圆锥曲线硬解定理得到的弦长公式大幅简化运算
圆锥曲线Ω：2
±
2
2
被
直线L:Ax＋By＋λ＝0
①截得的弦长|AB|＝2ab＋2＋2
＋
，
②L与Ω相交?a2A2＋b2B2＞0 L与Ω相切? a2A2＋b2B2=0 L与Ω相离? a2A2＋b2B2＜0
例题1 已知椭圆C：2
＋＝，过定点，的直线与C交于E，F两点，求▲EOF面
积的最值.
解析：由题目容易知道l的斜率存在，故设l：y＝kx＋2.（kx－y＋2＝0）由L和C相交得4k2＋1×1－22＞0即k2＞.…………………………①
由高级弦长公式得EF＝2×2×1＋2＋2
＋
＝4＋
＋
，
O到l的距离h＝
＋2
∴S（k）＝|EF|h，然后用均值不等式求解
圆锥曲线弦长专题
圆锥曲线弦长专题 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
弦 长 专 题 (A 组) 1，过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，若x 1+x 2=6，那么|AB|等于_______ 2，过抛物线x y 22=焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，已知|AB|=10，O 为坐标原点，则ΔABO 重心的横坐标为_______ 3，已知椭圆2 2 221y x a b +=(0)a b >>的一个顶点为B (0,4)，离心率e =5 ，直线l 交椭圆于M 、N 两点．若直线l 的方程为4y x =-，求弦MN 的长； 4．已知椭圆C 的中心在坐标原点，左顶点()0,2-A ，离心率2 1= e ，F 为右焦点，过焦点F 的直线交椭圆C 于P 、Q 两点（不同于点A ）． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）当724=PQ 时，求直线PQ 的方程； 5.设椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60o ,2AF FB =. (I) 求椭圆C 的离心率； （Ⅱ）如果|AB|=154 ，求椭圆C 的方程. 弦 长 专 题 (B 组) 1， 双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点 F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB 、、成等差数列，且BF 与FA 同向． （Ⅰ）求双曲线的离心率； （Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．
2021届高考数学圆锥曲线中必考知识专题5 圆锥曲线中的弦长问题(解析版)
专题5：圆锥曲线中的弦长问题（解析版） 一、单选题 1．椭圆2 214 x y +=的两个焦点为1F 、2F ，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一 个交点为P ，则2PF =（ ） A ． 32 B ．3 C ． 72 D ．4 【答案】C 【解析】 试题分析：，所以当时， ，而 , 所以 ,故选C. 考点：椭圆的性质 2．直线l 过抛物线22y x =的焦点F ，且l 与该抛物线交于不同的两点()11,A x y ， ()22,B x y ．若12 3x x +=，则弦AB 的长是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．8 【答案】A 【分析】 由题意得1p =，再结合抛物线的定义即可求解. 【详解】 由题意得1p =， 由抛物线的定义知：121231422 p p AB AF BF x x x x p =+=+++=++=+=， 故选：A 【点睛】 本题主要考查了抛物线的几何性质，考查抛物线的定义，属于基础题. 3．焦点为F 的抛物线2:4C y x =的对称轴与准线交于点E ，点P 在抛物线C 上，在 EFP △中，sin 2EFP FEP ∠=∠，则||EP 的值是（ ）
A ．22 B ．4 C ．2 D ．1 【答案】A 【分析】 过点P 作PH 垂直于准线于点H ，由双曲线的定义得cos PF PH m FEP ==∠，在 EFP △中利用正弦定理可求出FEP ∠，带入所给等式即可推出2 EFP π ∠= ，即可求 得PE 的值. 【详解】 如图所示，过点P 作PH 垂直于准线于点H ， 设PE m =，则cos PF PH m FEP ==∠， 在EFP △中，由正弦定理知 sin sin PF PE PEF EFP =∠∠，即 cos sin 2sin m FEP FEP FEP ∠=∠∠， 所以2 cos 2 FEP ∠= ，又()0,FEP π∠∈，所以4FEP π∠=， 则sin 21EFP FEP ∠= ∠=，又()0,EFP π∠∈，所以2 EFP π ∠= ， 在直角EFP △中，2EF =，4 FEP π ∠=，所以22PE =故选：A 【点睛】 本题考查抛物线的定义与几何性质、正弦定理解三角形，属于中档题. 4．椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，斜率为12的直线l 过左焦点1F 且交C 于A ，B 两点，且2ABF 的内切圆的周长是2π，若椭圆C 的离心
二次曲线中的万能弦长公式
