指数与指数幂的运算
指数与指数幂的运算【学习目标】1.理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质(1)理解n 次方根，n 次根式的概念及其性质，能根据性质进行相应的根式计算；(2)能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广，了解它是根式的一种新的写法，能正确进行根式与分数指数幂的互化；(3)能利用有理指数运算性质简化根式运算.2.掌握无理指数幂的概念，将指数的取值范围推广到实数集；3.通过指数范围的扩大，我们要能理解运算的本质，认识到知识之间的联系和转化，认识到符号化思想的重要性，在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力；4.通过对根式与分数指数幂的关系的认识，能学会透过表面去认清事物的本质． 【要点梳理】要点一、整数指数幂的概念及运算性质 1．整数指数幂的概念()()),0(1010*Z*n a a a a a Z n a a a a n n an n ∈≠=≠=∈⋅⋅⋅=-个 2．运算法则 （1）nm nma a a +=⋅；（2）()mn nma a =；（3）()0≠>=-a n m a aa nm n m ，；（4）()mm mb a ab =.要点二、根式的概念和运算法则 1．n 次方根的定义：若x n =y(n ∈N *，n>1，y ∈R)，则x 称为y 的n 次方根.n 为奇数时，正数y 的奇次方根有一个，是正数，记为n y ；负数y 的奇次方根有一个，是负数，记为ny ；零的奇次方根为零，记为00=n ；n 为偶数时，正数y 的偶次方根有两个，记为负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，0=. 2．两个等式（1）当1n >且*n N ∈时，na =；（2）⎩⎨⎧=)(||)(,为偶数为奇数n a n a a n n要点诠释：①要注意上述等式在形式上的联系与区别；②计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成||a 的形式，这样能避免出现错误．要点三、分数指数幂的概念和运算法则 为避免讨论，我们约定a>0，n ，m ∈N *，且mn为既约分数，分数指数幂可如下定义： 1na =m m na ==-1m nm naa=要点四、有理数指数幂的运算 1．有理数指数幂的运算性质()Q b a ∈>>βα,00，，(1);a a aαβαβ+⋅=(2)();a a αβαβ= (3)();ab a b ααα=当a>0，p 为无理数时，a p是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用. 要点诠释：(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如2442)4()4(-≠-；(3)幂指数不能随便约分.如2142)4()4(-≠-.2.指数幂的一般运算步骤 有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：a 2－b 2＝（a －b ）（a ＋b ），（a ±b ）2＝a 2±2ab ＋b 2，（a ±b ）3＝a 3±3a 2b ＋3ab 2±b 3，a 3－b 3＝（a －b ）（a 2＋ab ＋b 2），a 3＋b 3＝（a ＋b ）（a 2－ab ＋b 2）的运用，能够简化运算.【典型例题】 类型一、根式例1.求下列各式的值：（1【答案】 -33π-；0a b b a -⎧⎪⎨⎪-⎩ （a>b ） （a=b ） （a<b ）【解析】 熟练掌握基本根式的运算，特别注意运算结果的符号. （13=-； （2=（3|3|3ππ=-=-；（4||0a b a b b a -⎧⎪=-=⎨⎪-⎩ （a>b ） （a=b ） （a<b ）【总结升华】（1）求偶次方根应注意，正数的偶次方根有两个，例如，4的平方根是2±，2=±. （2）根式运算中，经常会遇到开方与乘方两种运算并存的情况，应注意两者运算顺序是否可换，何时可换.举一反三：【变式1】计算下列各式的值：（12；（34.【答案】（1）-2；（2）3；（3）4π-；（4）2(2)2(2)a a a a -≥⎧⎨-<⎩.例2.计算：（1； （2+.【答案】【解析】 对于（1）需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质求解.对于（2），则应分子、分母同乘以分母的有理化因式.（1==2-|-|2|=+2-（2（2+11=【总结升华】对于多重根式的化简，一般是设法将被开方数化成完全n次方，再解答，或者用整体思想来解题.化简分母含有根式的式子时，将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可，如本例（2）的分子、分母中同乘以1).举一反三：【变式1】化简：（1（2|3)x<【答案】（11；（2）22(31),4(13).x xx---<<⎧⎨-≤<⎩类型二、指数运算、化简、求值例3.用分数指数幂形式表示下列各式（式中a>0）：（1）2a（2）3a（3（4【答案】52a；113a；34a；54y【解析】先将根式写成分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质化简即可．（1）115222222;a a a a a+=⋅==（2）2211333333a a a a a+=⋅==；（31131322224()()a a a a=⋅==；（4）解法一：从里向外化为分数指数幂==11222y xy x ⎛⎫⋅⎪⎝⎭=54y解法二：从外向里化为分数指数幂．12 =11222[)]y x =1112363223{[()]}y x y x y x =11123624123y x y x y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=54y【总结升华】此类问题应熟练应用*0,,,1)m na a m n N =>∈>且n ．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外或由外向里，用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简．举一反三：■高清课程：指数与指数运算 例1【变式1】把下列根式用指数形式表示出来，并化简 （1）52a a ⋅【答案】（1）1310102a ；（2）23x-．【变式2】把下列根式化成分数指数幂：（1（20)a >；（3）3b ；（4．【答案】7122；34a ；113b ；35x-【解析】（1177621222⎛⎫== ⎪⎝⎭；（2313224()a a ====；（3）2113333b b b b =⋅=；（4=3591353511()xx x-===．例4.计算：(1)1111200.253473(0.0081)3()81(3)88-----⎡⎤⎡⎤-⨯⋅+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；(2)433333391624337+--++【答案】 3；0；2【解析】(1)原式=331310)3231(31)3.0(211=-=+---；(2)原式=033236373333=+--；(3)原式=-5+6+4-π-(3-π)=2；注意：（1）运算顺序(能否应用公式)；（2）指数为负先化正；（3）根式化为分数指数幂.举一反三：【变式1】计算下列各式：(1)63425.031)32(28)67()81(⨯+⨯+-⨯-；(2)33323323134)21(428aabbababaa⨯-÷++-. 【答案】 112；a．【解析】(1)原式=62163141413)31)(1()3()2(2)2(18⨯+⨯+⨯--1123222324143=⨯++=+；(2)原式313131312313131231312)2(2)()8(abaabbaabaa⨯-⨯++-=ababaa=--=++331331313131)2()()8(.【变式2】计算下列各式：■高清课程：指数与指数运算例33312)26()03.1(2323)661()41(-⋅--+++--【答案】21+4【解析】原式344．例5.化简下列各式.(1)2132111136251546x yx y x y---⎛⎫⎛⎫--⎪⎪⎝⎭⎝⎭；(2)111222m mm m--+++；(3)10.5233277(0.027)21259-⎛⎫⎛⎫+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【答案】1624y；1122m m-+；0.09【解析】(1)即合并同类项的想法，常数与常数进行运算，同一字母的化为该字母的指数运算；(2)对字母运算的理解要求较高，即能够认出分数指数的完全平方关系；(3)具体数字的运算，学会如何简化运算.(1)2132111136251546x yx y x y---⎛⎫⎛⎫--⎪⎪⎝⎭⎝⎭21111()(1)()3322665(4)5x y-------⎛⎫=⨯-⨯- ⎪⎝⎭11066 2424x y y ==(2)2112211 122 111122222m mm mm m m m m m-----⎛⎫+⎪++⎝⎭==+ ++(3)10.5233277 (0.027)21259-⎛⎫⎛⎫+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭255=0.0933++-举一反三：【变式1】化简：.