离散数学习题课2
离散数学习题课2
第二章谓词逻辑
1、在一元谓词逻辑中，分别在（a）（b）（c）时将下面命题符号化并讨论命题的真值：
1）凡是整数都能被2整除
2）有的整数能被2整除
其中（a）：个体域为整数集合；（b）：个体域为偶数集合；（c）个体域为实数集合2、在一元谓词逻辑中将下面命题符号化1）所有的整数，不是负整数，就是正整数，或者是0
2）有的实数是有理数，有的实数是无理数
3）发明家都是聪明的并且勤劳的。王进是发明家。所以王进是聪明的并且是勤劳的。
4）实数不都是有理数
5）不存在能表示成分数的有理数
6）不存在最大的自然数
3、求下列公式的前束范式
1）()()()(,) x F x y G x y ?→?
2）()()()(,) x F x x G x y ?→?
3）()()()(,) x F x x G x y ?→?
4）()(()(,))(()()()(,)) x F x G x y y H y z L y z ?→→?→?
4、人都喜欢吃蔬菜，但不是所有的人都喜欢吃鱼。所以，存在喜欢吃蔬菜而不喜欢吃鱼
的人。F（x）：x为人；G（x）：x喜欢吃蔬菜；H（x）：x喜欢吃鱼
5、没有白色的乌鸦。北京鸭是白色的。因此，北京鸭不是乌鸦。F（x）：x是乌鸦；H（x）：
x是北京鸭；G（x）：x是白色的
离散数学课后习题及答案
离散数学课后习题及答案 离散数学是计算机科学与数学的重要基础课程之一，它涵盖了很多重要的概念和理论。为了更好地掌握离散数学的知识，课后习题是必不可少的一部分。本文将介绍一些常见的离散数学课后习题，并提供相应的答案，希望对读者有所帮助。 一、集合论 1. 设A={1,2,3}，B={2,3,4}，求A∪B和A∩B的结果。 答案：A∪B={1,2,3,4}，A∩B={2,3} 2. 设A={1,2,3}，B={2,3,4}，C={3,4,5}，求(A∪B)∩C的结果。 答案：(A∪B)∩C={3,4} 二、逻辑与命题 1. 判断下列命题的真假： a) 若2+2=5，则地球是平的。 b) 若今天下雨，则我会带伞。 c) 若x>0，则x^2>0。 答案：a)假，b)真，c)真。 2. 用真值表验证下列命题的等价性： a) p∧(q∨r) ≡ (p∧q)∨(p∧r) b) p→q ≡ ¬p∨q 答案：a)等价，b)等价。 三、关系与函数 1. 给定关系R={(1,2),(2,3),(3,4)}，求R的逆关系R^-1。
答案：R^-1={(2,1),(3,2),(4,3)} 2. 设函数f(x)=x^2，g(x)=2x+1，求复合函数f(g(x))的表达式。答案：f(g(x))=(2x+1)^2=4x^2+4x+1 四、图论 1. 给定图G，其邻接矩阵为： 0 1 1 1 0 1 1 1 0 求图G的度数序列。 答案：度数序列为(2,2,2) 2. 判断下列图是否为连通图： a) G1的邻接矩阵为： 0 1 1 1 0 0 1 0 0 b) G2的邻接矩阵为： 0 1 0 1 0 1 0 1 0 答案：a)不是连通图，b)是连通图。 五、组合数学 1. 从10个不同的球中，任选3个，求共有多少种选法。
离散数学 第2章 习题解答
习题 2.1 1．将下列命题符号化。 (1) 4不是奇数。 解：设A(x)：x是奇数。a：4。 “4不是奇数。”符号化为：¬A(a) (2) 2是偶数且是质数。 解：设A(x)：x是偶数。B(x)：x是质数。a：2。 “2是偶数且是质数。”符号化为：A(a)∧B(a) (3) 老王是山东人或河北人。 解：设A(x)：x是山东人。B(x)：x是河北人。a：老王。 “老王是山东人或河北人。”符号化为：A(a)∨B(a) (4) 2与3都是偶数。 解：设A(x)：x是偶数。a：2，b：3。 “2与3都是偶数。”符号化为：A(a)∧A(b) (5) 5大于3。 解：设G(x,y)：x大于y。a：5。b：3。 “5大于3。”符号化为：G(a,b) (6) 若m是奇数，则2m不是奇数。 解：设A(x)：x是奇数。a：m。b：2m。 “若m是奇数，则2m不是奇数。”符号化为：A(a)→A(b) (7) 直线A平行于直线B当且仅当直线A不相交于直线B。 解：设C(x,y)：直线x平行于直线y。设D(x,y)：直线x相交于直线y。a：直线A。b：直线B。 “直线A平行于直线B当且仅当直线A不相交于直线B。”符号化为：C(a,b)↔¬D(x,y) (8) 小王既聪明又用功，但身体不好。 解：设A(x)：x聪明。B(x)：x用功。C(x)：x身体好。a：小王。 “小王既聪明又用功，但身体不好。”符号化为：A(a)∧B(a)∧¬C(a) (9) 秦岭隔开了渭水和汉水。 解：设A(x,y,z)：x隔开了y和z。a：秦岭。b：渭水。c：汉水。 “秦岭隔开了渭水和汉水。”符号化为：A(a,b,c) (10) 除非小李是东北人，否则她一定怕冷。 解：设A(x)：x是东北人。B(x)：x怕冷。a：小李。 “除非小李是东北人，否则她一定怕冷。”符号化为：B(a)→¬A(a) 2．将下列命题符号化。并讨论它们的真值。 (1) 有些实数是有理数。 解：设R(x)：x是实数。Q(x)：x是有理数。 “有些实数是有理数。”符号化为：(∃x)(R(x)∧Q(x))