二次曲线中的万能弦长公式 王忠全 我们把圆、椭圆、双曲线、抛物线称为二次曲线，用设而不求的方法，可得到其弦长公式。 设直线方程为：y=kx+b （特殊情况要讨论k 的存在性），二次曲线为f （x ，y ）=0，把直线方程代入二次曲线方程，可化为ax 2+by 2+c=0，（或ay 2+by+c=0），设直线和二次曲线的两交点为A （x 1，y ），B （x ，y ） 那么：x 1，x 2是方程ax +by +c=0的两个解，有 x 1+x 2=-a b ，x 1x 2=a c ， ()()||k 1x x 4)(k 1))(k (1)()(||2 21221222122212212 21221a x x x x b kx b kx x x y y x x AB ? +=-+?+=-+=--++-=-+-= 同理：若化为关于y 的方程ay 2+by+c=0，则|AB|= | |112a k ?+. 例、已知过点M （-3，-3）的直线m 被圆x 2+y 2+4y-21=0所截得的弦长为45，求直线m 的方程。 解析:设直线方程m:y+3=k(x+3), 即y=kx+3k-3,代入x 2+y 2+4y-21=0,得x 2+k 2x 2+9k 2+9+6k 2x-6kx-18k-21+4kx+12k-12=0, 即(1+k 2)x 2+(6k 2-2k)x+9k 2-6k-24=0,那么 032,092,2,210 232016162416808096246454196246454|1|96246024364243612122222222342342=+-=++=-==--=--+=+-=++-=++-++-+-+y x y x k k k k ，k k ，k k k ，，k k k k k k k k k k k k 或所求直线方程为得两边平方即
圆锥曲线的综合问题(答案版)讲课教案
圆锥曲线的综合问题 【考纲要求】 1．考查圆锥曲线中的弦长问题、直线与圆锥曲线方程的联立、根与系数的关系、整体代入 和设而不求的思想． 2．高考对圆锥曲线的综合考查主要是在解答题中进行，考查函数、方程、不等式、平面向 量等在解决问题中的综合运用． 【复习指导】 本讲复习时，应从“数”与“形”两个方面把握直线与圆锥曲线的位置关系．会判断已知直线与曲线的位置关系(或交点个数)，会求直线与曲线相交的弦长、中点、最值、定值、点的轨迹、参数问题及相关的不等式与等式的证明问题． 【基础梳理】 1．直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时 为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或 变量y )的一元方程． 即?? ?==++0 ),(0y x F c By Ax ,消去y 后得02 =++c bx ax (1)当0≠a 时，设方程02 =++c bx ax 的判别式为Δ，则Δ＞0?直线与圆锥曲线C 相交；Δ＝0?直线与圆锥曲线C 相切；Δ＜0?直线与圆锥曲线C 无公共点． (2)当0=a ，0≠b 时，即得一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点， 此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线， 则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行． 2．圆锥曲线的弦长 (1)定义：直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做 圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长． (2)圆锥曲线的弦长的计算 设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB | ＝1＋k 2 |x 1－x 2|＝]4))[(1(212212x x x x k -++=a k ? ? +2 1=1＋1 k 2·|y 1－y 2|. (抛物线的焦点弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2 θ ，θ为弦AB 所在直线的倾斜角)． 3、一种方法 点差法：在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交和被截的线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，
圆锥曲线中弦长问题的解决策略
圆锥曲线中弦长问题的解决策略 张秀梅 张建强 弦长问题在高考题及模拟题中经常出现，从理论上讲，利用弦长公式 a k x x k AB /1||1||2212?+=-+=就能解决问题。但实际中，除个别简单题（本文从略） 外，直接利用弦长公式会使问题变得非常繁琐。本文试图对此进行系统的总结，给出不同类型题目的解决策略。 一、两线段相等 类型I 有相同端点的不共线线段 例1、（2204，北京西城区二模） 已知定点)4,2(--A ，过点A 做倾斜角为? 45的直线L ，交抛物线)0(22>=p px y 于A 、 B 两点，且|||||| AC BC AB 、、成等比数列 （1）求抛物线方程； （2）问（1）中抛物线上是否存在D ，使得|||| DC DB =成立？若存在，求出D 的坐标。 策略分析：由于D 、B 、C 三点不共线，要使得|||| DC DB =成立，只需取BC 中点P ，满足BC DP ⊥。 由于这种类型题目的常见性与基础性，我们再举一个例子作为练习： 例2、（2005，孝感二模） 已知)2()2(),,1(),0,(b a b a y b x a -⊥+== （1）求点P(x,y)的轨迹方程C ； （2）若直线L ：b kx y +=（0≠k ）与曲线C 交与AB 两点，D(0,－1)，且有||||BD AD =，试求b 的取值范围。 类型II 共线线段 例3、直线L 与x 轴不垂直，与抛物线22+=x y 交于AB 两点，与椭圆2222=+y x 交于CD 两点， 与x 轴交于点M )0,(0x ，且|||| BD AC =，求0x 的取值范围。 策略分析：不妨设A ),(11y x 在B ),(22y x 下方，C ),(33y x 在D ),(44y x 下方，由于ABCD 共线，要使 ||||BD AC =,只需4213x x x x -=-，即4321x x x x ==+，结合韦达定理可得结果。 二、三线段相等 类型I 正三角形 例 4、（2003，北京春招） 已知动圆过定点P(1,0)且与定直线L ：x=－1相切，点C 在L 上 （1）求动圆圆心的轨迹M 的方程；
