圆内接正五边形(五等分圆周)尺规作图法

圆内接正五边形（五等分圆周）的尺规作图法

——天柱县凸洞小学龙再铃

1．在⊙O内作互相垂直的直径AK和MN；

2．平分半径ON得点S；

3．以点S为圆心，SA的长为半径画弧，交MO于点Q；

4．以点A为圆心，AQ的长为半径画弧，交⊙O于B、E两点；

5．分别以点B、E为圆心，仍以AQ的长为半径画弧，分别交⊙O的弧BKE于点

C、D，则点A、B、C、

D、E将⊙O五等分。

依次连结AB、BC、CD、DE、EA，即得⊙O的圆内接正五边形。

第七节圆的内接正多边形

3.7 圆的内接正多边形教学目标：（1）理解正多边形与圆的关系定理；（2）理解正多边形的对称性和边数相同的正多边形相似的性质；（3）理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念；教学重点：理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概念和性质定理．教学难点：对“正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆”的理解．【知识要点】 1．正多边形的定义：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。 2．正多边形与圆的有关定理把圆分成n(n≥3)等份： (1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形； (2)经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形； (3)任何正多边形都有一个外接圆与一个内切圆，这两个圆是同心圆。注意：①依据正多边形与圆的有关定理(1)、(2)，只要能将一个圆分成n(n≥3)等份，就可以得到这个圆的内接正n边形及外切正n边形，想一想，你能否利用直尺和圆规作已知圆的内接(或外切)正三角形、正方形、正六边形、正十二边形； ②如何证明任何一个正多边形A1A2A3……A n-1A n都有一个外接圆呢？我们可过A1、A2、A3三点作一个⊙O，分别连结OA1、OA2、OA3，OA4，通过证明△OA1A2≌△OA3A4，得到OA4=OA3=OA2=OA1. 从而点A4在⊙O上，同理可证A5、A6……A n-1、A n其余各点也都在⊙O上，则可推出此正多边形有一个外接圆。 3. 正多边形的其它性质 (1)正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的中心，边数为偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心。 (2)边数相同的正多边形相似，正多边形的内切圆和外接圆是同心圆。 4. 正多边形的有关计算正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距，正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角。正n边形的有关计算公式注意：①同一个圆的内接正n边形和外切正n边形是相似形，相似比是圆的内接正n边形边

2018中考尺规作图、定义、命题、定理真题

尺规作图、定义、命题、定理参考答案与试题解析一．选择题（共18小题） 1．（2018?嘉兴）用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中错误的是（） A． B．C．D．【分析】根据菱形的判定和作图根据解答即可．【解答】解：A、作图根据由作图可知，AC⊥BD，且平分BD，即对角线平分且垂直的四边形是菱形，正确； B、由作图可知AB=BC，AD=AB，即四边相等的四边形是菱形，正确； C、由作图可知AB=DC，AD=BC，只能得出ABCD是平行四边形，错误； D、由作图可知对角线AC平分对角，可以得出是菱形，正确；故选：C． 2．（2018?襄阳）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E．若AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（） A．16cm B．19cm C．22cm D．25cm 【分析】利用线段的垂直平分线的性质即可解决问题．【解答】解：∵DE垂直平分线段AC， ∴DA=DC，AE=EC=6cm，

∵AB+AD+BD=13cm， ∴AB+BD+DC=13cm， ∴△ABC的周长=AB+BD+BC+AC=13+6=19cm，故选：B． 3．（2018?湖州）尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中．传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣： ①将半径为r的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F六个分点； ②分别以点A，D为圆心，AC长为半径画弧，G是两弧的一个交点； ③连结OG．问：OG的长是多少？大臣给出的正确答案应是（） A．r B．（1+）r C．（1+）r D．r 【分析】如图连接CD，AC，DG，AG．在直角三角形即可解决问题；【解答】解：如图连接CD，AC，DG，AG． ∵AD是⊙O直径， ∴∠ACD=90°，在Rt△ACD中，AD=2r，∠DAC=30°，

初中数学九年级下册圆内接正多边形1

3.8 圆内接正多边形教学目标 1．了解圆内接正多边形的有关概念；(重点) 2．理解并掌握圆内接正多边形的半径和边长、边心距、中心角之间的关系；(重点) 3．掌握圆内接正多边形的画法．(难点) 教学过程一、情境导入这些美丽的图案，都是在日常生活中我们经常能看到的．你能从这些图案中找出正多边形来吗？二、合作探究探究点：圆内接正多边形【类型一】圆内接正多边形的相关计算已知正六边形的边心距为3，求正六边形的内角、外角、中心角、半径、边长、周长和面积．解析：根据题意画出图形，可得△OBC 是等边三角形，然后由三角函数的性质，求得OB 的长，继而求得正六边形的周长和面积．解：如图，连接OB ，OC ，过点O 作OH ⊥BC 于H ，∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴∠BOC ＝1 6 ×360°＝60°， ∴中心角是60°.∵OB ＝OC ，∴△OBC 是等边三角形，∴BC ＝OB ＝OC .∵OH ＝ 3，sin ∠OBC ＝OH OB ＝3 2 ，∴OB ＝BC ＝2.∴内角为 180°×（6－2） 6 ＝ 120°，外角为60°，周长为2×6＝12，S 正六边形ABCDEF ＝6S △OBC ＝6×1 2×2× 3 ＝6 3. 方法总结：圆内接正六边形是一个比较特殊的正多边形，它的半径等于边长，对于它的计算要熟练掌握．【类型二】圆内接正多边形的画法如图，已知半径为R 的⊙O ，用多种工具、多种方法作出圆内接正三角形．