离散数学 第2章 习题解答
第2章习题解答 2.1 本题没有给出个体域,因而使用全总个体域. (1) 令x (是鸟 x F:) (会飞翔. G:) x x 命题符号化为 x F ?. G x→ ) ( )) ( (x (2)令x x (为人. F:) (爱吃糖 G:) x x 命题符号化为 x F x→ G ?? )) ( ) ( (x 或者 F x? x ∧ ? ) )) ( ( (x G (3)令x x (为人. F:) G:) (爱看小说. x x 命题符号化为 x F ?. G x∧ (x ( )) ( ) (4) x (为人. x F:) (爱看电视. G:) x x 命题符号化为 F x? ∧ ??. x G ( ) ( )) (x 分析 1°如果没指出要求什么样的个体域，就使用全总个休域，使用全总个体域时，往往要使用特性谓词。（1）-（4）中的) F都是特性谓词。 (x 2°初学者经常犯的错误是，将类似于（1）中的命题符号化为 F x ? G x∧ ( )) ( ) (x
即用合取联结词取代蕴含联结词，这是万万不可的。将（1）中命题叙述得更透彻些，是说“对于宇宙间的一切事物百言，如果它是鸟，则它会飞翔。”因而符号化应该使用联结词→而不能使用∧。若使用∧，使（1）中命题变成了“宇宙间的一切事物都是鸟并且都会飞翔。”这显然改变了原命题的意义。 3° （2）与（4）中两种符号化公式是等值的，请读者正确的使用量词否定等值式，证明（2），（4）中两公式各为等值的。 2.2 (1)d (a),(b),(c)中均符号化为 )(x xF ? 其中,12)1(:)(22++=+x x x x F 此命题在)(),(),(c b a 中均为真命题。 （2） 在)(),(),(c b a 中均符号化为 )(x xG ? 其中02:)(=+x x G ，此命题在（a ）中为假命题，在(b)(c)中均为真命题。 （3）在)(),(),(c b a 中均符号化为 )(x xH ? 其中.15:)(=x x H 此命题在)(),(b a 中均为假命题，在(c)中为真命题。 分析 1°命题的真值与个体域有关。 2° 有的命题在不同个体域中，符号化的形式不同，考虑命题 “人都呼吸”。 在个体域为人类集合时，应符号化为 )(x xF ? 这里，x x F :)(呼吸，没有引入特性谓词。 在个体域为全总个体域时，应符号化为 ))()((x G x F x →? 这里，x x F :)(为人，且)(x F 为特性谓词。x x G :)(呼吸。 2．3 因题目中未给出个体域，因而应采用全总个体域。
离散数学第2版课后习题答案
离散数学第2版课后习题答案 离散数学是计算机科学和数学领域中一门重要的学科，它研究离散对象及其关系、结构和运算方法。离散数学的应用非常广泛，包括计算机科学、信息科学、密码学、人工智能等领域。而离散数学第2版是一本经典的教材，它系统地介 绍了离散数学的基本概念、原理和方法。本文将为读者提供离散数学第2版课 后习题的答案，帮助读者更好地理解和掌握离散数学的知识。 第一章：基本概念和原理 1.1 命题逻辑 习题1：命题逻辑的基本符号有哪些？它们的含义是什么？ 答：命题逻辑的基本符号包括命题变量、命题联结词和括号。命题变量用字母 表示，代表一个命题。命题联结词包括否定、合取、析取、条件和双条件等， 分别表示“非”、“与”、“或”、“如果...则...”和“当且仅当”。括号用于改变命题联结 词的优先级。 习题2：列举命题逻辑的基本定律。 答：命题逻辑的基本定律包括德摩根定律、分配律、结合律、交换律、吸收律 和否定律等。 1.2 集合论 习题1：什么是集合？集合的基本运算有哪些？ 答：集合是由一些确定的对象组成的整体，这些对象称为集合的元素。集合的 基本运算包括并、交、差和补等。 习题2：列举集合的基本定律。 答：集合的基本定律包括幂等律、交换律、结合律、分配律、吸收律和德摩根
