标准标准答案-北京大学2016年春季学期线性代数作业

2
-1
-3
0 1 -2 0
_______，系数矩阵的秩等于 3
x1 x2 3x3 2x4 0
22(公式)（. 教材§2.3）齐次线性方程组
2x1 x2 x3 x4 0 3x1 2x2 x3 0
x1 3x2 2x3 3x4 0
或“没有”）非零解。
没有 （填“有”
23.（教材§4.1）设 _____ 24．（教材§3.3）设向量
， 与向量
，则
3 5 8 _ 6 8 3
线性相关，则 = 4
25.（教材§3.3）向量组 （填“相关”或“无关”）的。 26. （教材§4.1）已知矩阵 9。
27. （教材§5.2）设矩阵
，矩阵
是线性 无关 ，那么
，写出所有的特征值： 1 和-8
28. （教材§4.1）已知上三角矩阵
，求
1 0
2016
A.
B.
18.（教材§5.1）矩阵 A.
C.
D.
的特征值是（C）。 B.
C.
D.
二、填空题（每题 2 分，共 24 分）
19.（教材§1.1）行列式
的值是 abe 。
20.（教材§1.4）如果齐次线性方程组 1 。
有非零解，那么 的值为
21.（教材§2.2）线性方程组
4 5 -1 -6
的增广矩阵是： 1
35. （教材§5.2）求矩阵 解：
的特征值和特征向量。
2 1 1 f () A E 1 2 1 (2 )3 11 3 (2 )
1 1 2 ( 1)2 ( 4)
令 f () 0
得： 1 4, 2 3 1
当 1 4 时，对应的特征向量为其次线性方程组 A-4E x 0 的解 得 x1 x2 x3 ，特征向量为1 1,1,1T 当 1 1时，对应的特征向量为其次线性方程组 A-E x 0 的解
得 x1 x2 x3 0 ，当 x1 0 时，特征向量为2 0,1, 1T 当 x1 0 时，特征向量为3 2,-1,-1T
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5.（教材§1.3）行列式 (提示：参考教材 P32 例 1.3.3)
A.2/9 B.2/3 C.2/9
D. 3/4
（2/9）。
6.（教材§1.4）若线性方程组
A.2/3
B.1 C.-2/3
D.1/3
有唯一解，那么 （B）。
2 1 1 0
7.（教材§2.2）矩阵 2 3 1 1 的秩是 （D）。 3 4 4 1 1 1 3 2
秩数。 解： 设 A=(1,2,3,4,5 ) ，对矩阵 A 进行初等行变换
的一个极大无关组和
1 1 5 2 2 1 1 5 2 2
2 1 3
3
4
0 1 13
7
0
A= 3 1 4 5 7 0 2 19 11 1
4 1 12 10
9
0 3 32 18 1
5 1 6 9 13 0 4 31 19 3
=
9 3
-6 9
4
3
-6 63
4
=
39
-78
-2
33.（教材§1.3）计算行列式
。
解：
33 1 0
1 4 1
3 10
0 1 -4 1 =(-1)1+1 3 4 1 3 (-1)3+1 1 1 4 1
1 4 1 -3
6 8 2
6 8 2
0 -6 8 2
3 24 56
16
34.（教材§3.4）求向量组
2016 年春季学期线性代数作业
一、选择题（每题 2 分，共 36 分）
1.（教材§1.1）行列式 A.6 B.5 C.10
（B）。 D.7
2.（教材§1.1）行列式
（A）。
A.
B.
C.0
D.
3.（教材§1.2）行列式
A.40
B.-40
C.10
（D）。 D.-10
4.（教材§1.3）下列对行列式做的变换中，（A）会改变行列式的值。 A.将行列式的某一行乘以 3 B.对行列式取转置 C.将行列式的某一行加到另外一行 D.将行列式的某一行乘以 3 后加到另外一行
有非零解；
D.向量组 A 中任何一个向量都不能由其余的 个向量线性表示。 11.（教材§3.3）下列向量组中，线性无关的是（C）。
A.
B.
C.
D. 12.（教材§3.3）下列向量组中，线性相关的是（D）。
A.
B. C.
D.
13.（教材§4.1）已知矩阵 ，矩阵 和矩阵 均为 n 阶矩阵， 为实数，则下列结
1 2 5 2 1 3 5 ABT = -1 3 1 3 2 = 6 5
1 1 4 -1 0 1 3
（2）
1 25 2A =8 A =8 -1 3 1 =81
1 14
，求（1） ;（2）
32.（教材§4.1）已知矩阵
，
解：
，求
。
A+B=
1 9
-2 -2
+
8 -6
-4
6
=
9 3
-6
4
A+B2
1 1 5 2 2 1 1 5 2 2
0 1 13 7 0 0 1 13 7 0
0 2 19 11 1 0 0 7 3 1
0
3
32
18
1
0
0
0
0 0
0 4 31 19 3 0 0 0 0 0
可见1,2 ,5 是一个极大无关组
3 75 132 221
4 35 72 111
r(1,2 ,3,4 ,5 ) r( A) 3
A.1 B.2 C.3
D.4
8.（教材§2.2）若线性方程组
A.-1
B.-2
C.-3
9.（教材§3.1）已知向量
，则向量
无解，则 a 的值为（C）。 D.0
，
，
（B）。
A.
B.
10.（教材§3.3）已知向量组
C.
D.
线性相关，下面说法正确的是（C）。
A.如果
，则必有
;
B.矩阵
的秩等于向量的个数 ；
C. 元齐次线性方程组
论不正确的是（C）。
A.
B.
C.
D.
14.（教材§4.1）已知矩阵
，矩阵
，则
A.
B.
C.
D.
15.（教材§4.1）已知矩阵 ， 为 矩阵，矩阵 为
则下列关于矩阵转置的结论，不正确的是（D）。
（A）。 矩阵， 为实数，
A.
B.
C.
D.
16.（教材§4.2）已知矩阵
，则
（A）。
A.
B.
C.
D.
17.（教材§4.3）下列矩阵中，（B）不是初等矩阵。
1
。
29. （教材§4.2）已知矩阵
，那么
-1 2 -1
0
1
-1 。
1 -2 2
30. （教材§5.1）以下关于相似矩阵的说法，正确的有 1，3，4 （多选）。
① 若 ，则 ；
②若 ③若 ④若
，则 ，则
； ；
，则 。
二、解答题（每题 8 分，共 40 分）
31.（教材§4.1）已知矩阵
，
。
解：（1）