[高考总复习资料]数学一轮复习 名校尖子生培优大专题 圆锥曲线训练11 新人教A版
(新课标)高考数学一轮复习 名校尖子生培优大专题 等差、等比数列 新人教A版-新人教A版高三全册数学
（新课标）高考数学一轮复习 名校尖子生培优大专题 等差、等比数列 新人教A 版四、错位相减法的运用：错位相减法是一种常用的数列求和方法， 形如{}n n b a 的数列，其中{n a }为等差数列，{}n b 为等比数列；分别列出n S ，再把所有式子同时乘以等比数列的公比q ，即n qS ；然后错一位，两式相减即可。
适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和。
典型例题：例1.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，常数0λ>，且11n n a a S S λ=+对一切正整数n 都成立。
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设10a >，100λ=，当n 为何值时，数列1{lg}na 的前n 项和最大？ 【答案】解：（Ⅰ）取n =1，得21112=2a S a λ=，∴11(2)0a a λ-=。
若1a =0，则1S =0, 当n 2≥时，1=0n n n a S S --=。
若1a 0≠，则12a λ=，有当n 2≥时，22n n a S λ=+，1122n n a S λ--=+，两个相减得：12n n a a -=，∴n 2na λ=。
∴数列{}n a 公比是2的等比数列。
综上所述，若1a =0, 则 n 0a =；若1a 0≠，则n 2na λ=。
（Ⅱ）当10a >且100λ=时，令1lgn nb a =，则2lg 2n b n =-。
∴{}n b 是单调递减的等差数列（公差为－lg2）则 b 1>b 2>b 3>…>b 6=01lg 64100lg 2100lg6=>=； 当n ≥7时，b n ≤b 7=01lg 128100lg 2100lg7=<=。
∴数列{lgn a 1}的前6项的和最大，即当n =6时，数列1{lg }na 的前n 项和最大。
【考点】等差数列、等比数列、对数等基础知识，分类与整合、化归与转化等数学思想的应用。
高三数学高考第一轮复习——圆锥曲线的定义,基本性质(理)人教实验A版 知识精讲
高三数学高考第一轮复习——圆锥曲线的定义，基本性质（理）人教实验A 版【本讲教育信息】一. 教学内容：圆锥曲线的定义，基本性质二. 重点、难点： 1. 第一定义椭圆：a PF PF 2||||21=+ 双曲线：a PF PF 2||||||21=- 2. 第二定义e l P d PF =),(||（1）)1,0(∈e 为椭圆 （2）1=e 为抛物线 （3）),1(+∞∈e 为双曲线【典型例题】[例1] 求过)2,3(-M 且与椭圆14922=+y x 共焦点的（1）椭圆方程（2）双曲线方程。
解：（1）设12222=+by a x∴⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=+10155149222222b a b a ba ∴1101522=+y x （2）设12222=-by a x∴⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=-235149222222b a b a ba ∴12322=-y x另解：14922=-+-λλy x ∴14499=-+-λλ ∴6±=λ∴λ=6时，双曲线12322=-y x 6-=λ时，椭圆1101522=+y x[例2] （1）P 为椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上一点，P 不在x 轴上，21,F F 为焦点，α=∠2FPF ，求21PF F S ∆；（2）P 为双曲线12222=-by a x )0,0(>>b a 上一点，P 不在x 轴上，21,F F 为焦点，α=∠21PF F ，求21PF F S ∆。
解：（1）221222142a PF PF PF PF =⋅++22122214cos 2c PF PF PF PF =⋅-+α∴2214)cos 1(2b PF PF =+⋅α∴αcos 12221+=⋅b PF PF∴αsin 212121⋅⋅⋅=∆PF PF S F PF ⋅=2b 2tan cos 1sin 2αααb =+（2）221222142a PF PF PF PF =-+22122214cos 2c PF PF PF PF =⋅⋅-+α∴2214)cos 1(2b PF PF =-⋅⋅α=⋅21PF PF αcos 122-b∴αsin 212121⋅⋅=∆PF PF S PF F =2cot cos 1sin 22αααb b =-⋅[例3] （1）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x M ，P 为M 上一点，3021=∠F PF ，12012=∠F PF ，求离心率；（2）已知双曲线1:2222=-by a x M ，P 为M 上一点，1521=∠F PF ， 7512=∠F PF ，求离心率。
高三数学一轮复习必备：圆锥曲线方程及性质