解析：度量法：用量角器量出圆心角是120度的角；尺规作图法：先将圆六等分，然后再每两份合并成一份，将圆三等分．解：方法一：(1)用量角器画圆心角∠AOB ＝120°，∠BOC ＝120°； (2)连接AB ，BC ，CA ，则△ABC 为圆内接正三角形．方法二：(1)用量角器画圆心角∠BOC ＝120°； (2)在⊙O 上用圆规截取AC ︵＝AB ︵； (3)连接AC ，BC ，AB ，则△ABC 为圆内接正三角形．方法三：(1)作直径AD ； (2)以D 为圆心，以OA 长为半径画弧，交⊙O 于B ，C ； (3)连接AB ，BC ，CA ，则△ABC 为圆内接正三角形．方法四：(1)作直径AE ； (2)分别以A ，E 为圆心，OA 长为半径画弧与⊙O 分别交于点D ，F ，B ， C ； (3)连接AB ，BC ，CA (或连接EF ， ED ，DF )，则△ABC (或△EFD )为圆内接正三角形．方法总结：解决正多边形的作图问题，通常可以使用的方法有两大类：度量法、尺规作图法；其中度量法可以画出任意的多边形，而尺规作图只能作出一些特殊的正多边形，如边数是3、4的整数倍的正多边形．【类型三】正多边形外接圆与内切圆的综合如图，已知正三角形的边长为2a . (1)求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积； (2)根据计算结果，要求圆环的面积，只需测量哪一条弦的大小就可算出圆环的面积？ (3)将条件中的“正三角形”改为“正方形”、“正六边形”你能得出怎样的结论？ (4)已知正n 边形的边长为2a ，请写出它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积．解析：正多边形的边心距、半径、边长的一半正好构成直角三角形，根据勾股定理就可以求解．解：(1)设正三角形ABC 的中心为 O ，BC 切⊙O 于点D ，连接OB 、OD ，则OD ⊥BC ，BD ＝DC ＝a .则S 圆环＝π·OB 2－π·OD 2＝π OB 2－OD 2 ＝π·BD 2

尺规作图典型例题

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典型例题例1 、求作等腰直角三角形，使它的斜边等于已知线段已知：线段求作：，使∠A＝90°，AB＝AC，BC＝分析：由于等腰直角三角形比较特殊，内角依次为45°，45°，90°，故有如下几种作法：作法一：1、作线段BC＝ 2、分别过点B、C作BD、CE垂直于BC 3、分别作∠DBC、∠ECB的平分线，交于A点即为所求作法二：作线段BC＝ 2、作∠MBC＝45° 3、作∠NCB＝∠MBC，CN与BM交于A点即为所求作法三：1、作线段BC＝

2、作∠MBC＝45° 3、过C作CE⊥BM于A 即为所求作法四：1、作线段BC＝ 2、作BC的中垂线，交BC于O点 3、在OM上截取OA＝OB，连结AB，AC 即为所求说明：几种作法中都是以五种基本作图为基础，不要求写出基本作图的作法和证明。例2、已知三角形的两边和其中一边上的中线长，求作这个三角形. 已知：线段a、b为两边，m为边长b的中线求作：，使BC=a，AC=b，且AM=MC，BM=m. 分析：先画草图，假定为所求的三角形，则有BC=a，AC=b，设M为AC边的中点，则MB=m,而，故的三边为已知作出，然后再作出 . 作法：（1）作，使BC=a，，MB=m；（2）延长线段CM至A，使MA=CM;

（3）连接BA，则为所求作的三角形. 小结：本题的突破口是找与所求的的关系.由于的三边已知，故即可顺利作出. 例3、如图，A、B、C三点表示三个村庄，为解决村民就近入学问题，计划新建一所小学，要使学校到这三个村庄的距离相等，请你在图中用尺规确定学校的位置P. 分析：分两步：先作到A、B两点距离相等的点的图形，再作到B、C两点等距离的点的图形，两图形的交点，这就是所求作的点. 作法：（1）连结AB，做线段AB的垂直平分线DE；（2）连结BC，作线段BC的垂直平分线FG，交DE与点P. 则点P为所求作的学校位置. 小结：由于不能直接确定到三点距离相等的点的位置，可以分解为先求到A，B相等的所有点，再求作到B，C相等的所有点，交点即所求. 扩展资料三大几何作图问题三大几何作图问题是：倍立方、化圆为方和三等分任意角。由于限制了只能使用直尺和圆规，使问题变得难以解决并富有理论魁力，刺激了许多学者投身研究。早期对化圆为方作出贡献的有安纳萨戈拉斯（Anaxagoras，约500B.C.～428B.C.），希波克拉底（Hippocrates of chios，前5世纪下半叶）、安蒂丰（Antiphon，约480B.C.～411B.C.）和希比亚斯（Hippias of Elis，400B.C.左右）等人；从事倍立方问