【答案】5766x y【解析】原式=1157113323233662222[()]()xy x y xy x y x y⋅=⋅⋅=.注意：当n(0)||(0)a aaa a≥⎧==⎨-<⎩.【变式2】化简222222223333x y x yx y x y--------+--+-【答案】-【解析】应注意到223x x--与之间的关系，对分子使用乘法公式进行因式分解，原式22223333333322223333()()()()x y x y xyxy--------+-=-+-22222222222233333333()()[()()]x xyy x x yy --------=-⋅+-++232()xy -=-=-【总结升华】根式的化简结果应写为最简根式.(1)被开方数的指数与根指数互质；(2)被开方数分母为1，且不含非正整数指数幂；(3)被开方数的每个因数的指数小于根指数.【变式3】化简下列式子：【答案】2x(x 1)2(x 1)≥-⎧⎨-<-⎩【解析】 (1)原式===26+===(2)22244(18+=+0===>=(3)33x 3x x 1-==-x 1(x 1)|x 1|x 1(x 1)+≥-⎧=+=⎨--<-⎩ 2x(x 1)2(x 1)≥-⎧=⎨-<-⎩. ■高清课程：指数与指数运算 例4 例6．已知32121=+-x x ，求23222323-+-+--x x x x 的值． 【答案】13【解析】 从已知条件中解出x 的值，然后代入求值，这种方法是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件32121=+-xx 的联系，进而整体代入求值．32121=+-x x ，∴129x x -++=，∴17x x -+= ∴22249x x -++=，∴2245x x -+=∴23222323-+-+--x x x x =11122()(1)3472x x x x --+-+-- =3(71)315145453⨯--==【总结升华】 对于“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采用“整体代换”或“化简后代换”方法求值．本题的关键是先求3322x x -+及22x x -+的值，然后整体代入．举一反三： 【变式1】求值： (1)已知11225x x-+=，求21x x+的值；(2)已知a>0， b>0， 且a b=b a， b=9a ，求a 的值. 【答案】 23【解析】熟练掌握幂的运算是关键问题. (1)由11225x x-+=，两边同时平方得x+2+x -1=25，整理得：x+x -1=23，则有2123x x+=；(2)a>0， b>0， 又∵ a b=b a， ∴1119()()(9)a b a b b b a b a b a a =⇒=⇒= ∴81829993a a a =⇒=⇒=巩固练习 一、选择题 1.若13x <） A.31x -B.13x -C. 2(13)x -D. 非以上答案2.若a =b =a b +=（ ） A.1B.5C. -1D. 25π-3.计算132-⋅ ）A.32B.16C. 64D.1284.化简1111132168421212121212-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，结果是（ ）A.11321122--⎛⎫- ⎪⎝⎭B.113212--⎛⎫- ⎪⎝⎭ C.13212-- D.1321122-⎛⎫- ⎪⎝⎭5.44等于（ ） A.16aB.8aC.4aD.2a6.若1,0a b ><，且b ba a -+=b b a a --的值等于（ ）A.6B.2±C.2-D.2二、填空题 7.计算(33= .8.2)b <<= .9.22133(2)(2)---⎛-+- ⎝= .10.若3,2a b <= . 三、解答题 11.计算：（1）11221233112534316-⎡⎤⎛⎫⎢⎥++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；（2）12323410.027500.00164-⎡⎤⎛⎫+⨯⎢⎥⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.12.计算下列各式：（1）011430.753237(0.064)(2)16|0.01|8---⎛⎫⎡⎤--+-++- ⎪⎣⎦⎝⎭；（2）1122111122222a b a b a b a ba b-+-⋅-+-。
指数与指数幂的运算
指数与指数幂的运算一、 知识要点1．如果一个数的n 次方等于a (n >1，且n ∈N *)，那么这个数叫做a 的n 次方根． 式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．2．根式的两条基本性质(1)性质1：(n a)n ＝a (n>1，n ∈N *，当n 为奇数时，a ∈R ；当n 为偶数时，a ≥0)．(2)性质2：n a n ＝⎩⎨⎧a ，n 为奇数|a |，n 为偶数(n >1，n ∈N *)． 3．分数指数幂的定义：(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：a m n ＝n a m (a >0，n 、m ∈N *，且n >1)； (2)规定正数的负分数指数幂的意义是：a －m n ＝1a m n(a >0，n 、m ∈N *，且n >1)； (3)0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义．4．整数指数幂的运算性质对于实数指数幂也同样适用即对任意实数r ，s ，均有(1)a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈R )(指数相加律)；(2)(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈R ) (指数相乘律)；(3)(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈R )(指数分配律)要注意上述运算性质中，底数大于0的要求二、 例题讲解1、根式的化简与求值例1 求下列各式的值： (1)5(－3)5； (2)4(－9)2； (3)(a －b )2.变式 计算下列各式的值： (1)3(－8)3； (2)(－10)2； (3)3(3－π)3.2、根式与分数指数幂的互化例2 用分数指数幂的形式表示下列各式(式中a >0)：(1)a 2·a ；(2)a 3·3a 2；(3)a a .变式 a 2a ·3a 2 (a >0)．3、利用幂的运算性质化简、求值例3．计算下列各式： (1)13(0.064)-－⎝ ⎛⎭⎪⎫－780＋4-33[(-2)]＋0.7516-＋12|-0.01|；0)a >例4．已知1122a a -+=3，求下列各式的值：（1）1a a -+； （2）22a a -+； （3）33221122a aa a ----练习 已知x +x -1=3，求下列各式的值.（1）1122x x -+； （2）3322x x -+.课时作业一、选择题1．下列运算中，正确的是( )A ．a 2·a 3＝a 6B ．(－a 2)5＝(－a 5)2C ．(a －1)0＝0D ．(－a 2)5＝－a 102．化简(x ＋3)2－3(x －3)3得( )A ．6B ．2xC ．6或－2xD ．－2x 或6或2x3．(34a 6)2·(43a 6)2等于( )A ．aB ．a 2C ．a 3D ．a 44．把根式－25(a －b )－2改写成分数指数幂的形式为() A ．－2(a －b )－25 B ．－2(a －b )－52C ．－2(a －25－b －25)D ．－2(a －52－b －52)5. ）.A.B. C. 3 D. 7296. 3(a >0)的值是（ ）.A. 1B. aC. 15a D. 1710a7. 下列各式中成立的是（ ）.A ．1777()n n m m= B ．C 34()x y =+D ． =8．化简4111236241()3a b a b +-的结果是( ) A ．6a B ．－a C ．－9a D ．9a二、填空题 9．计算：2364-的值是________． 10．化简－x 3x 的结果是________．化简2115113366221()(3)()3a b a b a b -÷= 11．设5x ＝4,5y ＝2，则52x －y ＝________.三、解答题 9．计算：(0.027)13-－⎝ ⎛⎭⎪⎫－17－2＋25634－3＋(2－1)0.12．化简： (1)(a －1)2＋(1－a )2＋3(1－a )3；。
指数与指数幂的运算
34）=（
2
）-3
=
27
81
3
38
例3:用分数指数幂表示下列各式(式中a>0)
（1）a2 a （2）a3 3 a2 （3） a a
解（ : 1）a2
a
a2
1
a2
2 1
a2
5
a2
（2）a3 3
a2
2
a3 a3
3 2
a 3
11
a3
（3）a a
1
aa2
（a112）12
a
3 4
例题讲解
一、根式与分数指数幂的互化
成立的x的范围.
