关于埃尔米特多项式的一些恒等式
07第七章 埃尔米特多项式
π∫
+∞ −x2
−∞
e
f (x)Hn (x)dx
西安理工大学应用数学系
内展成Hermite多项式的级数形式 多项式的级数形式 例2：将f ( x ) = e x 在 ( −∞ , +∞ ) 内展成 多项式 解 ：设 设 则
m
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取
cn = 2n 则 cn−2m = (−1)m
n 2
n! 2n−2m m!(n − 2m)!
，对应多项式
当n为偶数时，有系数 为偶数时，
m
cn , cn−2 , L, c2 , c0
n! y1(x) = ∑(−1) (2x)n−2m 为关于 的偶次方的 为关于x的偶次方的 m!(n − 2m)! m=0 多项式 n! n = (2x) − (2x)n−2 +L (n − 2)! 当n为奇数时，有系数 cn , cn−2 , L, c3 , c1 ，对应多项式 为奇数时，
H1 ( x) = 2 xH 0 ( x)
H n +1 ( x) − 2 xH n ( x) + 2nH n −1 ( x) = 0, n = 1, 2,L
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§7.3
Hermite多项式的正交性及其应用 Hermite多项式的正交性及其应用
结论： 结论：Hermite多项式 {H n ( x)}∞=1 在 ( −∞, +∞) 上关于权函 多项式 n 2 正交， 数 f ( x ) = e − x 正交，即
n! n−2m P (x) = ∑(−1) (2x) 为关于x的奇次方的多项式 为关于 的奇次方的多项式 n m!(n − 2m)! m=0
m
n−1 2
数值分析4-埃尔米特插值
yi +
x − xi xi+1 − xi
yi+1
x ∈ [ xi , xi+1 ]
记
h
=
max
|
xi+1
−
xi
| ，易证：当
h→0 时，P1h (
x)
一致
→f
(x)
y
y= f(x)
y=p(x)
失去了原函数的光滑性。
o
x
分段线性插值的余项
f (x) −
s1 ( x )
≤
max
xi ≤ x ≤ xi+1
-10
解 以泰勒公式，满足条件
q(0) = 2, q ' (0) = −2, q"' (0) = −10 的插值多项式
q(x) = −5x 2 − 2x + 2
令
p(x) = −5x2 − 2x + 2 + x3(ax2 + bx + c)
p′(x) = −10x − 2 + 3x2 (ax2 + bx + c) + x3(2ax + b)
f ′′
x
分段Hermite插值
给定 x0 , ... , x n ; y0 , ... , yn ; y0′ , ... , y′n 导数一般不易得到。
余项
( ) max f 4
( ) f
(x) − s1(x)
≤
xi ≤x≤xi+1
4!
x
⎜⎜⎝⎛ xj
− xi 2
⎟⎟⎠⎞4
≤
hi4 max 384xi ≤x≤xi+1
牛顿形式的埃尔米特插值多项式
期末论文课程名称：数值分析院系名称：巢湖学院数学系所在班级：11级数本（2）班学生学号：11020170学生姓名：张秀丽目录【题目】：牛顿形式的埃尔米特插值多项式【摘要】：......................................................... 【关键词】：..........................................................【正文】：一、引言二、重节点均差与泰勒插值三、埃尔米特插值典例四、牛顿形式的埃尔米特插值多项式的一些应用领域【结束语】：......................................................... 【参考文献】：..........................................................牛顿形式的埃尔米特插值多项式【摘要】：在了解了插值法以后，陆续的又接触和学习到多项式插值、拉格朗日插值、牛顿插值多项式等，但在有些实际问题中，仍需要其它要求，下面又给出有关牛顿的埃尔米特插值的内容。
