圆内接正多边形-分析
3.8圆内接正多边形
边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，它的 中心就是对称中心。
顶点都在同一个圆上的正多边形叫做圆内接正正 多边形。这个圆叫做该正多边形的外接圆。 正多边形和圆的关系非常密切,把一个圆n等分 （n≥3），依次连接各分点，我们就可以作出一 个圆内接正多边形。
如图，五边形ABCDE 是⊙O的内接正五边形，圆心O 叫做这个正五边形的中心； OA 是这个正五边形的 半径；∠AOB是这个正五边形的中心角；OM⊥BC， 垂足为M，OM是这个正五边形的的边心距。在其他 的正多边形中也有同样的定义。
.O
如图，把边长为6的正三角形剪去三个三角形得到 一个正六边形DFHKGE,求这个正六边形的面积.
6 3
求半径为6cm的圆内接正四边形的边长、边心距和 面积. A D 6 2cm,3 2cm,72cm2 . 各边相等的圆内接四边形是正 ·O 方形吗？各角相等的圆内接四 边形呢？如果是，请说明理由； 如果不是，请举出反例. B C 各边相等的圆内接四边形是正方形。因为同圆中等 弦对等弧，所以四边形的四个顶点把圆四等分，因 此相邻两边所组成的圆周角（即四边形的内角）都 相等；各角相等的圆内接四边形不一定是正方形， 如可以是长方形.
2 2 边心距OE OB R 2 2 2 边长BC 2BE 2 R 2R 2 2 2 S正方形ABCD ABBC 2R 2R
2 OB OE 2 2
D
·
O
B
E
C
读一读 利用尺规作正五边形 1.作⊙C. 2.作直径AB. 3.过点C作AB的垂线交 ⊙C于点P. 4.取BC中点D. 5.以点D为圆心，以DP 为半径作弧交AB于点E. 6.以点P为圆心，以PE 为半径作弧交⊙C于点F. 7.在⊙C上依次截取等 于PF的弦，就可以作出 圆内接正五边形.
圆内接正多边形洋葱数学
圆内接正多边形洋葱数学洋葱数学，也叫洋葱几何学，是一种研究圆内接正多边形的数学分支。
它通过对圆内接正多边形的特性和性质进行研究，探索其中蕴含的美丽和智慧。
本文将围绕洋葱数学展开讨论，条理清晰地介绍其基本概念、性质和应用。
首先，让我们明确洋葱数学与正多边形的关系。
正多边形是一种特殊的多边形，它的边数相等且每个内角相等。
圆内接正多边形是指正多边形的顶点都位于一个圆的圆周上，并且正多边形的每条边都是圆的切线。
洋葱数学即是研究这种特殊的多边形的数学分支。
在探索洋葱数学之前，我们需要了解一些基本概念。
首先是圆内接正多边形的边数n，即正多边形的边的个数。
其次是圆心角，指圆心所对应的圆周上的两条切线所夹的角度。
洋葱数学中的一个重要概念是圆心角的二分法，即将圆心角分成两个相等的小角度，从而将圆内接正多边形划分为n个等边小三角形。
接下来，让我们探讨洋葱数学的性质。
洋葱数学有两个基本性质：循环性和封闭性。
循环性指的是洋葱数学中正多边形的每个顶点都与相邻的两个顶点构成一个等边三角形，这种等边三角形的存在使得洋葱数学的形态具有循环性质。
封闭性指的是洋葱数学中正多边形的各个顶点均位于同一个圆上，因此它是一个封闭的图形。
除了这些基本性质外，洋葱数学还有一些其他的有趣性质。
首先是等边三角形。
由于洋葱数学中的每个顶点都与相邻的两个顶点构成一个等边三角形，因此洋葱数学中可以找到很多等边三角形。
其次是角度的关系。
洋葱数学中的每个小三角形的内角和为180度，因此可以通过计算这些角度来研究洋葱数学的性质。
此外，洋葱数学还有一些应用。
例如，在计算机图形学中，可以使用洋葱数学的概念来绘制圆内接正多边形，用于生成漂亮的图形效果。
此外，洋葱数学还与其他数学分支有着紧密的关联，例如计算几何、三角学等。
对洋葱数学的研究可以帮助我们更好地理解这些数学分支的概念和原理。
在结束之前，让我们简要总结一下洋葱数学的重点。
我们介绍了洋葱数学的基本概念，包括圆内接正多边形的边数和圆心角的二分法。
圆内接正多边形 课件 1 北师大版
E
D
F
.O
C
A
B
?
