泰勒公式及其应用(康林)

本科生毕业论文(设计)

题目：泰勒公式及其应用

学生姓名：康林

学号： 2

专业班级：应数08102班

指导教师：邹庆云

完成时间： 2012年5月

泰勒公式及其应用

数学与应用数学专业学生：康林

指导老师：邹庆云

目录

摘要 (3)

关键词 (3)

0引言 (4)

1 带有不同余项的泰勒公式的内容及特点 (4)

1.1 带有佩亚诺（Peano）型余项的泰勒公式 (4)

1.2 带有拉格朗日（Lagrange）型余项的泰勒公式 (4)

2 泰勒Taylor公式的应用 (5)

2.1 利用泰勒公式求极限 (5)

2.1.1 应用泰勒公式求极限时，常用到的展开式 (5)

2.1.2 利用泰勒公式求不定式的极限 (6)

2.2 泰勒公式在不等式证明中的应用 (7)

2.2.1 简单不等式的证明 (7)

2.2.2 有关定积分不等式的证明 (8)

2.2.3 一般不等式的证明 (9)

2.3 泰勒公式在近似计算方面的应用 (10)

2.3.1 近似计算估值 (10)

2.3.2 定积分的近似计算 (10)

2.4 泰勒公式在证明中值问题中的应用 (11)

2.5 估计无穷小量的阶 (13)

2.6 利用泰勒公式判定二元函数极限的存在性 (15)

2.7 泰勒公式在其他方面的应用 (16)

2.7.1 利用泰勒公式求函数在点处的高阶导数 (16)

2.7.2 求某些微分方程的解 (17)

2.7.3 求行列式的值 (18)

参考文献： (20)

致谢: (18)

摘要：

泰勒公式是数学分析中非常重要的内容,集中体现了微积分“逼近法”的精髓,在微积分的各个方面都有重要的应用.本文论述了泰勒公式的一些基本内容，并主要采用举例分析的方法，阐述了泰勒公式在求极限，不等式的证明，近似计算，中值问题的证明，估计无穷小量的阶，判定二元极限的存在性以及求高阶导数、求微分方程的解，求解行列式等方面的应用及技巧.通过以上几个方面的研究，使我们在特殊的情况形成特定的思想，使解题能够起到事半功倍的效果.

关键词：泰勒公式，应用，微积分，极限，行列式

Abstract：

Taylor's formula is very important mathematical analysis of the contents of a concentrated expression of the calculus "approximation" of the essence, the calculus of various important aspects of the application. This article discusses some of the basic Taylor formula, and the analysis of the main methods used, for example, described in the Taylor formula for the limit, the inequality that approximate calculation, the value of the proven, it is

estimated that a small amount of the endless band, the dual determine the limit And the existence of derivatives for high-end, and the solution of differential equations, such as the determinant for the application and skill. Through the above aspects of the study so that we in the special circumstances of a particular ideology, so that problem solving can play a multiplier effect.

Key words:Taylor's formula, Applications, Calculus , Limit , Determinant；

0引言

多项式函数是各类函数中最简单的一种，用多项式逼近函数是近似计算和理论分析的一个重要内容.泰勒公式的特点就在于用一个n 次多项式)(x P n 去逼近一个已知的函数)(x f ，而且这种逼近具有很好的性质，充分体现了微积分“逼近法”的精髓，在数学的多个方面都有运用.

1 带有不同余项的泰勒公式的内容及特点

1.1 带有佩亚诺（Peano ）型余项的泰勒公式

若函数)(x f 在点0x 处n 阶可导，则带Peano 型余项的Taylor 公式为：

n n x x n x f x x x f x x x f x f x f )(!

)()(!2)('))((')()(00)(200000-++-+-+= ])[(0n x x o -+ )(0x x → （1.1）

带Peano 型余项的公式Taylor 对函数)(x f 的展开要求较低，它只要求)(x f 在点0x 处n 阶可导，展开形式也较为简单.（1.1）说明当0x x →时用左端的Taylor 多项式k n k k n x x k x f x T )(!

)()(000)(-=∑=代替)(x f 所产生的误差是n x x )(0→的高阶无穷小，这反映了函数)(x f 在0x x →时的性态，或者说反映了)(x f 在点0x 处的局部性态.

但Peano 余项])[(0n x x o -难以说明误差范围，一般不适应对此余项作定量估计.换句话说，带Peano 型余项的Taylor 公式适合于对)(x f 在0x x →时作性态分析.因此，在处理0x x →时的极限计算问题时，可以考虑对有关函数采用这种展开方式，从而达到简化运算的目的.

1.2 带有拉格朗日（Lagrange ）型余项的泰勒公式

若函数在点的某领域内阶可导，则带Lagrange 型余项的Taylor 公式为：