解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型
解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型 总论：常用的八种方法 1、定义法 2、韦达定理法 3、设而不求点差法 4、弦长公式法 5、数形结合法 6、参数法（点参数、K 参数、角参数） 7、代入法中的顺序 8、充分利用曲线系方程法 七种常规题型 （1）中点弦问题 （2）焦点三角形问题 （3）直线与圆锥曲线位置关系问题 （4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题 （5）求曲线的方程问题 1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。 2．曲线的形状未知-----求轨迹方程 （6） 存在两点关于直线对称问题 （7）两线段垂直问题 常用的八种方法 1、定义法 （1）椭圆有两种定义。第一定义中，r 1+r 2=2a 。第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。 （2）双曲线有两种定义。第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 （3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。
2、韦达定理法 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。 3、设而不求法 解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有： （1）)0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有 02 20=+k b y a x 。(其中K 是直线AB 的斜率) （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有 020 20=-k b y a x (其中K 是直线AB 的斜率) （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. (其中K 是直线AB 的斜率) 4、弦长公式法 弦长公式：一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB 长的方法是：把直线方程y kx b =+代入圆锥曲线方程中，得到型如ax bx c 2 0++=的方程，方程的两根设为x A ，x B ，判别式为△，则||||AB k x x A B =+-=12·| |12a k △ ·+，若直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。 5、数形结合法 解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来
圆锥曲线三种弦长问题
圆锥曲线三种弦长问题的探究 一、一般弦长计算问题： 例1、已知椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>，直线1:1x y l a b -=被椭圆C 截得的弦长为 且e = ，过椭圆C 2l 被椭圆C 截的弦长AB ， ⑴求椭圆的方程；⑵弦AB 的长度. 思路分析：把直线2l 的方程代入椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式求解. 解析：⑴由1l 被椭圆C 截得的弦长为2 2 8a b +=，………① 又e =，即2223c a =，所以22 3a b =………………………….② 联立①②得2 2 6,2a b ==，所以所求的椭圆的方程为22 162 x y +=. ⑵∴椭圆的右焦点()2,0F ，∴2l 的方程为：)2y x =-， 代入椭圆C 的方程，化简得，2 51860x x -+= 由韦达定理知，1212186 ,55 x x x x +== 从而12x x -= = ， 由弦长公式，得12AB x =-== ， 即弦AB 点评：本题抓住1l 的特点简便地得出方程①，再根据e 得方程②，从而求得待定系数22,a b ，得出椭圆的方程，解决直线与圆锥曲线的弦长问题时，常用韦达定理与弦长公式。 二、中点弦长问题： 例2、过点()4,1P 作抛物线2 8y x =的弦AB ，恰被点P 平分，求AB 的所在直线方程及弦 AB 的长度。 思路分析：因为所求弦通过定点P ，所以弦AB 所在直线方程关键是求出斜率k ，有P 是弦 的中点，所以可用作差或韦达定理求得，然后套用弦长公式可求解弦长. 解法1：设以P 为中点的弦AB 端点坐标为()()1122,,,A x y B x y ， 则有22 11228,8y x y x ==，两式相减，得()()()1212128y y y y x x -+=-
圆锥曲线.03圆锥曲线的弦长面积问题.知识讲解和练习
2014年一轮复习圆锥曲线的弦长面积问题
内容明细内容 要求层次 了解理解掌握圆锥曲线 椭圆的定义与标准方程√ 椭圆的简单几何意义√ 抛物线的定义及其标准方程√ 抛物线的简单几何意义√ 双曲线的定义及标准方程√ 双曲线的简单几何性质√ 直线与圆锥曲线的位置关系√ 题型一：弦长问题 设圆锥曲线C∶() ,0 f x y=与直线:l y kx b =+相交于() 11 , A x y，() 22 , B x y两点， 则弦长AB为： () 222 121212 1141x AB k x x k x x x x k a ? =+-=++-=+ () 121212 222 111 1141y AB y y y y y y k k k a ? =+-=++-=+ 或 题型二：面积问题 1.三角形面积问题 直线AB方程：y kx m =+00 2 1 kx y m d PH k -+ == + 00 2 2 11 1 22a1 x ABP kx y m S AB d k k ? ?-+ =?=+? + 自检自查必考点 圆锥曲线 2014年高考怎么考 H O y x P B A
