模糊理论及控制
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举例：X={上海 北京 天津 西安}为城市的集合。 模糊集合 C = “对城市的爱好”可以表示为：
C = {(上海,0.8),(北京,0.9), (天津,0.7),(西安,0.6)}
模糊集合 C = “合适的可拥有的自行车数目” C = {(0,0.1),(1,0.3),(2,0.7), (3,1.0),(4,0.7),(5,0.3),(6,0.1)}
-2
-1
0
1
2
3
x
图 三角形隶属函数曲线
例： 设计评价一个学生成绩的隶属函数，在[0，100]之 内按A、B、C、D、E分为五个等级，即{不及格，及格， 中，良，优}。分别采用五个高斯型隶属函数来表示， 建立一个模糊系统，仿真结果如图所示。
Degree of membership
E
D
C
B
A
1
0.8
“学习好”的隶属度为(张三)=0.95，(李四)=0.90，(王五)=0.85。 用“学习好”这一模糊子集A可表示为：
A {0.95,0.90,0.85}
其含义为张三、李四、王五属于“学习好”的程度 分别是0.95，0.90，0.85。
例3.3 以年龄为论域，取 X 0,100
“年轻”的模糊集Y，其隶属函数为：
B 0.3 0.1 0.4 0.6 u1 u2 u3 u4
求A∪B，A∩B
则 A B 0.9 0.2 0.8 0.6 u1 u2 u3 u4
A B 0.3 0.1 0.4 0.5 u1 u2 u3 u4
第三节 隶属函数
一、几种典型的隶属函数
在Matlab中已经开发出了11种隶属函数:
0
Y
(x)
1
x
25 5
2
1
0 x 25 25 x 100
。Zadeh给出了
通过Matlab仿真对 上述隶属函数作图，隶
属函数曲线如图所示。
二、模糊集合的运算
1. 模糊集合的基本运算 由于模糊集合是用隶属函数来表征的，因此两个子
集之间的运算实际上就是逐点对隶属度作相应的运算。
（1）空集 模糊集合的空集为普通集，它的隶属度为0，即
(b) 模糊集合
边界明确
边界不明确
例3.2 设论域U={张三，李四，王五}，评语为“学习好”。 设
三个人学习成绩总评分是张三得95分，李四得90分，王五
得85分，三人都学习好，但又有差异。
若采用普通集合的观点，选取特征函数
1 CA(u) 0
学习好 A 学习差 A
采用隶属函数 A(x) x /100，由三人的成绩可知三人
0.6
0.4
0.2
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
grade
图 高斯型隶属函数曲线
三、隶属函数的确定方法
隶属函数是模糊控制的应用基础。目前还没有成熟的 方法来确定隶属函数，主要还停留在经验和实验的基础上。
（1）模糊统计法 根据所提出的模糊概念进行调查统计，提出与之对
应的模糊集A，通过统计实验，确定不同元素隶属于A 的程度。
模糊集合是以隶属函数来描述的，隶属度的概念 是模糊集合理论的基石。
Crisp Sets(明确集合): Which element belongs to the set? Fuzzy Sets(模糊集合): How much of the element is in the set?
