「精品」高中数学第一章导数及其应用1.4导数在实际生活中的应用教学案苏教版选修2_2
高中数学第一章导数及其应用导数在实际生活中的应用教案苏教版选修
x x x x 6060导数在实际生活中的应用【教学目标】1. 进一步熟练函数的最大值与最小值的求法；⒉ 初步会解有关函数最大值、最小值的实际问题.【教学重点、难点】解有关函数（如边际函数、边际成本）最大值、最小值的实际问题．【教学过程】一、复习引入：导数在实际生活中有着广泛的应用，例如，用料最省、利润最大、效率最高等最优解问题，常常可以归结为函数的最值问题，从而可用导数来解决.利用导数求函数的最值步骤:（1）求)(x f 在(,)a b 内的极值；（2）将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[,]a b 上的最值.二、例题分析：例1、在边长为60cm 的正方形铁片的四角切去相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，当箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？例2、圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？b变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S 时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使其容积有最大值？例3、一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD 的面积为定值S 时，使得湿周CD BC AB l ++=最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h 和下底边长b .例4、已知电源的内阻为r ，电动势为E ，当外电阻R 多大时，才能使电功率最大？最大电功率是多少？例5、强度分别为a ，b 的两个光源A ，B 间的距离为d ，试问：在连结两光源的线段AB 上，何处照度最小？试就a =8，b =1，d =3时回答上述问题.（照度与光的强度成正比，与光源距离的平方成反比）例6、在经济学中，生产x 单位产品的成本称为成本函数，记为()C x ，出售x 单位产品的收益称为收益函数，记为()R x ，()()R x C x -称为利润函数，记为()P x ，（1）如果632()100.00351000C x x x x -=-++，那么生产多少单位产品时，边际)(x C '最低？(边际成本：生产规模增加一个单位时成本的增加量)（2）如果()501000C x x =+，产品的单价()1000.01p x x =-，那么怎样定价可使利润最大？三、课堂小结（1）解有关函数最大值、最小值的实际问题，需要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间；所得结果要符合问题的实际意义．（2）根据问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较．（3）相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简单四、课后作业。
苏教版高中数学选修1-1《导数在实际生活中的应用》导学案1
3.4 导数在实际生活中的应用
一：学习目标
1．学会把实际问题转化为数学问题；
2．最优化问题的求解（利用导数求最值）.
二：课前预习
1．回忆求函数最值的步骤.
2．把长为60cm的铁丝围成矩形，长、宽各为多少时矩形的面积最大？
3．做一个容积为3
256m的方底无盖水箱，它的高为多少时材料最省？
三：课堂研讨
例1在边长为60 cm的正方形铁皮的四角切去边长相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底铁皮箱，箱底的边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？
例2 圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使
所用的材料最省？
例3已知矩形的两个顶点位于x 轴上，另两顶点位于抛物线24y x =-在x 轴上方的曲线上方的曲线上，求矩形的面积最大值及矩形的边长.
例题4已知某养猪场的固定成本是20000元，每年最大规模的养殖量为600头，且每养1头猪，成本增加100元．养x 头猪的收益函数为(),214002x x x R -=记()()x P x C ,分别为养x 头猪的成本函数和利润函数.
（1）分别求C(x),P(x)的表达式；
（2）当x 取何值时，P(x)最大？
课后反思。
高中数第一章导数及其应用1.4导数实际生活中的应用课件苏教版选修22
人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
解析答案
1234
4.制作容积为256的方底无盖水箱，它的高为__4_时最省材料. 解析 设底面边长为x，高为h，则V(x)＝x2·h＝256， ∴h＝2x526，∴S(x)＝x2＋4xh＝x2＋4x·2x526＝x2＋4×x256， ∴S′(x)＝2x－4×x22 56. 令 S′(x)＝0，解得 x＝8，∴h＝28526＝4.
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解析答案
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1234
1.内接于半径为R的半圆的周长最大的矩形的边长为__5_5_R_和__4_5__5_R_.
解析 设矩形与半圆直径垂直的一边的长为x，
则另一边长为 2
R2－x2，则 l＝2x＋4
R2－x2(0＜x＜R)，l′＝2－
4x R2－x2.
令 l′＝0，解得 x1＝ 55R，x2＝－ 55R(舍去).
解析答案
(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？ 解 对(1)中函数求导得f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12). 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
(0,2
(2,12
(12,2
x0
2
12
21Байду номын сангаас
)
)
1)
∴x＝12时f′，(f(xx)取得极大－值. 0
高中数学第一章导数及其应用导数综合运用教案苏教版选修
导数及其应用综合【教学目标】掌握利用导数研究函数的有关性质，求函数的单调区间、极值、最值【教学过程】一、基础训练1. 函数2(1)(1)y x x =+-的单调增区间是___________2．若函数3227y x ax bx =+++在1x =-时有极大值，在3x =时有极小值，则a =_____，b =_______ 3．函数()sin()cos 6f x x x π=++在[0,]π上的最大值与最小值分别为________，________4. 已知321(2)33y x bx b x =++++是R 上的单调增函数，则b 的取值范围是_____________ 5. 已知函数]1)2[(33)(23++++=x a ax x x f 既有极大值又有极小值，则a 的取值范围为___6. 将边长为1m 的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记 2S =(梯形的周长)梯形的面积，则S 的最小值是_____________7. 若函数32()3f x x a x =-在区间(1,1)-上不是单调函数，则实数a 的取值范围是________8. 方程x x =sin 的实根个数是__________9. 已知定义在R 上的函数()f x 满足(1)2f =，()1f x '<，则不等式22()1f x x <+的解集为_____10. 若函数321()||(2)||32a f x x x a xb =-+-+有六个单调区间，则实数a 的取值范围是____ 11. 已知函数8)(,42)(223-+=-++=x ax x g x x x x f ，若对任意的[)+∞∈,0,21x x 都有)()(21x g x f ≥，则实数a 的取值范围是_____________12. 设函数32()2ln f x x ex mx x =-+-，记()()f x g x x=，若函数()g x 至少存在一个零点，则实数m 的取值范围为________________二、例题选讲例1. 设曲线(0)x y e x -=>在点(,)tM t e -处的切线l 与x 轴，y 轴围成的三角形面积为)(t S ，（1）求切线l 的方程； （2）求)(t S 的最大值.例2. 已知函数2221()()1ax a f x x R x -+=∈+，其中a R ∈. （1）当1a =时，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程；（2）当0≠a 时，求函数)(x f 的单调区间与极值.