2020-2021学年江苏省南京市鼓楼区金陵汇文中学八年级(上)期初数学试卷(解析版)

2020-2021学年江苏省南京市鼓楼区金陵汇文中学八年级第一学期期初数学试卷一、选择题（每题2分，共16分）1．如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′＝30°，则∠ACA′的度数为（）A．20°B．30°C．35°D．40°2．下列命题中正确的是（）A．全等三角形的高相等B．全等三角形的中线相等C．全等三角形的角平分线相等D．全等三角形的对应角平分线相等3．下列各条件中，不能作出唯一三角形的是（）A．已知两边和夹角B．已知两角和夹边C．已知两边和其中一边的对角D．已知三边4．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C作射线OC．由此作法便可得△MOC≌△NOC，其依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS5．如图，在△ABC和△DEB中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（）A．BC＝EC，∠B＝∠E B．BC＝EC，AC＝CDC．BC＝EC，∠A＝∠D D．∠B＝∠E，∠A＝∠D6．在如图所示的4×4的正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度数为（）A．330°B．315°C．310°D．320°7．如图，在△ABC中，AQ＝PQ，PR＝PS，若PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为点R、S，下列三个结论：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BPR≌△QPS，其中正确的是（）A．①②③B．①C．①②D．①③8．如图（1），已知两个全等三角形的直角顶点及一条直角边重合．将△ACB绕点C按顺时针方向旋转到△A′CB′的位置，其中A′C交直线AD于点E，A′B′分别交直线AD、AC于点F、G，则在图（2）中，全等三角形共有（）A．5对B．4对C．3对D．2对二、填空题（每题2分，共24分）9．如图，为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背后加钉了一根木条，这样做的道理是．10．如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x＝．11．如图，已知∠B＝∠DEF，AB＝DE，要证明△ABC≌△DEF．（1）若以“ASA”为依据，还需要添加一个条件为；（2）若以“AAS”为依据，还需要添加一个条件为．12．如果△ABC≌△A′B′C′，AB＝24，S△A′B′C′＝180，那么△ABC中AB边上的高是．13．一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、6，若这两个三角形全等，则x+y＝．14．如图，黄芳不小心把一块三角形的玻璃打成三块碎片，现要带其中一块去配出与原来完全一样的玻璃，正确的办法是带来第块去配，其依据是根据定理（可以用字母简写）15．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD，垂足为点E．若四边形ABCD的面积为16，则BE＝．16．如图，D为Rt△ABC斜边BC上的一点，且BD＝AB，过点D作BC的垂线，交AC于点E，若AE＝12cm，则DE的长为cm．17．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，AD与BE相交于点F，若BF＝AC，则∠ABC＝．18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，线段PQ＝AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP＝时，△ABC和△PQA 全等．三、解答题（共60分）19．计算：（1）（﹣2）3+6×3﹣1﹣（π﹣3.5）0；（2）（a﹣b）2﹣（a﹣b）（a+2b）．20．把下列各式分解因式（1）a2﹣4ab+4b2；（2）16a4﹣4．21．解方程组．22．解不等式组，并写出该不等式组的整数解．23．尺规作图：已有线段a、b，以及∠α，画△ABC，使得∠B＝∠α，AB＝a，AC＝b．24．某小区为了更好的提高业主垃圾分类的意识，管理处决定在小区内安装垃圾分类提示牌和垃圾箱．已知购买3个提示牌和4个垃圾箱共需580元，且提示牌的单价比垃圾箱便宜40元．（1）求提示牌、垃圾箱的单价分别是多少元？（用二元一次方程组解决）（2）若该小区需要购买提示牌和垃圾箱共100个，且购买提示牌和垃圾箱的总费用不超过8000元，那么最多购买多少个垃圾箱？