圆内接正多边形

圆内接正多边形学习目标： 1、理解圆内接正多边形及正多边形的外接圆、正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念。 2、掌握用等分圆周画圆内接正多边形的方法，能熟练地进行有关正三角形，正方形，正六边形的计算。 1学习过程： 1、复习回顾正n边形的有关计算公式：每个内角= ，每个外角= 。 2、预习、交流并展示阅读课本97页到98页，回答下列问题（1）都在同一个圆上的正多边形叫做，这个圆叫做该正多边形的。 (2)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的，外接圆的半径叫做正多边形的，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的，正n边形的中心角是，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的。如上图，五边形ABCDE是☉O的，☉O是五边形ABCDE 的圆，叫做正五边形ABCDE的中心，是正五边形ABCDE的半径，是正五边形ABCDE的中心角，中心角是

度，OM⊥BC，垂足为M，是正五边形ABCDE的边心距。（3）利用尺规作一个已知圆的内接正多边形以圆内接正六边形为例：由于正六边形的中心角为，因此它的边长和外接圆的半径R ，所以在半径为R的圆上，依次截取等于R的弦，就可以六等分圆，进而作出圆内接正多边形。作法如下：（1）☉O的任意一条直径AD，如图（1）（2）分别以A、D为圆心，以☉O的半径R为半径作弧，与☉O相交于B、F和C，E则A，B，C，D，E，F是☉O的六等分点。（3）顺次连接AB,BC,CD,DE,EF,FA，便得到正六边形ABCDEF，图（2）如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC=4，OG⊥BC，垂足为G，求正六边形的中心角、边长和边心距。

尺规作图类型题目以及全等三角形的几个证明

尺规作图类型讲解题目一：作一条线段等于已知线段。已知：如图，线段a . 求作：线段AB，使AB = a . 作法：（1）作射线AP；（2）在射线AP上截取AB=a . 则线段AB就是所求作的图形。题目二：作已知线段的中点。已知：如图，线段MN. 求作：点O，使MO=NO（即O是MN的中点）. 作法：（１）分别以M、N为圆心，大于的相同线段为半径画弧，两弧相交于P，Q；（２）连接PQ交MN于O．则点O就是所求作的ＭＮ的中点。（试问：PQ与ＭＮ有何关系？）（怎样作线段的垂直平分线？）题目三：作已知角的角平分线。已知：如图，∠AOB，求作：射线OP, 使∠AOP＝∠BOP（即OP平分∠AOB）。作法：（1）以O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OA，OB于M，N；（2）分别以M、Ｎ为圆心，大于的相同线段为半径画弧，两弧交∠AOB内于Ｐ；（3）作射线OP。则射线OP就是∠AOB的角平分线。题目四：作一个角等于已知角。（请自己写出“已知”“求作”并作出图形，不写作法）题目五：已知三边作三角形。已知：如图，线段a，b，c. 求作：△ABC，使AB = c，AC = b，BC = a. 作法：（1）作线段AB = c；（2）以A为圆心b为半径作弧，以B为圆心a为半径作弧与前弧相交于C；（3）连接AC，BC。

则△ABC就是所求作的三角形。题目六：已知两边及夹角作三角形。已知：如图，线段m，n, ∠α. 求作：△ABC，使∠A=∠α，AB=m，AC=n. 作法：（1）作∠A=∠α；（2）在AB上截取AB=m ,AC=n；（3）连接BC。则△ABC就是所求作的三角形。题目七：已知两角及夹边作三角形。已知：如图，∠α，∠β，线段m . 求作：△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β,AB=m. 作法：（1）作线段AB=m；（2）在AB的同旁作∠A=∠α，作∠B=∠β， ∠A与∠B的另一边相交于C。则△ABC就是所求作的图形（三角形）。

北师大九下第17讲正多边形和圆(基础)

正多边形和圆【学习目标】 1.了解正多边形和圆的有关概念及对称性； 2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形； 3.会进行正多边形的有关计算. 【要点梳理】知识点一、正多边形的概念各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．要点诠释：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形). 知识点二、正多边形的重要元素 1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． 2.正多边形的有关概念 (1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． (2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． (3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． (4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 3.正多边形的有关计算 (1)正ｎ边形每一个内角的度数是； (2)正ｎ边形每个中心角的度数是； (3)正ｎ边形每个外角的度数是. 要点诠释：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形. 知识点三、正多边形的性质 1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形. 2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形. 3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.

圆内接正多边形和圆

正多边形和圆教学目标：（1）使学生理解正多边形概念，初步掌握正多边形与圆的关系的第一个定理；（2）通过正多边形定义教学，培养学生归纳能力；通过正多边形与圆关系定理的教学培养学生观察、猜想、推理、迁移能力；（3）进一步向学生渗透“特殊——一般”再“一般——特殊”的唯物辩证法思想．教学重点：正多边形的概念与正多边形和圆的关系的第一个定理．教学难点：对定理的理解以及定理的证明方法．教学活动设计：（一）观察、分析、归纳：观察、分析：1．等边三角形的边、角各有什么性质？ 2．正方形的边、角各有什么性质？

归纳：等边三角形与正方形的边、角性质的共同点．教师组织学生进行，并可以提问学生问题．（二）正多边形的概念：（1）概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．如果一个正多边形有n(n≥3)条边，就叫正n边形．等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形．（2）概念理解： ①请同学们举例，自己在日常生活中见过的正多边形．（正三角形、正方形、正六边形，…….） ②矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？矩形不是正多边形，因为边不一定相等．菱形不是正多边形，因为角不一定相等．（三）分析、发现：问题：正多边形与圆有什么关系呢？发现：正三角形与正方形都有内切圆和外接圆，并且为同心圆．

