计量经济学试题与答案

6-23．某联立方程计量经济学模型有3个方程、3个内生变量（1y ，2y ，3y ）、3个外生变量（1x ，2x ，3x ）和样本观测值始终为1的虚变量C ，样本容量为n 。其中第2个方程：

233321102u x y x y ++++=αααα

为恰好识别的结构方程。 要求：（1）写出用IV 法估计该方程参数的正规方程组；

（2）用ILS 方法估计该方程参数，也可以看成一种工具变量方法，指出工具变量是如何选取的，并写出参数估计量的矩阵表达式；

（3）用2SLS 方法估计该方程参数，也也可以看成一种工具变量方法，指出3y 的工具变量是什么，并写出参数估计量的矩阵表达式；

（1）将方程写成标准形式：233110322u x x y y ++++=αααα

i i i i n

i i n

i i

x x x y x y

233110321

212)????(αααα

+++=∑∑== )????(33110321

12i i i n

i n

i i

x x y y

αααα

+++=∑∑== i i i i n

i i

n

i i x x x y x y

133110321112)????(αααα

+++=∑∑== i i i i n

i i n

i i

x x x y x y

333110321

31

2)????(αααα

+++=∑∑== （2）用ILS 方法估计方程参数，用（C ，1x ，2x ，3x ）依次作为（3y ，C ，1x ，3x ）

的工具变量

参数估计量的矩阵表达式为

[][][]2

32113133213102)(y x x x C x x C y x x x C T T -=????

?

???????αααα

其中??????????????=jn j j j x x x x M 21 j=1，2，3 ??????

????????=jn j j j y y y y M 21 j=2，3 （3）用2SLS 方法估计方程参数，3y 的工具变量为C ，1x ，2x ，3x 的线性组合

))((?313y y

T T X X X X -= 其中X= [C 1x 2x 3x ] 参数估计量的矩阵表达式为

[][][]231

3131

3

31

33102?)?(y x x C

y

x x C

y x x C

y T

T

-=????

?

???????αααα

6-24．下列为一完备的联立方程计量经济学模型：

t t t t u P Y M 1210+++=ααα

t

t t u M Y 210++=ββ

其中：M 为货币供给量，Y 为国内生产总值，P 为价格总指数。 要求：（1）指出模型的内生变量、外生变量、先决变量；

（2）写出简化式模型，并导出结构式参数与简化式参数之间的关系； （3）用结构式条件确定模型的识别状态；

（4）从方程之间的关系出发确定模型的识别状态；

（5）如果模型不可识别，试作简单的修改使之可以识别；

（6）指出ILS 、IV 、2SLS 中哪些可用于原模型第1、2个方程的参数估计。

6-25．独立建立一个包含3~4个方程的中国宏观经济模型，并完成模型的识别和估计（可以采取本章中第五节的例子，将样本观测值扩大到2000年之后，自己独立完成）。

6-24．（1）内生变量为 ， ；外生变量为 和常数项；先决变量为 和常数项。 （2）简化式模型为

结构式参数与简化式参数之间的关系体系为

（3）用结构式条件确定模型的识别状态； 结构参数矩阵为：

模型系统中内生变量的数目为g=2，先决变量的数目为 =2（包括常数项）。 首先判断第1个结构方程的识别状态。对于第1个方程，有

所以，第1个结构方程为不可识别的结构方程。 再看第2个结构方程，有 所以，该方程可以识别。并且

所以，第2个结构方程为恰好识别的结构方程。 综合以上结果，该联立方程模型是不可识别的。 （4）第一个结构方程包含了第二个结构方程所未包含的变量 ，这使得这两个方程的任意线性组合都不能构成与第二个方程相同的统计形式，所以第二个方程是可以识别的；而第二个结构方程没有包含第一个方程中所未包含的变量，这使得这两个方程的某些线性组合能构成与第一个方程相同的统计形式，导致第一个方程不可识别。例如，将两个方程相加并整理，得到： 这与方程一有相同的统计形式。当我们收集了 、 和 的样本观测值进行参数估计后，很难判断得到的是第一个方程的参数估计量还是新组合方程的参数估计量。

（5）为了使模型可以识别，需要第二个方程包含一个第一个方程所未包含的变量，所以引入滞后一期的国内生产总值 ，模型变为

可以判别，此时两个结构方程都是恰好识别的，这样模型是可以识别的。

（6）如前所述，第一个方程式不可识别的，第二个方程是恰好识别的，所以可以用以上三种方法来估计第二个方程。

2. 多元线性单方程计量经济学模型

i ki k i i i x x x y μββββ+++++=......22110 )

