分段函数的几种常见题型及解法

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微专题20 分段函数问题(解析版)

微专题20 分段函数问题【题型归纳目录】题型一：函数三要素的应用题型二：函数性质与零点的应用题型三：分段函数的复合题型四：特殊分段函数的表示与应用【典型例题】题型一：函数三要素的应用例1．已知函数223,0()2,0x x x f x x x x ⎧+=⎨-<⎩，若f （a ）()2f a f --（1），则a 的取值范围是( )A ．[0，8]B ．[8，)+∞C ．(-∞，8]D ．[8-，8]【解析】解：f （1）4=，f ∴（a ）()8f a --，当0a =时，满足条件；0a >时，223[()2]6a a a a +--+-，整理得：8a ， (0a ∴∈，8]0a <时，222[()3]8a a a a ----，整理得：8a ， (,0)a ∴∈-∞综上可得：(a ∈-∞，8] 故选：C ．例2．已知函数22,0(),0x x e x x f x e x x -⎧+=⎨+<⎩，若()f a f -+（a ）2f （1），则a 的取值范围是( ) A ．(-∞，1][1，)+∞ B ．[0，1] C ．[1-，0] D ．[1-，1]【解析】解：22,0(),0x x e x x f x e x x -⎧+=⎨+<⎩， ()f x ∴为偶函数，()f a f -+（a ）2f （1）， 2f ∴（a ）2f （1）， f ∴（a ）f （1），当0x 时，函数()f x 为增函数， ||1a ∴，11a ∴-，故选：D ．例3．设函数22,0,(),0.x x x f x x x ⎧+<=⎨-⎩若(f f （a ）)2，则实数a 的取值范围是( )A ．[2-，)+∞B ．(-∞，2]-C ．(-∞2]D ．(2)+∞【解析】解：()y f x =的图象如图所示，(f f （a ）)2，f ∴（a ）2-，由函数图象可知2a ．故选：C ．变式1．当函数2,1()66,1x x f x x x x ⎧⎪=⎨+->⎪⎩取得最小值时，(x = ) A 6B ．26C 66 D ．266【解析】解：当1x 时，2()0f x x =；当1x >时，66()626266f x x x x x=+--=，当且仅当6x x=，即6x 时等号成立． 2660<，∴函数2,1()66,1x x f x x x x ⎧⎪=⎨+->⎪⎩取得最小值为266，对应的x 6．故选：A ．变式2．已知函数()1f x x =-+，0x <，()1f x x =-0x ，则不等式(1)(1)1x x f x +++的解集( )A ．{|21}x x-B ．{|12}x x +C ．{|12}x x <+D ．{|12}x x >【解析】解：当10x +<即1x <-时，不等式(1)(1)1x x f x +++同解于 (1)[(1)1]1x x x ++-++即21x -此时1x <-当10x +即1x -时，不等式(1)(1)1x x f x +++同解于 2210x x +-解得1221x --此时121x--总之，不等式的解集为{|21}x x -故选：A ．变式3．已知23,0()(),0x x f x g x x ⎧->=⎨<⎩为奇函数，则((1))f g -= ．【解析】解：根据题意，23,0()(),0x x f x g x x ⎧->=⎨<⎩为奇函数，则(1)(1)g f f -=-=-（1）(13)2=--=，则((1))f g f -=（2）431=-=-，故答案为：1．变式4．若函数3,0()(3),0log x x f x f x x >⎧=⎨+⎩，2()g x x =，则f （9）= ，[g f （3）]= ，1[()]9f f = ．【解析】解：3,0()(3),0log x x f x f x x >⎧=⎨+⎩，2()g x x =，f ∴（9）3log 92==，[g f （3）3](log 3)g g ==（1）211==， 311[()](log )(2)99f f f f f ==-=（1）3log 10==．故答案为：2；1；0变式5．已知函数10()1x x f x x x -+<⎧=⎨-⎩，则不等式(1)(1)1x x f x +++的解集是．【解析】解：由题意22&,1(1)(1)2&,1x x x x f x x x x ⎧-<-+++=⎨+-⎩当0x <时，有21x -恒成立，故得0x < 当0x 时，221x x +，解得2121x-，故得021x-综上得不等式(1)(1)1x x f x +++的解集是(21]-∞- 故答案为(-∞21]．变式6．设2,||1(),||1x x f x x x ⎧=⎨<⎩，()g x 是二次函数，若[()]f g x 的值域是[0，)+∞，则()g x 的值域是．【解析】解：在坐标系中作出函数()21111x x x f x x x ⎧-=⎨-<<⎩或的图象，观察图象可知，当纵坐标在[0，)+∞上时，横坐标在(-∞，1][0-，)+∞上变化， ()f x 的值域是(1,)-+∞，而(())f g x 的值域是[0，)+∞， ()g x 是二次函数()g x ∴的值域是[0，)+∞．故答案为：[0，)+∞．题型二：函数性质与零点的应用例4．已知函数7(13)10,7(),7x a x a x f x a x --+⎧=⎨>⎩是定义域(,)-∞+∞上的单调递减函数，则实数a 的取值范围是()A ．11(,)32B ．1(3，6]11C ．12[,)23D ．16(,]211【解析】解：若()f x 是定义域(,)-∞+∞上的单调递减函数，则满足77011307(13)101a a a a a -<<⎧⎪-<⎨⎪-+=⎩，即0113611a a a ⎧⎪<<⎪⎪>⎨⎪⎪⎪⎩，即16311a <，故选：B ．例5．已知函数6(13)10,6(),6x a x a x f x a x --+⎧=⎨>⎩是定义域(,)-∞+∞上的单调递减函数，则实数a 的取值范围是() A ．15(,)38B ．15(,]38C ．1(,1)3D ．16(,]311【解析】解：函数6(13)10,6(),6x a x a x f x a x --+⎧=⎨>⎩，()f x 是定义域(,)-∞+∞上的单调递减函数，则满足13001681a a a -<⎧⎪<<⎨⎪-⎩，解得1538a <，故选：B ．例6．函数21,0()(1),0axax x f x a e x ⎧+=⎨-<⎩在R 上单调，则a 的取值范围为( ) A ．(1,)+∞ B ．(1，2] C ．(,2)-∞ D ．(,0)-∞【解析】解：()f x 在R 上单调； ①若()f x 在R 上单调递增，则： 200101(1)a a a a e >⎧⎪>⎨⎪+-⎩； 12a ∴<；②若()f x 在R 上单调递减，则： 01a a <⎧⎨>⎩； a ∴∈∅；a ∴的取值范围为(1，2]．故选：B ．变式7．已知221,0()(1),0x x x f x f x x ⎧--+<=⎨-⎩，则()y f x x =-的零点有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】解：当0x 时，()(1)f x f x =-，()f x ∴在0x 的图象相当于在[1-，0)的图象重复出现是周期函数， [1x ∈-，0)时，22()21(1)2f x x x x =--+=-++对称轴为1x =-，顶点坐标为(1,2)-．画出函数()y f x =与y x =的图象如图：则()y f x x =-的零点有2个．故选：B ．变式8．已知定义在R +上的函数33103()13949log x x f x log x x x x ⎧-<⎪=-<⎨⎪>⎩，设a ，b ，c 为三个互不相同的实数，满足，f（a ）f =（b ）f =（c ），则abc 的取值范围为．【解析】解：作出()f x 的图象如图：当9x >时，由()40f x x ==，得16x =，若a ，b ，c 互不相等，不妨设a b c <<，因为f （a ）f =（b ）f =（c ），所以由图象可知039a b <<<<，916c <<，由f （a ）f =（b ），得331log log 1a b -=-，即33log log 2a b +=，即3log ()2ab =，则9ab =，所以9abc c =，因为916c <<，所以819144c <<，即81144abc <<，所以abc 的取值范围是(81,144)．故答案为：(81,144)．变式9．已知函数3||,03()13,3log x x f x x x <⎧⎪=⎨+>⎪⎩，设a ，b ，c 是三个互不相同的实数，满足f （a ）f =（b ）f=（c ），则abc 的取值范围为．