2. 焦点三角形的面积 直线AB 过焦点21,F ABF ?的面积为 1 1212121 2y ABF c S F F y y c y y a ??=?-=-= F 2 F 1 O y x B A 3. 平行四边形的面积 直线AB 为1y kx m =+，直线CD 为2y kx m =+ 122 1m m d CH k -== + 2222 12121211()41x AB k x x k x x x x k a ?=+-=++-=+ 12 122 2 11x x ABCD m m m m S AB d k a a k ??--=?=+? = + 题型三：范围问题 首选均值不等式或对勾函数，其实用二次函数配方法，最后选导数思想 均值不等式 222(,)a b ab a b R +≥∈ 变式：2 2(,);( )(,)2 a b a b ab a b R ab a b R ++++≥∈≤∈ 作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值； 当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值 注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一”正“二”定“三”相等 圆锥曲线经常用到的均值不等式形式： （1）222 64 64t S t t t = =++（注意分0,0,0t t t =><三种情况讨论） （2）22 422 2121212 333196123696 k AB t k k k =+=+≤+++?+++ 当且仅当22 1 9k k = 时，等号成立
专题5 圆锥曲线中的弦长问题(解析版)-2021年高考数学圆锥曲线中必考知识专练
1 专题5：圆锥曲线中的弦长问题（解析版） 一、单选题 1．椭圆2 214 x y +=的两个焦点为1F 、2F ，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一 个交点为P ，则2PF =（ ） A ． 3 B ．3 C ． 72 D ．4 【答案】C 【解析】 试题分析：，所以当时， ，而 , 所以 ,故选C. 考点：椭圆的性质 2．直线l 过抛物线22y x =的焦点F ，且l 与该抛物线交于不同的两点()11,A x y ， ()22,B x y ．若12 3x x +=，则弦AB 的长是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．8 【答案】A 【分析】 由题意得1p =，再结合抛物线的定义即可求解. 【详解】 由题意得1p =， 由抛物线的定义知：121231422 p p AB AF BF x x x x p =+=+++=++=+=， 故选：A 【点睛】 本题主要考查了抛物线的几何性质，考查抛物线的定义，属于基础题. 3．焦点为F 的抛物线2:4C y x =的对称轴与准线交于点E ，点P 在抛物线C 上，在 EFP △中，sin 2EFP FEP ∠=∠，则||EP 的值是（ ） A ．2 B ．4 C ．2 D ．1 【答案】A
试卷第 2页，总18页 【分析】 过点P 作PH 垂直于准线于点H ，由双曲线的定义得cos PF PH m FEP ==∠，在 EFP △中利用正弦定理可求出FEP ∠，带入所给等式即可推出2 EFP π ∠= ，即可求 得PE 的值. 【详解】 如图所示，过点P 作PH 垂直于准线于点H ， 设PE m =，则cos PF PH m FEP ==∠， 在EFP △中，由正弦定理知 sin sin PF PE PEF EFP =∠∠，即 cos sin 2sin m FEP FEP FEP ∠=∠∠， 所以2 cos 2 FEP ∠= ，又()0,FEP π∠∈，所以4FEP π∠=， 则sin 21EFP FEP ∠= ∠=，又()0,EFP π∠∈，所以2 EFP π ∠= ， 在直角EFP △中，2EF =，4 FEP π ∠=，所以22PE =故选：A 【点睛】 本题考查抛物线的定义与几何性质、正弦定理解三角形，属于中档题. 4．椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，斜率为12的直线l 过左焦点1F 且交C 于A ，B 两点，且2ABF 的内切圆的周长是2π，若椭圆C 的离心率为13,24 e ??∈???? ，则线段AB 的长度的取值范围是（ ）
圆锥曲线弦长专题
弦 长 专 题 (A 组) 1，过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，若x 1+x 2=6，那么|AB|等于_______ 2，过抛物线x y 22=焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，已知|AB|=10，O 为坐标原点，则ΔABO 重心的横坐标为_______ 3，已知椭圆2 2 221y x a b +=(0)a b >>的一个顶点为B (0,4)，离心率e =5 ，直线l 交椭圆于M 、N 两点．若直线l 的方程为4y x =-，求弦MN 的长；
4．已知椭圆C 的中心在坐标原点，左顶点()0,2-A ，离心率21= e ，F 为右焦点，过焦点F 的直线交椭圆C 于P 、Q 两点（不同于点A ）． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）当7 24= PQ 时，求直线PQ 的方程； 5.设椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60o ,2AF FB =. (I) 求椭圆C 的离心率； （Ⅱ）如果|AB|=154 ，求椭圆C 的方程.