,0(~2σμN i i=1,2,….n （1）分别写出该问题的总体回归函数、总体回归模型、样本回归函数和样本回归模型。（7分）

（2） 当模型满足基本假设时，写出普通最小二乘法参数估计量的矩阵表达式，并写出每个矩阵的具体内。（7分） 2.答：

（1）总体回归函数为ki

k i i i x x x y E ββββ++++=......)(22110i X

总体回归模型为

i

ki k i i i x x x y μββββ+++++= (22110)

样本回归函数为

ki k i i i x x x y ββββ?......????22110++++= 样本回归模型为

i ki k i i i x x x y μββββ??......???22110+++++= (7

分)

（2） 矩阵表达式为Y X =+B N ，其中

Y =

???????

????

?

?y y y n n 121M X =???????

?????

?+1111121112222121x x x x x x x x x k k n n kn n k ΛΛM M M M Λ()

B =???????????

?

???

?+?ββββ01211M k k ()

N =??????????

???μμμ12

1M n n 三、（20分）为什么对已经估计出参数的模型还要进行检验？你能举一个例子说明各种检验的必要性吗？

答： 首先，这是因为我们在设定模型时，对所研究的经济现象的规律性可能认识并不充分，所依据的得经济理论对研究对象也许还不能做出正确的解释和说明。或者虽然经济理论是正确的，但可能我们对问题的认识只是从某些局部出发，或者只是考察了某些特殊的样本，以

局部去说明全局的变化规律，必然会导致偏差。 （6分） 其次，我们用以及参数的统计数据或其他信息可能并不十分可靠，或者较多采用了经济突变时期的数据，不能真实代表所研究的经济关系，也可能由于样本太小，所估计的参数只是抽样的某些偶然结果。 （4分） 另外，我们所建立的模型，所用的方法，所用的统计数据，还可能违反计量经济的基本假定，这是也会导致错误的结论。

从上面可以看出，检验时必要的。 （4分） 举个例子：建立居民消费

t C 和居民储蓄t S 、居民的收入t Y 的一个消费函数模型：

t t t t u Y S C ++++=321ααα

从已经认识的经济理论出发，选择居民的储蓄余额合居民的收入作为居民的消费的解释变量，会觉得是完全合理的，但是我们作变量的协整检验就会知道，居民消费和居民储蓄的单整阶数是不同的，所以它们不是协整的，即它们之间不存在一个长期稳定的比例关系。从而以上模型是不合理的。 （6分面是一个回归模型的检验结果。

White Heteroskedasticity Test:

F-statistic 19.41659 Probability 0.000022 Obs*R-squared 16.01986 Probability 0.006788

Test Equation:

Dependent Variable: RESID^2

Method: Least Squares

Date: 05/31/06 Time: 10:54

Sample: 1 18

Included observations: 18

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 693735.7 2652973. 0.261494 0.7981

X1 135.0044 107.7244 1.253239 0.2340

X1^2 -0.002708 0.000790 -3.427009 0.0050

X1*X2 0.050110 0.020745 2.415467 0.0326

X2 -1965.712 1297.758 -1.514698 0.1557

X2^2 -0.116387 0.146629 -0.793752 0.4428

R-squared 0.889992 Mean dependent var 6167356. Adjusted R-squared 0.844155 S.D. dependent var

S.E. of regression 5148181. Akaike info criterion 34.00739 Sum squared resid 3.18E+14 Schwarz criterion 34.30418 Log likelihood -300.0665 F-statistic 19.41659 Durbin-Watson stat 2.127414 Prob(F-statistic) 0.000022

1）写出原回归模型？（2分）

2）检验结果说明什么问题？（2分）

3）如何修正？（2分）

1）写出原回归模型？

（2分）

2）检验结果说明什么问题？

异方差问题。（2分）3）如何修正？加权最小二乘法，做变量变换。

⒈（21分，每小题3分）多元线性回归模型：

i ki k i i i X X X Y μββββ++???+++=22110 ),0(~2σμN i n i ,2,1Λ=

其矩阵形式为：μ

X βY

+=，满足所有基本假设。 ⑴ 分别写出2μ的分布、2Y 的分布和2

?Y 的分布。 ⑵ 指出“偏回归系数”2β的含义，并指出解释变量满足什么条件时可以用一元回归模型得到相同的2β的估计结果？ ⑶ 如果22

12()()i i i Var x x μσ

=+，采用WLS 估计得到111()β

---''=X W X X W Y )