【解析】解：作出函数3||,03()13,3log x x f x x x <⎧⎪=⎨+>⎪⎩的图象如图，不妨设a b c <<，则3423c <<+由f （a ）f =（b ），得33|log ||log |a b =，即33log log a b -=， 3log ()0ab ∴=，则1ab =，abc ∴的取值范围为(3,423)+．故答案为：(3,423)+．变式10．已知()f x 在R 上是奇函数，且当0x <时，2()f x x x =+，求函数()f x 的解析式．【解析】解：当0x >时，0x -<， 0x <时，2()f x x x =+，22()()()f x x x x x ∴-=-+-=-，又()f x 为奇函数，22()()()f x f x x x x x ∴=--=--=-+，∴当0x >时，2()f x x x =-+，又(0)0f =符合上式，综上得，22,0(),0x x x f x x x x ⎧-<=⎨-+⎩．变式11．已知函数()(0)h x x ≠为偶函数，且当0x >时，2,04()442,4x x h x x x ⎧-<⎪=⎨⎪->⎩，若()h t h >（2），求实数t 的取值范围．【解析】解：函数()(0)h x x ≠为偶函数，且当0x >时，2,04()442,4x x h x x x ⎧-<⎪=⎨⎪->⎩，当4x >时，()42h x x =-递减，且()4h x <-，当04x <时，2()4x h x =-递减，且()[4h x ∈-，0)，且0x >，()h x 连续，且为减函数， ()h t h >（2），可得(||)h t h >（2），即为||2t <，且0t ≠，解得22t -<<，且0t ≠，则t 的取值范围是(2-，0)(0⋃，2)．题型三：分段函数的复合例7．设函数,0(),0x e x f x lnx x ⎧=⎨>⎩，若对任意给定的(1,)a ∈+∞，都存在唯一的x R ∈，满足22(())2f f x ma m a =+，则正实数m 的最小值是( ) A ．12B ．1C ．32D ．2【解析】解：由已知条件知：2220ma m a +>，∴若0x ，则()0x f x e =>，(())0x f f x lne x ∴==，∴这种情况不存在，若01x <，则()0f x lnx =，(())1lnx f f x e x ∴==，1x >时，()0f x lnx =>，(())()f f x ln lnx R =∈，∴只有(())1f f x >，即2221ma m a +>时，对任意给定的(1,)a ∈+∞，都存在唯一的x R ∈，满足22(())2f f x ma m a =+，(1,)a ∈+∞，221m m ∴+，即2210m m +-，0m >，∴解得12m， ∴正实数m 的最小值是12．故选：A ．例8．已知函数12,1()2,1x xx f x x x --⎧⎪=⎨⎪<⎩，2()2g x x x =-，若关于x 的方程[()]f g x k =有四个不相等的实根，则实数(k ∈ ) A ．1(2，1)B ．1(4，1)C ．(0,1)D ．(1,1)-【解析】解：对于函数12,1()2,1x xx f x x x --⎧⎪=⎨⎪<⎩，当1x 时，()f x 单调递减且1()1f x -<；当1x <时，()f x 单调递增且0()1f x <<；故实数k 一定在区间(0,1)之间，若2()()g x k g x -=；则可化为22()21g x x x k=-=+；显然有两个不同的根，若()12g x k -=，则22()21log g x x x k =-=+；故△2444log 0k =++>；即14k >；综上所述，实数1(,1)4k ∈；故选：B ．例9．已知函数1|(1)|,1()21,1x ln x x f x x -->⎧=⎨+⎩，则方程3(())2[()]04f f x f x -+=的实根个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】解：设()f x t =，可得 3()2()04f t t -+=，分别作出()y f x =和322y x =+的图象，可得它们有两个交点，即方程3()2()04f t t -+=有两根，一根为10t =，另一个根为2(1,2)t ∈，由()0f x =，可得2x =；由2()f x t =，可得x 有3个解，综上可得方程3(())2[()]04f f x f x -+=的实根个数为4．故选：B ．变式12．（多选题）已知函数21,0()log ,0kx x f x x x +⎧=⎨>⎩下列是关于函数[()]1y f f x =+的零点的判断，其中正确的是( )A ．在(1,0)-内一定有零点B ．在(0,1)内一定有零点C ．当0k >时，有4个零点D ．当0k <时，有1个零点【解析】解：令[()]10f f x +=得，[()]1f f x =-，令()t f x =，则()1f t =-， ①当0k >时，作出函数()f x 的草图如下，由图象可知，此时()1f t =-的解满足101t <<，20t <，由1()f x t =可知，此时有两个解，由2()f x t =可知，此时有两个解，共4个解，即[()]1y f f x =+有4个零点； ②当0k <时，作出函数()f x 的草图如下，由图象可知，此时()1f t =-的解满足101t <<，由1()f x t =可知，此时有1个解，共1个解，即[()]1y f f x =+有1个零点；综上，选项BCD 正确．故选：BCD ．变式13．（多选题）设函数||,0()(1),0x lnx x f x e x x >⎧=⎨+⎩，若函数()()g x f x b =-有三个零点，则实数b 可取的值可能是( ) A ．0B ．13C ．12D ．1【解析】解：函数()()g x f x b =-有三个零点，则函数()()0g x f x b =-=，即()f x b =有三个根，当0x 时，()(1)x f x e x =+，则()(1)(2)x x x f x e x e e x '=++=+，由()0f x '<得20x +<，即2x <-，此时()f x 为减函数，由()0f x '>得20x +>，即20x -<<，此时()f x 为增函数，即当2x =-时，()f x 取得极小值21(2)f e -=-，作出()f x 的图象如图：要使()f x b =有三个根，则01b <，故选：BCD ．变式14．（多选题）已知定义域为R 的奇函数()f x 满足22,2()2322,02x f x x x x x ⎧>⎪=-⎨⎪-+<⎩，下列叙述正确的是()A ．存在实数k ，使关于x 的方程()f x kx =有7个不相等的实数根B ．当1211x x -<<<时，但有12()()f x f x >C ．若当(0x ∈，]a 时，()f x 的最小值为1，则5[1,]2a ∈D ．若关于x 的方程3()2f x =和()f x m =的所有实数根之和为零，则32m =-E ．对任意实数k ，方程()2f x kx -=都有解【解析】解：因为该函数为奇函数，所以，222,(2)2322,(20)()0,(0)22,(02)2,(2)23x x x x x f x x x x x x x ⎧<-⎪+⎪----<⎪⎪==⎨⎪-+<⎪⎪>⎪-⎩，该函数图象如下：对于A ；如图所示直线与该函数图象有7个交点，故A 正确；对于B ；当1211x x -<<<时，函数不是减函数，故B 错误；对于C ；直线1y =，与函数图象交于(1,1)，5(2，1，)，故当()f x 的最小值为1时，[1a ∈，5]2，故C 正确；对于D ；3()2f x =时，若使得其与()f x m =的所有零点之和为0，则32m =-，或317m =-，故D 错误；对于E ；当2k =-时，函数()f x 与2y kx =+没有交点．故E 错误．故选：AC ．变式15．（多选题）已知定义域为R 的奇函数()f x ，满足22,2()2322,02x f x x x x x ⎧>⎪=-⎨⎪-+<⎩，下列叙述正确的是( )A ．存在实数k ，使关于x 的方程()f x kx =有7个不相等的实数根B ．当1211x x -<<<时，恒有12()()f x f x >C ．若当(0x ∈，]a 时，()f x 的最小值为1，则5[1,]2a ∈D ．若关于x 的方程3()2f x =和()f x m =的所有实数根之和为零，则32m =- 【解析】解：函数()f x 是奇函数，∴若2x <-，则2x ->，则2()()23f x f x x -==---，则2()23f x x =+，2x <-．