弦 长 专 题 (B 组) 1， 双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB 、、成等差数列，且BF 与FA 同向． （Ⅰ）求双曲线的离心率； （Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程． 2，已知椭圆1C 的中心和抛物线2C 的顶点都在坐标原点O ，1C 和2C 有公共焦点F ，点F 在x 轴正半轴上，且1C 的长轴长、短轴长及点F 到1C 右准线的距离成等比数列. （Ⅰ）当2C 的准线与1C 右准线间的距离为15时，求1C 及2C 的方程； （Ⅱ）设过点F 且斜率为1的直线l 交1C 于P ，Q 两点，交2C 于M ，N 两点. 当36||7PQ 时，求||MN 的值.
高考数学竞赛圆锥曲线中与焦点弦相关的问题
与焦点弦相关的问题 8．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质（定值1） 问题探究8 已知椭圆22 143 x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，是否存在实常数λ，使AB FA FB λ=?u u u r u u u r u u u r 恒成立.并由此求∣AB ∣的最小值.（借用柯西不等式） 实验成果 动态课件 椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 11112 ||||AF BF ep += 备用课件 双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 AB 在同支 11112 ||||AF BF ep += AB 在异支 11112 | |||||AF BF ep -= 备用课件 抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 112 ||||AF BF ep += 备用课件
9．椭圆、双曲线、抛物线的正交焦点弦性质（定值2） 问题探究9 已知椭圆22 143 x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和C ，D 两点，且12l l ⊥，是否存在实常数λ，使AB CD AB CD λ+=?u u u r u u u r u u u r u u u r 恒成立.并由此求 四边形ABCD 面积的最小值和最大值. 实验成果 动态课件 椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 22||1||12 -= + 备用课件 双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 2| 2|||1||12-=+ 备用课件 抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 22||1||12 -= + 备用课件
圆锥曲线之焦点弦专题
圆锥曲线之焦点弦专题 一．圆锥曲线常用的几种方法： 1.定义法 2.韦达定理 3.设而不求点差法 4.弦长公式法 5.数形结合法 6.参数法（点参数；K参数：角参数） 7.代入法中的顺序 8.充分利用曲线系方程法 二．圆锥曲线七种常见题型 1.中点弦问题 2.焦点三角形问题 3.直线与圆锥曲线位置关系 4.圆锥曲线的有关最值（范围）问题 5.求曲线的方程问题 6.存在两点关于直线对称问题 7.两线段垂直问题 三．焦点弦题型讲与练 模型：e=√1+k2|?-1/?+1|或|ecos?|=|?-1/?+1 1.已知椭圆c:x2/a2+y2/b2=1的离心率为√3/2,过右焦点F且斜率为k的直线与c交与A.B两点,若向量AF=3FB.求k的值。 2设F1，F2分别是椭圆E：x2+y2/2=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A、B两点，若|AF1|=3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为___ ．3.设F1.F2分别为椭圆x2/3+y2=1的左右的焦点,点A,B在椭圆上，若向量F1A =5F2B，则A点的坐标 .
