江苏省通州高级中学届高三年级月考数学试卷必答题部分(试题与答案)

江苏省通州高级中学2008届高三年级12月考数学试卷必答题部分（试题与答案）（满分160分，答题时间120分钟）说明：本卷内容，所有考生均必须完成．一、填空题（每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的指定位置内） 1． 称焦距与短轴长相等的椭圆为“黄金椭圆”，则黄金椭圆的离心率为 ▲ ．2． 某校高二（1）、（2）班共100名同学，在分科选择中，一半同学（其中男生38人）选择了物理，另一半（其中男生15人）选择了历史．据此信息，可列出一张表．该表常被称为 ▲ ． 答案：2×2列联表．3． 从2008名学生中选取100名组成合唱团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2008人中剔除8人，剩下的2000人再按系统抽样的方法进行，则每人被剔除的概率为 ▲ ． 答案：1251． 4． 对于非零实数a ，b ，以下四个命题都成立：①01≠+aa ； ②2222)(b ab a b a ++=+； ③若||||b a =，则b a ±=； ④若ab a =2，则b a =．那么，对于非零复数a ，b ，仍然成立的命题的所有序号是 ▲ ． 答案：②④．5． 下面求1+4+7+10+…+2008的值的伪代码中，正整数m 的最大值为 ▲ ． 答案：2011．6． 幂函数y =x α，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图像是一族美丽的曲线（如图）．设点A （1，0），B （0，1），连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y =x α，y =x β的图像三等分，即有BM =MN =NA ．那么，αβ= ▲ ．答案：1．7． 设i ，j 分别是x 轴、y 轴正方向上的单位向量，且AB= 4i -2j ，AC=7i +4j ，AD =3i +6j ，则四边形ABCD 的面积是 ▲ ．答案：30．8． 设p ：x |x +1|=2x 2，q ：(x +1)2=4x 2，则p 是q 的 ▲ 条件．答案：既不充分又不必要9． 已知P 是棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1表面上的动点，且AP =点P 的轨迹的长度是 ▲ ． 答案：3π2． 10．旅游、溜冰、踢球三项活动中，我们班的同学每人至少喜欢一项．随机调查了19名男生，17名女生．其中只喜爱踢球的男生8名，只喜爱踢球的女生7名，喜爱溜冰的男生8名，喜爱旅游的男生5名，只喜爱旅游的男女生7名，只喜爱溜冰的男女生9名，喜爱旅游和溜冰的男生2名．则既喜爱旅游又喜爱溜冰的人有 ▲ 名． 答案：3．11．对于实数x ，若n ∈Z ，n ≤x ＜n +1，规定[x ]=n ，则不等式4[x ]2-40[x ]+75＜０的解集是 ▲ ． 答案：[3,8)．12．若对任意,(,)x A y B A B ∈∈⊆⊆R R 有唯一确定的f (x ，y )与之对应，则称f (x ，y )为关于x ，y 的二元函数．现定义满足下列性质的f (x ，y )为关于实数x ，y 的广义“距离”：（1）非负性：f (x ，y )≥0，当且仅当x y =时取等号； （2）对称性：f (x ，y )= f (y ，x )；（3）三角形不等式：(,)(,)(,)f x y f x z f z y +≤对任意的实数z 均成立．I ←1 S ←0While I ＜m S ←S +I I ←I +1 End while Print S End今给出三个二元函数，所有能够成为关于x ，y 的广义“距离”的序号是 ▲ ． ①(,)f x y x y =-；②2(,)()f x y x y =-；③(,)f x y = 答案：①．13．数列a 1，a 2，…，a n 为n 项正项数列，记∏n 为其前n为它的“叠加积”．如果有2007项的正项数列a 1，a 2，…，a 2007的“叠加积”为22008，则2008项的数列2， a 1，a 2，…，a 2007的“叠加积”为 ▲ ． 答案：22008．14．已知函数cos cos sin 2()cos 2x x x x f x x +++=+（x ∈[-8π，8π]）的最大值为M ，最小值为m ，则M +m = ▲ ． 答案：2．二、解答题（共6大题，满分90分．解答须写出必须的解题过程．） 15．（1）推导sin3α关于sin α的表达式；（2）求sin18°的值．解：（1）sin3α=sin(2α+α)=sin2αcos α+cos2αsin α=2sin αcos 2α+(1-2sin 2α)sin α=2sin α(1-sin 2α)+(1-2sin 2α)sin α=3sin α-4sin 3α ．（2）∵sin54°=cos36°， ∴3sin18°-4sin 318°=1-2sin18°．令t = sin18°，则上式可变形为3t -4t 3=1-2t 2，即 (t -1)(4t 2+2t -1)=0．解得t =（t = 1与t =．∴sin18°16． 如图，已知矩形ABCD 的一边AB 在x两个顶点C ，D 落在抛物线弧y = -x 2+2x (0上．设点C 的横坐标为x ．