若20x -<，则02x <-，则2()22()f x x x f x -=++=-，即2()22f x x x =---，20x -<，当0x =，则(0)0f =．作出函数()f x 的图象如图：对于A ，联立222y kxy x x =⎧⎨=-+⎩，得2(2)20x k x -++=， △22(2)844k k k =+-=+-，存在1k <，使得△0>，∴存在实数k ，使关于x 的方程()f x kx =有7个不相等的实数根，故A 正确；对于B ，当1211x x -<<<时，函数()f x 不是单调函数，则12()()f x f x >不成立，故B 不正确；对于C ，当52x =时，52()152232f ==⨯-，则当(0x ∈，]a 时，()f x 的最小值为1，则[1a ∈，5]2，故C 正确；对于D ，函数()f x 是奇函数，若关于x 的两个方程3()2f x =与()f x m =所有根的和为0， ∴函数3()2f x =的根与()f x m =根关于原点对称，则32m =-，但0x >时，方程3()2f x =有3个根，设分别为1x ，2x ，3x ，且12302x x x <<<<，则有23232x =-，得136x =，即3136x =， 122x x +=，则三个根之和为1325266+=，若关于x 的两个方程3()2f x =与()f x m =所有根的和为0，则()f x m =的根为256-，此时25263()2561682()36m f =-==-=-⨯-+，故D 错误，故选：AC ．变式16．已知函数2,0,()1,0,x k x f x x x -+<⎧=⎨-⎩其中0k ．①若2k =，则()f x 的最小值为；②关于x 的函数(())y f f x =有两个不同零点，则实数k 的取值范围是．【解析】解：①若2k =，则22,0()1,0x x f x x x -+<⎧=⎨-⎩，作函数()f x 的图象如下图所示，显然，当0x =时，函数()f x 取得最小值，且最小值为(0)1f =-． ②令()m f x =，显然()0f m =有唯一解1m =，由题意，()1f x =有两个不同的零点，由图观察可知，1k <，又0k ，则实数k 的取值范围为01k <．故答案为：1-；[0，1)．题型四：特殊分段函数的表示与应用例10．对a ，b R ∈，记{max a ，()}()a ab b b a b ⎧=⎨<⎩，则函数(){|1|f x max x =+，2}()x x R ∈的最小值是( )A 35- B 35+ C 15+D 15-【解析】解：当2|1|x x +，即21x x +或21x x +-， 15152x-+时， (){|1|f x max x ∴=+，2}|1|1x x x =+=+，函数()f x 单调递减，1535()(min f x f --==，当15x -<(){|1|f x max x =+，22}x x =，函数()f x 单调递减，1535()(min f x f --=，当15x +2()f x x =，函数()f x 单调递增，1535()(min f x f ++== 综上所述：35()min f x -= 故选：A ．例11．已知符号函数1,0()0,01,0x sgn x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，1()()3x f x =，()()()g x f kx f x =-，其中1k >，则下列结果正确的是( )A ．(())()sgn g x sgn x =B ．(())()sgn gx sgn x =-C ．(())(())sgn g x sgn f x =D ．(())(())sgn g x sgn f x =-【解析】解：符号函数1,0()0,01,0x sgn x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，1()()3x f x =，11()()()()()33kx x g x f kx f x ∴=-=-，其中1k >，11(())[()()]33kx x sgn g x sgn ∴=-，当0x >时，kx x >，11()()033kx x -<，11(())[()()]133kx x sgn g x sgn =-=-，()1sgn x =；当0x =时，0kx x ==，11()()033kx x -=，(())0sgn g x =，()0sgn x =；当0x <时，kx x <，11()()033kx x ->，11(())[()()]133kx x sgn g x sgn =-=，()1sgn x =-．(())()sgn g x sgn x ∴=-．故选：B ．例12．定义全集U 的子集A 的特征函数1,()0,A x Af x x A ∈⎧=⎨∉⎩对于任意的集合A 、B U ⊂，下列说法错误的是()A ．若AB ⊆，则()()A B f x f x ，对于任意的x U ∈成立 B ．()()()A B A Bf x f x f x =+，对于任意的x U ∈成立 C ．()()()A B ABf x f x f x =，对于任意的x U ∈成立D ．若UA B =，则()()1A B f x f x +=，对于任意的x U ∈成立【解析】解：对于A ，因为A B ⊆，若x A ∈，则x B ∈，因为1,1,()0,0,A U x Ax A f x x A x A ∈∈⎧⎧==⎨⎨∈∉⎩⎩， 1,()0,B U x Bf x x B∈⎧=⎨∈⎩，而UA 中可能有B 中的元素，但UB 中不可能有A 中的元素，所以()()A B f x f x ，即对于任意的x U ∈，都有()()A B f x f x 成立，故选项A 正确；对于B ，因为1,()0,()ABU x A Bf x x A B ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，当某个元素x 在A 中且在B 中，由于它在AB 中，故()1ABf x =，而()1A f x =且()1B f x =，可得()()()A B A Bf x f x f x ≠+，故选项B 错误；对于C ，1,1,0,()0,()()ABU U U x A B x A Bf x A B x A B ⎧⎧∈∈⎪⎪==⎨⎨∈∈⎪⎪⎩⎩，1,1,1,()()0,0,0,()()A B U U U U x A x B x A Bf x f x x A x B x A B ⎧∈∈∈⎧⎧⎪⋅=⋅=⎨⎨⎨∈∈∈⎪⎩⎩⎩，故选项C 正确；对于D ，因为1,()0,U U A x Af x x A ∈⎧=⎨∈⎩，结合1,1,()0,0,A U x Ax A f x x A x A ∈∈⎧⎧==⎨⎨∈∉⎩⎩，所以()1()B A f x f x =-，即()()1A B f x f x +=，故选项D 正确．故选：B ．变式17．定义全集U 的子集A 的特征函数为1,()0,A U x Af x x C A ∈⎧=⎨∈⎩，这里UA 表示集合A 在全集U 中的补集，已A U ⊆，B U ⊆，给出以下结论中不正确的是( ) A ．若A B ⊆，则对于任意x U ∈，都有()()A B f x f x B ．对于任意x U ∈，都有()1()U C A A f x f x =-C ．对于任意x U ∈，都有()()()A B A Bf x f x f x =D ．对于任意x U ∈，都有()()()A B A Bf x f x f x =【解析】解：由题意，可得对于A ，因为A B ⊆，可得x A ∈则x B ∈，1,()0,A U x A f x x C A ∈⎧=⎨∈⎩，1,()0,B U x Bf x x C B ∈⎧=⎨∈⎩，而UA 中可能有B 的元素，但UB 中不可能有A 的元素()()A B f x f x ∴，即对于任意x U ∈，都有()()A B f x f x 故A 正确；对于B ，因为1,0,U U C A x C Af x A ∈⎧=⎨∈⎩，结合()A f x 的表达式，可得1()U C A A f f x =-，故B 正确；对于C ，1,1,()0,()0,()()A BU U U x A B x A Bf x x C A B x C A C B ⎧⎧∈∈⎪⎪==⎨⎨∈∈⎪⎪⎩⎩1,1,()()0,0,A B U U x Ax Bf x f x x C Ax C B ∈∈⎧⎧==⎨⎨∈∈⎩⎩，故C 正确；对于D ，1,()0,()ABU x A B f x x C AB ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩当某个元素x 在A 中但不在B 中，由于它在A B 中，故()1ABf x =，而()1A f x =且()0B f x =，可得()()()A B A Bf x f x f x ≠由此可得D 不正确．