解: (x 2)(x2 4) ( x 2)2 x 2
x 2 x 2.
x 2 x 2 ( x 2) x 2.
则有
x
2
0,
或
x 2 0, | x 2 | x
2.
x
2, 或
x x
2, 2≥
即
0.
x
2,
或x
≥
2.
所以x的取值范围是
x 2, 或x ≥ 2.
回顾初中知识,根式是如何定义的？有那些规定？
①如果一个数的平方等于a,则这个数叫做 a的平方根.
22=4 (-2)2=4
2,-2叫4的平方根.
②如果一个数的立方等于a,则这个数叫做a 的立方根.
23=8 (-2)3=-8
2叫8的立方根. -2叫-8的立方根.
24=16
(-2)4=16
2,-2叫16的4次方根;
24=16 (-2)4=16
(-2)5=-32 27=128
16的4次方根是±2.
-32的5次方根是-2. 2是128的7次方根.
指数与指数幂的运算
在经济学中，指数函数和指数幂运算可以用于描 述商品价格和需求量之间的关系。
人口增长
在研究人口增长时，指数函数和指数幂运算可以 用于描述人口随时间的变化趋势。
THANKS
指数与指数幂的运算
$number {01} 汇报人：
2023-12-28
目录
• 指数幂的定义与性质 • 指数的性质与运算 • 指数幂的运算 • 复合指数幂的运算 • 指数与指数幂的应用
01
指数幂的定义与性质
定义
指数幂的定义
指数幂是一种数学运算方式，表示一 个数以另一个数为底数的幂次方。例 如，a^b表示a的b次方。
详细描述
在复合指数幂的运算中，需要遵循幂的乘法法则、除法法则、乘方和开方等基本 运算规则。例如，a^(m^n) = (a^m)^n，a^(mn) = (a^m)^n 等。
复合指数幂的简化
总结词
简化复合指数幂的过程主要是通过提 取公因子、合并同类项和化简表达式 等方式。
详细描述
在简化复合指数幂时，可以提取公因 子，将同类项合并，化简表达式，使 其更易于理解和计算。例如， a^(m+n) = a^m * a^n，a^(m-n) = a^m / a^n 等。
指数幂的性质
指数幂具有一些基本性质，如 a^(m+n)=a^m×a^n，a^(mn)=（ a^m）^n等。
性质
1 3
非零数的0次幂为1
对于任何非零数a，有a^0=1。
任何数的1次幂等于它本身
2
对于任何数a，有a^1=a。
负数的偶次幂为正，奇次幂为负
对于任何负数a，有a^(2n)=（a^2）^n＞0，a^(2n+1)=（a^2）^n＜0（n为自然数）。
指数与指数幂的运算知识点总结
指数与指数幂的运算知识点总结本节知识点 （1）整数指数幂; （2）根式; （3）分数指数幂; （4）有理数指数幂; （5）无理数指数幂. 知识点一 整数指数幂1.正整数指数幂的定义:,其中N*.an na a a a 个⋅⋅=∈n 2.正整数指数幂的运算法则: （1）(N*);nm nmaa a +=⋅∈n m ,（2）（且N*）;nm nma a a -=÷,,0n m a >≠∈n m ,（3）(N*);()mn nma a=∈n m ,（4）(N*);()mmmb a ab =∈m （5）（N*）.m m mb a b a =⎪⎭⎫⎝⎛,0≠b ∈m 3.两个规定（1）任何不等于零的数的零次幂都等于1.即.()010≠=a a 零的零次幂没有意义.（2）任何不等于零的数的（为正整数）次幂,等于这个数的次幂的倒数.即:n -n n . ()01≠=-a a a nn 零的负整指数幂没有意义. 知识点二 根式的概念及其性质 1.次方根n （1）定义 一般地,如果（且N*）,那么叫做的次方根. a x n=1>n ∈n x a n （2）性质:①当为奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数,这时,的次n n n a n方根用表示;na ②当为偶数时,正数的次方根有两个,这两个数互为相反数,表示为.负数没有偶n n na ±次方根;③0的任何次方根都是0,记作.00=n2.根式的定义 形如（且N*）的式子叫做根式,其中叫做根指数,叫做被na 1>n ∈n n a 开方数.对根式的理解,要注意以下几点: na （1）且N*; 1>n ∈n （2）当为奇数时,R ; n ∈a （3）当为偶数时,≥0.n a 根式（且N*）的符号的确定:由的奇偶性和被开方数的符号共同确定. na 1>n ∈n n a （1）当为奇数时,的符号与的符号相同; n na a （2）当为偶数时,≥0,为非负数. n a na 3.根式的性质: （1）;()a a nn=（2）对于,当为奇数时,;当为偶数时,.nna n a a nn=n ()()⎩⎨⎧≤-≥==00a a a a a a nn与的联系与区别:()nna nn a （1）对于,当为奇数时,R ;当为偶数时,≥0.而对于,是一个恒有意义()nna n ∈a n a nn a 的式子,不受的奇偶性的限制,但式子的值受到的奇偶性的限制. n n （2）当为奇数时,.n ()=nna a a nn =知识点三 分数指数幂1. 规定正数的正分数指数幂的意义是（,N*,且）nm nm a a =0>a ∈n m ,1>n 于是在条件,N*,且下,根式都可以写成分数指数幂的形式.0>a ∈n m ,1>n2. 正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿,规定（,N*,且）nmnm nm aaa11==-0>a ∈n m ,1>n 3. 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 对分数指数幂的理解:（1）分数指数幂不能理解为个相乘,它是根式的一种新的写法; nm a nma （2）分数指数不能随意约分. nm如,事实上,,式子是有意义的;而在()()214233-≠-()()424233-=-()3321-=-实数范围内是没有意义的.（3）在保证相应的根式有意义的前提下,负数也存在分数指数幂.如上面提到的,但没有意义.()()424233-=-()()434355-=-所以对于分数指数幂,当≤0时,有时有意义,有时无意义.因此,在规定分数指数幂的nm a a 意义时,要求. 0>a 知识点四 有理数指数幂规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数. 整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂同样适用: （1）（Q ）;sr sra a a +=⋅,0>a s r ,∈（2）（Q ）;()rs sra a=,0>a s r ,∈（3）（Q ）.()rrrb a ab =0,0>>b a r ∈有理数指数幂的运算还有如下性质: （4）（Q ）;sr sraa a -=÷,0>a s r ,∈（5）（Q ）.r r rb a b a =⎪⎭⎫⎝⎛0,0>>b a r ∈常用结论:（1）当时,; 0>a 0>ba （2）若则;,0≠a 10=a（3）若（,且）,则; sr a a =0>a 1≠a s r =（4）乘法公式适用于分数指数幂.如（）.b a b a b a b a -=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+221221212121210,0>>b a 知识点五 无理数指数幂一般地,无理数指数幂（,是无理数）是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性αa 0>a α质同样适用于无理数指数幂.知识点六 运用公式进行指数幂的运算（条件求值） 常用公式:（1）平方差公式 .()()b a b a b a -+=-22（2）完全平方公式 .()()2222222,2b ab a b a b ab a b a +-=-++=+（3）立方和公式 . ()()2233bab a b a b a +-+=+（4）立方差公式 .()()2233bab a b a b a ++-=-（5）完全立方和公式 .()3223333b ab b a a b a +++=+（6）完全立方差公式 .()3223333b ab b a a b a -+-=-常用公式变形:（1）,.()ab b a b a 2222-+=+()ab b a b a 2222+-=+（2）,.211222-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+x x x x 211222+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+x x x x 或者写成,.()22122-+=+--x x xx ()22122+-=+--x x x x （3）;⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+b b a a b a b a b a 212121213213212323.⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-b b a a b a b a b a 212121213213212323例题讲解例1. 已知,求的值.32121=+-x x 32222323++++--x x x x 分析:采用整体思想方法,对所求式子进行合理变形,然后把条件整体代入求值.本题用到的公式和结论有:;()22122-+=+--x x x x . ()()1112121121213213212323-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+------x x x x x x x x x x xx 解:∵32121=+-xx ∴,∴. 