中考数学专题复习分类练习 圆的综合综合解答题含答案解析

一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，过点E的切线与AB的延长线交于点D，连接

BE，过点O作BE的平行线，交⊙O于点F，交切线于点C，连接AC （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）连接EF，当∠D= °时，四边形FOBE是菱形．

【答案】（1）见解析；（2）30. 【解析】 【分析】 （1）由等角的转换证明出OCAOCE≌，根据圆的位置关系证得AC是⊙O的切线. （2）根据四边形FOBE是菱形，得到OF=OB=BF=EF，得证OBE为等边三角形，而得出60BOE，根据三角形内角和即可求出答案.

【详解】 （1）证明：∵CD与⊙O相切于点E， ∴OECD，

∴90CEO，

又∵OCBE， ∴COEOEB，∠OBE=∠COA ∵OE=OB，

∴OEBOBE，

∴COECOA，

又∵OC=OC，OA=OE， ∴OCAOCESAS≌（），

∴90CAOCEO，

又∵AB为⊙O的直径， ∴AC为⊙O的切线；

（2）解：∵四边形FOBE是菱形， ∴OF=OB=BF=EF，

∴OE=OB=BE，

∴OBE为等边三角形，

∴60BOE， 而OECD， ∴30D．

故答案为30． 【点睛】 本题主要考查与圆有关的位置关系和圆中的计算问题，熟练掌握圆的性质是本题的解题关键.

2．已知O的半径为5，弦AB的长度为m，点C是弦AB所对优弧上的一动点．

1如图①，若m5，则C的度数为______；

2如图②，若m6．

①求C的正切值；

②若ABC为等腰三角形，求ABC面积．

【答案】130；2C①的正切值为34；ABCS27②或43225.

【解析】 【分析】 1连接OA，OB，判断出AOB是等边三角形，即可得出结论；

2①先求出10AD，再用勾股定理求出8BD，进而求出tanADB，即可得出结

论； ②分三种情况，利用等腰三角形的性质和垂径定理以及勾股定理即可得出结论．

【详解】 1如图1，连接OB，OA，

OBOC5， ABm5，

OBOCAB，

AOB是等边三角形，

AOB60，

1ACBAOB302，

故答案为30； 2①如图2，连接AO并延长交O于D，连接BD，

AD为O的直径，

AD10，ABD90，

在RtABD中，ABm6，根据勾股定理得，BD8， AB3tanADBBD4，

CADB，

C的正切值为34；

②Ⅰ、当ACBC时，如图3，连接CO并延长交AB于E，

ACBC，AOBO，

CE为AB的垂直平分线，

AEBE3，

在RtAEO中，OA5，根据勾股定理得，OE4， CEOEOC9，

ABC11SABCE692722； Ⅱ、当ACAB6时，如图4，

连接OA交BC于F， ACAB，OCOB，

AO是BC的垂直平分线，

过点O作OGAB于G， 1AOGAOB2，1AGAB32，

AOB2ACB，

ACFAOG，

在RtAOG中，AG3sinAOGAC5， 3sinACF5，

在RtACF中，3sinACF5， 318AFAC55，

24CF5，

ABC111824432SAFBC225525；

Ⅲ、当BABC6时，如图5，由对称性知，

ABC

432S25．

【点睛】 圆的综合题，主要圆的性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 3．如图1，以边长为4的正方形纸片ABCD的边AB为直径作⊙O，交对角线AC于点E．

（1）图1中，线段AE= ； （2）如图2，在图1的基础上，以点A为端点作∠DAM=30°，交CD于点M，沿AM将四边形ABCM剪掉，使Rt△ADM绕点A逆时针旋转（如图3），设旋转角为α（0°＜α＜150°），在旋转过程中AD与⊙O交于点F．

①当α=30°时，请求出线段AF的长；

②当α=60°时，求出线段AF的长；判断此时DM与⊙O的位置关系，并说明理由；

③当α= °时，DM与⊙O相切．

【答案】（1）2（2）①2②2，相离③当α=90°时，DM与⊙O相切 【解析】（1）连接BE，∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠BAC=45°，∴△AEB是等腰直角三角形，又∵AB=8，∴AE=4；