1 、再长的路一步一步得走也能走到终点，再近的距离不迈开第一步永远也不会到达。
?
2、从善如登，从恶如崩。
?
3、现在决定未来，知识改变命运。
?
4、当你能梦的时候就不要放弃梦。
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5、龙吟八洲行壮志，凤舞九天挥鸿图。
?
6、天下大事，必作于细；天下难事，必作于易。
?
7、当你把高尔夫球打不进时，球洞只是陷阱；打进时，它就是成功。
?
39 、人的价值，在遭受诱惑的一瞬间被决定。
?
40 、事虽微，不为不成；道虽迩，不行不至。
３、边数是偶数的正多边形还是中心对称 图形，它的中心就是对称中心。
A
A
D
B
C
B
C
弦相等（多边形的边相等） 弧相等 —
圆周角相等（多边形的角相等）
—多边形是正多边形
? 复习回顾
? 正n边形的有关外角=
。
预习、交流并展示
阅读课本97页到98页，回答下列问题
? (1) 都在同一个圆上的正多边形叫
. F
中心角
O.
半径R
边心距r
C
正多边形的边心距：
A
中心到正多边形的一边的距离.
M
B
中心角 ? 360? 中心角 E
D
n
边心距把△AOB分成 F
2个全等的直角三角形
? AOG ? ? BOG ? 180? n
..O
R
C
a
AG B 设正多边形的边长为a,半径为R,它的周长为L=na.
边心距r ? R2（? a）2 ， 2
圆内接正五边形的画法原理证明
圆内接正五边形的画法原理证明
首先我们需要明确一下，正多边形外接圆的半径为正多边形边长的一半，也就是说如果我们要画出一个内接正五边形，那么我们需要先确定它的外接圆。
接下来我们就可以用正五边形的对称性来确定各个顶点的位置了。
我们可以将外接圆分成五个相等的扇形，在每个扇形的两个交点处分别作出正五边形的顶点，这些顶点构成的形状就是所求的内接正五边形。
具体的画法如下：
1.画出外接圆并确定圆心。
2.用直线连接圆心与圆上任意一个点的连线。
3.将圆心与圆上所连接的点称为顶点A。
4.从顶点A开始，沿着圆周的方向逆时针或顺时针依次找到另外四个顶点B、C、D、E。
5.依次连接相邻的顶点，最终得到一个内接正五边形。
画法原理的证明可以通过数学知识进行证明。
我们可以证明，在正五边形中，五个角的大小相等，每个角的大小是108度。
同时我们可以证明，在五个相邻的顶点之间的连线上，两两之间的夹角都是36度。
因此当我们按照一定的方式确定出五个相邻的顶点后，它们构成的图形一定是一个内接正五边形，因为五个顶点与圆心所形成的五个扇形的角度总和为360度，而五个相邻顶点之间的夹角也是相等的，因此五个顶点所组成的内角总和一定是540度，也即五个角的大小之和为540度，因此每个角的大小都是108度，符合正五边形的定义。
《圆内接正多边形》的教学反思
《圆内接正多边形》的教学反思1、要创造性的使用教材教材只是为教师提供最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整。
2、相信学生并为学生提供充分展示自己的机会通过课前小组合作社会调查、课堂展示正多边形的过程，为学生提供展示自己聪明才智的机会，并且在此过程中更利于教师发现学生分析问题解决问题的独到见解，以及思维的'误区，以便指导今后的教学。
课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度。
3、在教学中注意的方面本节新概念较多，对概念的教学要注意从“形”的角度去认识和辨析，但对概念的严格定义不能要求过高。
在概念教学中，要重视运用启发式教学，让学生从“形”的特征获得对几何概念的直观认识，鼓励学生用自己的语言表述有关概念，再进一步准确理解有关概念的文字表述，促进学生主动学习。
通过形象生动的直观图形，给学生营造一个问题情景，通过问题的探索来调动学生的内在动力，提高学习积极性，提高探索知识的能力。
4、注意改进的方面在小组讨论之前，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。
教师应对小组讨论给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使小组合作学习更具实效性。
今天，教学内容是《圆内接四边形》，这是继《圆周角》教学内容之后的第二个课时。
教学内容是通过上一节所学的“圆周角定理”得出“圆内接四边形的对角互补”，其中还需要讲解“圆内接四边形”概念，及例题。
