圆内接正多边形
3.8圆内接正多边形
边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，它的 中心就是对称中心。
顶点都在同一个圆上的正多边形叫做圆内接正正 多边形。这个圆叫做该正多边形的外接圆。 正多边形和圆的关系非常密切,把一个圆n等分 （n≥3），依次连接各分点，我们就可以作出一 个圆内接正多边形。
如图，五边形ABCDE 是⊙O的内接正五边形，圆心O 叫做这个正五边形的中心； OA 是这个正五边形的 半径；∠AOB是这个正五边形的中心角；OM⊥BC， 垂足为M，OM是这个正五边形的的边心距。在其他 的正多边形中也有同样的定义。
.O
如图，把边长为6的正三角形剪去三个三角形得到 一个正六边形DFHKGE,求这个正六边形的面积.
6 3
求半径为6cm的圆内接正四边形的边长、边心距和 面积. A D 6 2cm,3 2cm,72cm2 . 各边相等的圆内接四边形是正 ·O 方形吗？各角相等的圆内接四 边形呢？如果是，请说明理由； 如果不是，请举出反例. B C 各边相等的圆内接四边形是正方形。因为同圆中等 弦对等弧，所以四边形的四个顶点把圆四等分，因 此相邻两边所组成的圆周角（即四边形的内角）都 相等；各角相等的圆内接四边形不一定是正方形， 如可以是长方形.
2 2 边心距OE OB R 2 2 2 边长BC 2BE 2 R 2R 2 2 2 S正方形ABCD ABBC 2R 2R
2 OB OE 2 2
D
·
O
B
E
C
读一读 利用尺规作正五边形 1.作⊙C. 2.作直径AB. 3.过点C作AB的垂线交 ⊙C于点P. 4.取BC中点D. 5.以点D为圆心，以DP 为半径作弧交AB于点E. 6.以点P为圆心，以PE 为半径作弧交⊙C于点F. 7.在⊙C上依次截取等 于PF的弦，就可以作出 圆内接正五边形.
3.8圆内接正多边形(教案)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与圆内接正多边形相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过实际作图，演示圆内接正多边形的基本原理。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解圆内接正多边形的定义及其性质，这是本节课的核心内容，教师应着重讲解并举例说明。
-学会作圆内接正多边形，掌握作图技巧，以便于在实际问题中应用。
-掌握圆内接正多边形的半径、边长、中心角之间的计算方法，能够解决相关问题。
举例：通过动态演示或实际操作，展示如何利用圆规和直尺作出圆内接正三角形、正四边形等，强调每个顶点在圆上，每条边是圆的切线。讲解圆内接正多边形中，半径与边长的关系，中心角与圆心角的关系，以及如何利用这些关系进行计算。
五、教学反思
在上完这节关于圆内接正多边形的课程后，我对自己教学过程中的优点和不足进行了反思。首先，我觉得在导入新课环节，通过提问激发学生的好奇心和兴趣这一点做得不错，大家对这个话题产生了浓厚的兴趣。但在新课讲授过程中，我发现有些学生对圆内接正多边形的性质和计算方法掌握不够扎实。
在讲授理论部分，我意识到可能需要更多的实际例子来帮助学生更好地理解圆内接正多边形的性质。同时，对于难点部分，我应该更加细致地进行讲解，通过更多的互动和提问，让学生积极参与进来，加深对知识点的理解。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解圆内接正多边形的基本概念。圆内接正多边形是指一个正多边形的每个顶点都在圆上，且多边形的每一条边都是圆的切线。它是几何学中的一个重要概念，广泛应用于艺术、建筑和工程设计等领域。
圆内接正多边形洋葱数学
圆内接正多边形洋葱数学洋葱数学，也叫洋葱几何学，是一种研究圆内接正多边形的数学分支。
它通过对圆内接正多边形的特性和性质进行研究，探索其中蕴含的美丽和智慧。
本文将围绕洋葱数学展开讨论，条理清晰地介绍其基本概念、性质和应用。
首先，让我们明确洋葱数学与正多边形的关系。
正多边形是一种特殊的多边形，它的边数相等且每个内角相等。
圆内接正多边形是指正多边形的顶点都位于一个圆的圆周上，并且正多边形的每条边都是圆的切线。
洋葱数学即是研究这种特殊的多边形的数学分支。
在探索洋葱数学之前，我们需要了解一些基本概念。
首先是圆内接正多边形的边数n，即正多边形的边的个数。
