高考数一轮复习精讲精练(新人教A)第04章 平面向量与复数
高考数学一轮总复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入4.4数系的扩充与复数的引入模拟演练课件理
3．[2016·全国卷Ⅲ]若
z＝1＋2i，则 z
z4－i 1＝()ຫໍສະໝຸດ A．1B．－1C．i
D．－i
解析
∵z
z
＝
(1＋ 2i)(1 －2i)＝
5，∴ z
z4－i 1＝44i＝
i，故
选 C.
4．[2015·湖南高考]已知1－z i2＝1＋i(i 为虚数单位)，
则复数 z＝(
)
A．1＋i
B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
自己集中注意力。 第四，回答问题。 上课时积极回答问题是吸收知识的有效途径。课堂上回答问题要主动大胆。回答时要先想一想“老师提的是什么问题?”，“它和学过的内容有什么
联系？”，并先在头脑中理一理思路，想好回答时，先答什么，后答什么。老师对你的回答做出点评和讲解，指出大家都应该注意的问题和标准答案时 你一定要仔细听讲，从中发现哪些是应当记住和掌握的。
[A 级 基础达标](时间：40 分钟)
1．若 a 为正实数，i 为虚数单位，a＋ i i＝2，则 a＝(
)
A．2
B． 3
C． 2
D．1
解析 解法一：由已知a＋ i i＝2，得a＋ i i＝|(a＋i)·(－
i)|＝|1－ai|＝2.∴ 1＋a2＝2.∵a>0，∴a＝ 3.
∴|a＋bi|＝|2－i|＝ 22＋－12＝ 5.
__12_－ __82i_．_[_2．014·湖南高考]满足z＋z i＝i(i 为虚数单位)的复数是
解析 由已知得 z＋i＝zi，则 z(1－i)＝－i， 即 z＝1－－ii＝1－－ii1＋ 1＋ii＝1－ 2 i＝12－2i .
9．[2017·金华模拟]已知 z∈C，解方程 z·－z －3i－z ＝1 ＋3i.
(教师用书)2020届高考数学第一轮复习 第四篇 平面向量细致讲解练 理 新人教A版
第四篇平面向量第1讲平面向量的概念及其线性运算[最新考纲]1．了解向量的实际背景．2．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．3．理解向量的几何表示．4．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．5．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．6．了解向量线性运算的性质及其几何意义.知识梳理1．向量的有关概念2.向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa .辨 析 感 悟1．对共线向量的理解(1)若向量a ，b 共线，则向量a ，b 的方向相同． (×) (2)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .(×)(3)(2013·郑州调研改编)设a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与2a －b 共线，则λ＝－12.(√)(4)(2013·陕西卷改编)设a ，b 为向量，则“|a ·b |＝|a |·|b |”是“a ∥b ”的充分必要条件．(√)2．对向量线性运算的应用 (5)AB →＋BC →＋CD →＝AD →.(√)(6)(教材习题改编)在△ABC 中，D 是BC 的中点，则AD →＝12(AC →＋AB →)．(√) 学生用书第69页[感悟·提升]1．一个区别 两个向量共线与两条线段共线不同，前者的起点可以不同，而后者必须在同一直线上．同样，两个平行向量与两条平行直线也是不同的，因为两个平行向量可以移到同一直线上．2．两个防范 一是两个向量共线，则它们的方向相同或相反；如(1)；二是注重零向量的特殊性，如(2).考点一 平面向量的有关概念【例1】 给出下列命题：①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中真命题的序号是________．解析 ①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同． ②正确．∵AB →＝DC →， ∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →，又∵A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|，因此，AB →＝DC →. ③正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同； 又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .④不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是②③. 答案 ②③规律方法 对于向量的概念应注意以下几条：(1)向量的两个特征：有大小和方向，向量既可以用有向线段和字母表示，也可以用坐标表示；(2)相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量；(3)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小．【训练1】 设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相等，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3. 答案 D考点二 平面向量的线性运算例2】 如图，在平行四边形OADB 中，设OA →＝a ， OB →＝b ，B M →＝13BC →， CN →＝13CD →.试用a ，b表示OM →， O N →及MN →.解 由题意知，在平行四边形OADB 中， BM →＝13B C →＝16 BA →＝16( OA →－OB →)＝16(a －b )＝16a －16b ， 则OM →＝OB →＋BM →＝b ＋16a －16b ＝16a ＋56b .ON →＝23OD →＝23(OA →＋OB →)＝23(a ＋b )＝23a ＋23b ，MN →＝ON →－OM →＝23(a ＋b )－16a －56b ＝12a －16b .规律方法 (1)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．(2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用．【训练2】 (1) (2013·四川卷)如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λ AO →，则λ＝________.(2)(2013·泉州模拟)已知P ，A ，B ，C 是平面内四点，且PA →＋PB →＋PC →＝AC →，那么一定有 ( )． A.PB →＝2CP →B.CP →＝2PB → C.AP →＝2PB →D.PB →＝2AP →解析 (1)∵AB →＋AD →＝AC →＝2AO →，∴λ＝2.(2)∵PA →＋PB →＋PC →＝AC →＝PC →－PA →， ∴PB →＝－2PA →＝2AP →. 答案 (1)2 (2)D考点三 向量共线定理及其应用【例3】 (2013·郑州一中月考)设两个非零向量a 与b 不共线． (1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．审题路线 (1)由向量的加法，得BD →＝BC →＋CD →⇒用a ，b 表示BD →⇒得到BD →与AB →的关系式⇒由向量共线定理，得BD →与AB →共线⇒再看是否有公共点⇒得到证明的结论．(2)假设存在实数k ⇒利用向量共线定理⇒列出方程⇒根据a ，b 是两个不共线的向量⇒得出方程组⇒解得k 值．(1)证明 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )． ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5AB →. ∴AB →，BD →共线，又它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．(2)解 假设k a ＋b 与a ＋k b 共线， 则存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即(k －λ)a ＝(λk －1)b . 又a ，b 是两不共线的非零向量，∴k －λ＝λk －1＝0.∴k 2－1＝0.∴k ＝±1.规律方法 (1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a ，b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立，若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a ，b 不共线.学生用书第70页【训练3】 －1)b ，若c 与d 同向，则实数λ的值为_____．解析 由于c 与d 同向，所以c ＝k d (k ＞0)， 于是λa ＋b ＝k [a ＋(2λ－1)b ]，整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b .由于a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，所以λ＝1或λ＝－12.又因为k ＞0，所以λ＞0，故λ＝1. 答案 11．向量的加、减法运算，要在所表达的图形上多思考，多联系相关的几何图形，比如平行四边形、菱形、三角形等，可多记忆一些有关的结论．2．对于向量共线定理及其等价定理，关键要理解为位置(共线或不共线)与向量等式之间所建立的对应关系．要证明三点共线或直线平行都是先探索有关的向量满足向量等式b ＝λa ，再结合条件或图形有无公共点证明几何位置．方法优化3——准确把握平面向量的概念和运算【典例】 (2012·浙江卷)设a ，b 是两个非零向量．( )． A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥b B ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λaD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b |[一般解法] (排除法)选项A ，若b ＝－a ，则等式|a ＋b |＝|a |－|b |成立，显然a ⊥b 不成立； 选项B ，若a ⊥b 且|a |＝|b |，则|a |－|b |＝0，显然，|a ＋b |＝2|a |≠0，故|a ＋b |＝|a |－|b |不成立；选项D ，若b ＝a ，则|a |－|b |＝0，显然，|a ＋b |＝2|a |≠0，故|a ＋b |＝|a |－|b |不成立． 综上，A ，B ，D 都不正确，故选C.[优美解法] (数量积法)把等式|a ＋b |＝|a |－|b |两边平方，得(a ＋b )2＝(|a |－|b |)2， 即2a ·b ＝－2|a |·|b |，而a ·b ＝|a ||b |cos<a ，b >， 所以cos<a ，b >＝－1.又因为<a ，b >∈[0，π]，所以<a ，b >＝π，即a ，b 为方向相反的共线向量．故C 正确．[反思感悟] 部分学生做错的主要原因是：题中的条件“|a ＋b |＝|a |－|b |”在处理过程中误认为“|a ＋b |＝|a －b |”，从而得到“a ⊥b ”这个错误的结论． 【自主体验】在△OAB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OD 是AB 边上的高，若AD →＝λAB →，则实数λ＝ ( )． A.a ·a －b|a －b |B.a ·b －a|a －b |C.a ·a －b|a －b |2D.a ·b －a|a －b |2解析 由AD →＝λAB →，∴|AD →|＝λ|AB →|.又∵|AD →|＝|a |cos A ＝|a |·a ·a －b |a ||b －a |＝a ·a －b |b －a |，|AB →|＝|b －a |，∴λ＝a ·a －b |b －a |2＝a ·a －b|a －b |2.故选C. 答案 C基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．若O ，E ，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )． A.EF →＝OF →＋OE → B.EF →＝OF →－OE →C.EF →＝－OF →＋OE →D.EF →＝－OF →－OE → 解析 由图可知EF →＝OF →－OE →.答案 B 2.(2014·汕头二模)如图，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →等于( )． A ．0 B.BE →C.AD →D.CF →解析 因为ABCDEF 是正六边形，故BA →＋CD →＋EF →＝DE →＋CD →＋EF →＝CE →＋EF →＝CF →. 答案 D3．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析 若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，所以a ∥b .若a ∥b ，则a ＝λb ，a ＋b ＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件． 答案 A4．(2014·开封模拟)下列命题中，正确的是( )． A ．若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b B ．若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0 C ．若k a ＝0，则k ＝0或a ＝0D ．若a ，b 都是非零向量，则|a ＋b |＞|a －b |解析 对于A ，显然不能得知a ＝b 或a ＝－b ，因此选项A 不正确；对于B ，易知不正确；对于C ，易知正确；对于D ，注意到(a ＋b )2－(a －b )2＝4a ·b ，显然a ·b 与零的大小关系不确定，因此选项D 不正确．综上所述，选C. 答案 C5．(2014·兰州质检)若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比为( )． A.15 B.25 C.35 D.45 解析设AB 的中点为D ，由5AM →＝AB →＋3AC →，得3AM →－3AC →＝2AD →－2AM →，即3CM →＝2MD →.如图所示，故C ，M ，D 三点共线，且MD →＝35CD →，也就是△ABM 与△ABC 对于边AB 的两高之比为3∶5，则△ABM 与△ABC 的面积比为35，选C. 答案 C 二、填空题6．(2014·湖州月考)给出下列命题： ①向量AB →的长度与向量BA →的长度相等；②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量AB →与向量CD →是共线向量，则点A ，B ，C ，D 必在同一条直线上． 其中不正确命题的序号是________． 解析 ①中，∵向量AB →与BA →为相反向量， ∴它们的长度相等，此命题正确．②中若a 或b 为零向量，则满足a 与b 平行，但a 与b 的方向不一定相同或相反，∴此命题错误．③由相等向量的定义知，若两向量为相等向量，且起点相同，则其终点也必定相同，∴该命题正确．④由共线向量知，若两个向量仅有相同的终点，则不一定共线，∴该命题错误．⑤∵共线向量是方向相同或相反的向量，∴若AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上，∴该命题错误． 答案 ②④⑤7．在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝________(用a ，b 表示)． 解析 由AN →＝3NC →，得4AN →＝3 AC →＝3(a ＋b )，AM →＝a ＋12b ，所以MN →＝AN →－AM →＝34(a ＋b )－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b .答案 －14a ＋14b8．(2014·泰安模拟)设a ，b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为________．解析 ∵BD →＝BC →＋CD →＝2a －b ，又A ，B ，D 三点共线， ∴存在实数λ，使AB →＝λBD →.即⎩⎪⎨⎪⎧2＝2λ，p ＝－λ，∴p ＝－1.答案 －1 三、解答题9．在△ABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AD →，AG →. 解 AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b ；AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE →＝AB →＋13(BA →＋BC →)＝23AB →＋13(AC →－AB →)＝13AB →＋13AC →＝13a ＋13b . 10．若a ，b 是两个不共线的非零向量，a 与b 起点相同，则当t 为何值时，a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一条直线上？解 设OA →＝a ，OB →＝t b ，OC →＝13(a ＋b )，∴AC →＝OC →－OA →＝－23a ＋13b ，AB →＝OB →－OA →＝t b －a .要使A ，B ，C 三点共线，只需AC →＝λAB →.即－23a ＋13b ＝λ(t b －a )＝λt b －λa .又∵a 与b 为不共线的非零向量， ∴有⎩⎪⎨⎪⎧ －23＝－λ，13＝λt⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，t ＝12.∴当t ＝12时，三向量终点在同一直线上．能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．(2013·济南一模)已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP →＝13⎝ ⎛ 12OA →＋12OB →＋⎭⎫2OC →，则点P 一定为三角形ABC 的( )． A ．AB 边中线的中点B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．重心D ．AB 边的中点解析 设AB 的中点为M ，则12OA →＋12OB →＝OM →，∴OP →＝13(OM →＋2OC →)＝13OM →＋23OC →，即3OP →＝OM →＋2OC →，也就是MP →＝2PC →，∴P ，M ，C 三点共线，且P 是CM 上靠近C 点的一个三等分点． 答案 B2．在△ABC 中，点O 在线段BC 的延长线上，且与点C 不重合，若AO →＝x AB →＋(1－x )AC →，则实数x 的取值范围是( )． A ．(－∞，0) B ．(0，＋∞) C ．(－1,0) D ．(0,1)解析 设BO →＝λ BC →(λ＞1)，则AO →＝AB →＋BO →＝AB →＋λ BC →＝(1－λ)AB →＋λ AC →，又AO →＝x AB →＋(1－x )AC →，所以x AB →＋(1－x )AC →＝(1－λ)AB →＋λ AC →.所以λ＝1－x ＞ 1，得x ＜0.答案 A 二、填空题3．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为________．解析 OB →＋OC →－2OA →＝OB →－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →， OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →，∴|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|. 故A ，B ，C 为矩形的三个顶点，△ABC 为直角三角形． 答案 直角三角形 三、解答题 4.在△ABC 中，E ，F 分别为AC ，AB 的中点，BE 与CF 相交于G 点，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AG →.