面解析：选D A项，α，β可能相交，故错误；B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C项，若m⊂α，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；D 项，假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n，所以原命题正确，故D项正确．3．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是() A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β解析：选D A中m，n可能为平行、垂直、异面直线；B中m，n可能为异面直线；C中m应与β中两条相交直线垂直时结论才成立．4．在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为()A．2 3 B．27C．4 3 D．47解析：选B连接CM，则由题意PC⊥平面ABC，可得PC⊥CM，所以PM＝PC2＋CM2，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，当CM⊥AB时CM有最小值，此时有CM＝4×32＝23，所以PM的最小值为27.5.如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在的平面互相垂直，则cos α∶cos β＝________.解析：由题意，两个矩形的对角线长分别为5,25，所以cos α＝5 25＋4＝529，cos β＝2529，所以cos α∶cos β＝5∶2.答案：5∶26．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有________个．解析：设面外的点为A，面内的点为B，过点A作面α的垂线l，若点B恰为垂足，则所有过AB的平面均与α垂直，此时有无数个平面与α垂直；若点B不是垂足，则l与点B 确定唯一平面β满足α⊥β.答案：1或无数7.如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝2a，E为PA的中点．求证：平面EDB⊥平面ABCD.证明：设AC∩BD＝O，连接EO，则EO∥PC.∵PC＝CD＝a，PD＝2a，∴PC2＋CD2＝PD2，∴PC⊥CD.∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，∴PC⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD.又EO⊂平面EDB，故有平面EDB⊥平面ABCD.8.如图所示，在斜三棱柱A1B1C1-ABC中，底面是等腰三角形，AB＝AC，D是BC的中点，侧面BB1C1C⊥底面ABC.(1)求证：AD⊥CC1；(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于点M，若AM＝MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C；(3)若截面MBC1⊥平面BB1C1C，则AM＝MA1吗？请叙述你的判断理由．解：(1)证明：∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC.∵底面ABC⊥平面BB1C1C，底面ABC∩平面BB1C1C＝BC，∴AD⊥平面BB1C1C.又CC1⊂平面BB1C1C，∴AD⊥CC1.(2)证明：延长B1A1与BM交于点N，连接C1N.∵AM＝MA1，∴NA1＝A1B1.∵A1C1＝A1N＝A1B1，∴C1N⊥B1C1，∴C1N⊥侧面BB1C1C.∴截面MBC1⊥侧面BB1C1C；(3)结论正确．证明如下：过M作ME⊥BC1于点E，连接DE. ∵截面MBC1⊥侧面BB1C1C，∴ME⊥侧面BB1C1C.又AD⊥侧面BB1C1C，∴ME∥AD，∴M，E，D，A四点共面．∵MA∥侧面BB1C1C，∴AM∥DE.∴四边形AMED是平方四边形，又AM∥CC1，∴DE∥CC1.∵BD＝CD，∴DE＝12CC1，∴AM＝12CC1＝12AA1.∴AM＝MA1.。
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利用定义,通过计算证之
请计算AC与平面 BSC所成的角的大小
S
A
B D
C
6.如图,四边形ABCD中,AD∥BC, AD=AB, ∠BCD=450, ∠BAD=900,将 △ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面 BCD,构成四面体ABCD,求证:平面ADC⊥ A 平面ABC
A
D
D
B
C
B
C
7.已知二面角 l 为600, A , B ,
3a
a
D
F C a
12.如图所示, △ABC为正三角形,EC⊥平 面ABC, BD∥CE,且CE=CA=2BD,M为 EA的中点, (1)求证:DE=DA
E D M N A
F C
B
如图所示, △ABC为正三角形,EC⊥平面 ABCD,BD∥CE,且CE=CA=2BD,M为EA 的中点, (2)求证:平面BDM⊥平面ECA
3．在二面角α-l-β的一个面α内有一条直线AB，若AB与棱l的 夹角为45°，AB与平面β所成的角为30°，则此二面角的大小 是（ D ） A.30°， B.30°或150°， C.45°， D.45°或135°。
如图，过A点作AO⊥β于O，在α内作AC垂直 棱于C，连OB、OC，则∠ABC=45°， ∠ABO=30°，∠ACO就是所求二面角的平面 角。
O1 2 O
600
B1 A1 B
C
3
D A
11.如图所示,已知△ABC中,AB=AC=3a, BC=2a, D为BC的中点,在空间平移△ABC 到△A1B1C1,连结对应顶点满足AA1⊥面 ABC,AA1=3a, E是CC1上的一点,且 CE=2a,求二面角D-AE-C的大小
A1 B1 3a A 3a B G C1 E 2a
1．给出下列四个命题： ①垂直于同一个平面的两个平面平行； ②垂直于同一条直线的两个平面平行； ③垂直于同一个平面的两条直线平行； ④垂直于同一条直线的两条直线平行． 其中正确的命题的个数是（ B ）． A．1 B．2 C．3 D．4
2．给出下列四个命题：（其中a，b表直线，α，β，γ表平面） ①若a⊥b，a∥α，则b⊥α； ②若a∥α，α⊥β，则a⊥β； ③若β∥γ，α∥γ，则α⊥β； ④若α⊥β，a⊥β，则a∥α。 其中不正确的命题的个数是（ D ）． A．1 B．2 C．3 D．4
设AB=a,则AC=
α A B
β O C ∴∠ACO=45° 则sin∠ACO=
2 ，AO= a 2
1 a 2
AO 2 AC 2
4．线段AB长为2a，两端点A，B分别在一个直二面角的两个 面内，且AB与两个面所成的角分别为30°和45°，设A，B 两点在棱上的射影分别为A′，B′，则 A′B′长等于（ C ）．
E D C
M
B N A
如图所示, △ABC为正三角形,EC⊥平面 ABCD,BD∥CE,且CE=CA=2BD,M为EA 的中点, (3)求证:平面DEA⊥平面ECA
E
请作出平面EAD和 平面BAC所成的二 面角的平面角
C
D
M
B
A
A. a 2
β
B.
2 a 2
C.
a
D.
2a
.
B
提示：利用直线与平面所成用 的定义和垂直关系得： ∠BAB′=30°，∠ABA′=45°∴ 在Rt△BB′A中，BB′=AB/2=a， 在Rt△BA′A中
BA AB 2 2 2a
A′ B′
A
α
在Rt△BB′A′中，
5.如图,过点S作三条不共面的直线,使 ∠BSC=900, ∠ASB= ∠ASC=600,截取 SA=SB=SC,求证:平面ABC⊥平面BSC
E
所成的二面角的平面角
D
C
B G
A
F
你又能作出平面ECA和平面 DBA所成二面角的平面角吗?
E
பைடு நூலகம்D C B G
A F
10.如图,三棱柱OAB-O1A1B1,平面 OBB1O1⊥平面OAB, ∠O1OB=600, ∠AOB=900,且OB=OO1=2, OA= 3 , 求 二面角O1-AB-O的大小
AM l , BN l 垂足为M,且AM=3, BN=4,
MN=5,求AB
l
A 3 M B 5 N
C
4
8.如图:Rt△ABC中, ∠C=Rt∠, PA⊥平面 ABC,图中有哪些平面互相垂直? 请找(作)出不互相 垂直的平面的二面 角的平面角
P
N
M
A D
E B
C
9.如图所示, △ABC为正三角形,EC⊥平 面ABCD,BD∥CE,且CE=CA=2BD,M为 EA的中点, 请作出平面EAD和平面BAC