例3. 设函数3()65f x x x =-+，x R ∈，（1）求)(x f 的单调区间和极值；（2）若关于x 的方程a x f =)(有3个不同实根，求实数a 的取值范围；（3）已知当[1,)x ∈+∞时，()(1)f x k x ≥-恒成立，求实数k 的取值范围.例 4. 已知函数32y x ax bx c =+++的图像过点(1,2)P ，过P 点的切线与图像仅有P 一个公共点，又知切线斜率的最小值为2，求)(x f 的解析式.L K J I H G F E D'A'B'O A D B C 例5. 已知函数2()ln f x ax x =-（a 为常数）． （1）当12a =时，求()f x 的单调递减区间； （2）若0a <，且对任意的[1,]x e ∈，()(2)f x a x >-恒成立，求实数a 的取值范围.例 6. 如图，将边长为3的正方形ABCD 绕中心O 顺时针旋转α (0＜α＜π2)得到正方形A ′B ′C ′D ′．根据平面几何知识，有以下两个结论：①∠A ′FE ＝α；②对任意α (0＜α＜π2)，△EAL ，△EA ′F ，△GBF ，△GB ′H ，△ICH ，△IC ′J ，△KDJ ，△KD ′L 均是全等三角形． （1）设A ′E ＝x ，将x 表示为α的函数；（2）试确定α，使正方形A ′B ′C ′D ′与正方形ABCD 重叠部分面积最小， 并求最小面积．例7. 已知函数2()ln f x x m x =- ，2()h x x x a =-+ ， （1）当0a =时，()()f x h x ≥在(1,)+∞上恒成立，求实数m 的取值范围.（2）当2m =时，若函数()()()k x f x h x =-在区间[1,3]上恰有两个不同的零点，求实数a 的取值范围.例8. 已知函数xa x x f -=ln )(，（1）当0>a 时，判断)(x f 在定义域上的单调性； （2）若)(x f 在[]e ,1上的最小值为23，求a 的值； （3）若2)(x x f <在),1(+∞上恒成立，求a 的取值范围.例9. 已知函数2()8f x x x =-+，()6ln g x x m =+.（1）求)(x f 在区间[,1]t t +上的最大值()h t ；（2）是否存在实数m ，使得()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由.例10. 已知函数11ln )(--+-=xa ax x x f （a 为正常数） （1）设10<<a ，试讨论)(x f 的单调性；（2）设42)(2+-=bx x x g ，当41=a 时， ①若对任意)2,0(1∈x ，存在[]2,12∈x ，使)()(21x g x f ≥，求实数b 的取值范围；②对于任意的(]2,1,21∈x x 都有121211|()()|||f x f x x x λ-≤-，求λ的取值范围.。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修1-1 3.4 导数在实际生活中的应用》2
导数在实际生活中的应用
教学目标：1了解导数在解决实际问题中的作用
2掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题
知识梳理：
1生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为________
2利用导数解决优化问题的实质是求函数最值
3解决优化问题的根本思路
上述解决优化问题的过程是一个典型的___________过程
例题讲解
例1：请你设计一个包装盒如下图，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影局部所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD 四个点重合于图中的点
1假设广告商要求包装盒侧面积S最大，那么应取何值？
2假设广告商要求包装盒容积V最大，那么应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值
例2：一家公司生产某种品牌服装的年固定本钱为10万元，千件并全部销售完，每千件的销售收入为R万元，
且R＝错误!
1求年利润W万元关于年产量千件的函数解析式；
2当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出最大值
元
练习
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用2021隔热层，单位：万元与隔热层厚度单位：cm满足关系：C＝错误!0≤≤10，假设不建隔热层，为隔热层建造费用与2021能源消消耗用之和
1求的值及f的表达式；
2隔热层修建多厚时，总费用f到达最小，并求最小值
小结：。
1.4 导数在实际生活中的应用 学案(苏教版高中数学选修2-2)
1.4 导数在实际生活中的应用学案（苏教版高中数学选修2-2）14导数在实际生活中的应用导数在实际生活中的应用学习目标1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题知识点生活中的优化问题1生活中经常遇到求用料最省.利润最大.效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题2利用导数解决优化问题的实质是求函数最值3解决优化问题的基本思路上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程1优化问题就是实际生活中给定条件求最大值或最小值的问题2生活中的优化问题都必须利用导数解决3生活中的优化问题中若函数只有一个极值点，则它就是最值点类型一几何中的最值问题例1请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒点E，F在边AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点设AEFBxcm某厂商要求包装盒的容积Vcm3最大，试问x应取何值并求出此时包装盒的高与底面边长的比值考点利用导数求几何模型的最值问题题点利用导数求几何体体积的最值问题解Vx2x2602x222x2602x22x3602x20x30Vx62x21202x62xx20令Vx0，得x0舍去或x20.当0x0；当20x30时，Vx0.Vx在x20时取极大值也是唯一的极值，故为最大值底面边长为2x202cm，高为230x102cm，即高与底面边长的比值为12.引申探究本例条件不变，若要求包装盒的侧面积Scm2最大，试问x应取何值解AEx，HE2x.EF602x，EG22EF22602x230xS 侧4HEEG42x230x8x30x8x2240x8x1528152.当x15时，S侧最大为1800cm2.反思与感悟面积.体积容积最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验跟踪训练1已知圆柱的表面积为定值S，当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h的值为________考点利用导数求几何模型的最值问题题点利用导数求几何体体积的最值问题答案6S3解析设圆柱的底面半径为r，则S圆柱底2r2，S圆柱侧2rh，圆柱的表面积S2r22rh.hS2r22r，又圆柱的体积Vr2hr2S2r2rS2r32，VrS6r22，令Vr0，得S6r2，h2r，Vr只有一个极值点，当h2r时圆柱的容积最大又rS6，h2S66S3.即当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h为6S3.类型二实际生活中的最值问题命题角度1利润最大问题例2已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为Rx万元，且Rx10.8x230，010.1求年利润W万元关于年产量x千件的函数解析式；2当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出最大值解1当010时，WxRx102.7x9810003x2.7x.所以W8.1xx33010，010.2当0x10时，令W8.1x2100，得x9.所以当0x9时，W单调递增，当9x10时，令W2.710003x20，得x1009，当10x0；当x1009时，W0，所以当x1009时，Wmax3838.6，所以当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，最大利润为38.6万元反思与感悟解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系1利润收入成本2利润每件产品的利润销售件数跟踪训练2某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y单位千克与销售价格x单位元/千克满足关系式yax310x62，其中3x6，a为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克1求a 的值；2若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大解1因为当x5时，y11，所以a21011，所以a2.2由1可知，该商品每日的销售量为y2x310x62，所以商场每日销售该商品所获得的利润为fxx32x310x62210x3x62，3x6.