高中数学必修五第一章：解三角形复习课教案
高中数学新教材解三角形教案
高中数学新教材解三角形教案高中数学新教材解三角形教案1一、教学内容分析向量作为工具在数学、物理以及实际生活中都有着广泛的应用.本小节的重点是结合向量知识证明数学中直线的平行、垂直问题，以及不等式、三角公式的证明、物理学中的应用.二、教学目标设计1、通过利用向量知识解决不等式、三角及物理问题，感悟向量作为一种工具有着广泛的应用，体会从不同角度去看待一些数学问题，使一些数学知识有机联系，拓宽解决问题的思路.2、了解构造法在解题中的运用.三、教学重点及难点重点：平面对量知识在各个领域中应用.难点：向量的构造.四、教学流程设计五、教学过程设计一、复习与回顾1、提问：下列哪些量是向量?(1)力(2)功(3)位移(4)力矩2、上述四个量中，(1)(3)(4)是向量，而(2)不是，那它是什么?[说明]复习数量积的有关知识.二、学习新课例1(书中例5)向量作为一种工具，不仅在物理学科中有广泛的应用，同时它在数学学科中也有许多妙用!请看例2(书中例3)证法(一)原不等式等价于，由基本不等式知(1)式成立，故原不等式成立.证法(二)向量法[说明]本例关键引导学生观察不等式结构特点，构造向量，并发现(等号成立的充要条件是)例3(书中例4)[说明]本例的关键在于构造单位圆，利用向量数量积的两个公式得到证明.二、巩固练习1、如图，某人在静水中游泳，速度为km/h.(1)如果他径直游向河对岸，水的流速为4 km/h，他实际沿什么方向前进?速度大小为多少?答案：沿北偏东方向前进，实际速度大小是8 km/h.(2) 他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进?实际前进的速度大小为多少?答案：朝北偏西方向前进，实际速度大小为km/h.三、课堂小结1、向量在物理、数学中有着广泛的应用.2、要学会从不同的角度去看一个数学问题，是数学知识有机联系.四、作业布置1、书面作业：课本P73, 练习8.4 4高中数学新教材解三角形教案2教学目标：1.了解反函数的概念，弄清原函数与反函数的定义域和值域的关系.2.会求一些简单函数的反函数.3.在尝试、探索求反函数的过程中，深化对概念的认识，总结出求反函数的一般步骤，加深对函数与方程、数形结合以及由特殊到一般等数学思想方法的认识.4.进一步完善学生思维的深刻性，培育学生的逆向思维能力，用辩证的观点分析问题，培育抽象、概括的能力.教学重点：求反函数的方法.教学难点：反函数的概念.教学过程：教学活动设计意图一、创设情境，引入新课1.复习提问①函数的概念②y=f(x)中各变量的意义2.同学们在物理课学过匀速直线运动的位移和时间的函数关系，即S=vt和t=(其中速度v是常量)，在S=vt中位移S是时间t的函数;在t=中，时间t是位移S的函数.在这种情况下，我们说t=是函数S=vt 的反函数.什么是反函数，如何求反函数，就是本节课学习的内容.3.板书课题由实际问题引入新课，激发了学生学习爱好，展示了教学目标.这样既可以拨去反函数这一概念的神秘面纱，也可使学生知道学习这一概念的必要性.二、实例分析，组织探究1.问题组一：(用投影给出函数与;与()的图象)(1)这两组函数的图像有什么关系?这两组函数有什么关系?(生答：与的图像关于直线y=x对称;与()的图象也关于直线y=x对称.是求一个数立方的运算，而是求一个数立方根的运算，它们互为逆运算.同样，与()也互为逆运算.)(2)由，已知y能否求x?(3)是否是一个函数?它与有何关系?(4)与有何联系?2.问题组二：(1)函数y=2x 1(x是自变量)与函数x=2y 1(y是自变量)是否是同一(2)函数(x是自变量)与函数x=2y 1(y是自变量)是否是同一函数?(3)函数()的定义域与函数()的值域有什么关系?3.渗透反函数的概念.(老师点明这样的函数即互为反函数，然后师生共同探究其特点) 从学生熟知的函数出发，抽象出反函数的概念，符合学生的认知特点，有利于培育学生抽象、概括的能力.通过这两组问题，为反函数概念的引出做了铺垫，利用旧知，引出新识，在最近进展区设计问题，使学生对反函数有一个直观的粗略印象，为进一步抽象反函数的概念奠定基础.三、师生互动，归纳定义1.(根据上述实例，老师与学生共同归纳出反函数的定义)函数y=f(x)(x∈A) 中，设它的值域为C.我们根据这个函数中x,y 的关系，用y 把x 表示出来，得到x = j (y) .如果对于y在C中的任何一个值，通过x = j (y)，x在A中都有的值和它对应，那么, x = j (y)就表示y是自变量，x是自变量y 的函数.这样的函数x = j (y)(y ∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数.记作: .考虑到用x表示自变量, y表示函数的习惯，将中的x与y对调写成.2.引导分析：1)反函数也是函数;2)对应法则为互逆运算;3)定义中的如果意味着对于一个任意的函数y=f(x)来说不一定有4)函数y=f(x)的定义域、值域分别是函数x=f(y)的值域、定义域;5)函数y=f(x)与x=f(y)互为反函数;6)要理解好符号f;7)交换变量x、y的原因.3.两次转换x、y的对应关系(原函数中的自变量x与反函数中的函数值y 是等价的，原函数中的函数值y与反函数中的自变量x是等价的.)4.函数与其反函数的关系函数y=f(x)函数定义域AC值域CA四、应用解题，总结步骤1.(投影例题)【例1】求下列函数的反函数(1)y=3x-1 (2)y=x 1【例2】求函数的反函数.(老师板书例题过程后，由学生总结求反函数步骤.)2.总结求函数反函数的步骤:1° 由y=f(x)反解出x=f(y).2° 把x=f(y)中x与y互换得.3° 写出反函数的定义域.(简记为：反解、互换、写出反函数的定义域)【例3】(1)有没有反函数?(2)的反函数是________.(3)(x0)的反函数是__________.在上述探究的基础上，揭示反函数的定义，学生有针对性地体会定义的特点，进而对定义有更深刻的认识，与自己的预设产生矛盾冲突，体会反函数.