【关键词】：重节点均差、泰勒插值、泰勒插值多项式、埃尔米特插值。
【正文】：一、引言插值法是一种古老的数学方法，它来自生产实践。
早在一千多年前的隋唐时期制定历法时就应用了二次插值，隋朝刘绰将等距节点二次插值应用于天文计算。
但插值理论都是在17世纪微积分产生以后才逐步发展的，牛顿的等距节点插值公式及均差插值公式都是当时的重要成果。
近半世纪由于计算机的广泛使用和造船、航空、精密机械加工等实际问题的需要，使插值法在理论上和实践上得到进一步发展，尤其是20世纪40年代后期发展起来的样条插值，更获得广泛应用，成为计算机图形学的基础。
在插值法的提出后我们了解了多项式插值；应用各种不同的方法对给定的插值点为求得形如01()...n n P x a a x a x =+++的插值多项式我们得到了线性插值与抛物线插值；把线性插值与抛物线插值推广到一般情形，通过讨论如何构造通过n+1个节点01...n x x x <<<的n 次插值多项式()n L x ，我们定义了n 次插值基函数从而得到了拉格朗日插值多项式：()()nn k k k o L x y l x ==å。
Hermite插值多项式
( xi1
4
xi )2
因此
|
Ri ( x) |
(
x i
+1
8
xi )2
max |
xi x xi1
f ( x) |
于是在[a,b]上，| R( x) ||
f
( x)
L1( x) |
h2 8
M2
优点：计算简单； 适用于光滑性要求不高的插值问题。
缺点：分段插值函数只能保证连续性， 失去了原函数的光滑性。
(1) L1(x) 在每个子区间[xi , xi+1](i=0,1,2,,n-1)上是
线性插值多项式;
(2) L1(xi ) yi , i=0,1,2,…,n (3) L1(x) 在区间[a , b]上连续; 则称 L1(x)是f(x)在[a ,b]上的分段线性插值函数。
2.分段线性插值函数的表达式
2
两点三次Hermit插值（续1）
5
直接设 H3 (x) ax3 bx2 cx d
待定系数法求出，但不易推广到高次。
3
基函数法:
令H3(x) y00 (x) y11(x) y00 (x) y11(x)
为使H3(x)是一个次数3的多项式且满足插值条件
H3 (xi ) yi , H3(xi ) yi i 0,1
并在每个 xi , xi子1区间上构造插值多项式，然后把 它们装配在一起，作为整个区间 上a,的b插值函数。
二、分段线性插值
1.问题的提法
定义 设f(x)是定义在[a,b]上的函数，在节点 a= x0< x1<x2<…<xn-1<xn=b,
的函数值为 y0 , y1 ,y2 ,…yn-1 ,yn ,若函数 L1(x)满足条件
第三章(二) 埃尔米特-样条插值法
2
x x1 x x 0 h1 ( x ) 1 2 x x . x1 x 0 1 0
2
设
x x1 g 0 (x) a(x x0 ) , x 0 x1
2
∵g0(x0)=g0(x1)=0, g'0(x1)=0
据用得越多越好，解决这一矛盾的办法就是改用分段低次插值。
所谓分段低次插值就是用分段多项式来代替单个高阶多项式
作插值，即先把整个插值区间分成若干个小区间，然后在每个子 区间上分别用低次插值多项式（如线性插值或抛物线插值等）， 然后再将每个子区间上的插值函数拼接在一起，作为整个插值区 间上的插值函数。
• 分段线性插值
2
2
x x1 x x 0 h1 ( x ) 1 2 . x1 x 0 x1 x 0
2
2
x x1 x x0 g 0 (x) (x x0 ) , ( x ) ( x x1 ) g1 . x 0 x1 x1 x 0
, [ 1,1]. 0 ( x ) ? x L1
将[−1,1]10等分，步长 h = 2/10 = 0.2, 取节点 xi = −1 + 0.2i, i =
0,1,2,…,10。以 (xi, f(xi))为插值点，构造L10(x)：
Ｌ1 0 ( x )
) f ( x i ) li ( x )
先构造 h0(x), 设
由h0(x0) = 1,
x x1 h0 ( x ) (a bx ) . x 0 x1
2
∵h0(x1)=h'0(x1)=0
Hermite恒等式的推广
性质5对于任意正整数"和任意实数x,都有「兰]=[凶.
