(微积分)第五章

第五章

习题5-1

1.求下列不定积分：

(1)

2

5)x -d x ;

(2) 2

x ; (3)

3e x x

⎰

d x ； (4) 2cos 2

x

⎰d x ； (5) 23523

x x

x

⋅-⋅⎰d x ； (6) 22cos 2d cos sin x

x x x ⎰.

解

5

15173

2

2222

2

2

210(1)

5)(5)573d d d d x x x x x x x x x x C -=-=-=-+⎰⎰⎰

11322

222113222

35

2

2(2)(2)24235

d d d d x x x x x x

x x x x x x x x C

--

==-+=-+=++⎰⎰⎰⎰

213(3)3(3)(3)ln(3)1ln 3

1cos 1111

(4)cos cos sin 222222235222(5)[25()]25()333

125225()223(ln 2ln 3)3ln()3

e e d e d e e d d d d d d d d x x x

x

x

x

x x x x

x x

x x

x x C C

x x x x x x x x x C

x x x x x C x C ==+=+++==+=++⋅-⋅=-⋅=-⋅=-⋅+=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2222

222222cos 2cos sin (6)(csc sec )cos sin cos sin csc sec cot tan d d d d d x x x x x x x x x x x x

x x x x x x C

-==-=-=--+⎰⎰⎰⎰⎰

2. 解答下列各题：

(1) 一平面曲线经过点(1，0)，且曲线上任一点(x ,y )处的切线斜率为2x -2,求该曲线方程； (2) 设sin x 为f (x )的一个原函数，求

()f x '⎰d x ；

(3) 已知f (x )的导数是sin x ，求f (x )的一个原函数；

(4) 某商品的需求量Q 是价格P 的函数，该商品的最大需求量为1000(即P=0时，Q =1000),

已知需求量的变化率(边际需求)为Q ′(P )=-10001()3

P

ln3,求需求量与价格的函数关系. 解 (1)设所求曲线方程为y =f (x ),由题设有f′(x )=2x -2,

2()(22)2d f x x x x x C ∴=-=-+⎰

又曲线过点(1,0),故f (1)=0代入上式有1-2+C =0得C =1,所以,所求曲线方程为

2()21f x x x =-+.

(2)由题意有(sin )()x f x '=,即()cos f x x =, 故 ()sin f x x '=-, 所以

()sin sin cos d d d f x x x x x x x C '=-=-=+⎰⎰⎰.

(3)由题意有()sin f x x '=,则1()sin cos d f x x x x C ==-+⎰

于是

1

2

()(cos )sin d d f x x x C x x C x C

=-+=-++⎰⎰.

其中12,C C 为任意常数,取120C C ==,得()f x 的一个原函数为sin x -.

注意 此题答案不唯一.如若取121,0C C ==得()f x 的一个原函数为sin x x -+. (4)由1()1000()ln 33

P

Q P '=-得

111

()[1000()ln 3]1000ln 3()1000().333

d d P P P Q P x x C =-=-⋅=⋅+⎰⎰

将P =0时,Q =1000代入上式得C =0

所以需求量与价格的函数关系是1()1000()3

P

Q P =.

习题5-2

1.在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立： (1) d x = d(ax +b )(a ≠0)； (2) d x = d(7x -3)； (3) x d x = d(52

x )； (4) x d x = d(1-2

x )； (5) 3

x d x = d(3x 4-2); (6) 2e x

d x = d(2

e x

)； (7) 2e

x -d x = d(1+2

e

x -

); (8)

d x

x = d(5ln ｜x ｜);

(9)

= d(1-arcsin x ); (10)

= d

(11)

2d 19x x += d(arctan3x ); (12) 2

d 12x

x +=

d(arctan x );

(13) (32x -2)d x = d(2x -3

x )； (14) cos(23x -1)d x = dsin(23x -1).

解 1

(1)()(0)()d d d d ax b a x a x ax b a +=≠∴=+

22224334222221

(2)(73)7(73)

71

(3)(5)10(5)

10

1

(4)(1)2(1

)

21

(5)(32)12(32)

121

(6)()2()

2

(7)(1)d d

d d d d

d d d d d d d d d d d

e e d e d d e d e e x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ---=∴=-=∴=-=-∴=---=∴=-=⋅∴=+=222221

(

)2(1)

2

51

(8)(5ln )(5ln )

5

(9)(1arcsin )

(1arcsin )

(10)1(2)3(11)(arctan 3)19d e d d e d d d d d d d d d d d x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x --⋅-∴=-+=∴=-==---=-==-=+2

22322231

(arctan 3)193

(12)))

1212(13)(2)(23)(32)(32)(2)

222232(14)sin(

1)cos(1)cos(1)sin(1)333323

d d d d d d d d d d d d

d x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x

x x x ∴=+=∴=++-=-=--∴-=---=-∴-=- 2.求下列不定积分： (1) 5e d t t ⎰; (2) 3

(32)x -⎰

d x ; (3)

d 12x

x -⎰; (4)

(5) t ; (6)

d ln ln ln x

x x x ⎰;

(7)

102tan sec d x x x ⎰

; (8) 2

e d x x x -⎰

;