92122121=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--x x x x 71=+-x x ∴.()4727222122=-=-+=+--x x x x ()()181731121213213212323=-⨯=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+----x x x x x x xx ∴.52502034721832222323==++=++++--x x x x 例2. 已知,求下列各式的值:22121=+-a a （1）; （2）; （3）.1-+a a 22-+a a 22--a a 分析:在求的值时,直接入手比较困难,我们可以先求出的值,然22--a a ()222--a a 后在进行开平方运算. 解:（1）∵22121=+-aa ∴,∴; 42122121=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--a a a a 21=+-a a （2）;()222222122=-=-+=+--a a a a （3）∵()()04242222222=-=-+=---a a a a ∴. 022=--a a例3. 已知,其中,求的值.41=+-x x 10<<x xx x x 122+--分析:要学会根式与分数指数幂的相互转化,在转化时要注意:根指数是分数指数的分母,被开方数（或式）的指数是分数指数的分子.解:∵41=+-x x ∴,∴,∴. 4222121=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x 622121=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x 62121=+-x x()1424222122=-=-+=+--x x x x ∴()()19241442222222=-=-+=---x x x x ∵,∴,∴.10<<x 22-<x x 3819222-=-=--x x ∴. 24638121212222-=-=+-=+----x x x x x x x x 例4. （1）已知,求的值;42121=+-aa 21212323----aa a a （2）已知,且,求的值;9,12==+xy y x y x <21212121yx y x +-解:（1）∵42121=+-aa ∴,∴. 212212142=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--a a a a 142161=-=+-a a ∴; ()15114111212112121212132132121212323=+=++=-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=----------a a a a a a a a a a a a aa a a （2）∵9,12==+xy y x ∴ ()()3192129212222221212212122121221212121=+-=++-+=++-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-xy y x xy y x xy y x xy y x y x y x y x y x∵,∴,∴y x <2121y x <021212121<+-yx y x ∴. 333121212121-=-=+-yx y x 例5. 已知,求的值.3232+=a 31311--++aa a a 分析:借助于分式的性质. 解:∵ 3232+=a ∴,.3232113232-=+==-a a()34732223234+=+=⎪⎭⎫⎝⎛=a a ∴()132323431313113131311++=⎪⎭⎫⎝⎛++=++-----a aa a a a a a a aa aa .()3333333333913232347=++=++=++-++=解法二:∵3232+=a ∴113232313132323131313133133131311-+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++--------a a a a a a a a a a a a aa a a .313232132132113232=--++=-+++=-+=aa 例6. （1）当时,求的值;22,22-=+=y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛----323132343132y y x x y x （2）若,求的值. 122-=xaxx xx aa a a --++33分析: 结论 对于二次根式,若是完全平方数,则也是完全C B A ±C B A 22-C B A ±平方数. 本题中,,被开方数不是完全平方数,所以不能化简,当确有22+=x 22+x.()222222+=+=x 解:（1）∵22,22-=+=y x ∴12331332323132343132------=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x y x y y x x y x ; ()22122222221222+=+-+=--+=（2）∵122-=x a ∴ ()()()()1122223333-+=++-+=++=++--------xx xx x x x x x x x x x x x x a a aa a a a a a a a a a a a a . 1121121122--+-=-+=xx a a 12211212-=-++-=另解:解例5的解法一.题型一 整数指数幂的运算例7. 已知（为常数,且Z ）,求的值.a x x =+-22a ∈x x x -+88分析:因为,所以先由条()()()()x x x x x x x x x x 22333321222222288-----+-+=+=+=+件求出的值.a x x =+-22x x 2222-+完全立方和公式 .()3223333b ab b a a b a +++=+解法一:∵a x x =+-22∴()2222222222-=-+=+--a x x x x ∴()()()()x x x x x x x x x x 22333321222222288-----+-+=+=+=+.()()a a a a a a 3312322-=-=--=解法二:（完全立方和公式） ∵a x x =+-22∴,展开得:.()3322a x x =+-()()()()3322322232232a x x x x x x =+⨯⨯+⨯⨯+---整理得:,∴. ()382238a x x x x =+++--3838a a x x =++-∴.a a x x 3883-=+-例8. 已知,则_________. 3101=+-x x =--22x x 解:∵ 3101=+-x x ∴ ()9822310222122=-⎪⎭⎫⎝⎛=-+=+--x x xx ∴ ()()816400498242222222=-⎪⎭⎫⎝⎛=-+=---x x x x ∴. 98081640022±=±=--x x 解法二分析:使用平方差公式得. ()()1122----+=-x x x x x x 解法二:∵ 3101=+-x x ∴ ()()9644310422121=-⎪⎭⎫⎝⎛=-+=---x x xx ∴. 389641±=±=--x x ∴. ()()980383101122±=⎪⎭⎫ ⎝⎛±⨯=-+=----x x x x x x 例9. 若,求的值. 31=+-x x 2323-+x x 解:∵（这里）31=+-x x 0>x ∴,∴. 3222121=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x 522121=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x ∵,∴.02121>+-x x 52121=+-xx ∴ ()1212132132123231----+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+x x x x x x xx . ()52135=-⨯=解法二:∵31=+-x x ∴()723222122=-=-+=+--x x x x∴ ()()()202173122213322323=+-⨯=+-+=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+----x x x x x x x x ∴.52202323==+-xx 例10. 已知,则【 】41=+-x x =+-2121x x （A ）2 （B ）2或 2-（C ）（D ）或666-分析:题目的隐含条件为. 0>x 解:∵41=+-x x ∴,∴ 42221211=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+--x x x x 622121=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x ∵02121>+-x x ∴.选择【 C 】.62121=+-x x例11. 