初中几何 第三册 第七章

初中几何第三册第七章第二单元直线和圆的位置关系一、教法建议【抛砖引玉】直线和圆的位置关系用处广泛与旧知识联系紧密，在生活中处处可见，让同学们观察自己周围生活中的实例，引导出本单元所学的直线和圆的三种位置关系，要着重研究直线和圆相切的情况，给出切线的判定定理，性质定理，在此基础上，再介绍三角形内切圆的作法及弦切角定理和切线长定理，最后又研究和圆有关的比例线段，教学时，让学生观察直线和圆的相对运动引出直线和圆的三种位置关系，从运动的观点及量变到质变的观点来讲授直线和圆相交、相切、相离的概念，直线和圆的位置关系的性质和判定，并由直线和圆的三种位置关系的定义，直观地得到圆心到直线的距离d与半径r的三种数量关系，这三种数量关系既可作为各种位置的判定，又可以作为性质，并通过例题教学及练习，进一步复习所学内容，而且可以复习直角三角形的有关性质。

切线的判定定理和性质定理容易混淆，在教学时，要使学生分清判定定理和性质定理的题设和结论，注意在什么情况下可以用切线的判定，什么情况下可以用切线的性质。

关于这个问题可结合课本P109例3和P110例4讲解，并通过例题及练习，引导同学们总结判定切线三种方法，切线的五条主要性质以及添设辅助线的规律──圆心切点要相连。

在讲解如何作三角形的内切圆时，先引导学生复习角的平分线的作法，要抓住“确定圆心位置及半径”这个关键，再指导学生根据题设分析，问题就可突破了。

通过作图，揭示三角形内心的概念及圆的外切多边形概念以及内心的应用。

“切线长”这一概念要使学生理解，然后再研究“切线长定理”，并结合例习题教学使切线长定理与旧知识，切线五个性质，垂径定理等交融一体，拓宽了思路，揭示它们规律，增长同学见识，提高分析问题与解决问题的能力。

弦切角定理的研究再现了分情况证明数学命题的思想和方法，可通过圆周角定理的研究进行比较，并结合运动的方法，让学生注意观察，总结弦切角定义，再通过三种不同位置关系，证明其定理，研究其应用，再通过例习题进一步强化，和圆有关的比例线段。

在教学时可引导学生自己证明，但学生使用本节定理时，常常容易出错，因此在教学中要结合图形强调定理中所指的是哪几条线段，指导学生理论联系实际，使所学知识进一步地升华，更好地指导实践。

【指点迷津】直线和圆的位置关系是研究直线形和圆的有关性质的基础，是这一单元也是这一章的中心内容，它与所学过的知识联系密切，涉及广泛，综合性强。

因之，在教学中，讲解新知识，复习旧知识，把新旧知识融为一体，互相渗通、衍化，以提高学生综合运用知识的能力。

加强对例题的分析，着重讲思路，讲方法，达到举一反三，左右逢源，真正掌握基本知识的实质，看清基本知识和基本方法是怎么应用的。

学会分析问题，解决问题的方法，帮助学生分析一些定理和图形结构及其具有的基本关系。

只有学生掌握图形的结构和这些基本关系，运用定理就比较灵活了。

对一些常见类型的题目的解法和常用的添加辅助线的方法引导学生总结，并编成顺口易记的口决帮助学生记忆。

如“圆心切点要相连，切线性法记心间；特殊割线（经过圆心的割线）特殊弦（直径），缺谁就把谁来添；……”。

用这些总结带有规律性东西，在练习中进一步指导实践，理论联系实际，将会产生新的飞跃，收到较好的学习效果。

二、学海导航【思维基础】回答下列问题：1．直线和圆有 公共点时，叫做直线和圆相交，这条直线叫做圆的 ；直线和圆有 公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的 ，唯一的公共点叫做 ；直线和圆 公共点时，叫做直线和圆相离。

2．若⊙o 的半径为r ，圆心o 到直线 的距离为d 。

（1）直线 和⊙o 相交⇔ ；（2）直线 和⊙o 相切⇔ ；（3）直线 和⊙o 相离⇔ 。

3．切线的判定定理：经过半径的 ，并且垂直于这条 的直线是圆的切线。

4．切线的性质定理：圆的切线垂直于经过 的半径。

推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过 。

推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过 。

5．任何三角形 一个内切圆，和三角形各边都相切的圆叫做三角形 ，内切圆的圆心叫做三角形的 ，这个三角形叫做圆的外切三角形，和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的 ，这个多边形叫做圆的 。

6．在经过圆外一点的切线上，这点和切点之间 的长叫做这点到圆的切线长。

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长 ，圆心和这一点的连线平分两条切线的 。

圆外切四边形性质：圆的外切四边形的两组对边的 。

7．顶点在 ，一边和圆 ，另一边和圆 的角叫做弦切角。

弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的 。

推论：如果两个弦切角所夹弧 ，那么这两个弦切角也 。

8．相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的 。

推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的 。

9．切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的 。

推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的 。

【学法指要】例1．已知：如图，在Rt △ABC 中，以AC 为直径的⊙o 交斜边AB 于E ，OD ∥AB 。

求证：（1）ED 为⊙o 的切线；（2）EA ·EB = 4ED 2－EB 2 思路分析：（1）欲证DE 是⊙o 切线，必须应用切线判定定理的两个条件：(1)经过半径外端；(2)垂直于这条半径。