分析：正三角形三个顶点把圆三等分；正方形的四个顶点把圆四等分．要将圆五等分，把等分点顺次连结，可得正五边形．要将圆六等分呢？（四）多边形和圆的关系的定理定理：把圆分成n(n≥3)等份：依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；说明：(1)要判定一个多边形是不是正多边形，除根据定义来判定外，还可以根据这个定理来判定，即：①依次连结圆的n(n≥3)等分点，所得的多边形是正多迫形； (2)要注意定理中的“依次”、“相邻”等条件． (3)此定理被称为正多边形的判定定理，我们可以根据它判断一多边形为正多边形或根据它作正多边形．（五）初步应用 P157练习 1、(口答)矩形是正多边形吗?菱形是正多边形吗?为什么? 2．求证：正五边形的对角线相等．（六）小结：

尺规作图的意义

尺规作图的意义初等几何中，所接触到的问题主要有两类：一类是先假设给出合乎一定条件的图形，然后研究这个图形有些什么性质，证明题、计算题即属于这一类；另一类是预先给出一些条件，要求作出具备这些条件的图形，这便是作图题.按照一定方法作出所求图形的过程，叫做解作图题.作图的方法，自然是和作图的工具有关的.古希腊以来，平面几何中的作图工具习惯上限用直尺和圆规两种.其中，直尺假定直而且长，但上面无任何刻度，圆规则假定其两腿足够长并能开闭自如.作图工具的这种限制，最先大概是恩诺皮德斯(Oenopides，约公元前465年)提出的，以后又经过柏拉图(Plato，公元前427—347)大力提倡.柏拉图非常重视数学，强调学习几何对训练逻辑思维能力的特殊作用，主张对作图工具要有限制，反对使用其他机械工具作图.之后，欧几里得(Euclid，约公元前330—275)又把它总结在《几何原本》一书中.于是，限用尺规进行作图就成为古希腊几何学的金科玉律. 其实，作图工具的这种限制并非个别人的癖好和主观旨意，主要有下面两方面的原因. 1.和研究的对象有关，因为初等平面几何研究的对象，只限于直线、圆以及由它们(或其一部分)所组成的图形.有了直尺和圆规这两种作图工具，直线和圆都已可作出，自然无需再增加别的工具. 2.和公理系统有关.在欧几里得几何中，从最少的基本假设(定义、公理、公设)出发，通过逻辑推理，得出尽可能多的命题，这里，关于作图题的结论是和几何证明、几何计算的结论相当的，欧几里得公理系统里的几条公设也就决定了只能是限用尺规作图.并且，凡能作出的图形都在欧几里得几何里加以研究；凡研究其性质的图形也必可用尺规来作出. 确定了作图工具后，还要明确允许怎样使用这两种工具.就是说，直尺和圆规具有什么功能？为此，在平面几何里约定，利用直尺和圆规可以并且只能完成如下几个认可的简单作图： 1．通过两个已知点可以作一条直线(欧几里得几何公理系统中的五条公设之一)； 2．以一个已知点为圆心，以某一已知距离为半径，可以作一个圆(欧几里得几何公理系统中的五条公设之一)； 3．两已知直线，一已知直线和一已知圆，或两已知圆，如其相交，可确定其交点. 此外还附加一个规约：在已知直线上或直线外，已知圆周上或圆内(外)，均可任意取点，但所取的点不得附加其余任何特殊性质. 上面1．—3．条叫做作图公法，用以指明尺规作图的可能范围. 所谓利用直尺和圆规来完成一个作图题，就是指上述作图公法所确定的三种简单作图的有限次的组合. 能有限次地进行作图公法所确定的三种简单作图，从而最终可以得到给定条件的图形，这一类作图题称为尺规作图可能问题.反之，凡有限次地进行作图公法所确定的三种简单作图肯定不能得到给定条件的图形，这一类作图题就称尺规作图不能问题. 下面通过几个例子，从正、反两个方面来加深理解尺规作图的意义. [例1]已知∠AOB，求作射线OS，使∠AOS=∠SOB.

第12讲尺规作图、命题与证明-2020中考数学全覆盖总复习硬核精华16讲(原卷版)

2020中考数学总复习模块四图形的性质(6)st

知识点8：尺规作图真题/典题/热点/重点/易错点掌握1．下列关于几何画图的语句，正确的是() A．延长射线AB到点C，使2 BC AB = B．点P在线段AB上，点Q在直线AB的反向延长线上 C．将射线OA绕点O旋转，当终止位置OB与起始位置OA成一条直线时形成平角 D．已知线段a、b，若在同一直线上作线段AB a =，BC b =，则线段AC a b =+ 2．（2020?河南模拟）如图，在Rt ABC ?中，90 ABC ∠=?，分别以点A和点B为圆心，大于1 2 AB长为半径作弧相交于点D和点E，直线DE交AC于点F，交AB于点G，若3 BF=，2 AG=，则( BC=) A．5B．43C．25D．213 3．下列说法正确的是() A．用直尺和圆规作一条线段的垂直平分线的过程，是用“到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上” B．用直尺和圆规作一个角的平分线的过程，是用“边角边”构造了全等三角形 C．用直尺和圆规作一个角的平分线的过程，是用“到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上” D．用直尺和圆规作一个角等于已知角的过程，是用“边角边”构造了全等三角形 4．下面是小明设计的“作三角形一边上的高”的尺规作图过程．如图，已知钝角ABC ?，依下列步骤用尺规作图，并保留作图痕迹．步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧①；步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；步骤3：连接AD，交BC延长线于点H，则AH即为所求．作图依据：．