~高三数学（人教版A 版）第一轮复习资料第33讲 圆锥曲线方程及性质一．【课标要求】1．了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2．经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质；3．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质二．【命题走向】本讲内容是圆锥曲线的基础内容，也是高考重点考查的内容，在每年的高考试卷中一般有2～3道客观题，难度上易、中、难三档题都有，主要考查的内容是圆锥曲线的概念和性质，从近十年高考试题看主要考察圆锥曲线的概念和性质。
圆锥曲线在高考试题中占有稳定的较大的比例，且选择题、填空题和解答题都涉及到，客观题主要考察圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质等基础知识和处理有关问题的基本技能、基本方法对于本讲内容来讲，预测：（1）1至2道考察圆锥曲线概念和性质客观题，主要是求值问题；（2）可能会考察圆锥曲线在实际问题里面的应用，结合三种形式的圆锥曲线的定义。
三．【要点精讲】1．椭圆（1）椭圆概念平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数（大于21||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。
若M 为椭圆上任意一点，则有21||||2MF MF a +=椭圆的标准方程为：22221x y a b +=（0a b >>）（焦点在x 轴上）或12222=+bx a y （0a b >>）（焦点在y 轴上）。
注：①以上方程中,a b 的大小0a b >>，其中222c a b =-； ②在22221x y a b +=和22221y x a b+=两个方程中都有0a b >>的条件，要分清焦点的位置，只要看2x 和2y 的分母的大小。
例如椭圆221x y m n+=（0m >，0n >，m n ≠）当m n >时表示焦点在x 轴上的椭圆；当m n <时表示焦点在y 轴上的椭圆（2）椭圆的性质①范围：由标准方程22221x y a b+=知||x a ≤，||y b ≤，说明椭圆位于直线x a =±，y b =±所围成的矩形里；②对称性：在曲线方程里，若以y -代替y 方程不变，所以若点(,)x y 在曲线上时，点(,)x y -也在曲线上，所以曲线关于x 轴对称，同理，以x -代替x 方程不变，则曲线关于y 轴对称。
【K12教育学习资料】高考数学一轮复习 名校尖子生培优大专题 和、差、倍角的三角函数 新人教A版
和、差、倍角的三角函数一、课前准备： 【自主梳理】1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：C (),cos()αβαβ--= ；C (),cos()αβαβ++= S (),sin()αβαβ--= ；S (),sin()αβαβ++= ． T (),tan()αβαβ++= 由T ()αβ+可得公式变形tan tan αβ+= T (),tan()αβαβ--=由T ()αβ-可得公式变形得：tan tan αβ-= 2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式2:sin 2S a a =________________；2:tan 2T a a =________________。
2:cos 2C a a =________________=________________=________________；【自我检测】1. sin43°cos13°-sin13°cos43°的值为______________.2. sin105°cos105°的值为_______________.3. 若13cos(),cos()55a b a b +=-=,则tan tan a b =_________. 4. 函数y =sin x +cos ()6x p-的最大值和最小值分别为_____________.5. (必修4P 97第7题改编)设330,sin ,sin()255p a b p a a b <<<<=+=,则sin b 的值为___________。
二、课堂活动：【例1】填空题：（1）1－22sin 22.5= （2）已知,αβ为锐角，且11sin sin ,cos cos 23αβαβ-=--=，则cos()αβ-= （3）若α21(0,),sin cos 2,24παα∈+=且则tan α=（4）2[2sin50sin10(1)]2sin 80??鞍=【例2】 已知a 、b 为锐角，向量a = (cos ,sin )a a ，b = (cos ,sin )b b ，c = 11(,)22-。
(新课标)高考数学一轮复习-名校尖子生培优大专题-圆锥曲线训练15-新人教A版
圆锥曲线（15）圆锥曲线中的最值问题（1）利用基本不等式求最值，例1、已知椭圆两焦点1F 、2F 在y 轴上，短轴长为22，离心率为22，P 是椭圆在第一 象限弧上一点，且121PF PF ⋅=，过P 作关于直线F 1P 对称的两条直线PA 、PB 分别交 椭圆于A 、B 两点，求△PAB 面积的最大值。