其次是圆心角，指圆心所对应的圆周上的两条切线所夹的角度。
洋葱数学中的一个重要概念是圆心角的二分法，即将圆心角分成两个相等的小角度，从而将圆内接正多边形划分为n个等边小三角形。
接下来，让我们探讨洋葱数学的性质。
洋葱数学有两个基本性质：循环性和封闭性。
循环性指的是洋葱数学中正多边形的每个顶点都与相邻的两个顶点构成一个等边三角形，这种等边三角形的存在使得洋葱数学的形态具有循环性质。
封闭性指的是洋葱数学中正多边形的各个顶点均位于同一个圆上，因此它是一个封闭的图形。
除了这些基本性质外，洋葱数学还有一些其他的有趣性质。
首先是等边三角形。
由于洋葱数学中的每个顶点都与相邻的两个顶点构成一个等边三角形，因此洋葱数学中可以找到很多等边三角形。
其次是角度的关系。
洋葱数学中的每个小三角形的内角和为180度，因此可以通过计算这些角度来研究洋葱数学的性质。
此外，洋葱数学还有一些应用。
例如，在计算机图形学中，可以使用洋葱数学的概念来绘制圆内接正多边形，用于生成漂亮的图形效果。
此外，洋葱数学还与其他数学分支有着紧密的关联，例如计算几何、三角学等。
对洋葱数学的研究可以帮助我们更好地理解这些数学分支的概念和原理。
在结束之前，让我们简要总结一下洋葱数学的重点。
我们介绍了洋葱数学的基本概念，包括圆内接正多边形的边数和圆心角的二分法。
《圆内接正多边形》圆
圆内接正多边形的面积与周长的关系
面积与周长的关系
分析圆内接正多边形的面 积与周长的关系，如面积 与周长的比值、面积与周 长的变化规律等。
面积与半径的关系
分析圆内接正多边形的面 积与半径的关系，如面积 与半径的函数关系、面积 与半径的变化规律等。
周长与半径的关系
分析圆内接正多边形的周 长与半径的关系，如周长 与半径的函数关系、周长 与半径的变化规律等。
对称性在构造复杂图形中的应用
02
在构造复杂图形时，可以利用圆内接正多边形的对称性，快速
确定图形的形状和位置。
对称性在解决几何问题中的应用
03
在解决几何问题时，可以利用圆内接正多边形的对称性，寻找
解题思路和简化计算过程。
05
圆内接正多边形的作图方法
利用尺规作图法作圆内接正多边形
定义
尺规作图法是指使用直尺和圆规等基本作图工具进行作图 的方法。
所有顶点都在给定圆上。
外接圆的半径R与边心距r的关系为R = r + d/2 。
圆内接正多边形的分类
01
02
03
等边圆内接多边形
每个内角都相等的圆内接 正多边形。
等腰圆内接多边形
每条边的长度都相等的圆 内接正多边形。
正方形
特殊的等边等腰圆内接正 四边形，具有特殊的性质 和用途。
02
圆内接正多边形的面积与周长
步骤
首先使用直尺确定圆心和半径，然后使用圆规在圆上截取 等长的弧线，依次连接各弧线的端点即可得到圆内接正多 边形。
特点
尺规作图法是一种基本的作图方法，具有简单、直观的特 点，但只能作出有限的几种圆内接正多边形，如正三角形 、正方形、正六边形等。
利用几何变换法过平移、旋转、对称等几何变换手段进行作图的方法
九年级数学《圆内接正多边形》
解：
∵ A⌒B=B⌒C=C⌒D=D⌒E=E⌒A ∴ AB=BC=CD=DE=EA. ∴ B⌒CE=C⌒DA=3A⌒B
∴ ∠A=∠B.
同理 ∠B=∠C=∠D=∠E.
∴ 五边形ABCDE是正五边形.
A
B O·
E
C
D
问题2 将圆n(n≥3)等分，依次连接各等分点， 所得到的多边形是正多边形吗？
弧相等— 弦相等（多边形的边相等）
C.圆内接正四边形的边长等于半径
D.圆内接正n边形的中心角度数为 360o
n
5.如图是一枚奥运会纪念币的图案，其形状近似看作为正七边形，
则一个内角为
_1_2_8度74.（不取近似值）
6. 要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直 径最小要_4___2cm.
也就是要找这个正方形外 接圆的直径
问题3
正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形 什么叫做正多边形？
吗？都是中心对称图形吗？
问题1
归纳 正n边形都是轴对称图形，都有n条对称轴，只有边数为偶数的 正多边形才是中心对称图形.
正多边形与圆的关系
探究归纳 问题1 如图，把⊙O分成相等的5段弧，即A⌒B=B⌒C=C⌒D=⌒DE=E⌒A， 依次连接各等分点，所得五边形ABCDE是正五边形吗？
问题6 边长a，边心距r的正n边形的面积如何计算？
S
1 nar 2
1 lr. 2
其中l为正n边形的周长.
