历年《高数1》考题选编

合集下载

北京 2023年历年真题考试：高等数学(一)历年真题汇编(共62题)

北京 2023年历年真题考试：高等数学（一）历年真题汇编（共62题）1、下列函数中在点x=0处导数不存在的是：（单选题）A. y=sinxB. y=tanxC. y=x1/3D. y=2x试题答案：C2、（单选题）A. AB. BC. CD. D试题答案：D3、微分方程sinxdx+cosydy=0的通解为：（单选题）A. cosy+sinx=CB. cosy-sinx=CC. siny+cosx=CD. siny-cosx=C试题答案：D4、函数y=2x+1的反函数是：（单选题）A. y=x/2+1/2B. y=x/2-1/2C. y=x/2+1D. y=x/2-1试题答案：B5、（单选题）A. AB. BC. CD. D试题答案：C6、函数的定义域是：（单选题）A. (-∞,-1]B. [1,+∞)C. [-1,1]D. (-∞,-1]U[1,+∞)试题答案：D7、下列函数中在点x=0处导数不存在的是：（单选题）A. y=sinxB. y=tanxC. y=x1/3D. y=2x试题答案：C8、当x→0时，下列变量中与tan(x2)等价的无穷小量是：（单选题）A. xB. 2xC. x2D. 2x2 试题答案：C9、下列函数中为奇函数的是：（单选题）A. (1+x²)/(1-x²)B. sin(x²)C. (ex-e-x)/2D. |x|试题答案：C10、（单选题）A. AB. BC. CD. D试题答案：D11、（单选题）A. AB. BC. CD. D试题答案：B12、微分方程2ydy-dx=0的通解为：（单选题）A.B.C. y²=-x+CD. y²=x+C试题答案：D13、设∫f(x)dx=sin2x+C,则f(0)=（单选题）A. 2B. 1/2C. -1/2D. -2试题答案：A14、设函数f(x,y)=y1nx+x2,则¶f/¶x|(2,-2)=（单选题）A. 0B. 1C. 2D. 3试题答案：D15、函数y=2x+1的反函数是：（单选题）A. y=x/2+1/2B. y=x/2-1/2C. y=x/2+1D. y=x/2-1试题答案：B16、设函数z=sin(2x+3y)，则全微分dz|(0,0)=（单选题）A. dx+dyB. 2dx+2dyC. 3dx+2dyD. 2dx+3dy试题答案：D17、（单选题）A. AB. BC. CD. D试题答案：B18、设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则下列等式正确的是: （单选题）A.B.C.D.试题答案：A19、设函数z=ln(x+y2), 则全微分dz=（单选题）A. 1/(x+y2) (dx+2ydy)B. 1/(x+y2) (2dx+dy)C. 1/(x+y2) (2xdx+dy)D. 1/(x+y2) (dx+2dy)试题答案：A20、设函数z=sin(2x+3y)，则全微分dz|(0,0)=（单选题）A. dx+dyB. 2dx+2dyC. 3dx+2dyD. 2dx+3dy试题答案：D21、设∫f(x)dx=sin2x+C,则f(0)=（单选题）A. 2B. 1/2C. -1/2D. -2试题答案：A22、不定积分∫(x2cosx)＇dx=（单选题）A. 2xcosx-x2sinx+C B. 2xcosx-x2sinx C. x2cosx+C D. x2cosx 试题答案：C23、下列各式中正确的是：（单选题）A.B.C.D.试题答案：D24、已知x=0是函数y=asinx＋1/3sin3x的驻点，则常数a=（单选题）A. -2B. -1C. 0D. 1试题答案：B25、设函数f(x)在区间[a,b]上可导，且f＇(x)<0,>0,则在[a,b]上:（单选题）A. f(x)>0B. f(x)<0C. f(x)=0D. f(x)的值有正有负试题答案：A26、方程x²+x-6=0的根是：（单选题）A. x=-2, x=3B. x=2, x=-3C. x=2, x=3D. x=-2, x=-3试题答案：B27、设函数f(x,y)=y1nx+x2,则¶f/¶x|(2,-2)=（单选题）A. 0B. 1C. 2D. 3试题答案：D28、（单选题）A. cos(ax²+b)B. cos(at²+b)C. sin(ax²+b)D. sin(at²+b)试题答案：C29、若f＇(x)=x1/2，则f(x)=（单选题）A. 2/3x2/3+CB. 3/2x2/3+CC. 2/3x3/2+CD. 3/2x3/2+C试题答案：C30、设函数f(x)=x2，g(x)=tanx，则当x→0时，（单选题）A. f(x)是比g(x)高阶的无穷小量B. f(x)是比g(x)低阶的无穷小量C. f(x)是比g(x)是同阶无穷小量，但不是等价无穷小量D. f(x)是比g(x)是等价无穷小量试题答案：A31、（单选题）A. AB. BC. CD. D试题答案：A32、若极限，则常数k=（单选题）A. 1B. 2C. 3D. 4试题答案：B33、设函数y=x2+e2x,则二阶导数y"=2+2e2x（单选题）A. 2+2e2xB. 2+4e2xC. 2x+2e2xD. 2x+4e2x试题答案：B34、设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则下列等式正确的是:（单选题）A.B.C.D.试题答案：A35、下列无穷限反常积分收敛的是:（单选题）A.B.C.D.试题答案：A36、某产品的成本函数C(Q)=20+2Q+1/2Q²，则Q=298时的边际成本为:（单选题）A. 100B. 200C. 300D. 400试题答案：C37、某产品的成本函数C(Q)=20+2Q+1/2Q²，则Q=298时的边际成本为:（单选题）A. 100B. 200C. 300D. 400试题答案：C38、方程x²+x-6=0的根是：（单选题）A. x=-2, x=3B. x=2, x=-3C. x=2, x=3D. x=-2, x=-3试题答案：B39、若曲线y=x-e x在点(x0,y0)处的切线斜率为0,则切点(x0,y0)是：（单选题）A. (1,1-e)B. (-1,-1-e-1) C. (0,1)D. (0,-1)试题答案：D40、函数y=2x2 -4x +1的单调增加区间是:（单选题）A. (-∞,-1]B. (-∞,1]C. [-1,+∞)D. [1,+∞)试题答案：D41、微分方程sinxdx+cosydy=0的通解为：（单选题）A. cosy+sinx=CB. cosy-sinx=CC. siny+cosx=CD. siny-cosx=C试题答案：D42、若f＇(x)=x1/2，则f(x)=（单选题）A. 2/3x2/3+CB. 3/2x2/3+CC. 2/3x3/2+CD. 3/2x3/2+C试题答案：C43、函数y=x5+1在定义域内：（单选题）A. 单调增加B. 单调减少C. 不增不减D. 有增有减试题答案：A44、（单选题）A. AB. BC. CD. D试题答案：C45、函数的定义域是：（单选题）A. (-∞,-1]B. [1,+∞)C. [-1,1]D. (-∞,-1]U[1,+∞)试题答案：D46、曲线y=xe x+1在点(0,1)处的切线方程为（单选题）A. y=1B. y=xC. y=x+1D. y=x-1试题答案：C47、函数y=2x2 -4x +1的单调增加区间是:（单选题）A. (-∞,-1]B. (-∞,1]C. [-1,+∞)D. [1,+∞)试题答案：D48、（单选题）A. cos(ax²+b)B. cos(at²+b)C. sin(ax²+b)D. sin(at²+b)试题答案：C49、函数y=(x-2)/(x2-3x+2)的间断点是:（单选题）A. x=1,x=-2B. x=-1,x=2C. x=-1,x=-2D. x=1,x=2试题答案：D50、极限=（单选题）A. 0B. 1C. eD. +∞试题答案：B51、曲线y=xe x+1在点(0,1)处的切线方程为（单选题）A. y=1B. y=xC. y=x+1D. y=x-1试题答案：C52、若曲线y=x-e x在点(x0,y0)处的切线斜率为0,则切点(x0,y0)是：（单选题）A. (1,1-e)B. (-1,-1-e-1) C. (0,1)D. (0,-1)试题答案：D53、设函数z=ln(x+y2), 则全微分dz=（单选题）A. 1/(x+y2) (dx+2ydy)B. 1/(x+y2) (2dx+dy)C. 1/(x+y2) (2xdx+dy)D. 1/(x+y2) (dx+2dy)试题答案：A54、下列函数中为奇函数的是：（单选题）A. (1+x²)/(1-x²)B. sin(x²)C. (ex-e-x)/2D. |x|试题答案：C55、函数y=x5+1在定义域内：（单选题）A. 单调增加B. 单调减少C. 不增不减D. 有增有减试题答案：A56、（单选题）A. AB. BC. CD. D试题答案：A57、设函数f(x)在区间[a,b]上可导，且f＇(x)<0,>0,则在[a,b]上:（单选题）A. f(x)>0B. f(x)<0C. f(x)=0D. f(x)的值有正有负试题答案：A58、下列各式中正确的是：（单选题）A.B.C.D.试题答案：D59、当x→0时，下列变量中与tan(x2)等价的无穷小量是：（单选题）A. xB. 2xC. x2D. 2x2 试题答案：C60、若极限，则常数k=（单选题）A. 1B. 2C. 3D. 4试题答案：B61、不定积分∫(x2cosx)＇dx=（单选题）A. 2xcosx-x2sinx+C B. 2xcosx-x2sinx C. x2cosx+C D. x2cosx 试题答案：C62、设函数f(x)=x2，g(x)=tanx，则当x→0时，（单选题）A. f(x)是比g(x)高阶的无穷小量B. f(x)是比g(x)低阶的无穷小量C. f(x)是比g(x)是同阶无穷小量，但不是等价无穷小量D. f(x)是比g(x)是等价无穷小量试题答案：A。