定律等。 第二章：数理逻辑 2.1 命题逻辑的推理 习题1：什么是命题逻辑的推理规则？列举几个常用的推理规则。 答：命题逻辑的推理规则是用来推导命题的逻辑规则。常用的推理规则包括假 言推理、拒取推理、假言三段论和析取三段论等。 习题2：使用推理规则证明以下命题：如果A成立，则B成立；B不成立，则 A不成立。 答：假言推理规则可以用来证明该命题。根据假言推理规则，如果A成立，则 B成立。又根据假言推理规则，如果B不成立，则A不成立。 2.2 谓词逻辑 习题1：什么是谓词逻辑？它与命题逻辑有何区别？ 答：谓词逻辑是一种扩展了命题逻辑的逻辑系统，它引入了谓词和量词。与命 题逻辑不同，谓词逻辑可以对个体进行量化和描述。 习题2：给定谓词P(x)和命题Q，如何表示“对于所有的x，P(x)蕴含Q”？ 答：可以用量词∀x来表示“对于所有的x”，用蕴含符号→表示蕴含关系。所以，“对于所有的x，P(x)蕴含Q”可以表示为∀x(P(x)→Q)。 第三章：组合数学 3.1 排列与组合 习题1：什么是排列？什么是组合？它们有何区别？ 答：排列是从给定的元素中取出一部分元素按照一定的顺序进行排列的方式。 组合是从给定的元素中取出一部分元素进行组合的方式。区别在于排列考虑了
离散数学课后习题答案二
习题3.7 1. 列出关系}6|{=⋅⋅⋅∈><+ d c b a d c b a d c b a 且，，，，，，Z 中所有有序4元组。 解 }6|{=⋅⋅⋅∈><+ d c b a d c b a d c b a 且，，，，，，Z ,2,1,3,1,3,1,2,1,2,3,1,1,3,2,1,1,1,1,1,6,1,1,6,1,1,6,1,1,6,1,1,1{><><><><><><><><= ><><><><><><><><2,1,1,3,3,1,1,2,1,2,1,3,1,3,1,2,1,1,2,3,1,1,3,2,1,2,3,1,1,3,2,1 2. 列出二维表 3.18所表示的多元关系中所有5元组。假设不增加新的5元组，找出二维表3.18所有的主键码。 表3.18 航班信息 航空公司 航班 登机口 目的地 起飞时间 Nadir 112 34 底特律 08:10 Acme 221 22 丹佛 08:17 Acme 122 33 安克雷奇 08:22 Acme 323 34 檀香山 08:30 Nadir 199 13 底特律 08:47 Acme 222 22 丹佛 09:10 Nadir 322 34 底特律 09:44 解 略 3. 当施用投影运算5,3,2π到有序5元组> 1-1．都是命题： 1-2设 P：明天天气晴朗 Q：我们就去郊游 则P →Q：如果明天天气晴朗，我们就去郊游 1-3根据真值表求公式P → (P∧(Q →R ))的主析取范式。 解 表1.15 例1.42真值表 则P → (P∧(Q →R )) ? (﹁P∧Q∧R )∨(﹁P∧Q∧﹁R )∨(﹁P∧﹁Q∧R )∨ ? (﹁P∧Q∧﹁R )∨(P∧﹁Q∧R )∨(P∧﹁Q∧﹁R )∨(P∧Q∧R ) ■由于任意一组命题变元P1, P2, …, P n的真值指派和它的极小项之间是一一对应的，故可以对极小项进行编码。首先需要规定变元在极小项中的排列次序，假设为P1, P2, …, P n，用m表示极小项，若P i出现在极小项中，则编码的第i个位置上的值为1，否则为0。比如变元P, Q, R（规定次序为P, Q, R）的极小项P∧﹁Q∧﹁R的编码为100，将此极小项记为m100。若将编码看作是一个二进制数，又可将例中的极小项记为m4。用此方法，可以简写所求得的 给定公式的主析取范式。 P → (P∧(Q →R )) ?m0∨m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m7（规定P, Q, R的次序为P, Q, R）公式P → (P∧(Q →R ))的主析取范式。 解P → (P∧(Q →R )) ?﹁P∨(P∧(﹁Q∨R )) ? (﹁P∨P)∧(﹁P∨﹁Q∨R) ? (﹁P∨﹁Q∨R ) ? (﹁P∨﹁Q∨R ) 1-4试证明(﹁P →Q )∧(P →R )∧(﹁Q∨S ) ?S∨R。 证明（1）﹁P →Q P （2）﹁Q∨S P （3）Q →S T, (2), E16 （4）﹁P →S T, (1), (3), I13 （5）﹁S →P T, (4), E18 （6）P →R P （7）﹁S →R T, (5), (6), I13 （8）﹁﹁S∨R T, (7), E16 （9）S∨R T, (8), E1 去找 https://www.360docs.net/doc/b619154494.html, 习题2.1 1.把下列命题翻译成谓词公式： (1) 每个有理数都是实数，但是并非每个实数都是有理数,有些实数是有理数. 解： 设()x A ：x 是实数 ()x B ：x 是有理数，则有： ()()()()∧→?x A x B x ()()()∧→??x B x A x ()()()x B x A x ∧? (2) 直线a 和b 平行当且仅当a 和b 不相交. 