故选：D ．变式18．对a ，b R ∈，记,(,),a a bmax a b b a b ⎧=⎨<⎩，函数()(|1|f x max x =+，|2|)()x x R -∈的最小值是．【解析】解：由题意得， ()(|1|f x max x =+，|2|)x - 11,212,2x x x x ⎧+⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，故当12x =时，()f x 有最小值13()22f =，故答案为：32．变式19．对a ，b R ∈，记{max a ，,},a a b b b a b⎧=⎨<⎩，函数(){|1|f x max x =+，||}()x m x R -∈的最小值是32，则实数m 的值是．【解析】解：函数(){|1|f x max x =+，||}x m - |1|,|1|||||,|1|||x x x m x m x x m ++-⎧=⎨-+<-⎩，由()f x 的解析式可得，11()()22m m f x f x --+=-，即有()f x 的对称轴为12m x -=，则113()||222m m f -+==，解得2m =或4-，故答案为：2或4-．变式20．设函数[],0()(1),0x x x f x f x x -⎧=⎨+<⎩，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[ 1.2]2-=-，[1.2]1=，[1]1=，若直线10(0)x ky k -+=>与函数()y f x =的图象恰好有两个不同的交点，则k 的取值范围是．【解析】解：画出函数[],0()(1),0x x x f x f x x -⎧=⎨+<⎩和函数1()x g x k+=的图象，若直线1(0)ky x k =+>与函数()y f x = 的图象恰有两个不同的交点，结合图象可得：1PA PC k k k<， 112(1)3PA k ==--，111(1)2PC k ==--，故11132k <，求得23k <，故答案为：23k <．【过关测试】一、单选题1．（2022·辽宁·铁岭市清河高级中学高一阶段练习）若函数()22,14,1x t x f x tx x ⎧-+≤-=⎨+>-⎩在R 上是单调函数，则t的最大值为（） A ．32B ．53C ．74D ．95【答案】B【解析】当1x ≤-时，2()2f x x t =-+为增函数，所以当1x >-时，()4f x tx =+也为增函数，所以0124t t t >⎧⎨-+≤-+⎩，解得503t <≤.故t 的最大值为53，故选：B.2．（2022·云南师大附中高一期中）已知函数()()e e,1ln 21,1xx f x x x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩，若关于x 的不等式()()21f ax f ax <+的解集为R ，则实数a 的取值范围为（）A ．()()2,11,4--⋃-B ．()()1,22,4-C ．[)1,2-D ．[)0,4【答案】D【解析】当1x <时，()e e x f x =-在(),1-∞上单调递增且()()e e 10xf x f =-<=；当1x ≥时，()()ln 21f x x =-在[)1,+∞上单调递增且()()()ln 2110f x x f =-≥=；所以()f x 在R 上单调递增，又由()()21f ax f ax <+，则有21ax ax <+，由题，可知210ax ax -+>的解集为R ，当0a =时，20010x x ⋅-⋅+>恒成立，符合题意；当0a ≠时，则有2Δ40a a a >⎧⎨=-<⎩，解不等式组，得04a <<；综上可得，当[)0,4a ∈时，210ax ax -+>的解集为R . 故选：D.3．（2022·山东省青岛第五十八中学高一期中）已知函数()()23++2,<1=+,1a x a x f x ax x x --≥⎧⎨⎩在(),-∞+∞上单调递减，则实数a 的取值范围为（）． A ．()0,3B ．1,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．2,33⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】因为函数()()23++2,<1=+,1a x a x f x ax x x --≥⎧⎨⎩在(),-∞+∞上单调递减， ∴3<0>011221+1a a a a a -≤-≥-⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩，解得233a ≤<，即a 的取值范围是2,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选：C.4．（2022·山东省青岛第五十八中学高一期中）已知数学符号{}max ,a b 表示取a 和b 中最大的数，若对任意R x ∈，函数()231max 3,,4322f x x x x x ⎧⎫=-++-+⎨⎬⎩⎭，则()f x 的最小值为（）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】D【解析】在同一直角坐标系中，画出函数2123313,,4322y x y x y x x =-+=+=-+的图象，根据{}max ,a b 的定义，可得()f x 的图象（实线部分），由()f x 的图象可知，当=1x 时，()f x 最小，且最小值()12f =，故选：D5．（2022·山西太原·高一阶段练习）设()()2,0=1+++4,>0x a x f x x a x x-≤⎧⎪⎨⎪⎩，若()0f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为（） A ．[]0,3 B ．()0,3 C ．(]0,3 D ．[)0,3【答案】A【解析】当0x >时，由基本不等式可得()114246f x x a x a a x x=+++≥⋅+=+，当且仅当=1x 时，等号成立；当0x ≤时，由于()()0f x f ≥，则0a ≥，由题意可得()()2min 06f x f a a ==≤+，即260a a --≤，解得23a -≤≤，故03a ≤≤.因此，实数a 的取值范围是[]0,3. 故选：A.6．（2022·福建·厦门双十中学高一阶段练习）已知函数()()22,f x x g x x =-+=，令()()()()()()(),=,<f x f x g x h x g x f x g x ≥⎧⎪⎨⎪⎩，则不等式()74h x >的解集是（）A ．1<2x x -⎧⎨⎩或17<<24x ⎫⎬⎭B ．{<1x x -或71<<4x ⎫⎬⎭C ．11<<22x x -⎧⎨⎩或7>4x ⎫⎬⎭D ．{1<<1x x -或7>4x ⎫⎬⎭【答案】C【解析】由()()()()()()(),=,<f x f x g x h x g x f x g x ≥⎧⎪⎨⎪⎩可知，()h x 的图像是()f x 与()g x 在同个区间函数值大的那部分图像，由此作出()h x 的图像，联立2=+2=y x y x -⎧⎨⎩，解得=2=2x y --⎧⎨⎩或=1=1x y ⎧⎨⎩，故12x =-，21x =，所以()2,2=+2,2<<1,>1x x h x x x x x ≤---⎧⎪⎨⎪⎩，又由()74h x >可知，其解集为()h x 的函数值比74大的那部图像的所在区间，结合图像易得，()74h x >的解集为{34<<x x x x 或}5>x x联立2=+27=4y x y -⎧⎪⎨⎪⎩，解得1=27=4x y -⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩或1=27=4x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，故312x =-，412x =，联立=7=4y x y ⎧⎪⎨⎪⎩，解得7=47=4x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，故574x =，所以()74h x >的解集为11<<22x x -⎧⎨⎩或7>4x ⎫⎬⎭.故选：C..7．（2022·浙江·高一阶段练习）设函数1,>0()=0,=0-1,<0x f x x x ⎧⎪⎨⎪⎩，则方程2(1)4x f x -=-的解为（）A ．2x =-B ．3x =-C ．=2xD ．