，写出其中W 的

具体表达式。

⑷ 证明：1

))?()?(?2

---'-=k n ββ

σX Y X Y 是2?σ

的无偏估计。 ⑸ 如果解释变量k X 和1-k X 为与μ相关的随机变量，仍然采用OLS 估计得到k

k βββββ

?,?,,?,?,?1210-Λ，指出其中哪些是有偏估计？哪些是无偏估计？简单说明理由。 ⑹ 如果受到条件限制，被解释变量只能取大于a 的样本观测值，用OLS 和ML 分别估计模型，参数估计量是否等价？为什么？ ⑺ 如果

1X 为只有2种类别（A 、B ）的定性变量，2X 为具有3种类别（C 、D 、E ）的定性变量，重新

写出该线性回归模型的表达式。

答案： ⑴

),0(~22σμN ；)),((~2222212102σββββk k X X X N Y +???+++

),(~?2

2222X X)X (X βX 1''-σN Y ⑵ “偏回归系数”2β的含义是2X 对Y 的直接影响。当2X 与全体解释变量完全独立时，可以用2X 对Y

的一元回归模型得到相同的2β的估计结果。

⑶ 11211222121()0001()0001)n n X X X X W X X +??

??+??=????

+?

?L L M M M M L ⑷ 被解释变量的估计值与观测值之间的残差

β

X Y e ?-=

M μ

μX X X X I μ

X X X X μμX βX X X X μX β=''-=''-=+''-+=---))(()()

()(1

11

残差的平方和为： M μM μe e ''=' 因为))((1

X X X X I M ''-=-为对称等幂矩阵，所以有M μμe e '='，于是

))1(()))((())(()

))((()(21

2

121+-=''-=''-=''-'='---k n tr tr tr E E σσσX X X X I X X X X I μX X X X I μe e

1

)

(2--'=

k n E e e σ

1

?2--'=k n e

e σ

显然，22)?(σσ=E ，即该估计量是无偏估计量。 ⑸ 全部都是有偏估计。因为根据

)

()())()(())(()?(1μX X X βμX βX X X Y X X X β

11''+=+''=''=---E E E E 可见，全部参数估计量的期望都不等于参数本身。

⑹ 如果被解释变量只能取大于a 的样本观测值，用OLS 和ML 分别估计模型，参数估计量不等价。对于

OLS ，只要样本观测值相同，无论被解释变量是否受到限制，其估计结果是相同的。而对于ML ，在被解释变量受到限制时，抽取同一个样本的概率发生了变化，因而似然函数发生了变化，估计结果也发生变化。 ⑺

i ki k i i i i i X X D D D Y μββββββ++???++++=3322222121110、

⒉（15分）指出下列论文中的主要错误之处：

在一篇关于中国石油消费预测研究的论文中，作者选择石油年消费量（OIL ，单位：万吨标准煤）为被解释变量，国内生产总值（GDP ，按当年价格计算，单位：亿元）为解释变量，1990—2006年年度数据为样本。首先假定边际消费倾向不变，建立了线性模型：

2006,,1991,1990Λ=++=t GDP OIL t

t t μβα

采用OLS 估计模型，得到

2006,,1991,1990183125.030.13390?Λ=+=t GDP L OI t

t

然后假定消费弹性不变，建立了对数线性模型：

2006

,,1991,1990ln ln Λ='

+'+'=t GDP OIL t t t μβα

采用OLS 估计模型，得到

2006,,1991,1990ln 458338.0122385.5?ln Λ=+=t GDP L OI t

t

分别将2020年国内生产总值预测值（500000亿元）代入模型，计算得到两种不同假定情况下的2020年石

油消费预测值分别为104953和68656万吨标准煤。

答案：（指出每个错误3分）

⑴ 模型函数关系错误。不可能两种假定同时成立，只能建立一种模型。

⑵ 变量选择错误。影响石油消费的因素，除了GDP 外，还应该包括产业结构、能源结构、技术水平等。 ⑶ 国内生产总值按当年价格计算，样本数据不具有可比性。石油年消费量采用实物量单位，是可比的。 ⑷ 时间序列数据作样本，而且舍弃了许多显著变量，肯定存在序列相关性，不能采用OLS 估计。 ⑸ 得到的104953和68656万吨标准煤不是预测值，而是预测值的一个估计值。

⑹ 时间序列数据非平稳，没有经过单位根检验和协整检验。(该问题不扣分，如果回答正确，可以顶替前面)

5.某人根据某区的有关资料作如下的回归模型，结果为：