解： ()x A ：x 是直线， ()y x F ,：x 与y 平行 ()y x G ,：x 与y 相交，则有： ()()()()()[]b a G b a F b A a A b a ,,??→∧?? (3) 除非所有的会员都参加,这个活动才有意义 解： )(x A ：x 是会员 )(x C ：x 有意义 ),(y x F ：x 参加y a ：这个活动 ()()()()a x F x A x a C ,→?→或者 ()()()a C a x F x A x ?→→??),( （4）任何正整数不是合数就是质数. 解：()x A ：x 是正整数 )(x B ：x 是合数 )(x C ：x 是质 数 ()()()()x C x B x A x ?→? （5）凡是存钱的人都想有利息,如果没有利息,人们就不会存钱 解： ()x A ：x 是人 B （x ）：x 存钱 a ：利息 P:存钱有利息 ()y x F ,：x 想有y ()()()()()()()[]x B x A P a x F x B x A x ?∧→?∧→∧?, 2. 设论域D={0,1,2}.把下列公式用不含量词的公式表示出来. (1) ()()()()()()()210210Q R R P P P ∨∨∧∧∧ (2) ()()][()()]()()[[221100Q P Q P Q P →∧→∧→ （3） 解为：(~P(0)∧~P(1)∧~P(2))∨(Q(0)∨Q(1)∨Q(2)) 3.指出下列公式中的约束变元和自由变元,并确定公式的辖域. （1） 错误!未找到引用源。. P （x ）中的x 为约束变元，辖域为：P （x ）. Q （x ）中的x 为自由变元 （2） 错误!未找到引用源。. （?x ）[P(x)∧Q(x)]中，P(x)和Q(x)中的x 均为约束变元，辖域为P(x)∧Q(x)； （?x ）P(x)∧Q(x)中，P(x)中的x 为约束变元，辖域为P(x)，Q （x ）中的x 为自由变元。 （3） 错误!未找到引用源。 (?x)(?y)[P(x,y)∧Q(a)]中，x,y 是约束变元，辖域为P(x,y)∧Q(a)， Q(a)中的a 为自由变元； (?z)R(x,z)中，z 为约束变元，辖域为R(x,z)，z 为自由变元 4. 对下列公式中的变元进行代换,以使任何变元不能既是约束变元又是自由变元. (1) 错误!未找到引用源。. 解： ()()()[()]()()z y x R z t y Q y x P y x ,,,,?∨→?? （2）错误!未找到引用源。 解为：((?x)[P(x)→R(x)]∨Q(u ))∧((?x)R(x)→(?z)S(v ,z)) 第二章习题 1． 填空 （1）)(x A ，)(y B （2）))()((x A x C x →? （3）))()((y B x A x →? （4）)),()()((y x H y F x F y x ?→∧?? （5）))()((x G x F x ?∧? （6）T （7）)),(),((z y Q y x P y ∧?，),(),(z y Q y x P ∧，),(y x P （8）))()((!x P x Q x ∧? ))()((!!x P x Q x ∧? （9）x y ,和z （10）))()((y R x Q x →?，))(Z )(Q (x x x ∧?，))()(R )(Q (x Z x x x ?∧∧? 2．选择题 （1）B （2）B （3）A （4）B （5）C （6）C （7）B （8）B （9）B （10）D （11）C （12）A 3．下列哪些是谓词公式 解：公式（1）—（8）均为谓词公式。 4．在谓词逻辑中将下列命题符号化 （1）有些汽车比所有火车都跑得慢； 解：令)(x A ：x 是汽车，)(x B ：x 是火车，),(y x C ：x 比y 跑得慢。 符号化为)))),()((()((y x C y B y x A x →?∧? （2）会叫的狗未必会咬人； 解：令)(x A ：x 会叫，)(x B ：x 是狗，)(x C ：x 会咬人 符号化为))()()((x C x B x A x ?∧∧? （3）存在最小自然数 解：令A （x ）:x 是自然数，B （x,y ）：x 小于y 符号化为),()(()((x y B y A y x A x ?→??? （4）对于每个实数都存在比它大的有理数 解：令A （x ）:x 是实数，B （x ）:x 是有理数，R （x,y ）：x 比y 大 符号化为),()(()((x y R y B y x A x ??→? 《离散数学》课程作业（2）-------数理逻辑部分 一、 填空题 1. 将几个命题联结起来，形成一个复合命题的逻辑联结词主要有否定、 、 、 和等值。 2、命题公式G=（P ∧Q ）→R ，则G 共有 个不同的解释；把G 在其所有解释下所取真值列成一个表，称为G 的 ；解释（?P ，Q ，?R ）或（0，1，0）使G 的真值为 。 