E D
C
典例精析
例1：如图所示，正五边形ABCDE内接于⊙O，
则∠ADE的度数是
（C）
A．60° B．45° C． 36° D． 30°
A
B
《圆内接正多边形》 说课稿
《圆内接正多边形》说课稿尊敬的各位评委、老师们：大家好！今天我说课的内容是《圆内接正多边形》。
下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程以及教学反思这几个方面来展开我的说课。
一、教材分析本节课是在学生已经学习了圆的基本性质和正多边形的概念的基础上进行的。
圆内接正多边形是圆与正多边形相结合的重要内容，它不仅是对圆和正多边形知识的深化和拓展，也为后续学习圆锥的侧面积和全面积等知识奠定了基础。
在教材的编排上，通过实际问题引入圆内接正多边形的概念，然后引导学生探究正多边形与圆的关系，最后运用所学知识解决实际问题。
这样的编排既符合学生的认知规律，又体现了数学知识的应用价值。
二、学情分析学生在之前的学习中已经掌握了圆的基本性质和正多边形的概念，具备了一定的推理能力和计算能力。
但是，对于圆内接正多边形的性质和应用，学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，要注重引导学生通过观察、操作、思考等活动，自主探究圆内接正多边形的性质，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
1、知识与技能目标（1）理解圆内接正多边形的概念，掌握正多边形与圆的关系。
（2）能够根据圆的半径计算圆内接正多边形的边长、边心距和面积。
2、过程与方法目标（1）通过观察、操作、思考等活动，培养学生的动手能力和逻辑推理能力。
（2）经历探究圆内接正多边形性质的过程，体会从特殊到一般的数学思想方法。
3、情感态度与价值观目标（1）通过对圆内接正多边形的学习，感受数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。
（2）在探究活动中，培养学生的合作精神和创新意识。
四、教学重难点1、教学重点（1）圆内接正多边形的概念和性质。
（2）正多边形的边长、边心距和面积的计算。
圆内接正多边形的性质的推导和应用。
五、教法与学法1、教法为了突出重点，突破难点，我将采用直观演示法、启发引导法和讲练结合法进行教学。
通过多媒体演示、实物模型展示等直观手段，帮助学生理解圆内接正多边形的概念和性质；通过启发引导，激发学生的思维，让学生自主探究正多边形的边长、边心距和面积的计算方法；通过讲练结合，巩固所学知识，提高学生的应用能力。
初中数学微课课件：圆内接正多边形边长与半径的关系
条边，设圆O的半径为R，用关于R的代数式表示正n
边形的边长AB.
O
思考3：对于圆内接正n边形的边长AB和半径R有什么关系？1 AB， 2
BOC 1 AOB （180）
2
n
sinBOC BC
sin（180）
1 2
AB
n
R
n
A CB
AB 2R • sin（180） n
数学与文化
0207 圆内接正多边形的边长与半径的关系
一、问题背景
二、问题解决
1.右图是一面我国唐代外圆内方的铜镜，正方形 DD ABCD内接于圆O，AB是正方形的一条边，设圆O的 半径为R,用关于R的代数式表示正方形的边长AB.
思考1：正方形的边长与半径如何建立联系？ 构造Rt△
思考2：如何构造Rt△？ 连接OA、OB构造Rt△AOB.
过点O，OC⊥AB， 垂足为点C
BC 1 AB， 2
BOC 1 AOB 18 2
sinBOC BC OB
1 AB sin18 2
R
O
A CB AB=2R·sin18°
方法点拨：利用弦心距、半径、弦的一半构造Rt△再利用三角函数解题是解决圆的问题
的重要手段
二、问题解决
2.如图，在圆内接正n边形中，AB是正n边形的一
A A
C
O O
BB
AB 2R
方法点拨：圆内接正多边形问题往往需要构造Rt△，利用勾
股定理解决.
二、问题解决
2.如图，在圆内接正十边形中，AB是正十边形的 一条边，设圆O的半径为R，用关于R的代数式表示 正十边形的边长AB.
思考1：每一条边所对的圆心角是多少？ ∠AOB=36°
思考2：为了得到边与半径的关系，如何构造Rt△.
3.8 圆内接正多边形 教案
一、情境导入这些美丽的图案，都是在日常生活中我们经常能看到的．你能从这些图案中找出正多边形来吗？二、合作探究探究点：圆内接正多边形【类型一】 圆内接正多边形的相关计算已知正六边形的边心距为3，求正六边形的内角、外角、中心角、半径、边长、周长和面积． 解析：根据题意画出图形，可得△OBC 是等边三角形，然后由三角函数的性质，求得OB 的长，继而求得正六边形的周长和面积．解：如图，连接OB ，OC ，过点O 作OH ⊥BC 于H ，∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴∠BOC ＝16×360°＝60°，∴中心角是60°.∵OB ＝OC ，∴△OBC 是等边三角形，∴BC ＝OB ＝OC .∵OH ＝3，sin ∠OBC ＝OH OB ＝32，∴OB ＝BC ＝2.∴内角为180°×（6－2）6 ＝120°，外角为60°，周长为2×6＝12，S 正六边形ABCDEF ＝6S △OBC ＝6×12×2× 3＝6 3.方法总结：圆内接正六边形是一个比较特殊的正多边形，它的半径等于边长，对于它的计算要熟练掌握．