高等数学1教材试题及答案

高等数学1教材试题及答案一、选择题1. 下列函数中，是偶函数的是（）A. y = x^3 - 2xB. y = x^2 + 1C. y = sin(x)D. y = cos(x)答案：D2. 函数f(x) = x^2 - 3x + 2的图像在x轴上的截点为（）A. (1, 0)和(2, 0)B. (0, 1)和(0, 2)C. (-1, 0)和(2, 0)D. (1, 0)和(1, 2)答案：A3. 设函数f(x) = e^x，g(x) = ln(x)，则f[g(1)]的值为（）A. 0B. 1C. eD. -1答案：C二、填空题1. 设函数f(x) = sin^2(x) + cos^2(x)，则f(π/4)的值为______。

答案：12. 设函数y = ln(1 + e^x)，则其反函数为______。

答案：y = ln(e^x - 1)三、计算题1. 求函数f(x) = 3x^2 - 4x + 1的导数f'(x)。

解答：f'(x) = 6x - 42. 求函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4的定积分∫[0, 1] f(x)dx。

解答：∫[0, 1] f(x)dx = [x^4/2 - x^3 + 4x] |[0, 1]= (1/2 - 1 + 4) - (0/2 - 0 + 0)= 3.5四、应用题1. 一个圆的半径逐渐增长，当半径为r时，其面积为A。

求圆的面积A与半径r之间的函数关系。

解答：圆的面积公式为A = πr^2，其中π为常数。

所以，A与r之间的函数关系为A = πr^2。

2. 一座塔高380米，顶部和底部之间的水平距离为500米。

求参观塔顶时的斜率。

解答：设塔底部的位置为点A(0, 0)，塔顶部的位置为点B(500, 380)。

斜率可以通过点A和点B的坐标计算。

斜率 = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (380 - 0) / (500 - 0) = 38/50 = 0.76答案：0.76综上所述，我提供了一些高等数学1教材试题及答案。

考研数学一(高等数学)历年真题试卷汇编15(题后含答案及解析)