解、设椭圆方程为22221y x a b+=，由题意可得2,2,22a b c ===， 故椭圆方程为22142y x +=设AB 的直线方程：m x y +=2.由⎪⎩⎪⎨⎧=++=142222y x m x y ，得0422422=-++m mx x ， 由0)4(16)22(22>--=∆m m ，得2222<<-m P 到AB 的距离为3||m d =， 则3||3)214(21||212m m d AB S PAB ⋅⋅-=⋅=∆ 2)28(81)8(8122222=+-≤+-=m m m m 。
当且仅当()22,222-∈±=m 取等号， ∴三角形PAB 面积的最大值为2。
（2）利用函数求最值，例2.如图，椭圆222:12x y C a +=的焦点在x 轴上，左右顶点分别为1,A A ，上顶点为B ，抛物线12,C C 分别以A,B 为焦点，其顶点均为坐标原点O ，1C 与2C 相交于直线2y x =上一点P.（1）求椭圆C 及抛物线12,C C 的方程；（2）若动直线l 与直线OP 垂直，且与椭圆C 交于不同的两点M,N ，已知点(2,0)Q -，求QM QN 的最小值. 解：（1）由题意(,0),(0,2)A a B ，故抛物线C 1 的方程可设为ax y 42=，C 2的方程为y x 242=由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===xy y x ax y 224422 得)28,8(,4P a =所以椭圆C:121622=+y x ，抛物线C 1：,162x y =抛物线C 2：y x 242= （2）由（1）知，直线OP 的斜率为2，所以直线l 的斜率为22-设直线l 方程为b x y +-=22由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-==+b x y y x 22121622，整理得0)168(28522=-+-b bx x因为动直线l 与椭圆C 交于不同两点，所以0)168(2012822>--=∆b b 解得1010<<-b设M （11,y x ）、N （22,y x ），则21212816,5b x x x x -+== 58)(2221)22)(22(2221212121-=++-=+-+-=b b x x b x x b x b x y y 因为),2(),,2(2211y x QN y x QM +=+=所以2)(2),2)(,2(2121212211++++=++=⋅y y x x x x y x y x QN QM5141692-+=b b因为1010<<-b ，所以当98-=b 时，QN QM ⋅取得最小值 其最小值等于938514)98(516)98(592-=--+-⨯例3、已知抛物线)0(2:2>=p py x C 的焦点为F ，抛物线上一点A 的横坐标为 1x )0(1>x ，过点A 作抛物线C 的切线1l 交x 轴于点D ，交y 轴于点Q ，交直线 :2pl y =于点M ，当2||=FD 时， 60=∠AFD ．（1）求证：AFQ ∆为等腰三角形，并求抛物线C 的方程；（2）若B 位于y 轴左侧的抛物线C 上，过点B 作抛物线C 的切线2l 交直线1l 于点P ， 交直线l 于点N ，求PMN ∆面积的最小值，并求取到最小值时的1x 值．解：(1)设),(11y x A ，则切线AD 的方程为pxx p x y 2211-=，所以),0(),0,2(11y Q x D -，12||y p FQ +=，， 所以||||FA FQ =， 所以AFQ ∆为等腰三角形且D 为AQ 中点，所以AQ DF ⊥， 60,2||=∠=AFD DF ， 12,60==∠∴pQFD，得2=p ，抛物线方程为y x 42= （2）设)0(),(222<x y x B ，则B 处的切线方程为22222xx x y -=由)4,2(42422121222211x x x x P x x x y x x x y +⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=，)1,22(14211211x x M y x x x y +⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-= 同理)1,22(22x x N +， 所以面积212211221221116)4)(()41)(2222(21x x x x x x x x x x x x S --=---+=……①设AB 的方程为b kx y +=，则0>b由044422=--⇒⎩⎨⎧=+=b kx x yx bkx y ，得代入①得： bb k b b b b k S ++=++=2222)1(64)44(1616，使面积最小，则0=k ，得到bbb S 2)1(+=…………②令t b =，由②得t t t t t t S 12)1()(322++=+=，222)1)(13()(tt t t S +-='，所以当)33,0(∈t 时)(t S 单调递减；当),33(+∞∈t )(t S 单调递增， 所以当33=t 时，S 取到最小值为9316，此时312==t b ，0=k ，所以311=y ，即3321=x 。
推荐学习高考学习复习资料数学一轮复习 名校尖子生培优大专题 高频考点分析之集合探讨 新人教A版
第13讲：高频考点分析之集合探讨1～2讲，我们对客观性试题解法进行了探讨，3～8讲，对数学思想方法进行了探讨，9～12讲对数学解题方法进行了探讨，从第13讲开始我们对高频考点进行探讨。
集合是近代数学的基础，也是高中数学最基本的概念之一。
集合的思想、方法和语言使数学命题的表达更加简捷、明了，这注定了它可以渗透到数学的各个方面，也是高考考查的重要内容之一。