在剖析定义的过程中，让学生体会函数与方程、一般到特殊的数学思想，并对数学的符号语言有更好的把握.通过动画演示，表格对比，使学生对反函数定义从感性认识上升到理性认识，从而消化理解.通过对具体例题的讲解分析，在解题的步骤上和方法上为学生起示范作用，并及时归纳总结，培育学生分析、思考的习惯，以及归纳总结的能力.题目的设计遵循了从了解到理解，从掌握到应用的不同层次要求，由浅入深，循序渐进.并体现了对定义的反思理解.学生思考练习，师生共同分析纠正.五、巩固强化，评价反馈1.已知函数y=f(x)存在反函数，求它的反函数y =f( x)(1)y=-2x 3(xR) (2)y=-(xR,且x)( 3 ) y=(xR,且x)2.已知函数f(x)=(xR,且x)存在反函数，求f(7)的值.五、反思小结，再度设疑本节课主要讨论了反函数的定义，以及反函数的求解步骤.互为反函数的两个函数的图象到底有什么特点呢?为什么具有这样的特点呢?我们将在下节讨论.(让学生谈一下本节课的学习体会，老师适时点拨)进一步强化反函数的概念，并能正确求出反函数.反馈学生对知识的掌握情况，评价学生对学习目标的落实程度.具体实践中可实行同学板演、分组竞赛等多种形式调动学生的乐观性.问题是数学的心脏学生带着问题走进课堂又带着新的问题走出课堂.六、作业习题2.4第1题，第2题进一步巩固所学的知识.教学设计说明问题是数学的心脏.一个概念的形成是螺旋式上升的，一般要经过具体到抽象，感性到理性的过程.本节教案通过一个物理学中的具体实例引入反函数，进而又通过若干函数的图象进一步加以诱导剖析，最终形成概念.反函数的概念是教学中的难点，原因是其本身较为抽象，经过两次代换，又采纳了抽象的符号.由于没有一一映射，逆映射等概念的支撑，使学生难以从本质上去把握反函数的概念.为此，我们大胆地使用教材，把互为反函数的两个函数的图象关系预先揭示，进而探究原因，寻找规律，程序是从问题出发，讨论性质，进而得出概念，这正是数学讨论的顺序，符合学生认知规律，有助于概念的建立与形成.另外，对概念的剖析以及习题的配备也很精当，通过不同层次的问题，满足学生多层次需要，起到评价反馈的作用.通过对函数与方程的分析，互逆探索，动画演示，表格对比、学生讨论等多种形式的教学环节，充分调动了学生的探求欲，在探究与剖析的过程中，完善学生思维的深刻性，培育学生的逆向思维.使学生自然成为学习的主人。
高中数学教案】人教A版必修5第一章1.2《解三角形应用举例》教案
《解三角形应用举例》教案一、教学目标1.知识与技能能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题.2.过程与方法（1）通过解决“底部不可到达的物体高度测量”的问题，初步掌握将实际问题转化为解斜三角形的问题的方法.（2）进一步提高利用正弦定理、余弦定理解斜三角形的能力，提高运用数学知识解决实际问题的能力.3.情感、态度与价值观进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力二、教学重点和难点教学重点：结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题.教学难点：能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件.教学关键：将实际问题中的高度问题转化为数学问题.教学突破方法：通过分析实践、自主探究、合作交流等一系列的寻求问题解决方法的活动，讨论解决方法，步步改进方法，探求最佳方法.三、教法与学法导航教学方法：本节课是解三角形应用举例的延伸.采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架.通过3道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法.教学形式要坚持“引导——讨论——归纳”，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯.作业设计思考题，提供学生更广阔的思考空间.学习方法：学生通过数学建模，自主探究、合作交流，在实践中体验过程，在过程中感受应用，在交流中升华.四、教学过程1.创设情境，导入新课提问：现实生活中，人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题.2.主题探究，合作交流例1 如图1，AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法.图1分析：求AB 长的关键是先求AE ，在△ACE 中，如能求出点C 到建筑物顶部A 的距离CA ，再测出由点C 观察A 的仰角，就可以计算出AE 的长.解：选择一条水平基线HG ，使H 、G 、B 三点在同一条直线上.在H 、G 两点用测角仪器测得A 的仰角分别是α、β，CD =a ，测角仪器的高是h ，那么，在△ACD 中，根据正弦定理可得： )sin(sin βαβ-=a AC ， h a h AC h AE AB +-=+=+=)sin(sin sin sin βαβαα. 例 2 如图2，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角0454'︒=α，在塔底C 处测得A 处的俯角150'︒=β.已知铁塔BC 部分的高为27.3 m ，求出山高CD （精确到1m ）.图2教师：根据已知条件，大家能设计出解题方案吗（给时间给学生讨论思考）？若在△ABD 中求CD ，则关键需要求出哪条边呢？学生：需求出BD 边.教师：那如何求BD 边呢？学生：可首先求出AB 边，再根据∠BAD=α求得.解:在△ABC 中，∠BCA =90°+β，∠ABC =90°-α，∠BAC =αβ-，∠BAD =α.根据正弦定理， )sin(βα-BC =)90sin(β+︒AB.所以 AB =)sin()90sin(βαβ-+︒BC =)sin(cos βαβ-BC .