【名校名师】--第六章复习题
高考物理复习 第六章 机械运动机械波
拾躲市安息阳光实验学校高考物理复习第六章机械运动、机械波一、主要内容本章内容包括机械振动、回复力、振幅、周期、频率、简谐振动、受迫振动、共振、机械波、波长、波速、横波、纵波、波的干涉和衍射等基本概念，以及单摆振动的周期规律、简谐运动的图像、简谐运动中的能量转化规律、波的图像、波长和频率与波速之间的关系等规律。
二、基本方法本章中所涉及到的基本方法有：由于振动和波动的运动规律较为复杂，且限于中学数学知识的水平，因此对于这部分内容不可能像研究直线运动、平抛、圆周运动那样从运动方向出发描述和研究物体的运动，而是利用图象法对物体做简谐运动的运动规律及振动在介媒中的传播过程进行描述与研究。
图像法具有形象、直观等优点，其中包含有丰富的物理信息，在学习时同学们要注意加以体会；另外，在研究单摆振动的过程中，对于单摆所受的回复力特点的分析，采取了小摆角的近似的处理，这是一种理想化物理过程的方法。
三、错解分析在本章知识应用的过程中，初学者常犯的错误主要表现在：对于诸如机械振动、简谐运动、受迫振动、共振、阻尼振动、等幅振动等众多的有关振动的概念不能深刻的理解，从而造成混淆；不能从本质上把握振动图象和波的图象的区别和联系，这主要是由于振动的图象与波的图象形式上非常相似，一些学生只注意图象的形状，而忽略了图象中坐标轴所表示的物理意义，因此造成了将两个图象相混淆。
另外，由于一些学生对波的形成过程理解不够深刻，导致对于波在传播过程中时间和空间的周期性不能真正的理解和把握；由于干涉和衍射的发生条件、产生的现象较为抽象，所以一些学生不能准确地把握相关的知识内容，表现为抓不住现象的主要特征、产生的条件混淆不清。
例1 一个弹簧振子，第一次被压缩x后释放做自由振动，周期为T1，第二次被压缩2x后释放做自由振动，周期为T2，则两次振动周期之比T1∶T2为 [ ]A．1∶1B．1∶2C．2∶1C．1∶4【错解】压缩x时，振幅为x，完成一次全振动的路程为4x。
2023年人教版高中数学第六章平面向量及其应用经典知识题库
(名师选题)2023年人教版高中数学第六章平面向量及其应用经典知识题库单选题1、在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且a (sin A −sin B )+b sin B =c sin C,a +b =2c =2，则△ABC 的面积为（ ）A ．3√38B ．√34C ．√32D ．3√32答案：B分析：由正弦定理化角为边结合余弦定理可求出C =π3，再由已知可求出ab =1，即可求出面积.因为a (sin A −sin B )+b sin B =c sin C ，由正弦定理得a (a −b )+b 2=c 2， 即a 2+b 2−c 2=ab ，所以cos C =a 2+b 2−c 22ab=12，又C ∈(0,π)，所以C =π3.又a +b =2c =2，则c =1,a +b =2， 由a 2+b 2−c 2=a 2+b 2−1= ab,(a +b)2−3ab =1，得ab =1. 所以S △ABC =12ab sin C =12×1×1×sin π3=√34. 故选：B.2、已知a ⃗=(2,−1), b ⃗⃗=(x, 4)，且a ⃗⊥b ⃗⃗，则|a ⃗+b ⃗⃗|=（ ） A ．1B ．3C ．√5D ．5 答案：D分析：利用向量的垂直，求出x ，然后求解向量的模．解：a ⃗=(2,−1)，b ⃗⃗=(x,4)，且a ⃗⊥b ⃗⃗，可得2x −4=0，解得x =2， 所以a ⃗+b ⃗⃗=(4,3)，则|a ⃗+b⃗⃗|=√42+32=5．故选：D ．3、已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,3)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3，t )，|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = A ．-3B ．-2 C ．2D ．3 答案：C分析：根据向量三角形法则求出t ，再求出向量的数量积.由BC⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,t −3)，|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√12+(t −3)2=1，得t =3，则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,3)·(1,0)=2×1+3×0=2．故选C ．小提示：本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．4、设在△ABC 中，角A ，B,C 所对的边分别为a ，b,c ， 若 bcosC +ccosB =asinA ， 则△ABC 的形状为（ ） A ．直角三角形B ．等边三角形 C ．等腰三角形D ．钝角三角形 答案：A分析：根据两角和的正弦公式和正弦定理求得sinA =sin 2A ，得到sinA =1，求得A =π2，即可求解. 因为bcosC +ccosB =asinA ，由正弦定理可得sinBcosC +sinCcosB =sin 2A ， 即sin (B +C )=sin 2A ，即sinA =sin 2A ，所以sinA =1， 又因为A ∈(0,π)，所以A =π2，所以是直角三角形. 故选：A.5、如图，△ABC 中，角C 的平分线CD 交边AB 于点D ，∠A =2π3，AC =2√3，CD =3√2，则BC =（ ）A ．3√3B ．4C ．4√2D ．6 答案：D分析：△ACD 中由正弦定理求得∠ADC 后可得∠ACD ，从而得∠ACB ，B 角，得AB ，用余弦定理可得BC ．在△ACD 中，根据正弦定理得sin∠ADC =AC⋅sinA CD=2√3×√323√2=√22， 由∠ADC <∠A ， 所以∠ADC =π4，所以∠ACD =π−2π3−π4=π12，所以∠ACB =π6，则∠B =π6， 所以AB =AC =2√3，在△ABC 中，由余弦定理得BC 2=(2√3)2+(2√3)2−2×2√3×2√3×(−12)=36， 所以BC =6． 故选：D ．小提示：关键点点睛：本题主要考查正弦定理，余弦定理，特殊角的三角函数值等基础知识，解题时对照已知条件选用恰当的公式进行计算．如先在△ACD 中选用正弦定理求得两边中另一边的对角，可得三角形的第三角，这样图形听所有角都已知，然后再求选用公式求边．本题也可以不用余弦定理求边BC ．6、已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 2=a (a +c )，则asinAbcosA−acosB 的取值范围是（ ）A ．(0,√22)B ．(0,√32)C ．(12,√22)D ．(12,√32)答案：C分析：由b2=a(a+c)利用余弦定理，可得c−a=2acosB，正弦定理边化角，在消去C，可得sin(B−A)= sinA，利用三角形ABC是锐角三角形，结合三角函数的有界限，可得asinAbcosA−acosB的取值范围．由b2=a(a+c)及余弦定理，可得c−a=2acosB正弦定理边化角，得sinC−sinA=2sinAcosB∵A+B+C=π∴sin(B+A)−sinA=2sinAcosB∴sin(B−A)=sinA∵ABC是锐角三角形，∴B−A=A，即B=2A．∵0<B<π2，π2<A+B<π，那么：π6<A<π4则asinAbcosA−acosB =sin2Asin(B−A)=sinA∈(12，√22)故选：C小提示：方法点睛：解三角形的基本策略一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.7、某地为响应习近平总书记关于生态文明建设的号召，大力开展“青山绿水”工程，造福于民，拟对该地某湖泊进行治理，在治理前，需测量该湖泊的相关数据.如图所示，测得角∠A＝23°，∠C＝120°，AC=60√3米，则A，B间的直线距离约为（参考数据sin37°≈0.6）（）A ．60米B ．120米C ．150米D ．300米 答案：C分析：应用正弦定理有AC sinB =ABsinC ，结合已知条件即可求A ，B 间的直线距离. 由题设，∠B =180°−∠A −∠C =37°， 在△ABC 中，ACsinB =ABsinC ，即60√3sin37°=√32，所以AB =90sin37°≈150米. 故选：C8、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b =c =2a ，则cosB 等于（ ） A ．18B ．14C ．13D ．12 答案：B分析：直接利用余弦定理计算可得. 解：因为b =c =2a ，所以cosB =a 2+c 2−b 22ac=a 2+4a 2−4a 22a×2a=14．故选：B9、在△ABC 中，AB =3，AC =2，∠BAC =60°，点P 是△ABC 内一点（含边界），若AP⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为（ ） A ．2√73B ．83C ．2√193D ．2√133答案：D分析：以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立坐标系，设点P 为(x,y)，根据向量的坐标运算可得y =√3(x −2)，当直线y =√3(x −2)与直线BC 相交时|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |最大，问题得以解决以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的坐标系， ∵AB =3，AC =2，∠BAC =60°， ∴A(0,0)，B(3,0)，C(1,√3)，设点P 为(x,y)，0⩽x ⩽3，0⩽y ⩽√3， ∵ AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴(x ，y)=23(3，0)+λ(1，√3)=(2+λ，√3λ)， ∴ {x =2+λy =√3λ ， ∴y =√3(x −2)，① 直线BC 的方程为y =−√32(x −3)，②，联立①②，解得{x =73y =√33， 此时|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |最大， ∴|AP|=√499+13=2√133， 故选：D ．小提示：本题考查了向量在几何中的应用，考查了向量的坐标运算，解题的关键是建立直角坐标系将几何运算转化为坐标运算，同时考查了学生的数形结合的能力，属于中档题10、对任意量给非零向量a，b⃗，定义新运算：a×b⃗=|a⃗ |sin⟨a⃗ ,b⃗⟩|b⃗|．已知非零向量m⃗⃗ ，n⃗满足|m⃗⃗ |>3|n⃗|，且向量m⃗⃗ ，n⃗的夹角θ∈(π4,π2)，若4(m⃗⃗ ×n⃗)和4(n⃗×m⃗⃗ )都是整数，则m⃗⃗ ×n⃗的值可能是（）A．2B．3C．4D．174答案：B分析：由n⃗×m⃗⃗ =|n⃗ |sinθ|m⃗⃗⃗ |=k4(k∈Z)结合|m⃗⃗ |>3|n⃗|>0可得0<k4<13，从而求得k,可得|m⃗⃗⃗ ||n⃗ |=4sinθ，确定34<sinθ<1，再根据m⃗⃗ ×n⃗=|m⃗⃗⃗ |sinθ|n⃗ |=4sin2θ即可确定答案.由题意可得n⃗×m⃗⃗ =|n⃗ |sinθ|m⃗⃗⃗ |=k4(k∈Z)．因为|m⃗⃗ |>3|n⃗|>0，所以0<|n⃗ ||m⃗⃗⃗ |<13．因为θ∈(π4,π2)，所以√22<sinθ<1，所以0<|n⃗ ||m⃗⃗⃗ |sinθ<13，即0<k4<13，解得0<k<43．因为k∈Z，所以k=1，所以n⃗×m⃗⃗ =|n⃗ |sinθ|m⃗⃗⃗ |=14，则|m⃗⃗⃗ ||n⃗ |=4sinθ，则|n⃗ ||m⃗⃗⃗ |=14sinθ<13，得34<sinθ<1，故m⃗⃗ ×n⃗=|m⃗⃗⃗ |sinθ|n⃗ |=4sin2θ∈(94,4),符合该条件的是3，故选：B11、给出下列物理量：①密度；②温度；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.正确的是( ) A．①②③是数量，④⑤⑥是向量B．②④⑥是数量，①③⑤是向量C．①④是数量，②③⑤⑥是向量D．①②④⑤是数量，③⑥是向量答案：D分析：根据向量的定义即可判断.密度、温度、质量、功只有大小，没有方向，是数量；速度、位移既有大小又有方向，是向量．故选：D．12、向量PA⃗⃗⃗⃗⃗ =(k,12)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,5)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(10,k)．若A,B,C 三点共线，则k 的值为（ ） A ．−2B ．1C ．−2或11D ．2或−11 答案：C分析：求得BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用向量共线的充要条件，可得关于k 的方程，求解即可. 解：由题可得：BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(k,12)−(4,5)=(k −4,7)， CA⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(k,12)−(10,k )=(k −10,12−k ). 因为A,B,C 三点共线，所以BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以(k −4)(12−k )−7(k −10)=0，整理得k 2−9k −22=0，解得k =−2或k =11. 故选：C. 双空题13、a ⃗=(2,1)，b ⃗⃗=(2,−1)，c ⃗=(0,1)，则(a ⃗+b ⃗⃗)⋅c ⃗=_______；a ⃗⋅b ⃗⃗=_______. 答案： 0 3分析：根据向量坐标表示的线性运算及数量积的坐标运算即可得出答案. 解：∵a ⃗=(2,1),b ⃗⃗=(2,−1),c ⃗=(0,1)，∴a ⃗+b ⃗⃗=(4,0)，∴(a ⃗+b ⃗⃗)⋅c ⃗=4×0+0×1=0， ∴a ⃗⋅b ⃗⃗=2×2+1×(−1)=3. 所以答案是：0；3.14、若平面向量a ，b ⃗ 满足|a +b ⃗ |=√2，|a −b ⃗ |=√6，则a ⋅b ⃗ =__________，a 2+b ⃗ 2=__________． 答案： -1 4分析：分别对|a +b ⃗ |=√10和|a −b ⃗ |=√6两边平方再相减，即可得到答案. 由|a +b ⃗ |=√2，得a 2+2a ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=2，① 由|a −b ⃗ |=√6，得a 2−2a ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=6，② ①-②得：4a ⋅b⃗ =−4，∴a ⋅b ⃗ =−1．故a 2+b ⃗ 2=4． 所以答案是：①-1；②4.小提示：本题主要考查根据平面向量的模长计算数量积，属于简单题.15、如图所示，在梯形ABCD 中，∠B =90∘,|AB |=2,|BC |=2√2,|AD |<|BC |，点E 为AB 的中点，若向量CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 在向量CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影向量的模为2，则CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =___________；设M 为线段CD 上的动点，则BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为___________.答案： 6 −23分析：以B 为原点，以BC ，BA 所在直线为x ，y 轴，建立平面直角坐标系，求得CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，根据向量CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 在向量CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影向量的模为2，求得CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，设M (m,n )，由 CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为二次函数求解. 解：以B 为原点，以BC ，BA 所在直线为x ，y 轴，建立平面直角坐标系：则B (0,0),C(2√2,0),A (0,2),E (0,1),D (x,2)，所以CE⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√2,1),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −2√2,2)，|CE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(−2√2)2+1=3， 因为向量CD⃗⃗⃗⃗⃗ 在向量CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影向量的模为2，所以|CD⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠DCE =2， 所以CD⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =|CE ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠DCE =3×2=6，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√2)(x −2√2)+2=6, 解得x =√2，则D(√2,2)， 因为M 为线段CD 上的动点，所以设M (m,n ),m ∈[√2,2√2]，CM//CD， 则−√2n =2(m −2√2)，又CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(m −2√2,n),BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(m,n ),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√2,2)， 所以CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m(m −2√2)+n 2， =3m 2−10√2m +16，=3(m −5√23)2−23，当m =5√23时，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为−23所以答案是：6，−2316、若非零向量a 和b ⃗ 满足|a +b ⃗ |=|b ⃗ |=2,则|a |的取值范围是________,|a −b ⃗ |的取值范围是________. 答案： (0,4] (2,6]分析：(1)根据平面向量的三角不等式求解|a ⃗|的取值范围即可.(2)根据|b ⃗⃗|=2结合平面向量的三角不等式可得−4≤|a ⃗−b ⃗⃗|−|a ⃗+b ⃗⃗|≤4与|a ⃗−b ⃗⃗|+|a ⃗+b ⃗⃗|⩾4,再根据|a ⃗+b ⃗⃗|=2求解|a ⃗−b⃗⃗|的取值范围即可. (1)因为||a ⃗+b ⃗⃗|−|b ⃗⃗||≤|a ⃗|=|a ⃗+b ⃗⃗−b ⃗⃗|≤|a ⃗+b ⃗⃗|+|b ⃗⃗|=4,又a ⃗是非零向量,所以|a ⃗|的取值范围是(0,4]. (2)因为|a ⃗−b ⃗⃗|+|a ⃗+b ⃗⃗|⩾2|b ⃗⃗|=|(a ⃗+b ⃗⃗)−(a ⃗−b ⃗⃗)|⩾||a ⃗−b ⃗⃗|−|a ⃗+b ⃗⃗||,所以−4≤|a ⃗−b ⃗⃗|−|a ⃗+b ⃗⃗|≤4,|a ⃗−b ⃗⃗|+|a ⃗+b⃗⃗|⩾4, 又|a ⃗+b ⃗⃗|=2,a ⃗≠0⃗⃗，所以|a ⃗−b ⃗⃗|的取值范围是(2,6]. 所以答案是：(0,4]；(2,6]小提示：本题考查平面向量加减法的几何意义､向量三角不等式运算.需要根据所给的向量构造合适的三角不等式,属于中档题.17、在△ABC 中，已知AB =3,AC =5，∠BAC =2π3，点D 在边BC 上，且满足AD =BD ，则BC =__________，sin∠DAC =__________.答案： 7 4√37##47√3 分析：在△ABC 由余弦定理可直接求得BC 及cosB ，又AD =BD ，可得sin∠DAC =sin(∠BAC −BAD)，利用两角差的正弦公式可得解.