4.椭圆的左右焦点分别为F1F2，A、B是椭圆上的两点，AF1＝3F1B，∠BAF＝90，椭圆的离心率是（） A 1/2 B√2/2 C√3/2 D3/4 5．(本小题满分12分)设F1，F2分别是椭圆E：的左，右焦点， 过F1且斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．(I) 求E的离心率； (II) 设点P(0，－1)满足|PA|＝|PB|，求E的方程． 6.设F1，F2分别是椭圆C：的左，右焦点，M是C上一点且MF2 与x轴垂直．直线MF1与C的另一交点为N． (Ⅰ)若直线MN的斜率为3/4，求C的离心率； (Ⅱ)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b． 7．设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E． （Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程； （Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．
圆锥曲线的弦长公式及其推导过程
圆锥曲线的弦长公式及其推导过程 关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线b kx y+ =代入曲线方程，化为关于x的一元二次方程，设出交点坐标()(), , , , 2 2 1 1 y x B y x A利用韦达定理及弦长公式 ] 4 ) )[( 1( 2 1 2 2 1 2x x x x k- + +求出弦长，这种整体代换、设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐,若利用圆锥曲线的定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷. 一、椭圆的焦点弦长 若椭圆方程为)0 (1 2 2 2 2 > > = +b a b y a x ,半焦距为c>0，焦点)0, ( ), 0, ( 2 1 c F c F-,设过 1 F的直线l的倾斜角为l,α交椭圆于两点()(), , , , 2 2 1 1 y x B y x A求弦长AB． 解：连结B F A F 2 2 ,,设y B F x A F= = 1 1 ,,由椭圆定义得y a B F x a A F- = - =2 , 2 2 2 ,由余弦定理得2 2 2) 2( cos 2 2 ) 2(x a c x c x- = ? ? - +α,整理可得 α cos 2 ? - = c a b x,同理可求 得 α cos 2 ? + = c a b y，则 α α α2 2 2 2 2 2 cos 2 cos cos c a ab c a b c a b y x AB - = ? + + ? - = + =; 同理可求得焦点在y轴上的过焦点弦长为 α2 2 2 2 sin 2 c a ab AB - =（ａ为长半轴,b为短半轴，c为半焦距)． 结论:椭圆过焦点弦长公式： ? ? ? ?? ? ? ? - ? - = ). ( sin 2 ), ( cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 轴上 焦点在 轴上 焦点在 y c a ab x c a ab AB α α
圆锥曲线焦点弦长公式(极坐标参数方程)
圆锥曲线焦点弦长公式（极坐标方程） 圆锥曲线的焦点弦问题是高考命题的大热点，主要是在解答题中，全国文科一般为压轴题的第22题，理科和各省市一般为第21题或者第20题，几乎每一年都有考察。由于题目的综合性很高的，运算量很大，属于高难度题目，考试的得分率极低。本文介绍的焦点弦长公式是圆锥曲线（椭圆、双曲线和抛物线）的通用公式，它是解决这类问题的金钥匙，利用这个公式使得极其复杂的问题变得简单明了，中等学习程度的学生完全能够得心应手！? 定理 已知圆锥曲线（椭圆、双曲线或者抛物线）的对称轴为坐标轴(或平行于坐标轴)，焦点为F ，设倾斜角为α的直线l 经过F ，且与圆锥曲线交于A 、B 两点，记圆锥曲线的离心率为e ，通径长为H ，则 （1）当焦点在x 轴上时，弦AB 的长| cos 1|||2 2αe H AB -= ； （2）当焦点在y 轴上时，弦AB 的长| sin 1|||22αe H AB -=. 推论： （1）焦点在x 轴上，当A 、B 在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，α 22cos 1||e H AB -=； 当A 、B 不在双曲线的一支上时，1 cos ||22-= αe H AB ；当圆锥曲线是抛物线时， α 2 sin ||H AB = . （2）焦点在y 轴上，当A 、B 在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，α 2 2sin 1||e H AB -=；当A 、B 不在双曲线的一支上时，1 sin ||22-= αe H AB ；当圆锥曲线是抛物线时， α 2 cos ||H AB = .
典题妙解 下面以部分高考题为例说明上述结论在解题中的妙用. 例1（06湖南文第21题）已知椭圆13 4221=+y x C ：，抛物线px m y 22 =-）（（p ＞0）， 且1C 、2C 的公共弦AB 过椭圆1C 的右焦点. （Ⅰ）当x AB ⊥轴时，求p ，m 的值，并判断抛物线2C 的焦点是否在直线AB 上； （Ⅱ）若3 4 =p 且抛物线2C 的焦点在直线AB 上，求m 的值及直线AB 的方程. 2F O A B x y
圆锥曲线弦长专题
弦 长 专 题 (A 组) 1，过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，若x 1+x 2=6，那么|AB|等于_______ 2，过抛物线x y 22=焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，已知|AB|=10，O 为坐标原点，则ΔABO 重心的横坐标为_______ 3，已知椭圆 222 2 1y x a b +=(0)a b >>的一个顶点为B (0,4)，离心率e = l 交椭圆于M 、N 两点．若直线l 的方程为4y x =-，求弦MN 的长；
4．已知椭圆C 的中心在坐标原点，左顶点()0,2-A ，离心率2 1 = e ，F 为右焦点，过焦点F 的直线交椭圆C 于P 、Q 两点（不同于点A ）． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）当7 24 =PQ 时，求直线PQ 的方程； 5.设椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ， B 两点，直线l 的倾斜角为60o ,2AF FB = . (I) 求椭圆C 的离心率； （Ⅱ）如果|AB|= 15 4 ，求椭圆C 的方程.