解 AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋λBE →＝AB →＋λ2(BA →＋BC →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－λ2AB →＋λ2(AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λ2AC →＝(1－λ)a ＋λ2b .又AG →＝AC →＋CG →＝AC →＋m CF →＝AC →＋m 2(CA →＋CB →)＝(1－m )AC →＋m 2AB →＝m2a ＋(1－m )b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝m2，1－m ＝λ2，解得λ＝m ＝23，∴AG →＝13a ＋13b .学生用书第70页[最新考纲]1．了解平面向量的基本定理及其意义． 2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示． 3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算． 4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件.知 识 梳 理1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.辨 析 感 悟1．对平面向量基本定理的理解(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．(×)(2)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2. (√) (3)(2013·广东卷改编)已知a 是已知的平面向量且a ≠0.关于向量a 的分解，有下列四个命题，请判断它们的正误：①给定向量b ，总存在向量c ，使a ＝b ＋c .(√)②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使a ＝λb ＋μc ；(√)③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使a ＝λb ＋μc ； (√) ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使a ＝λb ＋μc . (×) 2．平面向量的坐标运算(4)(教材习题改编)已知点A (2,1)，B (－1,3)，则AB →＝(－3,2)．(√)(5)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可表示成x 1x 2＝y 1y 2.(×)(6)(2013·湘潭调研改编)已知向量a ＝(4，x )，b ＝(－4,4)，若a ∥b ，则x 的值为－4.(√)[感悟·提升]1．向量坐标与点的坐标的区别 在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA →＝a ，点A 的位置被向量a 唯一确定，此时点A 的坐标与a 的坐标统一为(x ，y )，但应注意其表示形式的区别，如点A (x ，y )，向量a ＝OA →＝(x ，y )．当平面向量OA →平行移动到O 1A 1→时，向量不变即O 1A 1→＝OA →＝(x ，y )，但O 1A 1→的起点O 1和终点A 1的坐标都发生了变化．2．两个防范 一是注意能作为基底的两个向量必须是不共线的，如(1)．二是注意运用两个向量a ，b 共线坐标表示的充要条件应为x 1y 2－x 2y 1＝0，如(5).考点一 平面向量基本定理的应用【例1】 如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示AB →，AD →.解 法一 设AB →＝a ，AD →＝b ，则a ＝AN →＋NB →＝d ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12b ，① b ＝AM →＋MD →＝c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a .② 将②代入①，得a ＝d ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ， ∴a ＝43d －23c ＝23(2d －c )，③将③代入②，得b ＝c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×23(2d －c )＝23(2c －d )．∴AB →＝23(2d －c )，AD →＝23(2c －d )．法二 设AB →＝a ，AD →＝b . 因M ，N 分别为CD ，BC 的中点， 所以BN →＝12b ，DM →＝12a ，因而⎩⎪⎨⎪⎧c ＝b ＋12a ，d ＝a ＋12b ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝232d －c ，b ＝232c －d，即AB →＝23(2d －c )，AD →＝23(2c －d )．规律方法 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．【训练1】 在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点，若A B →＝λAM→＋μAN →，则λ＋μ＝( )． A.15 B.25 C.35 D.45解析 因为AB →＝AN →＋NB →＝AN →＋CN →＝AN →＋(CA →＋AN →)＝2AN →＋CM →＋MA →＝2AN →－14AB →－AM →，所以AB →＝85AN →－45AM →，所以λ＋μ＝45.答案 D考点二 平面向量的坐标运算【例2】 已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b .(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)求M ，N 的坐标及向量MN →的坐标．解 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)．(1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )＝(5，－5)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点，∵CM →＝OM →－OC →＝3c ， ∴OM →＝3c ＋OC →＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)， ∴M 的坐标为(0,20)． 又CN →＝ON →－OC →＝－2b ，∴ON →＝－2b ＋OC →＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N 的坐标为(9,2)，∴MN →＝(9－0,2－20)＝(9，－18)．规律方法 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行的．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及运算法则的正确使用．【训练2】 (1)已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b ＝( )． A ．(－2，－1) B ．(－2,1) C ．(－1,0) D ．(－1,2)学生用书第72页(2)在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB ＝(2,4)，AC ＝(1,3)，则BD ＝( )． A ．(－2，－4) B ．(－3，－5) C ．(3,5)D ．(2,4)解析 (1)12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，32b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32，故12a －32b ＝(－1,2)． (2)由题意得BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝(AC →－AB →)－AB →＝AC →－2AB →＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)． 答案 (1)D (2)B考点三 平面向量共线的坐标表示【例3】 平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k ；(2)若d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求d 的坐标．审题路线 (1)分别求出(a ＋k c )与(2b －a )的坐标⇒利用向量平行的充要条件列方程⇒解关于k 的方程；(2)设d 的坐标⇒根据已知条件列出方程组⇒解方程组，得到d 的坐标． 解 (1)a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)， 由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0， 解得k ＝－1613.(2)设d ＝(x ，y )，则d －c ＝(x －4，y －1)， 又a ＋b ＝(2,4)，|d －c |＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧4x －4－2y －1＝0，x －42＋y －12＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3.∴d 的坐标为(3，－1)或(5,3)．规律方法 a ∥b 的充要条件有两种表达方式： (1)a ∥b (b ≠0)⇔a ＝λb (λ∈R )；(2)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.两种充要条件的表达形式不同．第(1)种是用线性关系的形式表示的，而且有前提条件b ≠0，而第(2)种无b ≠0限制．【训练3】 (1)(2014·衡水中学一检)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝ ( )． A.12 B.14C ．1D ．2(2)已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1,2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________．解析 (1)由于a ＋λb ＝(1＋λ，2)，故(a ＋λb )∥c ⇒4(1＋λ)－6＝0，解得λ＝12，故选A.(2)∵在梯形ABCD 中，DC ＝2AB ，∴DC →＝2 AB →. 设点D 的坐标为(x ，y )，则 DC →＝(4,2)－(x ，y )＝(4－x,2－y )，AB →＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)，∴(4－x,2－y )＝2(1，－1)，即(4－x,2－y )＝(2，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2,4)．答案 (1)A (2)(2,4)1．平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解． 2．向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键，通过坐标运算可将一些几何问题转化为代数问题处理，从而向量可以解决平面解析几何中的许多相关问题．3．在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用．思想方法3——方程思想在平面向量线性运算中的应用【典例】 (2013·北京卷)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________.解析 以向量a 和b 的交点为坐标原点建立如图所示的坐标系，令每个小正方形的边长为1个单位，则A (1，－1)，B (6,2)，C (5，－1)，所以a ＝AO →＝(－1,1)，b ＝OB →＝(6,2)，c ＝BC→＝(－1，－3)．由c ＝λa ＋μb可得⎩⎪⎨⎪⎧－1＝－λ＋6μ，－3＝λ＋2μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝－12，所以λμ＝4. 答案 4[反思感悟] (1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去．(2)利用向量共线建立方程组，用方程的思想求解． 【自主体验】1．设e 1，e 2是平面内一组基底，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基底a ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b . 解析 由题意，设e 1＋e 2＝m a ＋n b .又a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，所以e 1＋e 2＝m (e 1＋2e 2)＋n (－e 1＋e 2)＝(m －n )e 1＋(2m ＋n )e 2.又e 1，e 2是平面内一组基向量，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝1，2m ＋n ＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＝23，n ＝－13.答案 23 －132．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，x 2，b ＝(x,1)，其中x >0，若(a －2b )∥(2a ＋b )，则x ＝________.解析 a －2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8－2x ，x2－2，2a ＋b ＝(16＋x ，x ＋1)，由题意得(8－2x )·(x ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x2－2·(16＋x )，整理得x 2＝16，又x >0，所以x ＝4. 答案 4基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2014·华东师大附中模拟)如图，设O 是平行四边形ABCD 的两条对角线AC ，BD 的交点，下列向量组：①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →，其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是( )． A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．①④解析 ①中AD →与AB →不共线，可作为基底；②中DA →与BC →为共线向量，不可作为基底；③中CA →与DC →是两个不共线的向量，可作为基底；④中OD →与OB →在同一条直线上，是共线向量，不可作为基底．综上，只有①③中的向量可以作为基底，故选C. 答案 C2．(2014·揭阳二模)已知点A (－1,5)和向量a ＝(2,3)，若AB →＝3a ，则点B 的坐标为( )． A ．(7,4) B ．(7,14) C ．(5,4) D ．(5,14) 解析 设点B 的坐标为(x ，y )，则AB →＝(x ＋1，y －5)． 由AB →＝3a ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝6，y －5＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝14.答案 D 3.如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝x OA →＋y OB →，且BP →＝2 PA →，则( )． A ．x ＝23，y ＝13 B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14解析 由题意知OP →＝OB →＋BP →，又BP →＝2 PA →，所以OP →＝OB →＋23BA →＝OB →＋23(OA →－OB →)＝23OA →＋13OB →，所以x ＝23，y ＝13.答案 A4．(2013·惠州模拟)已知向量a ＝(－1,1)，b ＝(3，m )，a ∥(a ＋b )，则m ＝( )． A ．2 B ．－2 C ．－3 D ．3解析 a ＋b ＝(2，m ＋1)，由a ∥(a ＋b )，得(－1)×(m ＋1)－2×1＝0，解得m ＝－3. 答案 C5．(2014·许昌模拟)在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2P C →，点Q 是AC 的中点，若PA →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →等于( )． A ．(－2,7) B ．(－6,21) C ．(2，－7) D ．(6，－21)解析 BC →＝3 PC →＝3(2 PQ →－PA →)＝6 PQ →－3 PA →＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)． 答案 B 二、填空题6．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b的值为________．解析 AB →＝(a －2，－2)，AC →＝(－2，b －2)， 依题意，有(a －2)(b －2)－4＝0， 即ab －2a －2b ＝0，所以1a ＋1b ＝12.答案 127．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(0，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 满足的条件是________．解析 由题意得AB →＝(－3,1)，AC →＝(2－m,1－m )，若A ，B ，C 能构成三角形，则AB →，AC →不共线，则－3×(1－m )≠1×(2－m )，解得m ≠54.答案 m ≠548．(2013·江苏卷)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2 AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析 DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(BA →＋AC →)＝－16AB →＋23AC →，所以λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.答案 12三、解答题9．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？解 k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，法一 当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ使k a ＋b ＝λ(a －3b )，由(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)得，⎩⎪⎨⎪⎧k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ.解得k ＝λ＝－13，∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，这时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )．∵λ＝－13<0，∴k a ＋b 与a －3b 反向．