在△ABC 中，由余弦定理得cos∠BAC =AB 2+AC 2−BC 22⋅AB⋅AC ，即−12=32+52−BC 22×3×5， 解得BC =7，所以cosB =AB 2+BC 2−AC 22⋅AB⋅BC =32+72−522×3×7=1114，又AD =BD ，可得∠BAD =∠B ，故cos∠BAD =cosB =1114，sin∠BAD =5√314， 所以sin∠DAC =sin(∠BAC −∠BAD)=sin∠BACcos∠BAD −cos∠BACsin∠BAD=√32×1114−(−12)×5√314=4√37，所以答案是：7，4√37. 解答题 18、已知正方形ABCD 的边长为1．E 是AB 上的一个动点，求DE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值及DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值． 答案：1，最大值为1．分析：建立如图所示的平面直角坐标系，设E (x 0,0)，得到向量的坐标，利用向量数量积的运算公式，即可求解.如图所示，建立如图所示的平面直角坐标系，则CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1)， 设E (x 0,0)，其中0≤x 0≤1，则DE⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0,−1)，所以DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =1， 又由DC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0)，所以DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 0，而0≤x 0≤1， 所以DE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为1． 所以答案是：1； 1.19、如图，为测量河对岸A ，B 两点的距离，在河的这边取C ，D 两点观察，测得CD =√3km ，∠ADB =45°，∠ADC =30°，∠ACB =75°，∠DCB =45°（A ，B ，C ，D 在同一平面内），求A ，B 两点之间的距离．答案：√5km分析：由题意，先计算得∠DBC =60°，∠DCA =120°，∠DAC =30°，由正弦定理计算BD,AD ，再由余弦定理计算AB∠DAC ＝180°﹣∠ADC ﹣∠DCB ﹣∠ACB ＝30°，∠DBC ＝180°﹣∠DCB ﹣∠ADC ﹣∠ADB ＝60°在△ADC 中由正弦定理得：DC sin∠DAC =AD sin(∠DCB+∠ACB)∴AD =sin(∠DCB +∠ACB)×DC sin∠DAC =3在△CDB 中由正弦定理得：DC sin∠DBC =BD sin∠DCB∴BD =DC sin∠DBC ×sin∠DCB = √2在△ADB 中由余弦定理得：AB 2＝DB 2+AD 2﹣2DB ×AB cos ∠ADB ＝2+9﹣2×√2×3×√22＝5∴AB＝√5km答：A、B两点间的距离为√5km20、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinC1−cosA=√3c．(1)求角A的大小；(2)若b+c=10,S△ABC=4√3，求a的值．答案：(1)A=π3(2)a=2√13分析：（1）由正弦定理结合辅助角可求出sin(A+π3)=√32，因为0<A<π，即可求出角A的大小；（2）由三角形的面积公式结合余弦定理即可求出a的值.（1）由asinC1−cosA =√3c及正弦定理得sinAsinC1−cosA=√3sinC，∵sinC≠0，∴sinA=√3(1−cosA)，∴sinA+√3cosA=2sin(A+π3)=√3，∴sin(A+π3)=√32．又0<A<π，∴π3<A+π3<4π3，∴A+π3=2π3，∴A=π3．（2）∵S△ABC=12bcsinA=√34bc=4√3，∴bc=16．由余弦定理得a2=b2+c2−2bccosπ3=(b+c)2−2bc−bc=(b+c)2−3bc．又b+c=10，∴a2=102−3×16=52，∴a=2√13．。
【名师整理】2020年高考数学一轮复习考点与题型总结：第六章 数列
第六章 数列第一节 数列的概念与简单表示一、基础知识1．数列的概念(1)数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．(2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N *(或它的有限子集{1,2，…，n })为定义域的函数a n ＝f (n )当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．数列是一种特殊的函数，在研究数列问题时，既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性.(3)数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法． 2．数列的分类(1)按照项数有限和无限分：⎩⎪⎨⎪⎧有限数列：项数有限个；无限数列：项数无限个；(2)按单调性来分：⎩⎪⎨⎪⎧递增数列：a n ＋1>a n，递减数列：a n ＋1<a n，常数列：a n ＋1＝a n＝C (常数)，摆动数列.3．数列的两种常用的表示方法(1)通项公式：如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．(1)并不是所有的数列都有通项公式；(2)同一个数列的通项公式在形式上未必唯一. (2)递推公式：如果已知数列{a n }的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项与它的前一项(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．二、常用结论(1)若数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ，则a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，n ∈N *. (2)在数列{a n }中，若a n 最大，则⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1.若a n 最小，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1.考点一 由a n 与S n 的关系求通项a n[典例] (1)(2018·广州二模)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且log 2(S n ＋1)＝n ＋1，则数列{a n }的通项公式为____________．(2)(2018·全国卷Ⅰ改编)记S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n ＝2a n ＋1，则a n ＝________. [解析] (1)由log 2(S n ＋1)＝n ＋1，得S n ＋1＝2n ＋1， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2.(2)∵S n ＝2a n ＋1，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1＋1， ∴a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1＋1，得a 1＝－1.∴数列{a n }是首项a 1为－1，公比q 为2的等比数列， ∴a n ＝－1×2n －1＝－2n －1.[答案] (1)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2 (2)－2n －1[解题技法]1．已知S n 求a n 的3个步骤 (1)先利用a 1＝S 1求出a 1；(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；(3)注意检验n ＝1时的表达式是否可以与n ≥2的表达式合并． 2．S n 与a n 关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化．(1)利用a n＝S n－S n－1(n≥2)转化为只含S n，S n－1的关系式，再求解．(2)利用S n－S n－1＝a n(n≥2)转化为只含a n，a n－1的关系式，再求解．[题组训练]1.设数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2(a n－1)(n∈N*)，则a n＝() A．2n B．2n－1C．2n D．2n－1解析：选C当n＝1时，a1＝S1＝2(a1－1)，可得a1＝2，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2a n－2a n－1，∴a n＝2a n－1，∴数列{a n}为首项为2，公比为2的等比数列，∴a n＝2n.2.设数列{a n}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)a n＝2n，则a n＝____________. 解析：因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)a n＝2n，故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)a n－1＝2(n－1)．两式相减得(2n－1)a n＝2，所以a n＝22n－1(n≥2)．又由题设可得a1＝2，满足上式，从而{a n}的通项公式为a n＝22n－1.答案：2 2n－1考点二由递推关系式求数列的通项公式[典例](1)设数列{a n}满足a1＝1，且a n＋1＝a n＋n＋1(n∈N*)，则数列{a n}的通项公式为________________．(2)在数列{a n}中，a1＝1，a n＝n－1n a n－1(n≥2)，则数列{a n}的通项公式为________________．(3)已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝3a n＋2，则数列{a n}的通项公式为________________．[解析](1)累加法由题意得a2＝a1＋2，a3＝a2＋3，…，a n＝a n－1＋n(n≥2)，以上各式相加，得a n ＝a 1＋2＋3＋…＋n .又∵a 1＝1，∴a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n 2＋n2(n ≥2)．∵当n ＝1时也满足上式，∴a n ＝n 2＋n2(n ∈N *)．(2)累乘法∵a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，∴a n －1＝n －2n －1a n －2，a n －2＝n －3n －2a n －3，…，a 2＝12a 1.以上(n －1)个式子相乘得 a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n .当n ＝1时，a 1＝1，上式也成立． ∴a n ＝1n (n ∈N *)．(3)构造法∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， ∴a n ＋1＋1a n ＋1＝3， ∴数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3，又a 1＋1＝2， ∴a n ＋1＝2·3n －1， ∴a n ＝2·3n －1－1(n ∈N *)．[答案] (1)a n ＝n 2＋n 2(n ∈N *) (2)a n ＝1n (n ∈N *) (3)a n ＝2·3n －1－1(n ∈N *)[解题技法]1．正确选用方法求数列的通项公式(1)对于递推关系式可转化为a n ＋1＝a n ＋f (n )的数列，通常采用累加法(逐差相加法)求其通项公式．(2)对于递推关系式可转化为a n ＋1a n＝f (n )的数列，并且容易求数列{f (n )}前n 项的积时，采用累乘法求数列{a n }的通项公式．(3)对于递推关系式形如a n ＋1＝pa n ＋q (p ≠0,1，q ≠0)的数列，采用构造法求数列的通项． 2．避免2种失误(1)利用累乘法，易出现两个方面的问题：一是在连乘的式子中只写到a 2a 1，漏掉a 1而导致错误；二是根据连乘求出a n 之后，不注意检验a 1是否成立．(2)利用构造法求解时应注意数列的首项的正确求解以及准确确定最后一个式子的形式．[题组训练]1.(累加法)设数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)，则通项公式a n ＝________.解析：原递推公式可化为a n ＋1＝a n ＋1n －1n ＋1，则a 2＝a 1＋11－12，a 3＝a 2＋12－13，a 4＝a 3＋13－14，…，a n －1＝a n －2＋1n －2－1n －1，a n ＝an－1＋1n －1－1n ，以上(n －1)个式子的等号两端分别相加得，a n ＝a 1＋1－1n ，故a n ＝4－1n .答案：4－1n2.(累乘法)设数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2n a n ，则通项公式a n ＝________. 解析：由a n ＋1＝2n a n ，得a n a n －1＝2n －1(n ≥2)，所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝2n －1·2n －2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n －1)＝2n (n －1)2.又a 1＝1适合上式，故a n ＝2n (n －1)2.答案：2n (n －1)23.(构造法)在数列{a n }中，a 1＝3，且点P n (a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在直线4x －y ＋1＝0上，则数列{a n }的通项公式为________．解析：因为点P n (a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在直线4x －y ＋1＝0上，所以4a n －a n ＋1＋1＝0，即a n ＋1＝4a n ＋1，得a n ＋1＋13＝4⎝⎛⎭⎫a n ＋13，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋13是首项为a 1＋13＝103，公比为4的等比数列，所以a n ＋13＝103·4n －1，故a n ＝103·4n －1－13.答案：a n ＝103·4n －1－13考点三 数列的性质及应用考法(一) 数列的周期性[典例] 数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ，0≤a n ≤12，2a n－1，12<a n<1，a 1＝35，则数列的第 2 019项为________．[解析] 因为a 1＝35，故a 2＝2a 1－1＝15，a 3＝2a 2＝25，a 4＝2a 3＝45，a 5＝2a 4－1＝35，a 6＝2a 5－1＝15，a 7＝2a 6＝25，…，故数列{a n }是周期数列且周期为4，故a 2 019＝a 504×4＋3＝a 3＝25.[答案] 25考法(二) 数列的单调性(最值)[典例] (1)(2018·百校联盟联考)已知数列{a n }满足2S n ＝4a n －1，当n ∈N *时，{(log 2a n )2＋λlog 2a n }是递增数列，则实数λ的取值范围是________．(2)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ＋2)·⎝⎛⎭⎫78n ，则当a n 取得最大值时，n ＝________. [解析] (1)∵2S n ＝4a n －1,2S n －1＝4a n －1－1(n ≥2)， 两式相减可得2a n ＝4a n －4a n －1(n ≥2)， ∴a n ＝2a n －1(n ≥2)． 又2a 1＝4a 1－1，∴a 1＝12，∴数列{a n }是公比为2的等比数列，∴a n ＝2n －2， 设b n ＝(log 2a n )2＋λlog 2a n ＝(n －2)2＋λ(n －2)， ∵{(log 2a n )2＋λlog 2a n }是递增数列，∴b n ＋1－b n ＝2n －3＋λ>0恒成立，∴λ>3－2n 恒成立， ∵(3－2n )max ＝1，∴λ>1， 故实数λ的取值范围是(1，＋∞)．(2)当a n 取得最大值时，有⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1，∴⎩⎨⎧(n ＋2)⎝⎛⎭⎫78n≥(n ＋1)⎝⎛⎭⎫78n －1，(n ＋2)⎝⎛⎭⎫78n≥(n ＋3)⎝⎛⎭⎫78n ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤6，n ≥5，∴当a n 取得最大值时，n ＝5或6. [答案] (1)(1，＋∞) (2)5或6[解题技法]1．解决数列的单调性问题的3种方法2．解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．[题组训练]1．设数列{a n }，a n ＝nanb ＋c，其中a ，b ，c 均为正数，则此数列( ) A ．递增 B ．递减 C ．先增后减D ．先减后增解析：选A 因为a n ＝na bn ＋c＝a b ＋c n ，而函数f (x )＝ab ＋c x(a >0，b >0，c >0)在(0，＋∞)上是增函数，故数列{a n }是递增数列．2．已知数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n，若a 1＝12，则a 2 019＝( )A ．－1 B.12C ．1D ．2解析：选A 由a 1＝12，a n ＋1＝11－a n ，得a 2＝11－a 1＝2，a 3＝11－a 2＝－1，a 4＝11－a 3＝12，a 5＝11－a 4＝2，…，于是可知数列{a n }是以3为周期的周期数列，因此a 2 019＝a 3×673＝a 3＝－1.[课时跟踪检测]A 级1．(2019·郑州模拟)已知数列1，3，5，7，…，2n －1，若35是这个数列的第n 项，则n ＝( )A ．20B ．21C ．22D ．23解析：选D 由2n －1＝35＝45，得2n －1＝45，即2n ＝46，解得n ＝23，故选D. 2．(2019·福建四校联考)若数列的前4项分别是12，－13，14，－15，则此数列的一个通项公式为( )A.(－1)n ＋1n ＋1B.(－1)n n ＋1C.(－1)n nD.(－1)n －1n解析：选A 由于数列的前4项分别是12，－13，14，－15，可得奇数项为正数，偶数项为负数，第n 项的绝对值等于⎪⎪⎪⎪1n ＋1，故此数列的一个通项公式为(－1)n ＋1n ＋1.故选A.3．(2019·莆田诊断)已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，则a 5的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：选A 由题意可得，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 3＝a 2－a 1＝2－1＝1，a 4＝a 3－a 2＝1－2＝－1，a 5＝a 4－a 3＝－1－1＝－2.故选A.4．数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n (n ∈N *)，若p －q ＝5，则a p －a q ＝( ) A ．10 B ．15 C ．－5D ．20解析：选D 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－3n －[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5，当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1，符合上式，所以a n ＝4n －5，所以a p －a q ＝4(p －q )＝20.5．设数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－bn ，若数列{a n }是单调递增数列，则实数b 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]B ．