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第11题 【类型二】 圆内接正多边形的画法如图，已知半径为R 的⊙O ，用多种工具、多种方法作出圆内接正三角形．解析：度量法：用量角器量出圆心角是120度的角；尺规作图法：先将圆六等分，然后再每两份合并成一份，将圆三等分．解：方法一：(1)用量角器画圆心角∠AOB ＝120°，∠BOC ＝120°； (2)连接AB ，BC ，CA ，则△ABC 为圆内接正三角形． 方法二：(1)用量角器画圆心角∠BOC ＝120°；(2)在⊙O 上用圆规截取AC ︵＝AB ︵；(3)连接AC ，BC ，AB ，则△ABC 为圆内接正三角形． 方法三：(1)作直径AD ；(2)以D 为圆心，以OA 长为半径画弧，交⊙O 于B ，C ； (3)连接AB ，BC ，CA ，则△ABC 为圆内接正三角形． 方法四：(1)作直径AE ；(2)分别以A ，E 为圆心，OA 长为半径画弧与⊙O 分别交于点D ，F ，B ，C ；(3)连接AB ，BC ，CA (或连接EF ，ED ，DF )，则△ABC (或△EFD )为圆内接正三角形．方法总结：解决正多边形的作图问题，通常可以使用的方法有两大类：度量法、尺规作图法；其中度量法可以画出任意的多边形，而尺规作图只能作出一些特殊的正多边形，如边数是3、4的整数倍的正多边形．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题 【类型三】 正多边形外接圆与内切圆的综合如图，已知正三角形的边长为2a .(1)求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积；(2)根据计算结果，要求圆环的面积，只需测量哪一条弦的大小就可算出圆环的面积？ (3)将条件中的“正三角形”改为“正方形”、“正六边形”你能得出怎样的结论？ (4)已知正n 边形的边长为2a ，请写出它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积．解析：正多边形的边心距、半径、边长的一半正好构成直角三角形，根据勾股定理就可以求解． 解：(1)设正三角形ABC 的中心为O ，BC 切⊙O 于点D ，连接OB 、OD ，则OD ⊥BC ，BD ＝DC ＝a .则S 圆环＝π·OB 2－π·OD 2＝πOB 2－OD 2＝π·BD 2＝πa 2；(2)只需测出弦BC (或AC ，AB )的长； (3)结果一样，即S 圆环＝πa 2； (4)S 圆环＝πa 2.方法总结：正多边形的计算，一般是过中心作边的垂线，连接半径，把内切圆半径、外接圆半径、边心距，中心角之间的计算转化为解直角三角形．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题 【类型四】 圆内接正多边形的实际运用如图①，有一个宝塔，它的地基边缘是周长为26m 的正五边形ABCDE (如图②)，点O 为中心(下列各题结果精确到0.1m)．(1)求地基的中心到边缘的距离；(2)已知塔的墙体宽为1m ，现要在塔的底层中心建一圆形底座的塑像，并且留出最窄处为1.6m 的观光通道，问塑像底座的半径最大是多少？解析：(1)构造一个由正多边形的边心距、半边和半径组成的直角三角形．根据正五边形的性质得到半边所对的角是360°10＝36°，再根据题意中的周长求得该正五边形的半边是26÷10＝2.6，最后由该角的正切值进行求解；(2)根据(1)中的结论，塔的墙体宽为1m 和最窄处为1.6m 的观光通道，进行计算．解：(1)作OM ⊥AB 于点M ，连接OA 、OB ，则OM 为边心距，∠AOB 是中心角．由正五边形性质得∠AOB ＝360°÷5＝72°，∴∠AOM ＝36°.∵AB ＝15×26＝5.2，∴AM ＝2.6.在Rt △AMO 中，边心距OM ＝AM tan36°＝ 2.6tan36°≈3.6(m)．所以，地基的中心到边缘的距离约为3.6m ；(2)3.6－1－1.6＝1(m)．所以，塑像底座的半径最大约为1m.方法总结：解决问题关键是将实际问题转化为数学问题来解答．熟悉正多边形各个元素的算法．三、板书设计圆内接正多边形1．正多边形的有关概念2．正多边形的画法3．正多边形的有关计算作业设计1．下列边长为a的正多边形与边长为a的正方形组合起来，不能镶嵌成平面的是( )(1)正三角形(2)正五边形(3)正六边形(4)正八边形A．(1)(2) B．(2)(3) C．(1)(3) D．(1)(4)2．以下说法正确的是A．每个内角都是120°的六边形一定是正六边形．B．正n边形的对称轴不一定有n条．C．正n边形的每一个外角度数等于它的中心角度数．D．正多边形一定既是轴对称图形，又是中心对称图形．3.若同一个圆的内角正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为r3，r4，r6，则r3：r4：r6等于( )A．1:2:3B．3:2:1C．1:2:3D．3:2:14.如图，若正方形A1B1C1D1内接于正方形ABCD的内接圆，则ABBA11的值为（）A．21B．22C．41D．425．已知正六边形ABCDEF内接于⊙O，图中阴影部分的面积为312，则⊙O的半径为______________________．