2012年各地高考对集合的考查主要集中在3个方面：（1）集合的运算；（2）集合的元素个数；（3）把集合作为解决数学问题的工具，考查集合语言与集合思想的运用。
我们从下面三方面探讨集合知识的考点：（1）集合的运算；（2）集合中的元素和个数；（3）集合思想的运用。
一、集合的运算：典型例题：例1.已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,则B 中所含元素的个数为【 】()A 3 ()B 6 ()C 8 ()D 10【答案】D 。
【考点】集合的运算。
【解析】由{1,2,3,4,5}A =，,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈得：2,1x y ==；3,1,2x y ==；4,1,2,3x y ==；5,1,2,3,4x y ==，所以B 中所含元素的个数为10。
故选D 。
例2.已知集合A={x∈R｜3x ＋2>0﹜，B={x∈ R｜(x ＋1)(x －3)>0﹜，则A ∩B=【 】A ．（－∞，－1） B.（－1，23-） C. ﹙23-，3﹚ D.（3，＋∝）【答案】D 。
【考点】集合的交集运算。
【解析】∵23x 20,3>⎛⎫+⇒-+∞ ⎪⎝⎭， ()()()()x 10x 10x 1x 303,,1x 30x 30><>><++⎧⎧+-⇒⇒+∞-∞-⎨⎨--⎩⎩，∴A∩B=（3，＋∝）。
故选D 。
例3. 已知全集U ={0,1,2,3,4}，集合A={1,2,3,}，B={2,4} ，则（C u A ）B 为【 】A {1，2，4}B {2，3，4}C {0，2，4}D {0，2，3，4} 【答案】C 。
高考数学一轮复习名校尖子生培优大专题空间几何体的结构新人教A版
（新课标）高考数学一轮复习名校尖子生培优大专题空间几何体的结构新人教A版【考纲解读】认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．【考点预测】高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:1.立体几何是历年来高考重点内容之一,在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，难度不大，主要考查空间中线线、线面、面面的位置关系的判定与证明，考查表面积与体积的求解，考查三视图等知识，在考查立体几何基础知识的同时，又考查数形结合思想、转化与化归等数学思想，以及分析问题、解决问题的能力.2.高考将会继续保持稳定,坚持考查立体几何的基础知识，命题形式相对会较稳定.【要点梳理】1.柱棱柱：一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。
底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。
棱柱与圆柱统称为柱体；2.锥棱锥：一般的有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。
底面是三角锥、四边锥、五边锥……的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。
高考数学一轮复习 名校尖子生培优大专题 高频考点分析
（新课标）高考数学一轮复习 名校尖子生培优大专题 高频考点分析之最值探讨配方法求最值 新人教A 版1～2讲，我们对客观性试题解法进行了探讨，3～8讲，对数学思想方法进行了探讨，9～12讲对数学解题方法进行了探讨，从第13讲开始我们对高频考点进行探讨。
最值问题是中学数学的重要内容，它分布在中学数学的各个部分和知识水平层面。
以最值为载体，可以考查中学数学的许多知识点，考查分类讨论、数形结合、转化与化归等诸多数学思想和方法，还可以考查学生的思维能力、实践和创新能力。
纵观近年高考，从题型分布来看，大多数一道填空题或选择题，一道解答题；从分值来看，约占总分的10%左右，它在高考中占有比较重要的地位。
分析考题的类型，高考中最值问题的呈现方式一般有以下几种： 1．函数（含三角函数）的最值；2．学科内的其它最值，如几何中的最值问题、数列的最大项等等； 3．字母（函数）的取值范围；4．不等式恒成立问题、存在性问题，常常转化为求函数的最值，例如： ()0f x ≥对x R ∈恒成立()f x ⇔的最小值≥0成立，()0f x ≤对x R ∈恒成立()f x ⇔的最大值≤0成立，等等； 5．实际应用问题，如最优化问题，可以通过建模可化为最值问题，等等。
结合中学数学的知识，高考中最值问题的求解方式一般有以下几种：1．应用配方法求最值；2．应用不等式（含基本不等式）求最值； 3．应用导数求最值； 4．应用单调性等性质求最值； 5．应用函数的值域求最值； 6．应用三角函数求最值；7．应用几何、向量知识求最值； 8．应用线性规划求最值。
我们从以上八方面探讨最值问题的求解。
一、应用配方法求最值： 典型例题：例1.若正数x ，y 满足x +3y =5xy ，则34x y +的最小值是【 】 A.245 B. 285C.5D.6 【答案】C 。
【考点】基本不等式或配方法的应用。
【解析】∵x +3y =5xy ，∴135y x+=，11315y x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭。