从而fx10x622x3x630x4x6列表如下.x3,444,6fx0fx极大值f4由上表可得，x4是函数fx在区间3,6内的极大值点，也是最大值点所以当x4时，函数fx取得最大值为42.所以当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大命题角度2用料.费用最少问题例3某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为2xx万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元1试写出y关于x的函数关系式；2当m640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小考点利用导数求解生活中的最值问题题点用料.费用最少问题解1设需新建n个桥墩，则n1xm，即nmx1.所以yfx256nn12xx256mx1mx2xx256mxmx2m256.0xm2由1知，fx256mx212m12xm2x232512x令fx0，得32x512，所以x64.当0x64时，fx0，fx在区间0,64上为减函数；当64x0，fx在区间64,640上为增函数，所以fx在x64处取得最小值此时nmx16406419.故当m640米时，需新建9个桥墩才能使y最小反思与感悟1用料最省.成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答2利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使fx0时，如果函数在这点有极大小值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大小值跟踪训练3为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用C单位万元与隔热层厚度x单位cm满足关系Cxk3x50x10，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元设fx为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和1求k的值及fx的表达式；2隔热层修建多厚时，总费用fx达到最小，并求最小值解1由题设知，每年能源消耗费用为Cxk3x5，再由C08，得k40，因此Cx403x5，而建造费用为C1x6x.因此得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为fx20CxC1x20403x56x8003x56x0x102fx624003x52.令fx0，即24003x526，解得x5，x253舍去当0x5时，fx0；当5x0，故当x5时，fx取到最小值，对应的最小值为f56580015570.所以当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值70万元.1方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为________答案4解析设底面边长为x，高为h，则Vxx2h256，h256x2.Sxx24xhx24x256x2x24256x，Sx2x4256x2.令Sx0，解得x8，判断知当x8时，Sx取得最小值h256824.2某产品的销售收入y1万元是产品x千台的函数，y117x2；生产总成本y2万元也是x 的函数，y22x3x2x0，为使利润最大，应生产________千台答案6解析构造利润函数yy1y218x22x3x0，y36x6x2，令y0，得x6x0舍去，x6是函数y在0，上唯一的极大值点，也是最大值点3一房地产公司有50套公寓要出租，当月租金定为1000元时，公寓会全部租出去，月租金每增加50元，就会多一套租不出去，而租出去的公寓每月需花费100元维修费，则月租金定为________元时可获得最大收入答案1800解析设x套为没有租出去的公寓数，则收入函数fx100050x50x10050x，fx1600100x，当x16时，fx取最大值，故把月租金定为1800元时收入最大4要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器，已知底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元答案160解析设底面长为xm，由题意得底面宽为4xm.设总造价为y元，则y20x4x1012x24x，即y20x80x80，y2080x2，令y0，得x2.当x2时，ymin160.5将一段长100cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆形，当正方形与圆形面积之和最小时，圆的周长为________cm.答案1004解析设弯成圆形的一段铁丝长为x，则另一段长为100x.设正方形与圆形的面积之和为S，则正方形的边长a100x4，圆的半径rx2.故Sx22100x420x100因此Sx2252x8x2100x8，令S0，则x1004.由于在0,100内，函数只有一个导数为0的点，问题中面积之和的最小值显然存在，故当x1004时，面积之和最小1利用导数解决生活中实际问题的一般步骤1分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系yfx2求函数的导数fx，解方程fx0.3比较函数在区间端点和极值点的数值的大小，最大小者为最大小值2正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路另外需要特别注意1合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域2与实际问题相联系3必要时注意分类讨论思想的应用。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修1-1 3.4 导数在实际生活中的应用》
导数在实际生活中的应用情境导入：师：上课之前先请大家看一段视频。
从刚才的视频中我们了解到微积分是从生产技术和自然科学的需要中产生的，同时它又促进了生产技术和自然科学的发展。
它并没有我们想象中的不接地气，在我们实际生活中也经常会遇到。
比如经济学里的利润最值问题，物理学里的效率最值问题，几何方面的面积体积最值问题。
这些在数学上我们一般都归结为函数的最值问题，而函数的最值问题又可以利用我们最近才学过的什么知识来解决？生：导数师：这就是我们今天这节课所要研究的内容：导数在实际生活中的应用新课导学师：让我们回归到生活。
大家先看一下这里的这张照片。
在这张图片中显示的两种不同口味的可乐，想必很多同学之前已经喝过。
不知道大家有没有注意过这两罐可乐的体积，它们体积是相等的都是330ml。
从所用材料上来看，哪个用料最省呢？大家可以讨论一下，讨论完之后，进行投票。
投票选择蓝罐可乐用料最省的，请点击选项1选择鬼爪可乐用料最省的，请点击选项2师：从投票结果来看，选择蓝罐可乐的是压倒性的胜利。
大家的选择是否正确呢？那我们就来做一下验证。
学生活动一：探索建模例：某种圆柱形的饮料罐的容积一定时，如何确定它的高与底面的半径，使得所用材料最省？师：既然这两罐可乐的体积是相等的，也就是可以看作是个定值。
让我们来算一算，当它的高与底面半径的关系如何时，才能使得用料呢？这里的用料最省，其实就是来解决这个圆柱体的什么？生：圆柱体的表面积最小。
师：表面积如何表示？ 生：底侧表S S S 2+= 师：侧面积又可以写成？ 生：h r S ⋅=π2侧 师：底面积呢？生：2222r h r S S S ππ+⋅=+=底侧表师：在这个式子中有两个未知量，我该怎么办？生：因为这两个罐子的体积是相等的，所以我可以用r 表示h 。
师：你是想利用这个表达式代入进来达到什么目的？ 生：只有一个未知量师：也就是达到消元的目的。
很好，根据刚才他所说的体积是一定的。
苏教版高中数学(选修1-1)3.4《导数在实际生活中的应用》word教案