弦 长 专 题 (B 组) 1， 双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB 、、成等差数列，且BF 与FA 同向． （Ⅰ）求双曲线的离心率； （Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程． 2，已知椭圆1C 的中心和抛物线2C 的顶点都在坐标原点O ，1C 和2C 有公共焦点F ，点F 在x 轴正半轴上，且1C 的长轴长、短轴长及点F 到1C 右准线的距离成等比数列. （Ⅰ）当2C 的准线与1C 右准线间的距离为15时，求1C 及2C 的方程； （Ⅱ）设过点F 且斜率为1的直线l 交1C 于P ，Q 两点，交2C 于M ，N 两点. 当 36 ||7 PQ 时，求||MN 的值.
直线与圆锥曲线中的弦长问题
直线与圆锥曲线中的弦 长问题 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
第四讲 直线与圆锥曲线中的弦长问题 【关卡1 一般弦的计算问题】 笔 记 1.直曲联立韦达定理法（优化的弦长公式） 2.直线与圆锥曲线的位置关系的判断 代数法 几何法 例 题 1.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，直线1:1x y l a b -=被椭圆C 截得的弦长为，且 e =，过椭圆C 2l 被椭圆C 截的弦长AB ， （1）求椭圆的方程； （2）弦AB 的长度. 2.已知椭圆1422=+y x 以及直线m x y += （1）当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围 （2）求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程 3.已知直线3+=kx y 与椭圆12 22 =+y x ，试判断k 的取值范围，使得直线与椭圆分别有两个交点，一个交点和没有交点 4.已知椭圆1222=+y x ，),(00y x P ，1202020≤+
圆锥曲线中的弦长问题知识讲解
圆锥曲线中的弦长问题 知识点：圆锥曲线的弦 1.直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦。 当直线的斜率存在时，直线与圆锥曲线相交于 ， 两 点， 把直线方程代入曲线方程中，消元后所得一元二次方程为.则 弦长公式： 其中 当存在且不为零时, 弦长公式还可以写成： 注意：当直线的斜率不存在时，不能用弦长公式解决问题 ， 2.焦点弦：若弦过圆锥曲线的焦点叫焦点弦； 抛物线的焦点弦公式，其中为过焦点的直线 的倾斜角. 3.通径：若焦点弦垂直于焦点所在的圆锥曲线的对称轴，此时焦点弦也叫通径. 抛物线的通径 二、例题： 1、若椭圆19 362 2=+y x 的弦被点()2,4平分，则此弦所在直线的斜率为 A 、2 B 、 -2 C 、 31 D 、2 1 - 2、已知抛物线32+-=x y 上存在关于直线0=+y x 对称的相异两点A 、B ，则AB 等于 A 、3 B 、4 C 、23 D 、24 3、过抛物线px y 22=()0>p 的焦点F 作倾斜角为?45的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则P= 4、求直线23+ =x y 被曲线2 2 1x y =截得的线段的长
5、过原点且倾斜角为60?的直线被圆学 22 40x y y +-=所截得的弦长为 科网（A ）3 （B ）2 （C ）6（D ）23 6、已知对k ∈R ，直线y －kx －1=0与椭圆52x +m y 2 =1恒有公共点，则实数m 的取值范围是 A.（0，1） B.（0，5） C.［1，5）∪（5，+∞） D.［1，5） 7、已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，直线1:1x y l a b -=被椭圆C 截得的弦长为22且6 3 e = ，过椭圆C 32l 被椭圆C 截的弦长AB ， ⑴求椭圆的方程；⑵弦AB 的长度. 8、过点()4,1P 作抛物线2 8y x =的弦AB ，恰被点P 平分，求AB 的所在直线方程及弦AB 的长度。 9、已知点A （2，8），B （x 1，y 1），C （x 2，y 2）在抛物线px y 22=上，△ABC 的重心与此抛物线的焦点F 重合（1）写出该抛物线的方程和焦点F 的坐标；（2）求线段BC 中点M 的坐标；（3）求BC 所在直线的方程。
圆锥曲线焦点弦长公式极坐标参数方程