2021年6月
性质6设x是正实数，"是正整数，则不超过%的所有正实数中，是"的倍数的数共有[寸]个.
3定理的证明
已知
X = [x] + ｛%｝.
（6）
因为0 <{%}<1,所以对于给定的实数x和正整数"，存在唯一的非负整数S和实数/适合
｛兀]=—t, OVsVz/ — 1, O<fv —.
n
n
在式（7 ）的两边同乘以"可得
n[x｝ = s + nt.
再在式（8）的两边取其整数部分，可得 "｛兀｝]=卜+加].
（7） （8） （9）
因为s是整数，故从式（9）可知 又因从式（7）可知0</<-,所以
[力｛兀｝] = $+[〃/]■
do)
0<n^ <1. 根据取整函数的定义，从式（11）可知[尬]=0.因此，从式（10）即得
S(n,2,x) = n[x]2 + [n{x}](2[x]+l).
(4)
同时，M.Bencze要求对于任意的正整数r,要求给出S(«,r,x)的表达式.时间过去了 14年，至今还没有人 给出其确切的表达式，本文根据高斯函数的定义及性质完整地解决了上述公开问题，即证明了以下定理：
定理对于任何正整数以及实数X,都有
and we extend Hennite's identity,
where [a] and &} are the integral part and the fractional part of real number respectively.
关于拉盖尔多项式卷积的正交性
关于拉盖尔多项式卷积的正交性
过静;杜先存
【期刊名称】《宁夏大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2016(037)003
【摘要】设Ln(x)表示拉盖尔多项式,印L0(x)=1,L1(z)=-x+1,当n≥1时有递推关系式Ln+1(x)=(2n+1-x)Ln(x)-n2Ln-1(x).运用初等方法以及幂级数的性质研究Ln(x)的一类卷积的计算问题,并给出该类卷积的一个有趣的计算公式.
【总页数】4页(P281-284)
【作者】过静;杜先存
【作者单位】江西科技师范大学数学与计算机科学学院,江西南昌 330013;红河学院教师教育学院,云南蒙自 661199
【正文语种】中文
【中图分类】O156.7
【相关文献】
1.拉盖尔多项式卷积的恒等式及其正交性 [J], 王丹芳
2.一类包含拉盖尔多项式-盖根堡多项式的积的和 [J], 李军庄
3.关于拉盖尔多项式与埃尔米特多项式的一组恒等式 [J], 杨存典
4.厄密多项式与拉盖尔多项式的关系 [J], 周青春;朱敏
5.基于算符正规乘积的拉盖尔多项式与厄米多项式关系推导 [J], 万志龙; 王刚; 李恒梅; 黄红云; 王震
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数值分析插值法
解 由上表可得过前三点的二次牛顿插值多项式为
故
又
可得过前四点的三次牛顿插值多项式
可得N3(x)的截断误差
差分与等距节点的牛顿插值多项式
设函数y=fx在等距节点xi=x0+ih i=01 …n上的函数值为fi=fxih为步长
定义2 fi=fi+1-fi 和 fi=fi-fi-1 分别称为函数fx在点xi处的一阶向前差分和一阶向后差分
求f2.8用牛顿后插公式且由 2.8=3+0.5t 得 t= -0.4
第四节 埃尔米特Hermite插值
一、 埃尔米特插值多项式
为了使插值函数能更好的切合原来的函数许多问题不但要求节点上的函数值相等还要求导数值相同甚至高阶导数也相等这类插值问题称为埃尔米特插值
xi[a, b] (i=0,1, …, n) 为n+1个互异节点,考虑函数值 与导数个数相等的情况。
二、误差估计
定理4 设fx在包含x0、x1的区间ab内存在四阶导数则当x∈ab时有
且与x有关)
例1 已知fx=x1/2在X=121和144时的函数值及其一阶导数的数据见下表用埃尔米特插值公式计算1251/2的近似值并估计其截断误差.