3.4 导数在实际生活中的应用教学过程：一、复习引入：1.极大值： 一般地，设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x 0)，就说f(x 0)是函数f(x)的一个极大值，记作y 极大值=f(x 0)，x 0是极大值点2.极小值：一般地，设函数f(x)在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x 0).就说f(x 0)是函数f(x)的一个极小值，记作y 极小值=f(x 0)，x 0是极小值点3.极大值与极小值统称为极值4. 判别f (x 0)是极大、极小值的方法:若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值5. 求可导函数f (x )的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x ) (2)求方程f ′(x )=0的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f (x )在这个根处无极值6.函数的最大值和最小值:在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值．⑴在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值． ⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个7.利用导数求函数的最值步骤:⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值二、讲解范例：例1在边长为60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？ 解法一：设箱底边长为x cm ，则箱高602xh -=cm ，得箱子容积260)(322x x h x x V -== )600(<<x ．23()602xV x x '=-)600(<<x 令 23()602x V x x '=-＝0，解得 x=0（舍去），x=40，并求得 V(40)=16 000由题意可知，当x 过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值答：当x=40cm 时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm 3解法二：设箱高为x cm ，则箱底长为(60-2x )cm ，则得箱子容积 x x x V 2)260()(-=)300(<<x ．（后面同解法一，略） 由题意可知，当x 过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处．事实上，可导函数260)(322x x h x x V -==、x x x V 2)260()(-=在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值例2圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？解：设圆柱的高为h ，底半径为R ，则表面积S=2πRh+2πR 2由V=πR 2h ，得2Vh R π=，则 S(R)= 2πR 2V R π+ 2πR 2=2V R +2πR 2令 22()Vs R R'=-+4πR=0解得，h=2V R π即 h=2R因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值 答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S 时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？提示：S =2Rh π+22R π⇒h =RR S ππ222-⇒V (R )=RR S ππ222-πR 2=3221)2(21R SR R R S ππ-=- )('R V )=026R S π=⇒ ⇒R h R Rh R 222622=⇒+=πππ．例3已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C =100+4q ，价格p 与产量q 的函数关系式为q p 8125-=．求产量q 为何值时，利润L 最大？ 分析：利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘价格．由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润． 解：收入211252588R q p q q q q ⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎝⎭，利润221125(1004)2110088L R C q q q q q ⎛⎫=-=---=-- ⎪⎝⎭(0100)q <<1214L q '=-+令0L '=，即12104q -+=，求得唯一的极值点84q =答：产量为84时，利润L 最大 三、课堂练习：1.函数y =2x 3－3x 2－12x +5在［0，3］上的最小值是___________.2.函数f (x )=sin2x －x 在［－2π,2π］上的最大值为_____；最小值为_______. 3.将正数a 分成两部分，使其立方和为最小，这两部分应分成______和___.4.使内接椭圆2222by a x +=1的矩形面积最大，矩形的长为_____，宽为_____.5.在半径为R 的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为___时，它的面积最大答案：1. －15 2.2π －2π 3.2a 2a4.2a2b 5.23R四、小结 ：⑴解有关函数最大值、最小值的实际问题，需要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间；所得结果要符合问题的实际意义．⑵根据问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较．⑶相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简单五、课后作业：1.有一边长分别为8与5的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起作成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，问剪去的小正方形的边长应为多少？解：（1）正方形边长为x ,则V =（8－2x )·(5－2x )x =2(2x 3－13x 2+20x )(0<x <25) V ′=4(3x 2－13x +10)(0<x <25),V ′=0得x =1 根据实际情况，小盒容积最大是存在的， ∴当x =1时，容积V 取最大值为18.2.一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD 的面积为定值S 时，使得湿周l =AB +BC +CD 最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h 和下底边长b . 解：由梯形面积公式，得S =21 (AD +BC )h ,其中AD =2DE +BC ，DE =33h ,BC =b ∴AD =332h +b , ∴S =h b h h b h )33()2332(21+=+ ①∵CD =h h 3230cos =︒,AB =CD .∴l =h 32×2+b②由①得b =33-h S h ,代入②,∴l =h S h h h S h +=-+333334 l ′=23h S -=0,∴h =43S , 当h <43S 时，l ′<0,h >43S时，l ′>0.∴h =43S时，l 取最小值，此时b =S 3324 六、板书设计（略）七、课后记b。
高中数学新苏教版精品教案《1.4 导数在实际生活中的应用》
导数习题课一、教学目标1、在必修1研究基础上．学生在面对一个函数问题时，会从下列方面去考察：定义域、值域、对应法则、单调性、奇偶性、最值、图象等，此处进一步通过导数为工具研究函数性质，体会导数的工具价值，并能进一步解决含参数的函数问题、函数与方程和不等式问题求解；2、通过适当的例题，进一步帮助学生认识和理解知识和方法，体会知识之间的有机联系，进一步理解函数的本质．二、教学过程设计（一）提出问题，引发思考问题1 回顾所学，导数有什么作用？设计意图：引导学生复习前面学习的导数知识，从整体上把握导数的作用：（1）求曲线的切线；（2）研究函数的单调性．问题2 在解决导数的问题中，那些问题给你带来困扰？设计意图：启发学生自我反思最近做过的有关导数的题目并且发表各自的观点，提炼概况出同学们共同的难点——求参数的取值范围．从而为接下来学生探究“求参数的取值范围”的各种方法进行铺垫，同时激发学生的求知欲．问题3：“函数f＝n－aa∈R有两个零点，求a的取值范围．”研究这个问题我们先干什么？是先求导之后令导函数等于0吗？设计意图：引导学生树立研究函数问题先研究定义域的意识——这往往是高中生最容易忽视的地方，研究任何一个函数都要把自变量放在定义域的范围内去研究，否则会给解决问题带来不必要的麻烦，使研究的结果失去其意义．（二）问题驱动，讨论交流问题4：探究：函数f＝n－aa∈R有两个零点，求a的取值范围．已知函数的定义域为0，﹢∞设计意图：在课堂上给予学生足够的时间去探究问题，教师巡视课堂根据学生的研究情况进行有针对性的指导．强调独立思考、自主学习，培养学生学习数学的良好习惯．