第5题图第6题图6．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E在AD上，则∠BEC= ．7．将一块正六边形硬纸片（图1），做成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖纸盒（侧面均垂直于底面，见图2），需在每一个顶点处剪去一个四边形，例如图中的四边形AGA/H，那么∠GA/H的大小是度．OB CDAEF EDCBA O8．从一个半径为10㎝的圆形纸片上裁出一个最大的正方形，则此正方形的边长为．9．如图五边形ABCDE内接于⊙O,∠A=∠B=∠C=∠D=∠E．求证：五边形ABCDE是正五边形10．如图，10－1、10－2、10－3、…、10－n分别是⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCD…，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动。
圆内接正多边形的面积公式
圆内接正多边形的面积公式好的，以下是为您生成的文章：在咱们数学的奇妙世界里，圆内接正多边形可是个有趣的家伙！今天咱们就来好好聊聊圆内接正多边形的面积公式。
记得我当年读高中的时候，有一次数学课上，老师在黑板上画出了一个圆，然后在圆里画了一个内接正六边形。
那图形就像是一个神秘的魔法阵，一下子吸引了全班同学的目光。
老师说：“同学们，咱们今天就来研究研究这个圆内接正多边形的面积问题。
”咱们先来说说啥是圆内接正多边形。
简单来讲，就是一个正多边形的所有顶点都在一个圆上，这个圆就是它的外接圆。
比如说正三角形、正方形、正五边形等等，只要它们的顶点都在同一个圆上，那就是圆内接正多边形。
那圆内接正多边形的面积公式到底是啥呢？其实啊，它和这个正多边形的边数、圆的半径都有关系。
假设这个圆的半径是 r，正多边形的边数是 n，那么这个圆内接正多边形的面积 S 就可以表示为：S = 1/2 ×n × r² × sin(360°/n) 。
咱们来好好琢磨琢磨这个公式。
n 代表边数，边数越多，这个正多边形就越接近圆。
r 是圆的半径，它决定了整个图形的大小。
sin(360°/n) 呢，则反映了正多边形每个小三角形的形状特征。
比如说一个圆内接正四边形，也就是正方形。
假设圆的半径是 5，那根据公式，面积就是 1/2 × 4 × 5² × sin(360°/4) 。
sin(360°/4) 等于sin(90°) ，也就是 1 。
所以面积就是 1/2 × 4 × 5² × 1 = 50 。
再比如一个圆内接正六边形，如果圆的半径还是 5，那面积就是 1/2 × 6 × 5² × sin(360°/6) 。
sin(360°/6) 等于 sin(60°) ，约等于 0.866 。
3.8 圆内接正多边形(教案)-北师大版数学九下
第8节圆内接正多边形1.了解圆内接正多边形的概念及相关概念.2.能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题.3.会用尺规作圆的内接正多边形.学生在探讨正多边形和圆的关系的学习过程中,体会到要善于发现问题,解决问题,发展学生的观察、比较、分析、概括及归纳的逻辑思维能力.1.通过合作交流、探索、实践培养学生的主体意识.2.通过学习,体验数学与生活的紧密联系,感受圆的对称美,正多边形与圆的和谐美,从而更加热爱生活,珍爱生命.【重点】掌握圆内接正多边形的性质并能加以熟练运用.【难点】用尺规作圆内接正多边形.【教师准备】多媒体课件和圆规.【学生准备】1.复习勾股定理和垂径定理等相关知识.2.圆规、直尺.导入一:如图所示的向日葵图案是用等分圆周画出的,图中的多边形是什么图形?它与圆的内接三角形有什么相同之处吗?学生分析:图中的多边形是正六边形,它与圆的内接三角形一样顶点都在圆上.【问题】它有哪些性质?它又是如何画出来的呢?[设计意图]利用类比的方法,使学生初步感知圆内接多边形的模型,利用学生急于知道答案的心理设计问题,增加了它的神秘感,更加激发了学生的求知欲望.导入二:如图所示的是正六边形的蓝色纸板,如果以它的中心为圆心,以中心到顶点的距离为半径画圆,你会有什么发现?【师生活动】学生利用直尺和圆规动手操作,进行画图,教师巡视,对于发现的问题及时予以纠正,学生完成后与同伴交流,然后教师出示课件,供学生参考.让学生说出自己发现的结论,师生共同订正.【问题】六边形和圆有什么样的位置关系?如果先给你一个圆,你能在圆中画出正六边形吗?[设计意图]在教学中创设问题情境,激发学生对探索圆内接正多边形的兴趣.通过学生的作图活动,使学生明确这节课的学习任务,利于学生集中精力学习重点内容.[过渡语]前面我们探究了圆内接三角形的概念及性质,和圆有关的其他多边形又有什么样的特征呢?课件出示:如图所示:【问题】1.你能从这四幅图中找出多边形吗它们都是几边形?2.它们都是什么样的多边形?3.这些正多边形的顶点都具有什么样的特征?【学生活动】学生观察,与同伴交流,思考后得出结论.【教师点评】每个多边形的边长都相等,所以它们都是正多边形,并且这些正多边形的顶点都在圆上.1.如何作圆内接正三角形?正四边形?正五边形?正六边形?2.如何作圆内接正n边形?【活动方式】分组活动,全班分成四个组分别作四种图形.【师生活动】学生思考后讨论,教师巡视,并参与到学生的讨论中去.然后学生作出圆的内接正多边形.