量子力学期中考试试题及答案.

量子力学期中考试试题及答案1．（33分）一维无限深势阱，()()0,0,(),0,x a V x x a ∈⎧⎪=⎨∞∉⎪⎩，微观粒子质量为m ， 能量本征值为：222n n E m a π⎛⎫= ⎪⎝⎭，相应本征函数为：()()2,sinE tE tn n iin x n n aax t x eeπψψ--==，1,2,...n =；已知0t =时，初态波函数为：()()()12,0x A x x ψψψ=+⎡⎤⎣⎦；1.1)将初态波函数：()()()12,0x A x x ψψψ=+⎡⎤⎣⎦归一化，求出归一化因子?A =；（5分） 1.2)求波函数(),?x t ψ=（5分） 1.3)求几率密度：()()()*,,,?w x t x t x t ψψ==（5分）1.4)求位置的平均值：()()()*0,,?ax t x t x x t dx ψψ==⎰（8分）1.5)求动量的平均值：()()()*ˆ,,?ap t x t px t dx ψψ==⎰；（ˆd idx p =）（5分）1.6)求能量平均值：()()*0ˆ,,?aH x t Hx t dx ψψ==⎰；（()22pH V x m=+）（5分） 解： 1.1)()()()2*0,0,0111ax x dx A ψψ=+=⎰；A =； 1.2)()()()1212,E t E t i i x t x e x e ψψψ--⎤=+⎥⎦ 1.3)()()()()()()()()()()()()()()12121222*1212212212121,,,212cos 2E E E E i t i t E E w x t x t x t x x x x e x x e x x x x t ψψψψψψψψψψψψ----⎡⎤==+++⎢⎥⎣⎦⎡⎤=++⎣⎦1.4)()()()()(){}()()()()()()1212***12120022**12122100001201201,,21212cos 222cos 2aa a a a a aE E t aE E t x t x t x x t dx x dx x dx x dx x dx x dxa a x x x dx a x x x dxψψψψψψψψψψψψψψψψ--==++=+++⎧⎫=++⎨⎬⎩⎭=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()212002sin sin aa x xa a x x x dx x dx aππψψ=⎰⎰ 利用：()()1sin sin cos cos 2αβαβαβ=--+⎡⎤⎣⎦ ()()()21200302sin sin 1cos cos aa x xa a ax xa a x x x dx x dx ax dx a ππππψψ==-⎰⎰⎰利用公式：[]()2111cos sin sin sin sin cos x tttt x txdx xd tx x tx txdx tx tx ==-=+⎰⎰⎰计算：()222222222233339000221699cos cos sin cos sin cos a aax x ax x a x ax x a x a a a a a a a a ax dx πππππππππππππ⎡⎤⎡⎤-=+-+⎣⎦⎣⎦=-+=-⎰所以：()()12216cos 29E E ta a xt π-=- 1.5)()()()()()()()()()()()12121212*01212012120ˆ,,1212E t E t E t E t E t E t E t E t aai i i i a i i i i p t x t px t dx ddx x e x e x e x e i dxd dx xe x e x e x e i dx ψψψψψψψψψψ----=⎡⎤⎡⎤=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰()()2cos E t E t n n i i n n x n a a a d x e e dxππψ--= ()()()()()(12121212(112120222220222121sin sin cos cos 2sin cos sin cos E t E t E t E t E t E t E t E tE ai i i i ai i i i x x x x aa a a a a a ix x x x a a a a a a a d p t dx x e x e x e x e idx dxe e e e i dx e ai πππππππππππππψψψψ------⎡⎤⎡⎤=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤=+⋅+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=++⎰⎰)()2122220sincossin cos E tE E taixx x x aaaa a eπππππ-⎡⎤+⎢⎥⎣⎦⎰利用：()()12sin cos sin sin αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦sin cos 0ax x a a dx ππ=⎰，220sin cos 0ax xa a dx ππ=⎰()()()(){}[][]{}{}231200312300123433sin cos sin sin cos cos cos3cos0cos cos0aax x x x a a a a a aa x a xa a a aa a a dx dx πππππππππππππππ⎡⎤=+⎣⎦⎡⎤⎡⎤=--⎣⎦⎣⎦=--+-=+=⎰⎰()()()(){}[][]{}{}231200312300123233sin cos sin sin cos cos cos3cos0cos cos0aax x x x a a a a a aa x a xa a a aa a a dx dx πππππππππππππππ⎡⎤=-⎣⎦⎡⎤⎡⎤=-+⎣⎦⎣⎦=----=-=-⎰⎰所以：(){}{}()()()1212()()()()1212121212122220422443333()()()sincossin cos 482sin sin 33E E tE E tE E tE E tE E tE E taiixx x x a aaa a a iiiiaa a aE E t E E tp t dx e eai eeeeaiai i ai aππππππππππ-----------⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦=+-=-=-=-⎰由1.4)问结果：()()()()121212212222163168sin sin sin 9293E E t E E t E E t E E d a a x t dt m a am πππ----⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭()()()128()sin 3E E t d p t mx t mx t dt a-===- 可见满足Ehrenfest 定理：量子力学中物理量的平均值按经典方程变动。