=3x【答案】A【解析】因为1,>0()=0,=0-1,<0x f x x x ⎧⎪⎨⎪⎩，由2(1)4x f x -=-知，2-1>01=-4x x ⋅⎧⎨⎩，2-1=00=-4x x ⋅⎧⎨⎩，2-1<0(-1)=-4x x ⋅⎧⎨⎩，解得2x =-. 故选：A ．8．（2022·湖北黄石·高一期中）已知函数()f x x x =，若对任意[,1]x t t ∈+，不等式()24()f x t f x +≤恒成立，则实数t 的取值范围是（） A ．15[-- B ．15-+ C ．1515[---+ D ．15[-+ 【答案】B【解析】()22,0,0x x f x x x x x ⎧≥⎪==⎨-<⎪⎩，因为2yx 在0x ≥上单调递增，2y x =-在0x <上单调递增，所以()f x x x =在R 上单调递增，因为)24(2)4(2x x x x x x f f ===，且()24()f x t f x +≤，所以()2(2)f x t f x +≤，所以22x t x +≤，即()222110x x t x t -+=-+-≤在[,1]x t t ∈+恒成立，所以()()22201210t t t t t t ⎧-+≤⎪⎨+-++≤⎪⎩即22010t t t t ⎧-≤⎪⎨+-≤⎪⎩，解得150t -+≤≤，所以实数t 的取值范围是15-+，故选：B9．（2022·江西·于都县新长征中学高一阶段练习）已知函数()21,=,2x c f x xx x c x ⎧-<⎪⎨⎪-≤≤⎩ ，若()f x 值域为1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则实数c 的范围是（） A ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[)1,-+∞【答案】A【解析】当=2x 时，()()221112422,244f f x x x x ⎛⎫=-==-=--≥- ⎪⎝⎭，()f x 值域为1,2,4⎡⎤-∴⎢⎥⎣⎦当x c <时，由()12f x x =-=，得12x =-，此时12c ≤-，由()22f x x x =-=，得220x x --=，得=2x 或=1x -，此时112c -≤≤-，综上112c -≤≤-，即实数c 的取值范围是11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，故选：A 二、多选题10．（2022·浙江省永嘉县碧莲中学高一期中）我们用符号min 示两个数中较小的数，若x ∈R ，(){}2min 2,f x x x =-，则()f x （）A ．最大值为1B ．无最大值C ．最小值为1-D ．无最小值【答案】AD【解析】在同一平面直角坐标系中画出函数22y x =-，y x =的图象，如图：根据题意，图中实线部分即为函数()f x 的图象. 由22x x -=，解得12x =-，21x =，所以()222,2,212,1x x f x x x x x ⎧-≤-⎪=-<≤⎨⎪->⎩，∴当1x =时，()f x 取得最大值，且()max 1f x =，由图象可知()f x 无最小值，故选：AD.11．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高一期中）定义{},min ,,a a ba b b a b ≤⎧=⎨>⎩，若函数{}2()min 33,|3|3f x x x x =-+--+，且()f x 在区间[,]m n 上的值域为37,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则区间[,]m n 长度可以是（）A ．74B ．72C ．114D ．1【答案】AD【解析】令23333x x x -+≤--+①，当3x ≥时，不等式可整理为2230x x --≤，解得13x -≤≤，故3x =符合要求，当3x <时，不等式可整理为2430x x -+≤，解得13x ≤≤，故13x ≤<，所以不等式①的解为13x ≤≤；由上可得，不等式23333x x x -+>--+的解为1x <或3x >，所以()233,1333,13x x x f x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨--+⎪⎩或，令23334x x -+=，解得32x =，令27334x x -+=，解得52x =或12，令3334x --+=，解得34x =或214，令7334x --+=，解得74x =或174，所以区间[],m n 的最小长度为1，最大长度为74.故选：AD.12．（2022·四川省宣汉中学高一阶段练习）设函数()y f x =的定义域为R ，对于任意给定的正数m ，定义函数(),()(),()m f x f x m f x m f x m ≥⎧=⎨<⎩，若函数()2211f x x x =-++，则下列结论正确的是（）A ．()338f =B ．()3f x 的值域为[]3,12C ．()3f x 的单调递增区间为[]2,1-D ．()31f x +的图像关于原点对称【答案】ABC【解析】由22113x x -++≥，解得：24x -≤≤，故23211,24()3,42x x x f x x x ⎧-++-≤≤=⎨><-⎩或，A ．23(3)323118f =-+⨯+=，本选项符合题意；B ．当24x -≤≤时，2321112x x ≤-++≤；当42x x -或><时，3()3f x =，故值域为[3,12]，本选项符合题意；C ．当24x -≤≤时，23()211f x x x =-++，图像开口向下，对称轴为1x =，故3()f x 在[]2,1-上单调递增，本选项符合题意；D ．2312,33(1)3,33x x y f x x x ⎧-+-≤≤=+=⎨><-⎩或，故函数3(1)y f x =+为偶函数，本选项不符合题意．故选：ABC ．13．（2022·福建·厦门双十中学高一阶段练习）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（LEJBrouwer ），简单的讲就是对于满足一定条件的图象不间断的函数()f x ，存在一个点0x ，使()00=f x x ，那么我们称该函数为“不动点”函数，0x 为函数的不动点，则下列说法正确的（）A ．()1f x x x -=为“不动点”函数B ．()253f x x x -=+的不动点为2±C ．()221,1=2,>1x x f x x x ≤⎧-⎪⎨-⎪⎩为“不动点”函数D ．若定义在R 上有且仅有一个不动点的函数()f x 满足()()()22f f x x x f x x x --+=+，则()2+1f x x x -= 【答案】ABC【解析】对于A ，令()f x =x ，得1x x x -=，解得2x =22f =⎝⎭（有一个满足足矣），所以()1f x x x-=为“不动点”函数，故A 说法正确；对于B ，令()f x =x 253x x x -+=253x +=，即259x +=，解得2x =±，即()22f =和()22f -=-，所以()253f x x x -=+的不动点为2±，故B 说法正确；对于C ，当1x ≤时，()221f x x -=，令()f x =x ，得221x x -=，解得12x =-或=1x ；当1x >时，()2f x x -=，令()f x =x ，得2x x -=，即2x x -=±，解得=1x （舍去）；综上：1122f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭和()11f =，所以()f x 为“不动点”函数，故C 说法正确；对于D ，不妨设该不动点为t ，则()f t t =，则由()()()22f f x x x f x x x --+=+得()()()22f f t t t f t t t --+=+，即()22++f t t t t t t --=，整理得()2222f t t t t --+=+，所以22t t -+也是()f x 的不动点，故22t t t -+=，解得=0t 或1t =-，即0,1都是()f x 的不动点，与题设矛盾，故D 说法错误. 故选：ABC 三、填空题14．（2022·广东·高一期中）已知函数(2),1(),1aa x x f x x x -<⎧=⎨≥⎩是定义在R 上的增函数，则a 的取值范围是________．【答案】)1,2⎡⎣【解析】由已知，函数(2),1(),1aa x x f x x x -<⎧=⎨≥⎩是定义为在R 上的增函数，则(2)y a x =-为单调递增函数，a y x =为单调递增函数，且(2)11a a -⨯≤，所以20021a a a ->⎧⎪>⎨⎪-≤⎩，解得12a ≤<，所以a 的取值范围是：)1,2⎡⎣. 故答案为：)1,2⎡⎣.15．