5．如图，利用尺规，在ABC ∠=∠，在射线AE上截取AD BC ?的边AC上方作CAE ACB =，连接CD，并证明：// CD AB（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法） 6．（2020?南昌模拟）（1）如图1:ABC ?是O的内接三角形，OD BC ⊥于点D．请仅用无刻度的直尺，画出ABC ?中BAC ∠的平分线．（保留作图痕迹，不写作法）．（2）如图2:O为ABC ?的外接圆，BC是非直径的弦，D是BC的中点，连接OD，E是弦AB上一点，且// ?的内心I．（保留作图痕迹，不写作法）．DE AC，请仅用无刻度的直尺，确定出ABC 7．如图，ABC ?中，AB AC =．按要求解答下面问题：（1）尺规作图：（保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑） ①作BAC ∠的平分线AD交BC于点D； ②作边AB的垂直平分线EF，EF与AD相交于点P； ③连结PB、PC．（2）根据（1）中作出的正确图形，写出三条线段PA、PB、PC之间的数量关系． 8．（2019?江西）在ABC ?中，AB AC =，点A在以BC为直径的半圆内．请仅用无刻度的直尺分别按下列

3.8 圆内接正多边形教学设计

《圆内接正多边形》教学目标为：知识目标：（1）掌握正多边形和圆的关系；（2）理解正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念；（3）能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题；（4）会运用多边形知和圆的有关知识画多边形. 能力目标：学生在探讨正多边形和圆的关系学习中，体会到要善于发现问题、解决问题，培养学生的概括能力和实践能力. 情感目标：通过学习，体验数学与生活的紧密相连；通过合作交流，探索实践培养学生的主体意识. 教学重点：掌握正多边形的概念与正多边形和圆的关系，并能进行有关计算. 教学难点：正多边形的半径、边心距及边长的计算问题转化为解直角三角形的问题. 教学设计第一环节课前准备活动内容：社会调查（提前一周布置）以4人合作小组为单位，开展调查活动：（1）各尽所能收集生活中各行各业、各学科中应用的各种正多边形形状的物体或照片. （2）对收集的其中最感兴趣的一件正多边形形状的物体进行研究. 第二环节情境引入活动内容：各小组派代表展示自己课前所调查得到的正多边形形状的物体（可以是照片、资料、也可以是亲自仿制），并解说从中获取的知识（选3—4个小组代表讲解）

第三环节圆内接正多边形的概念活动内容：学习圆内接正多边形及有关概念顶点都在同一个圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.这个圆叫做该正多边形的外接圆. 把一个圆n 等分（3≥n ），依次连接各分点，我们就可以作出一个圆内接正多边形. 如图3－35，五边形ABCDE 是圆O 的内接正五边形，圆心O 叫做这个正五边形的中心；OA 是这个正五边形的半径；AOB ∠是这个正五边形的中心角；BC OM ⊥，垂足为M ，OM 是这个正五边形的的边心距.在其他的正多边形中也有同样的定义. 第四环节例题学习例：如图3－36，在圆内接正六边形ABCDEF 中，半径4=OC ，BC OG ⊥，垂足为G ，求这个正六边形的中心角、边长和边心距. 解：连接OD ∵六边形ABCDEF 为正六边形 ∴?=?=∠606 360COD ∴COD ?为等边三角形. ∴4==OC CD 在COG Rt ?中，4=OC ，2=CG ∴32=OG ∴正六边形ABCDEF 中心角为?60，边长为4，边心距为32. 第五环节尺规作图活动内容：1、用尺规作一个已知圆的内接正六边形. 2、用尺规作一个已知圆的内接正四边形. 3、思考：作正多边形有哪些方法？第六环节练习与提高活动内容：1、分别求出半径为6cm 的圆内接正三角形的边长和边心距.

圆内正五边形

正五边形的定义与性质五条长度相等的线段，首尾相连构成的一个封闭形状的平面图形叫正五边形。正五边形每个角均为108°，每条边长度相等。正五边形是旋转对称图形，但不是中心对称图形。正五边形正五边形的面积公式为S正五边形=1/4a^2*√﹙25+10√5﹚ 编辑本段正五边形的画法常规画法 (1)已知边长作正五边形的近似画法 ①作线段AB等于定长l,并分别以A,B为圆心,已知长l为半径画弧与AB的中垂线交于K。 ②以K为圆心，取AB的2/3长度为半径向外侧取C点，使CK=1/2AB。 ③以点C为圆心，已知边长AB为半径画弧，分别与前两弧相交于M，N。 ④顺次连接A，B，N，C，M各点即近似作得所要求的正五边形。 (2)民间口诀画正五边形口诀介绍：“九五顶五九,八五两边分”。画法: ①画线段AB=20mm。 ②作线段AB的垂直平分线l，垂足为G。 ③在l上连续截取GH，HD，使 GH=9.5/5*10mm=19mm，HD=5.9/5*10mm=11.8mm。 ④过H作EC⊥HG,在EC上截取HE=HC=8/5*10mm=16mm。 ⑤连结DE，EA，AB，BC，CD。五边形ABCDE就是边长为20mm的近似正五边形。尺规作图画法 1.作线段AB 2.作线段AB的垂直平分线HI垂足为H(基本作图)

