Buck电路的系统建模
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Buck 变换器的建模
1、 Buck 变换器及其工作状态分析
V
a)
V
V
b)c)
图1 Buck 变换器及其工作状态分析
a) Buck 变换器 b)开关处理通态[t ，t+DT s ] c)开关处于断态[t+DT s ，t+T s ]
当Buck 变换器达到稳态时，()()()0s
s L s
=-+=T t i T t i L
t v T ，
又()()()()V D V t t v t t v T t t v T t v g T t DT t DT t t T t t
T -=??????+=
=
???
++++s s s
s
s
d d 1d 1L L s
L s
L ，则其稳态电压传输比为：
D V V
=g
。 若略去开关损耗，则Buck 变换器的输入输出功率平衡有：o g g VI I V =，得o g DI I =。
2、 大信号模型
在开关管处于通态时，即[t ，t+DT s ]时，电感两段电压
为:()()()()t v t v t t i L
t v -==g L d d ，通过电容的电流()()()()R
t v t i t t v C t i -==d d C ；当开关管处于断态时，即[t+DT s ，t+T s ]时，电感两端电压为()()()t v t
t i L t v -==d d L ，通过电容的电流为()()()R t v t i t i -=C 。 ()()()()??????+=
=
???
++++s s s
s
s
d d 1d 1L L s L s
L T t dT t dT t t
T t t
T v v T v T t v ττττττ()()[
]
(){}
()()????
??-=--=????
+++++s s
s
s s
d d 1d d 1
g s g s
T t t dT t t T t dT t dT t t
v v T v v v T τττττττττ 如果输入电压()t v g 连续，而且在一个开关周期变化很小，于是()t v g 在[t ，t+dT s ]区间的值可以近似用开关周期的平均值()s
g T t v 表示，这样
()()()s g g g s
s
d d dT v v v T dT t t
T dT t t
s
s
τττττ=≈?
?
++
由于输出电压()t v 连续，另外()t v 在一个周期中变化很小，于是()t v 在[t ，t+T s ]区间的值可以近似的表示为()s
T t v 。于是有
()()()[]
()()()t v t v t d T t dT v T t v T T T -=-≈
g s s g s
L s
s s
1
τ。
根据电感特性经过开关周期平均算子作用后形式不变性原理有
()()s
s
L d d T T
t v t
t L
=，于是有()()()()t v t v t d t
t i L
T
-=g d d s
。
对于电容有：()()()R
t v t i t i T T T C s
s
s -
=，由电容特性方程()()s
d d s
T C T
t t
t v C
=得：()()
()R
t v t i t
t v C
T T T
s
s
s
d d -
=。
而输入电流的开关平均周期为()()()s
s
g T T t t d t i ≈。
于是得到Buck 变换器的状态空间变量开关周期平均值的方程为
()()()()()()()???
????-=-=R t v t i t t v C t v t v t d t t i L
T T T T
s
s
s s
d d d d g 3、 线性化
若Buck 变换器工作在某一静态工作点，稳态占空比()D t d =，稳态输入电压()
g g s
V t v T =，电感电流、电容电压和输入电流()s
T t i 、()s
T t v 、()
s
g T t i 的稳态
值分别为I 、V 、I g 。
当电路达到稳态时，由电感电压的伏秒平衡原理()()0d d s
s
L ==T T
t v t
t i L
，并
代入占空比和各电量的稳态值，有g DV V =；由电容电荷平衡原理
()()0d d s s
==T C T
t t
t v C
，有0=-
R
V
DI ；对于输入电流有DI I =g 。 如果对输入电压()
s
g T t v 和占空比()t d 在之流工作点附近做微小扰动，即
()
()()t d
D t d v
V t v T ??g g g s
+=+=，将引起Buck 变换器各状态变量和输入电流量的微小扰动，即
()()()()()
()t i
I t i t v
V t v t i I t i T T T g g g ???s
s
s
+=+=+=，则()[
]()[
]()[
]
()[]t v V t v V t d D t
t i I L
???d ?d g g
+-++=+，即()()()()()[]
()() 二阶交流项
一阶交流项直流项t v t d t v t d V t v D V DV t t i t I L g g g g ?????d ?d d d +-++-=??????+。该式右边包含三项：直流项、一阶交流项、二阶交流项，其中一阶交流项为线性项，二阶交流项为非线性项。由于右边的直流项等于零，可以从式中去掉；若扰动量比直流工作点小得多，则二阶交流项将远小于一阶交流项，于是二阶交流项可忽略。则有
()()()()t v t d V t v D t
t i L ???d ?d g g -+=。
同理，对于电容有()[]()[]
R
v V t i
I t t v V C
??d ?d +-+=+，可化简为：()()()R
t v
t i t t v C
??d ?d -
=。 输入电流的方程为()()[]()[
]
t i I t d D t i I ???g g ++=+，可化简为：()()()t d I t i D t i
???g +=。 汇总后得到Buck 变换器线性化交流小信号交流模型为：
()()()()()()()()()()???
?
?????+=-=-+=t d I t i D t i
R t v t i t t v
C t v t d V t v
D t
t i L
?????d ?d ???d ?d g g g 4、 小信号交流等效电路
()t
d V ?g ()t
v D g ?()t v ??
(t i ?
(t v
g ?()
t i g ?
图2 三个等效子电路
a) 对应电感方程的子电路
b) 对应电容方程的子电路 c)对应输入方程的子电路
(t v
g ?()
t i g ?
()t
d V ?g ()t
v D g ?()t v ??
(t i
?
图3 三个子电路组合在一起
()t v
g ?()
t i g ?
()t d
V ?g ()t v
?-+
图4 Buck 变换器小信号模型
5、 统一电路模型
变压器一次侧有电压源与电流源并联，等效为电压源，将电流源去掉得到下图中的a)；将变压器二次侧的电压源前移并除以相应变比得到下图中的b)；合并下图b)中的两个电压源即可得到最终形式的c)。下图中的c)即为Buck 变换器的统一电路模型。
(
t v
g ??()t d
V ?g ()t ?-+
(
t v
g ?()
t i g ?()D
t d V ?g ()t v
?-+
a)
b)
()t v
g ?+
c)
图5 Buck 变换器的三个等效子电路
6、 补偿网络
Buck 变换器工作在CCM 方式，如右图所示。电路参数为：输入电压
48V g =V ，输出电压24V =V ，滤波电容F 605μ=C ，滤波电感mH 1.0=L ，
负载电阻Ω=2.4R ，反馈电阻Ω=k 001x R Ω=k 001y R 。开关频率100kHz s =f ，
PWM 调制器锯齿波幅度 2.5V m =V ，参考电压 3.3V ref =V 。
v
g
Rx Ry
图6 Buck 变换器系统
解：Buck 变换器占空比至输出的传递函数为()()()LC
s R
L s V
s d s V s G 2g
o vd 1??
++=
=，原
始回路增益函数为()()()()LC
s R
L s V V R R R s G s G s H s G 2g m y x y
vd m o 11
+++==，即
()2
852
633o 106.5102.416
.910560101.04
.2101.0148
5
.21
100100100s s s s s G -----?+?+=
???+?+?
?+=
()s G o 的直流增益为()19.6dB 9.620lg 0lg 20o ==G ；幅频特性的转折频率为
Hz 673212,1p ==
LC
f π。
波特图如下图所示，在低频时()s G o 增益为19.6dB ，在频率为673Hz 时会有转折发生，其斜率为-40dB/dec 。原始回路增益函数()s G o 在1370Hz 穿越0dB ，相位裕量仅为6.81o 。