离散形式（有序或无序）：
u 0对模糊集A的隶属度 =
u0 A的次数 试验总次数 N
（2）主观经验法 当论域为离散论域时，可根据主观认识，结合个
人经验，经过分析和推理，直接给出隶属度。这种确 定隶属函数的方法已经被广泛应用。
（3）神经网络法
利用神经网络的学习功能，由神经网络自动生成 隶属函数，并通过网络的学习自动调整隶属函数值。
A={x1,x2,x3,x4} 例如：集合A由 0 到 1 之间的连续实数值组成。
A x, x R,0 x 1.0
以上两个集合是完全不模糊的（又称精确集合）。 对任意元素x，只有两种可能：属于A，不属于A。这
种特性可以用特征函数
来描 A述(x：)
A
(x)
1 0
x A x A
为了表示模糊概念，需要引入模糊集合和隶属函数
并（析取） C AB
交（合取） C max( A(x), B (x)) A(x) B (x)
C AB
补（负）
C min( A (x), B (x)) A B A, A或非A
A (x) 1 A(x)
例3.4 设
A 0.9 0.2 0.8 0.5 u1 u2 u3 u4
A 1 / x1 2 / x2 i / xi
或
A (x1, 1), (x2 , 2 ), , (xi , i ),
② 模糊集合A由连续函数构成，各元素的隶属度就构成 了隶属度函数（Membership Function），此时A表示为：
A A(x) / x
在模糊集合的表达中，符号“/”、“+”和“∫” 不代表数学意义上的除号、加号和积分，它们是模糊 集合的一种表示方式，表示“构成”或“属于”。
模糊理论及控制
内容提要
1.概述 2.模糊集合 3.隶属函数 4.模糊关系 5.模糊推理 6.模糊判决方法 7.模糊逻辑控制器的结构
第一节 概述
一、模糊控制的提出
以往的各种传统控制方法均是建立在被控对象精确 数学模型基础上的，然而，随着系统复杂程度的提高， 将难以建立系统的精确数学模型。
在工程实践中，人们发现，一个复杂的控制系统可 由一个操作人员凭着丰富的实践经验得到满意的控制 效果。这说明，如果通过模拟人脑的思维方法设计控 制器，可实现复杂系统的控制，由此产生了模糊控制。
C = 0.1/0+0.3/1+0.7/2+1.0/4+0.3/5+0.1/6
B
1
/x
R1 ( x 50)4
10
/ 不是除法运算
精确集合
1 模糊集合
X 6
X 6
A 0
A 1
13
X 6
A(x) 1
A(x) [01]
1
13
6
0
0 01 1
1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1
(a) 精确集合
X：称为论域或域
（ “论域”，即讨论的范围， 论域中的每个对象称为“元 素” ）
连续形式:
令X = R+ 为人类年龄的集合, 模糊集合 B = “年龄在50岁左右”则表示为:
B {x, B (x) | x X }
式中：
B
(
x)
1
(
1 x
50)4
10
上述三个例子分别可写为
C = 0.8 /上海+0.9 /北京 +0.7 /天津 +0.6 /西安
A A (u) 0
A = 0/1 + 0/2 + 0/3 then A is empty
（2）全集 模糊集合的全集为普通集，它的隶属度为1，即
A E A(u) 1
（3）等集 两个模糊集A和B，若对所有元素u，它们的隶属
函数相等，则A和B也相等。即
A B A (u) B (u)
A (u0 ) 1 0.8 0.2
（5）子集 若B为A的子集，则
A = 0.3/1 + 0.5/2 + 1/3; B = 0.5/1 + 0.55/2 + 1/3 then A is a subset of B, or A B
B A B (u) A (u)
（6）并集 若C为A和B的并集，则
A = 0.3/1 + 0.5/2 + 1/3 B = 0.3/1 + 0.5/2 + 1/3
（4）补集 若 A 为A的补集，则
A A (u) 1 A (u)
