第4章轴向拉伸与压缩

第4章轴向拉伸与压缩4.1 轴向拉伸与压缩的概念在建筑物和机械等工程结构中，经常使用受拉伸或压缩的构件。

例如图4.1所示液压传动中的活塞杆，工作时以拉伸和压缩变形为主。

图4.2所示拧紧的螺栓，螺栓杆以拉伸变形为主。

图4.1 图4.2图4.3所示拔桩机在工作时，油缸顶起吊臂将桩从地下拔起，油缸杆受压缩变形，桩在拔起时受拉伸变形，钢丝绳受拉伸变形。

图4.4所示桥墩承受桥面传来的载荷，以压缩变形为主。

图4.3 图4.4图4.5所示钢木组合桁架中的钢拉杆，以拉伸变形为主。

图4.6所示厂房用的混凝土立柱以压缩变形为主。

图4.5 图4.6 在工程中以拉伸或压缩为主要变形的构件，称为拉、压杆，若杆件所承受的外力或外力合力作用线与杆轴线重合，称为轴向拉伸或轴向压缩。

4.2 轴向拉(压)杆的内力与轴力图4.2.1 拉压杆的内力在轴向外力F 作用下的等直杆，如图4.7（a ）所示，利用截面法，可以确定n m -横截面上的唯一内力分量为轴力N F ，其作用线垂直于横截面并通过形心，如图4.7（b ）所示。

图4.7利用平衡方程 0=∑x F得 F F =N通常规定：轴力N F 使杆件受拉为正，受压为负。

4.2.2 轴力图为了表明轴力沿杆轴线变化的情况，用平行于轴线的坐标表示横截面的位置，垂直于杆轴线的坐标表示横截面上轴力的数值，以此表示轴力与横截面位置关系的几何图形，称为轴力图。

作轴力图时应注意以下几点：1、轴力图的位置应和杆件的位置相对应。

轴力的大小，按比例画在坐标上，并在图上标出代表点数值。

2、习惯上将正值（拉力）的轴力图画在坐标的正向；负值（压力）的轴力图画在坐标的负向。

例题4.1 一等直杆及受力情况如图（a ）所示，试作杆的轴力图。

如何调整外力，使杆上轴力分布得比较合理。

例题4.1图解：（1）、求AB 段轴力用假设截面在1–1处截开，设轴力F N 为拉力，其指向背离横截面，由平衡方程得kN 5N1 F （图b ）（2）、同理，求BC 段轴力kN 15kN 10kN 5N2=+=F （图c ）（3）、求CD 段轴力，为简化计算，取右段为分离体kN 30N3=F （图d ）（4）、按作轴力图的规则，作出轴力图，如图（e ）所示。

（5）、轴力的合理分布因为轴力和正应力有正比函数关系。

如果杆件上的轴力减小，应力也减小，杆件的强度就会提高。

因此，有条件地调整杆上外力的分布，可以达到减小轴力，提高杆件强度的目的。

该题若将C 截面的外力kN 15和D 截面的外力kN 30对调，轴力图如（f ）图所示，杆上最大轴力减小了，轴力分布就比较合理。

4.3 轴向拉(压)时横截面上的应力一、应力的概念用截面法可求出拉压杆横截面上分布内力的合力，它只表示截面上总的受力情况。

单凭内力的合力的大小，还不能判断杆件是否会因强度不足而破坏，例如，两根材料相同、截面面积不同的杆，受同样大小的轴向拉力F 作用，显然两根杆件横截面上的内力是相等的，随着外力的增加，截面面积小的杆件必然先断。

这是因为轴力只是杆横截面上分布内力的合力，而要判断杆的强度问题，还必须知道，内力在截面上分布的密集程度（简称内力集度）。

内力在一点处的集度称为应力。

为了说明截面上某一点E 处的应力，可绕E 点取一微小面积A ∆，作用在A ∆上的内力合力记为P ∆（图4.8（a ）），则比值图4.8A F p ∆∆=m称为A ∆上的平均应力。

一般情况下，截面上各点处的内力虽然是连续分布的，但并不一定均匀，因此，平均应力的值将随A ∆的大小而变化，它还不能表明内力在E 点处的真实强弱程度。

只有当A ∆无随缩小并趋于零时，平均应力m p 的极限值p 才能代表E 点处的内力集度。

A F A F p A d d lim 0=∆∆=→∆p 称为E 点处的应力。

应力p 也称为E 点的总应力。

通常应力p 与截面既不垂直也不相切，力学中总是将它分解为垂直于截面和相切于截面的两个分量（图4.8（b ））。

与截面垂直的应力分量称为正应力（或法向应力），用σ表示；与截面相切的应力分量称为剪应力（或切向应力），用τ表示。

应力的单位是帕斯卡，简称为帕，符号为“Pa ”。

1Pa=1N/m2 （1帕=1牛/米2）工程实际中应力数值较大，常用千帕（kPa ）、兆帕（MPa ）及吉帕（GPa ）作为单位。

1kPa=103Pa1MPa=106Pa1GPa=109Pa工程图纸上，长度尺寸常以mm 为单位，则1MPa=106N/m2=106N/106mm2=1N/mm24.3.1 横截面上的应力轴力是轴向拉压杆横截面上的唯一内力分量，但是，轴力不是直接衡量拉压杆强度的指标，因此必须研究拉压杆横截面上的应力，即轴力在横截面上分布的集度，试验方法是研究杆件横截面应力分布的主要途径。

图4.9（a ）表示横截面为正方形的试样，其边长为a ，在试样表面相距l 处画了两个垂直轴线的边框线，m m -和n n -。

试验开始，在试样两端缓慢加轴向外力，当到达F 值时，可以观察到边框线m m -和n n -相对产生了位移l ∆（图4.9b ），同时，正方形的边长a 减小，但其形状保持不变，m m '-'和n n '-'仍垂直轴线。