已知,则【 】212121++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--x x x x f ()=+1x f （A ） （B ）42-x ()21+x （C ）（D ）()()2111-+++-x x 322-+x x 解:（换元法）设,则有t xx =+-2121∴222221211-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+--t x x x x ∴,∴. ()2222t t t f =+-=()2x x f =∴.选择【 B 】.()()211+=+x x f 解法二（凑整法）:∵212121++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--x x x x f ∴,∴.2212122121212122⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+---x x x x x x f ()2x x f =∴.()()211+=+x x f题型二 根式的化简在进行根式的化简时,主要用到的是根式的性质: （1）;()a a nn=（2）对于,当为奇数时,;当为偶数时,.nna n a a nn=n ()()⎩⎨⎧≤-≥==00a a a a a a nn注意 对于,当为奇数时,R ;当为偶数时,≥0.而对于,是一个恒有意()nna n ∈a n a nn a 义的式子,不受的奇偶性的限制,但式子的值受到的奇偶性的限制.n n 例12. 化简下列各式: （1）;()()222535-+-（2）（≥1）.()()2231x x -+-x 解:（1）原式;125532535=-+-=-+-=（2）.()()x x x x -+-=-+-313122∵≥1x ∴当1≤≤3时,原式; x 231=-+-=x x 当时,原式. 3>x 4231-=-+-=x x x 例13. 化简: （1）; （2）（≤）.()nnx π-62144+-a a a 21分析:对于（1）,要对的奇偶性进行分类讨论. n 解:（1）当为奇数时,;n ()ππ-=-x x nn 当为偶数时,; n ()()()⎩⎨⎧<-≥-=-=-ππππππx x x x x x nn（2）.()()()33162626221212112144a a a a a a -=-=-=-=+-注意:当底数为正数时,其分数指数可以约分.例14. 求下列各式的值: （1）;223223-++（2）.347246625-+--+分析: 结论 对于二次根式,若是完全平方数,则也是完全C B A ±C B A 22-C B A ±平方数.根据此结论,可知,,均可以化为完全平方的形式. 625+246-347-解:（1）原式;()()221212*********2=-++=-++=-++=（2）原式()()()222322232-+--+=.22322232322232=-++-+=-+--+=总结 形如（）的双重二次根式的化简,一般是将其化为n m 2±0,0>>n m 的形式,然后再化简.由得:()2ba ±()ab b a ba n m 222±+=±=± ⎩⎨⎧==+nab mb a 所以是一元二次方程的两个实数根.b a ,02=+-n mx x 例15. 化简. 32-解:. ()()226213213222132324322-=-=-=-=-=-例16. 计算:.()()4123323-+-解:原式.()[]()58323233443=+-=-+-=-+-=注意 在利用根式的性质进行的化简时,一定要注意当为偶数时,底数的符号.nna n a 例17. 化简下列各式: （1）（）;()()665544b a b a a -+++0<<b a （2）（）. 1212----+x x x x 21<<x 解:（1）∵0<<b a ∴原式; ()a b a b b a a b a b a a -=-+++-=-+++=2（2）∵,∴ 21<<x 110<-<x ∴原式()()1111111122---+-=---+-=x x x x. ()1211111111-=-+-+-=---+-=x x x x x 例18. 求值_________. =-++335252解:令,则有y x =-=+3352,52,.4525233=-++=+y x 1-=xy ∴,∴()()422=+-+y xy x y x ()()[]432=-++xy y x y x 设,则,有t y x =+0>t ,∴,()432=+t t 0433=-+t t 01333=--+t t ∴()()0412=++-t t t ∵,∴,∴. 042>++t t 01=-t 1=t ∴. 1525233=-++解法二:设,则有=x 335252-++,∴()x x 3452523333-=-++=0432=-+x x∴, ()()03313=-+-x x ()()0412=++-x x x ∵,∴,∴ 042>++x x 01=-x 1=x ∴. 1525233=-++例19. 根据已知条件求值: （1）已知,求的值;32,21==y x yx y x yx y x +---+（2）已知是方程的两根,且,求的值.b a ,0462=+-x x 0>>b a ba b a +-解:（1）∵ 32,21==y x ∴原式()()()()()()yx yx yx yx yx yx -+--+-+=22yx xyy x y x xy y x --+--++=22; 383221322144-=-⨯⨯=-=yx xy（2）∵是方程的两根 b a ,0462=+-x x ∴4,6==+ab b a ∴()()204464222=⨯-=-+=-ab b a b a ∵,∴ 0>>b a 0>-b a ∴. 5220==-b a ∴. ()()()55515242622==-=--+=-+-=+-b a ab b a ba ba ba ba b a （2）解法二:∵是方程的两根,∴b a ,0462=+-x x 4,6==+ab b a ∴. ()()5110242642622222==+-=++-+=+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-abb a ab b a b a b a b a b a ∵,∴,∴0>>b a b a >0>+-ba b a ∴. 5551==+-ba b a 例20. 已知,N*,求的值.⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-nn x 115521∈n ()n x x 21++解:∵⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-n nx 115521∴.n n n n n n x 222221125215525411552111---++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+2115541⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-n n∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-n nx 11255211∴.()55552155211111112=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++--nn n nn n n nx x例21. 已知函数,.()53131--=x x x f ()53131-+=x x x g （1）证明:在上是增函数（已知在R 上是增函数）;()x f ()+∞,031x y =（2）分别计算和的值,由此概括出函数和()()()2254g f f -()()()3359g f f -()x f 对所有不等于0的实数都成立的一个等式,并加以证明.()x g x （1）证明:任取,且()+∞∈,0,21x x 21x x <∴ ()()55531131231231131231231131121⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---=-----x x x x x x x x x f x f ∵,且,在R 上是增函数 ()+∞∈,0,21x x 21x x <31x y =∴312311312311,--><x x x x ∴,∴ ()()021<-x f x f ()()21x f x f <∴在上是增函数; ()x f ()+∞,0（2）解:()()()2254g f f -.0522522552222554432323232313131313131=---=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯--=-----同样求得. ()()()03359=-g f f 猜想:. ()()()052=-x g x f x f 证明:()()()x g x f x f 52-.055555532323232313131313232=---=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯--=-----x x x x x x x x xx 例22. 当,且时,求的值.0,0>>y x ()()y x y y x x 53+⋅=+yxy x y xy x -+++32解:∵,且0,0>>y x ()()y x y y x x53+⋅=+∴, y xy xy x 153+=+0152=--y xy x ∴()()053=-+y x yx ∴,. 05=-y x y x y x 25,5==∴.22958525355032==-+++=-+++yyy y y y y y yxy x y xy x 题型三 根式与分数指数幂的互化在进行根式与分数指数幂的互化时要注意两个对应: （1）根指数对应分数指数的分母;（2）被开方数（或式）的指数对应分数指数的分子. 