（2）①连接OA、OF，由题意得，∠NAD=30°，∠DAM=30°，故可得∠OAM=30°，∠DAM=30°，则∠OAF=60°，又∵OA=OF，∴△OAF是等边三角形，∵OA=4，∴AF=OA=4；

②连接B'F，此时∠NAD=60°，∵AB'=8，∠DAM=30°，∴AF=AB'cos∠DAM=8×=4；

此时DM与⊙O的位置关系是相离；

③∵AD=8，直径的长度相等，∴当DM与⊙O相切时，点D在⊙O上，故此时可得

α=∠NAD=90°．

点睛：此题属于圆的综合题，主要是仔细观察每一次旋转后的图形，根据含30°角的直角三角形进行计算，另外在解答最后一问时，关键是判断出点D的位置，有一定难度．

4．已知P是O的直径BA延长线上的一个动点，∠P的另一边交O于点C、D，两点位

于AB的上方，AB＝6，OP=m，1sin3P＝，如图所示．另一个半径为6的1O经过点C、D，圆心距1OOn＝．

（1）当m=6时，求线段CD的长； （2）设圆心O1在直线AB上方，试用n的代数式表示m； （3）△POO1在点P的运动过程中，是否能成为以OO1为腰的等腰三角形，如果能，试求出此时n的值；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)CD=25;(2)m=23812nn ;(3) n的值为955或915

5

【解析】 分析：（1）过点O作OH⊥CD，垂足为点H，连接OC．解Rt△POH，得到OH的长．由勾股定理得CH的长，再由垂径定理即可得到结论；

（2）解Rt△POH，得到Rt3mOHOCH＝．在和Rt△1OCH中，由勾股定理即可得到结论；

（3）△1POO成为等腰三角形可分以下几种情况讨论：① 当圆心1O、O在弦CD异侧时，分1OPOO＝和11OPOO＝．②当圆心1O、O在弦CD同侧时，同理可得结论． 详解：（1）过点O作OH⊥CD，垂足为点H，连接OC．

在Rt△1sin63POHPPO中，＝，，∴2OH． ∵AB＝6，∴3OC＝．

由勾股定理得： 5CH．

∵OH⊥DC，∴225CDCH．

（2）在Rt△1sin3POHPPOm中，＝，＝，∴3mOH＝．

在Rt△OCH中，2293mCH＝． 在Rt△1OCH中，22363mCHn＝． 可得： 2236933mmn＝，解得23812nmn：＝． （3）△1POO成为等腰三角形可分以下几种情况： ① 当圆心1O、O在弦CD异侧时

i）1OPOO＝，即mn＝，由23812nnn＝，解得9n：＝．

即圆心距等于O、1O的半径的和，就有O、1O外切不合题意舍去． ii）11OPOO＝，由22233mmnm（）（） n＝，

解得：23mn＝，即23n 23812nn＝，解得9155n：＝． ②当圆心1O、O在弦CD同侧时，同理可得： 28132nmn

＝．

∵1POO

是钝角，∴只能是mn，即28132nnn＝，解得955n：＝．

综上所述：n的值为955或9155． 点睛：本题是圆的综合题．考查了圆的有关性质和两圆的位置关系以及解直径三角形．解答（3）的关键是要分类讨论．

5．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC于点E（BE＞EC），且

BD＝23．过点D作DF∥BC，交AB的延长线于点F．

（1）求证：DF为⊙O的切线； （2）若∠BAC＝60°，DE＝7，求图中阴影部分的面积．

【答案】（1）详见解析；（2）93﹣2π． 【解析】 【分析】 （1）连结OD，根据垂径定理得到OD⊥BC，根据平行线的性质得到OD⊥DF，根据切线的判定定理证明； （2）连结OB，连结OD交BC于P，作BH⊥DF于H，证明△OBD为等边三角形，得到∠ODB=60°，OB=BD=23，根据勾股定理求出PE，证明△ABE∽△AFD，根据相似三角形

的性质求出AE，根据阴影部分的面积=△BDF的面积-弓形BD的面积计算． 【详解】 证明：（1）连结OD， ∵AD平分∠BAC交⊙O于D，

∴∠BAD=∠CAD，

∴BDCD ，

∴OD⊥BC，

∵BC∥DF，