法二 ∵k a ＋b 与a －3b 平行，∴(k －3)×(－4)－10×(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13，此时k a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－3，－23＋2＝－13(a －3b )．∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向．10．已知点O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM →＝t 1 OA →＋t 2 AB →. (1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点都共线．(1)解 OM →＝t 1OA →＋t 2AB →＝t 1(0,2)＋t 2(4,4)＝(4t 2,2t 1＋4t 2)．当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎪⎨⎪⎧4t 2＜0，2t 1＋4t 2≠0，故所求的充要条件为t 2＜0且t 1＋2t 2≠0， (2)证明 当t 1＝1时，由(1)知OM →＝(4t 2,4t 2＋2)． ∵AB →＝OB →－OA →＝(4,4)，AM →＝OM →－OA →＝(4t 2,4t 2)＝t 2(4,4)＝t 2 AB →， ∴AM →与AB →共线，又它们有公共点A ， ∴A ，B ，M 三点共线．能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．(2013·保定模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为( )．A ．30° B．60° C．90° D．120°解析 由p ∥q ，得(a ＋c )(c －a )＝b (b －a )， 整理得b 2＋a 2－c 2＝ab ，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又0°<C <180°，∴C ＝60°. 答案 B 2.(2014·中山模拟)如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外一点D ，若OC →＝m OA →＋n OB →，则m ＋n 的取值范围是( )． A ．(0,1) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，－1) D ．(－1,0)解析 由点D 是圆O 外一点，可设BD →＝λ BA →(λ＞1)，则 OD →＝OB →＋λ BA →＝λ OA →＋(1－λ)OB →.又C ，O ，D 三点共线，令OD →＝－μ OC →(μ＞1)，则OC →＝－λμOA →－1－λμOB →(λ＞1，μ＞1)，所以m ＝－λμ，n ＝－1－λμ，且m ＋n ＝－λμ－1－λμ＝－1μ∈(－1,0)．答案 D 二、填空题3．(2014·南京质检)设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋2b的最小值为________．解析 AB →＝OB →－OA →＝(a －1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1,2)．∵A ，B ，C 三点共线， ∴AB →∥AC →.∴2(a －1)－(－b －1)＝0， ∴2a ＋b ＝1.∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (2a ＋b )＝4＋b a＋4ab≥4＋2b a ·4ab＝8. 当且仅当b a ＝4a b ，即b ＝12，a ＝14时取等号． ∴1a ＋2b的最小值是8.答案 8 三、解答题 4.如图，已知点A (1,0)，B (0,2)，C (－1，－2)，求以A ，B ，C 为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标．解 以A ，B ，C 为顶点的平行四边形可以有三种情况： ①▱ABCD ；②▱ADBC ；③▱ABDC . 设D 的坐标为(x ，y )， ①若是▱ABCD ，则由AB →＝DC →，得(0,2)－(1,0)＝(－1，－2)－(x ，y )， 即(－1,2)＝(－1－x ，－2－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1－x ＝－1，－2－y ＝2，∴x ＝0，y ＝－4.∴D 点的坐标为(0，－4)(如题图中所示的D 1)． ②若是▱ADBC ，由CB →＝AD →，得(0,2)－(－1，－2)＝(x ，y )－(1,0)， 即(1,4)＝(x －1，y )，解得x ＝2，y ＝4. ∴D 点的坐标为(2,4)(如题图中所示的D 2)． ③若是▱ABDC ，则由AB →＝CD →，得 (0,2)－(1,0)＝(x ，y )－(－1，－2)，即(－1,2)＝(x ＋1，y ＋2)．解得x ＝－2，y ＝0. ∴D 点的坐标为(－2,0)(如题图中所示的D 3)，∴以A ，B ，C 为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标为(0，－4)或(2,4)或(－2,0).学生用书第73页第3讲 平面向量的数量积[最新考纲]1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.知 识 梳 理1．平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ 叫作a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0.(2)几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 2．平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为向量a ，b 的夹角． (1)数量积：a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2. (2)模：|a |＝a ·a ＝x 21＋y 21. (3)夹角：cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. (4)两非零向量a ⊥b 的充要条件：a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(5)|a ·b |≤|a ||b |(当且仅当a ∥b 时等号成立)⇔|x 1x 2＋y 1y 2|≤ x 21＋y 21·x 22＋y 22. 3．平面向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a (交换律)．(2)λa ·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(结合律)． (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律)．辨 析 感 悟1．对平面向量的数量积的认识(1)两个向量的数量积是一个向量，向量加、减、数乘运算的结果是向量．(×)(2)(2013·湖北卷改编)已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为－322.(×)(3)若a ·b ＞0，则a 和b 的夹角为锐角；若a ·b ＜0，则a 和b 的夹角为钝角．(×) 2．对平面向量的数量积的性质、运算律的理解(4)a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0.(×) (5)(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．(×) (6)a ·b ＝a ·c (a ≠0)，则b ＝c .(×) [感悟·提升]三个防范 一是两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，如(1)；二是在向量数量积的几何意义中，投影是一个数量，不是向量．设向量a ，b 的夹角为θ，当θ为锐角时，投影为正值；当θ为钝角时，投影为负值；当θ为直角时，投影为0；当θ＝0°时，b 在a 的方向上投影为|b |，当θ＝180°时，b 在a 方向上投影为－|b |，如(2)；当θ＝0°时，a ·b ＞0，θ＝180°，a ·b ＜0，即a ·b ＞0是两个向量a ，b 夹角为锐角的必要而不充分条件，如(3)；三是a ·b ＝0不能推出a ＝0或b ＝0，因为a ·b ＝0时，有可能a ⊥b ，如(4)．考点一 平面向量数量积的运算【例1】 (1)(2014·威海期末考试)已知a ＝(1,2)，2a －b ＝(3,1)，则a ·b ＝( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．5(2)(2013·江西卷)设e 1，e 2为单位向量，且e 1，e 2的夹角为π3，若a ＝e 1＋3e 2，b ＝2e 1，则向量a 在b 方向上的射影为________． 解析 (1)∵a ＝(1,2)，2a －b ＝(3,1) ∴b ＝2a －(3,1)＝2(1,2)－(3,1)＝(－1,3)． ∴a ·b ＝(1,2)·(－1,3)＝－1＋2×3＝5. (2)由于a ＝e 1＋3e 2，b ＝2e 1，所以|b |＝2，a ·b ＝(e 1＋3e 2)·2e 1＝2e 21＋6e 1·e 2 ＝2＋6×12＝5，所以a 在b 方向上的射影为|a |·cos<a ，b >＝a ·b |b |＝52. 答案 (1)D (2)52学生用书第74页规律方法 的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 【训练1】 (1)若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x )满足条件(8a －b )·c ＝30，则x ＝( )．A ．6B ．5C ．4D ．3(2)(2013·山东卷)已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为______． 解析 (1)8a －b ＝8(1,1)－(2,5)＝(6,3)， 所以(8a －b )·c ＝(6,3)·(3，x )＝30， 即18＋3x ＝30，解得x ＝4.故选C. (2)∵AP →⊥BC →，∴AP →·BC →＝0，∴(λAB →＋AC →)·BC →＝0，即(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝(λ－1)AB →·AC →－λAB →2＋AC →2＝0. ∵向量AB →与AC →的夹角为120°，|AB →|＝3，|AC →|＝2， ∴(λ－1)|AB →||AC →|·cos 120°－9λ＋4＝0，解得λ＝712.答案 (1)C (2)712考点二 向量的夹角与向量的模【例2】 (1)若非零向量a ，b 满足|a |＝3|b |＝|a ＋2b |，则a 与b 夹角的余弦值为________． (2)已知向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |＝________. 解析 (1)等式平方得|a |2＝9|b |2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ，则|a |2＝|a |2＋4|b |2＋4|a ||b |cos θ， 即0＝4|b |2＋4·3|b |2cos θ，得cos θ＝－13.(2)因为|2a －b |2＝(2a －b )2＝4a 2＋b 2－4a ·b ＝4a 2＋b 2＝4＋4＝8，故|2a －b |＝2 2. 答案 (1)－13(2)2 2规律方法 (1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式． (2)|a |＝a ·a 常用来求向量的模．【训练2】 (1)(2014·长沙模拟)已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________.(2)若平面向量a ，b 满足|a |＝1，|b |≤1，且以向量a ，b 为邻边的平行四边形的面积为12，则a 和b 的夹角θ的取值范围是________． 解析 (1)由|2a －b |＝10平方得， 4a 2－4a ·b ＋b 2＝10，即|b |2－4|b |cos 45°＋4＝10， 亦即|b |2－22|b |－6＝0，解得|b |＝32或|b |＝－2(舍去)． (2)依题意有|a ||b |sin θ＝12，即sin θ＝12|b |，由|b |≤1，得12≤sin θ≤1，又0≤θ≤π， 故有π6≤θ≤5π6.答案 (1)3 2 (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6考点三 平面向量的垂直问题【例3】 已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)(0<α<β<π)． (1)求证：a ＋b 与a －b 互相垂直；(2)若k a ＋b 与a －k b 的模相等，求β－α(其中k 为非零实数)．审题路线 证明两向量互相垂直，转化为计算这两个向量的数量积问题，数量积为零即得证⇒由模相等，列等式、化简求β－α.(1)证明 ∵(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝(cos 2α＋sin 2α)－(cos 2β＋sin 2β)＝0， ∴a ＋b 与a －b 互相垂直．(2)解 k a ＋b ＝(k cos α＋cos β，k sin α＋sin β)，a －kb ＝(cos α－k cos β，sin α－k sin β)，|k a ＋b |＝k 2＋2k cos β－α＋1， |a －k b |＝1－2k cos β－α＋k 2.∵|k a ＋b |＝|a －k b |，∴2k cos(β－α)＝－2k cos(β－α)． 又k ≠0，∴cos(β－α)＝0.∵0<α<β<π，∴0<β－α<π，∴β－α＝π2.规律方法 (1)当向量a 与b 是坐标形式给出时，若证明a⊥b ，则只需证明a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(2)当向量a ，b 是非坐标形式时，要把a ，b 用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算证明a·b ＝0.(3)数量积的运算a·b ＝0⇔a⊥b 中，是对非零向量而言的，若a ＝0，虽然有a·b ＝0，但不能说a⊥b .【训练3】 已知平面向量a ＝(3，－1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.(1)证明：a ⊥b ；(2)若存在不同时为零的实数k 和t ，使c ＝a ＋(t 2－3)b ，d ＝－k a ＋t b ，且c ⊥d ，试求函数关系式k ＝f (t )．(1)证明 ∵a ·b ＝3×12－1×32＝0，∴a ⊥b .(2)解 ∵c ＝a ＋(t 2－3)b ，d ＝－k a ＋t b ，且c ⊥d ， ∴c ·d ＝[a ＋(t 2－3)b ]·(－k a ＋t b ) ＝－k a 2＋t (t 2－3)b 2＋[t －k (t 2－3)]a ·b ＝0. 又a 2＝|a |2＝4，b 2＝|b |2＝1，a ·b ＝0， ∴c ·d ＝－4k ＋t 3－3t ＝0， ∴k ＝f (t )＝t 3－3t4(t ≠0)．1．计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用．2．求向量模的常用方法：利用公式|a|2＝a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算．3．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧.学生用书第75页教你审题5——数量积的计算问题【典例】(2012·上海卷)在矩形ABCD中，设AB，AD的长分别为2,1.若M，N分别是边BC，CD 上的点，且满足|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|，则AM →·AN →的取值范围是________．[审题] 一审：抓住题眼“矩形ABCD ”；二审：合理建立平面直角坐标系，转化为代数问题解决． 解析如图，以A 点为坐标原点建立平面直角坐标系，则各点坐标为A (0,0)，B (2,0)，C (2,1)，D (0,1)，设|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|＝k (0≤k ≤1)，则点M 的坐标为(2，k )，点N 的坐标为(2－2k,1)， 则AM →＝(2，k )，AN →＝(2－2k,1)，AM →·AN →＝2(2－2k )＋k ＝4－3k ，而0≤k ≤1，故1≤4－3k ≤4. 答案 [1,4][反思感悟] 在利用平面向量的数量积解决平面几何中的问题时，首先要想到是否能建立平面直角坐标系，利用坐标运算题目会容易的多． 【自主体验】(2012·江苏卷)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →的值是________．解析 法一 以A 为原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2，0)，E (2，1)，F (x,2)，∴AF →＝(x,2)，AB →＝(2，0)，AE →＝(2，1)，BF →＝(x －2，2)，∴AB →·AF →＝2x ＝2，解得x ＝1，∴F (1,2)，∴AE →·BF →＝ 2. 法二 AB →·AF →＝|AB →||AF →|cos ∠BAF ＝2，∴|AF →|cos ∠BAF ＝1，即|DF →|＝1，∴|CF →|＝2－1，AE →·BF →＝(AB →＋BE →)·(BC →＋CF →)＝AB →·BC →＋AB →·CF →＋BE →·BC →＋BE →·CF →＝AB →·CF →＋BE →·BC →＝2×(2－1)×(－1)＋1×2×1＝ 2. 答案 2基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2013·湛江二模)向量a ＝(1,2)，b ＝(0,2)，则a ·b ＝( )． A ．2 B ．(0,4) C ．4 D ．(1,4) 解析 a ·b ＝(1,2)·(0,2)＝1×0＋2×2＝4. 答案 C2．(2014·绍兴质检)在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，则AC →在AB →方向上的投影为( )．A.14B.12C ．1D ．2解析 如图所示，AC →在AB →方向上的投影为|AC →|cos 60°＝2×12＝1.答案 C3．(2013·山东省实验中学诊断)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0,1)，c ＝(k ，3)．若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝( )． A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．1解析 由题意知(a ＋2b )·c ＝0，即a ·c ＋2b ·c ＝0. 所以3k ＋3＋23＝0，解得k ＝－3. 答案 A4．(2014·浙江五校联盟)若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，且(2a ＋b )·b ＝0，则向量a ，b 的夹角为( )． A.2π3 B.π6 C.π3 D.5π6解析 由(2a ＋b )·b ＝0，得2a ·b ＋|b |2＝0. ∴2|b |2·cos<a ，b >＋|b |2＝0，∴cos<a ，b >＝－12，又<a ，b >∈[0，π]，∴<a ，b >＝2π3.答案 A5．(2013·福建卷)在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则该四边形的面积为( )． A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．10。
高考数学一轮复习第4单元平面向量、数系的扩充与复数
教学参考
3.[2017·全国卷Ⅲ] 设复数 z 满足
(1+i)z=2i,则|z|= ( )
A.12
B.