（2022·山西·晋城市第一中学校高一阶段练习）若函数222,0(),0x ax x f x bx x x ⎧+≥=⎨+<⎩为奇函数，则a b +=__________. 【答案】1-【解析】利用奇函数的定义()()f x f x -=-，求．当0x <时，则0x ->，所以222()2()()f x x ax f x bx x bx x -=-=-=-+=--，所以2b =-，1a =，即2,1b a =-= 故1a b +=-．故答案为：1-．16．（2022·安徽淮南·高一阶段练习）若函数()()2,113,1ax x x f x a x a x ⎧-<⎪=⎨--≥⎪⎩满足对1x ∀，2x ∈R ，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围是______．【答案】21,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】根据题意，任意实数12x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-成立，所以函数()f x 是R 上的减函数，则分段函数的每一段单调递减且在分界点处113a a a -≥--，所以0112130113a a a a a a ≥⎧⎪-⎪-≥⎪⎨⎪-<⎪-≥--⎪⎩，解得2152a ≤≤，所以实数a的取值范围是21,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故答案为：21,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦17．（2022·广东·深圳市高级中学高一期中）已知()22f x x x =-，()1g x x =+，令()()(){}max ,M x f x g x =，则()M x 的最小值是___________.513- 【解析】令221x x x -≥+，解得313x +≥313x -≤ 则()()(){}23133132,max ,313313x x x x M x f x g x x x ⎧+--≥⎪⎪==⎨-+⎪+<<⎪⎩，当313x +≥313x -≤()min 313513M x M --==⎝⎭， 313313x -+<<513- 513- 513- 四、解答题18．（2022·四川·宁南中学高一阶段练习）已知函数()f x 的解析式()3+5,0=+5,0<<12+8,>1x x f x x x x x ≤-⎧⎪⎨⎪⎩.(1)求12f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； (2)若()2f a =，求a 的值；【解析】（1）函数()f x 的解析式()3+5,0=+5,0<<12+8,>1x x f x x x x x ≤-⎧⎪⎨⎪⎩． 11115222f ⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭，11111283222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）因为()3+5,0=+5,0<<12+8,>1x x f x x x x x ≤-⎧⎪⎨⎪⎩且()2f a =，所以3+5=20a a ≤⎧⎨⎩，解得1a =-；或+5=20<<1a a ⎧⎨⎩，解得3a =-（舍去）；或2+8=2>1a a -⎧⎨⎩，解得=3a .综上：1a =-或=3a ．19．（2022·浙江·玉环市玉城中学高一阶段练习）（1）已知函数()f x 是一次函数，且满足()()3+121=2+17f x f x x --，求()f x 的解析式；（2）已知函数()2+2,1=,1<<22,2x x f x x x x x ≤≥⎧⎪⎨⎪⎩①求()2f ，()()1f f -②若()3f a =，求a 的值【解析】（1）设()=+,0f x kx b k ≠，则：()+1=++f x kx b k ，()1=+f x kx b k --，故()()3++2+=2+17kx b k kx b k x --，即++5=2+17kx b k x ，故=2k ，=7b .所以()27f x x =+（2）函数()2+2,1=,1<<22,2x x f x x x x x ≤≥⎧⎪⎨⎪⎩，①()2=2?2=4f ，()()()()1=1+2=1=3f f f f --．②当1a ≤时，()=+2=3f a a ，解得=1a ，成立；当12a <<时，()2==3f a a ，解得3a =3a =-；当2a ≥时，()=2=3f a a ，解得3=2a （舍去）．故a 31． 20．（2022·辽宁·高一阶段练习）已知函数()22122f x x x a a =+++，()22122g x x x a a =-+-，R a ∈．设函数()()()()()()(),,f x f x g x M x g x g x f x ⎧≥⎪=⎨>⎪⎩. (1)若1a =，求()M x 的最小值；(2)若()M x 的最小值小于52，求a 的取值范围．【解析】（1）由题意可得，当()()f x g x ≥时，()()2222112224022f x g x x x a a x x a a x a ⎛⎫-=+++--+-=+≥ ⎪⎝⎭，当()()f x g x <时，()()2222112224022f x g x x x a a x x a a x a ⎛⎫-=+++--+-=+< ⎪⎝⎭，所以()()(),2,,2.f x x a M x g x x a ⎧≥-⎪=⎨<-⎪⎩当1a =时，()2213,2,211, 2.2x x x M x x x x ⎧++≥-⎪⎪=⎨⎪--<-⎪⎩作出()M x 的图象，如图1：由图可知()M x 的最小值为()512f -=．（2）()222212,2,212,2,2x x a a x a M x x x a a x a ⎧+++≥-⎪⎪=⎨⎪-+-<-⎪⎩且()f x ，()g x 图象的对称轴分别为直线=1x -，1x =．①如图2，当21a -≤-，即12a ≥时，()M x 在(),1-∞-上随x 的增大而减小，在()1,-+∞上随x 的增大而增大，所以()()2min 1122M x f a a =-=+-，由215222a a +-<，解得31a -<<，故112a ≤<．②如图3，当121a -<-≤，即1122a -<≤时，()M x 在(),2a -∞-上随x 的增大而减小，在()2,a -+∞上随x 的增大而增大，所以()()2min 23M x f a a =-=，则2532a <，解得3030a <<1122a -<≤．③如图4，当21a ->，即12a <-时，()M x 在(),1-∞上随x 的增大而减小，在()1,+∞上随x 的增大而增大，所以()()2min 1122M x g a a ==--，由215222a a --<，解得13a -<<，故112a -<<-．综上，a 的取值范围为()1,1-．21．（2022·全国·高一课时练习）定义域为R 的函数f （x ）满足2(f x f x k k ∈Z)（）＝（＋）及f （－x ）＝－f （x ），且当()0,1x ∈时2()41xx f x =+．(1)求()f x 在[1,1]-上的解析式；(2)求()f x 在[]21)1,2(k k k Z -+∈上的解析式；(3)求证：()f x 在区间()0,1上单调递减．【解析】（1）∵当(1,0)x ∈-时，(0,1)x ， ∴22()()4141x xx x f x f x --=--=-=-++．由题意，知(0)0f =，又()()11f f -=-，()()()1121f f f -=-+=， ∴()()110f f -==，∴()()()2,1,0412,0,1410,1,0,1xx xx x f x x x ⎧-∈-⎪+⎪⎪=∈⎨+⎪=-⎪⎪⎩，（2）当[21,21]x k k ∈-+时，2[1,1]x k -∈-， ∴()()()22222,21,2412()(2),2,21410,21,2,21x kx k x kx k x k k f x f x k x k k k Z x k k k ----⎧-∈-⎪+⎪⎪=-=∈+∈⎨+⎪=-+⎪⎪⎩（3）设任意的1x ，2(0,1)x ∈，且12x x <， ∵2211221212122(22)(21)()()4141(41)(4)x x x x x x x x x x f x f x ++---=-=+++，且21220x x ->，12210x x +->， ∴12()()f x f x >，即()f x 在区间()0,1上单调递减．。