(－∞，2]C ．(－∞，3)D.⎝⎛⎦⎤－∞，92 解析：选C 因为数列{a n }是单调递增数列， 所以a n ＋1－a n ＝2n ＋1－b >0(n ∈N *)， 所以b <2n ＋1(n ∈N *)， 所以b <(2n ＋1)min ＝3，即b <3.6．若数列{a n }满足12≤a n ＋1a n≤2(n ∈N *)，则称{a n }是“紧密数列”．若{a n }(n ＝1,2,3,4)是“紧密数列”，且a 1＝1，a 2＝32，a 3＝x ，a 4＝4，则x 的取值范围为( )A ．[1,3)B ．[1,3]C ．[2,3]D ．[2,3)解析：选C 依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧12≤x32≤2，12≤4x≤2，解得2≤x ≤3，故x 的取值范围为[2,3]．7．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝________. 解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝4≠2×1＋1，因此a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2.答案：⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥28．已知数列32，54，76，9m －n ，m ＋n 10，…，根据前3项给出的规律，实数对(m ，n )为________．解析：由数列的前3项的规律可知⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝8，m ＋n ＝11，解得⎩⎨⎧m ＝192，n ＝32，故实数对(m ，n )为⎝⎛⎭⎫192，32. 答案：⎝⎛⎭⎫192，329．数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＋S n －1＝2n －1(n ≥2，n ∈N *)，且S 2＝3，则a 1＋a 3的值为________．解析：∵S n ＋S n －1＝2n －1(n ≥2)，令n ＝2， 得S 2＋S 1＝3，由S 2＝3得a 1＝S 1＝0， 令n ＝3，得S 3＋S 2＝5，所以S 3＝2， 则a 3＝S 3－S 2＝－1， 所以a 1＋a 3＝0＋(－1)＝－1. 答案：－110．已知数列{a n }满足a n ＝(n －λ)2n (n ∈N *)，若{a n }是递增数列，则实数λ的取值范围为________．解析：因为a n ＝(n －λ)2n (n ∈N *)且数列{a n }是递增数列，所以a n ＋1－a n ＝2n (n ＋2－λ)>0，所以n ＋2－λ>0，则λ<n ＋2.又n ∈N *，所以λ<3，因此实数λ的取值范围为(－∞，3)．答案：(－∞，3)11．(2019·衡阳四校联考)已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝4a n ＋3. (1)写出该数列的前4项，并归纳出数列{a n }的通项公式； (2)证明：a n ＋1＋1a n ＋1＝4.解：(1)a 1＝3，a 2＝15，a 3＝63，a 4＝255.因为a 1＝41－1，a 2＝42－1，a 3＝43－1，a 4＝44－1，…， 所以归纳得a n ＝4n －1.(2)证明：因为a n ＋1＝4a n ＋3，所以a n ＋1＋1a n ＋1＝4a n ＋3＋1a n ＋1＝4(a n ＋1)a n ＋1＝4.12．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋4.(1)若k ＝－5，则数列中有多少项是负数？n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值； (2)对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，求实数k 的取值范围． 解：(1)由n 2－5n ＋4<0，解得1<n <4. 因为n ∈N *，所以n ＝2,3，所以数列中有两项是负数，即为a 2，a 3. 因为a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94， 由二次函数性质，得当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2. (2)由a n ＋1>a n ，知该数列是一个递增数列，又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，可以看作是关于n 的二次函数，考虑到n ∈N *，所以－k 2<32，解得k >－3.所以实数k 的取值范围为(－3，＋∞)．B 级1.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n ·2n ＋1，该数列的项排成一个数阵(如图)，则该数阵中的第10行第3个数为________．a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 ……解析：由题意可得该数阵中的第10行第3个数为数列{a n }的第1＋2＋3＋…＋9＋3＝9×102＋3＝48项，而a 48＝(－1)48×96＋1＝97，故该数阵中的第10行第3个数为97. 答案：972．在一个数列中，如果∀n ∈N *，都有a n a n ＋1a n ＋2＝k (k 为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积．已知数列{a n }是等积数列，且a 1＝1，a 2＝2，公积为8，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝________.解析：依题意得数列{a n }是周期为3的数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，因此a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝4(a 1＋a 2＋a 3)＝4×(1＋2＋4)＝28.答案：283．在数列{a n }中，a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n(n ∈N *)． (1)讨论数列{a n }的增减性； (2)求数列{a n }的最大项．解：(1)由题意，知a n >0，令a na n －1>1(n ≥2)，即(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011nn ⎝⎛⎭⎫1011n －1>1(n ≥2)，解得2≤n <10，即a 9>a 8>…>a 1. 令a na n ＋1>1，即(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n(n ＋2)⎝⎛⎭⎫1011n ＋1>1，整理得n ＋1n ＋2>1011，解得n >9，即a 10>a 11>….又a 9a 10＝1，所以数列{a n }从第1项到第9项单调递增，从第10项起单调递减． (2)由(1)知a 9＝a 10＝1010119为数列{}a n 的最大项．第二节 等差数列及其前n 项和一、基础知识1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．在一个等差数列中，从第2项起，每一项有穷等差数列的末项除外都是它的前一项与后一项的等差中项.2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (a 1＋a n )2. 3．等差数列的通项公式及前n 项和公式与函数的关系(1)a n ＝a 1＋(n －1)d 可化为a n ＝dn ＋a 1－d 的形式．当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数；当d >0时，数列为递增数列；当d <0时，数列为递减数列．(2)数列{a n }是等差数列，且公差不为0⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．二、常用结论已知{a n }为等差数列，d 为公差，S n 为该数列的前n 项和． (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)在等差数列{a n }中，当m ＋n ＝p ＋q 时，a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．特别地，若m ＋n ＝2p ，则2a p ＝a m ＋a n (m ，n ，p ∈N *)．(3)a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等差数列，公差为md (k ，m ∈N *)． (4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…也成等差数列，公差为n 2d . (5)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(6)若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }公差的12. (7)若项数为偶数2n ，则S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)；S 偶－S 奇＝nd ；S 奇S 偶＝a na n ＋1.(8)若项数为奇数2n －1，则S 2n －1＝(2n －1)a n ；S 奇－S 偶＝a n ；S 奇S 偶＝nn －1.(9)在等差数列{a n }中，若a 1>0，d <0，则满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值S m ；若a 1<0，d >0，则满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值S m .考点一 等差数列的基本运算[典例] (1)(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )A ．－12B ．－10C ．10D ．12(2)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝4，S 4＝22，a n ＝28，则n ＝( ) A ．3 B ．7 C ．9D ．10[解析] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由3S 3＝S 2＋S 4，得3(3a 1＋3d )＝2a 1＋d ＋4a 1＋6d ，即3a 1＋2d ＝0.将a 1＝2代入上式，解得d ＝－3，故a 5＝a 1＋(5－1)d ＝2＋4×(－3)＝ －10.(2)因为S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝4a 2＋2d ＝22，d ＝(22－4a 2)2＝3，a 1＝a 2－d ＝4－3＝1，a n＝a 1＋(n －1)d ＝1＋3(n －1)＝3n －2，由3n －2＝28，解得n ＝10.[答案] (1)B (2)D[解题技法] 等差数列的基本运算的解题策略(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．[提醒] 在求解数列基本量运算中，要注意公式使用时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意整体代换思想的运用，使运算更加便捷．[题组训练]1．(2019·开封高三定位考试)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 5＝10，S 4＝16，则数列{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，则由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1＋4d ＝10，4a 1＋4×32×d ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，故选B. 2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3·a 5＝12，a 2＝0.若a 1>0，则S 20＝( ) A ．420 B ．340 C ．－420D ．－340解析：选D 设数列{a n }的公差为d ，则a 3＝a 2＋d ＝d ，a 5＝a 2＋3d ＝3d ，由a 3·a 5＝12得d ＝±2，由a 1>0，a 2＝0，可知d <0，所以d ＝－2，所以a 1＝2，故S 20＝20×2＋20×192×(－2)＝－340，选D.3．在等差数列{a n }中，已知a 5＋a 10＝12，则3a 7＋a 9＝( ) A ．12 B ．18 C ．24D ．30解析：选C 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 因为a 5＋a 10＝12， 所以2a 1＋13d ＝12，所以3a 7＋a 9＝3(a 1＋6d )＋a 1＋8d ＝4a 1＋26d ＝2(2a 1＋13d )＝2×12＝24. 考点二 等差数列的判定与证明[典例] 已知数列{a n }的前n 项和为S n 且满足a n ＋2S n ·S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列．(2)求a n 的表达式．[解] (1)证明：因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，又a n ＝－2S n ·S n －1，所以S n －1－S n ＝2S n ·S n －1，S n ≠0. 因此1S n －1S n －1＝2(n ≥2)．故由等差数列的定义知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1＝1a 1＝2为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知1S n ＝1S 1＋(n －1)d ＝2＋(n －1)×2＝2n ，即S n ＝12n.由于当n ≥2时，有a n ＝－2S n ·S n －1＝－12n (n －1)，又因为a 1＝12，不适合上式．所以a n＝⎩⎨⎧12，n ＝1，－12n (n －1)，n ≥2.[题组训练]1．(2019·陕西质检)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R )且a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( )A ．13B ．49C ．35D ．63解析：选B 由S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R )可知数列{a n }是等差数列，所以S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7(a 2＋a 6)2＝49. 2．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，设b n ＝1a n －1(n ∈N *)．求证：数列{b n }是等差数列．证明：∵a n ＝2－1a n －1(n ≥2)，∴a n ＋1＝2－1a n .∴b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝12－1a n－1－1a n －1＝a n －1a n －1＝1， ∴{b n }是首项为b 1＝12－1＝1，公差为1的等差数列．考点三 等差数列的性质及应用考法(一) 等差数列项的性质[典例] (1)已知在等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝( )A ．10B ．20C ．40D ．2＋log 25(2)(2019·福建模拟)设S n ，T n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，若a 5＝2b 5，则S 9T 9＝( )A ．2B ．3C ．4D ．6[解析] (1)因为2a 1·2a 2·…·2a 10＝2a 1＋a 2＋…＋a 10＝25(a 5＋a 6)＝25×4， 所以log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝log 225×4＝20.选B.(2)由a 5＝2b 5，得a 5b 5＝2，所以S 9T 9＝9(a 1＋a 9)29(b 1＋b 9)2＝a 5b 5＝2，故选A.[答案] (1)B (2)A考法(二) 等差数列前n 项和的性质[典例] 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36D ．27[解析] 由{a n }是等差数列， 得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列， 即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)， 得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45，故选B. [答案] B考法(三) 等差数列前n 项和的最值[典例] 在等差数列{a n }中，a 1＝29，S 10＝S 20，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为( ) A ．S 15 B ．S 16 C ．S 15或S 16D ．S 17 [解析] ∵a 1＝29，S 10＝S 20，∴10a 1＋10×92d ＝20a 1＋20×192d ，解得d ＝－2，∴S n ＝29n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋30n ＝－(n －15)2＋225.∴当n ＝15时，S n 取得最大值． [答案] A[解题技法]1．应用等差数列的性质解题的2个注意点(1)如果{a n }为等差数列，m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．因此，若出现a m －n ，a m ，a m ＋n 等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与a m (或其他项)有关的条件；若求a m 项，可由a m ＝12(a m －n ＋a m ＋n )转化为求a m －n ，a m ＋n 或a m ＋n ＋a m －n 的值．(2)要注意等差数列通项公式及前n 项和公式的灵活应用，如a n ＝a m ＋(n －m )d ，d ＝a n －a m n －m，S 2n －1＝(2n －1)a n ，S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (a 2＋a n －1)2(n ，m ∈N *)等．2．求等差数列前n 项和S n 最值的2种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法：①当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .[题组训练]1．在等差数列{a n }中，若a 3＝－5，a 5＝－9，则a 7＝( ) A ．－12 B ．－13 C ．12D ．13解析：选B 法一：设公差为d ，则2d ＝a 5－a 3＝－9＋5＝－4，则d ＝－2，故a 7＝a 3＋4d ＝－5＋4×(－2)＝－13，选B.法二：由等差数列的性质得a 7＝2a 5－a 3＝2×(－9)－(－5)＝－13，选B.2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1>0，a 3＋a 10>0，a 6a 7<0，则满足S n >0的最大自然数n 的值为( )A ．6B ．7C ．12D ．13解析：选C 因为a 1>0，a 6a 7<0，所以a 6>0，a 7<0，等差数列的公差小于零，又a 3＋a 10＝a 1＋a 12>0，a 1＋a 13＝2a 7<0，所以S 12>0，S 13<0，所以满足S n >0的最大自然数n 的值为12.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，最后6项的和为180，S n ＝324(n ＞6)，则数列{a n }的项数为________．