学生分析交流：方法①：数形结合（图象法）．函数f＝n－aa∈R有两个零点 曲线g＝n与直线h＝a的图象有两个交点．如图1，当a≤0时，直线＝a与＝n总是有且只有一个公共点，不满足要求．图1如图2，当a＞0时，直线＝a与＝n有且只有一个公共点，当且仅当直线＝a与曲线＝n相切．设切点为0，n 0，根据曲线＝n在＝0处的切线方程为：－n 0＝错误!－0．把原点0，0代入得0＝e，所以a＝错误!＝错误!．图2如图3，当0＜a＜错误!时，直线＝a与＝n总是有两个不同的公共点，满足要求．图3总结：借助函数图形进行研究直观，但是不严谨，可以在填空题中运用此法解决问题，但是解决大题不建议使用．方法②：参变分离．令h＝错误!，由h'＝错误!＝0得＝e．当∈0，e时，h'＞0，h单调递增，h∈－∞，错误!；当∈e，＋∞时，h'＜0，h单调递减，h∈0，错误!；如图所示：所以方程b＝错误!有两个不同的解等价于0＜b＜错误!．总结：通过参变分离解决问题的时候我们只有借助高等数学的极限知识才能解释清楚，利用现有高中所学解释不清，导致数学逻辑上有漏洞．所以我们必须思考如何在现有的数学知识体系下去解决这个问题．方法③：含参讨论．f '=错误!－a，a＜0时，g'＞0，g在（－∞，∞）上单调增，g 1=－a＞0，g错误!=n错误!－错误!≤错误!－1－错误!＝－错误!＜0，利用了n≤－1放缩所以由函数零点存在定理可知n－a＝0在（－∞，∞）上有且只有一个零点;a＝0时，g＝n有且只有一个零点＝1，符合题意；a＞0时，令g'=错误!－a＝0, 则＝错误!,当＜错误!时，g'＞0，当＞错误!时，g'＜0，所以当＝错误!时，g取到最大值为－n a－1．∵f＝n－aa∈R有两个零点．∴－n a－1＞0，所以0＜a＜错误!．∴错误!＞e∵f 1＝n1－a＝－a＜0，f错误!＝n错误!－1＞n e－1＝0．∴f 1 f错误!＜0，又∵f在1，错误!上连续且f在1，错误!单调递增．∴f在1，错误!存在唯一零点．∵f错误!＝n错误!－错误!＝2n错误!－错误!错误!＞e，设t＝2n－＞e，∴t ＝错误!－1＝错误!＜0，∴t在定义域内单调递减．∴t＜t e＝2－e＜0．∴t错误!＜0∴t错误!t错误!＜0，又∵t在错误!，错误!上连续且t在错误!，错误!单调递减．∴t在错误!，错误!存在唯一零点．∴综上所述，当当0＜a＜错误!时，直线＝a与＝n有两个不同的公共点．总结：运用含参讨论研究参数的取值范围时，关键是根据函数零点存在定理找端点使得f a f b＜0．如何找端点成为了难点．一方面，特殊值令＝0，1，e……另一方面，借助不等式进行放缩．（三）抽象概括，总结提升问题5：总结参数取值范围问题的解题策略？请你谈一下上述策略的优缺点？设计意图：（1）归纳概括本节课的所学知识，根据题意，方程n－a＝0有两个实根．参讨论n－a＝0．②函数图象n＝a．③参变分离a＝错误!．（2）运用含参讨论研究参数的取值范围时，关键是根据函数零点存在定理找端点使得f a f b＜0．如何找端点成为了难点．一方面，特殊值令＝0，1，e……另一方面，借助不等式进行放缩．（四）应用迁移，提高能力1、函数f＝n－a ，a∈－∞,错误!]，讨论f的零点个数并证明你的结论．2、【2021江苏】设函数f＝n －a，g＝e－a，其中a为实数．1若f在1，＋∞上是单调减函数，且g在1，＋∞上有最小值，求a的取值范围；2若g在－1，＋∞上是单调增函数，试求f的零点个数，并证明你的结论．。
高中数学第1章导数及其应用1.4导数在实际生活中的应用学案苏教版选修2-2
1.4 导数在实际生活中的应用学习目标 1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．知识点 生活中的优化问题1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为__________．2．利用导数解决优化问题的实质是____________．3．解决优化问题的基本思路是：上述解决优化问题的过程是一个典型的________过程．类型一 面积、容积的最值问题例1 请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E ，F 在AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE ＝FB ＝x cm.应取何值？x 最大，则)2(cm S 若广告商要求包装盒侧面积(1) 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边x 最大，则)3(cm V 若广告商要求包装盒容积(2)长的比值．反思与感悟 (1)这类问题一般用面积公式，体积公式等作等量关系，求解时应选取合理的边长x 作自变量，并利用题目中量与量之间的关系表示出其他有关边长，这样函数关系式就列出来了．(2)这类问题中，函数的定义域一般是保证各边(或线段)为正，建立x 的不等式(组)求定义域．跟踪训练 1 某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场．如图，圆形广场的圆心为O ，半径为100 m ，并与北京路一边所在直线l 相切于点M .点A 为上半圆弧上一点，过点A作l 的垂线，垂足为点B .市园林局计划在△ABM 内进行绿化．设△ABM 的面积为S (单位：．)单位：弧度(θ＝AON ∠，)2m(1)将S 表示为θ的函数；(2)当绿化面积S 最大时，试确定点A 的位置，并求最大面积．类型二 利润最大问题例2 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为⎩⎪⎨⎪⎧10.8－130x2，0<x≤10，108x －1 0003x2，x>10.＝)x (R 万元，且)x (R (1)求年利润W (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出最大值．反思与感悟 解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有 (1)利润＝收入－成本；(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．跟踪训练2 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售为常数．已知销a ，<6x 3<，其中26)－x 10(＋a x －3＝y 满足关系式)千克/单位：元(x 价格售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．类型三 费用(用材)最省问题例3 已知A 、B 两地相距200 km ，一只船从A 地逆水行驶到B 地，水速为8 km/h ，船在．若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正)0v ≤v km/h(8< v 静水中的速度为比，当v ＝12 km/h 时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度为多少？反思与感悟 (1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．(2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f ′(x )＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值． 跟踪训练 3 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝为隔热层建造费)x (f 万元．设8，若不建隔热层，每年能源消耗费用为≤10)x (0≤k3x ＋5用与20年的能源消耗费用之和． (1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值．1．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为________．也)万元(2y ；生产总成本2x 17＝1y 的函数，)千台(x 是产品)万元(1y ．某产品的销售收入2千台．________，为使利润最大，应生产>0)x (2x －3x 2＝2y 的函数，x 是 3．将一段长100 cm 的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆形，当正方形与圆形面积之和最小时，圆的周长为________ cm.4．某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x (单位：元，0≤x ≤21)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，每星期多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数； (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？1．