我初步设计的教学方案是：通过习题回顾------引出图形“圆和四边形”------介绍圆内接四边形的概念------提出讨论：是否每一个四边形均有外接圆？------引发探讨：圆内接平行四边形（菱形、梯形等）是什么特殊四边形？为什么？（合作交流）------例题讲解（学生探究）------自主练习------总结归纳------布置自行设计的作业（涉及到圆周角定理及圆内接四边形定理的题目，因课本后没有相应练习）。
2.6正多边形与圆(解析版)
2.6正多边形与圆【推本溯源】1.之间所学到的正多边形是？那什么叫正多边形？正三角形（等边三角形），正方形正多边形：各边相等、各角都相等的多边形叫做正多边形2.认识圆内接正多边形用量角器把一个圆分成n 等分，依次连接各等分点所得的n 边形是这个圆的内接正n 边形，这个圆是这个正n 边形的外接圆。
正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径.3.与正多边形的有关概念4.正多边形的计算名称公式内角正n 变形的每个内角都为n 1802n ︒∙-）（中心角正n 边形的每个中心角都为n 360︒外角正n 边形的每个外角都为n360︒边心距正n 边形的边心距222a r ）（-=R 周长正n 边形的周长C=na 面积正n边形的面积r 21C S =5.正多边形的对称性正多边形都是轴对称图形，一个正n 边形共有n 天对称轴，每条对称轴都经过正n 边形的中心.一个正多边形，如果有偶数条边，那么它又是中心对称图形，对称中心就是这个正多边形的中心。
6.正多边形的画法（1）量角器画法在半径为R 的圆中，先用量角器画一个度数为n 360︒的圆心角，这个角所对的弧就是圆周的n1，然后在圆上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的n 等分点，顺次连接各等分点即可作出半径为R 的正n 边形。
（2）尺规作图画法①作正方形作法：1.在圆O 中作两条互相垂直的直径AC 、BD.2.依次连接A 、B 、C 、D 四个点，四边形ABCD 即可画出。
②作正六边形作法：1.在圆O 中画出任意一条直径AD ；2.分别以点A 、D 为圆心，圆O 的半径为半径作弧，与圆O点B 、F 和点C 、E ；3.依次连接A 、B 、C 、D 、E 、F 六个点，即可画出正六边形。
【解惑】：如图，A ．23B 【答案】C 【分析】如图所示，由正六边形形，由O 的周长是12π∵正六边形ABCDEF 内接于360==606COD ︒∴∠︒，OCD ∴△是等边三角形，∵O 的周长是12π，在Rt AOG △中，OA ∴122AG OA ==，∴22OG OA AG =-故选：C ．A．3【答案】C【答案】48︒/48度【分析】连接OD ，根据正六边形的性质得出根据正五边形的内角和求出【详解】解：连接OD ,∵点O 是正六边形ABCDEF ∴360,6OD OE DOE =∠=∴DOE 是等边三角形，∴60OED ∠=︒，∵()1521805OEG ∠=⨯-⨯⎡⎣∴1086048DEG ∠=︒-︒=︒，故答案为：48︒．【点睛】此题考查了正多边形的性质，多边形的内角和公式，正确掌握正多边形的性质是解题的关键．例5：如图，正五边形ABCDE 的两条对角线AC BE ，相交于点F ．(1)求FAE ∠的度数；(2)求证：四边形CDEF 为菱形．【点睛】本题考查了正多边形的性质及菱形的判定，利用正五边形的性质得出内角度数是解题关键．【摩拳擦掌】A．4S B．3S【答案】C【分析】如图所示可将正六边形分为6个全等的三角形，拼成的四边形由两个三角形组成，将正六边形可分为6个全等的三角形，∵拼成的四边形的面积为∴每一个三角形的面积为∵剩余部分可分割为4∴剩余部分的面积为4⨯故选C．【点睛】本题考查的是正多边形与圆的含义，本题的关键．2．（2023·安徽·统考中考真题）如图，正五边形A ．60︒B 【答案】D 【分析】先计算正五边形的内角，再计算正五边形的中心角，作差即可．【详解】∵180BAE ∠=︒【答案】126【分析】由正五角星得，ACB BAC ∠=∠360725AOC ︒∠==︒,利用四边形内角和为由正五角星得，∠∴180B BAC ∠=︒-∠360︒【答案】60（答案不唯一）【分析】先求出正六边形的中心角，再根据旋转变换的性质解答即可．【详解】解：360案则这个图案绕着它的中心旋转故答案为：60（答案不唯一）【点睛】本题考查了旋转对称图形、正多边形的性质，掌握正六边形的中心角是关键．8．（2023·湖南·统考中考真题）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是【答案】10【分析】先求出正五边形的外角为解．