3.以线段AB为一边,作正方形(不会作,看下面小步骤) (1)以点A为圆心,适当长为半径,画弧,交直线AB(看清楚,是直线)于点C、D。（2）分别以点C、D为圆心，大于二分之一CD长为半径，画弧，两弧交于点E。（3）过点E作直线AE，并以点A为端点在直线AE上截取线段AF=AB。（4）以点F、B为圆心，线段AB长为半径，画弧，两弧交于点G。（5）连结线段FG、BG。则四边形ABGF为正方形。 4.继续。以点H为圆心，线段HG长为半径，画弧，交射线HC于点J。 5.分别以点A、J为圆心，线段AB长为半径画弧，两弧交于点K，连结AK BK。 6.作线段HJ的垂直平分线L。 7.以点J为圆心，线段AK长为半径，画弧，交直线L于点M 8.再分别以点A。M为圆心，线段AK长为半径，画弧，两弧交于点N 连结JM、MN、AN 五边形AJBMN就是正五边形。编辑本段圆内接正五边形圆内接正五边形的定义与性质圆内接正五边形指内接于圆的正五边形。圆内接正五边形的每一条边相等（即圆的每一条弦相等），每个角均为108°，每个角在圆内所对的优弧相等。圆内接正五边形的尺规作图（1）以O为圆心，定长R为半径画圆，并作互相垂直的直径MN和 AP. （2）平分半径ON，得OK=KN. （3）以 K为圆心，KA为半径画弧与 OM交于 H， AH即为正五边形的边长. （4）以AH为弦长，在圆周上截得A、B、C、D、E各点，顺次连接这些点即得正五边形。

圆的内接正多边形与计算

一、正多边形与圆 1、正多边形定义：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。 2、正多边形的相关概念（1）我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心. （2）外接圆的半径叫做正多边形的半径. （3）正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角. （4）中心到正多边形的距离叫做正多边形的边心距. 3、正多边形的性质（1）正多边形都是轴对称图形，正n边形有n条对称轴。（2）偶数边的正多边形是中心对称图形。 4、正多边形的有关计算（1）正n边形的每个内角都等于（2）正n边形的每一个外角与中心角相等，等于（3）正n边形的边长a，半径R,边心距r，周长P,面积S的关系（特别要掌握正三角形、正方形和正六边形）巩固练习： 1、已知圆的内接正六边形的周长为18，那么圆的面积为 2、正六边形的半径为2厘米，那么它的周长为 3、边长为a的正方边形的边心距为 4、半径为5厘米的圆中，有一条长为6厘米的弦，则圆心到此弦的距离为 5、正三角形的内切圆与外接圆面积之比为_________． 6、若一个正多边形的每个内角的度数是中心角的3倍，则正多边形的边数是 7、有一个边长为1.5cm的正六边形，如果要剪一张圆形纸片完全盖住这个图形，那么这张圆形纸片的最小半径为___________cm． 8、已知圆内接正六边形的边长是1，则这个圆的内接正方形的边长是____________． 9、下列图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）（A）正三角形．（B）正五边形．（C）正六边形．（D）正七边形．二、圆中计算的相关公式

1、若设⊙O半径为R， n°的圆心角所对的弧长为l （1）弧长公式：（2）扇形面积公式：（3）圆锥的侧面积：（4）圆锥表面积：（4）圆柱体表面积公式： 2、常见组合图形的周长、面积的几种常见方法（1）公式法（2）割补发（3）拼凑法（4）等积变换法巩固练习： 1、扇形的圆心角为120°，半径为6，求扇形的弧长 2、若75°的圆心角所对的弧长是π5.2，此弧所在圆的半径为 3、一扇形的弧长为π 12，圆心角为120°，求扇形的面积 4、已知扇形的弧长是2π厘米，半径为12厘米，则这个扇形的圆心角是 5、已知扇形的圆心角为150 ，它所对的弧长为20π厘米，则扇形的半径是________厘米，扇形的面积是__________平方厘米． 6、扇形的圆心角为120 ，弧长为6π厘米，那么这个扇形的面积为_________． 7、圆锥的母线长为5厘米，高为3厘米，在它的侧面展开图中，扇形的圆心角是_________度． 8、已知圆锥的底面半径是3，高是4，则这个圆锥侧面展开图的面积是 9、一个圆柱形油桶的底面直径为0.6米，高为1米，那么这个油桶的侧面积为 10、一个形如圆锥的冰淇淋纸筒，其底面直径为6厘米，母线长为5厘米，围成这样的冰淇淋纸筒所需纸片的面积是 11、在Rt△ABC中，已知AB＝6，AC＝8，∠A＝ 90．如果把Rt△ABC绕直线AC旋转一周得到一个圆锥，其表面积为S 1；把Rt△ABC绕直线AB旋转一周得到另一个圆锥，其表面积为S 2 ，那么S 1 ∶S 2 等于 12、在Rt△ABC中，∠C＝ 90，AＢ＝3，BC＝1，以AC所在直线为轴旋转一周，所得