考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编15(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(14年)下列曲线中有渐近线的是A．y=x+sinxB．y=x2+sinxC．D．正确答案：C解析：知识模块：高等数学2．(14年)设函数f(x)具有2阶导数，g(x)=f(0)(1一x)+f(1)x，则在区间[0，1]上A．当f’(x)≥0时，f(x)≥g(x)B．当f’(x)≥0时，f(x)≤g(x)C．当f”(x)≥0时，f(x)≥g(x)D．当f”(x)≥0时，f(x)≤g(x)正确答案：D解析：由于g(0)=f(0)，g(1)=f(1)，则直线y=f(0)(1一x)+f(1)x过点(x，f(0))和(1，f(1))，当f”(x)≥0时，曲线y=f(x)在区间[0，1]上是凹的，曲线y=f(x)应位于过两个端点(0，f(0))和(1，f(1))的弦y=f(0)(1一x)+f(1)x的下方，即f(x)≤g(x)故(D)．知识模块：高等数学3．(15年)设函数f(x)在(一∞，+∞)内连续，其2阶导函数f”(x)的图形如右图所示，则曲线y=f(x)的拐点个数为A．0．B．1．C．2．D．3．正确答案：C解析：由右图知f”(x1)=f”(x2)=0，f”(0)不存在，其余点上二阶导数f”(x) 存在且非零，则曲线y=f(x)最多三个拐点，但在x=x1两侧的二阶导数不变号．因此不是拐点．而在x=0和x=x2两侧的二阶导数变号，则曲线y=f(x)有两个拐点，故(C)．知识模块：高等数学4．(16年)已知函数f(x)=，n=1，2，…，则A．x=0是f(x)的第一类间断点．B．x=0是f(x)的第二类间断点．C．f(x)在x=0处连续但不可导．D．f(x)在x=0处可导．正确答案：D解析：f-’(0)=1，由夹逼原理知即f+’(0)=1．故f(x)在x=0处可导，(D)．知识模块：高等数学5．(87年)求正的常数a与b，使等式正确答案：洛必达法则知由于上式右端分子极限为零，而原式极限为1，则b=1．从而有则a=4．涉及知识点：高等数学6．(87年)设f(x)为已知连续函数，I=f(x)dx，其中s＞0，t＞0．则I的值A．依赖于s和t．B．依赖于s，t，x．C．依赖于t和x，不依赖于5．D．依赖于s，不依赖于t．正确答案：D解析：由此可见，I的值只与s有关，所以(D)．知识模块：高等数学7．(90年)设f(x)是连续函数，且F(x)=，则F’(x)等于A．一e-xf(e-x)一f(x)B．一e-xf(e-x)+f(x)C．e-xf(e-x)一f(x)D．e-xf(e-x)+f(x)正确答案：A解析：由F(x)=可知F’(x)=一e-xf(e-x)一f(x)故(A)．知识模块：高等数学8．(93年)设f(x)=∫0sinxsint2dt，g(x)=x3+x4，则当x→0时，f(x)是g(x)的A．等价无穷小．B．同阶但非等价的无穷小．C．高阶无穷小．D．低阶无穷小．正确答案：B解析：所以，当x→0时，f(x)与g(x)是同阶但非等价的无穷小．知识模块：高等数学9．(93年)双纽线(x2+y2)2=x2一y2所围成的区域面积可用定积分表示为A．B．C．D．正确答案：A解析：设双纽线在第一象限围成的面积为S1，则所求面积为所以(A)．知识模块：高等数学10．(94年)设M=则有A．N＜P＜M．B．M＜P＜N．C．N＜M＜P．D．P＜M＜N．正确答案：D解析：由被积函数的奇偶性可知M=0因此P＜M＜N，故(D)．知识模块：高等数学11．(96年)设f(x)有连续导数，f(0)=0，f’(0)≠0，F(x)=∫0x(x2一t2)f(t)dt，且当x→0时，F’(x)与xk是同阶无穷小，则k等于A．1．B．2．C．3．D．4．正确答案：C解析：F(x)=x2∫0xf(t)dt—∫0xt2f(t)dtF’(x)=2x[f(t)dt+x2f(x)一x2f(x)=2x∫0xf(t)dt由于=f’(0)≠0，而上式右端极限存在且为非零常数，则k=3，所以(C)．知识模块：高等数学填空题12．(14年)设f(x)是周期为4的可导奇函数，且f’(x)=2(x—1)，x∈[0，2]，则f(7)=________．正确答案：1解析：由f’(x)=2(x一1)，x∈[0，2]知，f(x)=(x一1)2+C．又f(x)为奇函数，则f(0)=0，C=一1．f(x)=(x一1)2一1．由于f(x)以4为周期，则f(7)=f[8+(一1)]=f(一1)=一f(1)=1 知识模块：高等数学13．(16年)设函数f(x)=arctanx一且f’”(0)=1，则a=_____．正确答案：解析：知识模块：高等数学14．(87年)由曲线y=lnx与两直线y=(e+1)一x及y=0所围成的平面图形的面积是_______．正确答案：解析：令lnx=0，得x=1；令e+1一x=0，得x=e+1；令lnx=e+1一x，得x=e．则所求面积为S=∫1elnxdx+∫ee+1(e+1-xdx= 知识模块：高等数学15．(88年)设f(x)是连续函数，且f(t)dt=x，则f(7)=________．正确答案：解析：等式f(t)dt=x两边对x求导，得3x2f(x3一1)=1．令x=2，得知识模块：高等数学16．(89年)设f(x)是连续函数，且f(x)=x+2∫01f(t)dt，则f(x)=_______．正确答案：x一1．解析：令∫01f(t)dt=a，则f(x)=x+2a．将f(x)=x+2a代入∫01f(t)dt=a，得∫01(t+2a)dt=a，即则f(x)=x一1 知识模块：高等数学17．(93年)函数F(x)=的单调减少区间为_______．正确答案：解析：则F(x)单调减少区间为知识模块：高等数学18．(95年)正确答案：解析：所以知识模块：高等数学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

高等数学一试题及答案

高等数学一试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列函数中，不是周期函数的是：A. y = sin xB. y = cos xC. y = tan xD. y = e^x2. 函数f(x) = x^2 + 2x + 3的导数是：A. 2x + 2B. 2x + 4C. 2x + 1D. 2x + 33. 若f(x) = 2x - 3，求f(5)的值是：A. 7B. 4B. 1D. 24. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值是：A. 0B. 1C. 2D. 不存在5. 以下哪个选项是微分方程dy/dx = 3x^2 + 2的解：A. y = x^3 + 2xB. y = x^3 + 2x + 1C. y = x^3 + 3x + 2D. y = x^3 + 2x^26. 曲线y = x^3 - 6x^2 + 9x的拐点是：A. (1, 4)B. (2, 4)C. (3, 0)D. (0, 0)7. 若函数f(x)在区间(a, b)内连续，则下列说法正确的是：A. f(x)在(a, b)内必有最大值和最小值B. f(x)在(a, b)内必有零点C. f(x)在(a, b)内不一定有最大值和最小值D. f(x)在(a, b)内一定有零点8. 以下哪个选项是函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x的极值点：A. x = 0B. x = 1C. x = 2D. x = 39. 曲线y = x^2与直线y = 4x在第一象限的交点坐标是：A. (0, 0)B. (2, 8)C. (4, 16)D. (1, 4)10. 以下哪个选项是函数f(x) = ln(x)的泰勒展开式：A. x - 1 + 1/2x^2 - 1/3x^3 + ...B. 1 - x + x^2 - x^3 + ...C. x + x^2/2 + x^3/3 + ...D. x - x^2 + x^3 - x^4 + ...二、填空题（每题2分，共20分）1. 函数f(x) = ________ 在x = 2处取得极小值。