【详解】解：根据题意可得：∵正五边形的一个外角3605︒=∴1272∠=∠=︒，【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，角的求法．9．（2022秋·云南昆明·九年级校考期中）如图，点30ADC∠=︒．(1)求BOC ∠的度数；(2)求ACB ∠的度数；【答案】(1)60︒(2)120︒【分析】（1）根据垂径定理得出 AC BC=，再利用圆周角定理得出BOC ∠的度数:（2）连接BD ，根据圆内接四边形的性质便可求得结果．【详解】（1）∵点A 、B 、C 、D 都在O 上，∴ AC BC=，∵30ADC ∠=︒，∴260AOC BOC ADC ∠=∠=∠=︒，∴BOC ∠的度数为60︒（2）连接BD ，∵ AC BC=，∴30ADC BDC ∠=∠=︒，∴60ADB ∠=︒，∵180ACB ADB ∠+∠=︒，∴120ACB ∠=︒【点睛】此题主要考查了圆内接四边形的性质，垂径定理和圆周角定理等知识，熟练掌握和运用这些定理是解决问题的关键．10．（2023春·陕西西安·九年级统考阶段练习）如图，已知O ，请用尺规作图法，求作O 的一个内接正方形（保留作图痕迹，不写作法）．【答案】见解析的【分析】先作直径AC，再作AC的垂直平分线交O于点B，D，则四边形ABCD为O内接正方形．【详解】解：如图，正方形ABCD即为所求．【点睛】本题考查了作图-应用与设计作图：首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作出图，同时此题也考查了正多边形和圆．11．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，若一个正方形和一个正六边形有一边重合．(1)用无刻度的直尺画出这个图形的对称轴；∠的度数．(2)求BAC【答案】(1)作图见解析(2)150︒【分析】（1）连接AE，BD交于点M，连接DF，AG交于点N，过点M，N作直线MN 即可；（2）根据多边形的内角和可得DAB ∠和DAC ∠的度数，再根据周角是360︒即可求解．【详解】（1）解：如图，连接AE ，BD 交于点M ，连接DF ，AG 交于点N ，∵正方形、正六边形都是轴对称图形，∴对称轴经过点M 和点N ，∴直线MN 是这个图形的对称轴．则直线MN 即为所作．（2）∵正方形的内角和为：()42180=360⨯︒︒-，∴正方形的每一个内角的度数为：360490︒÷=︒，∴90DAB ∠=︒，∵正六边形的内角和为：()62180=720⨯︒︒-∴正六边形一个内角的度数为：7206=120︒÷︒，∴120DAC ∠=︒，∴=360=36090120150BAC DAB DAC ∠︒∠-∠︒-︒-︒=︒-．∴BAC ∠的度数为150︒．【点睛】本题考查作图，正多边形的内角和：()2180n -⨯︒（3n ≥且n 为正整数），角的和差．解题的关键是应用正多边形的性质：正多边形每一个内角都相等，都是轴对称图形，对称轴经过正多边形的中心．12．（2022秋·九年级单元测试）如图，已知O ．(1)求作O 的内接正方形（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；(2)若O 的半径为4，求它的内接正方形的边长．（2）因为O 的半径为所以AC BD ⊥，OA OB =所以224AB OA OB =+=故O 的内接正方形的边长为【点睛】此题主要考查了复杂作图、正多边形和圆、勾股定理；正确掌握正方形的性质是解【知不足】1．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考二模）下列图形中，旋转120︒后能与原图形重合的是（）A ．等边三角形B ．正方形C ．正五边形D ．正八边形【答案】A【分析】确定每个图形的中心角，然后根据旋转的性质确定即可．【详解】解：如图︒÷=︒，∵等边三角形的中心角为3603120∴旋转120︒后即可与原图形重合；∵正方形的中心角为360490︒÷=︒，︒÷=︒，正五边形的中心角为360572︒÷=︒，正八边形的中心角为360845∴正方形、正五边形、正八边形旋转120︒后不能与原图形重合．故选：A．【点睛】本题考查旋转的性质，确定图形的中心角，理解旋转的性质是解题关键．2．（2023·河北沧州·模拟预测）如图，将一个正n边形绕其中心O旋转45︒或60︒都能和其本身重合，则n的最小值是（）A．6B．8C．12D．