2 2
C. 2
D.2
[答案] C [解析] 由题知 z=12+i i=(12+i(i1)(-1i)-i)=2i2+2=i+1,则 |z|= 12 + 12= 2.
教学参考
4.[2016·全国卷Ⅰ] 设(1+i)x=1+yi,其中
() A.(-3,1) C.(1,+∞)
B.(-1,3) D.(-∞,-3)
[答案] A [解析] 由题易知 m+3>0,m-1<0,解得 -3<m<1.
教学参考
6.[2016·全国卷Ⅲ] 若 z=1+2i,则���������4���-i1=
()
A.1
B.-1
C.i
D.-i
[答案] C
[解析]
������
教学参考
8.[2015·全国卷Ⅱ] 若 a 为实数,且
(2+ai)(a-2i)=-4i,则 a= ( )
A.-1
B.0
C.1
D.2
[答案] B [解析] 因为(2+ai)(a-2i)=4a+(a2-4)i=-4i,所以 4a=0,且 a2-4=-4,解得 a=0,故选 B.
教学参考
9.[2014·全国卷Ⅰ]
其中的真命题为 ( )
A.p1,p3 B.p1,p4 C.p2,p3 D.p2,p4
[答案] B [解析] 设 z=a+bi(a,b∈R).1������ =���������2���-+���������i���2,若1������ ∈R,则 b=0,此时 z∈R,故命题 p1 为真命题;若 z∈R,则 b=0,此时������=a-bi∈R,命题 p4 为真命 题;z2=a2-b2+2abi,z2∈R 时,a=0 或 b=0,此时 z 为
2019-2020年新人教A版高考数学一轮复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入重点强化课2平面向量课件文
2019/7/16
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[对点训练 3] 已知 O 为坐标原点，向量O→A＝(3sin α，cos α)，O→B＝(2sin α，
5sin α－4cos α)，α∈32π，2π，且O→A⊥O→B，则 tan α 的值为(
)
【导学号：31222165】
A．－43
B．－45
C.45
D.34
A [由题意知 6sin2α＋cos α·(5sin α－4cos α)＝0，即 6sin2α＋5sin αcos α－ 4cos2α＝0，上述等式两边同时除以 cos2α，得 6tan2α＋5tan α－4＝0，由于 α∈ 32π，2π，
0，则△ABC 的面积与△AOC 的面积的比值为( ) 【导学号：31222164】
A．3
B．4
C．5
B [因为 D 为 AB 的中点，
D．6
则O→D＝12(O→A＋O→B)，
又O→A＋O→B＋2O→C＝0，
所以O→D＝－O→C，所以 O 为 CD 的中点．
又因为 D 为 AB 的中点，
所以 S△AOC＝12S△ADC＝14S△ABC，则SS△AAOBCC＝4.]
∴f(a)＝G→A·G→B＝(x1－a，y1)·(x2－a，y2)＝x1x2－a(x1＋x2)＋a2＋k2(x1－a)(x2 －a)＝a2－4.
由(a)(b)得 f(a)＝a2－4.10 分 ∵点 G(a,0)是轨迹 C 内部一点， ∴－2<a<2，∴0≤a2<4， ∴－4≤a2－4<0，∴f(a)的取值范围是[－4,0).12 分 [规律方法] 1.本题充分发挥向量的载体作用，将平面向量与解析几何有机 结合，通过平面向量数量积的坐标运算进行转化，使问题的条件明晰化． 2．利用平面向量可以解决长度、角度与垂直问题．
【三维设计】(新课标)高考数学大一轮复习精品讲义 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入(含解
第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第一节平面向量的概念及其线性运算对应学生用书P62基础盘查一向量的有关概念(一)循纲忆知1．了解向量的实际背景；2．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3．理解向量的几何表示．(二)小题查验1．判断正误(1)向量AB与向量BA是相等向量( )(2)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小( )(3)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量( )(4)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关( )答案：(1)×(2)√(3)×(4)√2.(人教A版教材例题改编)如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与OA，OB，OC相等的向量．解：OA＝CB＝DO；OB＝DC＝EO；OC＝AB＝ED＝FO.基础盘查二向量的线性运算(一)循纲忆知1．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；2．掌握向量数乘的运算及其几何意义；3．了解向量线性运算的性质及其几何意义．(二)小题查验1．判断正误(1)两个向量的差仍是一个向量( )(2)BA＝OA－OB ( )(3)向量a－b与b－a是相反向量( )(4)两个向量相加就是两个向量的模相加( )答案：(1)√(2)√(3)√(4)×2．(人教A版教材习题改编)化简：(1)(AB ＋MB )＋BO ＋OM ＝________. (2)NQ ＋QP ＋MN －MP ＝________. 答案：(1)AB (2)0 基础盘查三 共线向量定理 (一)循纲忆知理解两个向量共线的含义，掌握向量的共线定理及应用． (二)小题查验 1．判断正误(1)若向量a ，b 共线，则向量a ，b 的方向相同( ) (2)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ( )(3)向量AB 与向量CD 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上( ) (4)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√2．已知a 与b 是两个不共线的向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________. 答案：－13对应学生用书P62考点一 向量的有关概念(基础送分型考点——自主练透)[必备知识](1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模． (2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．[题组练透]1．给出下列命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ＝DC 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的序号是( )A．②③B．①②C．③④ D．④⑤解析：选A ①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．②正确．∵AB＝DC，∴|AB|＝|DC|且AB∥DC，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则AB∥DC且|AB|＝|DC|，因此，AB＝DC.③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.④不正确．当a∥b且方向相反时，既使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a ∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．⑤不正确．考虑b＝0这种特殊情况．综上所述，正确命题的序号是②③.故选A.2．设a0为单位向量，下述命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；②若a 与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.假命题的个数是( ) A．0 B．1C．2 D．3解析：选D 向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.[类题通法]平面向量有关概念的核心(1)向量定义的核心是方向和长度．(2)非零共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制．(3)相等向量的核心是方向相同且长度相等．(4)单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度．(5)零向量的核心是方向没有限制，长度是0，规定零向量与任何向量共线．考点二向量的线性运算(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]1．向量的加法定义：求两个向量和的运算．运算法则(几何意义)：如图运算律：(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．2．向量的减法定义：向量a加上向量b的相反向量，叫做a与b的差，即a＋(－b)＝a－b.求两个向量差的运算叫做向量的减法．运算法则(几何意义)：如图3．向量的数乘定义：实数λ与向量a的积运算，即λa.运算法则(几何意义)：如图，λa的长度与方向规定如下：(1)|λa|＝|λ|·|a|.(2)当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.运算律：λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb.[提醒] (1)实数和向量可以求积，但不能求和或求差；(2)λ＝0或a＝0⇔λa＝0.[典题例析]1．(2014·新课标全国卷Ⅰ)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则EB ＋FC＝( )A ．AD B.12AD C ．BCD.12BC 解析：选A EB ＋FC ＝12(AB ＋CB )＋12(AC ＋BC )＝12(AB ＋AC )＝AD ，故选A. 2．(2013·江苏高考)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE＝λ1AB ＋λ2AC (λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析：DE ＝DB ＋BE ＝12AB ＋23BC ＝12AB ＋23(BA ＋AC )＝－16AB ＋23AC ，所以λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.答案：12[类题通法]1．向量线性运算的解题策略(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．2．两个结论(1)P 为线段AB 的中点⇔OP ＝12(OA ＋OB )；(2)G 为△ABC 的重心⇔GA ＋GB ＋GC ＝0.[演练冲关]1．(2015·聊城二模)在△ABC 中，AB ＝c ，AC ＝b .若点D 满足BD ＝2DC ，则AD ＝( )A.23b ＋13c B.53c －23b C.23b －13c D.13b ＋23c解析：选A 如图，可知AD ＝AB ＋BD ＝AB ＋23(AC －AB )＝c ＋23(b －c )＝23b ＋13c .故选A.2．若典例2条件变为：若AD ＝2DB ，CD ＝13CA ＋λCB ，则λ＝________.解析：∵CD ＝CA ＋AD ，CD ＝CB ＋BD ， ∴2CD ＝CA ＋CB ＋AD ＋BD . 又∵AD ＝2DB ， ∴2CD ＝CA ＋CB ＋13AB＝CA ＋CB ＋13(CB －CA )＝23CA ＋43CB . ∴CD ＝13CA ＋23CB ，即λ＝23.答案：23考点三 共线向量定理的应用(题点多变型考点——全面发掘)[必备知识]共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一的一个实数λ，使得b ＝λa . [提醒] 限定a ≠0的目的是保证实数λ的存在性和唯一性．[一题多变][典型母题]设两个非零向量e 1和e 2不共线．如果AB ＝e 1＋e 2，BC ＝2e 1－3e 2，AF ＝3e 1－k e 2，且A ，C ，F 三点共线，求k 的值．[解] ∵AB ＝e 1＋e 2，BC ＝2e 1－3e 2， ∴AC ＝AB ＋BC ＝3e 1－2e 2. ∵A ，C ，F 三点共线，∴AC ∥AF ，从而存在实数λ，使得AC ＝λAF . ∴3e 1－2e 2＝3λe 1－λk e 2， 又e 1，e 2是不共线的非零向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝3λ，－2＝－λk ，因此k ＝2.∴实数k 的值为2.[题点发散1] 在本例条件下，试确定实数k ，使k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线． 解：∵k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，∴存在实数λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)， 即k e 1＋e 2＝λe 1＋λk e 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，1＝λk ，解得k ＝±1.[题点发散2] 在本例条件下，如果AB ＝e 1－e 2，BC ＝3e 1＋2e 2，CD ＝－8e 1－2e 2，求证：A ，C ，D 三点共线．证明：∵AB ＝e 1－e 2，BC ＝3e 1＋2e 2，∴AC ＝AB ＋BC ＝4e 1＋e 2，又CD ＝－8e 1－2e 2， ∴CD ＝－2AC ，∴AC 与CD 共线．又∵AC 与CD 有公共点C ，∴A ，C ，D 三点共线．[类题通法]1．共线向量定理及其应用(1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值．(2)若a ，b 不共线，则λa ＋μb ＝0的充要条件是λ＝μ＝0，这一结论结合待定系数法应用非常广泛．2．证明三点共线的方法若AB ＝λAC ，则A ，B ，C 三点共线．对应A本课时跟踪检测二十五一、选择题1．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．③λa＝0(λ为实数)，则λ必为零．④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中错误的命题的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选C ①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误，当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0.④错误，当λ＝μ＝0时，λa＝μb＝0，此时，a与b可以是任意向量．故选C.2．已知向量a，b，c中任意两个都不共线，但a＋b与c共线，且b＋c与a共线，则向量a＋b＋c＝( )A．a B．bC．c D．0解析：选D 依题意，设a＋b＝m c，b＋c＝n a，则有(a＋b)－(b＋c)＝m c－n a，即a－c ＝m c－n a.又a与c不共线，于是有m＝－1，n＝－1，a＋b＝－c，a＋b＋c＝0，选D.3．(2015·福建四地六校联考)已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2OP＝2OA＋BA，则( )A．点P在线段AB上B．点P在线段AB的反向延长线上C．点P在线段AB的延长线上D．点P不在直线AB上解析：选B 因为2OP＝2OA＋BA，所以2AP＝BA，所以点P在线段AB的反向延长线上，故选B.4．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且DC＝2BD，CE＝2EA，AF＝2FB，则AD＋BE＋CF与BC ( )A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直解析：选A 由题意得AD ＝AB ＋BD ＝AB ＋13BC ，BE ＝BA ＋AE ＝BA ＋13AC ， CF ＝CB ＋BF ＝CB ＋13BA ，因此AD ＋BE ＋CF ＝CB ＋13(BC ＋AC －AB )＝CB ＋23BC ＝－13BC ，故AD ＋BE ＋CF 与BC 反向平行．5．在平行四边形ABCD 中，点E 是AD 的中点，BE 与AC 相交于点F ，若EF ＝m AB ＋n AD (m ，n ∈R )，则m n的值为( )A ．