解析几何中的范围问题11.

高考综合复习专题二十四解析几何中的范围问题（研究性学习之二）在直线与圆锥曲线相交问题中，关于直线的斜率或纵截距的取值范围，关于圆锥曲线的离心率、长轴长（或实轴长）、短轴长（或虚轴长）等有关参量的取值范围，是解析几何高考命题以及备考复习的重点问题。对此，一般情况下的解题思路，首先寻觅出（或直接利用）相关的不等式，进而通过这一不等式的演变解出有关变量的取值范围。在这里，我们对寻觅所给问题中相关不等式的主要途径和策略作以研讨。

一、“题设条件中的不等式关系”之运用

事物都是一分为二的。对于题设条件中明朗或隐蔽的不等关系，既可作为推导或求解的条件而增加难度，也可作为探索或寻觅范围的切入点而提供方便。在解决范围问题时，不失时机的利用明显的不等关系或发掘隐匿的不等式，往往成为解题的关键环节.

例1、（2004浙江卷）已知双曲线中心在原点，右顶点为A（1，0），点P、Q在双曲线右支上，点M（m，0）到直线AP的距离为1.

（1）若直线AP的斜率为k，且，求实数m的取值范围；

（2）当时，△APQ的内心恰好是点M，求此双曲线方程.

分析：对于（1），已知直线AP的斜率k的取值范围，要求m的取值范围，首先需要导出k与m的关系式；对于（2），则要利用三角形内心的性质，三角形内心到三边距离相等；三角形内心与任一顶点的连线为相应的角的平分线；三角形面积等于半周长与内切圆半径之积等.至于运用哪一性质，还要视题设条件的具体情况来定夺.

解：

（1）由已知设直线AP的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0

∵点M到直线AP的距离为1

∴①

∵

∴，

解得或

∴所求m的取值范围为.

（2）根据已知条件设双曲线方程为

当时，点M的坐标为（）.

∵A(1,0)，，

∵点M到直线AP的距离为1，

∴△APQ的内切圆半径r＝1，

∴∠PAM＝45°，

（不妨设点P在第一象限）

∴直线PQ的方程为，

直线AP的方程为y＝x－1

因此解得点P的坐标为（）

将点P坐标代入双曲线方程得

∴所求双曲线方程为

即.

点评：这里的（1），是题设条件中明显的不等关系的运用；

这里的（2），审时度势的求解出点P坐标，恰如“四两拨千斤”.同学们请注意：一不要对三角形内心敬而生畏，二不可总想利用某一性质。沉着冷静地分析、认知问题，便会逐渐拨开云雾，寻出解题方向.

例2、（2004全国卷I ）设椭圆的两个焦点是，且椭圆上存在点P使

得直线垂直.

（1）求实数m的取值范围；

（2）设L是相应于焦点的准线，直线与L相交于点Q，若，求直线的方程.

分析：对于（1），要求m的取值范围，首先需要导出相关的不等式，由题设知，椭圆方程为第一标准方程，因而这里应有，便是特设条件中隐蔽的不等关系.

对于（2），欲求直线的方程，注意到这里题设条件与点P的密切关系，故考虑从求点P坐标突破.

解：

（1）由题设知

设点P坐标为，则有

化简得①

将①与联立，解得

∵m>0，且

∴m≥1

即所求m的取值范围为.

（2）右准线L的方程为

设点

∴②（ⅰ）将代入②得

③又由题设知

∴由③得，无解.

（ⅱ）将代入②得

④

∴由题设得

由此解得m＝2

从而有

于是得到直线的方程为

点评：对于（1），解题的关键是发掘并利用题设条件中隐蔽的不等式对于（2），以求解点P

坐标为方向，对已知条件进行“数形转化”，乃是解决此类已知线段长度之比问题的避繁就简的基本策略.

二、“圆锥曲线的有关范围”之运用

我们在学习中已经看到，椭圆、双曲线和抛物线的“范围”，是它们的第一几何性质。事实上，我们研究“范围”，一在于认知：认知圆锥曲线特性；二在于应用：“应用”它们来解决有关问题。

例、以为焦点的椭圆与x轴交于A，B两点

（1）过作垂直于长轴的弦MN，求∠AMB的取值范围；

（2）椭圆上是否存在点P，使∠APB＝120°？若存在，求出椭圆离心率e的取值范围.

解：

（1）基于椭圆的对称性，不妨设定为右焦点，M在第一象限，则易得，

设A(－a,0)，B(a,0)，则∠AMB为直线AM到BM的角，

又

∴利用公式得①

此时注意到椭圆离心率的范围：0

∴②

∴由①②得

由此解得

（2）设椭圆上存在点P使∠APB＝120°

基于椭圆的对称性，不妨设点P（x，y）在第一象限

则有x>0，y>0

∴根据公式得

整理得①

又这里②

∴②代入①得③

此时注意到点P在椭圆上，故得④

∴由③④得

⑤

由⑤得⑥

于是可知，当时，点P存在且此时椭圆离心率的取值范围为；

当时，点P不存在.