【教学设计】圆内接正多边形

圆内接正多边形章节内容《圆内接正多边形》时间班级九年级课程标准了解正多边形与圆的关系；作圆的内接正方形和正六边形。教材内容分析本课内容是北师大版数学教科书九年级下册第三章第八节《圆内接正多边形》，是学生掌握了正多边形的相关知识以及圆的性质。这些知识都将为本节的学习起着重要的铺垫作用。本节内容正多边形和圆也是今后进一步研究圆的性质的基础，在教材中有着承上启下的重要地位。本节课从定性、定量的两个角度去讨论，挖掘蕴含的数学知识，把感性认识转化成理性认识，具体到抽象，让学生主动参与，亲身体验知识的发生与发展的过程。利用正多边形和圆的关系，把形的问题转化成了数的问题，体现了数形结合的思想。学情分析学生有自主学习的兴趣，但缺少思考的习惯，研究问题只停留在表层，另外学生之间的差距有点大，有的同学积极主动，有的则很被动，另外因年龄原因，课堂上氛围一般，不算积极踊跃。教学设计整体思路根据《数学课程标准》中"要引导学生投入到探索与交流的学习活动中"的教学要求,本节课教学过程我是这样设计的:复习旧知;自学时光；例题讲解；探索新知；课堂小结；课堂检测六个教学环节学习目标1.通过阅读课本能说出圆的内接正多边形的有关概念；并会应用正多边形的知识进行有关的计算；2.经历作图，会利用等分圆的方法画圆的内接正方形和正六边形。

评价设计随堂练习和课本习题以及能力提高检测本节课目标。教学环节教学过程设计意图环节1 复习旧知复习正多边形的定义和内角和以及外角和等知识。以复习旧知的形式引出本节新课。环节2 自学时光学生自主阅读课本总结圆内接多边形的定义及相关概念。概念性知识让学生自主完成，培养学生的自学能力。环节3 例题讲解本环节一是检验学生学习状况，二是让学生产生一种利用新知解决问题的成就感，提升学生学习积极性. 环节4 探索新知圆内接正六边形的画法。通过教师讲解，学生掌握画正六边形的方法。环节5 课堂小结本节课你学会了什么？学生谈论总结，回顾本节课的内容。环节6 课堂检测课堂检测习题学生自主练习，检查本节课的知识掌握情况。

圆内接正五边形的作法

圆内接正五边形作法 : (1) 作⊙O 的互相垂直的直径AQ 、FG 。 (2) 以OQ 中点M 为心，MF 为半径作圆与AO 交于N 。 (3) 以Q 为心，QN 为半径作圆交⊙O 于B 、E ，则AB 、AE 为⊙O 内接正五边形边长。 (4) 分别以B 、E 为心，以AB = AE 为半径作弧交⊙O 于C 、D ，则ABCDE 是圆内接正五边形。证明：连结EQ 设OF ＝R ∵M 是OQ 中点 ∴OM ＝ 2 R ∴MF ＝R R R 25)2(22=+ ∵MN ＝MF ∴MN ＝R 2 5 ∴QN ＝R 2 15EQ 215225＋＝ ∴+=+R R R ∵AQ ＝2R ∴AE ＝R 2 5210R 45210R 45264R EQ AQ 22222－＝－＝＋－＝－

如图（2） ABCDE 半径为R 的圆内接正五边形，作OG ⊥AB 交⊙O 于G ，连结BG 、作∠OBG 平分线交OG 于H ∵∠AOB ＝?725 360＝ ∵OA ＝OB OG ⊥AB ∴∠BOG ＝36° ∴∠OBG ＝∠OGB ＝72° ∴∠GBH ＝∠OBH ＝36° ∴∠GBH ＝∠BOG ∴ΔBGH ∽ΔOGB ∴GH OG BG 2?=＝ BG GH OG BG ∵∠OBH ＝∠BOG ＝36° ∴OH ＝BH ∴BG 2＝R （R －OH ）＝R （R －BG ） ∴BG 2＋BGR －R 2＝0 ∴BG ＝2R 5±R ∴BG ＝R 2 15）－（ ∵OG ⊥AB ∠OGB ＝72° ∴∠GBA ＝18° ∴∠HBA ＝18° ∴∠GM ＝HM ∴GH ＝R －OH ＝R －BG ＝R － R R 253215-=- ∴GM ＝R 4 5210R 453R 215BM 45322－＝）－－（）－（＝ ∴-R ∴AB ＝2BM ＝ R 25210－故图（1）中AE 与图（2）中AB 相等，且半径都为R ，故AE 为正五边形边长

第12讲尺规作图、命题与证明-2020中考数学全覆盖总复习硬核精华16讲(解析版)

2020中考数学总复习模块四图形的性质(6)TH

知识点8：尺规作图真题/典题/热点/重点/易错点掌握1．（2019秋?番禺区期末）下列关于几何画图的语句，正确的是() A．延长射线AB到点C，使2 BC AB = B．点P在线段AB上，点Q在直线AB的反向延长线上 C．将射线OA绕点O旋转，当终止位置OB与起始位置OA成一条直线时形成平角 D．已知线段a、b，若在同一直线上作线段AB a =，BC b =，则线段AC a b =+ 【解答】解：A．延长射线AB到点C，使2 BC AB =，因为射线不能延长，所以A选项错误，不符合题意； B．因为直线不能反向延长，所以B选项错误，不符合题意； C．将射线OA绕点O旋转，当终止位置OB与起始位置OA成一条直线时形成平角． C选项正确，符号题意； D．已知线段a、b，若在同一直线上作线段AB a =，BC b =，则线段AC a b =+或a b =-．所以D选项错误，不符合题意．故选：C． 2．（2020?河南模拟）如图，在Rt ABC ?中，90 ABC ∠=?，分别以点A和点B为圆心，大于1 2 AB长为半径作弧相交于点D和点E，直线DE交AC于点F，交AB于点G，若3 BF=，2 AG=，则( BC=) A．5B．43C．25D．213 【解答】解：由作法得GF垂直平分AB， FB FA ∴=，2 AG BG ==， FBA A ∴∠=∠， 90 ABC ∠=?， 90 A C ∴∠+∠=?， 90 FBA FBC ∠+∠=?， C FBC ∴∠=∠， FC FB ∴=， 3 FB FA FC ∴===， 6 AC ∴=，4 AB=， 2222 6425 BC AC AB ∴=-- 故选：C．