利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f (x )；(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．2．正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路．另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用．提醒：完成作业 1.4答案精析问题导学 知识点 1．优化问题 2．求函数最值 3．数学建模 题型探究例1 解 (1)由题意知包装盒的底面边长为2x cm ，高为2(30－x ) cm ， 所以包装盒侧面积为S ＝42x ×2(30－x ) ＝8x (30－x )≤8×(x ＋30－x 2)2＝8×225，当且仅当x ＝30－x ，即x ＝15时，等号成立，所以若广告商要求包装盒侧面积S (cm 2)最大，则x ＝15. (2)包装盒容积V ＝2x 2·2(30－x ) ＝－22x 3＋602x 2(0<x <30)， 所以V ′＝－62x 2＋1202x ＝－62x (x －20)．令V ′>0，得0<x <20；令V ′<0，得20<x <30.所以当x ＝20时，包装盒容积V 取得最大值，此时包装盒底面边长为20 2 cm ，高为10 2 cm ，包装盒的高与底面边长的比值为12.跟踪训练1 解 (1)如图，BM ＝AO sin θ＝100sin θ，AB ＝MO ＋AO cos θ＝100＋100cosθ，则S ＝12MB ·AB ＝12×100sin θ×(100＋100cos θ)＝5 000(sin θ＋sin θcos θ)，θ∈(0，π)．(2)S ′＝5 000(2cos 2θ＋cos θ－1) ＝5 000(2cos θ－1)(cos θ＋1)．令S ′＝0，得cos θ＝12或cos θ＝－1(舍去)，此时θ＝π3.当θ＝π3时，S 取得最大值，S max ＝3 750 3 m 2，此时AB ＝150 m ，即点A 到北京路一边l 的距离为150 m.例2 解 (1)当0<x ≤10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝8.1x －x330－10，当x >10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝98－1 0003x－2.7x ，∴W ＝⎩⎪⎨⎪⎧8.1x －x330－10，0<x≤10，98－1 0003x－2.7x ，x>10.(2)①当0＜x ＜10时，由W ′＝8.1－x210＝0，得x ＝9，且当x ∈(0,9)时，W ′＞0；当x ∈(9,10)时，W ′＜0.∴当x ＝9时，W 取最大值，且W max ＝8.1×9－130×93－10＝38.6.②当x ＞10时，W ＝98－⎝ ⎛⎭⎪⎫1 0003x ＋2.7 x ≤98－2·1 0003x·2.7x＝38， 当且仅当1 0003x ＝2.7x ，即x ＝1009时，W ＝38，故当x ＝1009时，W 取最大值38.综合①②知，当x ＝9时，W 取得最大值38.6万元．故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，最大利润为38.6万元．跟踪训练2 解 (1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，所以a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y ＝2x －3＋10(x －6)2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润f (x )＝(x －3)[2x －3＋10(x －6)2]＝2＋10(x －3)(x －6)2,3<x <6. 从而，f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)] ＝30(x －4)(x －6)．于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：f ′(x ) ＋ 0 － f (x )单调递增极大值42单调递减由上表可得，x ＝4是函数f (x )在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点． 所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.所以当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大． 例3 解 设每小时的燃料费为y 1，比例系数为k (k >0)， 则y 1＝kv 2，当v ＝12时，y 1＝720， ∴720＝k ·122，得k ＝5. 设全程燃料费为y ，由题意，得y ＝y 1·200v －8＝1 000v2v －8， ∴y ′＝2 000v v －8－1 000v2v －82＝1 000v2－16 000v v －82.令y ′＝0，得v ＝16，∴当v 0≥16，即v ＝16 km/h 时全程燃料费最省，y min ＝32 000(元)； 当v 0<16，即v ∈(8，v 0]时，y ′<0， 即y 在(8，v 0]上为减函数， ∴当v ＝v 0时，y min ＝1 000v20v0－8(元)．综上，当v 0≥16时，v ＝16 km/h 全程燃料费最省， 为32 000元；当v 0<16，即v ＝v 0时全程燃料费最省，为1 000v20v0－8元．跟踪训练3 解 (1)设隔热层厚度为x cm ， 由题设，每年能源消耗费用为C (x )＝k3x ＋5，再由C (0)＝8，得k ＝40，因此C (x )＝403x ＋5，而建造费用为C 1(x )＝6x .最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x ＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)． (2)f ′(x )＝6－2 4003x ＋52，令f ′(x )＝0，即2 4003x ＋52＝6.解得x ＝5，x ＝－253(舍去)，当0<x <5时，f ′(x )<0，当5<x <10时，f ′(x )>0，故x ＝5为f (x )的最小值点，对应的最小值为f (5)＝6×5＋80015＋5＝70.当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值70万元． 达标检测 1．4 2．6 3.100π4＋π4．解 (1)设商品降价x 元，则多卖的商品数为kx 2，若记商品在一个星期的获利为f (x )，则有f (x )＝(30－x －9)(432＋kx 2)＝(21－x )(432＋kx 2)．由已知条件，得24＝k ×22，于是有k ＝6.所以f (x )＝－6x 3＋126x 2－432x ＋9 072，x ∈[0,21]． (2)根据(1)，f ′(x )＝－18x 2＋252x －432 ＝－18(x －2)(x －12)．当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x [0,2) 2 (2,12) 12 (12,21] f ′(x ) －0 ＋0 －f (x )极小值极大值故x ＝12时，f (x )取得极大值． 因为f (0)＝9 072，f (12)＝11 664.所以定价为30－12＝18，才能使一个星期的商品销售利润最大．。
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1.4 导数在实际生活中的应用[对应学生用书P22][例1] 用长为2∶1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？[思路点拨] 不妨设长方体的宽为x m ，则长为2x m ，高为h ＝18－12x4＝(4.5－3x )m ⎝⎛⎭⎪⎫0<x <32.建立长方体的体积函数模型，再求最值．[精解详析] 设长方体的宽为x m ， 则长为2x m ，高为h ＝18－12x 4＝(4.5－3x )m ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <32.故长方体的体积为V (x )＝2x 2(4.5－3x )＝(9x 2－6x 3)m 3⎝⎛⎭⎪⎫0<x <32.从而V ′(x )＝18x －18x 2＝18x (1－x )．令V ′(x )＝0，解得x ＝0(舍去)，或x ＝1，因此x ＝1. 当0<x <1时，V ′(x )>0；当1<x <32时，V ′(x )<0，故在x ＝1处V (x )取得极大值，并且这个极大值就是V (x )的最大值．从而最大体积V ＝V (1)＝9×12－6×13＝3(m 3)，此时长方体的长为2 m ，高为1.5 m. 故当长方体的长为2 m ，宽为1 m ，高为1.5 m 时，体积最大，最大体积为3 m 3. [一点通] 在求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合．