高数1试题及答案

高数1试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 若函数f(x)在点x=a处可导，则下列说法正确的是：A. f(x)在x=a处连续B. f(x)在x=a处不可导C. f(x)在x=a处不一定连续D. f(x)在x=a处不可微答案：A2. 函数f(x)=x^2+1在区间[0,1]上的最大值为：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C3. 极限lim(x→0)(sinx/x)的值为：A. 0B. 1C. -1D. ∞答案：B4. 函数f(x)=x^3-3x^2+2在x=1处的导数为：A. 0B. 1C. -2D. 2答案：D5. 已知函数f(x)=x^2-4x+c，若f(x)的图像与x轴有交点，则c的取值范围为：A. c>0B. c<0C. c≥0D. c≤0答案：C二、填空题（每题4分，共20分）6. 函数f(x)=2x-1在x=2处的值为______。

答案：37. 若函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6，则f'(x)=______。

答案：3x^2-12x+118. 函数y=x^3-3x^2+4x+1的极值点为______。

答案：19. 极限lim(x→∞)(1/x)=______。

答案：010. 函数f(x)=x^2+2x+1在区间[-1,1]上的最大值为______。

答案：4三、解答题（每题10分，共60分）11. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点。

答案：首先求导数f'(x)=3x^2-12x+11，令f'(x)=0，解得x=1或x=11/3。

检查二阶导数f''(x)=6x-12，发现f''(1)>0，f''(11/3)<0，因此x=1为极小值点，x=11/3为极大值点。

12. 求极限lim(x→0)[(x^2+1)/(x^2+x+1)]。

答案：利用洛必达法则，分子分母同时求导，得到lim(x→0)[(2x)/(x+1)]，计算得极限值为2。

考研数学一(高等数学)历年真题试卷汇编24(题后含答案及解析)

考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编24(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(89年)设线性无关的函数y1，y2，y3都是二阶非齐次线性方程y”+p(x)y’+q(x)y=f(x)的解，c1，c2是任意常数，则该非齐次方程的通解是A．c1y1+c2y2+y3B．c1y1+c2y2一(c1+c2)y3C．c1y1+c2y2一(1一c1一c2)y3D．c1y1+c2y2+(1一c1一c2)y3正确答案：D解析：由于(D)中的y=C1y1+C2y2+(1一C1一C2)y3=C1(y1—y3)+C2(y2—y3)+y3其中y1一y3和y2一y3是对应的齐次方程的两个解，且y1一y3与y2—y3线性无关．事实上，若令A(y1一y3)+B(y2—y3)=0即Ay1+By2一(A+B)y3=0由于y1，y2，y3线性无关，则A=0，B=0，一(A+B)=0.因此y1—y3与y2一y3线性无关，故y=C1y1+C2y2+(1一C1一C2)y3是原方程通解．知识模块：高等数学2．(91年)若连续函数f(x)满足关系式f(x)=+ln2，则f(x)等于A．exln2B．e2xln2C．ex+ln2D．e2x+ln2正确答案：B解析：等式f(x)=+ln2两边求导得f’(x)=2f(x)解此方程得f(x)=Ce2x由原方程可知f(0)=ln2，代入f(x)=Ce2x得C=ln2．故f(x)=e2xln2 知识模块：高等数学3．(93年)设曲线积分∫L[f(x)一ex]sinydx-f(x)cosydy与路径无关，其中f(x)具有一阶连续导数，且f(0)=0，则f(x)等于A．B．C．D．正确答案：B解析：f’(x)+f(x)=ex 知识模块：高等数学4．(98年)已知函数y=y(x)在任意点x处的增量．且当△x→0时，α是△x 的高阶无穷小，y(0)=π，则y(1)等于A．2πB．πC．D．正确答案：D解析：由于，且当△x→0时，α是△x的高阶无穷小，由微分的定义可知两边积分得ln|y|=arctanx+C1，y=Cearetanx由y(0)=π知，C=π，于是知识模块：高等数学填空题5．(92年)微分方程y’+ytanx=cosx的通解为y=_________．正确答案：(x+c)cosx．解析：由线性方程通解公式得y=e-∫p(x)dx[∫Q(x)e∫p(x)dxdx+C]=e-∫tanxdx[∫cosx.e∫tanxdxdx+C]=cosx(x+C) 知识模块：高等数学6．(96年)微分方程y”一2y’+2y=ex的通解为_____．正确答案：y=ex(C1cosx+C2sinx+1)解析：特征方程为λ2一2λ+2=0，解得λ1,2=1±i，则齐次方程通解为y=ex(C1cosx+C2sinx)易观察出y=ex是非齐次方程的一个特解．则原方程通解为y=ex(C1cosx+C2sinx)+ex 知识模块：高等数学7．(99年)y”一4y=e2x的通解为y=________．正确答案：C1e-2x+C2e2x+解析：特征方程为λ2一4=0，则λ1=一2，λ2=2，从而齐次方程的解为由于λ=2为特征方程单根，则非齐次待定特解可设为y*=Axe2x代入原方程得故所求通解为知识模块：高等数学8．(00年)微分方程xy”+3y’=0的通解为_______．正确答案：解析：令y’=p，则y”=p’,代入原方程得知识模块：高等数学9．(01年)设y=ex(C1sinx+C2cosx)(C1，C2为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为________．正确答案：y”一2y’+2y=0．解析：所求方程的特征根为λ1,2=1+i则其特征方程为λ2一2λ+2=0故所求方程为y”一2y’+2y=0 知识模块：高等数学10．(02年)微分方程yy”+y’2=0满足初始条件的特解是_______．正确答案：y2=x+1或解析：知识模块：高等数学11．(04年)欧拉方程(x＞0)的通解为______．正确答案：解析：令x=et 代入原方程所得新方程的特征方程为ρ(ρ一1)+4ρ+2=0 解得ρ1=1，ρ2=一2则新方程通解为y=C1e-t+C2e-2t，将x=et代入得原方程通解为知识模块：高等数学12．(05年)微分方程xy’+2y=xlnx满足y(1)=的解为______．正确答案：解析：方程xy’+2y=xlnx是一阶线性方程，方程两端同除以x得：则通解为知识模块：高等数学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