解析：由题意知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36，①a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180，②①＋②得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝6(a 1＋a n )＝216， ∴a 1＋a n ＝36，又S n ＝n (a 1＋a n )2＝324，∴18n ＝324，∴n ＝18. 答案：18[课时跟踪检测]A 级1．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2，S n 为{a n }的前n 项和，则S 10等于( ) A ．90 B ．100 C ．110D ．130解析：选C 由递推公式可知该数列是公差为2的等差数列，S 10＝10×2＋10×92×2＝110.故选C.2．(2018·北京东城区二模)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，a 5＝5，则S 7的值是( )A ．30B ．29C ．28D ．27解析：选C 由题意，设等差数列的公差为d ，则d ＝a 5－a 35－3＝1，故a 4＝a 3＋d ＝4，所以S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7×2a 42＝7×4＝28.故选C.3．(2019·山西五校联考)在数列{a n }中，a n ＝28－5n ，S n 为数列{a n }的前n 项和，当S n最大时，n ＝( )A ．2B ．3C ．5D ．6解析：选C ∵a n ＝28－5n ，∴数列{a n }为递减数列． 令a n ＝28－5n ≥0，则n ≤285，又n ∈N *，∴n ≤5.∵S n 为数列{a n }的前n 项和，∴当n ＝5时，S n 最大．故选C.4．(2019·广东中山一中统测)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝－2n ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前11项和为( )A ．－45B ．－50C ．－55D ．－66解析：选D ∵a n ＝－2n ＋1，∴数列{a n }是以－1为首项，－2为公差的等差数列， ∴S n ＝n [－1＋(－2n ＋1)]2＝－n 2，∴S n n ＝－n 2n ＝－n ，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以－1为首项，－1为公差的等差数列，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前11项和为11×(－1)＋11×102×(－1)＝－66，故选D.5．(2018·南昌模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 5＝50，S 10＝200，则a 10＋a 11的值为( )A ．20B ．40C ．60D ．80解析：选D 设等差数列{a n }的公差为d ， 由已知得⎩⎨⎧S 5＝5a 1＋5×42d ＝50，S 10＝10a 1＋10×92d ＝200，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝10，a 1＋92d ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝4. ∴a 10＋a 11＝2a 1＋19d ＝80.故选D.6．(2019·广州高中综合测试)等差数列{a n }的各项均不为零，其前n 项和为S n .若a 2n ＋1＝a n ＋2＋a n ，则S 2n ＋1＝( )A ．4n ＋2B ．4nC ．2n ＋1D ．2n解析：选A 因为{a n }为等差数列，所以a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1，又a 2n ＋1＝a n ＋2＋a n ，所以a 2n ＋1＝2a n ＋1.因为数列{a n }的各项均不为零，所以a n ＋1＝2，所以S 2n ＋1＝(a 1＋a 2n ＋1)(2n ＋1)2＝2×a n ＋1×(2n ＋1)2＝4n ＋2.故选A.7．已知等差数列5,427，347，…，则前n 项和S n ＝________.解析：由题知公差d ＝－57，所以S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝514(15n －n 2)．答案：514(15n －n 2)8．已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝6，a 3＋a 5＝0，则S 6＝________. 解析：∵a 3＋a 5＝2a 4，∴a 4＝0. ∵a 1＝6，a 4＝a 1＋3d ，∴d ＝－2.∴S 6＝6a 1＋6×(6－1)2d ＝6×6－30＝6.答案：69．等差数列{a n }中，已知a 5>0，a 4＋a 7<0，则{a n }的前n 项和S n 的最大值为________．解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝a 5＋a 6<0，a 5>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 5>0，a 6<0，∴S n 的最大值为S 5. 答案：S 510．在等差数列{a n }中，公差d ＝12，前100项的和S 100＝45，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝________.解析：因为S 100＝1002(a 1＋a 100)＝45，所以a 1＋a 100＝910，a 1＋a 99＝a 1＋a 100－d ＝25，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝502(a 1＋a 99)＝502×25＝10.答案：1011．(2018·全国卷Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15. (1)求{a n }的通项公式； (2)求S n ，并求S n 的最小值． 解：(1)设{a n }的公差为d ， 由题意得3a 1＋3d ＝－15. 又a 1＝－7，所以d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －9.(2)由(1)得S n ＝n (a 1＋a n )2＝n 2－8n ＝(n －4)2－16，所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16.12．(2019·山东五校联考)已知等差数列{a n }为递增数列，其前3项的和为－3，前3项的积为8.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，d >0，∵等差数列{a n }的前3项的和为－3，前3项的积为8，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝－3，a 1(a 1＋d )(a 1＋2d )＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，d ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3.∵d >0，∴a 1＝－4，d ＝3，∴a n ＝3n －7. (2)∵a n ＝3n －7，∴a 1＝3－7＝－4， ∴S n ＝n (－4＋3n －7)2＝n (3n －11)2.B 级1．设a n ＝(n ＋1)2，b n ＝n 2－n (n ∈N *)，则下列命题中不正确的是( ) A ．{a n ＋1－a n }是等差数列 B ．{b n ＋1－b n }是等差数列 C ．{a n －b n }是等差数列D ．{a n ＋b n }是等差数列解析：选D 对于A ，因为a n ＝(n ＋1)2， 所以a n ＋1－a n ＝(n ＋2)2－(n ＋1)2＝2n ＋3， 设c n ＝2n ＋3， 所以c n ＋1－c n ＝2.所以{a n ＋1－a n }是等差数列，故A 正确；对于B ，因为b n ＝n 2－n (n ∈N *)，所以b n ＋1－b n ＝2n ， 设c n ＝2n ，所以c n ＋1－c n ＝2，所以{b n ＋1－b n }是等差数列，故B 正确； 对于C ，因为a n ＝(n ＋1)2，b n ＝n 2－n (n ∈N *)， 所以a n －b n ＝(n ＋1)2－(n 2－n )＝3n ＋1， 设c n ＝3n ＋1，所以c n ＋1－c n ＝3， 所以{a n －b n }是等差数列，故C 正确；对于D ，a n ＋b n ＝2n 2＋n ＋1，设c n ＝a n ＋b n ，c n ＋1－c n 不是常数，故D 错误． 2．(2019·武汉调研)设等差数列{a n }满足a 3＋a 7＝36，a 4a 6＝275，且a n a n ＋1有最小值，则这个最小值为________．解析：设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3＋a 7＝36， ∴a 4＋a 6＝36，又a 4a 6＝275，联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝11，a 6＝25或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝25，a 6＝11，当⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝11，a 6＝25时，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－10，d ＝7，此时a n ＝7n －17，a 2＝－3，a 3＝4，易知当n ≤2时，a n <0，当n ≥3时，a n >0，∴a 2a 3＝－12为a n a n ＋1的最小值；当⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝25，a 6＝11时，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝46，d ＝－7，此时a n ＝－7n ＋53，a 7＝4，a 8＝－3，易知当n ≤7时，a n >0，当n ≥8时，a n <0，∴a 7a 8＝－12为a n a n ＋1的最小值． 综上，a n a n ＋1的最小值为－12. 答案：－123．(2018·辽宁五校协作体模考)已知数列{a n }是等差数列，且a 1，a 2(a 1<a 2)分别为方程x 2－6x ＋5＝0的两个实根．(1)求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)在(1)中，设b n ＝S n n ＋c ，求证：当c ＝－12时，数列{b n }是等差数列．解：(1)∵a 1，a 2(a 1<a 2)分别为方程x 2－6x ＋5＝0的两个实根， ∴a 1＝1，a 2＝5，∴等差数列{a n }的公差为4， ∴S n ＝n ×1＋n (n －1)2×4＝2n 2－n .(2)证明：当c ＝－12时，b n ＝S nn ＋c＝2n 2－n n －12＝2n ，∴b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)－2n ＝2，b 1＝2.∴数列{b n }是以2为首项，2为公差的等差数列．第三节 等比数列及其前n 项和一、基础知识1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q .(2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .只有当两个数同号且不为0时，才有等比中项，且等比中项有两个.2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.3．等比数列与指数型函数的关系当q >0且q ≠1时，a n ＝a 1q ·q n可以看成函数y ＝cq x ，其是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此数列{a n }各项所对应的点都在函数y ＝cq x 的图象上；对于非常数列的等比数列{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝－a 11－q q n ＋a 11－q ，若设a ＝a 11－q，则S n ＝－aq n ＋a (a ≠0，q ≠0，q ≠1)．由此可知，数列{S n }的图象是函数y ＝－aq x ＋a 图象上一系列孤立的点．对于常数列的等比数列，即q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1.由此可知，数列{S n }的图象是函数y ＝a 1x 图象上一系列孤立的点．二、常用结论汇总——规律多一点设数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和． (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n－m(n ，m ∈N *)．(2)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ；若2s ＝p ＋r ，则a p a r ＝a 2s ，其中m ，n ，p ，q ，s ，r ∈N *.(3)a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m (k ，m ∈N *)．(4)若数列{a n }，{b n }是两个项数相同的等比数列，则数列{ba n }，{pa n ·qb n }和⎩⎨⎧⎭⎬⎫pa n qb n 也是等比数列．(5)若数列{a n }的项数为2n ，则S 偶S 奇＝q ；若项数为2n ＋1，则S 奇－a 1S 偶＝q .考点一 等比数列的基本运算[典例] (2018·全国卷Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和．若S m ＝63，求m . [解] (1)设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝q n －1. 由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)或q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n－1或a n ＝2n －1.(2)若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－(－2)n3.由S m ＝63，得(－2)m ＝－188，此方程没有正整数解． 若a n ＝2n －1，则S n ＝1－2n 1－2＝2n－1.由S m ＝63，得2m ＝64，解得m ＝6. 综上，m ＝6. [题组训练]1．已知等比数列{a n }单调递减，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1＝( )A ．2B ．4 C. 2D ．2 2解析：选B 由题意，设等比数列{a n }的公比为q ，q >0，则a 23＝a 2a 4＝1，又a 2＋a 4＝52，且{a n }单调递减，所以a 2＝2，a 4＝12，则q 2＝14，q ＝12，所以a 1＝a 2q＝4.2．(2019·长春质检)已知等比数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，若a 2＝2，S 6－S 4＝6a 4，则a 5＝( )A ．4B ．10C ．16D ．32解析：选C 设公比为q (q >0)，S 6－S 4＝a 5＋a 6＝6a 4，因为a 2＝2，所以2q 3＋2q 4＝12q 2，即q 2＋q －6＝0，所以q ＝2，则a 5＝2×23＝16.3．(2017·江苏高考)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________.解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则由S 6≠2S 3，得q ≠1，则⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 1(1－q 3)1－q＝74，S 6＝a 1(1－q 6)1－q＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝14， 则a 8＝a 1q 7＝14×27＝32.答案：32考点二 等比数列的判定与证明[典例] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2(n ∈N *)，若b n ＝a n ＋1－2a n ，求证：{b n }是等比数列．[证明] 因为a n ＋2＝S n ＋2－S n ＋1＝4a n ＋1＋2－4a n －2＝4a n ＋1－4a n ， 所以b n ＋1b n ＝a n ＋2－2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝4a n ＋1－4a n －2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝2a n ＋1－4a n a n ＋1－2a n ＝2.因为S 2＝a 1＋a 2＝4a 1＋2，所以a 2＝5. 所以b 1＝a 2－2a 1＝3.所以数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列．[解题技法]1．掌握等比数列的4种常用判定方法 定义法 中项公式法 通项公式法 前n 项和公式法2．等比数列判定与证明的2点注意(1)等比数列的证明经常利用定义法和等比中项法，通项公式法、前n 项和公式法经常在选择题、填空题中用来判断数列是否为等比数列．(2)证明一个数列{a n }不是等比数列，只需要说明前三项满足a 22≠a 1·a 3，或者是存在一个正整数m ，使得a 2m ＋1≠a m ·a m ＋2即可．[题组训练]1．数列{a n }的前n 项和为S n ＝2a n －2n ，证明：{a n ＋1－2a n }是等比数列． 证明：因为a 1＝S 1,2a 1＝S 1＋2， 所以a 1＝2，由a 1＋a 2＝2a 2－4得a 2＝6.由于S n ＝2a n －2n ，故S n ＋1＝2a n ＋1－2n ＋1，后式减去前式得a n ＋1＝2a n ＋1－2a n －2n ，即a n＋1＝2a n ＋2n ，所以a n ＋2－2a n ＋1＝2a n ＋1＋2n ＋1－2(2a n ＋2n )＝2(a n ＋1－2a n )， 又a 2－2a 1＝6－2×2＝2，所以数列{a n ＋1－2a n }是首项为2、公比为2的等比数列．2．(2019·西宁月考)已知在正项数列{a n }中，a 1＝2，点A n (a n ，a n ＋1)在双曲线y 2－x 2＝1上．在数列{b n }中，点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，其中T n 是数列{b n }的前n 项和．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：数列{b n }是等比数列．解：(1)由已知点A n 在y 2－x 2＝1上知，a n ＋1－a n ＝1. ∴数列{a n }是一个以2为首项，1为公差的等差数列． ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋n －1＝n ＋1.(2)证明：∵点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，∴T n ＝－12b n ＋1.①∴T n －1＝－12b n －1＋1(n ≥2)．②①②两式相减，得 b n ＝－12b n ＋12b n －1(n ≥2)．∴32b n ＝12b n －1，∴b n ＝13b n －1. 由①，令n ＝1，得b 1＝－12b 1＋1，∴b 1＝23.∴数列{b n }是以23为首项，13为公比的等比数列．考点三 等比数列的性质考法(一) 等比数列项的性质[典例] (1)(2019·洛阳联考)在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，则a 2a 16a 9的值为( )A ．－2＋22B ．－ 2 C. 2D ．－ 2 或 2(2)(2018·河南四校联考)在等比数列{a n }中，a n >0，a 1＋a 2＋…＋a 8＝4，a 1a 2…a 8＝16，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 8的值为( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．