用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点．1．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则高为________cm.解析：设该漏斗的高为x cm ，则底面半径为202－x 2 cm ，其体积为V ＝13πx (202－x 2)＝13π(400x －x 3)(0<x <20)，则V ′＝13π(400－3x 2)． 令V ′＝0，解得x 1＝2033，x 2＝－2033(舍去)．当0<x <2033时，V ′>0；当2033<x <20时，V ′<0， 所以当x ＝2033时，V 取得最大值．答案：20332．用长为90 cm ，宽为48 cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器．先在四角分别截掉一个大小相同的小正方形，然后把四边翻折90°，再焊接而成．问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？解：设容器的高为x cm ，容积为V (x ) cm 3，则V (x )＝x (90－2x )(48－2x )＝4x 3－276x 2＋4 320x (0<x <24)． 故V ′(x )＝12x 2－552x ＋4 320 ＝12(x －10)(x －36)．令V ′(x )＝0，得x ＝10，或x ＝36(舍去)． 当0<x <10时，V ′(x )>0，即V (x )为增函数； 当10<x <24时，V ′(x )<0，即V (x )为减函数．因此，在定义域(0,24)内，函数V (x )只有当x ＝10时取得最大值，其最大值为V (10)＝19 600(cm 3)．因此当容器的高为10 cm 时，容器的容积最大，最大容积为19 600 cm 3.[例2] 地形限制，长、宽都不能超过16 m ，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖)．(1) (2)污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价． [思路点拨]分析题意→写出函数关系式→写出定义域→对函数关系式求导→讨论单调性→求最值 [精解详析] (1)污水处理池长为x m ，则宽为200xm.据题意⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤16，0<200x ≤16，解得252≤x ≤16，y ＝⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2·200x ×400＋400x×248＋16 000＝800x ＋259 200x ＋16 000⎝ ⎛⎭⎪⎫252≤x ≤16， (2)由(1)知y ′＝800－259 200x2＝0， 解得x ＝18，当x ∈(0,18)时，函数y 为减函数； 当x ∈(18，＋∞)时，函数y 为增函数． 又∵252≤x ≤16，∴当x ＝16时，y min ＝45 000.∴当且仅当长为16 m 、宽为12.5 m 时， 总造价y 最低为45 000元．[一点通] (1)实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等都需要利用导数求解相应函数的最小值，此时根据f ′(x )＝0求出函数取极值的点(注意根据实际意义舍去不合适的函数取极值的点)，若函数在该点附近满足左减右增，则此时惟一的极小值就是所求函数的最小值．(2)在解题过程中很容易忽略关键词“无盖”，从而多求了一个底面积．实际问题中的用料最省问题一般都是要求几何体的表面积，但要注意实物的表面积往往会缺少一个底面或侧面等．3．做一个容积为256升的方底无盖水箱，它的高为________分米时最省材料． 解析：设水箱底面边长为x 分米，则高为256x 2分米，用料总面积S ＝x 2＋4·256x2·x ＝x2＋256×4x，S ′＝2x －256×4x2，令S ′＝0得x ＝8， 当0＜x ＜8时，S ′＜0，当x ＞8时，S ′＞0， 所以当x ＝8时，S 取得最小值，则高为4分米． 答案：44．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x )x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素．记余下工程的费用为y 万元．(1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？ 解：(1)设需新建n 个桥墩， 则(n ＋1)x ＝m ，即n ＝mx－1.所以y ＝f (x )＝256n ＋(n ＋1)(2＋x )x＝256⎝ ⎛⎭⎪⎫m x －1＋m x(2＋x )x＝256mx＋m x ＋2m －256.(2)由(1)知，f ′(x )＝－256m x 2＋12mx －12＝m 2x 2(x 32－512)． 令f ′(x )＝0，得x 32＝512，所以x ＝64.当0＜x ＜64时，f ′(x )＜0，f (x )在区间(0,64)内为减函数；当64＜x ＜640时，f ′(x )＞0，f (x )在区间(64,640)内为增函数． 所以f (x )在x ＝64处取得最小值．此时n ＝m x －1＝64064－1＝9.故需新建9个桥墩才能使y 最小．[例3] P (元/吨)之间的关系式为P ＝24 200－15x 2，且生产x 吨的成本为R ＝50 000＋200x (元)．问该工厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润＝收入－成本)[思路点拨] 根据利润与生产量以及价格之间的关系，建立满足题意的函数关系式，然后利用导数求解．[精解详析] 每月生产x 吨时的利润为f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫24 200－15x 2x －(50 000＋200x )＝－15x 3＋24 000x －50 000(x ≥0)．由f ′(x )＝－35x 2＋24 000＝0，解得x 1＝200，x 2＝－200(舍去)．因为f (x )在[0，＋∞)内只有一个点x ＝200使f ′(x )＝0，且0＜x ＜200时，f ′(x )＞0；x ＞200时，f ′(x )＜0；故x ＝200就是最大值点，且最大值为f (200)＝－15×2003＋24 000×200－50 000＝3 150 000(元)．所以每月生产200吨产品时，利润达到最大，最大利润为315万元．[一点通] 利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本”建立函数关系式，再利用导数求最大值．求解时要注意：①价格要大于成本，否则就会亏本；②销量要大于0，否则不会获利．5．某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件x 元出售，可卖出(200－x )件，当每件商品的定价为________元时，利润最大．解析：利润为S (x )＝(x －30)(200－x ) ＝－x 2＋230x －6 000(30≤x ≤200)，S ′(x )＝－2x ＋230，由S ′(x )＝0得x ＝115，当30≤x <115时，S ′(x )>0； 当115<x ≤200时，S ′(x )<0， 所以当x ＝115时利润最大． 答案：1156．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：kg)与销售价格x (单位：元/kg)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2.其中3＜x ＜6，a 为常数．已知销售价格为5元/kg 时，每日可售出该商品11千克．(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/kg ，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解：(1)因为x ＝5时，y ＝11， 所以a2＋10＝11，a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y ＝2x －3＋10(x －6)2. 所以商场每日销售该商品所获得的利润f (x )＝(x －3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋x －2＝2＋10(x －3)(x －6)2,3＜x ＜6.从而，f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)] ＝30(x －4)(x －6)．于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表可得，x ＝4是函数f (x )在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点． 