高数一试题与答案解析

高数一试题(卷)与答案解析(总14页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--《高等数学(一) 》复习资料一、选择题1. 若23lim 53x x x k x →-+=-，则k =（） A. 3- B.4- C.5- D.6-2. 若21lim 21x x k x →-=-，则k =（） A. 1 B.2 C.3 D.43. 曲线3sin 1x y e x =-+在点（0，2）处的切线方程为( )A.22y x =+B.22y x =-+C.23y x =+D.23y x =-+4. 曲线3sin 1x y e x =-+在点（0，2）处的法线方程为( ) A.122y x =+ B.122y x =-+ C.132y x =+ D.132y x =-+ 5. 211lim sin x x x →-=( ) A.0 B.3 C.4 D.56.设函数0()(1)(2)xf x t t dt =+-⎰，则(3)f '=（） A 1 B 2 C 3 D 47. 求函数43242y x x =-+的拐点有（）个。

A 1B 2C 4D 08. 当x →∞时，下列函数中有极限的是（）。

A. sin xB.1x e C. 211x x +- D. arctan x 9.已知'(3)=2f ，0(3)(3)lim 2h f h f h→--=( ) 。

A. 32 B. 32- C. 1 D. -1 10. 设42()=35f x x x -+,则(0)f 为()f x 在区间[2,2]-上的（）。

A. 极小值B. 极大值C. 最小值D. 最大值11. 设函数()f x 在[1,2]上可导，且'()0,(1)0,(2)0,f x f f <><则()f x 在(1,2)内( )A.至少有两个零点B. 有且只有一个零点C. 没有零点D. 零点个数不能确定12. [()'()]f x xf x dx +=⎰( ).A.()f x C +B. '()f x C +C. ()xf x C +D. 2()f x C +13. 已知22(ln )y f x =，则y '=( C ) 2222(ln )(ln )f x f x x '. 24(ln )f x x ' C. 224(ln )(ln )f x f x x ' D. 222(ln )()f x f x x ' 14. ()d f x ⎰=( B)A.'()f x C +B.()f xC.()f x 'D.()f x C + 15. 2ln x dx x=⎰( D ) A.2ln x x C + B.ln x C x + C.2ln x C + D.()2ln x C + 16. 211lim ln x x x→-=( ) A.2 B.3 C.4 D.517. 设函数0()(1)(2)xf x t t dt =-+⎰，则(2)f '-=（） A 1 B 0 C 2- D 218. 曲线3y x =的拐点坐标是( )A.(0,0)B.( 1,1)C.(2,2)D.(3,3)19. 已知(ln )y f x =，则y '=( A ) A.(ln )f x x ' B.(ln )f x ' C.(ln )f x D.(ln )f x x20. ()d df x =⎰( A)A.()df xB.()f xC.()df x 'D.()f x C +21. ln xdx =⎰( A )A.ln x x x C -+B.ln x x C -+C.ln x x - D.ln x二、求积分（每题8分，共80分）1．求cos ⎰．2. 求．3. 求arctan xdx ⎰．4. 求⎰5. 求2356x dx x x +-+⎰．6. 求定积分80⎰7. 计算20cos x xdx π⎰．8. 求2128dx x x +-⎰．9. 求11. 求2212x xe dx -⎰12. 求3x ⎰13. 求21ln e xdx x ⎰14.求⎰三、解答题1.若(1lim 36x x →∞=,求a 2.讨论函数321()2333f x x x x =-+-的单调性并求其单调区间3. 求函数22()2x x f x x --=-的间断点并确定其类型 4. 设2sin ,.xy xy x e y '+=求5.求y =的导数． 6. 求由方程cos sin x a t y b t =⎧⎨=⎩确定的导数x y '. 7. 函数1,0()1,0tan ,0x e x f x x x x ⎧<⎪⎪==⎨⎪>⎪⎩在0x =处是否连续？8. 函数1,0()1,0tan ,0x e x f x x x x ⎧<⎪⎪==⎨⎪>⎪⎩在0x =处是否可导？9. 求抛物线2y x =与直线y x =所围成图形D 的面积A .10. 计算由抛物线22y x =与直线4y x =-围成的图形D 的面积A .11. 设y 是由方程sin y y y xe =+确定的函数，求y '12.求证： ln 1,1x x x <->13. 设y 是由方程1y y xe =+确定的函数，求y '14. 讨论函数32()29123f x x x x =-+-的单调性并求其单调区间15.求证： 21,x e x >-16. 求函数3(1)()x x f x x x -=-的间断点并确定其类型五、解方程1. 求方程0)(22=-+dy xy x dx y 的通解.2.求方程20yy y '''+=的通解.3. 求方程22y y y x '''-+=的一个特解.4. 求方程3595x y y y xe -'''-+=的通解.高数一复习资料参考答案一、选择题1-5： DABAA6-10：DBCDD11-15： BCCBD16-21：ABAAAA二、求积分1．求cos ⎰．解：322cos (sin )sin 3x x C C ==+=⎰2. 求dx x⎰．解：13(43ln )(ln )x d x x=+⎰⎰131(43ln )(43ln )3x d x =+⋅+⎰ 431(43ln )4x C =++． 3. 求arctan xdx ⎰．解：设arctan u x =，dv dx =，即v x =，则arctan arctan (arctan )xdx x x xd x =-⎰⎰2arctan 1x x x dx x =-+⎰21arctan ln(1)2x x x C =-++． 4.求⎰解：32222e 33e 3e 3e 23e 6e t t t t t t x t t dt t dt t tdt t t dt ===-⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰223e 6e 6e 3e 6e 6e t t t t t t t t dt t t C =-+=-++⎰2)C =+．5. 求2356x dx x x +-+⎰．解：由上述可知23565623x x x x x +-=+-+--，所以 2356()5623x dx dx x x x x +-=+-+--⎰⎰115623dx dx x x =-+--⎰⎰5ln 26ln 3x x C =--+-+．6.求定积分80⎰t =，即3x t =，则23dx t dt =，且当0x =时，0t =；当8x =时，2t =，于是28222000313ln(1)3ln312t dt t t t t ⎡⎤==-++=⎢⎥+⎣⎦⎰⎰．7. 计算20cos x xdx π⎰．解：令2u x =，cos dv xdx =，则2du xdx =，sin v x =，于是 22200000cos sin (sin )2sin 2sin x xdx x d x x x x xdx x xdx πππππ==-=-⎰⎰⎰⎰．再用分部积分公式，得20000cos 2cos 2(cos )cos x xdx xd x x x xdx ππππ⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 002(cos )sin 2x x x πππ⎡⎤=-=-⎣⎦．8. 求2128dx x x +-⎰．解：221113(1)(1)ln 28(1)963(1)x dx d x C x x x x -+=+=++-+-++⎰⎰ 12ln 64x C x-=++． 9. 求解：令u =32x u =-，23dx u du =，从而有22311311u u du du u u -+==++⎰⎰ 213(1)3(ln 1)12u u du u u C u =-+=-++++⎰ 11. 求2212x xe dx -⎰ 解：2222222411112x x x xe dx e dx e e e -----===-⎰⎰12. 求3x ⎰解：333223(3)(3)3xx x C =--=--+⎰13. 求21ln ex dx x⎰ 解：22111ln 111ln (ln )ln ln 333e e e x dx xd x x e x ====⎰⎰ 14.求⎰解：3322222121(3)(3)(3)233x x C x C =--=-⋅-+=--+⎰三、解答题1.若(1lim 36x x →∞=,求a解：因为223x =，所以9a =否则极限不存在。