例 如 ， 设 A 为 “ 成 绩 好 ” 的 模 糊 集 ， 某u学0 生
属于“成绩好”的隶属度为A：(u0 ) 0.8
则 u 0 属于“成绩差”的隶属度为：
二、模糊控制的特点
模糊控制是建立在人工经验基础之上的。对于一个 熟练的操作人员，他往往凭借丰富的实践经验，采取适 当的对策来巧妙地控制一个复杂过程。若能将这些熟练 操作员的实践经验加以总结和描述，并用语言表达出来， 就会得到一种定性的、不精确的控制规则。如果用模糊 数学将其定量化就转化为模糊控制算法，形成模糊控制 理论。
双S形隶属函数（dsigmf）、联合高斯型隶属函数 （gauss2mf）、高斯型隶属函数（gaussmf）、广义钟形 隶属函数（gbellmf）、II型隶属函数(pimf)、双S形乘积 隶属函数（psigmf）、S状隶属函数（smf）、S形隶属函 数（sigmf）、梯形隶属函数（trapmf）、三角形隶属函 数（trimf）、Z形隶属函数（zmf）。
第四节 模糊关系
一、模糊关系
例：设有一组同学X，X={张三，李四，王五}，他们的 功课为Y，Y={英语，数学，物理，化学}。他们的考试 成绩如下表：
功课
姓名 张三 李四 王五
英语 数学
70 90 90 85 50 95
物理 化学
80 65 76 70 85 80
取隶属函数 (u) u ，其中u为成绩。则构成一个
一般钟形隶属函数
bell(x; a,b, c) 1
1
xc a
2b
Trig(x;20,60,80)
Trap(x;10,20,60,90)
g(x;50,20)
bell(x:20,4,50)
以钟形函数为例，
bell(x; a,b, c) 1
1
xc a
2b
a,b,c,的几何意义如图所示。
斜率=-b/2a
x×y上的一个模糊关系1R0，0 见下表：
考试成绩表的模糊化
功课
姓名 张三 李四 王五
英语 数学 物理 化学
0.70
0.90 0.80 0.65
0.90
0.85 0.76 0.70
0.50
0.95 0.85 0.80
将上表写成矩阵形式得模糊矩阵：三角形隶属函数来自0trig (
x;
a,
b,
c)
x a ba
cx
cb
0
xa a xb b xc
cx
梯形隶属函数 高斯形隶属函数
0
xa
Trap( x,
a, b,
c,
d)
ba
1
dx
d c
0
1( xc )2
g(x;c, ) e 2
xa a xb b xc cxd
dx
c代表MF的中心； 决定MF的宽度。
的概念：
1 x A
A (x) (0,1) x属于A的程度
0
x A
其中A称为模糊集合.
A (x)表示元素x 属于模糊集合A的程度，取值范围 为[0,1]，称 A (x) 为x 属于模糊集合A的隶属度。
A (x) 表示 x对A的隶属度 A (x) 称为 A的隶属函数
2. 模糊集合的表示
① 模糊集合A由离散元素构成，表示为：
C=A∪B 一般地，
A B AB (u) max( A (u), B (u)) A (u) B (u)
（7）交集 若C为A和B的交集，则
C=A∩B 一般地，
A B A B (u) min( A (u), B (u)) A (u) B (u)
包含或子集： A B A(x) B (x)
三. 模糊控制的发展
1、欧洲和日本
七十年代欧洲进行模糊逻辑在工业控制方面的应用研究： 实现了第一个试验性的蒸汽机控制； 热交换器模糊逻辑控制试验； 转炉炼钢模糊逻辑控制试验； 温度模糊逻辑控制； 十字路口交通控制； 污、废水处理等。
八十年代日本情况： 列车的运行和停车模糊逻辑控制，节能11—14%； 汽车速度模糊逻辑控制（加速平滑、上下坡稳定）； 港口集装箱起重机的小车行走和卷扬机的运行控制； 家电模糊逻辑控制（电饭煲、洗衣机、空调、电冰等）。
c-a c c+a 改变a,b,c,即可改变隶属函数的形状。
二、隶属函数的仿真
例 设计一个三角形隶属函数，按[-3，3]范围七个等级， 建立一个模糊系统，用来表示{负大，负中，负小，零， 正小，正中，正大}。仿真结果如图所示。
1
0.8