（曾谨言 卷I 第252页）：22d m r F dt =；dp m r dt=1.6) ()()()222222*12201145ˆ,,22224aH x t H x t dx E E m a m a ma πππψψ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰2．（34分）角动量算符定义为：L r p =⨯；在直角坐标系中，三个分量分别表示为算符形式：x z y y x z z y x L y p z p y z i z y L z p x p z x i x z L x p y p x y i y x ⎛⎫∂∂=-=- ⎪∂∂⎝⎭∂∂⎛⎫=-=- ⎪∂∂⎝⎭⎛⎫∂∂=-=- ⎪∂∂⎝⎭2.1）证明：2,0z L L ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（6分） 2.2）由于2,z L L 对易，()2,z L L 存在共同本征函数，记作：,λμ，相应本征方程为：2,,L λμλλμ=，,,z L λμμλμ=；定义算符：x y L L iL ±=±，证明：,z L L L ±±⎡⎤=±⎣⎦（5分）；2,0L L ±⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（5分）2.3）利用2,0L L ±⎡⎤=⎢⎥⎣⎦；证明：2,,L L L λμλλμ±±=（4分）； 利用,z L L L ±±⎡⎤=±⎣⎦；证明：(),,z L L L λμμλμ±±=±（4分）；可见波函数,L λμ±仍然是()2,z L L 的共同本征态，2L 的本征值不变，z L 本征值增加或减少，L +可解释为“升算符”，使z L 本征值增加，L -可解释为“降算符”，使z L 本征值减少；2.4）L +是“升算符”，有：,,L λμλμ+=+，L +多次左乘共同本征态,λμ使z L 本征值不断增加：,,2L L λμλμ++=+；由于z L 是角动量的z 分量，z L 本征值不能无限增加下去（至少不能大于角动量的模L，z L L ≤=），即z L 本征值存在上限，记为：max lμ=，满足：,0L l λ+=；利用：,0L L l λ-+=，证明2L 的本征值：()21l l λ=+（10分）解：1)[][]()222222,,,,,,0z x y z x z y z x x z x z x y y z y z y xyy x y x x y L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L iL LL L L L L L ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++=++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤=+++⎣⎦⎣⎦=--++=2)[][]()(),,,z z x z y y x x y xy L L L L i L L iL i i L L i L LiL L ±±⎡⎤=±=±-=±+=±±=±⎣⎦22,,0x y L L L L iL ±⎡⎤⎡⎤=±=⎣⎦⎢⎥⎣⎦3)22,,,,L L L L L L λμλμλλμλλμ±±±±===(),,z z L L L L L λμλμ±±±-=±⇒,,,z L L L L λμμλμλμ±±±-=±⇒(),,z L L L λμμλμ±±=±4)()()()()()222222222,,,,,,0x y x y x y x y y x xyz zz L L lL iL L iL lL L iL L iL L lL L L l L L L llll λλλλλμλ-+=-+=++-=+-=--=--=()21l l μ=+**）,λμ一般记作,l m ，本征方程为：()22,1,,,z L l m l l l mL l m m l m⎧=+⎪⎨=⎪⎩，0,1,2,...,m l =±±±；假设：,,,1l m L l m A l m +=+正交归一：1lm lm =，求归一因子,l m A()()(),,,L LL ψϕψϕψϕ+++-==，利用：()x yx y L iL L iL ++=-()()()()()*222222*,1,1(1),1,1lm lm zz lm lm lm L L lm L Llm L Llm l m A A l m lm L L L lm lm l l m m lm A A l m l m +-+-+++===++⎡⎤=--=+--=++⎣⎦[]22(1)(1)lm A l l m m =+-+，,(1),1L l m l l m +=+-+假设：,,,1l m L l m B l m -=-()()()()()*222222*,1,1(1),1,1lm lm zz lm lm lm L L lm L Llm L lmLlm l m B B l m lm L L L lm lm l l m m lm B B l m l m ++-+---===--⎡⎤=-+=+-+=--⎣⎦[]22(1)(1)lm B l l m m =+--，,(1),1L l m l l m -=+--,(1),1L l m l l m ±=+-±3．（33分）中微子振荡(neutrino oscillation)：实验发现电子中微子(electron neutrino)可以转变为缪子中微子(muon neutrino)。