考研数学一(高等数学)历年真题试卷汇编18(题后含答案及解析)

考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编18(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(94年)二元函数f(x，y)在点(x0，y0)处两个偏导数fx’(x0，y0)，fy’(x0，y0)存在是f(x，y)在该点连续的A．充分条件而非必要条件．B．必要条件而非充分条件．C．充分必要条件．D．既非充分条件又非必要条件．正确答案：D解析：多元函数在一点上连续性与偏导数存在之间没有直接关系，即“连续”未必“偏导数存在”；“偏导数存在”亦未必“连续”．所以D．知识模块：高等数学2．(96年)已知为某函数的全微分，则a等于A．一1．B．0．C．1．D．2．正确答案：D解析：令由于Pdx+Qdy为某个函数的全微分，则即(a一2)x-ay=一2y，(a一2)x=(a一2)y仅当a=2时，上式恒成立．知识模块：高等数学3．(97年)二元函数f(x，y)=在点(0，0)处A．连续，偏导数存在．B．连续，偏导数不存在．C．不连续，偏导数存在．D．不连续，偏导数不存在．正确答案：C解析：令y=kx，则当k不同时，不存在，因而f(x，y)在(0，0)点处不连续，但根据偏导数的定义知同理可得fy’(0，0)=0由此可见，在点(0，0)处f(x，y)的偏导数存在．知识模块：高等数学4．(01年)设函数f(x，y)在点(0，0)附近有定义，且fx’(0，0)=3，fy’(0，0)=1，则A．dz|(0,0)=3dx+dy．B．曲面z=f(x，y)在点(0，0，f(0，0))的法向量为{3．1，1}．C．曲线在点(0，0，f(0，0))的切向量为{1，0，3}．D．曲线在点(0，0，f(0，0))的切向量为{3，0，1}．正确答案：C解析：则该曲线在(0，0，f(0，0))的切向量为{1，0，fx’(0，0)}={1，0，3} 知识模块：高等数学5．(02年)考虑二元函数的下面4条性质：①f(x，y)在点(x0，y0)处连续；②f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数连续；③f(x，y)在点(x0，y0)处可微；④f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数存在．若用表示可由性质P推出性质Q，则有A．B．C．D．正确答案：A解析：由于f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数连续是f(x，y)在点(x0，y0)处可微的充分条件，而f(x，y)在点(x0，y0)可微是f(x，y)在点(x0，y0)处连续的充分条件，故A．知识模块：高等数学6．(03年)已知函数f(x，y)在点(0，0)的某个邻域内连续，且则A．点(0，0)不是f(x，y)的极值点．B．点(0，0)是f(x，y)的极大值点．C．点(0，0)是f(x，y)的极小值点．D．根据所给条件无法判断点(0，0)是否为f(x，y)的极值点．正确答案：A解析：由f(x，y)在点(0，0)的连续性及知f(0，0)=0．则f(x，y)一xy+(x2+y2)2+α(x2+y2)2令y=x，得f(x，x)=x2+4x4+4αx4=x2+o(x2)令y=一x,得f(x，一x)=一x2+4x4+4αx4=一x2+o(x2)从而f(x，y)在(0，0)点的邻域内始终可正可负，又f(0，0)=0，由极值定义可知f(x，y)在(0，0)点没有极值，故(A)．知识模块：高等数学7．(05年)设函数u(x，y)=φ(x+y)+φ(x-y)+∫x-yx+yφ(t)dt，其中函数φ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有A．B．C．D．正确答案：B解析：令φ(x)=x2，ψ(x)≡0，则u(x，y)=(x+y)2+(x—y)2=2x2+2y2从而则(A)(C)(D)均不正确，故(B)．知识模块：高等数学8．(05年)设有三元方程xy—zlny+exx=1，根据隐函数存在定理，存在点(0，1，1)的一个邻域，在此邻域内该方程A．只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x，y)．B．可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x，z)和z=z(x，y)．C．可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y，z)和z=z(x，y)．D．可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y，z)和y=y(x，z)．正确答案：D解析：令F(x，y，z)=xy—zlny+exz一1显然，F(x，y，z)在点(0，1，1)的邻域内有连续一阶偏导数，且F(0，1，1)=0，Fx’(0，1，1)=2≠0，Fy’(0,1，1)=一1≠0，由隐函数存在定理知方程xy—zlny+exz=1可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y，z)和y=(x，z)，故(D)．知识模块：高等数学9．(06年)若f(x，y)与φ(x，y)均为可微函数，且φy’(x，y)≠0。

考研数学一(高等数学)历年真题试卷汇编25(题后含答案及解析)