－2B ．－12C ．2D.12解析：选A 设AB ＝a ，AD ＝b ，则EF ＝m a ＋n b ，BE ＝AE －AB ＝12b －a ，由向量EF 与BE 共线可知存在实数λ，使得EF ＝λBE ，即m a ＋n b ＝12λb －λa ，又a 与b不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－λ，n ＝12λ，所以mn＝－2.6．设O 在△ABC 的内部，D 为AB 的中点，且OA ＋OB ＋2OC ＝0，则△ABC 的面积与△AOC 的面积的比值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选B ∵D 为AB 的中点，则OD ＝12(OA ＋OB )，又OA ＋OB ＋2OC ＝0，∴OD ＝－OC ，∴O 为CD 的中点，又∵D 为AB 中点， ∴S △AOC ＝12S △ADC ＝14S △ABC ，则S △ABCS △AOC＝4. 二、填空题7．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC 2＝16，|AB ＋AC |＝|AB －AC |，则|AM |＝________.解析：由|AB ＋AC |＝|AB －AC |可知，AB ⊥AC ， 则AM 为Rt △ABC 斜边BC 上的中线， 因此，|AM |＝12|BC |＝2.答案：28．(2015·江门模拟)已知D 为三角形ABC 边BC 的中点，点P 满足PA ＋BP ＋CP ＝0，AP ＝λPD ，则实数λ的值为________．解析：如图所示，由AP ＝λPD 且PA ＋BP ＋CP ＝0，则P 为以AB ，AC 为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此AP ＝－2PD ，则λ＝－2.答案：－29．已知O 为四边形ABCD 所在平面内一点，且向量OA ，OB ，OC ，OD 满足等式OA ＋OC ＝OB ＋OD ，则四边形ABCD 的形状为________．解析：∵OA ＋OC ＝OB ＋OD ，∴OA －OB ＝OD －OC ， ∴BA ＝CD ，BA 綊CD ，∴四边形ABCD 为平行四边形． 答案：平行四边形10．已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC ＝a ，CA ＝b ，给出下列命题：①AD ＝12a －b ；②BE ＝a ＋12b ；③CF ＝－12a ＋12b ；④AD ＋BE ＋CF ＝0.其中正确命题的个数为________．解析：BC ＝a ，CA ＝b ，AD ＝12CB ＋AC ＝－12a －b ，故①错；BE ＝BC ＋12CA ＝a ＋12b ，故②正确；CF ＝12(CB ＋CA )＝12(－a ＋b )＝－12a ＋12b ，故③正确；∴AD ＋BE ＋CF ＝－b －12a ＋a ＋12b ＋12b －12a ＝0.∴正确命题为②③④. 答案：3 三、解答题11．已知a ，b 不共线，OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，OD ＝d ，OE ＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c,2b ＝d ，e ＝t (a ＋b )，是否存在实数t 使C ，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值，若不存在，请说明理由．解：由题设知，CD ＝d －c ＝2b －3a ，CE ＝e －c ＝(t －3)a ＋t b ，C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE ＝k CD ，即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ，整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b .因为a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧t －3＋3k ＝0，t －2k ＝0，解之得t ＝65.故存在实数t ＝65使C ，D ，E 三点在一条直线上．12.如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE ＝23AD ，AB ＝a ，AC ＝b .(1)用a ，b 表示向量AD ，AE ，AF ，BE ，BF ； (2)求证：B ，E ，F 三点共线． 解：(1)延长AD 到G ，使AD ＝12AG ，连接BG ，CG ，得到平行四边形ABGC ， 所以AG ＝a ＋b ，AD ＝12AG ＝12(a ＋b )， AE ＝23AD ＝13(a ＋b )，AF ＝12AC ＝12b ，BE ＝AE －AB ＝13(a ＋b )－a ＝13(b －2a )，BF ＝AF －AB ＝12b －a ＝12(b －2a )．(2)证明：由(1)可知BE ＝23BF ，又因为BE ，BF 有公共点B ， 所以B ，E ，F 三点共线．第二节平面向量的基本定理及坐标表示对应学生用书P64基础盘查一 平面向量基本定理 (一)循纲忆知了解平面向量的基本定理及其意义． (二)小题查验 1．判断正误(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底( ) (2)在△ABC 中，向量AB ，BC 的夹角为∠ABC ( ) (3)同一向量在不同基底下的表示是相同的( )(4)设a ，b 是平面内的一组基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)√2．(人教A 版教材复习题改编)设M 是▱ABCD 的对角线的交点，O 为任意一点，则OA ＋OB ＋OC ＋OD ＝________OM .答案：4基础盘查二 平面向量的坐标运算 (一)循纲忆知1．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； 2．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算． (二)小题查验 1．判断正误(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同( ) (2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标( ) (3)已知点A (2,1)，B (－1,3)，则AB ＝(－3,2)( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√2．(人教A 版教材例题改编)已知a ＝(2,1)，b ＝(－3,4)，则3a ＋4b ＝________. 答案：(－6,19)基础盘查三 平面向量共线的坐标表示 (一)循纲忆知理解用坐标表示的平面向量共线的条件． (二)小题查验 1．判断正误(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可表示成x 1x 2＝y 1y 2( ) (2)已知向量a ＝(4，x )，b ＝(－4,4)，若a ∥b ，则x 的值为－4( ) 答案：(1)× (2)√2．O 是坐标原点，OA ＝(k,12)，OB ＝(4,5)，OC ＝(10，k )，当k ＝________时，A ，B ，C 三点共线？答案：－2或11对应学生用书P65考点一 平面向量基本定理及其应用(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．[题组练透]1．如果e 1，e 2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( )A ．e 1与e 1＋e 2B ．e 1－2e 2与e 1＋2e 2C ．e 1＋e 2与e 1－e 2D ．e 1＋3e 2与6e 2＋2e 1解析：选D 选项A 中，设e 1＋e 2＝λe 1，则⎩⎪⎨⎪⎧1＝λ，1＝0，无解；选项B 中，设e 1－2e 2＝λ(e 1＋2e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，－2＝2λ，无解；选项C 中，设e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，1＝－λ，无解；选项D 中，e 1＋3e 2＝12(6e 2＋2e 1)，所以两向量是共线向量．2．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝13BC ，E ，F 分别为线段AD 与BC 的中点．设BA＝a ，BC ＝b ，试用a ，b 为基底表示向量EF ，DF ，CD .解：EF ＝EA ＋AB ＋BF ＝－16b －a ＋12b ＝13b －a ，DF ＝DE ＋EF ＝－16b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13b －a ＝16b －a ， CD ＝CF ＋FD ＝－12b －⎝ ⎛⎭⎪⎫16b －a ＝a －23b . [类题通法](1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．考点二 平面向量的坐标运算(基础送分型考点——自主练透)[必备知识](1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ±b ＝(x 1±x 2，y 1±y 2); (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)； (3)若a ＝(x ，y )，则λa ＝(λx ，λy )；|a |＝x 2＋y 2.[题组练透]1．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b ＝( )A ．(－2，－1)B ．(－2,1)C ．(－1,0)D ．(－1,2)解析：选D 12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，32b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32，故12a －32b ＝(－1,2)． 2．(2015·昆明一中摸底)已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN ＝－3a ，则点N 的坐标为( )A ．(2,0)B ．(－3,6)C ．(6,2)D ．(－2,0)解析：选A MN ＝－3a ＝－3(1，－2)＝(－3,6)， 设N (x ，y )，则MN ＝(x －5，y ＋6)＝(－3,6)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x －5＝－3，y ＋6＝6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0，选A.3．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB ＝a ，BC ＝b ，CA ＝c ，且CM ＝3c ，CN ＝－2b ，(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)求M ，N 的坐标及向量MN 的坐标．解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点，∵CM ＝OM －OC ＝3c ， ∴OM ＝3c ＋OC ＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M (0,20)．又∵CN ＝ON －OC ＝－2b ，∴ON ＝－2b ＋OC ＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N (9,2)，∴MN ＝(9，－18)．[类题通法]平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解． 考点三 平面向量共线的坐标表示(题点多变型考点——全面发掘)[必备知识]设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.[一题多变][典型母题][题点发散1] 在本例条件下，若d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求d . 解：设d ＝(x ，y )，d －c ＝(x －4，y －1)，a ＋b ＝(2,4)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x －－y －＝0，x －2＋y －2＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3.∴d ＝(3，－1)或d ＝(5,3)．[题点发散2] 在本例条件下，若m a ＋n b 与a －2b 共线，求mn的值． 解：m a ＋n b ＝(3m －n,2m ＋2n )，a －2b ＝(5，－2)， 由题意得－2(3m －n )－5(2m ＋2n )＝0.∴m n ＝－12. [题点发散3] 若本例条件变为：已知A (3,2)，B (－1,2)，C (4,1)，判断A ，B ，C 三点能否共线．解：AB ＝(－4,0)，AC ＝(1，－1)， ∵－4×(－1)－0×1≠0，∴AB ，AC 不共线． ∴A ，B ，C 三点不共线．[类题通法]1．向量共线的两种表示形式设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)：①a ∥b ⇒a ＝λb (b ≠0)；②a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②.2．两向量共线的充要条件的作用判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值．对应B 本课时跟踪检测二十六一、选择题1.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB ＝a ，AD＝b ，则BE ＝( )A ．b －12aB ．b ＋12aC ．a ＋12bD ．a －12b解析：选A BE ＝BA ＋AD ＋DE ＝－a ＋b ＋12a ＝b －12a .2．已知平行四边形ABCD 中，AD ＝(3,7)，AB ＝(－2,3)，对角线AC 与BD 交于点O ，则CO 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，5B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－5 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－5 解析：选D AC ＝AB ＋AD ＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)． ∴OC ＝12AC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5.∴CO ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－5.故选D. 3．在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC .已知A (－2,0)，B (6,8)，C (8,6)，则D 点的坐标为( )A ．(0，－2)B ．(－4,2)C ．(16,14)D ．(0,2)解析：选A 设D (x ，y )，由题意知BD ＝BA ＋BC ， 即(x －6，y －8)＝(－8，－8)＋(2，－2)＝(－6，－10)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －6＝－6，y －8＝－10，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－2.故选A.4．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d ＝( )A ．(2,6)B ．(－2,6)C ．(2，－6)D ．(－2，－6)解析：选D 设d ＝(x ，y )，由题意知4a ＝(4，－12)，4b －2c ＝(－6,20)，2(a －c )＝(4，－2)，又4a ＋4b －2c ＋2(a －c )＋d ＝0，所以(4，－12)＋(－6,20)＋(4，－2)＋(x ，y )＝(0,0)，解得x ＝－2，y ＝－6，所以d ＝(－2，－6)．5．