24【答案】D【分析】根据题意得出正n边形的中心角最大为15︒，然后由圆周角除以中心角即可得出结果．【详解】解：正n边形绕其中心O旋转45︒或60︒都能和其本身重合，∵45︒和60︒最大公约数为15︒，∴正n边形的中心角最大为15︒，︒÷︒=，∴3601524故选D．【点睛】本题考查了旋转对称图形，解答此题的关键是要明确绕其中心O旋转45︒或60︒都能和其本身重合得出正n边形的中心角最大为15︒．，点F在弧AE上．若3．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，正五边形ABCDE内接于O∠=︒，则FCDCDF95∠的大小为（）A ．38︒【答案】C 【分析】连接OE ，OD 95CDF ∠=︒，可得∠∵五边形ABCDE 是正五边形，∴()52180CDE ∠=-⨯∵95CDF ∠=︒，∴FDE CDE ∠=∠-∠【答案】90︒/90度【分析】根据AB是O定理得出12P AOB ∠=∠出OCP AOB OAC ∠=∠+∠【答案】36【分析】如图所示，连接周角定理可得APB∠【详解】解：如图所示，连接【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，圆周角定理，熟知同圆或等圆中，同弧所对的圆周角度数是圆心角的一半是解题的关键．6（2023·上海·统考中考真题）如果一个正多边形的中心角是为________．【答案】120【分析】根据正多边形内角和公式可求出∠的度数．从而可求出COF(1)在方格纸中画出以AC为对角线的正方形小正方形的顶点上；∠为顶角的等腰三角形(2)在方格纸中画出以GFE格点上，连接AG，并直接写出线段【答案】(1)见详解；（2）解：以GFE ∠为顶角的等腰三角形225334AG =+=．【点睛】本题考查作图−应用与设计、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型．9．（2022秋·九年级单元测试）如图，求边长为【答案】22a 【分析】连接OA ，OB ，根据正方形的性质得到22OA OB a ==即可．【详解】解：如图，连接OA ，OB ∵四边形ABCD 是正方形，∴OA OB ⊥，OA OB =，∵正方形ABCD 边长为a ，∴2222OA OB AB a +==，∴222a OA OB a ===，2【点睛】本题考查了正多边形和圆，勾股定理，正方形的性质，解题的关键是掌握正方形的性质．10．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，∠=︒，延长AB30BAC的切线；(1)求证：CD是O(2)以BC为边的圆内接正多边形的周长等于【答案】(1)见解析，=OA OC∴∠=∠=︒，30OAC OCA，AC CD=60BOC ∠=︒ ，∴以BC 为边的圆内接正多边形是圆内接正六边形，132BC AB ∴==，【一览众山小】1．（2023·河北保定·统考二模）如图，一个正多边形纸片被一块矩形挡板遮住一部分，则这个正多边形纸片的边数是（）A．4B．【答案】C【分析】先根据正多边形的定义把图形补充完整，再求解．【详解】解：根据正多边形的定义把多边形补充完整如下图；有图形得：这个正多边形纸片是六边形，故选：C．【点睛】本题考查了正多边形和圆，掌握正多边形的定义是解题的关键．2．（2023·河北承德·统考二模）如图，在边长为∥，则得到的正方形边长最大为GHIJ，若GH ABA．6B．【答案】D【分析】当正方形顶点落在正六边形边上时，正方形面积最大，由此画出图形求解即可．【详解】解析：当正方形顶点落在正六边形边上时，正方形面积最大．此时，OF 垂直平分GJ ，正方形的中心也是∴60GFO ∠=︒，GOF ∠设FM x =，则MO MG =∴32x x +=，解得x =∴33MG =-，∴正方形的边长为：2MG 故选D ．【点睛】本题考查正方形的性质，等边三角形的判定与性质，含关系，正六边形的性质等知识，根据题意画出符合条件的正方形是解题的关键．3．（2023·浙江台州·统考中考真题）如图，半径和正方形的边长都为A ．2【答案】D 【分析】设正方形四个顶点分别为可得，EA 的长度为圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值，求解即可．则EA的长度为圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值，由题意可得：OE AB=由勾股定理可得：OAA．3,32⎛⎫--⎪⎝⎭B．