所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.答：当销售价格为4元/kg 时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．1．解决实际生活问题的基本思路：实际问题 用函数表示的数学问题2．求实际问题中的最大(小)值，主要步骤如下：(1)抽象出实际问题的数学模型，列出变量之间的函数关系式y ＝f (x )； (2)求出函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；(3)比较函数在区间端点和使f ′(x )＝0的点处的取值大小，最大者为最大值，最小者为最小值．[对应课时跟踪训练(九)]一、填空题1．已知某生产厂家的年利润y (单元：万元)与年产量x (单位：万件)之间的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为________万件．解析：y ′＝－x 2＋81，令y ′＝0，得x ＝9(x ＝－9舍)，且经讨论知x ＝9是函数取极大值的点，所以厂家获得最大年利润的年产量是9万件．答案：92．用总长为14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架，若所制作容器的底面的一边比高长0.5 m ，则当高为________m 时，容器的容积最大．解析：设高为x 米，则V ＝x (x ＋0.5)⎝ ⎛⎭⎪⎫14.84－2x －0.5，令V ′＝－6x 2＋4.4x ＋1.6＝0，解得x ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＝－415舍去.答案：13.如图，将直径为d 的圆木锯成长方体横梁，横截面为矩形，横梁的强度同它的断面高的平方与宽x 的积成正比(强度系数为k ，k >0)．要将直径为d 的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽x 应为________．解析：设断面高为h ，则h 2＝d 2－x 2.设横梁的强度函数为f (x )，则f (x )＝kxh 2＝kx (d 2－x 2)，0<x <d .令f ′(x )＝k (d 2－3x 2)＝0，解得x ＝±33d (舍去负值)．当0<x <33d 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当33d <x <d 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减． 所以函数f (x )在定义域(0，d )内只有一个极大值点x ＝33d .所以x ＝33d 时，f (x )有最大值．答案：33d4.如图，已知一罐圆柱形红牛饮料的容积为250 mL ，则它的底面半径等于________时(用含有π的式子表示)，可使所用的材料最省．解析：设圆柱的高为h ，表面积为S ，容积为V ，底面半径为r ，则表面积S ＝2πrh ＋2πr 2，而V ＝250＝πr 2h ，得h ＝250πr 2，则S ＝2πr ·250πr 2＋2πr 2＝500r＋2πr 2，S ′＝－500r 2＋4πr ，令S ′＝0得r ＝53π2π，因为S 只有一个极值，所以当r ＝53π2π时，S 取得最小值，即此时所用的材料最省．答案：53π2π5.如图，内接于抛物线y ＝1－x 2的矩形ABCD ，其中A 、B 在抛物线上运动，C 、D 在x 轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．解析：设CD ＝x ，则点C 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x2，0. 点B 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22所以矩形ABCD 的面积S ＝f (x )＝x ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＝－x 34＋x (x ∈(0,2))．由f ′(x )＝－34x 2＋1＝0，得x 1＝－23(舍)，x 2＝23， 所以x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，23时，f ′(x )＞0，f (x )是递增的， x ∈⎝⎛⎭⎪⎫23，2时，f ′(x )＜0，f (x )是递减的，当x ＝23时，f (x )取最大值439.答案：439二、解答题6．某品牌电视生产厂家有A ，B 两种型号的电视机参加了家电下乡活动，若厂家对A ，B 两种型号的电视机的投放金额分别为p ，q 万元，农民购买电视机获得的补贴分别为110p ，25ln q 万元，已知A ，B 两种型号的电视机的投放总额为10万元，且A ，B 两种型号的电视机的投放金额均不低于1万元，请你制定一个投放方案，使得在这次活动中农民得到的补贴最多，并求出最大值．(精确到0.1，参考数据：ln 4≈1.4)解：设B 型号电视机的投放金额为x 万元(1≤x ≤9)，农民得到的补贴为y 万元，则A 型号的电视机的投放金额为(10－x )万元，由题意得y ＝110(10－x )＋25ln x ＝25ln x －110x ＋1,1≤x ≤9，∴y ′＝25x －110.令y ′＝0得x ＝4，由y ′>0得1≤x <4，由y ′<0得4<x ≤9， 故y 在[1,4)上单调递增，在(4,9]上单调递减，∴当x ＝4时，y 取得最大值，且y max ＝25 ln 4－110×4＋1≈1.2，这时，10－x ＝6.故厂家对A ，B 两种型号的电视机的投放金额分别为6万元和4万元时，农民得到的补贴最多，最多补贴约1.2万元．7．请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E ，F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE ＝FB ＝x (cm)．(1)若广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．解：设包装盒的高为h (cm)，底面边长为a (cm)． 由已知得a ＝2x ，h ＝60－2x2＝2(30－x )，0＜x ＜30.(1)S ＝4ah ＝8x (30－x )＝－8(x －15)2＋1 800， 所以当x ＝15时，S 取得最大值． (2)V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)，V ′＝62x (20－x )．由V ′＝0，得x ＝0(舍)或x ＝20.当x ∈(0,20)时，V ′＞0；当x ∈(20,30)时，V ′＜0. 所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值．此时h a ＝12.即包装盒的高与底面边长的比值为12.8．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (L)关于行驶速度x (km/h)的函数解析式可以表示为：y ＝1128 000x 3－380x ＋8(0＜x ≤120)．已知甲、乙两地相距100 km.(1)当汽车以40 km/h 的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少L? (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为多少L? 解：(1)当x ＝40 km/h 时，汽车从甲地到乙地行驶了10040＝2.5 h ，要耗油⎝⎛⎭⎪⎫1128 000×403－380×40＋8×2.5＝17.5(L)．∴当汽车以40 km/h 的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5 L.精品资料 值得拥有11 (2)设当速度为x km/h 时，汽车从甲地到乙地行驶了100xh ，耗油量为h (x )升，依题意得h (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1128 000x 3－380x ＋8·100x ＝11 280x 2＋800x －154(0＜x ≤120)， 则h ′(x )＝x 640－800x 2＝x 3－803640x 2(0＜x ≤120)． 令h ′(x )＝0，得x ＝80，当x ∈(0,80)时，h ′(x )＜0，h (x )是单调递减函数；当x ∈(80,120)时，h ′(x )＞0，h (x )是单调递增函数．∴当x ＝80时，h (x )取到极小值，h (80)＝11.25.∵h (x )在(0,120]上只有一个极值，且h (120)＝856>h (80)． ∴当x ＝80时函数取得最小值．∴当汽车以80 km/h 的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25 L.。