请代表发言,说出他们的作法.【教师点评】利用平分圆的方法作圆内接正多边形的方法:课件出示:如图所示,五边形ABCDE是☉O的内接五边形.【活动方式】让学生通过图形,结合课本,自己了解圆内接正五边形的相关概念.【教师点评】圆心O叫做这个正五边形的中心;OA是这个正五边形的半径,∠AOB是这个正五边形的中心角;OM⊥BC,垂足为M,OM是这个正五边形的边心距.[设计意图]学生经历观察、猜想、操作的过程,逐步掌握了圆内接正多边形的相关概念和作法,并利用类比推理的方法得到其性质,提高了学生解决问题的综合能力.[知识拓展]正n边形的性质:1.正n边形的每个中心角都相等,都等于;2.正n边形的每个外角都相等,都等于;3.正n边形的每个内角都相等,都等于180°-.课件出示:如图所示,在圆内接正六边形ABCDEF中,半径OC=4,OG⊥BC,垂足为G,求这个正六边形的中心角、边长和边心距.〔解析〕在由半径OC、边长的一半CG、边心距OG组成的Rt△OGC中,利用勾股定理进行解决是解题的关键,而求解边长,则连接OD得出△OCD是等边三角形就可以得出OC=CD=4.解:连接OD.∵六边形ABCDEF为正六边形,∴∠COD==60°.∴△COD为等边三角形,∴CD=OC=4.在Rt△COG中,OC=4,CG=BC=×4=2,∴OG===2.∴正六边形ABCDEF的中心角为60°,边长为4,边心距为2.[设计意图]此例是教材上的例题,紧扣这堂课的知识点,重点是对基础知识的巩固,并在巩固重点之余又培养了灵活应用能力.[知识拓展]特殊的圆内接正多边形的边长、半径、边心距之比:正多边形图形边长、半径、边心距之比正三角形2∶2∶1正四边形2∶∶1正六边形2∶2∶[过渡语]前面我们已经掌握了利用平分圆的方法作圆内接正多边形的方法,你能用尺规作圆内接正多边形吗?课件出示:【做一做】你能用尺规作一个已知圆的内接正六边形吗?教师引导学生思考下面的问题:1.通过例题探究圆的内接正六边形的边长与圆的半径有什么关系.2.你能利用圆的内接正六边形的边长与圆的半径的关系利用尺规进行作图了吗?【学生活动】学生首先独立作图,然后小组交流,代表展示.【教师点评】利用尺规作圆内接正多边形的思路还是等分圆.以作圆内接正六边形为例.作法:(1)作☉O的任意一条直径FC.(2)分别以F,C为圆心,以☉O的半径R为半径作弧,与☉O相交于点E,A和D,B.(3)顺次连接AB,BC,CD,DE,EF,FA,便得到正六边形ABCDEF.[设计意图]操作性强又富有挑战性的数学活动,有利于激发学生的学习兴趣,掌握尺规作图的【想一想】你能借助尺规作出圆内接正四边形吗?你是怎么做的?与同伴进行交流.【学生活动】学生自己独立完成.代表说出作法:作一个☉O,取☉O直径为AB,作AB的垂直平分线交☉O于C,D,顺次连接A,C,B,D,四边形ACBD即为☉O的内接正四边形.[设计意图]通过动手操作不但提高了学生的作图能力,还进一步巩固了本节课所学的知识,一举两得.1.圆内接正多边形的概念及相关概念.2.圆内接正多边形的性质.3.圆内接正多边形的尺规作法.1.如图所示,☉O是正方形ABCD的外接圆,点P在☉O上,则∠APB等于()A.30°B.45°C.55°D.60°解析:连接OA,OB.根据正方形的性质,得∠AOB=90°.再根据圆周角定理,得∠APB=45°.故选B.2.如图(1)所示,要拧开一个边长为a=6mm的正六边形螺帽,扳手张开的开口b至少为()A.6mmB.12mmC.6mmD.4mm解析:如图(2)所示,设正多边形的中心是O,其一边是AB,∴∠AOB=∠BOC=60°,∴OA=OB=AB=OC=BC,∴四边形ABCO是菱形,∴AC⊥OB,AM=MC,∵AB=6mm,∠AOB=60°,∴cos∠BAC=,∴AM=6×=3,∴AC=2AM=6(mm).故选C.3.(2014·南京中考)如图所示,AD是正五边形ABCDE的一条对角线,则∠BAD=.解析:如图所示,设O是正五边形的中心,作出正五边形ABCDE的外接圆,连接OD,OB,则∠DOB=×360°=144°,∴∠BAD=∠DOB=72°.故填72°.4.(2014·江西中考)如图所示,△ABC内接于☉O,AO=2,BC=2,则∠BAC的度数为.解析:连接OB,OC,作OD⊥BC于D,如图所示,∵OD⊥BC,∴BD=BC=×2=,在Rt△OBD中,OB=OA=2,BD=,∴cos∠OBD==,∴∠OBD=30°,∵OB=OC,∴∠OCB=30°,∴∠BOC=120°,∴∠BAC=∠BOC=60°.故填60°.5.已知正六边形ABCDEF的外接圆的半径为2cm,求这个正六边形的边长、周长和面积.解:∵正六边形的外接圆的半径等于边长,∴正六边形的边长=2cm;正六边形的周长l=6×2=12(cm);正六边形的面积S=6××2×=6(cm2).8圆内接正多边形1.圆内接正多边形:顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.这个圆叫做该正多边形的外接圆.2.正n边形的性质:(1)正n边形的每个中心角都相等,都等于;(2)正n边形的每个外角都相等,都等于;(3)正n边形的每个内角都相等,都等于180°-.一、教材作业【必做题】1.教材第98页随堂练习.2.教材第99页习题3.10第1,2,3题.【选做题】教材第99页习题3.10第4,5题.二、课后作业【基础巩固】1.