考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编25(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(08年)在下列微分方程中，以y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是A．y”‘+y”一4y’一4y=0．B．y”‘+y”+4y’+4y=0．C．y”‘一y”一4y’+4y=0．D．y”‘一y”+4y’一4y=0．正确答案：D解析：由原题设知所求方程的特征方程的根为ρ1=1，ρ2，3=±2i则其特征方程为(ρ一1)(ρ2+4)=0，故所求方程应为y”‘一y”+4y’一4y=0故(D)．知识模块：高等数学2．(15年)设y=是二阶常系数非齐次线性微分方程y”+ay’+by=cex的一个特解，则A．a=一3，b=2，c=一1．B．a=3，b=2，c=一1．C．a=一3，b=2，c=1．D．a=3，b=2，c=1．正确答案：A解析：由是方程y”+ay’+by=cex的一个特解可知，y1=e2x，y2=ex是齐次方程的两个线性无关的解，y*=xex是非齐次方程的一个解．1和2是齐次方程的特征方程的两个根，特征方程为(ρ一1)(ρ一2)=0即ρ2—3ρ+2=0则a=一3，b=2将y=xex代入方程y”一3y’+2y=cex得c=一1．故(A)．知识模块：高等数学3．(16年)若y=(1+x2)2一是微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个解，则q(x)= A．3x(1+x2)．B．一3x(1+x2)．C．D．正确答案：A解析：利用线性微分方程解的性质与结构．由是微分程y’+p(x)y=q(x)的两个解，知y1=y2是y’+p(x)y=0的解．故(y1—y2)’+p(x)(y1一y2)=0，即从而得p(x)=又是微分方程y’+p(x)y=q(x)的解，代入方程，有[(1+x2)2]’+p(x)(1+x2)2=q(x)，解得q(x)=3x(1+x2)．因此(A)．知识模块：高等数学4．(96年)4阶行列式的值等于A．a1a2a3a4一b1b2b3b4B．a1a2a3a4+b1b2b3b4C．(a1a2-b1b2)(a3a4-b3b4)D．(a2a3一b2b3)(a1a4一b1b4)正确答案：D解析：按第1行展开所求行列式D4，得=(a2a3一b2b3)(a1a4一b1b4)．知识模块：线性代数5．(14年)行列式A．(ad—bc)2B．一(ad—bc)2C．a2d2一b2c2D．b2c2一a2d2正确答案：B解析：按第1列展开，得所求行列式D等于=一ad(ad一bc)+be(ad一bc)=一(ad一bc)2 知识模块：线性代数6．(87年)设A为n阶方阵，且A的行列式|A|=a≠0，而A*是A的伴随矩阵，则|A*|等于A．aB．C．an+1D．an正确答案：C解析：由AA*=|A|E两端取行列式，得|A||A*|=|A|n，因|A|=a≠0，得|A*|=|A|n-1=an-1．知识模块：线性代数7．(91年)设n阶方程A、B、C满足关系式ABC=E，其中E是n阶单位阵，则必有A．ACB=EB．CBA=EC．BAC=ED．BCA=E正确答案：D解析：因为ABC=E，即A(BC)=E，故方阵A与BC互为逆矩阵，从而有(BC)A=E，即BCA=E．知识模块：线性代数填空题8．(06年)微分方程的通解是______．正确答案：y=Cxe-x．解析：ln|y|=ln|x|—x=ln|x|+lne-x=ln|x|e-x则y=Cxe-x．知识模块：高等数学9．(07年)二阶常系数非齐次线性微分方程y”一4y’+3y=2e2x的通解为y=________．正确答案：y=C1e2+C2e3x一2e2x．解析：齐次方程特征方程为ρ2—4ρ+3=0解得ρ1=1，ρ2=3，则齐次方程通解为y=C1ex+C2e3x设非齐方程特解为代入原方程得A=一2，则原方程通解为y=C1ex+C2e3x一2e2x 知识模块：高等数学10．(08年)微分方程xy’+y=0满足条件y(1)=1的解是y=______．正确答案：解析：方程xy’+y=0是一个变量可分离方程，原方程可改写为知识模块：高等数学11．(09年)若二阶常系数线性齐次微分方程y”+ay’+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex，则非齐次方程y”+ay’+by=x满足条件y(0)=2，y’(0)=0的解为y=_______．正确答案：y=一xex+x+2．解析：由于y=(C1+C2x)ex是方程y”+ay’+by=0的通解，则该方程的两个特征根为λ1=λ2=1，故a=一2，b=1．设非齐次方程y”一2y’+y=x的特解为y’=Ax+B代入方程得A=1，B=2，则其通解为y=(C1+C2x)ex+x+2由y(0)=2，y’(0)=0得，C1=0，C2=一1．所以y=一xex+x+2 知识模块：高等数学12．(11年)微分方程y’+y=e-xcosx满足条件y(0)=0的解为y=______．正确答案：e-xsinx．解析：由一阶线性方程的通解公式得y=e-∫dx[∫e-xcosx.e∫dxdx+C]=e-x[∫cosxdx+C]=e-x[sinx+C]由y(0)=0知，C=0，则y=e-xsinx 知识模块：高等数学13．(12年)若函数f(x)满足方程f”(x)+f’(x)一2f(x)=0及f”(x)+f(x)=2ex，则f(x)=_______。

自考高数一历年试题及答案

自考高数一历年试题及答案自考高等数学（一）历年试题及答案一、选择题1. 下列函数中，不是周期函数的是（）。

A. y = sin(x)B. y = cos(x)C. y = e^xD. y = x^2答案：C2. 函数f(x) = x^3在区间（-1,2）上的最大值是（）。

A. 1B. 8C. -1D. 2答案：B3. 微分方程dy/dx - y = 0的通解是（）。

A. y = Ce^xB. y = Cxe^xC. y = CxD. y = e^x答案：A4. 若函数f(x) = 2x - 3在点x=1处的导数为1，则该函数在此处的切线斜率为______。

答案：15. 定积分∫₀¹ x² dx的值为______。

答案：1/3三、解答题6. 求函数f(x) = 3x² - 2x + 5的极值。

解答：首先求导数f'(x) = 6x - 2。

令f'(x) = 0，解得x = 1/3。

在x = 1/3处，f(x)取得极小值，计算得f(1/3) = 14/3。

7. 已知某工厂生产函数为Q = 2L²/3 + 3K，其中L为劳动投入，K为资本投入。

求劳动对产量的边际贡献。

解答：首先求产量对劳动的偏导数，即边际贡献。

对Q关于L求偏导得：dQ/dL = 4L/3。

这就是劳动对产量的边际贡献。

四、证明题8. 证明函数f(x) = x³ - 6x在区间（-2, 2）上是增函数。

证明：求导数f'(x) = 3x² - 6。

要证明f(x)在区间（-2, 2）上是增函数，需要证明f'(x)在该区间内恒大于0。

观察f'(x) = 3x² - 6，可以发现在x = ±√2时，f'(x) = 0。

在区间（-2, -√2）和（√2, 2）内，f'(x) > 0，而在区间（-√2, √2）内，f'(x) < 0。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

历年《高数１》考题选编一、选择题1、0x =是函数1()sinf x x x=的( ). A 、连续点 B 、可去间断点 C 、跳跃间断点 D 、第二类间断点 2、下列各极限均存在，则下列等式成立的是( ).A 、0000()()lim '()x f x f x x f x x ∆→-+∆=∆B 、0000()()lim '()x f x f x x f x x∆→--∆=∆C 、0000()()lim'()x f x x f x f x x ∆→-∆-=∆ D 、0000(2)()lim '()x f x x f x f x x ∆→+∆-=∆ 3、1cos dxx+⎰= ( ).A 、tan sec x x C -+B 、cot csc x xC --+C 、tan 2x C +D 、tan()24x C π-+4、对反常积分x e dx +∞-⎰敛散性的描述正确的是 ( ).A 、发散B 、收敛于0C 、收敛于1D 、收敛于1-5、设xe -是()f x 的一个原函数，则()xf x dx =⎰( )。

