高三数学上：16.4《排列组合综合应用》教案(4)沪教版

16.4排列组合综合应用(4)

一、教学内容分析

本节内容是学生学习了：计数原理——加法原理与乘法原理，排列与排列数；组合与组合数之后的内容，学生对排列组合知识已经有了初步的认识，同时也掌握了简单的排列组合问题.因此本节内容的安排旨在：对先前所学内容的进一步加深与整合，使学生在掌握了简单排列组合问题的基础上也能处理一些复杂的排列组合问题.本节内容的教授是对这部分内容的总结与提升.本节内容分两节课讲授.

二、教学目标设计

1. 掌握解排列组合问题的步骤，掌握这一过程中：合理分类，准确分步，不重不漏的原则；

2. 体会在解决排列组合问题的过程中，对问题的观察、分析、类比、归纳的研究方法；

3. 通过对排列组合实际问题的解决，提高学习数学的兴趣.

三、教学重点及难点

重点：解排列组合题的步骤

难点：1. 分清“元素”与“位置”

2. 掌握“分类”与“分步”，避免“重复”与“遗漏”

四、教学用具准备

多媒体设备

五、教学流程设计

六、 教学过程设计 (一)、复习引入

复习前一节课讲的排列组合综合题的基本类型.

这节课我们就要从步骤过程上入手，进一步分析排列组合题的解. (二)、新课

1. 步骤：

例1. 有六种不同工作分配给6人担任，每个人只担任一种工作，且甲不能担任其中某两种工作，问有几种方法？

解法1：（先考虑有特殊要求的元素）先满足特殊元素甲，甲能担任的工作有4种，先分配甲，分配后，余下工作由其余5人分担，有5

5P 种分担方法，故共有分配方法数45

5P =4×5！=480.

解法2：（先考虑有特殊要求的位置）先满足特殊“位置”（甲不能担任的某两种工作），由先除甲之外的5人中任选2人分别担任甲不能担任的某两种工作，有2

5P 种方法，再由其余4人（含甲）来分担余下四项工作，有4

4P 种方法，故共有分配法数=25P 4

4P =（5×4）4！=480

[改变]：可将原题的限制条件加上附加条件为“而乙只能担任该两项工作”，那么分配方法有几种？

解法1：4×2×4

4P =8×24=192（种） 解法2：442

21

41

1P )P C C (=192（种）

（这里1

21411P C C 表示先由乙和除甲、乙外的4人中任选1人分担甲不能担任的某两项工作，余下的四项工作包括甲在内的4人分担，有4

4P 种）

引导学生总结： i). 分清“元素”与“位置”

ii). 分析元素与位置的特殊情形，满足“特殊优先，一般在后” iii). 判断排列还是组合

例2. 已知集合A 和集合B 各含12个元素，B A 含有4个元素，试求同时满足下面的两个条件的集合C 的个数：

（1）C A B ≠

⊂⋃，且C 中含有3个元素；

（2）).(表示空集∅∅≠⋂A C

分析：由题意知，属于集合B 而不属于集合A 元素个数为12－4=8，因此满足条件（1）、（2）的集合C 可分三类：第一类：含A 中一个元素的集C 有2

8

112C C 个；第二类：含A 中两

个元素的集C 有

18

2

12C C 个；第三类：含A 中三个元素的集C 有3

12C 个.故所求集C 的个数是

2

8

112C C ＋

18

2

12C C ＋3

12C =1084.

例3. 2名医生和4名护士被分配到两所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同分配方法共有（ ）

A.6种

B.12种

C.18种

D.24种

分析：完成分配方案可分两步，先从2名医生中各取1名分配到两所学校有C 1

2

种，

再从4名护士中各取2名分到两所学校有C 222

4

C 种，由乘法原理知分配方案有2

22412C C C =12

（种），选B. .

引导学生总结：

iv). 合理分类，准确分步，不重不漏

即：解排列组合题的步骤： i). 分清“元素”与“位置”

ii). 分析元素与位置的特殊情形，满足“特殊优先，一般在后” iii). 判断排列还是组合

iv). 合理分类，准确分步，不重不漏

2. 由上可知：解决排列组合问题首先必须分清元素与位置，及是排列问题还是组合问题；其次，分析求解过程要注意掌握处理排列与组合问题的基本思想，即按元素（或位置）的性质分类或按事件发生过程分步.

例4：在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手之间恰好一场比赛1场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出比赛，这样全部比赛只进行了50场，那么，上述3名选手之间的比赛场数是多少场？

分析：由于3名选手之间最多有2

3C =3场比赛，最少有0场比赛，所以应分0，1，2，3四种情况分类讨论.

解：设所有选手为n 个

1）、若比赛0场，则总的比赛场次为：3名选手与其余选手比赛6场，其余n －3名选

手之间比赛2

3-n C 场，

则2

3-n C +6=50 即n 2

－5n －82=0.

∵此方程无正整数解，故舍去；

2）、若比赛1场，则总的比赛场次为：3名选手中有两人之间比赛一场，这两人与其余选手各赛一场，第三人与其余选手比赛2场，其余n －3名选手之间比赛2

3-n C 场.

则2

3-n C +5=50 即: n 2－5n －84=0

解得n=12或n=－7（舍去）

3）、若比赛2场，则总的比赛场次为：

23-n C +4=50

即：n 2

－5n －86=0

∵此方程无正整数解，故舍去. 4）、若比赛3场，则总的比赛场次为：

23-n C +3=50

即n 2

－5n －88=0

∵此方程无正整数解，故舍去.

综上所述，3名选手之间的比赛的场数是1场.

在解排列组合问题时的分类分步这一步骤时：我们应按元素的性质进行分类，事情的发生的连续过程分步，做到分类标准明确（每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集），分步层次清楚，从而达到不重不漏.

3. 课堂练习：

(1)．用数字0、1、2、3、4、5组成无重复数字.

（1）可以组成多少个六位数？ （2）可以组成多少个四位奇数？ （3）可以组成至少有一个偶数数字的三位数多少个？ （4）可以组成多少个能被3整除的四位数？ （5）可以组成多少个大于324105的六位数？

解：（1）从特殊元素0入手，0不能排在十万位，0有1

5P 种排法，剩下的5个数字可

排在5个数位下，有55P 种，故可组成15P 5

5P =600个六位数.

从特殊位置十万位入手，有15P 种排法，剩下的五个位置有55P 种，故可组成15P 5

5P =600