16[解析] (1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，所以a 3·a 15＝a 29＝2，a 3＋a 15＝－6，所以a 3<0，a 15<0，则a 9＝－2，所以a 2a 16a 9＝a 29a 9＝a 9＝－2，故选B.(2)由分数的性质得到1a 1＋1a 2＋…＋1a 8＝a 8＋a 1a 8a 1＋a 7＋a 2a 7a 2＋…＋a 4＋a 5a 4a 5.因为a 8a 1＝a 7a 2＝a 3a 6＝a 4a 5，所以原式＝a 1＋a 2＋…＋a 8a 4a 5＝4a 4a 5，又a 1a 2…a 8＝16＝(a 4a 5)4，a n >0，∴a 4a 5＝2，∴1a 1＋1a 2＋…＋1a 8＝2.故选A. [答案] (1)B (2)A考法(二) 等比数列前n 项和的性质[典例] 各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n 等于( )A ．80B ．30C ．26D ．16[解析] 由题意知公比大于0，由等比数列性质知S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…仍为等比数列．设S 2n ＝x ，则2，x －2,14－x 成等比数列． 由(x －2)2＝2×(14－x )， 解得x ＝6或x ＝－4(舍去)．∴S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…是首项为2，公比为2的等比数列． 又∵S 3n ＝14，∴S 4n ＝14＋2×23＝30. [答案] B [解题技法]应用等比数列性质解题时的2个关注点(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．[题组训练]1．(2019·郑州第二次质量预测)已知等比数列{a n }中，a 2a 5a 8＝－8，S 3＝a 2＋3a 1，则a 1＝( )A.12 B ．－12C ．－29D ．－19解析：选B 设等比数列{a n }的公比为q (q ≠1)，因为S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋3a 1，所以a 3a 1＝q 2＝2.因为a 2a 5a 8＝a 35＝－8，所以a 5＝－2，即a 1q 4＝－2，所以4a 1＝－2，所以a 1＝－12，故选B.2．已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160，所以q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2.答案：2[课时跟踪检测]A 级1．(2019·合肥模拟)已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 1a 5＝16，a 2＝2，则公比q ＝( )A ．4 B.52C ．2D.12解析：选C 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1·a 1q 4＝16，a 1q ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，q ＝－2(舍去)，故选C. 2．(2019·辽宁五校协作体联考)已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为22，则log 2a 7＋log 2a 11的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 由题意得a 4a 14＝(22)2＝8，由等比数列的性质，得a 4a 14＝a 7a 11＝8，∴log 2a 7＋log 2a 11＝log 2(a 7a 11)＝log 28＝3，故选C.3．在等比数列{a n }中，a 2a 3a 4＝8，a 7＝8，则a 1＝( ) A ．1 B ．±1 C ．2D ．±2解析：选A 因为数列{a n }是等比数列，所以a 2a 3a 4＝a 33＝8，所以a 3＝2，所以a 7＝a 3q 4＝2q 4＝8，所以q 2＝2，则a 1＝a 3q2＝1，故选A.4．(2018·贵阳适应性考试)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝12，a 2a 6＝8(a 4－2)，则S 2 019＝( )A ．22 018－12B ．1－⎝⎛⎭⎫12 2 018C ．22 019－12D ．1－⎝⎛⎭⎫12 2 019解析：选A 由等比数列的性质及a 2a 6＝8(a 4－2)，得a 24＝8a 4－16，解得a 4＝4.又a 4＝12q 3，故q ＝2，所以S 2 019＝12(1－22 019)1－2＝22 018－12，故选A.5．在等比数列{a n }中，a 1＋a 3＋a 5＝21，a 2＋a 4＋a 6＝42，则S 9＝( ) A ．255 B ．256 C ．511D ．512解析：选C 设等比数列的公比为q ，由等比数列的定义可得a 2＋a 4＋a 6＝a 1q ＋a 3q ＋a 5q ＝q (a 1＋a 3＋a 5)＝q ×21＝42，解得q ＝2.又a 1＋a 3＋a 5＝a 1(1＋q 2＋q 4)＝a 1×21＝21，解得a 1＝1.所以S 9＝a 1(1－q 9)1－q ＝1×(1－29)1－2＝511.故选C.6．已知递增的等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项和S n <0，则( ) A ．a 1<0,0<q <1 B ．a 1<0，q >1 C ．a 1>0,0<q <1D ．a 1>0，q >1解析：选A ∵S n <0，∴a 1<0，又数列{a n }为递增等比数列，∴a n ＋1>a n ，且|a n |>|a n ＋1|， 则－a n >－a n ＋1>0，则q ＝－a n ＋1－a n ∈(0,1)，∴a 1<0,0<q <1.故选A.7．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }的前7项和为________．解析：设等比数列{a n }的公比为q (q >0)， 由a 5＝a 1q 4＝16，a 1＝1，得16＝q 4，解得q ＝2， 所以S 7＝a 1(1－q 7)1－q ＝1×(1－27)1－2＝127.答案：1278．在3与192中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________． 解析：设该数列的公比为q ，由题意知， 192＝3×q 3，q 3＝64，所以q ＝4.所以插入的两个数分别为3×4＝12,12×4＝48. 答案：12,489．(2018·江西师范大学附属中学期中)若等比数列{a n }满足a 2a 4＝a 5，a 4＝8，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.解析：设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 2a 4＝a 5，a 4＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q ·a 1q 3＝a 1q 4，a 1q 3＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，∴S n ＝1×(1－2n )1－2＝2n －1.。
【名师伴你行】(新课标)高考数学大一轮复习 第6章 第4节 基本不等式课时作业 理
课时作业(三十八) 基本不等式一、选择题1．已知正数x ，y 满足x ＋2y －xy ＝0，则x ＋2y 的最小值为( ) A ．8 B ．4 C ．2 D ．0答案：A解析：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22≥2xy ，x ＋2y ＝xy ≤x ＋2y28，又x ，y 都是正数，解得x ＋2y ≥8.2．(2015·杭州七校模拟)已知实数x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y＝lg 2，则1x ＋1y的最小值是( )A ．2 3B ．4 3C ．2＋ 3D ．4＋2 3答案：D解析：由已知，得lg 2x ·8y＝lg 2， 所以2x·8y＝2，即2x·23y＝2， 即x ＋3y ＝1，所以1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y (x ＋3y )＝4＋3y x＋xy≥4＋23， 故应选D.3．已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是函数y ＝2x图象上两个不同的点，若x 1＋2x 2＝4，则y 1＋y 22的最小值为( )A ．2B ．4C ．2 2D ．8答案：D解析：y 1＋y 22＝2x 1＋22x 2≥22x 1·22x 2＝22x 1＋2x 2＝8(当且仅当x 1＝2x 2＝2时等号成立)．故应选D.4．若x ，y 是正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2的最小值是( ) A ．3B ．72C ．4D ．92答案：C解析：由题意，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x ＝2⎝⎛⎭⎪⎫xy ＋14xy ＋1≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫2xy ·14xy ＋1＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12y ＝y ＋12x ，xy ＝12，即x ＝y＝22时，“＝”成立．故应选C. 5．(2014·山东)已知x ，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a＞0，b ＞0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( )A ．5B ．4C ． 5D ．2答案：B解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点A (2,1)处取得最小值，故2a ＋b ＝2 5. 解法一：将2a ＋b ＝25，两端平方，得4a 2＋b 2＋4ab ＝20，又4ab ＝2×a ×2b ≤a 2＋4b 2，当且仅当a ＝2b ，即b ＝25，a ＝45时等号成立．所以20≤4a 2＋b 2＋a 2＋4b 2＝5(a 2＋b 2)，所以a 2＋b 2≥4，即a 2＋b 2的最小值为4.解法二：把2a ＋b ＝25，看作平面直角坐标系aOb 中的直线，则a 2＋b 2的几何意义是直线上的点与坐标原点距离的平方，显然a 2＋b 2的最小值是坐标原点到直线2a ＋b ＝25距离的平方，即⎝⎛⎭⎪⎫|－25|52＝4.解法三：由2a ＋b ＝25，可得b ＝25－2a ，所以a 2＋b 2＝a 2＋(25－2a )2＝5a 2－85a ＋20＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫a －4552＋4，即当a ＝455，b ＝255时，a 2＋b 2有最小值4. 6．设a ，b ∈R ，定义运算“∧”和“∨”如下：a ∧b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，a ∨b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≤b ，a ，a >b .若正数a ，b ，c ，d 满足ab ≥4，c ＋d ≤4，则( ) A ．a ∧b ≥2，c ∧d ≤2 B ．a ∧b ≥2，c ∨d ≥2 C ．a ∨b ≥2，c ∧d ≤2 D ．a ∨b ≥2，c ∨d ≥2 答案：C解析：根据题意知：a ∧b 表示a ，b 中较小的，a ∨b 表示a ，b 中较大的． 因为⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥ab ≥4，所以a ＋b ≥4.又因为a ，b 为正数，所以a ，b 中至少有一个大于或等于2，所以a ∨b ≥2. 因为c ＋d ≤4，c ，d 为正数，所以c ，d 中至少有一个小于或等于2，所以c ∧d ≤2. 故选C. 二、填空题7．(2014·福建)要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元．答案：160解析：设该容器的总造价为y 元，长方体的底面矩形的长为x m ，因为无盖长方体的容积为4 m 3，高为1 m ，所以长方体的底面矩形的宽为4xm ，依题意，得y ＝20×4＋10⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2×4x ＝80＋20⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4x≥80＋20×2x ×4x＝160，当且仅当x ＝4x，即x ＝2时取等号， 所以该容器的最低总造价为160元．8．规定记号“⊗”表示一种运算，即a ⊗b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)．若1⊗k ＝3，则k 的值为________，此时函数f (x )＝k ⊗xx的最小值为________．答案：1 3解析：1⊗k ＝k ＋1＋k ＝3，即k ＋k －2＝0， ∴k ＝1或k ＝－2(舍去)， ∴k ＝1.f (x )＝1⊗x x ＝x ＋x ＋1x＝1＋x ＋1x≥1＋2＝3， 当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号．9．设0＜x ＜1，a ，b 为正常数，则a 2x ＋b 21－x的最小值为________．答案：(a ＋b )2解析：a 2x ＋b 21－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2x ＋b 21－x [x ＋(1－x )]＝a 2＋b 2＋－x a2x＋xb 21－x≥a 2＋b 2＋2a 2b 2＝(a ＋b )2， 当且仅当－x a2x＝xb 21－x ，即x ＝a a ＋b时取等号． 10．已知函数y ＝a2x －4＋1(a >0且a ≠1)的图象过定点A ，且点A 在直线x m ＋yn＝1(m ，n >0)上，则m ＋n 的最小值为________．答案：8解析：由已知，函数y ＝a 2x －4＋1的图象过定点A (2,2)，且点A 在直线x m ＋y n＝1上，所以2m ＋2n＝1，所以m ＋n ＝(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋2n＝4＋2n m ＋2mn≥4＋24＝8，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2n m ＝2m n ，2m ＋2n ＝1，即m ＝n ＝4时取等号，所以m ＋n 的最小值为8. 三、解答题11．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0，求： (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．解：已知x ＞0，y ＞0,2x ＋8y －xy ＝0， (1)xy ＝2x ＋8y ≥216xy ， ∴xy ≥8，∴xy ≥64，当且仅当2x ＝8y 且2x ＋8y －xy ＝0，即y ＝4，x ＝16时等号成立． 故xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y ＝xy ，得2y ＋8x＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2y ＋8x＝10＋2x y ＋8yx≥10＋8＝18，当且仅当2x y ＝8yx且2x ＋8y －xy ＝0，即y ＝6，x ＝12时等号成立．故x ＋y 的最小值为18.12．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求证： (1)1a ＋1b ＋1ab≥8；(2)⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9. 证明：(1)1a ＋1b ＋1ab＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ，∵a ＋b ＝1，a ＞0，b ＞0， ∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b＝2＋a b ＋b a≥2＋2＝4，∴1a ＋1b ＋1ab ≥8，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．(2)证法一：∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1， ∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a，同理1＋1b ＝2＋a b，∴⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎪⎫2＋b a ⎝⎛⎭⎪⎫2＋a b ＝5＋2⎝⎛⎭⎪⎫b a ＋ab≥5＋4＝9.∴⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9， 当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．证法二：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab，由(1)，知1a ＋1b ＋1ab≥8，故⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab≥9.13．某商店预备在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36张，每批都购入x 张(x 是正整数)，且每批均需付运费4元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比，若每批购入4张，则该月需用去运费和保管费共52元，现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费．(1)求该月需用去的运费和保管费的总费用f (x )；(2)能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由． 解：(1)设题中比例系数为k ，若每批购入x 张，则共需分36x批，每批价值为20x 元．由题意，知f (x )＝36x·4＋k ·20x .当x ＝4时，f (4)＝52，得k ＝1680＝15.∴ f (x )＝144x＋4x (0＜x ≤36，x ∈N *)．(2)由(1)，知f (x )＝144x＋4x (0＜x ≤36，x ∈N *)，∴ f (x )≥2144x×4x ＝48(元)，当且仅当144x＝4x ，即x ＝6时，上式等号成立．故只需每批购入6张书桌，可以使资金够用．。
名师推荐数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第六章
第六章 微分中值定理及其应用一、填空题,,1 acosx - bsinx 若 lim ------------ X f 0 X3 .曲线y = e x在x = 0点处的曲率半径 R =4x 4 ,，、出 4 .设y =——-2 ,则曲线在拐点处的切线方程为 x (1 x)x -e5 . lim --- --- =。
x —0 x6 .设f(x) =x(x 2-1)(x -4),则f '(x) = 0有 个根，它们分别位于区间；7 .函数f(x) = xlnx 在1,2】上满足拉格朗日定理条件的_ ；8 .函数f(x) =x 3与g(x) =1+x 2在区间0,2】上满足柯西定理条件的 _ =9 .函数y =sinx 在0,2】上满足拉格朗日中值定理条件的_ =；x_ e ......... ，、一 10 .函数f (x) =-2的单调减区间是 ；x311 .函数y=x -3x 的极大值点是 ,极大值是。
12 .设f(x)=xe x,则函数f (n)(x)在x=处取得极小值 。
3213 .已知f(x)=x +ax +bx ,在x = 1处取得极小值 -2,则2 =, b =。
.,22.14 .曲线y=k(x -3)在拐点处的法线通过原点，则 k=。