若正方形的边长为6,则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为()A.6,3B.3,3C.6,3D.6,32.(2014·天津中考)正六边形的边心距为,则该正六边形的边长是()A. B.2 C.3 D.23.(2014·德阳中考)半径为1的圆内接正三角形的边心距为.4.如图所示,将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中,中心与坐标原点重合,若A点的坐标为(-1,0),则点C的坐标为.【能力提升】5.(2014·玉林中考)蜂巢的构造非常美丽、科学,如图所示的是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格,正六边形的顶点称为格点,△ABC的顶点都在格点上.设定AB边如图所示,则△ABC 是直角三角形的个数有()A.4个B.6个C.8个D.10个6.已知☉O的面积为2π,则其内接正三角形的面积为.7.如图所示,已知正方形ABCD的边心距OE=cm,求这个正方形外接圆☉O的面积.8.作已知圆的内接正八边形.9.如图①所示,有一个宝塔,它的地基边缘是周长为26m的正五边形ABCDE(如图②所示),点O为中心.(下列各题结果精确到0.1m)(1)求地基的中心到边缘的距离;(2)已知塔的墙体宽为1m,现要在塔的底层中心建一圆形底座的塑像,并且留出最窄处为1.6m的观光通道,那么塑像底座的半径最大是多少?【拓展探究】10.小敏在作☉O的内接正五边形时,先做了如下几个步骤:(1)作☉O的两条互相垂直的直径,再作OA的垂直平分线交OA于点M,如图(1)所示;(2)以M为圆心,BM长为半径作圆弧,交CA于点D,连接BD,如图(2).若☉O的半径为1,则由以上作图得到的关于正五边形边长BD的等式是()A.BD2=ODB.BD2=ODC.BD2=ODD.BD2=OD【答案与解析】1.B(解析:如图所示,∵正方形的边长为6,∴AB=3,又∵∠AOB=45°,∴OB=3.∴AO==3.故选B.)2.B(解析:如图所示,∵正六边形的边心距为,∴OB=,又AB=OA,OA2=AB2+OB2,∴OA2=+()2,解得OA=2.)3.(解析:如图所示,△ABC是☉O的内接等边三角形,OB=1,OD⊥BC.∵等边三角形的内心和外心重合,∴OB平分∠ABC,则∠OBD=30°.∵OD⊥BC,∴∠BDO=90°,又∵OB=1,∴OD=.)4.(解析:连接OE,由正六边形是轴对称图形知:在Rt△OEG中,∠GOE=30°,OE=1.∴GE=,OG=,∴E,∴C.)5.C(解析:如图所示,AB是直角边时,点C共有6个位置,即有6个直角三角形,AB是斜边时,点C共有2个位置,即有2个直角三角形.综上所述,△ABC是直角三角形的个数有6+2=8个.故选C.)6.(解析:如图所示,连接OB,OC,过O作OD⊥BC于D,∵☉O的面积为2π,∴☉O的半径为.∵△ABC为正三角形,∴∠BOC==120°,∠BOD=∠BOC=60°,OB=,∴BD=OB·sin∠BOD=·sin60°=,∴BC=2BD=,又OD=OB·cos∠BOD=·cos60°=,∴△BOC的面积=·BC·OD=××=,∴△ABC的面积=3S=3×=.)△BOC7.解:如图所示,连接OC,OD,∵圆O是正方形ABCD的外接圆,∴O是对角线AC,BD的交点,∴∠ODE=∠ADC=45°,∵OE⊥CD,∴∠OED=90°,∴∠DOE=180°-∠OED-∠ODE=45°,∴OE=DE=,由勾股定理得OD==2,∴这个正方形外接圆☉O的面积是π·22=4π.答:这个正方形外接圆☉O的面积是4π.8.作法:(1)画任意一条直径;(2)把直径看做一个平角作其角平分线,把平角分成两个直角,再作每个直角的角平分线;(3)将角平分线反向延长在圆上得到八等分点;(4)顺次连接即得正八边形.9.解:(1)作OM⊥AB于点M,连接OA,OB,则OM为边心距,∠AOB是中心角.由正五边形性质得∠AOB=360°÷5=72°.又AB=×26=5.2,∴AM=2.6,∠AOM=36°,在Rt△AMO中,边心距OM==≈3.6(m).答:地基的中心到边缘的距离约为3.6m.(2)3.6-1-1.6=1(m).答:塑像底座的半径最大约为1m.10.C(解析:如图所示,连接BM,根据题意得OB=OA=1,AD⊥OB,BM=DM,∵OA的垂直平分线交OA于点M,∴OM=AM=OA=,∴BM==,∴DM=,∴OD=DM-OM=-=,∴BD2=OD2+OB2===OD.)利用现实生活中的素材,使学生产生一种亲切感,有效激发学生的求知和探索的欲望,取得了极佳的效果.本节课由于知识比较简单,所以前三个探究活动都完全要给学生去处理,老师要相信学生,他们完全有能力完成这些探究任务,事实证明学生完成得非常出色;对于第四个利用尺规作圆内接正多边形的探究,对部分学生来说有一定难度,教师重点在于引导学生弄清楚尺规作图的依据和方法,千万不能越俎代庖,直接告诉学生利用尺规作圆内接正多边形的方法,这样只能解决现实问题,不利于学生后面探究过程的顺利进行.本节课设计的探究活动比较多,并且还拓展了一部分知识,所以时间略显紧张.对于拓展的内容,再讲时可以酌情减少一些内容或放到课下留给学生探究.随堂练习(教材第98页)解:如图所示,△ABC是☉O的内接正三角形,OB=6cm,OD⊥B C.∵正三角形的内心和外心重合,∴BO平分∠ABC,则∠OBD=30°.