25．如图，已知△ABC≌△DEF，∠A＝85°，∠B＝60°，AB＝8，EH＝2．（1）求∠F的度数与DH的长；（2）求证：AB∥DE．26．如图，△ABC是等边三角形，AE＝CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于P．（1）求证：△ABE≌△CAD；（2）求∠PBQ的度数．27．CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC ＝∠CFA＝∠α．（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：①如图1，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，则BE CF；（填“＞”，“＜”或“＝”）；EF，BE，AF三条线段的数量关系是：．②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想并证明．参考答案一、选择题（每题2分，共16分）1．如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′＝30°，则∠ACA′的度数为（）A．20°B．30°C．35°D．40°解：∵△ACB≌△A′CB′，∴∠ACB＝∠A′CB′，即∠ACA′+∠A′CB＝∠B′CB+∠A′CB，∴∠ACA′＝∠B′CB，又∠B′CB＝30°∴∠ACA′＝30°．故选：B．2．下列命题中正确的是（）A．全等三角形的高相等B．全等三角形的中线相等C．全等三角形的角平分线相等D．全等三角形的对应角平分线相等解：∵A、B、C项没有“对应”∴错误，而D有“对应”，D是正确的．故选：D．3．下列各条件中，不能作出唯一三角形的是（）A．已知两边和夹角B．已知两角和夹边C．已知两边和其中一边的对角D．已知三边解：A、B、D三个选项分别符合全等三角形的判定方法SAS，ASA，SSS，故能作出唯一三角形；C、只有涉及的两个三角形同为锐角三角形或者钝角三角形或者直角三角形时，才成立．故选：C．4．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C作射线OC．由此作法便可得△MOC≌△NOC，其依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS解：∵在△ONC和△OMC中，∴△MOC≌△NOC（SSS），∴∠BOC＝∠AOC，故选：A．5．如图，在△ABC和△DEB中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（）A．BC＝EC，∠B＝∠E B．BC＝EC，AC＝CDC．BC＝EC，∠A＝∠D D．∠B＝∠E，∠A＝∠D解：∵AB＝DE，∴当BC＝EC，∠B＝∠E时，满足SAS，可证明△ABC≌△DEC，故A可以；当BC＝EC，AC＝DC时，满足SSS，可证明△ABC≌△DEC，故B可以；当BC＝DC，∠A＝∠D时，在△ABC中是ASS，在△DEC中是SAS，故不能证明△ABC≌△DEC，故C不可以；当∠B＝∠E，∠A＝∠D时，满足ASA，可证明△ABC≌△DEC，故D可以；故选：C．6．在如图所示的4×4的正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度数为（）A．330°B．315°C．310°D．320°解：由图可知，∠1所在的三角形与∠7所在的三角形全等，所以∠1+∠7＝90°．同理得，∠2+∠6＝90°，∠3+∠5＝90°．又∠4＝45°，所以∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝315°．故选：B．7．如图，在△ABC中，AQ＝PQ，PR＝PS，若PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为点R、S，下列三个结论：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BPR≌△QPS，其中正确的是（）A．①②③B．①C．①②D．①③解：如图，在RT△APR和RT△APS中，，∴RT△APR≌RT△APS（HL），∴∠AR＝AS，①正确；∠BAP＝∠1，∵AQ＝PQ，∴∠1＝∠2，∴∠BAP＝∠2，∴QP∥AB，②正确，∵△BRP和△QSP中，只有一个条件PR＝PS，再没有其余条件可以证明△BRP≌△QSP，故③错误．故选：C．8．如图（1），已知两个全等三角形的直角顶点及一条直角边重合．将△ACB绕点C按顺时针方向旋转到△A′CB′的位置，其中A′C交直线AD于点E，A′B′分别交直线AD、AC于点F、G，则在图（2）中，全等三角形共有（）A．5对B．4对C．3对D．