A 、(1)x e x c --+B 、(1)x e x c -++C 、(1)x e x c --+D 、(1)x e x c --++ 6．当0→x 时，x x sin -是2x 的（）.A ．等价无穷小B ．同阶但不等价的无穷小C ．高阶无穷小D ．低阶无穷小 7．设函数)(x f 在点1=x 处可导，且1)1()21(lim 0=∆-∆-→∆xf x f x ，则)1(f '等于( ) .A ．21 B ．21- C ．2 D ． 2- 8．若)()(x f x F ='，则⎰dx x f )(=（）.A. )(x FB. )(x fC. c x f +)(D. c x F +)(9．下列反常积分收敛的是（）. A.⎰∞+ex x dx2)(ln B. ⎰+∞ex x dx 21)(ln C.⎰∞+exx dxln D. ⎰∞+edx xxln 10．非齐次微分方程x e yy y -=+'+''23的一个特解*y 应设为（）.A ．xxe y -*= B ．xe Ax y -*=2 C ．xAe y -*= D ．xAxe y -*= 二、填空题1、设()(1)(2)()f x x x x x n =--- ，则'(0)_____f =.2、函数()ln(21)f x x =-在[1,2]内满足拉格朗日中值定理的________ξ=.3、函数233y x x =-的凹区间为_______4、函数2()x t ax e dt Φ=⎰，则'()________x Φ=.5、微分方程x y y e -'=通解是______________________________. 6．设x y arcsin =，则dy =_______ _ _ ___.7．若函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=001)(3x ax xe xf x 在0=x 处连续，则a = .8．函数x x y ln 22-=单调增加的区间是________ ____. 9．定积分31max(2,)x dx =⎰.10．微分方程0y y '+=的通解为 .11.设⎰=x dt t t x F 1sin )(，则____________)2(='πF 12、设)(x f 在0x 点可导，且0)(0=x f ，则02lim ()h hf x h→∞-=_____________. 13、如果01.0,1=∆=x x ，则=)(3x d _________________.14、曲线⎩⎨⎧==t b y ta x sin cos 在点)0,(a 处的曲率=K ________________.三、计算下列极限1.求3113lim()11x x x →---. 2.求tan 01lim xx x +→⎛⎫⎪⎝⎭ 3.求极限xx x 3sin )21ln(lim0+→4．求极限)arctan 2(lim x x x -+∞→π， 5、lim 1)x x →∞6.设()f x 在[)0,+∞内连续,且lim ()1x f x →+∞=,求函数0()xxt ee f t dt -⎰的导数及极限lim ()xx t x e e f t dt -→+∞⎰四、计算下列导数与微分1、由方程sin cos()0y x x y --=所确定的隐函数()y y x =的导数dy dx. 2、求函数ln (0)xy xx =>的导数dy dx.3.求参数方程32ttx e y e-⎧=⎨=⎩所确定的函数()y y x =的二阶导数22d ydx4.设y y e xe -=，求y ''5.已知函数)(x y y =由参数方程⎩⎨⎧-=+=t t y t x arctan )1ln(2所确定，求dx dy.6.设y =，求0x dy=.7.设函数21()1x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩在1=x 处可导，求b a ,的值.8.设ln(y x =+，求22d ydx.9.设()y y x =满足方程lnarctanyx=，求'y . 五、计算下列不定积分和定积分1.求22|sin |x x dx ππ-⎰. 2.求. 3.求220cos x e xdx π⎰.4.⎰xdx x sec tan 3, 5.dx x x ⎰-2)1ln(, 6.⎰+1041dx x x7.arcsind x ⎰. 8.求10x ⎰9.⎰六、解微分方程1.求微分方程：03'"=+y xy 的通解. 2.设连续函数)(x f 满足方程⎰+=x x dt t f x f 02)(2)(，求)(x f ．3.求微分方程200''|'|0yx x y e y y ==⎧=⎨==⎩的特解4.求微分方程2'(1)y x y x y =-++-的通解. 5.求微分方程x xy y x sin 22=+'的解. 6.求微分方程：082=-'-''y y y 的通解. 七、应用题1、设排水阴沟的横断面积一定，横断面的上部是半圆形，下部是矩形（矩形的宽等于圆的直径），问圆半径r 与矩形高h 之比为何值时，建沟所用材料（包括顶部、底部及侧壁）为最省.2、一物体按规律3x ct =做直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由0x =移至x a =时，克服介质阻力所做的功.3．一窗户下部为矩形，配以透明玻璃，上部为半圆形，其直径等于矩形的底，上部配以彩色玻璃，已知窗户周长为P ，彩色玻璃透光度（单位面积所透过的光线多少的一种度量）是透明玻璃的一半，求矩形底为多少时，该窗户透光量最大？4.设平面图形由x y ln =, 0=y 及曲线x y ln =过原点的切线所围成，求该图形的面积．5.求由抛物线y =与直线y x =所围成的平面图形的面积，并求这一平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.6.用铁皮制作一个容积为8立方米的有盖圆柱形桶，问桶底半径与桶高等于多少时，所用铁皮的面积最小？7．质量为m 千克的物体位于粗糙的平面上，须用力才把物体从原位置移动。

已知摩擦系数为33，问作用力对水平面的倾斜角为多大时，才能使所须的力量为最小？ 8.抛物线2x y = (第一象限部分)上求一点，使过该点的切线与直线8,0==x y 相交所围成的三角形的面积为最大.9、过平面上点)4,1(P 引一直线，要使它在两坐标轴上的截距都是正的，且它们的和为最小，求此直线方程. 八、证明题1.设函数()f x 有一阶连续导数，又(0)a a >为函数220()()'()xF x x t f t dt =-⎰的驻点.试证：在(0,)a 内至少有一点c ，使'()0f c =. 2.当20π<<x 时,证明331tan x x x +> 3. 当e x >时，证明不等式⎰⎰++>x e xedt tt dt t t1)1ln(ln .4、设)(),(x g x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且0)(,0)()(≠==x g b f a f ，试证：至少存在一个),(b a ∈ξ，使)()()()(ξξξξf g g f '='.5、设)(x f 在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且0)1(=f 。

证明至少存在一点()1,0∈ξ内使()()ξξξf f 2'-=。