32⎛⎝【答案】D【分析】如图，连接BD，OD于点G，过点D¢作DH y⊥轴于点≌DGO在正六边形ABCDEF 中，AF 60,30,FAO AFO ∴∠=︒∠=︒11,3,22OA AF BD BD ∴===33,(,3)22OB OA AB D =+=，将正六边形ABCDEF 绕坐标原点360458÷= ，即8次旋转一周，【答案】63由题意可得：360AOB ∠=∵2OA OB ==∴OAB 为等边三角形，∴2AB =【答案】2【分析】连接,,OA OC OE ()ASA BAC OAC ≌ ，得到【详解】如图所示，连接∵六边形ABCDEF 是 ∴AC AE CE ==，∴ACE △是O 的内接正三角形，∵120B ∠=︒，AB BC =∴(11802BAC BCA ∠=∠=【答案】①②③④【分析】连接OA，OB，AOB BOC COD∠=∠=∠角形，利用其性质即可判断结论．∵正八边形ABCDEFGH∴1===，故④OA OB OCAOB BOC COD∠=∠=∠为等腰直角三角形，同理，∴AOC【答案】33【分析】根据正六边形的性质求出正六边形的倍即可．．【详解】解：设正六边形ABCDEF为T，∵正六边形ABCDEF，(1)[定义]我们将正n边形的周长L与正多边形对应的内切圆的周长边形的“正圆度”n k．如图，正三角形ABC的边长为1，求得其内切圆的半径为k=___________；k≈（3）解：3 1.65之的研究，精进π多时，其周长L也与对应的内切圆周长更接近，其比值更接近于(1)在图①中画一个O 的内接正方形ABCD ．(2)在图②中画一个O 的内接四边形ABCD ，使该四边形只是轴对称图形，且点边形内部．(3)在图③中画一个四边形ABCD ，使该四边形对角互补，其中一个内角为该四边形的一条边上．（2）解：如图所示，四边形∵2213AB CD ==+∴四边形ABCD 是等腰梯形，∴四边形ABCD 是轴对称图形；（3）解：如图所示，四边形ABCD 即为所求；由正方形的性质可知45135ABC ADC =︒=︒∠，∠，∴四边形ABCD 对角互补，且BC 经过点O ．【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定，轴对称图形的定义，勾股定理和勾股定理得逆定理，正多边形与圆，数量掌握相关知识是解题的关键．11．（2023·上海静安·统考二模）如图，在矩形ABCD 中，点P 是边BC 的中点，O 是PAD 的外接圆，O 交边AB 于点E ．(1)求证：PA PD =；(2)当AE 是以点O 为中心的正六边形的一边时，求证： AE EP=．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析．【分析】（1）根据矩形的性质及线段中点的定义得到三角形全等的条件，则ABP DCP ≅ ，根据“全等三角形的对应边相等”得到PA PD =；（2）连接,OA OE OD OP ，，，并延长PO 交AD 于点M ，先证明OP AB ∥，再根据“有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形”得到AOE △为等边三角形，然后根据“两直线平行，内错角相等”得到60EOP AEO ∠∠== ，则60AOE EOP ∠∠== ，最后根据“在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等”得到 AE EP=．【详解】（1）四边形ABCD 是矩形，且点P 是边BC 的中点，AB DC B C BP CP ∠∠∴===，，，在ABP 和DCP 中，BP CP B C AB DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABP DCP SAS ≅ ，PA PD ∴=；（2）证明：如图，连接,OA OE OD OP ，，，并延长PO 交AD 于点M ，四边形ABCD 是矩形，∴90BAD ∠=︒∵OA OD =，PA PD =，∴点P 、O 都在线段AD 的垂直平分线上，∴PO 垂直平分AD ，∴90DMP BAD ∠∠=︒=，OP AB ∴∥，AE 是以点O 为中心的正六边形的一边，∴由正六边形性质可得∶60 ∠AOE=，∵OA OE =，AOE ∴ 是等边三角形，60AEO ∠∴=又OP AB∥60EOP AEO ∠∠∴== ，60AOE EOP ∠∠∴== ，AE EP∴=．