已知向量OA ＝(1，－3)，OB ＝(2，－1)，OC ＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点不能构成三角形，则实数k 应满足的条件是( )A ．k ＝－2B ．k ＝12C ．k ＝1D ．k ＝－1解析：选C 若点A ，B ，C 不能构成三角形， 则向量AB ，AC 共线，∵AB ＝OB －OA ＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC ＝OC －OA ＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)，∴1×(k ＋1)－2k ＝0，解得k ＝1.6．(2015·山西四校联考)在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC ＝3CD ，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO ＝x AB ＋(1－x )AC ，则x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0解析：选D 依题意，设BO ＝λBC ，其中1<λ<43，则有AO ＝AB ＋BO ＝AB ＋λBC ＝AB ＋λ(AC －AB )＝(1－λ)AB ＋λAC .又AO ＝x AB ＋(1－x )AC ，且AB ，AC 不共线，于是有x ＝1－λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0，即x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0. 二、填空题7．设e 1，e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b .解析：由题意，设e 1＋e 2＝m a ＋n b . 因为a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，所以e 1＋e 2＝m (e 1＋2e 2)＋n (－e 1＋e 2)＝(m －n )e 1＋(2m ＋n )e 2.由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝1，2m ＋n ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝23，n ＝－13.答案：23 －138．已知两点A (1,0)，B (1,1)，O 为坐标原点，点C 在第二象限，且∠AOC ＝135°，设OC ＝－OA ＋λOB (λ∈R )，则λ的值为________．解析：由∠AOC ＝135°知，点C 在射线y ＝－x (x <0)上，设点C 的坐标为(a ，－a )，a <0，则有(a ，－a )＝(－1＋λ，λ)，得a ＝－1＋λ，－a ＝λ，消掉a 得λ＝12.答案：129．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP ＝2PC ，点Q 是AC 的中点，若PA ＝(4,3)，PQ ＝(1,5)，则BC ＝________.解析：AQ ＝PQ －PA ＝(－3,2)， ∴AC ＝2AQ ＝(－6,4)．PC ＝PA ＋AC ＝(－2,7)，∴BC ＝3PC ＝(－6,21)．答案：(－6,21)10．(2015·九江模拟)P ＝{a |a ＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R }，Q ＝{b |b ＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q 等于________．解析：P 中，a ＝(－1＋m,1＋2m )，Q 中，b ＝(1＋2n ，－2＋3n )．则⎩⎪⎨⎪⎧－1＋m ＝1＋2n ，1＋2m ＝－2＋3n .得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，n ＝－7.此时a ＝b ＝(－13，－23)． 答案：{}－13，－三、解答题11．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．求： (1)|a ＋3b |；(2)当k 为何实数时，k a －b 与a ＋3b 平行，平行时它们是同向还是反向？ 解：(1)因为a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，所以a ＋3b ＝(7,3)， 故|a ＋3b |＝72＋32＝58.(2)k a －b ＝(k －2，－1)，a ＋3b ＝(7,3)， 因为k a －b 与a ＋3b 平行， 所以3(k －2)＋7＝0，即k ＝－13.此时k a －b ＝(k －2，－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－1， a ＋3b ＝(7,3)，则a ＋3b ＝－3(k a －b )，即此时向量a ＋3b 与k a －b 方向相反．12．已知点O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM ＝t 1OA ＋t 2AB . (1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点共线．解：(1)OM ＝t 1OA ＋t 2AB ＝t 1(0,2)＋t 2(4,4)＝(4t 2,2t 1＋4t 2)．当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎪⎨⎪⎧4t 2<0，2t 1＋4t 2≠0，故所求的充要条件为t 2<0且t 1＋2t 2≠0.(2)证明：当t 1＝1时，由(1)知OM ＝(4t 2,4t 2＋2)． ∵AB ＝OB －OA ＝(4,4)，AM ＝OM －OA ＝(4t 2,4t 2)＝t 2(4,4)＝t 2AB ，∴A ，B ，M 三点共线．第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例对应学生用书P66基础盘查一 平面向量的数量积 (一)循纲忆知1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义； 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． (二)小题查验 1．判断正误(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量( )(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量( )(3)两个向量的夹角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2( )答案：(1)√ (2)√ (3)×2．(人教A 版教材例题改编)已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，则a ·b ＝________答案：－10基础盘查二 平面向量数量积的性质及其坐标表示 (一)循纲忆知1．掌握数量积的性质及坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；2．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． (二)小题查验 1．判断正误(1)由a ·b ＝0，可得a ＝0或b ＝0( )(2)两向量a ⊥b 的充要条件：a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0( )(3)若a ·b ＞0，则a 和b 的夹角为锐角；若a ·b ＜0，则a 和b 的夹角为钝角( ) 答案：(1)× (2)× (3)×2．(人教A版教材复习题改编)已知|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为30°，则|a－b|＝________.答案：13．已知向量a＝(1,2)，向量b＝(x，－2)，且a⊥(a－b)，则实数x等于________．答案：9基础盘查三平面向量数量积的运算律(一)循纲忆知掌握向量数量积的运算律，并能进行相关计算．(二)小题查验1．判断正误(1)(a·b)·c＝a·(b·c)( )(2)a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c( )答案：(1)×(2)×2．(人教A版教材习题改编)已知单位向量e1，e2的夹角为60°，则向量a＝2e1＋e2与b ＝2e2－3e1的夹角为______．答案：150°对应学生用书P67考点一平面向量的数量积的运算(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]1．平面向量数量积的定义已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos θ叫做a和b的数量积(或内积)，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos θ，规定0·a＝0.2．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.3．平面向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的模|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．[提醒] 投影和两向量的数量积都是数量，不是向量．[题组练透]1．(2015·云南统一检测)设向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a与b的数量积等于( )A ．－72B ．－12C.32D.52解析：选D a ＋2b ＝(－1＋2m,4)，2a －b ＝(－2－m,3)，由题意得3(－1＋2m )－4(－2－m )＝0，则m ＝－12，所以a ·b ＝－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋2×1＝52. 2.(2013·湖北高考)已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB 在CD 方向上的投影为( )A.322B.3152C ．－322D ．－3152解析：选A AB ＝(2,1)，CD ＝(5,5)，由定义知AB 在CD 方向上的投影为AB ·CD|CD |＝1552＝322.3．(2014·重庆高考)已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b |＝10，则a ·b ＝________.解析：因为a ＝(－2，－6)， 所以|a |＝－2＋－2＝210，又|b|＝10，向量a 与b 的夹角为60°，所以a ·b ＝|a|·|b|·cos 60°＝210×10×12＝10.答案：104．(2015·东北三校联考)已知正方形ABCD 的边长为2，DE ＝2EC ，DF ＝12(DC ＋DB )，则BE ·DF ＝________.解析：如图，以B 为原点，BC 所在直线为x 轴，AB 所在直线为y轴建立平面直角坐标系．则B (0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23，D (2,2)．由DF ＝12(DC ＋DB )知F 为BC 的中点，故BE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23，DF ＝(－1，－2)，∴BE ·DF ＝－2－43＝－103.答案：－103[类题通法]向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a ·b ＝|a ||ba ，b ．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.[提醒] (1)在向量数量积的运算中，若a ·b ＝a ·c (a ≠0)，则不一定得到b ＝c . (2)实数运算满足乘法结合律，但平面向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a ·b )·c 不一定等于a ·(b ·c )．考点二 平面向量数量积的性质(常考常新型考点——多角探明)[必备知识]已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)：[多角探明]平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题．归纳起来常见的命题角度有：(1)平面向量的模； (2)平面向量的夹角； (3)平面向量的垂直. 角度一：平面向量的模1．已知平面向量a ，b 的夹角为π6，且|a |＝3，|b |＝2，在△ABC 中，AB ＝2a ＋2b ，AC ＝2a －6b ，D 为BC 中点，则|AD |等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选A 因为AD ＝12(AB ＋AC )＝12(2a ＋2b ＋2a －6b )＝2a －2b ，所以|AD |2＝4(a －b )2＝4(a 2－2b ·a ＋b 2)＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2×2×3×cos π6＋4＝4，则|AD |＝2.2．(2014·北京高考)已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2,1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|＝________.解析：∵|a |＝1，∴可令a ＝(cos θ，sin θ)， ∵ λa ＋b ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧λcos θ＋2＝0，λsin θ＋1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝－2λ，sin θ＝－1λ.由sin 2θ＋cos 2θ＝1得λ2＝5，得|λ|＝ 5. 答案： 5角度二：平面向量的夹角3．向量a ，b 均为非零向量，(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a ，b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6解析：选B (a －2b )·a ＝|a |2－2a ·b ＝0，(b －2a )·b ＝|b |2－2a ·b ＝0，所以|a |2＝|b |2，即|a |＝|b |，故|a |2－2a ·b ＝|a |2－2|a |2cos 〈a ，b 〉＝0，可得cos 〈a ，b 〉＝12，又因为0≤〈a ，b 〉≤π，所以〈a ，b 〉＝π3.4．(2014·江西高考)已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________.解析：因为a 2＝(3e 1－2e 2)2＝9－2×3×2×cos α＋4＝9，所以|a |＝3，b 2＝(3e 1－e 2)2＝9－2×3×1×cos α＋1＝8，所以|b |＝22，a ·b ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－e 2)＝9e 21－9e 1·e 2＋2e 22＝9－9×1×1×13＋2＝8，所以cos β＝a ·b |a |·|b |＝83×22＝223.答案：223角度三：平面向量的垂直5．(2014·重庆高考)已知向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( )A ．－92B ．0C ．3D.152解析：选C 因为2a －3b ＝(2k －3，－6)，(2a －3b )⊥c ，所以(2a －3b )·c ＝2(2k －3)－6＝0，解得k ＝3，选C.6．在直角三角形ABC 中，已知AB ＝(2,3)，AC ＝(1，k )，则k 的值为________________．解析：①当A ＝90°时，∵AB ⊥AC ，∴AB ·AC ＝0. ∴2×1＋3k ＝0，解得k ＝－23.②当B ＝90°时，∵AB ⊥BC ，又BC ＝AC －AB ＝(1，k )－(2,3)＝(－1，k －3)， ∴AB ·BC ＝2×(－1)＋3×(k －3)＝0， 解得k ＝113.③当C ＝90°时，∵AC ⊥BC ，∴1×(－1)＋k (k －3)＝0， 即k 2－3k －1＝0.∴k ＝3±132.答案：－23或113或3±132.[类题通法]平面向量数量积求解问题的策略(1)求两向量的夹角：cos θ＝a ·b|a |·|b |，要注意θ∈[0，π]．