15 ,设f (x) = n^ (1 — x)n(n =1,2…)，M n 是f (x)在011上的最大值，则lim M n=。
n —二2.1.若a >0,b >0均为常数，则16.设f (x)在x0可导，则f'(x0) =0是f (x)在点x0处取得极值的条件；一一一 .. . .217.函数f(x)=alnx+bx +x 在乂= 1及乂 = 2取得极值，则a =,b =；3 3 ,18.函数f (x) = x--x3的极小值是；2In x ..........19.函数f(x)=——的单倜增区间为 ; x20.函数f(x)=x+2cosx在上的最大值为 ,最小值为 ;321.设点(1,2)是曲线y = (x -a) +b的拐点，则a =, b =;x22.曲线y=e、的下凹区间为，曲线的拐点为 ;23.曲线y =3x2—x3的上凹区间为 ;……... 2 ...........24.曲线y =ln(1 +x )的拐点为 ;25.曲线y =ln x在点处曲率半径最小。
(精选试题附答案)高中数学第六章平面向量及其应用知识点总结归纳
(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第六章平面向量及其应用知识点总结归纳单选题1、△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－14，则bc = A ．6B ．5C ．4D ．3 答案：A分析：利用余弦定理推论得出a ，b ，c 关系，在结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果. 详解：由已知及正弦定理可得a 2−b 2=4c 2，由余弦定理推论可得 −14=cosA =b 2+c 2−a 22bc , ∴c 2−4c 22bc=−14 , ∴3c 2b =14 , ∴b c =32×4=6，故选A ．小提示：本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．2、已知向量a ⃑，b ⃑⃑满足|a ⃑|=√3，|b ⃑⃑|=2，且a ⃑⊥(a ⃑−b ⃑⃑)，则a ⃑与b ⃑⃑的夹角为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 答案：A分析：利用数量积的定义，即可求解.解：a ⃑⊥(a ⃑−b ⃑⃑),所以a ⃑⋅(a ⃑−b⃑⃑)=0,即|a →|2−|a →||b →|cos <a →,b →>=0， 解得cos <a →,b →>=√32,又因为向量夹角的范围为[0°,180°]，则a ⃑与b ⃑⃑的夹角为30°，故选：A.3、向量PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(k,12)，PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(4,5)，PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(10,k)．若A,B,C 三点共线，则k 的值为（ ） A ．−2B ．1C ．−2或11D ．2或−11答案：C分析：求得BA⃑⃑⃑⃑⃑⃑，CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，利用向量共线的充要条件，可得关于k 的方程，求解即可. 解：由题可得：BA⃑⃑⃑⃑⃑⃑=PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(k,12)−(4,5)=(k −4,7)， CA⃑⃑⃑⃑⃑⃑=PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(k,12)−(10,k )=(k −10,12−k ). 因为A,B,C 三点共线，所以BA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑∥CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，所以(k −4)(12−k )−7(k −10)=0，整理得k 2−9k −22=0，解得k =−2或k =11. 故选：C.4、在△ABC 中，已知B =120°，AC =√19，AB =2，则BC =（ ） A ．1B ．√2C ．√5D ．3 答案：D分析：利用余弦定理得到关于BC 长度的方程，解方程即可求得边长. 设AB =c,AC =b,BC =a ，结合余弦定理：b 2=a 2+c 2−2accosB 可得：19=a 2+4−2×a ×c ×cos120∘， 即：a 2+2a −15=0，解得：a =3（a =−5舍去）， 故BC =3. 故选：D.小提示：利用余弦定理及其推论解三角形的类型： (1)已知三角形的三条边求三个角；(2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角； (3)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形．5、魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E ，H ，G 在水平线AC 上，DE 和FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG 称为“表距”，GC 和EH 都称为“表目距”，GC 与EH 的差称为“表目距的差”则海岛的高AB =（ ）A．表高×表距表目距的差+表高B．表高×表距表目距的差−表高C．表高×表距表目距的差+表距D．表高×表距表目距的差−表距答案：A分析：利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出．如图所示：由平面相似可知，DEAB =EHAH,FGAB=CGAC，而DE=FG，所以DE AB =EHAH=CGAC=CG−EHAC−AH=CG−EHCH，而CH=CE−EH=CG−EH+EG，即AB=CG−EH+EGCG−EH ×DE=EG×DECG−EH+DE＝表高×表距表目距的差+表高．故选：A.小提示：本题解题关键是通过相似建立比例式，围绕所求目标进行转化即可解出．6、已知向量a⃑=(−1,m)，b⃑⃑=(2,4)，若a⃑与b⃑⃑共线，则m=（）A．−1B．1C．−2D．2答案：C分析：根据平面向量共线坐标表示可得答案.由题意得2m=−4，即m=−2.故选：C7、在正方形ABCD 中，BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−DC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=（ ） A ．BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑B ．DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑C ．AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑D ．DA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 答案：C分析：根据平面向量加减运算法则计算可得.解：BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−DC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑. 故选：C.8、已知边长为1的正方形ABCD ，设AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=a ⃑，AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=b ⃑⃑，AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=c ⃑，则|a ⃑−b ⃑⃑+c ⃑|=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：B分析：根据向量加法的平行四边形法则，结合正方形的性质可得答案. 因为ABCD 是边长为1的正方形，AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=a ⃑,AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=b ⃑⃑,AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=c ⃑， 所以a ⃑−b ⃑⃑+c ⃑=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=2AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 又|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=1，所以|a ⃑−b ⃑⃑+c ⃑|=|2AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=2 故选：B9、已知非零平面向量a ⃗，b ⃑⃗，c ⃗，下列结论中正确的是（ ） （1）若a ⃗⋅c ⃗=b ⃑⃗⋅c ⃗，则a ⃗=b ⃑⃗；（2）若|a ⃗+b ⃑⃗|=|a ⃗|+|b ⃑⃗|，则a ⃗//b⃑⃗ （3）若|a ⃗+b ⃑⃗|=|a ⃗−b ⃑⃗|，则a ⃗⊥b ⃑⃗（4）若(a ⃗+b ⃑⃗)⋅(a ⃗−b ⃑⃗)=0，则a ⃗=b ⃑⃗或a ⃗=−b ⃑⃗ A ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（3）（4）D ．（2）（3）（4） 答案：B解析：根据向量的数量积运算，以及向量模的计算公式，逐项判断，即可得出结果. 已知非零平面向量a ⃗，b ⃑⃗，c ⃗，（1）若a⃗⋅c⃗=b⃑⃗⋅c⃗，则(a⃗−b⃑⃗)⋅c⃗=0，所以a⃗=b⃑⃗或(a⃗−b⃑⃗)⊥c⃗，即（1）错；（2）若|a⃗+b⃑⃗|=|a⃗|+|b⃑⃗|，则a⃗与b⃑⃗同向，所以a⃗//b⃑⃗，即（2）正确；（3）若|a⃗+b⃑⃗|=|a⃗−b⃑⃗|，则|a⃗|2+|b⃑⃗|2+2a⃗⋅b⃑⃗=|a⃗|2+|b⃑⃗|2−2a⃗⋅b⃑⃗，所以2a⃗⋅b⃑⃗=0，则a⃗⊥b⃑⃗；即（3）正确；（4）若(a⃗+b⃑⃗)⋅(a⃗−b⃑⃗)=0，则|a⃗|2−|b⃑⃗|2=0，所以|a⃗|=|b⃑⃗|，不能得出向量共线，故（4）错；故选：B.小提示：本题主要考查向量数量积的运算，考查向量有关的判定，属于基础题型.10、已知不共线的平面向量a⃗,b⃑⃗,c⃗两两所成的角相等，且|a⃗|=1,|b⃑⃗|=4,|a⃗+b⃑⃗+c⃗|=√7，则|c⃗|=（）A．√2B．2C．3D．2或3答案：D分析：先求出θ=2π3，转化|a⃗+b⃑⃗+c⃗|=√(a⃗+b⃑⃗+c⃗)2=√7，列方程即可求出.由不共线的平面向量a⃗，b⃑⃑，c⃑两两所成的角相等，可设为θ，则θ=2π3.设|c⃑|=m.因为|a⃗|=1，|b⃑⃗|=4，|a⃗+b⃑⃗+c⃗|=√7，所以|a⃗+b⃑⃗+c⃗|2=7，即a⃗2+2a⃗⋅b⃑⃗+b⃑⃗2+2b⃑⃗⋅c⃗+2a⃗⋅c⃗+c⃗2=7，所以12+2×1×4cos2π3+42+2×4×mcos2π3+2×1×mcos2π3+m2=7即m2−5m+6=0，解得：m=2或3.所以|c⃑|=2或3故选：D填空题11、已知向量a⃑=(3,1),b⃑⃑=(1,0),c⃑=a⃑+kb⃑⃑．若a⃑⊥c⃑，则k=________．答案：−103.分析：利用向量的坐标运算法则求得向量c⃗的坐标，利用向量的数量积为零求得k的值∵a ⃗=(3,1),b ⃑⃗=(1,0),∴c ⃗=a ⃗+kb ⃑⃗=(3+k,1), ∵a ⃗⊥c ⃗,∴a ⃗⋅c ⃗=3(3+k )+1×1=0，解得k =−103, 所以答案是：−103.小提示：本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量p ⃗=(x 1,y 1),q ⃗=(x 2,y 2)垂直的充分必要条件是其数量积x 1x 2+y 1y 2=0.12、若向量a →=(1，1)与向量b →=(1，x )的夹角为锐角，则x 的取值范围是___________. 答案：(−1,1)∪(1,+∞)解析：设向量a →与向量b →的夹角为θ，由cosθ=a⃑⃗⋅b ⃑⃗|a⃑⃗||b ⃑⃗|=√2×√1+x 2,.设向量a →与向量b →的夹角为θ，则cosθ=a⃑⃗⋅b ⃑⃗|a⃑⃗||b ⃑⃗|=√2×√1+x 2因为夹角为锐角， 所以0<cos θ<1，即 0<√2×√1+x 2<1，所以x >−1 且(1+x)2<2(1+x 2), 解得 −1<x <1 或 x >1， 所以答案是：(−1,1)∪(1,+∞)13、已知向量a ⃗,b ⃑⃗的夹角为120°，|a ⃗|=2,|b ⃑⃗|=1，若(a ⃗+3b ⃑⃗)⊥(2a ⃗+λb ⃑⃗)，则实数λ=___________. 答案：−1分析：由(a ⃗+3b ⃑⃗)⊥(2a ⃗+λb ⃑⃗)，可得(a ⃗+3b ⃑⃗)⋅(2a ⃗+λb ⃑⃗)=0，化简后结已知条件可求得答案 解：因为向量a ⃗,b ⃑⃗的夹角为120°，|a ⃗|=2,|b ⃑⃗|=1，且(a ⃗+3b ⃑⃗)⊥(2a ⃗+λb ⃑⃗)， 所以(a ⃗+3b ⃑⃗)⋅(2a ⃗+λb ⃑⃗)=0，即2a ⃗2+(6+λ)a ⃗⋅b ⃑⃗+3λb ⃑⃗2=0， 所以8+(6+λ)×2×1×(−12)+3λ=0，解得λ=−1， 所以答案是：−114、已知点A (3,−4)与B (−1,2)，点P 在直线AB 上，且|AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|，则点P 的坐标为________． 答案：(1,−1)分析：根据模长相等关系可确定P 为线段AB 中点，由中点坐标公式计算得到结果. ∵P 在直线AB 上，且|AP⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|，∴P 为线段AB 中点， 又A (3,−4)，B (−1,2)，∴P (1,−1). 所以答案是：(1,−1).15、已知|b ⃑⃑|=3，向量a ⃑在向量b ⃑⃑上的投影向量为2b ⃑⃑，则a ⃑·b ⃑⃑＝____________. 答案：18解析：由题意向量a ⃑在向量b ⃑⃑上的投影向量为2b ⃑⃑，分析可得|a ⃑|cos <a ⃑,b ⃑⃑>=2|b ⃑⃑|，代入公式，即可得答案. 因为向量a ⃑在向量b ⃑⃑上的投影向量为2b ⃑⃑，则可得|a ⃑|cos <a ⃑,b ⃑⃑>=2|b ⃑⃑|， 所以a ⃑·b ⃑⃑=|a ⃑||b ⃑⃑|cos <a ⃑,b ⃑⃑>=2|b ⃑⃑|·|b ⃑⃑|=2|b ⃑⃑|2=18， 所以答案是：18.小提示：本题考查向量投影的应用，考查分析理解的能力，属基础题. 解答题16、已知函数f (x )=2cosxsin (x +π6).（1）求f (x )的最小正周期及f (x )在区间[−π6,π4]上的最大值（2）在锐角△ABC 中，f （A 2）=32，且a =√3，求b +c 取值范围.答案：（1）最小正周期为π，最大值32；（2）(3,2√3].分析：（1）先利用三角恒等变换对函数进行化简，进而通过三角函数的图像和性质的应用得到答案； （2）利用正弦定理进行边化角，然后借助三角恒等变换进行化简，最后通过三角函数的图像和性质的应用求出结果.（1）f(x)=2cosx ⋅(sinx ⋅√32+cosx ⋅12) =√32sin2x +1+cos2x2=sin(2x +π6)+12，所以f (x )的最小正周期为π.因为−π6≤x ≤π4，所以−π6≤2x +π6≤2π3于是，当2x +π6=π2，即x =π6时，f (x )取得最大值32（2）在△ABC 中，A +B +C =πf(A2)=sin(A +π6)+12=32，∴sin(A +π6)=1，A ∈(0,π2),∴A +π6∈(π6,23π)，∴A +π6=π2,∴A =π3.由正弦定理asinA=b sinB=c sinC=2，∴b =2sinB,c =2sinC ，∴b +c =2sinB +2sinC =2sinB +2sin (A +B )=2sinB +2sin (π3+B)=2sinB +√3cosB +sinB =3sinB +√3cosB =2√3sin(B +π6)，∵{0<B <π20<C <π2⇒{0<B <π20<23π−B <π2⇒π6<B <π2，∴B +π6∈(π3,2π3)，∴sin(B +π6)∈(√32,1]， ∴b +c =2√3sin(B +π6)∈(3,2√3].17、平面内给定三个向量a ⃗=(3,2)，b ⃑⃗=(−1,2)，c ⃗=(4,1). （1）求满足a ⃗=mb ⃑⃗−nc ⃗的实数m ，n ； （2）若(a ⃗+kc ⃗)//(2b ⃑⃗−a ⃗)，求实数k 的值. 答案：（1）m =59，n =−89；（2）k =−1613.分析：（1）依题意求出mb ⃑⃗−nc ⃗的坐标，再根据向量相等得到方程组，解得即可； （2）首先求出a ⃗+kc ⃗与2b ⃑⃗−a ⃗的坐标，再根据向量共线的坐标表示计算可得； 解：（1）因为a ⃗=(3,2)，b ⃑⃗=(−1,2)，c ⃗=(4,1)，且a ⃗=mb ⃑⃗−nc ⃗ (3，2)=a ⃗=mb ⃑⃗−nc ⃗=m(−1，2)−n(4，1)=(−m −4n ，2m −n).∴ {−m −4n =32m −n =2，解得m =59，n =−89.（2）a ⃗+kc ⃗=(3，2)+k(4，1)=(3+4k ，2+k). 2b ⃑⃗−a ⃗=2(−1，2)−(3，2)=(−5，2). ∴−5(2+k)−2(3+4k)=0，解得k =−1613.18、如图，已知ΔABC 中，D 为BC 的中点，AE =12EC ，AD ，BE 交于点F ，设AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=a ⃑，AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=b⃑⃑．（1）用a ⃑,b ⃑⃑分别表示向量AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，EB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑； （2）若AF⃑⃑⃑⃑⃑⃑=tAD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，求实数t 的值． 答案：（1）AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2b ⃑⃑−a ⃑，EB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−43a ⃑+2b⃑⃑；（2）t =12． 解析：（1）根据向量线性运算，结合线段关系，即可用a ⃑,b ⃑⃑分别表示向量AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，EB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑； （2）用a ⃑,b ⃑⃑分别表示向量FB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，EB⃑⃑⃑⃑⃑⃑，由平面向量共线基本定理，即可求得t 的值. （1）由题意，D 为BC 的中点，AE =12EC ，可得AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=13AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=a ⃑，AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=b ⃑⃑． ∵AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑， ∴AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2b ⃑⃑−a ⃑， ∴EB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑–AE⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =2b ⃑⃑−a ⃑−13a ⃑=−43a ⃑+2b⃑⃑ （2）∵AF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=tAD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=tb ⃑⃑， ∴FB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑–AF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =−a ⃑+(2−t )b⃑⃑∵EB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−43a ⃑+2b ⃑⃑，FB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，EB⃑⃑⃑⃑⃑⃑共线， 由平面向量共线基本定理可知满足−1−43=2−t 2，解得t =12．小提示：本题考查了平面向量的线性运算，平面向量共线基本定理的应用，属于基础题. 19、在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c.已知a =√6,b =2c,cosA =−14. (1)求c 的值； (2)求sinB 的值； (3)求sin(2A −B)的值. 答案：(1)c =1(2)sinB =√104(3)sin(2A −B)=√108分析：（1）根据余弦定理a 2=b 2+c 2−2bccosA 以及b =2c 解方程组即可求出； （2）由（1）可求出b =2，再根据正弦定理即可解出；（3）先根据二倍角公式求出sin2A,cos2A ，再根据两角差的正弦公式即可求出．（1）因为a 2=b 2+c 2−2bccosA ，即6=b 2+c 2+12bc ，而b =2c ，代入得6=4c 2+c 2+c 2，解得：c =1． （2）由（1）可求出b =2，而0<A <π，所以sinA =√1−cos 2A =√154，又a sinA=b sinB ，所以sinB =bsinA a=2×√154√6=√104． （3）因为cosA =−14，所以π2<A <π，故0<B <π2，又sinA =√1−cos 2A =√154， 所以sin2A =2sinAcosA =2×(−14)×√154=−√158，cos2A =2cos 2A −1=2×116−1=−78，而sinB =√104，所以cosB =√1−sin 2B =√64， 故sin(2A −B)=sin2AcosB −cos2AsinB =(−√158)×√64+78×√104=√108．。