根据试验现象，可作以下假设：受轴向拉伸的杆件，变形后横截面仍保持为平面，两平面相对的位移了一段距离，这个假设称为平面假设。

根据这个假设，可以推论n m '-'段纵向纤维伸长一样。

根据材料均匀性假设，变形相同，则截面上每点受力相同，即轴力在横截面上分布集度相同（图4.9c ），结论为：轴向拉压等截面直杆，横截面上正应力均匀分布，表达为 A F N =σ 或 ⎰=A F A N d σ （4.1）图4.9经试验证实，以上公式适用于轴向拉压，符合平面假设的横截面为任意形状的等截面直杆。

正应力与轴力有相同的正、负号，即：拉应力为正，压应力为负。

例4.2一阶梯形直杆受力如图（a ）所示，已知横截面面积为,40021mm A = 2322200,300mm A mm A ==，试求各横截面上的应力。

例题4.2图解：（1）、计算轴力，画轴力图利用截面法可求得阶梯杆各段的轴力为F 1=50kN, F 2=-30kN, F 3=10kN, F 4=-20kN 。

轴力图如图（b ）所示。

（2）、计算机各段的正应力AB 段： MPa MPa A F AB 1254001050311=⨯==σ （拉应力） BC 段： MPa MPa A F BC 1003001030322-=⨯-==σ （压应力） CD 段： MPa MPa A F CD 3.333001010323=⨯==σ （拉应力） DE 段： MPa MPa A F DE 1002001020334-=⨯-==σ （压应力） 例4.3 石砌桥墩的墩身高m 10=h ，其横截面尺寸如图所示。

如果载荷kN 1000=F ，材料的重度323kN m γ=，求墩身底部横截面上的压应力。

例题4.3图解：建筑构件自重比较大时，在计算中应考虑其对应力的影响。

墩身横截面面积 2222m 14.94m 2πm 23=⨯+⨯=A 墩身底面应力3332100010N 10m 2310N /m 9.14mF Ah A A γσ⋅⨯=+=+⨯⨯ MPa 34.0Pa 10344=⨯= （压）4.3.2 应力集中的概念轴向拉压杆件，在截面形状和尺寸发生突变处，例如油槽、肩轴、螺栓孔等处，会引起局部应力骤增大的现象，称为应力集中。

应力集中的程度用最大局部应力m ax σ与该截面上的名义应力n σ（不考虑应力集中的条件下截面上的平均应力）的比值表示，即nmax σσ=K （4.2） 比值K 称为应力集中因数。

图4.10在设计时，从以下三方面考虑应力集中对构件强度的影响。

1、 在设计脆性材料构件时，应考虑应力集中的影响。

2、 在设计塑性材料的静强度问题时，通常可以不考虑应力集中的影响。

3、 设计在交变应力作用下的构件时，制造构件的材料无论是塑性材料或脆性材料，都必须考虑应力集中的影响。

4.4 轴向拉(压)时的变形等直杆在轴向外力作用下，其主要变形为轴向伸长或缩短，同时，横向缩短或伸长。

若规定伸长变形为正，缩短变形为负，在轴向外力作用下，等直杆轴向变形和横向变形恒为异号。

4.4.1 轴向变形与胡克定律图示长为l 的等直杆，在轴向力F 作用下，伸长了l l l -=∆1，杆件横截面上的正应力为A F A F N ==σ 轴向正应变为ll ∆=ε （4.3）图4.11试验表明，当杆内的应力不超过材料的某一极限值，则正应力和正应变成线性正比关系。

εσ⋅=E （4.4）式中，E 称为材料的弹性模量，其常用单位为GPa （Pa 10G Pa 19=），各种材料的弹性模量在设计手册中均可以查到。

式（4.4）称为胡克定律，是英国科学家胡克（Robet Hooke ，1635~1703）于1678年首次用试验方法论证了这种线性关系后提出的。

胡克定律的另一种表达式 EAl F l N =∆ （4.5） 式中，EA 称为杆的拉压刚度。

上式只适用于在杆长为l 长度内F N 、E 、A 均为常值的情况下， 即在杆为l 长度内变形是均匀的情况。

4.4.2 横向变形、泊松比横截面为正方形的等截面直杆，在轴向外力F 作用下，边长由a 变为1a ,a a a -=∆1，则横向正应变为aa ∆-='ε （4.6） 试验结果表明，当应力不超过一定限度时，横向应变ε'与轴向应变ε之比的绝对值是一个常数。

即εεν'= 式中，ν称为横向变形因数或泊松比，是法国科学家泊松（Simon Denis Poisson ，1781~1840）于1829年从理论上推演得出的结果，后又经试验验证。

考虑到杆件轴向正应变和横向正应变的正负号恒相反，常表达为νεε-=' （4.7）表4-1给出了常用材料的E 、ν值。

表4.1 常用材料的E 、ν值4.4.3 拉压杆的位移等直杆在轴向外力作用下，发生变形，会引起杆上某点处在空间位置的改变，即产生了位移。

位移与变形密切相关，一根轴向拉压杆的位移可以直接用变形来度量。

在建筑行业，由于构件的自重较大，在求其变形和位移时往往要考虑自重的影响。

例4.4图（a ）所示阶梯形钢杆。

所受荷载1F =30kN ，2F =10kN 。

AC 段的横截面面积A AC =500mm 2，CD 段的横截面面积A CD =200mm 2，弹性模量E=200GPa 。

试求： （1）各段杆横截面上的内力和应力； （2）杆件内最大正应力； （3）杆件的总变形。

例题4.4图解：(1)、计算支反力以杆件为研究对象，受力图如图（b ）所示。