∵OD⊥BC,∴BD=DC,又∵OB=6cm,∴OD=3cm,BD=3cm,则BC=6cm.习题3.10(教材第99页)1.解:∵剪去三个三角形,得到正六边形,∴剪去的三个三角形是全等的等边三角形,且被剪的正三角形的边长为6,∴得到正六边形的边长为=2.如图所示,正六边形的边长HK =2,∠HOK ==60°,∵OH =OK ,∴△HOK 是等边三角形,∴OH =HK =2.∵OM ⊥HK ,∴∠HOM =30°,OM =OH ·cos 30°=2×=,S △HOK =HK ·OM =×2×=,∴S 正六边形=6S △HOK =6.∴这个正六边形的面积为6.2.解:边长为6cm ,边心距为3cm ,面积为72cm 2.3.解:各边相等的圆内接四边形是正方形.各角相等的圆内接四边形不一定是正方形,也可能是矩形.4.解:(1)如图(1)所示,连接OB ,过O 作OD ⊥BC 于D ,则∠OBC =30°,BD =OB ·cos 30°=r ,故a =BC =2BD =r.如图(2)所示,连接OB ,OC ,过O 作OE ⊥BC 于E ,则△OBE 是等腰直角三角形,2BE 2=OB 2,即BE =r ,故b =BC =r.如图(3)所示,连接OA ,OB ,过O 作OG ⊥AB ,则△OAB 是等边三角形,AG =OA ·sin 30°=r ,故c =AB =2AG =r.(2)以a ,b ,c 为边可以构成直角三角形.因为(r )2+r 2=3r 2,(r )2=3r 2,所以(r )2+r 2=(r )2.5.可以得到一个“五角星”的图案,图略.1.由于本节课的知识比较简单,所以可以让学生通过自主探究掌握大部分内容,运用观察、猜想的方法可以得出圆内接正多边形的概念.2.利用类比圆内接正五边形的方法可以总结出圆内接正多边形的中心角、边心距等相关概念.3.利用转化的思想把正多边形的问题转化为直角三角形的问题是进行圆内接正多边形的计算的重中之重,是求中心角、边心距、半径的关键所在.4.动手操作、掌握方法则是探究尺规作圆内接正多边形的根本,要重点掌握.有一个亭子,它的地基是半径为8m 的正六边形,求地基的周长和面积.〔解析〕连接OB ,OC 求出∠BOC 的度数,再由等边三角形的性质即可求出正六边形的周长;过O 作△OBC 的高OG ,利用等边三角形及特殊角的三角函数值可求出OG 的长,利用三角形的面积公式即可解答.解:连接OB ,OC.∵六边形ABCDEF 是正六边形,∴∠BOC ==60°,∴△OBC 是等边三角形,∴BC =OB =8m ,∴正六边形ABCDEF 的周长=6×8=48(m ).过O 作OG ⊥BC 于G ,∵△OBC 是等边三角形,OB =8m ,∴∠OBC =60°,∴OG =OB ·sin∠OBC =8×=4(m ),∴S △OBC =BC ·OG =×8×4=16(m 2),∴S 六边形ABCDEF =6S △OBC =6×16=96(m 2).。
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圆内接正多边形
学习目标：
1、理解圆内接正多边形及正多边形的外接圆、正多边形的中心、半
径、边心距、中心角等概念。
2、掌握用等分圆周画圆内接正多边形的方法，能熟练地进行有关正
三角形，正方形，正六边形的计算。
1学习过程：
1、复习回顾
正n边形的有关计算公式：
每个内角= ，每个外角= 。
2、预习、交流并展示
阅读课本97页到98页，回答下列问题
（1）都在同一个圆上的正多边形叫做，这个圆叫做该正多边形的。
(2)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形
的，外接圆的半径叫做正多边形的，正多
边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的，正n边
形的中心角是，中心到正多边形的一边的距离
叫做正多边形的。
如上图，五边形ABCDE是☉O的，☉O是五边形ABCDE 的圆，叫做正五边形ABCDE的中心，是正五边形ABCDE的半径，是正五边形ABCDE的中心角，中心角是
度，OM⊥BC，垂足为M，是正五边形ABCDE的边心距。
（3）利用尺规作一个已知圆的内接正多边形
以圆内接正六边形为例：
由于正六边形的中心角为，因此它的边长和外接圆的半径R ，所以在半径为R的圆上，依次截取等于R的弦，就可以六等分圆，进而作出圆内接正多边形。
作法如下：
（1）☉O的任意一条直径AD，如图（1）
（2）分别以A、D为圆心，以☉O的半径R为半径作弧，与☉O相交于B、F和C，E则A，B，C，D，E，F是☉O的六等分点。
（3）顺次连接AB,BC,CD,DE,EF,FA，便得到正六边形ABCDEF，图（2）
如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC=4，OG⊥BC，垂足为G，求正六边形的中心角、边长和边心距。
当堂训练：
1、正六边形的边心距为2，则该正六边形的边长是。
2、中心角为30度的圆内接正n边形的n为。
3
4、求半径为6cm的圆内接正三角形的边长和边心距
5、如图，把边长为6的正三角形剪去三个三角形得到一个正六边形DFHKGE，求这个正六边形的面积。
6、如图，正五边形ABCDE内接于☉O，点F在劣弧AB上，求∠CFD 的大小
7、在圆中利用尺规做一个圆内接正八边形。