3、 已知命题公式R Q P G →∧?=)(，则G 的析取范式是 。 4、 求公式)()(R P Q P ∧?∨∧的主析取范式 。 5、 设命题公式)(R Q P G →?→=，则使公式G 为假的解释是 、 和 。 6、在谓次词逻辑中将下面命题符号化：在北京工作的人未必都是北京人（提示：设F （x ）：x 在北京工作。G （x ）：x 是北京人。） 。 7、将公式化成等价的前束范式，=→?→???)))()((),((x R z zQ y x yP x 。 8、设谓词的定义域为},,{c b a ，将表达式)()(x xS x xR ?∧?中的量词消除，写成与之等价的命题公式是 。 二、 单项选择题 1、下列语句中，（ ）是命题。 A ．下午有会吗？ B ．这朵花多好看呀！ C ．2是常数。 D ．请把门关上。 2、一个公式在等价意义下，下面哪个写法是唯一的（ ）。 A ．析取范式 B ．合取范式 C ．主析取范式 D ．以上答案都不对 3、设命题公式P Q P G →∧=)(，则G 是（ ）。 A. 恒假的 B. 恒真的 C. 可满足的 D. 析取范式 4、设命题公式)(), (P Q P H Q P G ?→→=→?=，则G 与H 的关系是（ ）。 以上都不是 。.;.;.;.D H G C G H B H G A =?? 5、已知命题))((R Q P G ∧→?=，则所有使G 取真值1的解释是（ ）。 A （0，0，0），（0，0，1），（1，0，0） B （1，0，0），（1，0，1），（1，1，0） C （0，1，0），（1，0，1），（0，0，1） D （0，0，1），（1，0，1），（1，1，1） 6、设I 是如下一个解释，0 101),(),(),() ,(},,{b b P a b P b a P a a P b a D =， 则在解释I 下取真值为1的公式是（ ）。 ),(.);,(.);,(.);,(.y x yP x D x x xP C y x yP x B y x yP x A ??????? 7、下面给出的一阶逻辑等价式中，（ ）是错的。 )). (()(.)); (()(.); ()())()((.); ()())()((.x B A x x xB A D x A x x xA C x xB x xA x B x A x B x xB x xA x B x A x A →?=?→??=???∨?=∨??∨?=∨? 三、 计算题 1. 求命题公式?（P ∨Q ）?（P ∧Q ）的析取范式与合取范式。 离散数学习题解 第二部分 代数系统 习题四 第四章代数系统 1．设I 为整数集合。判断下面的二元关系是否是I 上的二元运算 a ）+={（x ，y ），z|x ，y ，zI 且z=x+y} b ）－={（（x ，y ），z ）|x ，y ，zI 且z=x －y} c ）3={（（x ，y ），z ）|x ，y ，zI 且z=x 3y} d ）/={（（x ，y ），z ）|x ，y ，zI 且z=x/y} e ）R={（（x ，y ），z ）|x ，y ，zI 且z=x y } f ） ={（（x ，y ），z ）|x ，y ，zI 且z=y x } g ）min = {（（x ，y ），z ）|x ，y ，zI 且z=max （x ，y ）} h ）min = {（（x ，y ），z ）|x ，y ，zI 且z=min （x ，y ）} i ）GCD = {（（x ，y ），z ）|x ，y ，zI 且z= GCD （x ，y ）} j ）LCM={（（x ，y ），z ）|x ，y ，z ∈I 且z= LCM （x ，y ）} [解] a ）是。由于两个整数之和仍为整数，且结果唯一，故知+：I 2→I 是I 上的一个二 元运算。 b ）是。由于两个整数之差仍为整数，且结果唯一，故知一：I 2 →I 是I 上的一个 二元运算。 c ）是。由于两个整数这积仍为整数，且结果唯一，故知x ：I 2→I 是I 上的一个 二元运算。 d ）不是：例如若x=5，y=6，则z=x/y=5/6?I ；当y=0时z=x|y=x/0无定义。 e ）不是。例如若x=2，y= -2，则z=x y =2 –2 = 2 2 1= I 4 1?；若x=y=0，则z=x y =0， 则z=I 2x ?= χ； g ）是。由于两个整数中最大者仍为整数，且结果唯一。故知max ：I 2→I 是I 上 的一个二元运算。 第四章部分课后习题参考答案 3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值: (1) 对于任意x,均有2=(x+)(x). (2) 存在x,使得x+5=9. 