当出现多重根号时,应从里向外化简.例23. 用根式或分数指数幂表示下列各式:,,,;.51a ()043>a a 36a ()013>a a()0>a a a 解:;551a a =;()43430a a a =>;23636a a a ==;()23233101-==>a aa a.()4323210a a a a a a a ==⋅=>例24. 将根式化为分数指数幂是【 】 53-a （A ） （B ）（C ）（D ）53-a 53a 53a -35a -解:选择【 A 】. 例25. 化简:_________.（用分数指数幂表示）()()=⋅÷⋅109532a a a a 解:由题意可知:.0>a ∴原式.561012101451310921532a a a a a a a a ==÷=⎪⎭⎫⎝⎛⋅÷⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=例26. 设,化简:.0>a 434334aa a a -解:∵0>a ∴.611616653163254343234434334---===⋅⋅=aaa aa a a aa aa aa例27. 下列根式与分数指数幂的互化中,正确的是【 】 （A ）（B ）()()0414>-=-x x x )0551≠-=-x x x（C ） （D ）()0,4343≠⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x x y y x 4182y y =解:（A ）,故（A ）错;()0414>-=-x x x （B ）,故（B ）错; ()0155151≠==--x xx x（D ）,故（D ）错. 选择【 C 】. 4182y y =例28. 下列各式正确的是【 】 （A ）;（B ）35531aa=-2332x x =（C ）（D ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-=814121814121aaa a x x x x 412212323131-=⎪⎭⎫ ⎝⎛---解:（A ）,故（A ）错;53535311aaa ==-（B ）,故（B ）错; 3232x x =（C ）,故（C ）错. 选择【 D 】.85814121814121a aaa a ==⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-题型四 根式和分数指数幂有意义的条件1.对于次根式,当为奇数时,R ;当为偶数时,≥0. n na n ∈a n a 2.0的0次幂和负实数幂都没有意义.例29. 若有意义,则的取值范围是__________.()4321--x x解:∵()()()43434321121121x x x -=-=--∴,解之得:. 021>-x 21<x 即的取值范围是.x ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-21,例30. 函数的定义域是【 】()()2125--+-=x x y （A ） （B ）{}2,5≠≠x x x {}2>x x （C ） （D ）{}5>x x {}552><<x x x 或解:∵()()()()()215215250210210-+-=-+-=-+-=-x x x x x x y ∴,解之得:且.⎩⎨⎧>-≠-0205x x 2>x 5≠x ∴该函数的定义域为.选择【 D 】.()()+∞,55,2 题型五 幂的运算目前,当底数大于0时,指数已经由整数指数推广到了实数指数,整数指数幂的运算性质适用于实数指数幂的运算.运算的结果可以化成根式形式或者保留分数指数幂的形式,但不能既有根式又有分数指数幂,也不能同时含有分母和负指数幂.（1）（R ）; s r s r a a a +=⋅∈>s r a ,,0（2）（R ）;()rs sr a a =∈>s r a ,,0（3）（R ）.()r r rb a ab =∈>>r b a ,0,0例31. 计算下列各式（式中的字母均为正数）: （1）;()()()c b a b a b a 24132124-----÷-⋅（2）. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--+----------212121211122b a b a b a b a 解:（1）原式;()ca ac cb a b a 33112412423-=-=÷-=-----（2）原式 ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+---=--------21212121112121b a b a b a b a ()()()bb b a b a b a ba b a b a221111111111111==+-+=----+=-------------例32. 化简下列各式: （1）;212121211111aaa a a++------（2）.111113131313132---+++++-x xx x x x x x 解:（1）原式; ()()011112121212121211=-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+---=-----a a a a a a a a a （2）原式 11111131323131333131323331-⎪⎭⎫ ⎝⎛--++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x x x x x x x 31323132313131313131313231313231323111111111111xx x x x x x x x x x x x x x x x x --+-+-=-⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=.31x -=例33. 化简:. ()()()()()1421443333211--------++-++-+aa a a a a a a a a a a解:原式 ()()()()()()1221442212212111---------+-+-++++-+-+=a a a a a a a a a a a a a aa a ()[]()[]()()1214412222111--------++++++-+=aa a a a a a a a a a a()()aa a a a aa a a a a a a 21111144144=-++=-++++++=------例34. 化简下列各式:（1）;（2）.436532yx xy⋅1111212331++-+++a a a a a 解:（1）原式;1212143653231--==yx yx y x （2）原式 111111111121212131313231213321313331++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a a a a a a a a a a a a21313221313211aa a a a a +-=-++-=例35. 【 】 ()=-⎪⎭⎫⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛--21212001.04122532（A ）（B ） （C ）（D ）0151630173658-解:. ()21212001.04122532-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛--1516101324111001491411=-⨯+=-⨯+=选择【 A 】.例36. 化简:_________.=⎪⎪⎭⎫⎝⎛÷⋅⋅----321132132a b b a bab a 解:原式.656161673223236167322121131212132--------=÷=⎪⎭⎫⎝⎛÷=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛÷=b a ab b a b a b a b a ba b a b a 例37._________. =⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛---442102324953121解:原式. 22322322232491112=-++=-++-+=例38. 已知,则的值是_________. 3,2==n m 32432332⎪⎪⎭⎫⎝⎛÷⋅----m n nm m n n m 解:∵3,2==n m ∴原式 32325343322534312322332⎪⎭⎫ ⎝⎛÷=⎪⎭⎫ ⎝⎛÷=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛÷=--------mn n m n m n m n m mn n m n m . 27232333131=⨯==⎪⎭⎫⎝⎛=---mn n m 例39. 已知函数,则_________.()()⎪⎩⎪⎨⎧≥--<=1,351,312x x x x x f =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛--4321353f f 解: ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛---4343213533353f f f f . 