在Rt △ABD 中，得：BD =AB sin ∠BAD =)sin(sin cos βααβ-BC .将测量数据代入上式，得：BD =)1500454sin(0454sin 150cos 3.27'-'''︒︒︒︒ =934sin 0454sin 150cos 3.27'''︒︒︒≈177.4（m ）.CD =BD -BC ≈177-27.3=150（m ）.学生：山的高度约为150 m.教师：有没有别的解法呢？学生：若在.△ACD 中求CD ，可先求出AC .教师：分析得很好，请大家接着思考如何求出AC ？学生：同理，在△ABC 中，根据正弦定理求得.（解题过程略）例3 如图3，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A 处时测得公路南侧远处一山顶D 在东偏南15°的方向上，行驶5km 后到达B 处，测得此山顶在东偏南25°的方向上，仰角为8°，求此山的高度CD （精确到1m ）.图3教师：欲求出CD ，大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢？学生：在△BCD 中教师：在△BCD 中，已知BD 或BC 都可求出CD ，根据条件，易计算出哪条边的长？ 学生：BC 边解:在△ABC 中， ∠A =15°，∠C = 25°-15°=10°，根据正弦定理，A BC sin =CAB sin ， BC =C A AB sin sin =︒︒10sin 15sin 5≈7.452 4（km ）. tan tan81047(m)CD BC DBC BC =⨯∠≈⨯︒≈答：山的高度约为1047m.教材第15页练习第1、2、3题.3.小结利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化.4.课外作业（1）教材第19、20页习题1.2 A 组第6，7，8题（2）为测某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20m 的楼的楼顶处测得塔顶A 的仰角为30︒，测得塔基B 的俯角为45°，则塔AB 的高度为多少m ？答案：20+3320m。
新课标高中数学人教A版必修五全册教案第一章复习
第一章 复习一、基本知识复习： 知识结构：二、举例分析例1、在ABC △中，1tan 4A =，3tan 5B =．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若ABC △最大边的边长为17，求最小边的边长．解：（Ⅰ）π()C A B =-+Q ，1345tan tan()113145C A B +∴=-+=-=--⨯．又0πC <<Q ，3π4C ∴=．（Ⅱ）34C =πQ ， AB ∴边最大，即17AB =．又tan tan 0A B A B π⎛⎫<∈ ⎪2⎝⎭Q ，，，， ∴角A 最小，BC 边为最小边．由22sin 1tan cos 4sin cos 1A A A A A ⎧==⎪⎨⎪+=⎩，，且π02A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，得17sin A = 由sin sin AB BC C A =得：sin 2sin A BC AB C==g 所以，最小边2BC = 例2、在ABC △中，已知内角A π=3，边3BC =B x =，周长为y ． （1）求函数()y f x =的解析式和定义域； （2）求y 的最大值．解：（1）ABC △的内角和A B C ++=π，由00A B C π=>>3，，得20B π<<3． 应用正弦定理，知 23sin 4sin sin sin BC AC B x x A ===3， 正弦定理 余弦定理 解三角形应用举例2sin 4sin sin BC AB C x A π⎛⎫==- ⎪3⎝⎭． 因为y AB BC AC =++，所以224sin 4sin 03y x x x ππ⎛⎫⎫=+-+<<⎪⎪3⎝⎭⎭， （2）因为14sin sin 2y x x x ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭5x x ππππ⎛⎫⎫=++<+< ⎪⎪6666⎝⎭⎭， 所以，当x ππ+=62，即x π=3时，y取得最大值 例3、在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为tan a b c C =，，，（1）求cos C ； （2）若52CB CA =u u u r u u u r g ，且9a b +=，求c ． 解：（1）sin tan cos C C C =∴=Q 又22sin cos 1C C +=Q 解得1cos 8C =±． tan 0C >Q ，C ∴是锐角． 1cos 8C ∴=． （2）52CB CA =u u u r u u u r Q g ， 5cos 2ab C ∴=， 20ab ∴=．又9a b +=Q 22281a ab b ∴++=． 2241a b ∴+=． 2222cos 36c a b ab C ∴=+-=． 6c ∴=．例4、已知ABC △1，且sin sin A B C +=． （I ）求边AB 的长；（II ）若ABC △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数． 解：（I）由题意及正弦定理，得1AB BC AC ++=，BC AC +=， 两式相减，得1AB =．（II ）由ABC △的面积11sin sin 26BC AC C C =g g ，得13BC AC =g ， 由余弦定理，得222cos 2AC BC AB C AC BC +-=g 22()2122AC BC AC BC AB AC BC +--==g g ， 所以60C =o ．三、作业：《习案》作业八。
高中数学第一章解三角形第一章小结与复习(教师版)导学案苏教版必修