其中(a)个体域为自然数集合. (b)个体域为实数集合. 解： F(x): 2=(x+)(x). G(x): x+5=9. (1)在两个个体域中都解释为) ∀，在（a）中为假命题，在(b)中为真命题。 (x xF (2)在两个个体域中都解释为) (x ∃，在（a）(b)中均为真命题。 xG 4. 在一阶逻辑中将下列命题符号化: (1) 没有不能表示成分数的有理数. (2) 在北京卖菜的人不全是外地人. 解: (1)F(x): x能表示成分数 H(x): x是有理数 命题符号化为: )) x x∧ ⌝ ⌝∃ F ( ) ( (x H (2)F(x): x是北京卖菜的人 H(x): x是外地人 命题符号化为: )) x F H x→ ⌝∀ (x ) ( ( 5. 在一阶逻辑将下列命题符号化: (1) 火车都比轮船快. (3) 不存在比所有火车都快的汽车. 解: (1)F(x): x是火车; G(x): x是轮船; H(x,y): x比y快 命题符号化为: )) F x G y x→ ∀ ∀ y ∧ )) ( , ( ) x ((y ( H (2) (1)F(x): x是火车; G(x): x是汽车; H(x,y): x比y快 命题符号化为: ))) y x F G y→ ⌝∃ ∧ ∀ x ( ) ( , H ( x ) (y ( 9.给定解释I如下: (a) 个体域D为实数集合R. 离散数学课后答案 第2章习题解答 2.1 本题没有给出个体域,因而使用全总个体域. (1) 令x (是鸟 F:) x (会飞翔. G:) x x 命题符号化为 x F x→ ∀. )) G ( (x ) ( (2)令x (为人. x F:) (爱吃糖 G:) x x 命题符号化为 G x F x→ ⌝∀ (x )) ( ) ( 或者 x F x⌝ ∧ ∃ (x G )) ( ( ) (3)令x F:) (为人. x G:) (爱看小说. x x 命题符号化为 x F ∃. G x∧ (x ( )) ) ( (4) x (为人. x F:) G:) (爱看电视. x x 命题符号化为 F x⌝ ⌝∃. x ∧ (x )) ( ) G ( 分析 1°如果没指出要求什么样的个体域，就使用全总个 休域，使用全总个体域时，往往要使用特性谓词。（1）-（4）中的)(x F 都是特性谓词。 2° 初学者经常犯的错误是，将类似于（1）中的命题符号化为 ))()((x G x F x ∧∀ 即用合取联结词取代蕴含联结词，这是万万不可的。将（1）中命题叙述得更透彻些，是说“对于宇宙间的一切事物百言，如果它是鸟，则它会飞翔。”因而符号化应该使用联结词→而不能使用∧。若使用∧，使（1）中命题变成了“宇宙间的一切事物都是鸟并且都会飞翔。”这显然改变了原命题的意义。 3° （2）与（4）中两种符号化公式是等值的，请读者正确的使用量词否定等值式，证明（2），（4）中两公式各为等值的。 2.2 (1)d (a),(b),(c)中均符号化为 )(x xF ∀ 其中,12)1(:)(22++=+x x x x F 此命题在)(),(),(c b a 中均为真命题。 （2） 在)(),(),(c b a 中均符号化为 )(x xG ∃ 其中02:)(=+x x G ，此命题在（a ）中为假命题，在(b)(c)中均为真命题。 （3）在)(),(),(c b a 中均符号化为 离散数学课后习题答案 1. 第一章习题答案 1.1 习题一答案 1.1.1 习题一.1 答案 根据题意，设集合A和B如下： Set A and B Set A and B 在此情况下，我们可以得出以下结论： •A的幂集为{ {}, {a}, {b}, {a, b} }； •B的幂集为{ {}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} }； •A和B的笛卡尔积为{ (a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) }。 因此，习题一.1的答案为： •A的幂集为{ {}, {a}, {b}, {a, b} }； •B的幂集为{ {}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} }； •A和B的笛卡尔积为{ (a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) }。 1.1.2 习题一.2 答案 根据题意，集合A和B如下所示： Set A and B Set A and B 根据集合的定义，习题一.2要求我们判断以下命题的真假性： a)$A \\cap B = \\{ 2, 3 \\}$ b)$\\emptyset \\in B$ c)$A \\times B = \\{ (a, 2), (b, 1), (b, 3) \\}$ d)$B \\subseteq A$ 接下来，我们来逐个判断这些命题的真假性。 