观察图形，必须连接OE ，只要证明OE ⊥DE ，ED 即为⊙o 切线。

由题设知∠C=90°，那么∠OED=∠C 便可成功。

这两个角分别是△COD 和△OED 的内角，只要证△COD ≌△OED 即可。

观察图形知OC=OE ，OD=OD ，再证∠1=∠3由OA=OE ⇒∠A=∠2OD∥AB ⇒∠1=∠A ，∠2=∠3（2）由题设知：AC ⊥BC ，BC 又过OC 外端点C ，BC 为⊙o 切线，BEA 为⊙o 割线，由切割线定理，得：BC 2 = BE ·BA = (BE + AE)·BE = BE 2 + AE ·BE∴EA ·EB = BC 2 －EB 2 此时，只要证BC = 2DE由o 为AC 中点，OD ∥AB 知D 为BC 中点 连CE ，由AC 为⊙o 直径知∠AEC=∠CEB=90° 则DE = DC = DB ，即BC = 2DE ∴EA ·EB = 4DE 2 －EB 2由上分析，思路畅通，证明过程请同学们写出。

例2．△ABC 中，已知BC=a ，CA=b ，AB=c ，S=a b c++2，内切圆I 和BC 、CA 、AB分别相切于点D 、E 、F 。

求证：（1）AF = S －a ；（2）S △ABC = S (S －a) tg A2思路分析：（1）依题意可设AE=AF=x ，BD=BF=y ，CD=CE=z ，得方程组⇒∠1=∠3x + y = c y + z = a z + x = b 解得x = S －a 所以：AF = S －a（2）欲证S △ABC = S (S －a) tgA2，结合图形发现： S △ABC = S △ABI + S △BCI + S △CAI=()12121212rc ra rb a b c r sr ++=++=此时只要证r = (s －a) tg A2由I 为内心知∠FAI=∠EAI=A2在Rt △AFI 中，tg A 2=r AF ⇒ r = AFtg A 2⇒ r = (S －a)tg A2，至此本例完全解决。

例3．点P 是⊙o 外一点，PE 是切线，E 为切点，PA 是割线，点A 、B 是它与⊙o 的交点，EA 、EB 与∠APE 的平分线分别相交于点C 、D 。

求证：（1）△CDE 是等腰三角形；（2）CE 2 = AC ·BD 思路分析：（1）欲证△CDE 是等腰三角形，即证EC=ED ，又转化为证∠ECD= ∠EDC 。

观察图形知：∠ECD=∠A+∠APC∠EDC=∠BDE=∠PED+∠EPC 由题设知：∠APC=∠EPC现在∠A=∠PED 问题就解决了由题设知PE 为⊙o 切线，则有∠A=∠PED（2）欲证：CE 2 = AC ·BD ，即证CE AC BDCE =，现又找不到相似三角形，联想（1）可将比例式进一步转换，由（1）知ED=CE ，则证CE AC BDDE =，但仍然找不到相似三角形。

此时必须有第三者作为桥梁，才能到达“彼岸”，即CE AC BDCE==。

那么这个省略号是什么？何处寻？由题设图形可降临，观察图形知：C 、D 二点均在∠P 平分线上，通常用面积法解决，抓住三角形共高与等高两大特点，便可建立比例式。

如：S S AC CE PAPE PAC PEC ∆∆:==S S PE PB DEBDPDE PBD ∆∆:==对照欲证式，PA : PE = PE : PB 就是我们要寻找的“省略号”，由题设又知PBA 为⊙o割线，PE 为切线，那么PE 2= PA ·PB ⇒ PA : PE = PE : PB ，此时我们便沿此路走通了。

证明：（1）略（2）在△AEP 中，PC 是∠EPA 的平分线，则 S S AC CE PAPEPAC PEC ∆∆== 同理，在△BEP 中，S S PE PB DEBDPDE PBD ∆∆== ⇒ CE 2 = AC ·BD由切割线定理知：PE 2 = PA ·PB ⇒ PE PB PAPE =（2）又思路分析：由原分析知：“CE AC BD DE == ”，亦为“CE BD ACDE==”，那么“省略号”通过找相似三角形也是常规思路。

由题设知：△PAC∽△PED ⇒ACDEPAPE=△PCE∽△PDB ⇒CEBDPEPB=⇒ CE2 = AC·BD又PE2 = PA·PB ⇒PAPEPEPB=例1、例3综合性较强，我们采取分析法──执果索因，沿着要什么，结合图形与题设，最后一定找到它，但在寻找“它”的过程中，一定要联想定义，定理，将问题不断转化。

通常使用的思维方法也应积极参予，便可打通思路，也能想到要想的思路。

例2采取综合法──执因索果，并同时用分析法，二者相互配伍，也达目的。

分析法与综合法是打开几何思路的得力“向导”。

尤其对分析法更应青睐。

【思维体操】例：如图，经过⊙o上的点T的切线和弦AB的延长线相交于点C，求证：∠A TC=∠TBC。

思路分析：欲证角相等，通常转化三角形相似问题，看这两个角在哪两个三角形中，找出条件证明三角形相似即可。

结合本例，这条思路通常应先试一试。

观察图形，我们发现∠ATC与∠TBC分别在△ATC和△TBC中，只要△A TC∽△TBC就行了。