常见分段函数问题求解策略

常见分段函数问题求解策略【方法综述】分段函数：(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.分段函数是一类特殊的函数，有着广泛的应用，课本中并没有进行大篇幅的介绍，但是它是高考的必考内容，下面就常见分段函数问题解决方法举例说明．【题型展示】1．求分段函数的函数值例1. 已知函数⎩⎨⎧>-≤+=)0(2)0(1)(2x x x x x f ，则[(1)]f f =解：因为()21-=f ,所以[(1)]f f ()()51222=+-=-=f .解题策略求分段函数的函数值时，关键是判断所给出的自变量所处的区间，再代入相应的解析式；另一方面，如果题目中含有多个分层的形式，则需要由里到外层层处理．2．求解分段函数的解析式例2.某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x (分钟)与相应话费y (元)之间的函数图象如图所示．则：(1)月通话为50分钟时，应交话费多少元；(2)求y 与x 之间的函数关系式．解： (1)由题意可知当0＜x ≤100时，设函数的解：析式y ＝kx ，又因过点(100,40)，得解析式为y ＝25x ，当月通话为50分钟时，0＜50＜100，所以应交话费y ＝25×50＝20(元)．(2)当x ＞100时，设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b ，由图知x ＝100时，y ＝40；x ＝200时，y ＝60.则有⎩⎪⎨⎪⎧40＝100k ＋b ，60＝200k ＋b ，解：得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝15，b ＝20，所以解：析式为y ＝15x ＋20，故所求函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧25x ，0＜x ≤100，15x ＋20，x ＞100.解题策略以收费为题材的数学问题多以分段函数的形式出现在试题中，解决此类问题的关键是正确地理解：题目(或图象)给出的信息，确定合适的数学模型及准确的自变量的分界点．3.求分段函数的定义域、值域、画出分段函数的图象例3.已知函数()|21|f x x =+.（Ⅰ）用分段函数的形式表示该函数；（Ⅱ）在下边所给的坐标系中画出该函数的图象；并根据图象直接写出该函数的定义域、值域（不要求证明).xyO【答案】（Ⅰ）121,2()121,2x x f x x x ⎧+≥-⎪⎪=⎨⎪--<-⎪⎩ ；（Ⅱ）图象见解：析，定义域：R ，值域：[0,)+∞.【解析】（Ⅰ）121,2()121,2x x f x x x ⎧+≥-⎪⎪=⎨⎪--<-⎪⎩（Ⅱ）图象如下图：观察得到定义域为R ，值域为[0,)+∞.解题策略（1）分段函数有几段，其图象就由几条曲线组成，作图的关键是根据定义域的不同分别由表达式作出其图象，作图时一要注意每段自变量的取值范围，二要注意判断函数图象每段端点的虚实．（2）分段函数的定义域是各段函数解：析式中自变量取值集合的并集；分段函数的值域是各段函数值集合的并集．【针对训练】1．已知函数则的值为（）A ．B ．C ．D ． 1【答案】A 【解析】由题得f(-1)=.故答案为：A2. 已知符号函数sgn= ,是R 上的增函数，，则（）A ． sgn sgnB ． sgn - sgnC ． sgn sgnD ． sgn- sgn【答案】B 【解析】当时，，由单调性：，此时，当时，，此时：，当时，，由单调性：，此时，所以.故选B.3.已知函数))((+∈N n n f 满足⎩⎨⎧<+≥-=100)],5([100,3)(n n f f n n n f ，则=)1(f （）A ．97B ．98C ．99D ．100【答案】B【解析】∵,98)101()]104([)99(,97)100(====f f f f f,98)99()]102([)97(,97)100()]103([)98(======f f f f f f f f ,97)98()]101([)96(===f f f f 依此类推，得98)1()97()99(==⋅⋅⋅==f f f ，∴选B.4．已知函数()()1,0{11,02ln x x f x x x +>=+≤，若m n <，且()()f m f n =，则n m -的取值范围是（）A . [)32ln2,2-B . []32ln2,2-C . []1,2e -D . [)1,2e - 【答案】A 【解析】作出函数f (x )的图象如图，若m <n ,且f (m )=f (n )，则当ln (x +1)=1时，得x +1=e ，即x =e −1，则满足0<n ⩽e −1，−2<m ⩽0，则ln (n +1)=12m +1,即m =2ln (n +1)−2，则n −m =n +2−2ln (n +1)，设h (n )=n +2−2ln (n +1)，0<n ⩽e −1则()2121'1111n n h n n n n +--=-==+++ ，当h ′(x )>0得1<n ⩽e −1，当h ′(x )<0得0<n <1，即当n=1时,函数h(n)取得最小值h(1)=1+2−2ln2=3−2ln 2，当n =0时,h (0)=2−2ln 1=2，当n =e −1时,h (e −1)=e −1+2−2ln (e −1+1)=1+e −2=e −1<2，则3−2ln 2⩽h (n )<2，即n −m 的取值范围是[3−2ln 2,2)，本题选择A 选项.5.已知函数的图象如下图所示，则的解：析式是________________．【答案】【解析】依据函数的图象，将函数的解：析式写为分段函数的形式为：.6.已知函数，若，则实数的值为__________．【答案】5【解析】由题可得：故答案为5.7.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ＞10，f (f (x ＋6))，x ＜10，求f (5)的值．【答案】11【解析】∵5＜10，∴f (5)＝f (f (5＋6))＝f (f (11))， ∵11＞10，∴f (f (11))＝f (9)，又∵9＜10，∴f (9)＝f (f (15))＝f (13)＝11.即f (5)＝11.8. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥0x 2，x ＜0，作出此函数的图象．【答案】见解析.【解析】由于分段函数有两段，所以这个函数的图象应该由两条线组成，一条是抛物线的左侧，另一条是射线，画出图象如图所示．9．画出分段函数的图象，并求，，的值．【答案】，，【解析】由题意画出分段函数的图象如下图所示．由分段函数的解：析式可得：，，．10.如图，已知底角为o 45的等腰梯形ABCD ，底边BC 长为7cm ，腰长为cm22，当一条垂直于底边BC（垂足为F ）的直线l 从左至右移动（与梯形ABCD 有公共点）时，直线l 把梯形分成两部分，令x BF =，（1）试写出直线l 左边部分的面积)(x f 与x 的函数．（2）已知}4)(|{<=x f x A ，}32|{+<<-=a x a x B ,若B B A =⋃，求a 的取值范围．【答案】（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<+--≤<-≤<=75,10)7(2152,2220,2122x x x x x x y （2）}21|{≤≤a a【解析】（1）函数解：析式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<+--≤<-≤<=75,10)7(2152,2220,2122x x x x x x y（2）}30|{,4)(<<=∴<x x A x f ，由B A ⊆，得⎩⎨⎧≤-≥+0232a a 21≤≤∴a∴a 的取值范围为}21|{≤≤a a ．。