33939335353331243=+-=+⎪⎭⎫⎝⎛-+-⨯=-题型六 解含幂的方程例40. 解下列方程:（1）;（2）.2291381+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯x x0123222=-⨯++x x 解:（1）,()2224333+-=⨯x x 424233--+=x x ∴,解之得:;4242--=+x x 2-=x （2）,设,则()0123242=-⨯+⨯x x t x =20>t ∴, 01342=-+t t ()()0114=+-t t 解之得:（舍去）. 1,241221-===-t t ∴,∴.222-=x 2-=x 结论 若（,且）,则sra a =0>a 1≠a s r =题型七 指数幂等式的证明 设参数法例41. 设都是正数,且,求证:. c b a ,,c b a 643==ba c 122+=证明:设,则有. t cba===643cbat t t 12116,2,3===∵ 236⨯=∴,∴ba bacttt t 2112111+=⋅=ba c 2111+=等式两边同时乘以2得:. b a c 122+=例42. 设,且,则_________.m b a ==52211=+ba =m 分析:这是指数幂的连等式,参数已经给出. 解:∵,∴. m ba==52bam m 115,2==∵211=+ba ∴,∴,.2111152m m m m ba ba==⋅=⨯102=m 10±=m ∵,∴. 0>m 10=m 例43. 已知,且. 333cz by ax ==1111=++zy x 求证:.()31313131222c b a czby ax ++=++证明:设,则. t cz by ax ===333zt cz y t by x t ax ===222,,∴.⎪⎭⎫⎝⎛++=++z y x t cz by ax 111222∵,∴ 1111=++z y x t z y x t =⎪⎭⎫⎝⎛++111∴,t cz by ax =++222()3131222t czby ax =++∵3131313313313313131111t z y x t z t y t x t c b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++∴.()31313131222c b a czby ax ++=++例44. 对于正整数（≤≤）和非零实数,若c b a ,,a b c ω,,,z y x ,ω70===z y x c b a ,求的值. zy x 1111++=ωc b a ,,解:设,则有.k c b a zyx====ω70ω111170,,,k k c k b k a zyx====∴zy x k abc 111=∵,∴. zy x 1111++=ω70=abc ∵为正整数,且≤≤ c b a ,,a b c ∴ 752107170⨯⨯=⨯⨯==abc ∴或10,7,1===c b a 7,5,2===c b a 当时,,不符合题意,舍去. 10,7,1===c b a 0===ωz y ∴.7,5,2===c b a 本节易错题例45. 计算_________.()()=-++44332121分析 对于对于,当为奇数时,;当为偶数时,.nna n a a nn=n ()()⎩⎨⎧≤-≥==00a a a a a a nn解:原式.2212212121=-++=-++=例46. 化简_________. ()()=-⋅-43111a a 分析:题目的隐含条件为. 1>a 解:原式.()()()()()()()414343431111111--=-⋅--=-⋅-=-⋅-=---a a a a a a a 例47. 已知,N*,化简.1,0><<n b a ∈n ()()nn nnb a b a ++-解:当为奇数时,原式; n a b a b a 2=++-=当为偶数时,原式.n b a b a ++-=∵,∴原式. 0<<b a a b a a b 2-=---=其它例48. 已知函数,则_________. ()⎪⎩⎪⎨⎧≤⎪⎭⎫ ⎝⎛>=0,210,21x x x x f x ()=-)4(f f 解:∵ ()1621121444=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=--f ∴.()()4161616)4(21====-f f f 例49. 已知集合,,且,则_______.{}4,,2a a A -=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=b a aa B 2,,33B A ==+b a 解:{}{}4,,4,,2a a a a A -=-=根据集合元素的互异性,,∴a a -≠0>a ∴{}b b a a aa B 2,1,2,,33-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=∴,解之得:.⎩⎨⎧==421b a ⎩⎨⎧==21b a ∴ 3.=+b a 例50. 设,若,则()244+=x xx f 10<<x _________. =⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛10011000100131001210011f f f f 解:∵()244+=x x x f ∴()()=+++=+++=+++=-+--2422444444244244244111x x x x x x x x x x x x f x f 12424=++x x ∴ ⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛10011000100131001210011f f f f.500111100150110015001001100010011=++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛= f f f f。
初中数学知识归纳幂与指数的运算
初中数学知识归纳幂与指数的运算在初中数学中，幂与指数的运算是一个重要的概念。
幂是指一个数的多次乘积，而指数表示幂的次数。
本文将对幂与指数的运算进行归纳总结。
一、整数指数幂的运算在进行整数指数幂的运算时，有以下几种情况：1. 同底幂相乘：对于相同的底数，两个幂相乘时，底数不变，指数相加。
例如，a^m * a^n = a^(m+n)。
2. 同底幂相除：对于相同的底数，两个幂相除时，底数不变，指数相减。
例如，a^m / a^n = a^(m-n)。
3. 幂的乘方：对一个幂进行乘方时，底数不变，指数相乘。
例如，(a^m)^n = a^(m*n)。
4. 积的幂：对于两个数的积进行幂运算时，底数相乘，指数保持不变。
例如，(a*b)^n = a^n * b^n。
二、小数指数幂的运算小数指数幂的运算需要借助对数的概念来进行计算。
我们知道，对数是指幂运算与指数运算的逆运算。
具体来说，对于小数指数幂的运算，可以使用如下公式：a^m^n = 10^(log(base 10)(a^m^n))= 10^(m * n * log(base 10)(a))其中，log表示以10为底的对数运算。
通过这个公式，我们可以将小数指数幂转化为以10为底的对数运算，进而进行计算。
三、指数为零与一的特殊情况在幂与指数的运算中，有两个特殊的指数：零和一。
1. 零指数：任何非零数的零指数都等于1。
即，a^0 = 1（a≠0）。
2. 一指数：任何数的一指数都等于它本身。
即，a^1 = a。
这两个特殊情况在幂与指数的运算中经常出现，需要特别注意。
综上所述，初中数学中幂与指数的运算涉及整数指数幂、小数指数幂以及特殊指数的计算。
正确掌握这些运算规则对于学习数学和解决实际问题都具有重要的意义。
希望本文的归纳总结能够对你的数学学习有所帮助。
指数与指数幂的运算 课件
【做一做 2-1】 根式 m 1 的根指数是
是
.
答案:2 m+1
【做一做 2-2】
5
5 2 =
;4 (-2)4 =
答案:-2 2
,被开方数 .
1.对( n a )n的理解 剖析:( n a )n是实数 a 的 n 次方根的 n 次幂,其中实数 a 的取值范围由 n 的
奇偶性来决定:
(1)当 n 为大于 1 的奇数时,( n a )n=a,a∈R.例如,( 3 27 )3=27,( 5 32 )5=32,( 7 0 )7=0.
2.对 n an 的理解
剖析:n an 是实数 an 的 n 次方根,是一个恒有意义的式子,不受 n 的奇偶性
限制,a∈R.但是这个式子的值受 n 的奇偶性限制:
(1)当 n 为大于 1 的奇数时,其值为 a,即 n an =a,例 如,3 (-2)3 =-2,5 6.15 =6.1.
(2)当 n 为大于 1 的偶数时,其值为|a|,即 n an =|a|.例
指数与指数幂的运算
1.n 次方根
定义
一般地,如果xn=a,那么 x叫做 a 的 n 次方根,其中 n>1,且 n∈N*
个数
a>0 n 是奇数
a<0 a>0 n 是偶数 a<0
x>0
x 仅有一个值,记为
x<0
na
x 有两个值,且互为相反数,记为±n a
x 不存在
【做一做 1-1】 3 8 等于( ).
(2)当 n 为大于 1 的偶数时,( n a )n=a,a≥0.例 如,( 4 27 )4=27,( 3 )2=3,( 6 0 )6=0;若 a<0,式子( n a )n无意义,例如,由于 x2=2,x4=-54 均不成立,则 2 , 4 54 均无意义,所以( 2 )2,( 4 54 )4均无意义,也 就不能说它们的值了.由此看来,只要( n a )n有意义,其值就恒等于 a,即( n a )n=a.