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，矩形的性质，等边三角形的判定及性质，线段垂直平分线的判定以及正多边形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的判定及性质以及等边三角形的判定及性质是解题的关键．12．（2023·山西·校联考二模）如图，正方形ABCD 内接于O ，连接AC ，点F 是 CD的中点，过点D 作O 的切线与AF 的延长线相交于点G ．(1)试判断AC 与DG 的位置关系，并说明理由．(2)求G ∠的度数．【答案】(1)∥AC DG ,理由见解析(2)22.5G ∠=︒【分析】（1）连接OD ，可得90AOD ∠=︒，根据切线的定义可得90ODG ∠=︒，即可得出结论∥AC DG ．（2）根据正方形的性质可得，90ADC ∠=︒，DA DC =，则45CAD ∠=︒．根据点F 是 CD的中点，可得22.5CAF FAD ∠=∠=︒．最后根据平行线的性质可得22.5G CAF ∠=∠=︒．【详解】（1）解：∥AC DG ．理由：如图，连接OD ，。
圆内接正多边形教学设计
圆内接正多边形导学案授课时间_______________一、导入新课什么是正多边形?正多边形：各边相等各角也相等的多边形叫做正多边形.正n边形：如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做正n边形.二、探究新知圆的内接正多边形：把一个圆n等分（n≥3），依次连接各分点，我们就可以作出一个圆内接正多边形圆内接正多边形概念1.正多边形的中心:一个正多边形的外接圆的圆心2.正多边形的半径: 外接圆的半径.3.正多边形的中心角: 正多边形的每一边所对的圆心角.4.正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离.1完成下面的表格：正多边形的外角=中心角 2.圆内接正多边形的计算问题1 正n 边形的中心角怎么计算问题2 正n 边形的边长a ，半径R ，边心距r 之间有什么关系？问题3 边长a ，边心距r 的正n 边形的面积如何计算？针对训练1.正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数是（ ）A ．10B ．8C ．6D ．511.22S nar lr ==360n222().2a R r =+4222BC ==，22422 3.r =-=2.如图，正五边形ABCDE 内接于⊙O ，则∠ADE 的度数是 （ ） A ．60° B．45° C ． 36° D． 30三、典例分析例1 有一个亭子,它的地基是半径为4 m 的正六边形,求地基的周长和面积 (精确到0.1 m 2)解：过点O 作OM ⊥BC 于M. 在Rt △OMB 中,OB ＝4,MB ＝ 利用勾股定理,可得边心距亭子地基的周长l =6×4=24(m) 亭子地基的面积变式1 有一个亭子,它的地基是半径为4 m 的正六边形,那么BF=______,CF=________变式2 有一个亭子,它的地基是半径为4 m 的正六边形,那么FM=1,若过点M 的直线l 将正六边形面积平分，则直线l 被正六边形所截的线段长为_____.圆内接正多边形的辅助线 1.连半径，得中心角； 2.作边心距，构造直角三角形.211242341.6(m ).22S l r =⋅=⨯⨯≈例2 用尺规作圆的内接正方形.已知：如图，⊙O.求作：正方形ABCD内接于⊙O四、当堂检测1若正多边形的边心距与半径的比为1:2，则这个多边形的边数是 .2.已知一个正多边形的每个内角均为108°，则它的中心角为________度．3. 要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小要____cm.4.如图是一枚奥运会纪念币的图案，其形状近似看作为正七边形，则一个内角为 ___度.（不取近似值板书设计课后反思。
《圆内接正多边形》PPT课件 (公开课获奖)2022年北师大版 (4)
E
D
B
C
1、平行于三角形一边的直线和其他两边相交 ,所构成的
三角形与原三角形相似
2、有两角对应相等的两个三角形相似
如图 ,每个小正方形边长均为1 ,那么以 以以以下图中的三角形〔阴影局部〕 与△左A图BC中 相似的B是〔 〕
A
B
C
A．
B．
C．
D．
相似三角形的判定方法
3、两边对应成比例,且夹角相等的两三角形相似
12
C`
如何改变△A`B`C`的其中一条边使△ABC与△A`B`C`相似 ?
如图 ,△PCD是等边三角形 ,A、C、D、B在同 一直线上 ,且∠APB =120°. 求证：⑴△PAC∽△BPD；⑵AC·BD =CD2.