【配套K12】高考数学一轮复习 名校尖子生培优大专题 圆锥曲线训练15 新人教A版
圆锥曲线（15）圆锥曲线中的最值问题（1）利用基本不等式求最值，例1、已知椭圆两焦点1F 、2F 在y轴上，短轴长为，离心率为2，P 是椭圆在第一 象限弧上一点，且121PF PF ⋅=，过P 作关于直线F 1P 对称的两条直线PA 、PB 分别交 椭圆于A 、B 两点，求△PAB 面积的最大值。
解、设椭圆方程为22221y x a b+=，由题意可得2,a b c === 故椭圆方程为22142y x += 设AB 的直线方程：m x y +=2.由⎪⎩⎪⎨⎧=++=142222y x mx y ，得0422422=-++m mx x ， 由0)4(16)22(22>--=∆m m ，得2222<<-m P 到AB 的距离为3||m d =， 则3||3)214(21||212m m d AB S PAB ⋅⋅-=⋅=∆ 2)28(81)8(8122222=+-≤+-=m m m m 。
当且仅当()22,222-∈±=m 取等号， ∴三角形PAB 面积的最大值为2。
（2）利用函数求最值，例2.如图，椭圆222:12x y C a +=的焦点在x 轴上，左右顶点分别为1,A A ，上顶点为B ，抛物线12,C C 分别以A,B 为焦点，其顶点均为坐标原点O ，1C 与2C相交于直线y =上一点P. （1）求椭圆C 及抛物线12,C C 的方程；（2）若动直线l 与直线OP 垂直，且与椭圆C 交于不同的两点M,N，已知点(Q ，求QM QN 的最小值. 解：（1）由题意(,0),A a B ，故抛物线C 1 的方程可设为ax y 42=，C 2的方程为y x 242=由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===xy y x ax y 224422 得)28,8(,4P a =所以椭圆C:121622=+y x ，抛物线C 1：,162x y =抛物线C 2：y x 242= （2）由（1）知，直线OP 的斜率为2，所以直线l 的斜率为22-设直线l 方程为b x y +-=22由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-==+b x y y x 22121622，整理得0)168(28522=-+-b bx x因为动直线l 与椭圆C 交于不同两点，所以0)168(2012822>--=∆b b 解得1010<<-b设M （11,y x ）、N （22,y x ），则21212816,55b x x x x -+==58)(2221)22)(22(2221212121-=++-=+-+-=b b x x b x x b x b x y y 因为),2(),,2(2211y x QN y x QM +=+=所以2)(2),2)(,2(2121212211++++=++=⋅y y x x x x y x y x QN QM5141692-+=b b因为1010<<-b ，所以当98-=b 时，⋅取得最小值 其最小值等于938514)98(516)98(592-=--+-⨯ 例3、已知抛物线)0(2:2>=p py x C 的焦点为F ，抛物线上一点A 的横坐标为1x )0(1>x ，过点A 作抛物线C 的切线1l 交x 轴于点D ，交y 轴于点Q ，交直线 :2pl y =于点M ，当2||=FD 时， 60=∠AFD ． （1）求证：AFQ ∆为等腰三角形，并求抛物线C 的方程；（2）若B 位于y 轴左侧的抛物线C 上，过点B 作抛物线C 的切线2l 交直线1l 于点P ， 交直线l于点N ，求PMN ∆面积的最小值，并求取到最小值时的1x 值．解：(1)设),(11y x A ，则切线AD 的方程为pxx p x y 2211-=，所以),0(),0,2(11y Q x D -，12||y p FQ +=，， 所以||||FA FQ =， 所以AFQ ∆为等腰三角形且D 为AQ 中点，所以AQ DF ⊥， 60,2||=∠=AFD DF ， 12,60==∠∴pQFD，得2=p ，抛物线方程为y x 42= （2）设)0(),(222<x y x B ，则B 处的切线方程为22222xx x y -=由)4,2(42422121222211x x x x P x x x y x x x y +⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=，)1,22(14211211x x M y x x x y +⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-= 同理)1,22(22x x N +， 所以面积212211221221116)4)(()41)(2222(21x x x x x x x x x x x x S --=---+=……①设AB 的方程为b kx y +=，则0>b由044422=--⇒⎩⎨⎧=+=b kx x yx bkx y ，得代入①得： bb k b b b b k S ++=++=2222)1(64)44(1616，使面积最小，则0=k ，得到bbb S 2)1(+=…………②令t b =，由②得t t t t t t S 12)1()(322++=+=，222)1)(13()(tt t t S +-='， 所以当)33,0(∈t 时)(t S 单调递减；当),33(+∞∈t )(t S 单调递增， 所以当33=t 时，S 取到最小值为9316，此时312==t b ，0=k ，所以311=y ，即3321=x 。