(绝对经典)指数与指数幂的运算
2
3 a2 a 3 (a 0),
1
b b 2 (b 0),
5
4 c5 c 4 (c 0).
我们规定正数的正指数分数幂
的意义是:
m
a n n am (a 0, m, n N *,且n 1).
整数指数幂的运算性质对于有理指数幂也同样适用,即对 于任意有理数r，s，均有下面的运算性质：
4. (a b)2 (a b).
4. (a b)2 (a b).
三、分数指数幂 探究:
10
5 a10 5 (a2 )5 a2 a 5 (a 0),
12
4 a12 4 (a4 )3 a3 a 4 (a 0).
0的正分数指数 幂等于0,0 的负 分数指数幂没有
解：a3
a
a3
1
a2
3 1
a2
7
a2;
a2 3
a2
a2
2
a3
2 2
a 3
8
a3;
3 )2 (a 3 )2 a 3.
四、无理指数幂
探究:
在前面的学习中，我们已经把指数由正整数推广到 了有理数，那么，能不能继续推广到实数范围呢？
a＞0，p是一个无理数时，ap的值就可以用两个指数为 p的不足近似值和过剩近似值构成的有理数列无限逼近而 得到(这个近似结果的极限值就等于ap)，故ap是一个确定 的实数.而且有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂 也适用.这样指数的概念就扩充到了整个实数范围.
五、强化练习
练习1:比较 5, 3 11, 6 123的大小.
一、知识回顾
在初中，我们研究了正整数指数幂：一个数a的n次幂等于n个 a的连乘积，即
指数与指数幂的运算练习题
指数与指数幂的运算练习题指数与指数幂的运算练习题在数学中，指数与指数幂是一种常见的运算形式。
通过这种运算，我们可以快速计算出大量的数值，同时也能够更好地理解数学中的乘方概念。
本文将介绍一些指数与指数幂的运算练习题，帮助读者提升运算能力。
一、简单指数运算1. 计算2的3次方。
解析：2的3次方等于2乘以2乘以2，即2 × 2 × 2 = 8。
2. 计算5的2次方。
解析：5的2次方等于5乘以5，即5 × 5 = 25。
3. 计算10的0次方。
解析：任何数的0次方都等于1，所以10的0次方等于1。
4. 计算(-2)的4次方。
解析：(-2)的4次方等于(-2)乘以(-2)乘以(-2)乘以(-2)，即(-2) × (-2) × (-2) × (-2) = 16。
二、指数幂的运算1. 计算2的3次方乘以5的2次方。
解析：2的3次方等于8，5的2次方等于25，所以2的3次方乘以5的2次方等于8乘以25，即8 × 25 = 200。
2. 计算3的4次方除以3的2次方。
解析：3的4次方等于81，3的2次方等于9，所以3的4次方除以3的2次方等于81除以9，即81 ÷ 9 = 9。
3. 计算(-2)的3次方乘以(-2)的2次方。
解析：(-2)的3次方等于-8，(-2)的2次方等于4，所以(-2)的3次方乘以(-2)的2次方等于-8乘以4，即-8 × 4 = -32。
4. 计算10的5次方除以10的3次方。
解析：10的5次方等于100000，10的3次方等于1000，所以10的5次方除以10的3次方等于100000除以1000，即100000 ÷ 1000 = 100。
三、指数运算的特殊规律1. 计算2的3次方的平方。
解析：2的3次方等于8，所以2的3次方的平方等于8的平方，即8 × 8 = 64。
2. 计算3的4次方的开平方。
指数与指数幂的运算必修一
04 复杂指数幂运算技巧
同底数幂相乘相除法则
同底数幂相乘
当底数相同时，指数相加， 即$a^m times a^n = a^{m+n}$。
同底数幂相除
当底数相同时，指数相减， 即$a^m div a^n = a^{m-n}$。
特别注意
当指数为0时，任何非零数 的0次幂都等于1，即 $a^0=1$（a≠0）。
06 总结与拓展
知识点总结回顾
指数幂的定义和基本性质
包括同底数幂的乘法、除法，幂的乘方和积的乘方等基本运算法 则。
指数函数的图像与性质
掌握指数函数的图像特征，了解指数函数的单调性、过定点等性质。
对数与对数运算
理解对数的概念，掌握对数的基本运算法则，如换底公式等。
典型例题分析讲解
指数幂运算的例题
02
对数在科学计算中的作用
讲解对数在科学计算中的重要作用，如地震震级、声音分贝等。
03
指数与对数在其他数学分支中的应用
简要介绍指数与对数在微积分、概率论等其他数学分支中的应用。
学习建议和方法分享
重视基础，打好根基
强调指数与对数基础知识的重要性，建议学生多做基础练习，巩 固基础。
善于归纳，总结规律
鼓励学生在学习过程中善于归纳总结，发现指数与对数的运算规 律。
最值问题
对于某些函数，如二次函数，可以通 过观察其图像顶点位置来判断函数的 最值。
利用函数图像解决不等式问题
不等式求解
对于形如$f(x)>0$或$f(x)<0$的不等式，可以通过观察函数图像与$x$轴的交 点来求解。
不等式组求解
对于由多个不等式组成的不等式组，可以通过分别观察每个不等式的解集，再 求其交集来求解。
§2.1.1指数与指数幂的运算
2.1 指数函数§2.1.1 指数与指数幂的运算一．教学目标：1．知识与技能（1）理解n 次根式和分数指数幂的概念及其性质； （2）掌握分数指数幂和根式之间的互化；（3）掌握分数指数幂的运算性质，能根据性质进行简单的计算； （4）能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简，求值. （5）培养学生观察分析、抽象等的能力. 2．过程与方法通过与初中所学的知识进行类比，通过对根式的学习，得出分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质。
通过训练点评，让学生能更熟练理解和掌握指数幂的运算性质，能进一步认清各种运算间的联系，提高归纳、概括的能力。
3．情态与价值（1）培养学生观察分析，抽象概括问题的能力，使学生了解由特殊到一般的解决问题的方法，渗透分类讨论及“转化”的数学思想。
（2）通过运算训练，培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力以及一丝不苟的学习习惯；（3）让学生体验数学的简洁美和统一美.1、知识目标：能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广，了解它是根式的一种新的写法，能正确进行根式与分数指数幂的互化。
能利用有理指数运算性质简化根式运算．2、能力目标：通过指数范围的扩大，使学生能理解运算的本质，认识到知识之间的联系和转化，认识到符号化思想的重要性，在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力。
3、情感态度与价值观：通过对根式与分数指数幂的关系的认识，使学生能学会透过表面去认清事物的本质二．重点、难点：1．重点：（1）分数指数幂和根式概念的理解；（2）运用有理指数幂性质进行化简、求值. 2．难点：有理指数幂性质的灵活应用. 三．学法与教具：1．学法：讲授法、讨论法、类比分析法及发现法。
2．教具：多媒体 四、教学课时：2课时 五、教学设想：第一课时(一)、复习提问：什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？归纳：在初中的时候我们已经知道：若2x a =，则x 叫做a 的平方根。