Degree of membership
0.6
0.4
0.2
0
-3
工业控制模糊逻辑控制器：玻璃窑炉、水泥回转窑、 PVC树 聚合过程、功率因数补偿等。 自然科学基金重大项目：
“模糊信息处理与机器智能”； “模糊逻辑控制计算机系统”等。
模糊概念
第二节 模糊集合
天气冷热
雨的大小
风的强弱
人的胖瘦
年龄大小
个子高低
一、模糊集合
模糊集合是模糊控制的数学基础。 1．特征函数和隶属函数 在数学上经常用到集合的概念 例如：集合A由4个离散值x1，x2，x3，x4组成。
2、中国
1976年 起步； 1979年 模糊控制器的研究； 1980年 模糊控制器的算法研究； 1982年 磨床研磨表面光洁度模糊控制、开关式液压位置伺服
系统模糊控制研究； 1984年 提出语义推理的自学习方法； 1986年 单片微机比例因子模糊逻辑控制器； 1987年 我国第一台模糊逻辑推理机； 1990年起：
C = {(上海,0.8),(北京,0.9), (天津,0.7),(西安,0.6)}
模糊集合 C = “合适的可拥有的自行车数目” C = {(0,0.1),(1,0.3),(2,0.7), (3,1.0),(4,0.7),(5,0.3),(6,0.1)}
-2
-1
0
1
2
3
x
图 三角形隶属函数曲线
例： 设计评价一个学生成绩的隶属函数，在[0，100]之 内按A、B、C、D、E分为五个等级，即{不及格，及格， 中，良，优}。分别采用五个高斯型隶属函数来表示， 建立一个模糊系统，仿真结果如图所示。
Degree of membership
E
D
C
B
A
1
0.8
“学习好”的隶属度为(张三)=0.95，(李四)=0.90，(王五)=0.85。 用“学习好”这一模糊子集A可表示为：
A {0.95,0.90,0.85}
其含义为张三、李四、王五属于“学习好”的程度 分别是0.95，0.90，0.85。
例3.3 以年龄为论域，取 X 0,100
“年轻”的模糊集Y，其隶属函数为：
B 0.3 0.1 0.4 0.6 u1 u2 u3 u4
求A∪B，A∩B
则 A B 0.9 0.2 0.8 0.6 u1 u2 u3 u4
A B 0.3 0.1 0.4 0.5 u1 u2 u3 u4
第三节 隶属函数
一、几种典型的隶属函数
在Matlab中已经开发出了11种隶属函数:
0
Y
(x)
1
x
25 5
2
1
0 x 25 25 x 100
。Zadeh给出了
通过Matlab仿真对 上述隶属函数作图，隶
属函数曲线如图所示。
二、模糊集合的运算
1. 模糊集合的基本运算 由于模糊集合是用隶属函数来表征的，因此两个子
集之间的运算实际上就是逐点对隶属度作相应的运算。
（1）空集 模糊集合的空集为普通集，它的隶属度为0，即
(b) 模糊集合
边界明确
边界不明确
例3.2 设论域U={张三，李四，王五}，评语为“学习好”。 设
三个人学习成绩总评分是张三得95分，李四得90分，王五
得85分，三人都学习好，但又有差异。
若采用普通集合的观点，选取特征函数
1 CA(u) 0
学习好 A 学习差 A
采用隶属函数 A(x) x /100，由三人的成绩可知三人
0.6
0.4
0.2
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
grade
图 高斯型隶属函数曲线
三、隶属函数的确定方法
隶属函数是模糊控制的应用基础。目前还没有成熟的 方法来确定隶属函数，主要还停留在经验和实验的基础上。
（1）模糊统计法 根据所提出的模糊概念进行调查统计，提出与之对
应的模糊集A，通过统计实验，确定不同元素隶属于A 的程度。
模糊集合是以隶属函数来描述的，隶属度的概念 是模糊集合理论的基石。
Crisp Sets(明确集合): Which element belongs to the set? Fuzzy Sets(模糊集合): How much of the element is in the set?