必修5 第一章小结与复习 1 第 7 课时一、学习目标1.进一步熟悉正、余弦定理内容，能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化，判断三角形的形状；2.能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦定理、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题．二、课前预习（一） 三角形中的定理1.正弦定理： ，其中R 为 . 正弦定理的作用： ⑴ ⑵ 正弦定理的变形： ①2sin a R A =， ， ；②sin 2a A R =， ， ； ③::a b c = . 2.余弦定理：2222cos a b c bc A =+-，余弦定理的作用：⑴⑵⑶ .⑷ .余弦定理的变形：①cos A = 等；②222a b c +-= 等.3.三角形面积公式： 1sin 2S ab C ∆== = 4. 在已知两边a,b 及角A 解三角形时，需要讨论.(1)若Ａ≥９０°，则有①a>b 时有 解；②a ≤b 时 解.（2）若Ａ＜９０°时，则有①若a ＜bsinA ，则 解； ②若a ＝bsinA ，则 解；③若bsinA ＜a ＜b ，则有 解；④若a ≥b ，则有 解.预习题：1.(2009年广东卷文)已知ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c 若62a c ==+且75A ∠=，则b =_______000000026sin sin 75sin(3045)sin 30cos 45sin 45cos304A +==+=+= 62a c ==+可知,075C ∠=,所以030B ∠=,1sin 2B =由正弦定理得261sin 2sin 226a b B A +=⋅=⨯=+2.（2008浙江）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()C a A c b cos cos 3=-，则=A cos _________. 33.（2007湖南）在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若1a =，b =7，3c =，则B = ．答案 65π 4.（2009长郡中学第六次月考）△ABC 的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量(,)p a c b =+,(,)q b a c a =--，若//p q ，则角C 的大小为_____3π三、数学运用例1.（2009全国卷Ⅰ理）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b【随堂记录】：分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)222a c b -=左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) sin cos 3cos sin ,A C A C =过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分. 解法一：在ABC ∆中sin cos 3cos sin ,A C A C =则由正弦定理及余弦定理有:2222223,22a b c b c a a c ab bc+-+-=化简并整理得：2222()a c b -=.又由已知222a c b -=24b b ∴=.解得40(b b ==或舍）. 例2. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若).(R k k BC BA AC AB ∈=⋅=⋅（Ⅰ）判断△ABC 的形状； （Ⅱ）若k c 求,2=的值. 解：（I ）B ca BC BA A cb AC AB cos ,cos =⋅=⋅Bac A bc BC BA AC AB cos cos =∴⋅=⋅又B A A B cos sin cos sin =∴ 即0cos sin cos sin =-A B B A 0)sin(=-∴B ABA B A =∴<-<-ππ ABC ∆∴为等腰三角形.（II ） 由（I ）知b a =22cos 2222c bc a c b bc A bc AC AB =-+⋅==⋅∴2=c 1=∴k 例3.（2009湖南卷文）在锐角ABC ∆中，1,2,BC B A ==则cos AC A的值等 于 ，AC 的取值范围为 .【随堂记录】：解析 设,2.A B θθ∠=⇒=由正弦定理得,1 2.sin 2sin 2cos cos AC BC AC AC θθθθ=∴=⇒= 由锐角ABC ∆得0290045θθ<<⇒<<，又01803903060θθ<-<⇒<<，故233045cos θθ<<⇒<<， 2cos 2,3).AC θ∴=∈四、巩固训练1.（2009北京理） 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,3a b c B π=，4cos ,35A b ==（Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）求ABC ∆的面积. 【解析】 本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式等基础知识，主要考查基本运算能力．解（Ⅰ）∵A 、B 、C 为△ABC 的内角，且4,cos 35B A π==， ∴23,sin 35C A A π=-=，∴213sin sin cos sin 32210C A A A π+⎛⎫=-=+= ⎪⎝⎭.（Ⅱ）由（Ⅰ）知33sin ,sin 510A C +==，又∵,3B b π==ABC 中，由正弦定理，得 ∴sin 6sin 5b A a B ==.∴△ABC 的面积116336sin 2251050S ab C ++==⨯=. 五、反思总结熟悉了正、余弦定理在进行边角关系转换时的桥梁作用，并利用正、余弦定理对三角恒等式进行证明以及对三角形形状进行判断。