三、“一元二次方程有二不等实根的充要条件”之运用

在直线与曲线相交问题中，直线与某圆锥曲线相交的大前提，往往由“相关一元二次方程有二不等实根”来体现。因此，对于有关一元二次方程的判别式△>0，求某量的值时，它是去伪存真的鉴别依据，求某量的取值范围时，它是导出该量的不等式的原始不等关系。

例1、已知椭圆的一个顶点A(0,－1)，焦点在x轴上，且右焦点到直线的距离为3，若斜率不为0的直线l与椭圆交于不同两点M、N，使M、N关于过A点的直线对称，求直线l的斜率取值范围。

解：（既设又解）设右焦点F(c,0)，则由

又b＝1，∴

∴椭圆方程为①

设直线l的方程为y＝kx＋m②

将②代入①得

由题意③

且④

∴

∴点P坐标为

又根据题意知M、N关于直线AP对称，故有

⑤

于是将⑤代入③得

因此可知，所求k的取值范围为.

例2、已知椭圆C的中心在原点上，焦点在x轴上，一条经过点且方向向量为的直线l交椭圆C于A、B两点，交x轴于点M，又

（1）求直线l的方程；

（2）求椭圆C的长轴长的取值范围.

解：

（1）由题意设椭圆C的方程为.

∵直线l的方向向量为

∴亦为直线l的方向向量

∴直线l的斜率

因此，直线l的方程为

即

（2）设

将直线l的方程与椭圆方程联立，消去x得

由题设

①

且②

又这里M(1,0)

∴由得

∴③进而由③得④

∴由④得⑤∴②代入⑤得⑥

⑦

注意到由⑥得

故由⑦得

因而得1

∴由⑦解出代入①并利用⑧得

⑨

另一方面，再注意到，

再由⑦得

.

因此有

即所求椭圆C的长轴的取值范围为.

点评：欲求圆锥曲线的某个重要参数的取值范围，需要利用或挖掘题目中的不等关系.在这里，我们由导出关于a、b的等式⑦之后，一方面利用了本题中人们熟知的△>0确定的不等式，另一方面又利用了颇为隐蔽的新设方程中的大小关系：a>b>0，双方联合推出2a的范围.这里的不等关系的充分挖掘与应用，乃是解题成功的关键.

四、“点在圆锥曲线内部的充要条件”之运用

所给问题中的某些点，注定要在相关圆锥曲线的内部。比如圆锥曲线的弦的内分点，又如圆锥曲线任意两弦的交点等。因此，点在圆锥曲线内部的充要条件，便成为寻求某量的取值范围的基本依据之一。其中，常用的充要条件为：

1、

2、

3、

4、

例、已知椭圆的焦点为，过点且垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，

，又椭圆上不同两点A、C满足条件：成等差数列.

（1）求椭圆的方程；

（2）设弦AC的垂直平分线方程为y＝kx＋m，求m的取值范围.

解：

（1）由题设得2a＝10，c＝4

∴a＝5，b＝3，c＝4

∴椭圆方程为

（2）（设而不解）设

则由题意得

①

故有点

∵A、C在椭圆上

∴

两式相减得

②

∴由①及所设得③

∴弦AC的垂直平分线方程为

∴由题意得④

注意到当x＝4时椭圆上点的纵坐标为，又点在椭圆内部

故得⑤

于是由④、⑤得

∴所求的取值范围为

点评：此题解法充分体现了“以我为主”的思想。以我为主：以我所引入的参数诠释已知条件，以我所引入的参数构造弦的斜率，以我对这一解的认知决定解题策略……，本解法以运用自设参数为主而将所给的y＝kx＋m放在十分次要的位置，从而使我们一直沉浸在所熟悉的探索中，待抬头看题设时，解题已经胜利在望。想一想：这里为什么可以不用直线方程y＝kx＋m与椭圆方程联立。

五、“圆锥曲线的定义或几何性质中隐蔽的不等关系”之运用

“相等”与“不等”是辩证的统一，根据“相等”与“不等”之间相互依存的辩证关系，椭圆与双曲线定义中显示了明朗的“相等”关系，那么必然蕴含这隐蔽的“不等”关系。因此，对于椭圆或双曲线的探求范围问题，适时认知并发掘出本题的不等关系，往往成为解题成败的关键环节。圆锥曲线的定义中隐含的不等关系主要有：

1、

2、

例、已知双曲线的左、右焦点分别为、，若在其左支上存在点P且点P到左准线的距离与成等比数列，求离心率e的取值范围.

分析：寻求e的范围的一般途径为

（1）认知或发掘出本题的不等关系；

（2）将（1）中的不等关系转化为关于a,b,c的不等式；

（3）将（2）中的不等式演变为关于e的不等式，进而通过解这一不等式导出所求范围.

其中，有关双曲线上点P处的两条焦点半径的问题，定义中明朗的等量关系：是认知或求值的理论基础；而定义中隐蔽的不等关系：则是寻求参量范围的重要依据。

解：

（1）确立不等关系

注意到这里①

（2）不等关系演变之一

设左支上的点P到左准线的距离为d，

则由题意得

（变形目的：利用第二定义，寻找两焦半径与e的联系）

∴②

又点P在双曲线左支上

∴（点P在左支这一条件的应用）③

∴由②③解得④

∴将④代入①得⑤

（3）不等关系演变之二：

由⑤得

故解得

于是可知，所求离心率e的范围为