离散形式（有序或无序）：
u 0对模糊集A的隶属度 =
u0 A的次数 试验总次数 N
（2）主观经验法 当论域为离散论域时，可根据主观认识，结合个
人经验，经过分析和推理，直接给出隶属度。这种确 定隶属函数的方法已经被广泛应用。
（3）神经网络法
利用神经网络的学习功能，由神经网络自动生成 隶属函数，并通过网络的学习自动调整隶属函数值。
A={x1,x2,x3,x4} 例如：集合A由 0 到 1 之间的连续实数值组成。
A x, x R,0 x 1.0
以上两个集合是完全不模糊的（又称精确集合）。 对任意元素x，只有两种可能：属于A，不属于A。这
种特性可以用特征函数
来描 A述(x：)
A
(x)
1 0
x A x A
为了表示模糊概念，需要引入模糊集合和隶属函数
并（析取） C AB
交（合取） C max( A(x), B (x)) A(x) B (x)
C AB
补（负）
C min( A (x), B (x)) A B A, A或非A
A (x) 1 A(x)
例3.4 设
A 0.9 0.2 0.8 0.5 u1 u2 u3 u4
A 1 / x1 2 / x2 i / xi
或
A (x1, 1), (x2 , 2 ), , (xi , i ),
② 模糊集合A由连续函数构成，各元素的隶属度就构成 了隶属度函数（Membership Function），此时A表示为：
A A(x) / x
在模糊集合的表达中，符号“/”、“+”和“∫” 不代表数学意义上的除号、加号和积分，它们是模糊 集合的一种表示方式，表示“构成”或“属于”。
模糊理论及控制
内容提要
1.概述 2.模糊集合 3.隶属函数 4.模糊关系 5.模糊推理 6.模糊判决方法 7.模糊逻辑控制器的结构
第一节 概述
一、模糊控制的提出
以往的各种传统控制方法均是建立在被控对象精确 数学模型基础上的，然而，随着系统复杂程度的提高， 将难以建立系统的精确数学模型。
在工程实践中，人们发现，一个复杂的控制系统可 由一个操作人员凭着丰富的实践经验得到满意的控制 效果。这说明，如果通过模拟人脑的思维方法设计控 制器，可实现复杂系统的控制，由此产生了模糊控制。
C = 0.1/0+0.3/1+0.7/2+1.0/4+0.3/5+0.1/6
B
1
/x
R1 ( x 50)4
10
/ 不是除法运算
精确集合
1 模糊集合
X 6
X 6
A 0
A 1
13
X 6
A(x) 1
A(x) [01]
1
13
6
0
0 01 1
1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1
(a) 精确集合
X：称为论域或域
（ “论域”，即讨论的范围， 论域中的每个对象称为“元 素” ）
连续形式:
令X = R+ 为人类年龄的集合, 模糊集合 B = “年龄在50岁左右”则表示为:
B {x, B (x) | x X }
式中：
B
(
x)
1
(
1 x
50)4
10
上述三个例子分别可写为
C = 0.8 /上海+0.9 /北京 +0.7 /天津 +0.6 /西安
A A (u) 0
A = 0/1 + 0/2 + 0/3 then A is empty
（2）全集 模糊集合的全集为普通集，它的隶属度为1，即
A E A(u) 1
（3）等集 两个模糊集A和B，若对所有元素u，它们的隶属
函数相等，则A和B也相等。即
A B A (u) B (u)
A (u0 ) 1 0.8 0.2
（5）子集 若B为A的子集，则
A = 0.3/1 + 0.5/2 + 1/3; B = 0.5/1 + 0.55/2 + 1/3 then A is a subset of B, or A B
B A B (u) A (u)
（6）并集 若C为A和B的并集，则
A = 0.3/1 + 0.5/2 + 1/3 B = 0.3/1 + 0.5/2 + 1/3
（4）补集 若 A 为A的补集，则
A A (u) 1 A (u)
例 如 ， 设 A 为 “ 成 绩 好 ” 的 模 糊 集 ， 某u学0 生
属于“成绩好”的隶属度为A：(u0 ) 0.8
则 u 0 属于“成绩差”的隶属度为：
二、模糊控制的特点
模糊控制是建立在人工经验基础之上的。对于一个 熟练的操作人员，他往往凭借丰富的实践经验，采取适 当的对策来巧妙地控制一个复杂过程。若能将这些熟练 操作员的实践经验加以总结和描述，并用语言表达出来， 就会得到一种定性的、不精确的控制规则。如果用模糊 数学将其定量化就转化为模糊控制算法，形成模糊控制 理论。