(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a －b |＝|a ＋b |.(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有： ①a 2＝a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a . ②|a ±b |＝a ±b2＝a 2±2a ·b ＋b 2.③若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2.考点三 平面向量与三角函数的综合(重点保分型考点——师生共研)[典题例析](2013·江苏高考)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0<β<α<π. (1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值． 解：(1)证明：由题意得|a －b |2＝2， 即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2. 又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1，所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1.由此得，cos α＝cos (π－β)， 由0<β<π，得0<π－β<π.又0<α<π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1， 得sin α＝sin β＝12，而α>β，所以α＝5π6，β＝π6.[类题通法]平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．[演练冲关]已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2，sin 3x 2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2，sin x 2，c ＝(3，－1)，其中x ∈R ，(1)当a ·b ＝12时，求x 的取值集合；(2)设函数f (x )＝(a －c )2，求f (x )的最小正周期及其单调递增区间．解：(1)∵a ·b ＝cos 3x 2cos x 2＋sin 3x 2sin x 2＝cos x ＝12，∴x ＝2k π±π3(k ∈Z )．∴所求x 的取值集合为xx ＝2k π±π3，k ∈Z .(2)∵a －c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2－3，sin 3x 2＋1，∴f (x )＝(a －c )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2－32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3x 2＋12＝5－23cos 3x 2＋2sin 3x 2＝5＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 3x 2－32cos 3x 2＝5＋4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－π3. ∴最小正周期为T ＝2π32＝4π3.由2k π－π2≤3x 2－π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得4k π3－π9≤x ≤4k π3＋5π9(k ∈Z )． ∴单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π3－π9，4k π3＋5π9(k ∈Z )．对应A 本课时跟踪检测二十七一、选择题1．(2015·惠州调研)已知向量p ＝(2，－3)，q ＝(x,6)，且p ∥q ，则|p ＋q |的值为( ) A. 5 B.13 C ．5D ．13解析：选 B 由题意得2×6＋3x ＝0⇒x ＝－4⇒|p ＋q |＝|(2，－3)＋(－4,6)|＝|(－2,3)|＝13.2．(2015·长春调研)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)，若λ为实数，(b ＋λa )⊥c ，则λ的值为( )A ．－311B ．－113C.12D.35解析：选A b ＋λa ＝(1,0)＋λ(1,2)＝(1＋λ，2λ)，c ＝(3,4)，又(b ＋λa )⊥c ，∴(b ＋λa )·c ＝0，即(1＋λ，2λ)·(3,4)＝3＋3λ＋8λ＝0，解得λ＝－311，故选A.3．已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(5a －4b )＝0，且|a |＝|b |＝1，则a 与b 的夹角θ为( )A.3π4B.π4C.π3D.2π3解析：选C 因为(a ＋2b )·(5a －4b )＝0，|a |＝|b |＝1， 所以6a ·b －8＋5＝0，即a ·b ＝12.又a ·b ＝|a ||b |cos θ＝cos θ，所以cos θ＝12，因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3.4．在△ABC 中，(BC ＋BA )·AC ＝|AC |2，则△ABC 的形状一定是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选 C 由(BC ＋BA )·AC ＝|AC |2，得AC ·(BC ＋BA －AC )＝0，即AC ·(BC ＋BA ＋CA )＝0,2AC ·BA ＝0，∴AC ⊥BA ，∴A ＝90°.又根据已知条件不能得到|AB |＝|AC |，故△ABC 一定是直角三角形．5．(2015·东北三校联考)已知△ABC 中，|BC |＝10，AB ·AC ＝－16，D 为边BC 的中点，则|AD |等于( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：选 D 由题知AD ＝12(AB ＋AC )，AB ·AC ＝－16，∴|AB |·|AC |cos∠BAC ＝－16.在△ABC 中由余弦定理得，|BC |2＝|AB |2＋|AC |2－2|AB ||AC |cos ∠BAC ，∴102＝|AB |2＋|AC |2＋32，|AB |2＋|AC |2＝68，∴|AD |2＝14(AB 2＋AC 2＋2AB ·AC )＝14(68－32)＝9，∴|AD |＝3，故选D.6．在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则EC ·EM 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32 D.[]0，1解析：选 C 将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E (x,0)，0≤x ≤1.又M ⎝⎛⎭⎪⎫1，12，C (1,1)，所以EM ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－x ，12，EC ＝(1－x,1)，所以EM ·EC ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－x ，12·(1－x,1)＝(1－x )2＋12.因为0≤x ≤1，所以12≤(1－x )2＋12≤32，即EM ·EC 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32.二、填空题7．(2015·北京东城质量检测)已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(1，－2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝________.解析：由题意可得a ·b ＝2×1＋4×(－2)＝－6，∴c ＝a －(a ·b )b ＝a ＋6b ＝(2,4)＋6(1，－2)＝(8，－8)， ∴|c |＝82＋－2＝8 2.答案：8 28．(2015·山西四校联考)圆O 为△ABC 的外接圆，半径为2，若AB ＋AC ＝2AO ，且|OA |＝|AC |，则向量BA 在向量BC 方向上的投影为________．解析：∵AB ＋AC ＝2AO ，∴O 是BC 的中点，故△ABC 为直角三角形．在△AOC 中，有|OA |＝|AC |，∴∠B ＝30°.由定义，向量BA 在向量BC 方向上的投影为|BA |cos ∠B ＝23×32＝3. 答案：39．单位圆上三点A ，B ，C 满足OA ＋OB ＋OC ＝0，则向量OA ，OB 的夹角为________．解析：∵A ，B ，C 为单位圆上三点， ∴|OA |＝|OB |＝|OC |＝1， 又OA ＋OB ＋OC ＝0， ∴－OC ＝OB ＋OA ，∴OC 2＝(OB ＋OA )2＝OB 2＋OA 2＋2OB ·OA ，可得cos 〈OA ，OB 〉＝－12，∴向量OA ，OB 的夹角为120°. 答案：120°10．(2014·江苏高考)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP ＝3PD ，AP ·BP ＝2，则AB ·AD 的值是________．解析：因为AP ＝AD ＋DP ＝AD ＋14AB ，BP ＝BC ＋CP ＝AD －34AB ，所以AP ·BP ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD ＋14 AB ·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD －34 AB ＝|AD |2－316|AB |2－12AD ·AB ＝2，将AB ＝8，AD ＝5代入解得AB ·AD ＝22. 答案：22 三、解答题11．已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°. (1)计算：①|a ＋b |，②|4a －2b |； (2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b )．解：由已知得，a ·b ＝4×8×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－16. (1)①∵|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝16＋2×(－16)＋64＝48，∴|a ＋b |＝4 3. ②∵|4a －2b |2＝16a 2－16a ·b ＋4b 2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768， ∴|4a －2b |＝16 3.(2)∵(a ＋2b )⊥(k a －b )，∴(a ＋2b )·(k a －b )＝0， ∴k a 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0，即16k －16(2k －1)－2×64＝0.∴k ＝－7. 即k ＝－7时，a ＋2b 与k a －b 垂直．12．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(－1,2)，又点A (8,0)，B (n ，t )，C (k sin θ，t )⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2.(1)若AB ⊥a ，且|AB |＝5|OA |，求向量OB ；(2)若向量AC 与向量a 共线，当k ＞4，且t sin θ取最大值4时，求OA ·OC . 解：(1)由题设知AB ＝(n －8，t )， ∵AB ⊥a ，∴8－n ＋2t ＝0. 又∵5|OA |＝|AB |，∴5×64＝(n －8)2＋t 2＝5t 2，得t ＝±8.当t ＝8时，n ＝24；t ＝－8时，n ＝－8， ∴OB ＝(24,8)或OB ＝(－8，－8)． (2)由题设知AC ＝(k sin θ－8，t )， ∵AC 与a 共线，∴t ＝－2k sin θ＋16，t sin θ＝(－2k sin θ＋16)sin θ＝－2k ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－4k2＋32k. ∵k ＞4，∴0＜4k＜1，∴当sin θ＝4k 时，t sin θ取得最大值32k.由32k＝4，得k ＝8，此时θ＝π6，OC ＝(4,8)．∴OA ·OC ＝(8,0)·(4,8)＝32.第四节数系的扩充与复数的引入对应学生用书P69基础盘查一 复数的有关概念 (一)循纲忆知1．理解复数的基本概念； 2．理解复数相等的充要条件． (二)小题查验 1．判断正误(1)已知z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0时复数z 为纯虚数( ) (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i( )(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小( ) 答案：(1)× (2)× (3)×2．(人教A 版教材例题改编)如果(x ＋y )＋(y －1)i ＝(2x ＋3y )＋(2y ＋1)i ，则x ＝________，y ＝________.答案：4 －2基础盘查二 复数的几何意义 (一)循纲忆知了解复数的代数表示法及其几何意义． (二)小题查验 1．判断正误(1)原点是实轴与虚轴的交点( )(2)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模( )答案：(1)√ (2)√2．(人教A 版教材习题改编)ABCD 是复平面内的平行四边形，A ，B ，C 三点对应的复数分别是1＋3i ，－i,2＋i ，则点D 对应的复数为________．答案：3＋5i基础盘查三 复数的运算 (一)循纲忆知1．会进行复数代数形式的四则运算；2．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义． (二)小题查验 1．判断正误(1)若复数z 1，z 2满足z 1－z 2＞0，则z 1＞z 2( )(2)复数的减法不满足结合律，即(z 1－z 2)－z 3＝z 1－(z 2＋z 3)可能不成立( ) (3)两个复数的积与商一定是虚数( )(4)复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，后加减( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ 2．(人教A 版教材习题改编)计算： (1)2i 2－i＝________，(2)＋2＋＝________.答案：(1)－25＋45i (2)1－38i对应学生用书P69考点一 复数的有关概念(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]1．复数的概念形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋。
高考数学一轮总复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入4.4数系的扩充与复数的引入模拟演练课件理
根据复数相等的定义，得－ a2＋ 3ab＝2－3， 3b＝1， 解之得ab＝ ＝－ 0 1， 或ab＝ ＝－ 3. 1， ∴z＝－1 或 z＝－1＋ 3i.
12．复数 m(3＋i)－(2＋i)(m∈R，i 为虚数单位)在复平
面内对应的点不可能位于(
)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析 ∵m(3＋i)－(2＋i)＝(3m－2)＋(m－1)i，设在复 平面内对应的点 M 的坐标为(x，y)，
则xy＝ ＝3mm－－1， 2， 消去 m 得 x－3y－1＝0， 因为直线 x－3y－1＝0 经过第一、三、四象限，所以复 数在复平面内对应的点不可能位于第二象限，故选 B.
3．[2016·全国卷Ⅲ]若
z＝1＋2i，则 z
z4－i 1＝(
)
A．1
B．－1
C．i
D．－i
解析
∵
z
z
＝ (1＋
2i)(1 －2i)＝ 5，∴ z
z4－i 1＝44i＝
i，故
选 C.
4．[2015·湖南高考]已知1－z i2＝1＋i(i 为虚数单位)，
则复数 z＝(
)
A．1＋i
B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
13．已知复数 z＝x＋yi，且|z－2|＝ 3，则yx的最大值为 ____3____．
解析 ∵|z－2|＝ x－22＋y2＝ 3 ∴(x－2)2＋y2＝3. 由图可知yxmax＝ 13＝ 3.