高中数学 专题强化训练2 圆锥曲线与方程 新人教A版选修11
专题强化训练(二) 圆锥曲线与方程(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知F 1(－5,0)，F 2(5,0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2a ，当a 分别为3和5时，点P 的轨迹分别为 ( )A ．双曲线和一条直线B ．双曲线和一条射线C ．双曲线的一支和一条射线D ．双曲线的一支和一条直线C [依题意，得|F 1F 2|＝10.当a ＝3时，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝6<|F 1F 2|，可知点P 的轨迹为双曲线的右支；当a ＝5时，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝10＝|F 1F 2|，可知点P 的轨迹为以F 2为端点的一条射线．故选C.]2．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为 ( ) A.x 22＋y 24＝1 B ．x 2＋y 26＝1C.x 26＋y 2＝1 D.x 28＋y 25＝1 B [椭圆9x 2＋4y 2＝36可化为x 24＋y 29＝1，可知焦点在y 轴上，焦点坐标为(0，±5)，故可设所求椭圆方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，则c ＝ 5.又2b ＝2，即b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝6，则所求椭圆的标准方程为x 2＋y 26＝1.]3．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率e ＝( )【导学号：97792113】A. 2 B ．2 C. 3 D ．3A [由题意知－b a ×b a ＝－1，即b 2a 2＝1，∴e 2＝1＋b 2a2＝2，即e ＝ 2.]4．直线y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫x －72与双曲线x 29－y 2＝1交点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3B [双曲线的渐近线方程为y ＝±13x ，则直线y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫x －72与双曲线的一条渐近线平行，所以直线与双曲线只有一个交点．]5．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．2B ．1C ．0D ．0或1A [由题意，得4m 2＋n2>2，所以m 2＋n 2<4，则－2<m <2，－2<n <2，所以点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1内，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1有2个交点．故选A.] 二、填空题6．已知抛物线的离心率为e ，焦点为(0，e )，则抛物线的标准方程为________．x 2＝4y [由题意知e ＝1，则p2＝1，从而2p ＝4.抛物线方程为x 2＝4y .]7．椭圆的两个焦点为F 1，F 2，短轴的一个端点为A ，且三角形F 1AF 2是顶角为120°的等腰三角形，则此椭圆的离心率为________．32[由题意知|F 1A |＝|F 2A |＝a ，|F 1F 2|＝2c .由余弦定理得4c 2＝a 2＋a 2－2a 2cos 120°. 即3a 2＝4c 2，所以e 2＝c 2a 2＝34.所以e ＝32.] 8．点P (8,1)平分双曲线x 2－4y 2＝4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是________． 2x －y －15＝0 [设弦的两个端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则⎩⎪⎨⎪⎧x 21－4y 21＝4 ①x 22－4y 22＝4 ②②－①整理得y 2－y 1x 2－x 1＝x 2＋x 1y 2＋y 1，又x 1＋x 2＝16，y 1＋y 2＝2.所以y 2－y 1x 2－x 1＝2，即弦所在的直线的斜率为2. 故弦所在的直线方程为2x －y －15＝0.] 三、解答题9．已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上，右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3.(1)求椭圆的方程．(2)设椭圆与直线y ＝kx ＋m (k ≠0)相交于不同的两点M ，N ，当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围.