高中数学必修5第一章解三角形教案、学案 正弦和余弦定
第一章解三角形本章概览三维目标1．掌握正、余弦定理，能初步利用这两个定理解斜三角形。
能利用计算器解决有关解斜三角形的计算问题，能够利用正、余弦定理等知识、方法解决一些与测量以及与几何计算的有关的实际问题。
2．通过对三角形的边角关系的探究学习，体验数学探究活动的过程，培养探索精神和创新意识；在运用正、余弦定理解决一些实际问题的过程中，逐步养成实事求是、扎实严谨的科学态度，学会用数学的思维方式解决问题、认识世界；通过实习作业，体会“解三角形在测量中的应用”，提高应用数学知识解决实际问题的能力和实际操作能力；通过学习和应用，进一步体会数学的科学价值、应用价值，进而领会数学的人文价值、美学价值，不断提高自身的文化素养，并且由正、余弦定理的形式能感受到数学的美。
3．通过对正、余弦定理的学习，要求对于三角形的的相关问题的解决能灵活地根据具体问题去恰当处理。
总之，有了正、余弦定理之后，又给解决三角形的问题提供了一种新的思路，对于具体问题的解决都要具体分析，灵活地运用所学知识去应对实际生活中的各种可能的问题。
4．本章中的有关三角形的一些实际问题，往往动笔计算比较复杂，象这样的问题的计算就要求大家能用计算器或电脑来帮助计算，能根据精确度的需要保留相应的位数。
尽管科学技术发展很快，但必要的计算能力对于一个现代人还是有必要的，所以平时大家还要注意训练自己的运算速度与准确性，时刻注意锻炼自己的意志力。
5．本章学习了正、余弦定理后，对于以后遇到相关三角形的问题时，应当时时注意考虑运用这两个定理去解决相关问题，但与此同时也不能忽视其它方面的知识的应用，否则可能问题不能顺利解决，时时注意前后知识的关联。
本章知识网络1.1 正弦定理和余弦定理第一版块三点剖析一、正弦定理及其证明正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin sin a b c A B C== 正弦定理揭示的是一般三角形中的重要边角关系，它们是解三角形的两个重要定理之一。
高中数学必修五第一章解三角形
§1.1.1 正弦定理【学习目标】1. 掌握正弦定理的内容；2. 掌握正弦定理的证明方法；3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．【重点难点】教学重点：正弦定理的内容，正弦定理的证明及基本应用； 教学难点：正弦定理的探索及证明；【学习过程】（分3个环节1、知识预习梳理2、学生探究部分、老师精讲部分3、课堂巩固练习部分-这部分以更切合知识点的练习为主，尽量少放综合性的。
并且分出层次，咱们统一分2个层次，标记A 的为好点学生做的不标记的为全部都做得） 1、知识预习梳理 试验：固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动．思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而 ．能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ 2、学生探究，教师指导提高 探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt ∆ABC 中，设BC =a ，AC =b ，AB =c ， 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1cC c==， 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b cA B C==．(探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义， 有CD =sin sin a B b A =，则sin sin a b A B =， 同理可得sin sin c b C B =， 从而sin sin a b A B =sin c C =． 类似可推出，当∆ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导.新知：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即sin sin a b A B =sin cC=．试试：（1）在ABC ∆中，一定成立的等式是（ ）．A ．sin sin a A bB = B .cos cos a A b B =C . sin sin a B b A =D .cos cos a B b A = （2）已知△ABC 中，a ＝4，b ＝8，∠A ＝30°，则∠B 等于 ．3、课堂巩固练习（5个左右的小题为宜）1. 在ABC ∆中，若cos cos A bB a=，则ABC ∆是（ ）.A ．等腰三角形B ．等腰三角形或直角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形 2. 已知△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶1∶4，则a ∶b ∶c 等于（ ）.A ．1∶1∶4B ．1∶1∶2C ．1∶1∶3D ．2∶2∶3 3. 在△ABC 中，若sin sin A B >，则A 与B 的大小关系为（ ）. A. A B > B. A B < C. A ≥B D. A 、B 的大小关系不能确定 4. 已知∆ABC 中，sin :sin :sin 1:2:3A B C =，则::a b c = ． 5. 已知∆ABC 中，∠A 60=︒，3a =，则sin sin sin a b cA B C ++++= ．