a)首先计算集合A和B的交集：$A \\cap B = \\{ x \\,|\\, x \\in A \\, \\text{且} \\, x \\in B \\} = \\{ 2, 3 \\}$。因此，命题a)为真。 b)大家都知道，空集合是任意集合的子集，因此空集 合一定属于任意集合的幂集。根据题意，$\\emptyset \\in B$，因此命题b)为真。 c)计算集合A和B的笛卡尔积：$A \\times B = \\{ (x, y) \\,|\\, x \\in A \\, \\text{且} \\, y \\in B \\} = \\{ (a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) \\}$。因此，命题c)为真。 d)如果一个集合的每一个元素都是另一个集合的元素，那么我们可以说后者是前者的子集。根据题意，集合B的所有元素都属于集合A，即$\\forall x (x \\in B \\rightarrow x \\in A)$。因此，命题d)为真。 综上所述，习题一.2的答案为： a)真 b)真 国家开放大学电大本科《离散数学》网络课形考任务2作业及答案形考任务2 单项选择题 题目1 无向完全图电是（）. 选择一项： A.树 B.欧拉图 C.汉密尔顿图 D.非平而图 题目2 已知一棵无向树T中有8个顶点，4度、3度、2度的分支点各一个，T的树叶数为（）. 选择一项： A. 4 B.8 C. 3 D.5 题目3 设无向图G的邻接矩阵为 "0111T 10 0 11 1 0 0 0 0 110 0 1 110 10 ■ ■ 则G的边数为（）・ 选择一项： A.7 B.14 C. 6 D. 1 题目4 如图一所示，以下说法正确的是（）・ 选择一项： A.（（a, e） , （b, c））是边割集 B.（（a, e）｝是边割集 c. （（d, e）｝是边割集 D. （（a, e）｝是割边 题目5 以下结论正确的是（）. 选择一项： A.有n个结点n—l条边的无向图都是树 B.无向完全图都是平面图 C.树的每条边都是割边 D.无向完全图都是欧拉图 题目6 若G是一个欧拉图，则G一定是（）. 选择一项： A.汉密尔顿图 B.连通图 C.平而图 D.对偶图 题目7 设图G= 设有向图（a）、（b）、（c）与（d）如图五所示，则下列结论成立的是（）. 选择一项： 《离散数学》习题一参考答案 第一节 集合的基数 1.证明两个可数集的并是可数集。 证明：设A ，B 是两可数集，},,,,,{321 n a a a a A =，},,,,,{321 n b b b b B = ⎪⎩ ⎪⎨⎧-→j b i a N B A f j i 212: ，f 是一一对应关系，所以|A ∪B|=|N|=0ℵ。 2．证明有限可数集的并是可数集 证：设k A A A A 321,,是有限个可数集，k i a a a a A in i i i i ,,3,2,1),,,,,(321 == ⎪⎩ ⎪⎨⎧+-→==i k j a N A A f ij k i i )1(:1 ，f 是一一对应关系，所以|A|=| k i i A 1=|=|N|=0ℵ。 3.证明可数个可数集的并是可数集。 证：设 k A A A A 321,,是无限个可数集， ,3,2,1),,,,,(321==i a a a a A in i i i i ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨⎧+-+-+→=∞=i j i j i a N A A f ij i i )2)(1(21:1 ， 所以f 是一一对应关系，所以|A|=| ∞=1 i i A |=|N|=0 ℵ。 4.证明整系数多项式所构成的集合是可数集。 证明：设整系数n 次多项式的全体记为 }|{1110Z a a x a x a x a A i n n n n n ∈++++=-- 则整系数多项式所构成的集合 ∞ ==1N n A A ； 由于k x 的系数k a 是整数，那么所有k x 的系数的全体所构成的集合是可数集，由习题2“有限个可数集的并是可数集”可得n A 是可数集，再又习题4“可数个可数集的并是可数集”得出整系数多项式所构成的集合 ∞ ==1N n A A 也是可数集。 离散数学第2章习题解答 习题 2.1 1．将以下命题符号化。 (1) 4不是奇数。 解：设A(x)：x是奇数。a：4。 “4不是奇数。”符号化为：172;A(a) (2) 2是偶数且是质数。 解：设A(x)：x是偶数。