【导学号：97792114】[解] (1)依题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2＝1(a >1)， 则右焦点F (a 2－1，0)， 由题设，知|a 2－1＋22|2＝3，解得a 2＝3，故所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设点P 为弦MN 的中点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0， 由于直线与椭圆有两个交点， 所以Δ>0，即m 2<3k 2＋1，① 所以x P ＝x M ＋x N2＝－3mk3k 2＋1，从而y P ＝kx P ＋m ＝m3k 2＋1，所以k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk，又|AM |＝|AN |，所以AP ⊥MN ，则－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k，即2m ＝3k 2＋1，②把②代入①得2m >m 2，解得0<m <2， 由②得k 2＝2m －13>0，解得m >12，故所求m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2.10．已知椭圆C 经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，两个焦点为(－1，0)，(1,0)． (1)求椭圆C 的方程；(2)E ，F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值．[解] (1)由题意，c ＝1，设椭圆的方程为x 21＋b 2＋y 2b2＝1.因为A 在椭圆上，所以11＋b 2＋94b 2＝1，解得b 2＝3或b 2＝－34(舍去)．所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：设直线AE 的方程为y ＝k (x －1)＋32，代入x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋4k (3－2k )x ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫32－k 2－12＝0，设E (x E ，y E )，F (x F ，y F )，所以x E ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫32－k 2－123＋4k 2，y E ＝kx E ＋32－k . 又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中以－k 代k ，可得x F ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋k 2－123＋4k 2，y F ＝－kx F ＋32＋k . 所以直线EF 的斜率k EF ＝y F －y E x F －x E ＝－k x F ＋x E ＋2k x F －x E ＝12.即直线EF 的斜率为定值，其值为12.[能力提升练]1．已知双曲线C 的两条渐近线为l 1，l 2，过右焦点F 作FB ∥l 1且交l 2于点B ，过点B 作BA ⊥l 2且交l 1于点A .若AF ⊥x 轴，则双曲线C 的离心率为( )A. 3B.233C.62D ．2 2B [如图，延长AF 交l 2于A 1，则易得|OA |＝|OA 1|.在△OAA 1中，F 为AA 1的中点，而BF ∥OA ，所以B 为OA 1的中点．又AB ⊥OA 1，于是△OAA 1中边OA 1上的高线与中线重合，从而△OAA 1为等边三角形，所以边OA 即直线l 1与x 轴的夹角为30°，所以e ＝1cos 30°＝233.]2．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 23－y 2＝1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1，F 2，则四边形F 1PF 2Q 的面积是________．2 3 [如图所示，双曲线x 23－y 2＝1的焦点为F 1(－2,0)，F 2(2,0)，所以|F 1F 2|＝4.双曲线x 23－y 2＝1的右准线方程为x ＝a 2c ＝32，渐近线方程为y ＝±33x . 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝33x ，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.同理可得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32.∴|PQ |＝3，∴S 四边形F 1PF 2Q ＝12·|F 1F 2|·|PQ |＝12×4×3＝2 3.]3．与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线的标准方程为________.【导学号：97792115】x 212－y 28＝1 [法一：设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．又点(32，2)在双曲线上，故22a2－4b2＝1.又a 2＋b 2＝16＋4＝20，得a 2＝12，b 2＝8，则双曲线的标准方程为x 212－y 28＝1.