武汉大学名师名校讲义【民法总论】第六章 合伙
责任。
第四节 合伙人的出资和合伙财产
一．合伙人的出资 1．出资的形式 《通则》30条：资金、实物、技术等 《合伙企业法》16条第1款：货币、实物、知识产权、 土地使用权、其他财产权利、劳务 2．出资的数额 1）法律未规定最低数额，由合伙人约定。 2）非以货币出资的，应评估作价，并在合伙协议中载 明。——《合伙企业法》16条第2、3款
3．合伙财产份额的转让 1）合伙人转让合伙财产份额的条件——《合伙企业法》 22条 A．合伙人向合伙人以外的人转让全部或者部分财产 份额时，须经其他合伙人一致同意；
B．合伙人之间转让全部或者部分财产份额时，应当 通知其他合伙人。
2）合伙人转让合伙财产份额时，其他合伙人享有优先
购买权——《合伙企业法》23条
2，合伙经营方式在不断地发展变化 1）合伙财产性质的变化； 2）合伙成员结构的变化； 3）合伙立法上的发展趋势。
3，现代合伙具备民事主体的基本条件 1）合伙的人格具有相对独立性； 2）合伙财产具有相对独立性； 3）合伙的收益具有相对独立性； 4）合伙民事责任的承担具有相对独立性。
二，承认合伙民事主体地位的意义
2．合伙财产的性质 1）合伙财产具有相对独立性 A．合伙财产不完全独立于合伙人，即合伙人不得随意 收回出资份额；——《合伙企业法》21条 B．对合伙财产，由合伙人统一管理和使用。——《通 则》32条 2）合伙财产属于合伙人按份共有？共同共有？
首先，应区分出资财产、收益财产分别考虑； 其次，应考虑各合伙人的出资形态能否构成共有关系。
4．便于根据合伙的特点，对其加强管理和监督，维护 社会主义的经济秩序。
高考总复习一轮《名师一号-数学》：第6章 名师检测题.pdf
第六章 不等式名师检测题 时间：120分钟 分值：150分 第卷(选择题 共60分) 一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．已知a，b，cR＋，若<<，则( ) A．c0，因此有c－a<0，a－b<0，故c4 解析：不等式x2＋ax＋40，a4. 答案：D 3．若不等式≤a≤在t(0,2]上恒成立，则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 解析：依题意得对任意t(0,2]恒成立．于是只要当t(0,2]时， 即可．记f(t)＝t＋，g(t)＝＋2·2，则易知函数f(t)在(0,2]上是减函数，因此f(t)在(0,2]上的最小值是f(2)＝，g(t)＝＋2·2在(0,2]上是减函数，g(t)在(0,2]上的最小值是g(2)＝1，所以所求的a的取值范围是[，1]，选B. 答案：B 4．函数y＝f(x)的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧(如图)，则不等式f(x)<f(－x)＋2x的解集为( ) A．{x|－<x<0或<x≤1} B．{x|－1≤x<－或<x≤1} C．{x|－1≤x<－或0<x<} D．{x|－<x<且x≠0} 解析：从函数图象可以看出：函数y＝f(x)是关于原点对称的函数，f(－x)＝－f(x)； 由不等式f(x)<f(－x)＋2x得：f(x)－f(－x)<2x2f(x)<2x?f(x)<x，y－1，则≥；若正整数m和n满足m<n，则≤；已知关于x的不等式－1，a＋1≥b＋1>0，得≤，而≥1－≥1－≤，所以本命题为真命题；用基本不等式：2xy≤x2＋y2(x，y为正实数)，取x＝，y＝，可知本命题为真命题；<0?(ax－1)·(x＋1)<0，又其解集为(－∞，－1)，可知a<0，故(ax－1)(x＋1)0，结合原不等式的解集，有＝－a＝－2，所以本命题是真命题，故选A. 答案：A 6．若实数a、b(0,1)，且满足(1－a)b>，则a、b的大小关系是( ) A．ab D．a≥b 解析：a、b(0,1)，1－a>0，又(1－a)b>，<2，0，选择A. 答案：A 7．设a、bR，且b(a＋b＋1)<0，b(a＋b－1)1 B．a1，因此选D. 答案：D 8．已知lga＋lgb＝0，则＋的最小值为( ) A．4 B. C．2 D．1 解析：依题意，ab＝1，a>0，b>0，则＋＝＋＝＝＝(a＋b)－≥2－＝2－1＝1，当且仅当a＝b＝1时，等号成立．选择D. 答案：D 9．若1<logba B．|logab＋logba|>2 C．(logba)2|logab＋logba| 解析：由1<<，得0logba>logb1＝0，因此logab>logba，|logab＋logba|＝logab＋logba>2＝2；由1>logba>0，得(logba)2<1；显然有|logab＋logba|＝|logab|＋|logba|.综上所述，选D. 答案：D 10．下列四个命题中正确的是( ) A．若a，bR，则|a|－|b|<|a＋b| B．若a，bR，则|a－b|<|a|＋|b| C．若实数a，b满足|a－b|＝|a|＋|b|，则ab≤0 D．若实数a，b满足|a|－|b|<|a＋b|，则ab<0 解析：对于A，当a＝2，b＝0时，|a|－|b|＝|a＋b|，因此A不正确；对于B，当a＝2，b＝0时，|a－b|＝|a|＋|b|,因此B不正确；对于D，当a＝0，b＝2时，满足|a|－|b|0时，f(a－b)＝－1，＝＝b；当a－b<0时，f(a－b)＝1， ＝＝a，所以上式的值为a、b中较小的数．选C. 答案：C 第卷(非选择题 共90分) 二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上．) 13．若不等式＋m<0的解集为{x|x4}，则m的值为________． 解析：＋m<0<0?(x＋m)[(m＋1)·x＋m2－1]<0，其解集为{x|x4}，所以方程(x＋m)[(m＋1)x＋m2－1]＝0的根为3、4，代入解得m＝－3. 答案：－3 14．设函数f(x)＝x－，对任意x[1，＋∞)，f(mx)＋mf(x)<0恒成立，则实数m的取值范围是________． 解析：由题知，mx－＋mx－<0在[1，＋∞)上恒成立，即2mx0时，即>x2在[1，＋∞)上恒成立，由于函数g(x)＝x2无最大值，此时不存在满足题意的m；当m<0时，即<x2在[1，＋∞)上恒成立，即1，解得mb>0，则a2＋的最小值是________． 解析：a>b>0，b(a－b)≤2＝(当且仅当a＝2b时取“＝”)， a2＋≥a2＋＝a2＋≥2 ＝16(当且仅当a＝2时取“＝”)， 当a＝2，b＝时，a2＋取得最小值16. 答案：16 三、解答题：(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋b. (1)解关于a的不等式f(1)>0； (2)当不等式f(x)>0的解集为(－1,3)时，求实数a、b的值． 解析：(1)由f(1)>0得－3＋a(6－a)＋b>0a2－6a＋3－b<0， (a－3)2－6时，不等式的解集为(3－，3＋)． (2)由f(x)>0得3x2－a(6－a)x－b0的解集为(－1,3)，即不等式3x2－a(6－a)x－b<0的解集为(－1,3)，故x＝－1、x＝3是方程3x2－a(6－a)x－b＝0的两个实根，由根与系数的关系，得 18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x|x－a|－2. (1)当a＝1时，解不等式f(x)<|x－2|； (2)当x(0,1]时，f(x)<x2－1恒成立，求实数a的取值范围． 解析：(1)a＝1时，f(x)<|x－2|，即x|x－1|－2<|x－2|.(*) 当x≥2 时，由(*)x(x－1)－2<x－20<x<2. 又x≥2，x∈?； 当1≤x<2时，由(*)x(x－1)－2<2－x－2<x<2， 又1≤x<2，1≤x<2； 当x<1时，由(*)x(1－x)－2<2－xx∈R. 又x<1，x<1. 综上所述，知不等式的解集为(－∞，2)． (2)当x(0,1]时，f(x)<x2－1，即x|x－a|－2<x2－1恒成立， 也即x－1(a<0)． 解析：(1)f(x)是二次函数，且f(x)0)， f(x)的对称轴为x＝且开口向上． f(x)在区间[－1,4]上的最大值是f(－1)＝6A＝12. A＝2. f(x)＝2x(x－5)＝2x2－10x. (2)由已知有>0.x(x－5)(ax＋5)>0. 又a<0，x(x－5)<0. 若－1。
【名师推荐资料】(浙江专版)新2020届高考物理一轮复习 第6章 静电场 3 第一节 电场力的性质课后达标能力
3 第一节 电场力的性质一、单项选择题1．两个分别带有电荷量－Q 和＋5Q 的相同金属小球(均可视为点电荷)，固定在相距为r 的两处，它们间库仑力的大小为F ，两小球相互接触后将其固定距离变为r2，则两球间库仑力的大小为( )A.5F 16 B ．F 5 C.4F 5 D ．16F 5 解析：选D.两球相距r 时，根据库仑定律F ＝kQ ·5Qr 2，两球接触后，带电荷量均为2Q ，则F ′＝k 2Q ·2Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫r 22，由以上两式可解得F ′＝16F 5，D 正确．2．如图所示为静电力演示仪，两金属极板分别固定于绝缘支架上，且正对平行放置．工作时两板分别接高压直流电源的正负极，表面镀铝的乒乓球用绝缘细线悬挂在两金属极板中间，则( )A ．乒乓球的左侧感应出负电荷B ．乒乓球受到扰动后，会被吸在左极板上C ．乒乓球共受到电场力、重力和库仑力三个力的作用D ．用绝缘棒将乒乓球拨到与右极板接触，放开后乒乓球会在两极板间来回碰撞解析：选D.两极板间电场由正极板指向负极板，镀铝乒乓球内电子向正极板一侧聚集，故乒乓球的右侧感应出负电荷，选项A 错误；乒乓球受到重力、细线拉力和电场力三个力的作用，选项C 错误；乒乓球与任一金属极板接触后会带上与这一金属极板同种性质的电荷，而相互排斥，不会吸在金属极板上，到达另一侧接触另一金属极板时也会发生同样的现象，所以乒乓球会在两极板间来回碰撞，选项B 错误、D 正确．3．(2016·高考江苏卷)一金属容器置于绝缘板上，带电小球用绝缘细线悬挂于容器中，容器内的电场线分布如图所示．容器内表面为等势面，A 、B 为容器内表面上的两点，下列说法正确的是( )A ．A 点的电场强度比B 点的大 B ．小球表面的电势比容器内表面的低C ．B 点的电场强度方向与该处内表面垂直D ．将检验电荷从A 点沿不同路径移到B 点，电场力所做的功不同解析：选C.由于A 点处电场线比B 点处电场线疏，因此A 点电场强度比B 点小，A 项错误；沿着电场线的方向电势逐渐降低，因此小球表面的电势比容器内表面的电势高，B 项错误；由于处于静电平衡的导体表面是等势面，电场线垂直于等势面，因此B 点的电场强度方向与该处内表面垂直，C 项正确；将检验电荷从A 点沿不同的路径移到B 点，由于A 、B 两点的电势差恒定，因此电场力做功W AB ＝qU AB 相同，D 项错误．4．如图所示，一半径为R 的圆盘上均匀分布着电荷量为Q 的电荷，在垂直于圆盘且过圆心c 的轴线上有a 、b 、d 三个点，a 和b 、b 和c 、c 和d 间的距离均为R ，在a 点处有一电荷量为q (q >0)的固定点电荷．已知b 点处的场强为零，则d 点处场强的大小为(k 为静电力常量)( )A ．k 3qR2B ．k 10q 9R 2C ．kQ ＋qR 2D ．k 9Q ＋q 9R2解析：选B.由b 点处的合场强为零可得圆盘在b 点处的场强与点电荷q 在b 点处的场强大小相等、方向相反，所以圆盘在b 点处的场强大小为E b ＝k q R2，再根据圆盘场强的对称性和电场强度叠加即可得出d 点处的场强大小为E d ＝E b ＋k q （3R ）2＝k 10q9R2，B 正确．5. 如图所示，xOy 平面是无穷大导体的表面，该导体充满z <0的空间，z >0的空间为真空．将电荷量为q 的点电荷置于z 轴上z ＝h 处，则在xOy 平面上会产生感应电荷．空间任意一点处的电场皆是由点电荷q 和导体表面上的感应电荷共同激发的．已知静电平衡时导体内部场强处处为零，则在z 轴上z ＝h2处的场强大小为(k 为静电力常量)( )A ．k 4q h2B ．k 4q 9h 2C ．k 32q 9h2D ．k 40q 9h2解析：选D.点电荷q 和感应电荷所形成的电场在z >0的区域可等效成关于O 点对称的电偶极子形成的电场．所以z 轴上z ＝h 2处的场强E ＝k q ⎝ ⎛⎭⎪⎫h 22＋k q ⎝ ⎛⎭⎪⎫32h 2＝k 40q9h2，选项D 正确．6．(2018·宿迁市高三调研测试)如图所示为点电荷A 、B 形成的电场．下列说法正确的是( )A ．A 带正电，B 带负电 B ．A 的电荷量大于B 的电荷量C ．A 的左侧某点电场强度可能为零D ．A 、B 连线上从A 到B 电势降低解析：选C.由电场线的分布图可知，点电荷A 、B 带异种电荷，因为不知道电场线的方向，也就不知道A 、B 的电性，选项A 错误；由于B 附近电场线更密集，所以B 的电荷量更大，选项B 错误；A 、B 带异种电荷，且B 的电荷量较大，由点电荷场强公式E ＝k Qr2可知，它们在A 点左侧某点产生的电场强度可能大小相等、方向相反，合场强为零，选项C 正确；沿电场线方向电势逐渐降低，由于不知道电场线的方向，则电势的高低无法判断，选项D 错误． 二、多项选择题7．如图所示为在同一电场中a 、b 、c 、d 四点分别引入检验电荷时，测得的检验电荷所受电场力跟它的电荷量的函数关系图象，那么下列叙述正确的是( )A ．这个电场是匀强电场B ．a 、b 、c 、d 四点的场强大小关系是E d ＞E a ＞E b ＞E cC ．a 、b 、c 、d 四点的场强大小关系是E a ＞E c ＞E b ＞E dD ．a 、b 、d 三点的强场方向相同解析：选CD.由场强的定义式E ＝F q并结合图象的斜率可知电场强度的大小，则E a ＞E c ＞E b ＞E d ，此电场不是匀强电场，选项A 、B 错误，选项C 正确；图象斜率的正负表示电场强度的方向，a 、b 、d 三点相应图线的斜率为正，三点的场强方向相同，选项D 正确．8．(2015·高考江苏卷)两个相同的负电荷和一个正电荷附近的电场线分布如图所示．c 是两负电荷连线的中点，d 点在正电荷的正上方，c 、d 到正电荷的距离相等，则( )A ．a 点的电场强度比b 点的大B ．a 点的电势比b 点的高C ．c 点的电场强度比d 点的大D ．c 点的电势比d 点的低解析：选ACD.由题图看出，a 点处电场线比b 点处电场线密，则a 点的场强大于b 点的场强，故A 正确．电场线从正电荷到负电荷，沿着电场线方向电势降低，所以b 点的电势比a 点的高，所以B 错误；负电荷在c 点的合场强为零，c 点只有正电荷产生的电场强度，在d 点正电荷产生的场强向上，两个负电荷产生的场强向下，合场强是它们的差值，所以c 点的电场强度比d 点的大，所以C 正确；正电荷到c 点的平均场强大于正电荷到d 点的平均场强，根据U ＝Ed 可知，正电荷到c 点电势降低的多，所以c 点的电势比d 点的低，所以D 正确． 9．如图所示，水平地面上固定一个光滑绝缘斜面，斜面与水平面的夹角为θ.一根轻质绝缘细线的一端固定在斜面顶端，另一端系有一个带电小球A ，细线与斜面平行．小球A 的质量为m 、电量为q .小球A 的右侧固定放置带等量同种电荷的小球B ，两球心的高度相同、间距为d .静电力常量为k ，重力加速度为g ，两带电小球可视为点电荷．小球A 静止在斜面上，则( )A ．小球A 与B 之间库仑力的大小为kq 2d2B ．当q d ＝mg sin θk时，细线上的拉力为0C ．当q d ＝ mg tan θk 时，细线上的拉力为0 D ．当q d＝mg k tan θ时，斜面对小球A 的支持力为0解析：选AC.根据库仑定律，A 、B 小球间的库仑力F 库＝k q 2d 2，选项A 正确．小球A 受竖直向下的重力mg ，水平向左的库仑力F 库＝kq 2d 2，由平衡条件知，当斜面对小球A 的支持力F N 的大小等于重力与库仑力的合力大小时，细线上的拉力等于零，如图所示，则kq 2d 2mg ＝tan θ，所以qd ＝mg tan θk，选项C 正确，选项B 错误；斜面对小球A 的支持力FN 始终不会等于零，选项D 错误． 10.如图所示PO 为光滑绝缘竖直墙壁、OQ 为光滑绝缘水平地面，地面上方有一水平向左的匀强电场E ，带正电荷的A 、B 两小球(可视为质点)均紧靠接触面而处于静止状态，这时两球之间的距离为L .若在小球A 上加竖直推力F ，小球A 沿墙壁PO 向着O 点移动一小段距离后，适当移动B 球，小球A 与B 重新处于静止状态，则与原来比较(两小球所带电荷量保持不变)( )A ．A 球对竖直墙壁的作用力不变B ．两球之间的距离一定增大C ．A 球对B 球作用的静电力增大D ．地面对B 球的弹力不变解析：选AC.由题意知，A 球加上力F 移动一段距离后仍处于静止状态，故B 球对A 球的库仑力沿竖直方向上分力增大，B 球应该向左移动，A 球对B 球的库仑力在水平方向的分力等于匀强电场对B 球的静电力，而匀强电场对B 球的静电力不变，根据作用力和反作用力的关系，B 球对A 球的库仑力在水平方向的分力大小也不变，所以A 球对竖直墙壁的压力不变，选项A 正确；A 、B 两球的连线与水平方向的夹角θ变大，F 库cos θ不变，库仑力F 库一定变大，选项C 正确；两球之间的距离减小，选项B 错误；根据力的相互作用性可知，A 球对B 球的库仑力在竖直方向上的分力变大，故地面对B 球的弹力变大，选项D 错误．三、非选择题11．如图所示，在光滑绝缘水平面上放置电荷量分别为q 1、q 2、q 3的三个点电荷，三者位于一条直线上，已知q 1与q 2之间的距离为l 1，q 2与q 3之间的距离为l 2，三个点电荷都处于静止状态．(1)若q 2为正电荷，判断q 1和q 3的电性； (2)求q 1、q 2、q 3三者电荷量大小之比．解析：(1)q 2为正电荷时，假设q 1为正电荷，要使q 2受力平衡，q 3应为正电荷，但此时分析q 1的受力情况，q 2对q 1有向左的斥力，q 3对q 1也有向左的斥力，q 1所受的合力向左，不能平衡，因此，q 2为正电荷时，q 1只能为负电荷．同理可知，q 3为负电荷． (2)三个点电荷所受合力都等于零，根据共点力平衡条件和库仑定律有，对q 2：k q 1q 2l 21＝k q 2q 3l 22 对q 1：kq 1q 2l 21＝k q 1q 3（l 1＋l 2）2 联立可解得q 1∶q 2∶q 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫l 1＋l 2l 22∶1∶⎝ ⎛⎭⎪⎫l 1＋l 2l 12.答案：(1)负 负 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫l 1＋l 2l 22∶1∶⎝ ⎛⎭⎪⎫l 1＋l 2l 1212.(2018·无锡检测)如图，一半径为r 的圆环上均匀分布着电荷量为＋Q 的电荷，在垂直于圆环面且过圆心O 的轴线上有A 、B 、C 三个点，C 和O 、O 和A 间的距离均为d ，AB 间距离为2d .在B 点处有一电荷量为＋q 的固定点电荷．已知A 点处的场强为零，k 为静电力常量，求： (1)带电圆环在O 点处的场强大小； (2)C 点处场强．解析：(1)圆环上关于圆心对称的两小段圆弧上的电荷在O点处产生的场强大小相等、方向相反，其合场强为零，则带电圆环在O点处的场强为EO＝0.(2)A点处的场强为零，根据电场叠加原理知，带电圆环和B点处点电荷在A点处产生的场强大小均为E BA＝kq（2d）2、两者方向相反根据对称性可知带电圆环在C点处产生的场强大小为E C1＝kq（2d）2、方向沿OC向外B处点电荷在C点处产生的场强大小为E C2＝kq（4d）2、方向沿OC向外，则C点处场强E＝E C1＋E C2，解得E＝5kq16d2、方向沿OC向外．答案：(1)0 (2)5kq16d2，方向沿OC向外。