14．若虚数 z 同时满足下列两个条件：①z＋5z是实数； ②z＋3 的实部与虚部互为相反数．这样的虚数是否存在？ 若存在，求出 z；若不存在，请说明理由．
(新课标)高考数学大一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入24平面向量的概念及其线性运算课时作
课时作业24 平面向量的概念及其线性运算一、选择题1．下列命题中是真命题的是( )①对任意两向量a ，b ，均有：|a |－|b |<|a |＋|b |； ②对任意两向量a ，b ，a －b 与b －a 是相反向量； ③在△ABC 中，AB →＋BC →－AC →＝0；④在四边形ABCD 中，(AB →＋BC →)－(CD →＋DA →)＝0； ⑤AB →－AC →＝BC →.A ．①②③B ．②④⑤C ．②③④D ．②③解析：①假命题，∵当b ＝0时，|a |－|b |＝|a |＋|b |. ∴①不成立．②真命题．∵(a －b )＋(b －a )＝a ＋(－b )＋b ＋(－a )＝a ＋(－a )＋b ＋(－b )＝(a －a )＋(b －b )＝0，∴a －b 与b －a 是相反向量．③真命题，∵AB →＋BC →－AC →＝AC →－AC →＝0，∴③成立． ④假命题，∵AB →＋BC →＝AC →，CD →＋DA →＝CA →， ∴(AB →＋BC →)－(CD →＋DA →)＝AC →－CA →＝AC →＋AC →≠0. ∴该命题不成立．⑤假命题．∵AB →－AC →＝AB →＋CA →＝CB →≠BC →， ∴该命题不成立． 答案：D2．对于非零向量a 与b ，“a ＋2b ＝0”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：“a ＋2b ＝0”⇒“a ∥b ”，但“a ∥b ” ⇒/ “a ＋2b ＝0”，所以“a ＋2b ＝0” 是“a ∥b ”的充分不必要条件．答案：A3．(2016·济南模拟)已知a ，b 是不共线的向量，若AB →＝λ1a ＋b ，AC →＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，则A ，B ，C 三点共线的充要条件为( )A ．λ1＝λ2＝－1B ．λ1＝λ2＝1C ．λ1λ2－1＝0D ．λ1λ2＋1＝0解析：若A ，B ，C 三点共线，则AB →＝t AC →，即λ1a ＋b ＝t (a ＋λ2b )，∵a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝t ，1＝tλ2，解得λ1λ2＝1.即λ1λ2－1＝0.故选C. 答案：C4．(2016·广东惠州二中模拟)已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且OP →＝3OA →－OB →2，则( )A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的反向延长线上C ．点P 在线段AB 的延长线上D ．点P 不在直线AB 上解析：OP →＝3OA →－OB →2＝32OA →－12OB →＝OA →＋12(OA →－OB →)＝OA →＋12BA →，即OP →－OA →＝AP →＝12BA →，所以点P 在线段AB 的反向延长线上，故选B.答案：B5．如右图所示，向量OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，A ，B ，C 在一条直线上，且AC →＝－3CB →，则( )b 32＋a 12＝－c ．A b12－a 32＝c ．BC ．c ＝－a ＋2bD ．c ＝a ＋2bOB→3－OA →＋OC →3＝)OB →－OC →3(＋OA →＝BC →3＋OA →＝AC →＋OA →＝OC →∵解析： ，OB →3＋OA →＝－OC →2∴ .b 32＋a 12＝－OC →＝c ∴ 答案：A6．(2016·辽宁大连双基检测)若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则向量a ＋b 与a －b 的夹角为()π6A. π3B. 5π6C. 2π3D.，b ＋a ＝AC →，可知ABCD ，作矩形a ＝AD →，b ＝AB →，设b ⊥a 可知|b －a |＝|b ＋a |由解析：＝DOC ∴∠，π3＝AOD ∴∠，AD ＝OD ＝OA ，结合题意可知O 的交点为BD 与AC ，设b －a ＝BD →D.，选2π3的夹角，故所求夹角为BD →与AC →的夹角为b －a 与b ＋a ，又向量2π3答案：DAB→，设F 交于BE 与CD ，EC ＝AE ，DB ＝AD 中，ABC △如图所示，在)北京模拟(2016·．7)(分别为y ，x ，则b y ＋a x ＝AF →，b ＝AC →，a ＝12，12A. 23，23B.13，13C. 12，23D. ，由题，可知BE →λ＝BF →令解析： AF→BF →＋AB →＝ )AB →－AC →12(λ＋AB →＝BE →λ＋AB →＝ ；b λ12＋a )λ－(1＝ .b )μ－(1＋a μ12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →－AC →μ＋AC →＝CD →μ＋AC →＝CF →＋AC →＝AF →，则CD →μ＝CF →同理，令 ⎩⎪⎨⎪⎧ 1－λ＝12μ，12λ＝1－μ，由对应系数相等，可得 ⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，μ＝23，解得 .b 13＋a 13＝AF →所以 .13＝y ，13＝x 故 故选C.答案：C＝AP →的充要条件是)C ，A 不包括端点(上AC 在对角线P 是菱形，点ABCD ．已知四边形8)(的取值范围是λ，则)AD →＋AB →(λ A ．λ∈(0,1)B ．λ∈(－1,0) ) 22，(0∈λ．C0)，22－(∈λ．D解析：如图所示，∵点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，λ∴，<1λ＝|AP →||AC →|∴，|AC →|<|AP →|又>0.λ同向知，AC →与AP →．由)AD →＋AB →(λ＝AC →λ＝AP →∴∈(0,1)，反之亦然．答案：A为实α，m ，λ，其中⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 2＋sinα＝b ，)α2cos －2λ，2＋λ(＝a ．已知向量9)(的取值范围是λm ，则b 2＝a 数．若 A ．[－6,1]B ．[4,8]C ．(－6,1]D ．[－1,6] ＋m ＝α2cos －2λ，且m 2＝2＋λ，依题意得)α2sin ＋m ，m (2＝b 2由题，知解析：＝－4＋αsin 4＋α22sin ＝－λ－2λ2，即α4sin ＋2＋λ＝α22cos －2λ2，于是α2sin ＝λm，则≤2λ≤32解得－⎩⎪⎨⎪⎧2λ2－λ≤6，2λ2－λ≥－2，，即≤6λ－2λ2≤2，故－6＋21)－α2(sinA.．故选6,1]－[∈4λ＋2－2＝λλ2＋1答案：A10．已知O 为平面上的一个定点，A 、B 、C 是该平面上不共线的三个动点，点P 满足条＋OB →＋OC →2＝OP →件 ) (的ABC △的轨迹一定通过P ，则动点∞)，＋(0∈λ，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|cosB ＋AC →|AC →|cosC λ A ．重心 B ．垂心 C ．外心D ．内心 ，OD →＝OB →＋OC →2，则D 的中点为BC 设线段解析： ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|cosB ＋AC →|AC →|cosC λ＋OB →＋OC→2＝OP →∴ ，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|cosB ＋AC →|AC →|cosC λ＋OD →＝ ，DP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|cosB ＋AC →|AC →|cosC λ＝OD →－OP →∴ BC →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|cosB ＋AC →|AC →|cosC λ＝BC →·DP →∴ ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →·BC →|AB →|cosB ＋AC →·BC →|AC →|cosC λ＝ ⎝⎛⎭⎪⎪⎫|AB →||BC →|cos π－B |AB →|cosB ＋|AC →||BC →|cosC |AC →|cosC λ＝ ，0＝|)BC →|＋|BC →|－(λ＝ ∴DP ⊥BC ，即点P 一定在线段BC 的垂直平分线上，即动点P 的轨迹一定通过△ABC 的外心，选C.答案：C 二、填空题的面ABC △，则0＝OC →3＋OB →2＋OA →的内部，且有ABC △在O 设)吉林长春一模(2016·．11积与△AOC 的面积之比为________．，即0＝)OC →＋OB →2(＋)OC →＋OA →(，则已知条件可化为N ，M 的中点分别为BC ，AC 设解析：上的一个三等分MN 为中位线O 三点共线，即N ，O ，M ，说明ON →2＝－OM →，所以0＝ON →4＋OM →2 3.＝S△ABC S△AOC，所以ABC △S 13＝ABC △S 12·23＝ANC △S 23＝AOC△S点， 答案：3，B ，A ，且b －a 2＝CD →，b ＋a ＝CB →，b k ＋a 2＝AB →是两个不共线的向量，若b 和a ．设12D 三点共线，则实数k 的值等于________．，BD →∥AB →∴三点共线，D ，B ，A ∵解析： ，b 2－a ＝CD →＋BC →＝BD →，b k ＋a 2＝AB →∵ ∴k ＝－4.故填－4.答案：－4．________的值为mn，则AC →n ＋AB →m ＝AD →，DC →2＝BD →中，C AB △．在13 BC→23＋AB →＝BD →＋AB →＝AD →：1方法解析： ，AC →23＋AB →13＝)AB →－AC →(23＋AB →＝ .12＝m n ，23＝n ，13＝m ∴ ，DC →2＝BD →∵：2方法 ，)AD →－AC →2(＝AB →－AD →∴ ，AC →23＋AB →13＝AD →∴ .23＝n ，13＝m 得 .12＝m n ∴ 12答案： 14．(2016·山东淄博一模)定义域为[a ，b ]的函数y ＝f (x )的图象的两个端点为A ，B ，－(1＋OA →λ＝ON →，向量)R ∈λ(b )λ－(1＋λa ＝x 图象上任意一点，其中)x (f 是)y ，x (M ＝y ．若函数”阶线性近似k “上]b ，a [在)x (f 成立，则称函数恒k |≤MN →|，若不等式OB →)λ．________的取值范围为k ，则实数”阶线性近似k “上[1,2]在1x ＋x，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52B ，(1,2)A ，所以2＝b ，1＝a 由题意知解析： ．3)＋x (12＝y 的方程为AB 所以直线 ，λ－2＝)λ－2(1＋λ＝b )λ－(1＋λa ＝M x 因为 ON→－2＝N x ，所以⎝⎛⎭⎪⎫2－λ，52－λ2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52)·λ－(1＋(1,2)λ＝OB →)λ－(1＋OA →λ＝λ，M ，N 的横坐标相同，且点N 在直线AB 上．|N y －M y |＝|MN →|所以 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x －12x ＋3＝ .⎪⎪⎪⎪⎪⎪x2＋1x －32＝ .2－32≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x －32＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋1x －32＝|MN →|，所以32≤1x ＋x 2，且2＝x 2·1x ≥21x＋x 2因为.2－32≥k ，所以2－32的最大值为|MN →|即 ∞)，＋2－32[答案： 三、解答题15．(2016·山东莱芜一模)如图，已知△OCB 中，点C 是以A 为中点的点B 的对称点，.b ＝OB →，a ＝OA →，设E 交于点OA 和DC 的一个内分点，12分成OB →是将D ；DC →、OC →表示向量b 和a 用(1) 的值．λ，求实数OA →λ＝OE →若(2)，OB →23＝OD →的中点，且BC 是A 由题意知，(1)解： .OA →2＝OC →＋OB →由平行四边形法则，得 ，b －a 2＝OB →－OA →2＝OC →∴ .b 53－a 2＝b 23－)b －a (2＝OD →－OC →＝DC →.DC →∥EC →如题图，(2) ，b 53－a 2＝DC →，b －a )λ－(2＝a λ－)b －a (2＝OE →－OC →＝EC →∵又 .45＝λ∴，－1－53＝2－λ2∴16．(2016·安徽合肥模拟)在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，．的值μ＋λ，求AN →μ＋AM →λ＝AB →的中点．若BC ⎝ ⎛⎭⎪⎫μ2－1，得)AB →＋AC →(12·μ＋)AC →＋AD →(12·λ＝AB →，得AN →μ＋AM →λ＝AB →：由1方法解：⎝ ⎛⎭⎪⎫14λ＋34μ－1，得0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋μ2＋AD →λ2＋AB →⎝ ⎛⎭⎪⎫μ2－1，得0＝AC →⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋μ2＋AD →λ2＋AB →0.＝AD →⎝⎛⎭⎪⎫λ＋μ2＋AB → 不共线，AD →，AB →又因为 ⎩⎪⎨⎪⎧14λ＋34μ－1＝0.λ＋μ2＝0，所以由平面向量基本定理得 .45＝μ＋λ所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－45，μ＝85.解得方法2：(回路法)连接MN 并延长交AB 的延长线于T ，，AT 45＝AB 由已知易得 ，AN →μ＋AM →λ＝AB →＝AT →45∴ ∵T ，M ，N 三点共线，∴λ＋μ＝45.。
全国通用2018高考数学一轮复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入课件文新人教A版
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
[五年考情]
考点
2016 年
2015 年 2014 年 2013 年 2012 年
平面向量的线性
全国卷
运算
Ⅰ·T6
平面向量基本定 全国卷Ⅱ·T13 全国卷Ⅰ·T2
理及坐标运算
平面向量
全国卷Ⅰ·T13 全国卷Ⅰ·T20
全国卷Ⅰ·T13
的数量积
全国卷Ⅱ·T4
全国卷Ⅲ·T3 全国卷Ⅱ·T4
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网