2对解：旋转后的图中，全等的三角形有：△B′CG≌△DCE，△A′B′C≌△ADC，△AGF ≌△A′EF，△ACE≌△A′CG，共4对．故选：B．二、填空题（每题2分，共24分）9．如图，为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背后加钉了一根木条，这样做的道理是利用三角形的稳定性．解：这样做的道理是利用三角形的稳定性．10．如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x＝20．解：如图，∠A＝180°﹣50°﹣60°＝70°，∵△ABC≌△DEF，∴EF＝BC＝20，即x＝20．故答案为：20．11．如图，已知∠B＝∠DEF，AB＝DE，要证明△ABC≌△DEF．（1）若以“ASA”为依据，还需要添加一个条件为∠A＝∠D；（2）若以“AAS”为依据，还需要添加一个条件为∠ACB＝∠DFE．解：∵∠B＝∠DEF，AB＝DE，（1）添加∠A＝∠D，利用ASA判定△ABC≌△DEF；（2）添加∠ACB＝∠DFE，利用AAS判定△ABC≌△DEF；故答案为：（1）∠A＝∠D；（2）∠ACB＝∠DFE．12．如果△ABC≌△A′B′C′，AB＝24，S△A′B′C′＝180，那么△ABC中AB边上的高是15．解：∵△ABC≌△A′B′C′，S△A′B′C′＝180，∴S△ABC＝180，设AB边上的高是h．则S△ABC＝AB•h，又AB＝24，∴△ABC中AB边上的高h＝180×2÷24＝15．故填15．13．一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、6，若这两个三角形全等，则x+y＝11．解：∵这两个三角形全等，两个三角形中都有2∴长度为2的是对应边，x应是另一个三角形中的边6．同理可得y＝5∴x+y＝11．故答案为：11．14．如图，黄芳不小心把一块三角形的玻璃打成三块碎片，现要带其中一块去配出与原来完全一样的玻璃，正确的办法是带来第③块去配，其依据是根据定理ASA（可以用字母简写）解：因为第③块中有完整的两个角以及他们的夹边，利用ASA易证三角形全等，故应带第③块．故答案为：③；ASA．15．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD，垂足为点E．若四边形ABCD的面积为16，则BE＝4．解：作BF⊥DC于F，如图，∵∠CDA＝90°，BE⊥AD，BF⊥DF，∴四边形BEDF为矩形，∴∠EBF＝90°，即∠EBC+∠CBF＝90°∵∠ABC＝90°，即∠EBC+∠ABE＝90°，∴∠ABE＝∠CBE，在△ABE和△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（AAS），∴BE＝BF，S△ABE＝S△CBF，∴四边形BEDF为正方形，四边形BEDF的面积＝四边形ABCD的面积，∴BE＝＝4．故答案为：4．16．如图，D为Rt△ABC斜边BC上的一点，且BD＝AB，过点D作BC的垂线，交AC于点E，若AE＝12cm，则DE的长为12cm．解：连接BE．∵DE⊥BC，∴∠A＝∠BDE＝90°，在Rt△DBE和Rt△ABE中，，∴Rt△DBE≌Rt△ABE（HL），∴AE＝ED，又∵AE＝12cm，∴ED＝12cm．故答案为：12．17．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，AD与BE相交于点F，若BF＝AC，则∠ABC＝45°．解：∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，∴∠EAF+∠AFE＝90°，∠DBF+∠BFD＝90°，又∵∠BFD＝∠AFE，（对顶角相等）∴∠EAF＝∠DBF，在Rt△ADC和Rt△BDF中，，∴△ADC≌△BDF（AAS），∴BD＝AD，又∵AD⊥BC，∴∠ABC＝∠BAD＝45°．故答案为：45°．18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，线段PQ＝AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP＝5或10时，△ABC和△PQA 全等．解：当AP＝5或10时，△ABC和△PQA全等，理由是：∵∠C＝90°，AO⊥AC，∴∠C＝∠QAP＝90°，①当AP＝5＝BC时，在Rt△ACB和Rt△QAP中∴Rt△ACB≌Rt△QAP（HL），②当AP＝10＝AC时，在Rt△ACB和Rt△PAQ中∴Rt△ACB≌Rt△PAQ（HL），故答案为：5或10．三、解答题（共60分）19．计算：（1）（﹣2）3+6×3﹣1﹣（π﹣3.5）0；（2）（a﹣b）2﹣（a﹣b）（a+2b）．解：（1）原式＝﹣8+6×﹣1＝﹣8+2﹣1＝﹣7；（2）原式＝（a﹣b）（a﹣b﹣a﹣2b）＝﹣3b（a﹣b）＝﹣3ab+3b2．