【名师伴你行】高考物理一轮复习 第六章 电场能的性质课时作业18(含解析)
十八电场能的性质1．如图是匀强电场遇到空腔导体后的部分电场线分布图，电场线的方向如图中箭头所示，M、N、Q是以直电场线上一点O为圆心的同一圆周上的三点，OQ连线垂直于MN.以下说法正确的是( )A．O点电势与Q点电势相等B．O、M间的电势差小于N、O间的电势差C．将一负电荷由M点移到Q点，电荷的电势能增加D．在Q点释放一个正电荷，正电荷所受电场力将沿与OQ垂直的方向竖直向上答案：C 解析：由电场线的方向可知φM>φO>φN，再作出此电场中过O点的等势线，可知φO>φQ，A错误；且MO间的平均电场强度大于ON间的平均电场强度，故U MO>U ON，B错误；因U MQ>0，负电荷从M到Q电场力做负功，电势能增加，C正确；正电荷在Q点的电场力方向沿电场线的切线方向而不是圆的切线方向，D错误．2．如图所示，A、B、C、D是真空中一正四面体的四个顶点．现在在A、B两点分别固定两个点电荷Q1和Q2，则关于C、D两点的场强和电势，下列说法正确的是( )A．若Q1和Q2是等量异种电荷，则C、D两点电场强度不同，电势相同B．若Q1和Q2是等量异种电荷，则C、D两点电场强度和电势均相同C．若Q1和Q2是等量同种电荷，则C、D两点电场强度和电势均不相同D．若Q1和Q2是等量同种电荷，则C、D两点电场强度和电势均相同答案：B 解析：若Q1和Q2是等量异种电荷，则C、D位于两个点电荷的中垂面上，所以C、D两点电场强度相同，电势相同，所以A错误，B正确；若Q1和Q2是等量同种电荷，则C、D两点电势相同，电场强度大小相等，方向不同，所以C、D错误．3．(多选)如图所示，在平面直角坐标系中有一底角是60°的等腰梯形，坐标系中有方向平行于坐标平面的匀强电场，其中O(0,0)点电势为6 V，A(1，3)点电势为3 V，B(3，3)点电势为0 V，则由此可判定( )A．C点的电势为3 VB．C点的电势为0 VC．该匀强电场的电场强度大小为100 V/mD．该匀强电场的电场强度大小为100 3 V/m答案：BD 解析：由题意可知C点坐标为(4,0)．在匀强电场中，任意两条平行的线段，两点间电势差与其长度成正比，所以U AB AB ＝U OC OC，代入数据得φC ＝0 V ，则A 错，B 对；取OC 的中点设为D ，则D 点电势为3 V ，和A 点电势相等，连接AD ，由几何关系知，AD 平行于BC ，则AD 是匀强电场中的等势线，过O 作AD 的垂线OG ，垂足为G ，OG 即是一条电场线，由几何关系知OG 长为 3 cm ，则E ＝U OD OG ＝33×10－2 V/m ＝100 3 V/m ，则D 对，C 错．4．某区域的电场线分布如图所示，其中间一根电场线是直线，一带正电的粒子从直线上的O 点由静止开始在电场力作用下运动到A 点．取O 点为坐标原点，沿直线向右为x 轴正方向，粒子的重力忽略不计．在O 到A 运动过程中，下列关于粒子运动速度v 和加速度a 随时间t 的变化、粒子的动能E k 和运动径迹上电势φ随位移x 的变化图线可能正确的是( )答案：B 解析：带正电的粒子从O 点向A 点运动，电场线先变疏再变密，电场强度先变小，后变大，故电场力和粒子的加速度也是先变小，后变大，选项B 正确；粒子从O 向A 运动，一直加速，但加速度先变小，后变大，其速度—时间图象的斜率应是先变小，后变大，选项A 错误；从O 到A ，电场强度先变小，后变大，单位长度上的电势降落应是先变小，后变大，选项C 错误；根据E k ＝12mv 2＝Fx ，E k x 图象的斜率为力F ，从O 到A ，粒子所受的电场力先变小，后变大，故E k x 图象的斜率应先变小，后变大，选项D 错误．5．(多选)如图所示，P 、Q 处固定放置两等量异种电荷，b 、c 、O 在P 、Q 的连线上，e 、O 为两点电荷连线的中垂线上的点，且ab ＝eO ，bc ＝cO ，ab ⊥bO ，ae ⊥eO ，则( )A ．a 点电势等于b 点电势B ．b 点场强大于e 点场强C ．电子在a 点的电势能大于电子在O 点的电势能D ．b 、c 间电势差大于c 、O 间电势差答案：BD 解析：等量异种点电荷周围的电场线分布情况如图所示，a点和b点不在同一个等势面上，电势不相等，选项A错误；根据电场线的疏密情况可得，b点的场强大于e点的场强，选项B正确；a点的电势大于零，O点的电势等于零，电子带负电，在高电势处电势能小，选项C错误；b、c间的电场线比c、O间的电场线密，场强大，电势降低得快，所以b、c间的电势差大于c、O间的电势差，选项D正确．6．(2015·浙江嘉兴一中摸底)如图为一匀强电场，某带电粒子从A点运动到B点，在这一运动过程中克服重力做的功为 2.0 J，电场力做的功为 1.5 J，则下列说法正确的是( )A．粒子带负电B．粒子在A点的电势能比在B点少1.5 JC．粒子在A点的动能比在B点少0.5 JD．粒子在A点的机械能比在B点少1.5 J答案：D 解析：由于电场力做正功，因此电场力与电场线方向相同，粒子带正电，A 错误；电场力做了1.5 J的正功，电势能减少了1.5 J，因此粒子在B点的电势能比在A点少1.5 J，B错误；根据动能定理ΔE k＝W重力＋W电场力＝－2.0 J＋1.5 J＝－0.5 J，因此从A 运动到B动能减少了0.5 J，C错误；由于除重力和系统内弹力以外的力做功改变机械能，在此题中，电场力做功为1.5 J，因此机械能增加1.5 J，D正确．7．(2015·山东潍坊一模)(多选)直线ab是电场中的一条电场线，从a点无初速度释放一电子，电子仅在电场力作用下，沿直线从a点运动到b点，其电势能E p随位移x变化的规律如图所示，设a、b两点的电场强度分别为E a和E b，电势分别为φa和φb，则( )A．E a>E b B．E a<E bC．φa<φb D．φa>φb答案：AC 解析：根据图象可知，图线的斜率表示电场力的大小．电子从a到b，电势能图线的斜率逐渐减小，则电场力逐渐减小，故电场强度逐渐减小，所以E a>E b，A正确，B 错误；由于电势能逐渐降低，所以电场力做正功，则电子所受的电场力方向由a指向b，电场线的方向由b指向a，沿电场线方向电势逐渐降低，所以φa<φb，C正确，D错误．8．(2015·浙江温州十校期中)(多选)如图所示，绝缘弹簧的下端固定在光滑斜面底端，弹簧与斜面平行，带电小球Q (可视为质点)固定在绝缘斜面上的M 点，且在通过弹簧中心的直线ab 上．现将与Q 大小相同、带电也相同的小球P ，从直线ab 上的N 点由静止释放，若两小球可视为点电荷，在小球P 与弹簧接触到速度变为零的过程中，下列说法中正确的是( )A ．小球P 的速度一定先增大后减小B ．小球P 的机械能一定在减少C ．小球P 速度最大时所受弹簧弹力和库仑力的合力为零D ．小球P 与弹簧系统的机械能一定增加答案：AD 解析：带电小球P 与弹簧接触后，在沿斜面方向受到重力沿斜面向下的分力，沿斜面向下的库仑斥力F ＝kQ 2r 2，沿斜面向上的弹簧弹力，在最初阶段，弹簧弹力小于mg sin θ＋kQ 2r 2，小球P 先加速，但是弹力逐渐增大，库仑斥力逐渐减小，合力变小，加速度变小，即第一阶段是加速度逐渐减小的加速运动，第二阶段弹力大于mg sin θ＋kQ 2r 2，合力沿斜面向上开始减速，弹力逐渐增大，库仑斥力逐渐减小，合力变大，加速度变大，即第二阶段是加速度逐渐变大的减速运动，直到速度减小为0，选项A 对．小球P 的机械能变化等于除重力外其他力做的功，即库仑力和弹力的合力做的功，初始阶段弹力小于库仑斥力，二者合力做正功，机械能增加，当弹力大于库仑斥力后，二者合力做负功，机械能减少，选项B 错．小球P 速度最大时加速度等于0，即弹力等于库仑力加重力沿斜面向下的分力，选项C 错．小球P 与弹簧系统的机械能变化等于除系统内弹力和重力外其他力做的功，即库仑斥力做的功，由于库仑斥力做正功，系统机械能增加，选项D 对．9．(多选)a 、b 是位于x 轴上的两个点电荷，电荷量分别为Q 1和Q 2，沿x 轴a 、b 之间各点对应的电势如图中曲线所示(取无穷远电势为零)，M 、N 、P 为x 轴上的三点，P 点对应图线的最低点，a 、P 间距离大于P 、b 间距离．一质子以某一初速度从M 点出发，仅在电场力作用下沿x 轴从M 点运动到N 点，下列说法正确是( )A ．P 点处的电场强度为0B ．a 和b 一定是等量同种电荷C ．质子在运动过程中速率先增大后减小D ．质子在运动过程中加速度先增大后减小答案：AC 解析：由电势图线知两电荷均带正电，但电荷量Q 1>Q 2，选项B 错误；由沿电场线方向电势降低知，在P 点场强方向改变，所以P 点处的电场强度为0，选项A 正确；质子从M 点运动到N 点，加速度先减小后增大，速率先增大后减小，选项C 正确，D 错误．10．(多选)如图所示，水平放置的平行金属板充电后在板间形成匀强电场，板间距离为d ，一个带负电的液滴带电荷量大小为q ，质量为m ，从下板边缘射入电场，沿直线从上板边缘射出，则( )A ．液滴做的是匀速直线运动B ．液滴做的是匀减速直线运动C ．两板间的电势差为mgd qD ．液滴的电势能减少了mgd答案：ACD 解析：首先根据运动是直线运动，确定要考虑重力，而电场力也在竖直方向上，所以可以肯定合外力必然为零，因而确定了液滴的运动性质和所受重力和电场力的关系，液滴斜向右上运动，电场力做正功，且W 电＝mgd ，故电势能减少了mgd ，电势差为U ＝W 电q ＝mgd q，B 错误，A 、C 、D 正确． 11．如图所示，在竖直平面内，光滑的绝缘细杆AC 与半径为R的圆交于B 、C 两点，在圆心O 点处固定一正电荷，B 为AC 的中点，C位于圆周的最低点．现有一质量为m 、电荷量的大小为q 、套在杆上的带负电小球(可视为质点)从A 点由静止开始沿杆下滑．已知重力加速度为g ，A 、C 两点的高度差为3R ，小球滑到B 点时的速度大小为2gR .求：(1)A 、B 两点间的电势差U AB ；(2)小球滑至C 点时的速度大小．答案：(1)－mgR 2q(2)7gR 解析：(1)小球由A 到B 的过程中，由动能定理得：mg ·32R －qU AB ＝12m (2gR )2解得：U AB ＝－mgR 2q(2)小球由A 到C 的过程中，由动能定理得：mg ·3R －qU AC ＝12mv 2C ，其中U AB ＝U AC .由以上各式可得小球滑到C 点时的速度大小v C ＝7gR .12．如图所示，等量异种点电荷，固定在水平线上的M 、N 两点上，电荷量均为Q ，有一质量为m 、电荷量为＋q (可视为点电荷)的小球，固定在长为L 的绝缘轻质细杆的一端，细杆另一端可绕过O 点且与MN 垂直的水平轴无摩擦地转动，O 点位于MN 的垂直平分线上距MN 为L 处，现在把杆拉到水平位置，由静止释放，小球经过最低点B 时速度为v ，取O 处电势为零，忽略q 对＋Q 、－Q 形成电场的影响．求：(1)小球经过B 点时对杆的拉力大小；(2)在＋Q 、－Q 形成的电场中，A 点的电势φA ；(3)小球继续向左摆动，经过与A 等高度的C 点时的速度．答案：(1)mg ＋mv 2L (2)mv 2－2mgL 2q(3)2v 2－4gL 解析：(1)小球经B 点时，在竖直方向有T －mg ＝mv 2LT ＝mg ＋mv 2L由牛顿第三定律知，小球对细杆的拉力大小也为mg ＋mv 2L(2)由于取O 点电势为零，而O 在MN 的垂直平分线上，所以φB ＝0.电荷从A 到B 过程中，由动能定理得mgL ＋q (φA －φB )＝12mv 2 φA ＝mv 2－2mgL 2q(3)由电场对称性可知，φC ＝－φA ，即U AC ＝2φA小球从A 到C 过程，根据动能定理qU AC ＝12mv 2Cv C ＝2v 2－4gL13．如图所示，在O 点放置一个正电荷，在过O 点的竖直平面内的A 点，自由释放一个带正电的小球，小球的质量为m 、电荷量为q .小球落下的轨迹如图中虚线所示，它与以O 为圆心、R 为半径的圆(图中实线表示)相交于B 、C 两点，O 、C 在同一水平线上，∠BOC ＝30°，A 距离OC 的竖直高度为h .若小球通过B 点的速度为v ，求：(1)小球通过C 点的速度大小；(2)小球由A 到C 电场力做了多少功；(3)小球由A 到C 机械能的损失．答案：(1)v 2＋gR (2)12mv 2＋12mgR －mgh (3)mg ⎝ ⎛⎭⎪⎫h －B 2－12mv 2 解析：(1)小球从A 到B 运动的过程中，设电场力做功为W F ，则由动能定理可得：mg (h －R ·sin 30°)＋W F ＝12mv 2－0从A 到C ：mgh ＋W F ＝12mv 2C 联立以上两式可得：v C ＝v 2＋gR(2)小球由A 到C 电场力做功W F ＝12mv 2＋12mgR －mgh (3)小球由A 到C 机械能的损失等于除重力以外其他的力(电场力)所做的功的大小，由B 到C 电场力做功为0，则E 损＝mg ⎝ ⎛⎭⎪⎫h －R 2－12mv 2。
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第六章 复习题
一、选择题
1、输电线路上消耗的无功功率为（ ）。
A．容性 B．感性 C．等于0 D．以上都有可能
2、输电线路空载运行时，末端电压比首端电压（ ）。
A．低 B．高 C．相同 D．不一定
3、提高线路的额定电压等级，将有助于提高系统的（ ）
A．稳定性 B．参数对称性 C．线性 D．非线性
4、某变压器铭牌上标示电压为220±3×2.5%，它共有（ ）个分接头。
A．3个； B. 4个； C. 6个； D. 7个
4、一般双绕组变压器的分接头（ ）。
A．高、低压侧均没有 B．位于低压侧 C．高、低压侧均有 D．位于高压侧
5、三绕组变压器的分接头，一般装在（ ）
A．高压和低压绕组 B．高压和中压绕组 C．中压和低压绕组 D．三个绕组都装
6、电压中枢点是指( )
A．反映系统电压水平的主要发电厂母线 B．反映系统电压水平的主要变电所母线
C．A或B D．电机输出线
7、在线路电压损耗小、负荷变动较小的场合，中枢点采用的调压方式通常为 ( )。
A．逆调压 B．顺调压 C．常调压 D．任何一种
8、高峰负荷时将中枢点电压升高，低谷负荷时将其降低的调压方式是（ ）
A．顺调压 B．逆调压 C．常调压 D．无法确定
9、逆调压是指（ ）
A．高峰负荷，将中枢点电压调高，低谷负荷时，将中枢点电压调低
B．高峰负荷，将中枢点电压调低，低谷负荷时，将中枢点电压调高
C．高峰负荷，低谷负荷时，将中枢点电压均调高
D．高峰负荷，低谷负荷时，将中枢点电压均调低
10、借改变发电机端电压调压的方式通常是( )。
A．逆调压 B．顺调压 C．常调压 D．不确定
11、电容器并联在系统中，它发出的无功功率与并联处的电压（ ）
A．一次方成正比 B．平方成正比 C．三次方成正比 D．无关
12、.同步调相机可以向系统中( )
A．发出感性无功 B．吸收感性无功 C．只能发出感性无功 D．既可为A，也可为B
13、电力系统中无功过剩时，会造成（ ）。
A．频率上升 B．频率下降 C．电压上升 D．电压下降
14、系统中无功功率不足时，会造成（）。
A．电压下降 B．频率下降 C．频率上升 D．电压上升
二、判断题
1、无功不足时，可以通过调整变压器分节头改善电压水平。（ ）
2、电网中无功功率都是从电压高的节点流向电压低的节点。（ ）
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3、电网无功补偿的原则一般按照分层分区和就地平衡原则考虑。（ ）
4、电力系统的电压水平主要决定于系统中有功功率的平衡。（ ）
三、填空题
1、.电力系统的电压水平主要决定于___________。
2、电力系统的无功电源包括____________，___________，___________，___________。
3、有功功率在并列运行的发电机间最优分配的准则是_____________________________; 无功功率电源优
化分布的准则是__________________________________。
4、电力系统的电压中枢点是指____________________________________________。
5、在任何负荷下都保持中枢点电压为一基本不变数值的中枢点电压调整方式称为______。
6、电力系统的调压措施有____________，___________，___________，___________。
7、电力系统无功充足，但电压分布不合理，应采取调节__________来调压。
四、简答题
1、电力系统调压措施有哪些?
2、电力系统的无功电源有哪些?
3、影响电压的因素有哪些？
4、用算式解释造成电压偏移的主要因素有哪些？说明调压措施有哪几种方法？无功电源有哪些？
5、发电机进相、调相、迟相运行各代表什么含义？
6、同步发电机在什么情况下进入进相运行？此时受限的主要因素是什么?
7、线路末端电压是否一定低于首端电压？解释其原因。
8、何谓逆调压、顺调压、常调压？
9、电力系统中电压中枢点一般选在何处？电压中枢点的电压管理方式(调整方式)有哪几种？哪一
种方式容易实现？哪一种方式最不容易实现？为什么？
10、电力系统中无功负荷和无功损耗主要是指什么？
11、电力系统中无功功率的最优分布主要包括哪些内容？其分别服从什么准则？
12、无功补偿的先后顺序？什么叫无功当量？
13、线路始端输入的无功功率是否必然大于末端输出的无功功率？为什么？
14、频率的变化主要由什么引起? 电压的变化主要与那些因素有关? 调频与调压有什么不同？
15、无功充足，电压就一定满足要求吗？
16、系统无功不足时采用什么调压方式？
17、有载调压变压器与普通变压器有什么区别？在什么情况下宜采用有载调压变压器？
18、在按调压要求选择无功补偿设备时，选用并联电容器和调相机是如何考虑的？选择方法有什
么不同？
19、并联电容器补偿和串联电容器补偿各有什么特点？其在电力系统中的使用情况如何？
20、试简要说明电容器作为无功电源并联于系统中的优、缺点？
21、电力系统电压调整的基本原理是什么？当电力系统无功功率不足时，是否可以通过改变变压器的变比调
压？为什么？
22、简单电力系统的末端电压调整可以通过哪些措施实现?
23、为什么系统内很少采用调相器而采用静止电容器？
24、静止补偿器通常靠调节什么支路的电流来实现平滑补偿？
计算类题目
本章计算类题目分两大类：无功功率经济分配类和电压调整类。
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一无功功率经济分配类
（1）无功优化计算：通常给一个2-3节点的网络图，根据定义列方程求解。如题1
（2）根据无功当量的概念，确定节点无功补偿的先后顺序。
1、如图，有功功率两电厂均分，求最优无功分配
二、调压措施计算类
(1)利用变压器分接头调压：如题1，题2
解题关键点：
1)从题目中给定的数值或电压管理方式确定UImax，UImin，U'imax，U'imin；
2）计算
计算电压损耗时，通常不计横分量，UQXPRU，当给定的S和U不是同一点的量时，U≈UN
因正常运行时，变压器分接头不能调整，故取平均值
选一接近值作实际的分接头 UtI
3)返回核验低压母线电压是否合理。
U
U
UU
tI
Ni
imaximax
‘
U
U
UU
tI
Ni
iminimin
‘
(2)利用电容器补偿计算：如题3，题4
解题关键点：根据题目给定条件确定补偿电容后低压侧母线希望达到的电压值Uic，并计算出未补偿
时低压母线的实际电压值Ui，由下式可算出电容补偿的无功容量
iC
CiCi
U
QUUX
(3)利用变压器和补偿电容器：如题5
1)最小负荷时，补偿电容不投入，选择分接头；
直接由UtImin选一接近值作实际的分接头 UtI，变压器实际变比为k=UtI/UNi
2)最大负荷投入全部补偿电容器，根据题目给定条件确定补偿电容后低压侧母线在最大负荷时希望达
到的电压值U'iCmax，并计算出未补偿时低压母线折算到高压侧的实际电压值Uimax，由下式可算出电容补
40.0j10.0Z1
08.0j04.0Z2
7.02.1jjQPSLLL
0.11
U
0.12
U
QPj11Q
P
j22
12
UUUUU
U
UU
iiNIIiiNiIt'maxmaxmax'max
maxmax
)(
UUUUU
U
UU
iiNIIiiNiIt'minminmin'min
minmin
)(
2
minmaxUUUItIt
It
UUUUU
U
UU
iiNIIiiNiIt'minminmin'min
minmin
)(