法二：设双曲线的标准方程为x 216－k －y 24＋k＝1(－4<k <16，且k ≠0)，将点(32，2)代入方程，得k ＝4，则双曲线的标准方程为x 212－y 28＝1.]4．已知O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为________．2 3 [设点P (x 0，y 0)，则点P 到准线x ＝－2的距离为x 0＋2，由抛物线的定义，得x 0＋2＝42，所以x 0＝32，则|y 0|＝26，故△POF 的面积为12×2×26＝2 3.]5．已知椭圆G ：x 24＋y 2＝1.过点(m,0)作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点．(1)求椭圆G 的焦点坐标和离心率；(2)将|AB |表示为m 的函数，并求|AB |的最大值． [解] (1)由已知得a ＝2，b ＝1，所以c ＝a 2－b 2＝ 3. 所以椭圆G 的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)， 离心率为e ＝c a ＝32. (2)由题意知|m |≥1.当m ＝1时，切线l 的方程为x ＝1，点A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32. 此时|AB |＝ 3.当m ＝－1时，同理可得|AB |＝ 3.当|m |>1时，设切线l 的方程为y ＝k (x －m )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －m ，x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－8k 2mx ＋4k 2m 2－4＝0.设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则 x 1＋x 2＝8k 2m 1＋4k 2，x 1x 2＝4k 2m 2－41＋4k 2.又由l 与圆x 2＋y 2＝1相切，得|km |k 2＋1＝1，即m 2k 2＝k 2＋1. 所以|AB |＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2]＝＋k2⎣⎢⎡⎦⎥⎤64k 4m2＋4k22－k 2m 2－1＋4k2＝43|m |m 2＋3. 由于当m ＝±1时，|AB |＝3，所以|AB |＝43|m |m 2＋3，m ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．因为|AB |＝43|m |m 2＋3＝43|m |＋3|m |≤2， 当且仅当m ＝±3时，|AB |＝2， 所以|AB |的最大值为2.。
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圆锥曲线（11）
一、选择题：
1、以O 为中心，12,F F 为两个焦点的椭圆上存在一点M ，满足1222MF MO MF ==
,则该椭圆的离心率
为C
A.
2
D.
4 过M 作x 轴的垂线，交x 轴于N 点，则N 点坐标为(,0)2
c
，并设12222MF MO MF t === ，根据
勾股定理可知，22221122MF NF MF NF -=-
，得到2
c =，而32t a =
，则3c e a ==
.故选C. 2、过双曲线的右焦点F 作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A ，B 两点，设双曲线的左顶点M ，若MAB ∆是
直角三角形，则此双曲线的离心率e 的值为 （ B ）
A ．
32
B ．2
C
D
3、过双曲线的右焦点F 作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A ，B 两点，设双曲线的左顶点M ，若点M 在以
AB 为直径的圆的内部，则此双曲线的离心率e 的取值范围为 （ C ）
A ．3,2⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
B ．31,2⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．(2,)+∞
D ．（1，2）
4、如图，已知椭圆)0(122
22>>=+b a b y a x 的长轴为AB ，过点B 的直线l 与x 轴垂直，直线
)(0)21()21()2(R k k y k x k ∈=+++--所经过的定点恰好是椭圆的一个顶点，且椭圆的离心率2
3
=
e （1）求椭圆的标准方程；
（2）设P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，x PH ⊥轴，H 为垂足，延长HP 到点Q 使得PQ HP =，连接AQ 并延长交直线l 于点M ，N 为MB 的中点．试判断直
线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系．
解：（1）将0)21()21()2(=+++--k y k x k 整理得
012)22(=+-++--y x k y x ，解方程组⎩⎨⎧=+-=+--0
120
22y x y x 得直线所经过的定点为1),1,0(=∴b 。
由离心率2
3
=e ，得2=a 。
∴椭圆的标准方程为 1422=+y x ……5分。