P
AC
D
B
如图,在△ABC
中,DE∥BC,AH分别交DE,BC于 G,H,求证:
O·Βιβλιοθήκη 探究参照图 ,按照一定比例 ,画一个 停车让行的交通标志的外缘．
练习
用等分圆周的方法画出以以以以下图 案：
如图 ,在△ABC中 ,AB＞AC ,D为AC边上异于A、C 的一点 ,过D点作一直线与AB相交于点E ,使所得 到的新三角形与原△ABC相似.
问：你能画出符合条件的直线吗 ?
A
E
相似三角形的判定方法
A
Q Q
B
P
CB
P
C
如图 ,△PAC∽△QCB , △PCQ是等边三角形 (1)假设AP =1 ,BQ =4 ,求PQ的长. (2)求∠ACB的度数. (3)求证:AC2 =AP·AB.
C
AP
Q
B
8 圆内接正多边形〔2〕 〔第2课时〕
实际生活中 ,经常会遇到画平面正多边形的问题 ,比方画一个六角螺 帽的平面图 ,画一个五角形等 ,这些问题都与等分圆周有关 ,要制造 如图中零件 ,也需要等分圆周．
3.8圆内接正多边形教案
-理解圆内接正多边形的对称性：包括轴对称和中心对称的性质，以及这些对称性在实际中的应用。
2.教学难点
-圆内接正多边形作图技巧的掌握：学生在作图过程中可能会遇到如何准确画出相等边长和角度的难题，这需要教师通过具体指导来帮助学生掌握。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对圆内接正多边形的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解圆内接正多边形的基本概念。圆内接正多边形是指在同一个圆内的正多边形各边都与圆相切。它是几何图形中的重要组成部分，具有丰富的性质和应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析圆内接正五边形的性质和作图方法，了解其在实际中的应用，以及如何帮助我们解决问题。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下方面：
1.培养学生的空间观念：通过观察、操作圆内接正多边形，让学生理解几何图形的内在联系，提高空间想象能力。
2.提升学生的逻辑推理能力：引导学生运用所学性质和定理进行推理、证明，培养学生严密的逻辑思维。
3.增强学生的数学运算能力：在求解圆内接正多边形面积的过程中，锻炼学生运用数学公式进行准确计算的能力。
圆内接正多边形的边心距公式
圆内接正多边形的边心距公式假设有一个半径为r的圆，圆心为O。
而正多边形是一个具有n个边的多边形，每个内角为α度。
我们的目标是求正多边形的边心距。
首先，我们可以将正多边形分解为n个等腰三角形。
每个等腰三角形的顶角为α/2度，而顶角对应的边长为r。
以正多边形中的一个等腰三角形为例，假设三角形的底边为AB，顶角为C，C对应的边长为r。
我们可以通过几何性质得出以下结论：1.三角形OBC是等边三角形，因为OC=BC=r。
2.三角形OAB是直角三角形，因为OA=OB=r，而AOB为正多边形的边长。
根据这些结论，我们可以得出正多边形的边心距公式。
首先，我们考虑正多边形的边心距与正多边形的边长之间的关系。
由上面的结论可知，三角形OAB为直角三角形，根据勾股定理，我们可以得出：AB²=OA²+OB²由于OA=OB=r，所以AB²=r²+r²=2r²而AB为正多边形的边长，我们设AB为s。
所以：s²=2r²s=√(2r²)s=r√2接下来，我们考虑正多边形的边心距与半径的关系。
BC=r,OC=r而BC对应的边心距为d，所以d=BC=r综上所述，对于一个半径为r的圆内接正n边形，正多边形的边心距d与半径r的关系为：d=r这就是圆内接正多边形的边心距公式。
总结起来，圆内接正多边形的边心距公式为d=r，其中d表示边心距，r表示圆的半径。
无论正多边形的边长多大，都不会改变边心距与半径的关系。
这个公式在解析几何中具有一定的应用，特别是在计算正多边形的边心距时。
它简化了计算过程，提供了一个方便的方法来得出正多边形边心距的数值结果。
同时，这个公式还具有一些习题的应用，可以通过给定边心距或半径来求解正多边形的其他几何属性，如边长、内角等。
通过圆内接正多边形的边心距公式，我们能够更好地理解和计算正多边形的几何性质，丰富了解析几何的相关知识。