双S形隶属函数（dsigmf）、联合高斯型隶属函数 （gauss2mf）、高斯型隶属函数（gaussmf）、广义钟形 隶属函数（gbellmf）、II型隶属函数(pimf)、双S形乘积 隶属函数（psigmf）、S状隶属函数（smf）、S形隶属函 数（sigmf）、梯形隶属函数（trapmf）、三角形隶属函 数（trimf）、Z形隶属函数（zmf）。
第四节 模糊关系
一、模糊关系
例：设有一组同学X，X={张三，李四，王五}，他们的 功课为Y，Y={英语，数学，物理，化学}。他们的考试 成绩如下表：
功课
姓名 张三 李四 王五
英语 数学
70 90 90 85 50 95
物理 化学
80 65 76 70 85 80
取隶属函数 (u) u ，其中u为成绩。则构成一个
一般钟形隶属函数
bell(x; a,b, c) 1
1
xc a
2b
Trig(x;20,60,80)
Trap(x;10,20,60,90)
g(x;50,20)
bell(x:20,4,50)
以钟形函数为例，
bell(x; a,b, c) 1
1
xc a
2b
a,b,c,的几何意义如图所示。
斜率=-b/2a
x×y上的一个模糊关系1R0，0 见下表：
考试成绩表的模糊化
功课
姓名 张三 李四 王五
英语 数学 物理 化学
0.70
0.90 0.80 0.65
0.90
0.85 0.76 0.70
0.50
0.95 0.85 0.80
将上表写成矩阵形式得模糊矩阵：三角形隶属函数来自0trig (
x;
a,
b,
c)
x a ba
cx
cb
0
xa a xb b xc
cx
梯形隶属函数 高斯形隶属函数
0
xa
Trap( x,
a, b,
c,
d)
ba
1
dx
d c
0
1( xc )2
g(x;c, ) e 2
xa a xb b xc cxd
dx
c代表MF的中心； 决定MF的宽度。
的概念：
1 x A
A (x) (0,1) x属于A的程度
0
x A
其中A称为模糊集合.
A (x)表示元素x 属于模糊集合A的程度，取值范围 为[0,1]，称 A (x) 为x 属于模糊集合A的隶属度。
A (x) 表示 x对A的隶属度 A (x) 称为 A的隶属函数
2. 模糊集合的表示
① 模糊集合A由离散元素构成，表示为：
C=A∪B 一般地，
A B AB (u) max( A (u), B (u)) A (u) B (u)
（7）交集 若C为A和B的交集，则
C=A∩B 一般地，
A B A B (u) min( A (u), B (u)) A (u) B (u)
包含或子集： A B A(x) B (x)
三. 模糊控制的发展
1、欧洲和日本
七十年代欧洲进行模糊逻辑在工业控制方面的应用研究： 实现了第一个试验性的蒸汽机控制； 热交换器模糊逻辑控制试验； 转炉炼钢模糊逻辑控制试验； 温度模糊逻辑控制； 十字路口交通控制； 污、废水处理等。
八十年代日本情况： 列车的运行和停车模糊逻辑控制，节能11—14%； 汽车速度模糊逻辑控制（加速平滑、上下坡稳定）； 港口集装箱起重机的小车行走和卷扬机的运行控制； 家电模糊逻辑控制（电饭煲、洗衣机、空调、电冰等）。
c-a c c+a 改变a,b,c,即可改变隶属函数的形状。
二、隶属函数的仿真
例 设计一个三角形隶属函数，按[-3，3]范围七个等级， 建立一个模糊系统，用来表示{负大，负中，负小，零， 正小，正中，正大}。仿真结果如图所示。
1
0.8
Degree of membership
0.6
0.4
0.2
0
-3
工业控制模糊逻辑控制器：玻璃窑炉、水泥回转窑、 PVC树 聚合过程、功率因数补偿等。 自然科学基金重大项目：
“模糊信息处理与机器智能”； “模糊逻辑控制计算机系统”等。
模糊概念
第二节 模糊集合
天气冷热
雨的大小
风的强弱
人的胖瘦
年龄大小
个子高低
一、模糊集合
模糊集合是模糊控制的数学基础。 1．特征函数和隶属函数 在数学上经常用到集合的概念 例如：集合A由4个离散值x1，x2，x3，x4组成。
2、中国
1976年 起步； 1979年 模糊控制器的研究； 1980年 模糊控制器的算法研究； 1982年 磨床研磨表面光洁度模糊控制、开关式液压位置伺服
系统模糊控制研究； 1984年 提出语义推理的自学习方法； 1986年 单片微机比例因子模糊逻辑控制器； 1987年 我国第一台模糊逻辑推理机； 1990年起：