【A 】已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k (k ≠0)，求实数k 的取值范围为． 【高考链接】如果有与本节课相关的高考试题可以加上1-2个不要多，没有可以不加1、在ABC ∆中，已知45B =o ，60C =o ，12a =cm ，解三角形．2、在6,45,2,,ABC c A a b B C ∆===o 中，求和．【收获、反思】空出位置让学生来做 【课后作业】空出位置，供老师使用时自己留作业，学生来记1. 已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120︒，解此三角形．2. 在ABC ∆中，已知45A =o ，60B =o ，42a =cm ，解三角形§1.1.1 余弦定理【学习目标】1. 掌握余弦定理的两种表示形式；2. 证明余弦定理的向量方法；3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．【重点难点】教学重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用.教学难点：1.向量知识在证明余弦定理时的应用,与向量知识的联系过程; 2.余弦定理在解三角形时的应用思路;3.勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用． 【学习过程】 1、知识预习梳理复习1：在一个三角形中，各 和它所对角的 的 相等，即 = = ．复习2：在△ABC 中，已知10c =，A =45，C =30，解此三角形．思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢？2、学生探究，教师指导提高问题：在ABC ∆中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b .∵AC =u u u r， ∴AC AC •=u u u r u u u r同理可得： 2222cos a b c bc A =+-， 2222cos c a b ab C =+-．新知：余弦定理：三角形中任何一边的 等于其他两边的 的和减去这两边与它们的夹角的 的积的两倍．思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？ 从余弦定理，又可得到以下推论：222cos 2b c a A bc+-=， ， ． 试试：（1）△ABC 中，33a =2c =，150B =o ，求b ．（2）△ABC 中，2a =，2b =，31c =，求A ．3、课堂巩固练习1. 已知a 3c ＝2，B ＝150°，则边b 的长为（ ）. 343422222. 已知三角形的三边长分别为3、5、7，则最大角为（ ）. A ．60o B ．75o C ．120o D ．150o3. 已知锐角三角形的边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是（ ）. A 513x <13x ＜5 C ． 2＜x 5 D 5＜x ＜54. 在△ABC 中，|AB u u u r |＝3，|AC u u u r |＝2，AB u u u r 与AC u u u r 的夹角为60°，则|AB u u u r－AC u u u r |＝________．【A 】5. 在△ABC 中，已知三边a 、b 、c 满足222b a c ab +-=，则∠C 等于 【A 】【高考链接】如果有与本节课相关的高考试题可以加上1-2个不要多，没有可以不加1. 在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝8，cos C ＝1314，求最大角的余弦值．2. 在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，求AB BC ⋅u u u r u u u r的值.【收获、反思】空出位置让学生来做【课后作业】空出位置，供老师使用时自己留作业，学生来记1、在△ABC 中，已知3a =2b =，45B =o ，求,A C 和c ．2、在△ABC 中，已知三边长3a =，4b =，37c ，求三角形的最大内角整体格式基本这样有什么自己的想法可以加在以上的项目中不要在增加项目正弦定理、余弦定理的应用【学习目标】1、使学生掌握正、余弦定理及其变形；能够灵活运用正、余弦定理解题2、能初步应用正弦定理、余弦定理解决一些有关三角形边角计算的问题；3、在运用正弦定理、余弦定理的过程，逐步培养实事求是、扎实严谨的科学态度。
高中数学必修五 第一章 解三角形 章末总结复习课件
a2＝b2＋c2－2bccosA 余弦定理 b2＝a2＋c2－2accosB
c2＝a2＋b2－2abcosC
第一章 解三角形
余弦定理的推论
cosA＝b2＋2cb2c－a2 cosB＝a2＋2ca2c－b2 cosC＝a2＋2ba2b－c2
解三角形 利用余弦定理解三角形已知两边及其夹角解三角形 已知三边解三角形 三角形面积公式：S△ABC＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA 测量距离问题 应用举例测量高度问题 测量角度问题
第一章 解三角形
已知方程 x2－(bcosA)x＋acosB＝0 的两根之积 等于两根之和，且 a、b 为△ABC 的两边，A、B 为两内角，试 判定这个三角形的形状．
[解析] 解法一：设方程的两根为 x1、x2，由韦达定理知 x1＋x2＝bcosA，x1x2＝acosB，
由题意得 bcosA＝acosB，根据余弦定理，得 b·b2＋2cb2c－a2＝a·a2＋2ca2c－b2. ∴b2＋c2－a2＝a2＋c2－b2， 化简得 a＝b，∴△ABC 为等腰三角形．
第一章 解三角形
(2)由余弦定理，得 a2＝b2＋c2－2bccosA
＝4＋1－2×2×1×12＝3，
∴a2＋c2＝b2，B＝2π.