（1）将矩形ABCD 的面积S (x )表示为x 的函数； （2）求S (x )的最大值．解：因点C 的横坐标为x ，故C 的纵坐标为y = -x 2+2x ，B 的坐标(x ，0)，A (2-x ，0)． 矩形ABCD 的面积为()(22)S x x y =-2(22)(2)x x x =--+32264x x x =-+-（1＜x ＜2）．令 2()61240S x x x '=-+-= ， 得 1x =． 由于11x =-，故舍去，于是1x =． 当x ∈(1，2)时，()S x '的符号如下：所以，S (x )在1x =+处取得极大值，结合题意知这个极大值就是最大值．此时， S = 322(16(14(1-++-+ ． 17．如图是表示以AB =4，BC =3的矩形ABCD 为底面的长方体被一平面斜截所得的几何体，其中四边形EFGH 为截面．已知AE =5，BF =8，CG =12． （1）作出截面EFGH 与底面ABCD 的交线l ；（2）截面四边形EFGH 是否为菱形？并证明你的结论； （3）求DH 的长．解：（1）作HE 与DA 的交点P ，作GF 与CB 的交点Q ，连PQ 得直线l ，它便是所求作．（2）截面EFGH 为菱形．因平面ABFE ∥平面DCGH ，且平面EFGH 分别截平面ABFE 与平面DCGH 得直线EF 与GH ，故EF ∥GH ．同理，FG ∥EH ，故四边形EFGH 为平行四边形．ABC D EFGH又EF 2=AB 2+(BF -AE )2=25，FG 2=BC 2+(CG -BF )2=25，于是 EF =FG =5，故 四边形EFGH 为菱形．（3）由AE +CG =BF +DH ，得 DH =9．18．已知函数f (x )的定义域为(0,)+∞，且对任意的正实数x 、y 都有f (xy )=f (x )+f (y )，且当x ＞1时，f (x )＞0，f (4)=1． （1）求证：f (1)=0；（2）求：1()16f ；（3）解不等式：f (x )+f (x -3)≤1． 解：（1）令x =4，y =1，则f (4)=f (4×1)=f (4)+f (1)，f (1)=0．（2）f (16)=f (4×4)=f (4)+f (4)=2，f (1)=1(16)16f ⨯=1()16f +f (16)=0，1()16f = -2． （3）设x 1、x 2＞0，且x 1＞x 2，于是12()xf x ＞0，1112222()()()()x xf x f x f f x x x ==+ ＞2()f x ，∴f (x )为(0,)+∞上的增函数．又f (x )+f (x -3)=f [x (x -3)]≤1=f (4)， ∴0,30,(3)4x x x x ⎧⎪-⇒⎨⎪-⎩＞＞≤3＜x ≤4． 19．（本题满分20分）已知平面区域60,360,260x y x y x y -+⎧⎪--⎨⎪++⎩≥≤≥恰好被面积最小的圆C ：(x -a )2+(y -b )2=r 2及其内部所覆盖．设圆A ：x 2+y 2+20x +16y +160=0，动点P ，过P 作圆A 的切线PM ，PN ，其中M ，N 为切点，又过P 作圆C 的切线PS ，PT ，其中S ，T 为切点． （1）试求圆C 的方程；（2）试问是否存在点P ，使得它们同时满足条件：“①P 在直线l ：2x +y =11上；②P 的横、纵坐标均为整数；③MN ⊥ST ．”若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）方程为：(x -6)2+(y -2)2=100．（2）存在P （3，5）．20．已知数列{a n }，a 1=1，a n =113n n a --（n ≥2，n ∈N *）． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设33log ()27nn na S =，数列{b n }的前n 项和为S n ，求数列{b n }的通项公式；（3）求数列{|b n |}的前n 项和T n ．解：（1）由已知得，当n ≥2时，113n nn a a --=．∴13211221n n n n n a a a a a a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅⋅ =(1)1221(1)(2)123333133n n n n n n ----+-++⋅⋅⋅⋅⋅== ． （2）33log ()27n n n a S ==(1)22333(1)19log 92722n n nn n n nn ---=-=． b 1=S 1= -9；当n ≥2时，b n =f (n )-f (n -1)=n -10， 上式中，当n =1时，n -10= -9=b 1， ∴b n =n -10．（3）数列{b n }为首项为-9，公差为1的等差数列，且当n ≤10时，b n ≤0，故n≤10时，T n =|S n |2192n n -=．当n ＞10时，T n =|b 1|+|b 2|+|b 3|+…+|b n |= -b 1-b 2- … -b 10+b 11+…+b n=|b 1+b 2+b 3+b 4+…+b n |+2|b 1+b 2+…+b 10|=2191802n n -+．∴T n =2219,(10,*),219180,(10,*).2n n n n n n n n ⎧-∈⎪⎪⎨-+⎪∈⎪⎩N N ≤＞。