20．把下列各式分解因式（1）a2﹣4ab+4b2；（2）16a4﹣4．解：（1）原式＝a2﹣2•a•2b+（2b）2＝（a﹣2b）2；（2）原式＝4（4a4﹣1）＝4（2a2+1）（2a2﹣1）＝4（2a2+1）（a+1）（a﹣1）．21．解方程组．解：，①×2﹣②，得﹣7y＝7，解得y＝﹣1，把y＝﹣1代入①，得x+2＝4，解得x＝2，故方程组的解为：．22．解不等式组，并写出该不等式组的整数解．解：解不等式①，得：x＜2，解不等式②，得：x≥﹣1，则不等式组的解集为﹣1≤x＜2，∴不等式组的整数解为﹣1、0、1．23．尺规作图：已有线段a、b，以及∠α，画△ABC，使得∠B＝∠α，AB＝a，AC＝b．解：如图，△ABC为所求作．24．某小区为了更好的提高业主垃圾分类的意识，管理处决定在小区内安装垃圾分类提示牌和垃圾箱．已知购买3个提示牌和4个垃圾箱共需580元，且提示牌的单价比垃圾箱便宜40元．（1）求提示牌、垃圾箱的单价分别是多少元？（用二元一次方程组解决）（2）若该小区需要购买提示牌和垃圾箱共100个，且购买提示牌和垃圾箱的总费用不超过8000元，那么最多购买多少个垃圾箱？解：（1）设购买提示牌单价x元，垃圾箱单价y元．由题意，得：，解得：，答：提示牌单价60元，垃圾箱单价100元．（2）设购买垃圾箱m个，则购买提示牌（100−m）个．根据题意，得：60（100−m）+100m⩽8000，解得：m⩽50，答：最多购买垃圾箱50个．25．如图，已知△ABC≌△DEF，∠A＝85°，∠B＝60°，AB＝8，EH＝2．（1）求∠F的度数与DH的长；（2）求证：AB∥DE．解：（1）∵∠A＝85°，∠B＝60°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝35°，∵△ABC≌△DEF，AB＝8，∴∠F＝∠ACB＝35°，DE＝AB＝8，∵EH＝2，∴DH＝8﹣2＝6；（2）证明：∵△ABC≌△DEF，∴∠DEF＝∠B，∴AB∥DE．26．如图，△ABC是等边三角形，AE＝CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于P．（1）求证：△ABE≌△CAD；（2）求∠PBQ的度数．【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠C＝60°，在△ABE与△CAD中，，∴△ABE≌△CAD（SAS）；（2）解：∵△ABE≌△CAD（已证），∴∠ABE＝∠DAC，∴∠BPQ＝∠ABE+∠BAP＝∠DAC+∠BAP＝∠BAC＝60°，∵BQ⊥AD，∴∠BQP＝90°，∴∠PBQ＝180°﹣90°﹣60°＝30°．27．CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC ＝∠CFA＝∠α．（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：①如图1，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，则BE＝CF；（填“＞”，“＜”或“＝”）；EF，BE，AF三条线段的数量关系是：EF＝|BE﹣AF|．②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件∠α+∠ACB＝180°．，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想并证明．解：（1）①如图1中，E点在F点的左侧，∵BE⊥CD，AF⊥CD，∠ACB＝90°，∴∠BEC＝∠AFC＝90°，∴∠BCE+∠ACF＝90°，∠CBE+∠BCE＝90°，∴∠CBE＝∠ACF，在△BCE和△CAF中，，∴△BCE≌△CAF（AAS），∴BE＝CF，CE＝AF，∴EF＝CF﹣CE＝BE﹣AF，当E在F的右侧时，同理可证EF＝AF﹣BE，∴EF＝|BE﹣AF|；故答案为＝，EF＝|BE﹣AF|．②∠α+∠ACB＝180°时，①中两个结论仍然成立；证明：如图2中，∵∠BEC＝∠CFA＝∠a，∠α+∠ACB＝180°，∴∠CBE＝∠ACF，在△BCE和△CAF中，，∴△BCE≌△CAF（AAS），∴BE＝CF，CE＝AF，∴EF＝CF﹣CE＝BE﹣AF，当E在F的右侧时，同理可证EF＝AF﹣BE，∴EF＝|BE﹣AF|；故答案为∠α+∠ACB＝180°．（2）结论：EF＝BE+AF．理由：如图3中，∵∠BEC＝∠CFA＝∠a，∠a＝∠BCA，又∵∠EBC+∠BCE+∠BEC＝180°，∠BCE+∠ACF+∠ACB＝180°，∴∠EBC+∠BCE＝∠BCE+∠ACF，∴∠EBC＝∠ACF，在△BEC和△CFA中，，∴△BEC≌△CFA（AAS），∴AF＝CE，BE＝CF，∵EF＝CE+CF，∴EF＝BE+AF．。