∵BD＝ 23，AB＝1，
∴AD＝
1＋34＝
7 2.
第一章 解三角形
[点评] 本题考查了三角恒等变换、正弦、余弦定理、勾 股定理等基础知识，解三角形的基本方法，考查了逻辑推理能 力及运算求解能力．
第一章 解三角形
三、解三角形的应用． 解三角形应用题常见的几种情况： (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一 个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个 (或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的 三角形，然后逐步求出其它三角形中的解，有时需设出未知量， 从几个三角形中列出方程，解方程得出所要求的解． 常见题型有：测量距离问题、测量高度问题、测量角度问 题、计算面积问题等．
高中数学必修5高中数学复习课《解三角形》PPT
题型分析 高考展望
正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，而解三角 形问题是高考每年必考的热点问题之一.命题的重点 主要有三个方面：一是以斜三角形为背景求三角形 的基本量、求三角形的面积、周长、判断三角形形 状等；二是以实际生活为背景，考查解三角形问题； 三是与其他知识的交汇性问题，此类试题一直是命 题的重点和热点.（本节课复习一、三，二应用下节 课复习）
点评
解析答案
变式训练 1 设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 bsin A ＝ 3acos B. (1)求角B的大小；
解 ∵bsin A＝ 3acos B，
由正弦定理得 sin Bsin A＝ 3sin Acos B.
在△ABC中，sin A≠0，
即得 tan B＝ 3.
(1)若a2－c2＝b2－mbc，求实数m的值；
解
f(x)＝2cos
2x(
3cos
2x－sin
2x)＝2
3cos22x－2sin
2xcos
x 2
＝ 3＋ 3cos x－sin x＝ 3＋2sin(π3－x)，
由 f(A)＝ 3＋1，可得 3＋2sin(π3－A)＝ 3＋1，
所以 sin(π3－A)＝12.
∵B∈(0，π)，∴B＝π3.
解析答案
(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值. 解 ∵sin C＝2sin A，由正弦定理得c＝2a， 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
即 9＝a2＋4a2－2a·2acos π3， 解得 a＝ 3，∴c＝2a＝2 3.
解析答案
2．设 G 是△ABC 的重心，且 7sin A·G→A＋3sin B·G→B＋3 7sin C·G→C＝0，则角 B 的大小为_______．
高中新课标必修5第一章解三角形教案
高中新课标必修5第一章 解三角形 教案讲义一 正弦定理和余弦定理以及其应用一、知识与技能：掌握正弦定理和余弦定理，并能加以灵活运用。
二、知识引入与讲解：Ⅰ、正弦定理的探索和证明及其基本应用：正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin abAB=sin cC==2R例1．（1）、已知∆ABC 中，∠A 060=，a 求sin sin sin a b cA B C++++ (=2)（2）、已知∆ABC 中，sin :sin :sin 1:2:3A B C =，求::a b c （答案：1：2：3）Ⅱ、余弦定理的发现和证明过程及其基本应用：例2．（1）、在∆ABC 中，已知=ac 060=B ，求b 及A （=b60.=A ）（2）、在∆ABC 中，已知80a =，100b =，045A ∠=，试判断此三角形的解的情况。
例3．在∆ABC 中，已知7a =，5b =，3c =，判断∆ABC 的类型。
分析：由余弦定理可知 222222222是直角ABC 是直角三角形是钝角ABC 是钝角三角形是锐角a b c A a b c A a b c A =+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔ABC 是锐角三角形∆（注意：是锐角A ⇔ABC 是锐角三角形∆）解：222753>+，即222a b c >+， ∴ABC 是钝角三角形∆。
练习： （1）在∆ABC 中，已知sin :sin :sin 1:2:3A B C =，判断∆ABC 的类型。
（2）已知∆ABC 满足条件cos cos a A b B =，判断∆ABC 的类型。
（答案：（1）ABC 是钝角三角形∆；（2）∆ABC 是等腰或直角三角形）例4．在∆ABC 中，060A =，1b =，面积为2，求sin sin sin a b cA B C++++的值 分析：可利用三角形面积定理111sin sin sin 222S ab C ac B bc A ===以及正弦定理sin sin abAB=sin cC==sin sin sin a b cA B C++++解：由1sin 2S bc A ==得2c =，则2222cos a b c bc A =+-=3，即a =从而sin sin sin a b c A B C ++++2sin aA==例题5、某人在M 汽车站的北偏西20︒的方向上的A 处，观察到点C 处有一辆汽车沿公路向M 站行驶。
1高中数学必修5第一章-解三角形全章教案(整理)
1高中数学必修5第一章-解三角形全章教案(整理)课题: §1．1．1正弦定理如图1．1-1，固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。
思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中， 角与边的等式关系。
从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b cA B C==思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a bA B =， C 同理可得sin sin cbCB=，b a从而sin sin a b A B =sin cC = A c B练习：已知∆ABC中，sin:sin:sin1:2:3A B C=，求::a b c练习：1.在∆ABC中，已知045C=，10A=，030c=cm，解三角形。
2.在∆ABC中，已知060B=，20A=，045c=cm，解三角形。
3.在∆ABC中，已知20=a cm，102b=，030B=，解三角形。
4.在∆ABC中，已知102c=，20B=，解三角形。