作圆内接正五边形

第1讲线段的切分点人教版八下P49页第10题： 1、如图，线段AB 的长为1，在线段AB 上的点C 满足AB BC AC ?=2，求线段AC 的长。但是题目并没有给出点C 是如何作出来的？在《历史数学命题赏析》P399中给出了这个点的两种作法： ①如图1，以AB 为边作正方形ABDE 取AE 的中点F ，以F 为圆心FB 为半径画弧交EA 延长线于G ，以AG 为边作正方形AGHC ，则C 为所求的点： AB BC AC ?=2。（《几何原本》第四次印刷版，P97第二卷命题11） ②如图2，过B 作,AB BD ⊥ 且 ,2 1AB BD = 连接AD ，以D 为圆心，DB 为半径画弧交AD 于E ；以A 为圆心AE 为半径画弧交AB 于C ，则点C 为所求。以上作法中给出的点C ，人们称之为黄金分割点，而 2 15-这个数叫做黄金分割数。

第2讲弦切角、切割线定理 1、弦切角及弦切角定理顶点在圆上，一条边与圆相交而另一条边与圆相切的角叫做弦切角。弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角已知：BAC ∠所夹的弧是弧AB，APB ∠是⊙O的弦切角，AC与⊙O相切，BAC ∠ 是弧AB所对的圆周角求证：BAC ∠=APB ∠ 分析：类似于圆周角与圆心的三种位置关系，弦切角与圆心得位置关系也有三种：圆心在弦AB上；圆心在弦切角BAC ∠的内部。 ∠的外部；圆心在弦切角BAC 2、切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段的比例中项。已知：如图，P为⊙O外一点，PA是⊙O的切线，切点为A，PT是⊙O的割线，PT交⊙O于点B、C。求证：2 =? PA PB PC 切割线定理的逆定理如图，P为⊙O外一点，A是⊙O上一点，，PT是⊙O的割线，PT交⊙O于点B、C。2 =? PA PB PC 求证：PA是⊙O的切线

中考复习模拟试题集锦——命题与证明

命题与证明 1、如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠= ，3AB =，4AC =，将ABC △沿直线BC 向右平移 2.5个单位得到DEF △，连结AD AE ，，则下列结论：①AD BE ∥，②ABE DEF ∠=∠，③ED AC ⊥，④ADE △为等腰三角形，正确．．的有 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个答案：D 2、如图，在矩形ABCD 中，有一个菱形BFDE （点E 、F 分别在线段AB 、CD 上），记它们的面积分别为ABCD S 和BFDE S . 现给出下列命题： ①若 ABCD BFDE S S = ，则tan EDF ∠=；②若2 ·DE BD EF =，则DF ＝2AD . 那么，下面判断正确的是（） A ．①是真命题，②是真命题 B ．①是真命题，②是假命题 C ．①是假命题，②是真命题 D ．①假真命题，②假真命题答案：A 3、数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点P 所表示的数是 2 ”，这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做（） A ．代入法 B ．换元法 C ．数形结合 D ．分类讨论答案： C 4.已知下列命题：①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②等腰梯形的对角线相等；③对角线互相垂直的四边形是菱形；④内错角相等．其中假命题有 ( ) A ．1个 B ．2个 C ． 3个 D ．4个第10题图

答案：B 二、解答题 1、已知二次函数25y x kx k =-+-． ⑴求证：无论k 取何实数，此二次函数的图像与x 轴都有两个交点； ⑵若此二次函数图像的对称轴为1x =，求它的解析式；答案（1）证明：令y =0, 则 052=-+-k kx x , ∵△= )5(42--k k =2042 +-k k = 16)2(2 +-k ∵2 )2(-k ≥0, ∴ 16)2(2+-k ＞0 ∴无论k 取何实数，此二次函数的图像与x 轴都有两个交点. -------------4分 (2).∵对称轴为x =12 2==-- k k ， ∴k =2 ∴解析式为322 --=x x y ---------7分： 2、（本题满分10分）定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连结它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．（1）如图1，损矩形ABCD ，∠ABC =∠ADC =90°，则该损矩形的直径是线段．（2）在线段AC 上确定一点P ，使损矩形的四个顶点都在以P 为圆心的同一圆上(即损矩形的四个顶点在同一个圆上)，请作出这个圆，并说明你的理由. 友情提醒：“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹．（3）如图2，，△ABC 中，∠ABC ＝90°，以AC 为一边向形外作菱形ACEF ，D 为菱形ACEF 的中心，连结BD ，当BD 平分∠ABC 时，判断四边形ACEF 为何种特殊的四边形？请说明理由．若此时AB ＝3，BD ＝BC 的长．答案：（1）该损矩形的直径是线段AC ……1分（2）取AC 中点O ，以O 为圆心、 1 2 AC 为半径作圆……3分 E F D A