得
由
可求得
例2
第五节 分段低次插值
解 (1) 用线性插值
第三节 均差与牛顿插值公式
一、差商及其基本性质
定义1 称
为 f x在x0、x1点的一阶差商.一阶差商的差商
称为函数f x在x0、x1 、x2 点的二阶差商.
一般地n-1阶差商的差商
称为f x在x0 x1 … xn点的 n 阶差商
差商的计算步骤与结果可列成差商表如下
xk
函数值
一阶差商
埃尔米特多项式[常识]
埃尔米特多项式在数学中，埃尔米特多项式是一种经典的正交多项式族，得名于法国数学家夏尔·埃尔米特。
概率论里的埃奇沃斯级数的表达式中就要用到埃尔米特多项式。
在组合数学中，埃尔米特多项式是阿佩尔方程的解。
物理学中，埃尔米特多项式给出了量子谐振子的本征态。
定义埃尔米特多项式有两种常见定义。
第一种是：这是概率论中较为常用的形式（记作：）。
有时也会使用另一种定义：这是物理学中较为常用的形式（记作：。
这两种定义并不是完全等价的。
它们之间的关系是：下文中一般会使用第一种定义，也是概率学家偏好的定义。
因为是标准正态分布函数（数学期望等于0，标准差等于1）的概率密度函数。
前六个概率学的埃尔米特多项式的表达式为：概率学和物理学中的埃尔米特多项式序号概率学物理学前六个（概率论中的）埃尔米特多项式的图像。
前六个（物理学中的）埃尔米特多项式的图像。
性质多项式H n是一个n次的多项式。
概率论的埃尔米特多项式是首一多项式（最高次项系数等于1），而物理学的埃尔米特多项式的最高次项系数等于2n。
正交性多项式H n的次数与序号n相同，所以不同的埃尔米特多项式的次数不一样。
对于给定的权函数w，埃尔米特多项式的序列将会是正交序列。
（对于概率论的埃尔米特多项式）（对于物理学的埃尔米特多项式）也就是说，当m≠n时：除此之外，还有：（对于概率论的埃尔米特多项式）（对于物理学的埃尔米特多项式）完备性在所有满足的函数所构成的完备空间中，埃尔米特多项式序列构成一组基。
其中的内积定义如下：。
Hermite插值多项式
1 例：在[5, 5]上考察 f ( x ) 1 x2 xi 5 10 i (i 0, ... , n) n
2.5 2
的 Ln(x)。取
1.5
n=10
1
0.5
n=2
n=5
0
n 越大， 端点附近抖动 越大
3 4 5
- 0.5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
事实上已被证明：对于 n 的高阶插值 公式 Ln ( x )只有当 x 3.63时才有 Ln ( x ) f ( x ).
( xi ) yi i 0,1 H3 ( xi ) yi , H3
则可选择基函数
0 ( x),1 ( x), 0 ( x), 1 ( x)
使它们都是次数不超过3的多项式 ,且满足如下条件: 0 ( x0 ) 1 1 ( x0 ) 0 0 ( x0 ) 0 1 ( x0 ) 0 ( x ) 0 ( x ) 1 (x ) 0 (x ) 0 1 1 0 1 0 1 1 1 ( x ) 0 ( x ) 1 ( x ) 0 1 0 0 0 1( x0 ) 0 0 0 1( x1 ) 0 ( x1 ) 0 ( x ) 0 1( x1 ) 1 0 0 1
所谓分段插值，就是将被插值函数逐段多项式 化。一般来说，分段插值方法的处理过程分两步， 先将所考察的区间作一分划 ：a x0 x1 xn b
并在每个 xi , xi1 子区间上构造插值多项式，然后 把它们装配在一起，作为整个区间 a, b 上的插值 函数。
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矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。