b=cm，045补充：请试着推理出三角形面积公式（利用正弦）课题: §1.1.2余弦定理如图1．1-4，在∆ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,已知a,b和∠C，求边c用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边c 。
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
A如图1．1-5，设CB a =，CA b =，AB c =，那么c a b =-，则 b c()()2222 2c c c a b a ba ab b a ba b a b=⋅=--=⋅+⋅-⋅=+-⋅ C a B从而 2222cos c a b ab C=+- (图1．1-5)同理可证 2222cos ab c bc A=+- 2222cos b a c ac B =+-于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。
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课题：解三角形复习课 第 课时 总序第 个教案
课型： 复习课 编写时时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标： （1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。 （2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。 批
注
教学重点：运用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题。
教学难点：正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。
教学用具：三角板，直尺，投影
教学方法：引导——讨论——归纳
教学过程：
一.本章知识结构
正弦定理
解三角形 应用举例
余弦定理
二.回顾与思考
1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
sinsin
ab
AB
sin
c
C
正弦定理的应用范围：
①已知两角和任一边，求其它两边及一角；
②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。
2.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的
夹角的余弦的积的两倍。即
222
2cosabcbcA
222
2cosbacacB
222
2coscababC
余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；②．已知两边及它们的夹角，求第三边。
三.综合应用
例1、在ΔABC中,求分别满足下列条件的三角形形状：
①B=60°,b2=ac； ②b2tanA=a2tanB；
③sinC=BABAcoscossinsin④ (a2－b2)sin(A+B)=(a2+b2)sin(A－B).
分析：化简已知条件，找到边角之间的关系，就可判断三角形的形状. ①由余弦定理
acaccaacbcaacbca22222222212260cos
0)(2ca
，
ca
. 由a=c及B=60°可知△ABC为等边三角形. ②由AAbBaAbcossintantan222
,2sin2sin,cossincossinsinsincossincossincossin22222BABBAAABabBAABBBa
∴A=B或A+B=90°，∴△ABC为等腰△或Rt△. ③BABACcoscossinsinsin，由正弦定理：
,)cos(cosbaBAc
再由余弦定理：baacbcacbccbac22222222
RtABCbacbacba为,,0))((
222222
. ④由条件变形为
22
22
)sin()sin(babaBABA
90,2sin2sinsinsinsincoscossin,)sin()sin()sin()sin(2222BABABABABABAbaBABABABA或
.
∴△ABC是等腰△或Rt△. 点评：这类判定三角形形状的问题的一般解法是：由正弦定理
或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简考察边或角
的关系，从而确定三角形的形状. 有时一个条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以混
用. 如本例的②④也可用余弦定理，请同学们试试看.
例2、已知ΔABC三个内角A、B、C满足A+C=2B, Acos1+ Ccos1 =－ Bcos2 , 求
2
cos
CA
的值.
分析：120,60,2CABBCA再代入三角式解得A或C. 解：
120.60,2180,2CABBBBCA
.
∴由已知条件化为：22cos)120cos(.22)120cos(1cos1AAAA
),120cos(cosAA
设60,60,2CACA则.代入上式得：)60cos(
)60cos()60cos(22)60cos(
.
化简整理得023cos2cos242
222cos,2
2cos,0)3cos22)(2cos2(CA
即
.
注：本题有多种解法. 即可以从上式中消去B、C求出cosA，也可以象本例的解法.还可以用
和、差化积的公式，同学们可以试一试.
例3、海岛O上有一座海拨1000米的山,山顶上设有一个观察站A,上午11时,测得一
轮船在岛北60°东C处,俯角30°,11时10分,又测得该船在岛的北60°西B处,
俯角60°.
①这船的速度每小时多少千米？
②如果船的航速不变,它何时到达岛的正西方向？
此时所在点E离岛多少千米？
分析：这是一个立体的图形，
要注意画图和空间的简单感觉.
解：①如图：所示. OB=OA
3
3
30tan
(千米)，3OC（千米）
则313120cos222OCOBOCOBBC（千米）
3926010313v船速
（千米/小时）
②由余弦定理得：
OBCEBOBCOBOCBCOBOBCsinsin,261352cos
222
)]30(180sin[sin,26135cos,26393)26135(12EBOOEBEBO
.131330sincos30cossin)30sin(EBOEBOEBO
再由正弦定理，得OE=1.5（千米），5),(639vBEBE千米（分钟）.
答：船的速度为392千米/小时；如果船的航速不变，它5分钟到达岛的正西方向，此时
所在点E离岛1.5千米.
四.课堂练习
教材24页复习参考题
五.布置课后作业
教学后记：