圆锥曲线焦点弦长公式（极坐标参数方程） 圆锥曲线的焦点弦问题是高考命题的大热点，主要是在解答题中，全国文科一般为压轴题的第22题，理科和各省市一般为第21题或者第20题，几乎每一年都有考察。由于题目的综合性很高的，运算量很大，属于高难度题目，考试的得分率极低。本文介绍的焦点弦长公式是圆锥曲线（椭圆、双曲线和抛物线）的通用公式，它是解决这类问题的金钥匙，利用这个公式使得极其复杂的问题变得简单明了，中等学习程度的学生完全能够得心应手！? 定理 已知圆锥曲线（椭圆、双曲线或者抛物线）的对称轴为坐标轴(或平行于坐标轴)，焦点为F ，设倾斜角为α的直线l 经过F ，且与圆锥曲线交于A 、B 两点，记圆锥曲线的离心率为e ，通径长为H ，则 （1）当焦点在x 轴上时，弦AB 的长| cos 1|||2 2αe H AB -= ； （2）当焦点在y 轴上时，弦AB 的长| sin 1|||22αe H AB -=. 推论： （1）焦点在x 轴上，当A 、B 在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，α 22cos 1||e H AB -=； 当A 、B 不在双曲线的一支上时，1 cos ||2 2-= αe H AB ；当圆锥曲线是抛物线时，α 2 sin ||H AB = . （2）焦点在y 轴上，当A 、B 在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，α 22sin 1||e H AB -=； 当A 、B 不在双曲线的一支上时，1 sin ||2 2-= αe H AB ；当圆锥曲线是抛物线时，
α 2cos ||H AB = . 典题妙解 下面以部分高考题为例说明上述结论在解题中的妙用. 例1（06湖南文第21题）已知椭圆13 4221=+y x C ：，抛物线px m y 22 =-）（（p ＞0）， 且1C 、2C 的公共弦AB 过椭圆1C 的右焦点. （Ⅰ）当x AB ⊥轴时，求p ，m 的值，并判断抛物线2C 的焦点是否在直线AB 上； （Ⅱ）若3 4 =p 且抛物线2C 的焦点在直线AB 上，求m 的值及直线AB 的方程.
圆锥曲线的弦长公式及其推导过程
圆锥曲线的弦长公式及 其推导过程 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
圆锥曲线的弦长公式及其推导过程 关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线b kx y +=代入曲线方程，化为关于x 的一元二次方程，设出交点坐标()(),,,,2211y x B y x A 利用韦达定理及弦长公式]4))[(1(212212x x x x k -++求出弦长，这种整体代换、设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐，若利用圆锥曲线的定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷. 一、椭圆的焦点弦长 若椭圆方程为)0(122 22>>=+b a b y a x ，半焦距为c>0，焦点)0,(),0,(21c F c F -，设 过1F 的直线l 的倾斜角为l ,α交椭圆于两点()(),,,,2211y x B y x A 求弦长AB . 解：连结B F A F 22,，设y B F x A F ==11,，由椭圆定义得 y a B F x a A F -=-=2,222，由余弦定理得222)2(cos 22)2(x a c x c x -=??-+α，整 理可得αcos 2?-=c a b x ，同理可求得αcos 2 ?+=c a b y ，则 α αα2222 22cos 2cos cos c a ab c a b c a b y x AB -=?++?-=+=； 同理可求得焦点在y 轴上的过焦点弦长为α 2222 sin 2c a ab AB -=（a 为长半轴， b 为短半轴， c 为半焦距）.
高考数学圆锥曲线专题之1弦长面积【习题版】
圆锥曲线专题之弦长面积 一．解答题（共13小题） 1．（2018?西城区二模）已知直线:1l y kx =+与抛物线2:4C y x =相切于点P ． （Ⅰ）求直线l 的方程及点P 的坐标； （Ⅱ）设Q 在抛物线C 上，A 为PQ 的中点．过A 作y 轴的垂线，分别交抛物线C 和直线l 于M ，N ．记PMN ?的面积为1S ，QAM ?的面积为2S ，证明：12S S =．
2．（2011?顺义区二模）已知椭圆C 的左，右焦点坐标分别为12(F F ，离心率 ．椭圆C 的左，右顶点分别记为A ，B ．点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线AS ，BS 与直线10 :3 l x =-分别交于M ，N 两点． （1）求椭圆C 的方程； （2）求线段MN 长度的最小值； （3）当线段MN 的长度最小时，在椭圆C 上的T 满足：TSA ?的面积为1 5 ．试确定点T 的个 数．
3．（2018?海淀区二模）已知椭圆 2 2 :1 4 x C y +=，F为右焦点，圆22 :1 O x y +=，P为椭圆 C上一点，且P位于第一象限，过点P作PT与圆O相切于点T，使得点F，T在OP的两侧． （Ⅰ）求椭圆C的焦距及离心率； （Ⅱ）求四边形OFPT面积的最大值．
4．（2018?房山区二模）椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为1 2，O 为坐标原点，F 是 椭圆C 的右焦点，A 为椭圆C 上一点，且AF x ⊥轴，AFO ?的面积为3 4 ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）过C 上一点0(P x ，00)(0)y y ≠的直线0022: 1x x y y l a b +=与直线AF 相交于点M ，与直线4x =相交于点N ．证明：当点P 在C 上移动时， || || MF NF 恒为定值，并求此定值．