B(x)：x是质数。a：2。 “2是偶数且是质数。”符号化为：A(a)∧B(a) (3) 老王是山东人或河北人。 解：设A(x)：x是山东人。B(x)：x是河北人。a：老王。 “老王是山东人或河北人。”符号化为：A(a)B(a) (4) 2与3都是偶数。 解：设A(x)：x是偶数。a：2，b：3。 “2与3都是偶数。”符号化为：A(a)∧A(b) (5) 5大于3。 解：设G(x,y)：x大于y。a：5。b：3。 “5大于3。”符号化为：G(a,b) (6) 假设m是奇数，那么2m不是奇数。 解：设A(x)：x是奇数。a：m。b：2m。 “假设m是奇数，那么2m不是奇数。”符号化为：A(a)→A(b) (7) 直线A平行于直线B当且仅当直线A不相交于直线B。 解：设C(x,y)：直线x平行于直线y。设D(x,y)：直线x相交于直线y。a：直线A。b：直线B。 “直线A平行于直线B当且仅当直线A不相交于直线B。”符号化为：C(a,b) 172;D(x,y) (8) 小王既聪明又用功，但身体不好。 解：设A(x)：x聪明。B(x)：x用功。C(x)：x身体好。a：小王。 “小王既聪明又用功，但身体不好。”符号化为：A(a)∧B(a)∧172;C(a) (9) 秦岭隔开了渭水和汉水。 解：设A(x,y,z)：x隔开了y和z。a：秦岭。b：渭水。c：汉水。 “秦岭隔开了渭水和汉水。”符号化为：A(a,b,c) (10) 除非小李是东北人，否那么她一定怕冷。 解：设A(x)：x是东北人。B(x)：x怕冷。a：小李。 “除非小李是东北人，否那么她一定怕冷。”符号化为：B(a)→172;A(a) 2．将以下命题符号化。并讨论它们的真值。 (1) 有些实数是有理数。 解：设R(x)：x是实数。Q(x)：x是有理数。 “有些实数是有理数。”符号化为：( x)(R(x)∧Q(x)) 习 题 二 1.确定下列二元关系： （1）{}{}{}B A B A y x y x R B A ⨯⊆∈=== ,,,5,3,1,3,2,1 （2）{}{} A A x y x R A y ⨯⊆===2,,8,6,5,4,3,2,1,0 分析：本题主要运用知识为集合的交、关系以及笛卡尔积的定义。 解：(1) R =<><><><>{,,,,,,,}11133133 (2) R =<><><><>{,,,,,,,}10214283 2. 请分别给出满足下列要求的二元关系的例子： （1）既是自反的，又是反自反的； （2）既不是自反的，又不是反自反的； （3）既是对称的，又是反对称的； （4）既不是对称的，又不是反对称的. 分析 本题主要考察关系的5个性质（自反性、反自反性、对称性、反对称性、传递性）。 解：设R 是定义在集合A 上的二元关系。 (1) 令A =∅，则R =∅，于是R 既是自反又是反自反的； (2) 令A R ==<>{,},{,}1211，于是R 既不是自反又不是反自反的； (3) 令A R ==<><>{,},{,,,}121122，于是R 既是对称又是反对称的； (4) 令A R ==<><><>{,,},{,,,,,}123122113，于是R 既不是对称又不是反对 称的。 3. 设集合A 有n 个元素，试问： （1）共有多少种定义在A 上的不同的二元关系？ （2）共有多少种定义在A 上的不同的自反关系？ （3）共有多少种定义在A 上的不同的反自反关系？ （4）共有多少种定义在A 上的不同的对称关系？ （5）共有多少种定义在A 上的不同的反对称关系？ 分析：本题主要考察知识为二元关系的自反性、反自反性、对称性、反对称性所对应的关系矩阵之性质，本题可以在做完第四题（根据满足某个性质的关系之关系矩阵）之后再来考虑。 解：设A n =，于是 (1) 共有22n 种定义在A 上的不同的二元关系； (2) 共有22n n -种定义在A 上的不同的自反关系； (3) 共有22n n -种定义在A 上的不同的反自反关系； (4) 共有22 21212n n n n n ⋅=-+()/()/ 种定义在A 上的不同的对称关系； (5) 共有02223m n k m k n m m k C -=⋅=⋅∑种定义在A 上的不同的反对称关系，其中，m n n =-()12。 4. 请分别描述自反关系，反自反关系，对称关系和反对称关系的关系矩阵以及关系图的特征. 分析： 本题主要是根据自反关系、反对称关系、对称关系和反对称关系之定义来确定关系矩 阵以及关系图。 解：(1) 自反关系矩阵的主对角线上元素全为1；而关系图中每个结点上都有圈。 (2) 反自反关系矩阵的主对角线上元素全为0; 而关系图中每个结点上均无圈。离散数学练习题2 答案
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