分段函数常见题型的解法

2014-05教学实践分段函数对于自变量x 的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数。

它是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集。

由于课本没有明确给出分段函数的定义，只以例题的形式出现，不少学生对它的认识肤浅模糊，以致解题常常出错。

本文归类介绍分段函数的若干种题型及其解法，以供大家参考.题型一：求函数值例1.（2012年山东高考卷8）定义在R 上的函数f （x ）满足f （x +6）=f （x ），当-3≤x <-1时，f （x ）=-（x +2）2，当-1≤x <3时，f （x ）=x 。

则f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2012）=（A ）335（B ）338（C ）1678（D ）2012分析：本题为已知分段函数求值问题，此函数有两段表达式，利用函数的周期性将自变量化到已知段上来求值.解析：（-3）=-1，f （-2）=0，f （-1）=-1，f （0）=0，f （1）=1，f （2）=2，而函数周期为6，f （1）+f （2）+···+f （2012）=335（-1+0-1+0+1+2）+f （1）+f （2）=335+3=338.答案应选B.例2.已知函数f （x ）=-x 3，x ≤0x 2+2x ，x >0,若f(a )=8，求a.分析：本题为已知函数值求自变量，应分段求a 值，将符合要求的a 值并起来即可，a =±2。

题型二：求函数值域或最值例3.已知函数f （x ）=2x-x 2，0≤x ≤3x 2+6x ，-2≤x <0的值域为分析：分段函数的值域为各段函数值域的并集，分别求出各段的值域即可，值域为［-8，1］例4.设a >0，函数f （x ）=x 2+a ln x -1，求函数f （x ）在［1，+∞）的最小值.分析：去绝对值后可化为分段函数，然后分段求最小值，再比较各段的最小值确定函数的最小值。

分段函数题型汇总

例2：已知函数212,(1)()1,(1)1x x f x x x⎧--≤⎪=⎨>⎪+⎩，求1[()]2f f解析：113()12222f =--=- 21314[()]()322131()2f f f ∴=-==+- 三、求分段函数的最值例3：求函数43,(0)()3,(01)5,(1)x x f x x x x x +≤⎧⎪=+<≤⎨⎪-+>⎩的最大值解析：当0x ≤时，max ()(0)3f x f ==，当01x <≤时，max ()(1)4f x f ==，当1x >时，5x -+<154-+=，综上有max ()4f x =四、求可输入分段函数解析式例4：在同一平面直角坐标系中，函数()y f x =和()y g x =的图像关于直线y x =对称，现将()y g x =的图像沿x 轴向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移1个单位，所得的图像是由两条线组成的折线（如图所示），则函数()f x 的表达式为（）22,(10)()2,(02)2x x A f x x x +-≤≤⎧⎪=⎨+<≤⎪⎩、 22,(10)()2,(02)2x x B f x x x --≤≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩、22,(12)()1,(24)2x x C f x x x -≤≤⎧⎪=⎨+<≤⎪⎩、 26,(12)()3,(24)2x x D f x x x -≤≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩、解析：当[2,0]x ∈-时，12x y =+，将其图像沿x 轴向右平移2个单位，再沿y 轴向下平移1个单位，得解析式为11(2)11122y x x =-+-=-，所以()22,([1,0])f x x x =+∈- 当[0,1]x ∈时，21y x =+，将其图像沿x 轴向右平移2个单位，再沿y 轴向下平移1个单位，得解析式为2(2)1124y x x =-+-=-，所以1()2,[0,2]2f x x x =+∈ 综上可得22,(10)()2,(02)2x x f x x x +-≤≤⎧⎪=⎨+<≤⎪⎩，故选A：0()1f x >1200x >时，。

分段函数知识点及例题解析

分段函数常见题型例析所谓“分段函数”是指在定义域的不同部分，有不同对应关系的函数，因此分段函数不是几个函数而是一个函数，它在解题中有着广泛的应用，不少同学对此认识不深，解题时常出现错误．现就分段函数的常见题型例析如下：１．求分段函数的定义域、值域例１．求函数)(x f ＝⎪⎩⎪⎨⎧->-≤+)2(,2)2(,42x x x x x 的值域．解：当x ≤－２时，4)2(422-+=+=x x x y ， ∴ y ≥－４．当x ＞－２时，y ＝2x ， ∴y ＞22-＝－１． ∴ 函数)(x f 的值域是｛y ∣y ≥－４，或y ＞－１｝＝｛y ∣y ≥－４｝．评注：分段函数的定义域是各段函数解析式中自变量取值集合的并集；分段函数的值域是各段函数值集合的并集．２．作分段函数的图象例２已知函数2(2)()3[22)3[2)x f x x x x -∈-∞-⎧⎪=+∈-⎨⎪∈+∞⎩，，，，，，，画函数(f x 解：函数图象如图１所示．评注：分段函数有几段，其图象就由几条曲线组成，作图的关键是根据定义域的不同，分别由表达式做出其图象．作图时，一要注意每段自变量的取值范围；二要注意间断函数的图象中每段的端点的虚实．３．求分段函数的函数值例３．已知)(x f ＝⎪⎩⎪⎨⎧<=>+)0.(0)0(,)0(,1x x x x π 求(((3)))f f f -的值．解：∵ －３＜０ ∴ f （－３）＝０，∴ f （f （－３））＝f （０）＝π又π＞０ ∴(((3)))f f f -＝f （π）＝π＋１．评注：求分段函数的函数值时，首先应确定自变量在定义域中所在的范围，然后按相应的对应关系求值．４．求分段函数的最值x 图1例４．已知函数)(x f ＝22(0)(0)x x x ⎧⎨<⎩，≥，求出这个函数的最值．解：由于本分段函数有两段，所以这个函数的图象由两部分组成，其中一部分是一段抛物线，另一部分是一条射线，如图２所示．因此易得，函数最小值为０，没有最大值．５．表达式问题例５．如图３，动点P 从边长为１的正方形ABCD 的顶点A 出发顺次经过B C D ，，再回到A ，设x 表示P 点的行程，y 表示PA 的长度，求y 关于x 的表达式．解：如图3所示，当P 点在AB 上运动时，PA x =；当P 点在BC 上运动时，由PBA △Rt ，求得PA =；当P 点在CD 上运动时，由PDA Rt △求出PA =；当P 点在DA 上运动时，4PA x =-，所以y 关于x的表达式是01122343 4.x x x y x x x ⎧<=<-<⎩， ≤≤，≤， ≤，， ≤ 在此基础上，强调“分段”的意义，指出分段函数的各段合并成一个整体，必须用符号“｛”来表示，以纠正同学们的错误认识． A BP 图３。

分段函数的几种常见题型及解法之欧阳数创编

分段函数的几种常见题型及解法分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 笔者就几种具体的题型做了一些思考, 解析如下：1．求分段函数的定义域和值域例1．求函数1222[1,0];()(0,2);3[2,);x x f x xx x +∈-⎧⎪=-∈⎨⎪∈+∞⎩的定义域、值域.【解析】作图, 利用“数形结合”易知()f x 的定义域为[1,)-+∞, 值域为(1,3]-.2．求分段函数的函数值例2．（05年浙江理）已知函数2|1|2,(||1)()1,(||1)1x x f x x x --≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩求12[()]f f .【解析】因为311222()|1|2f =--=-, 所以312223214[()]()1()13f f f =-==+-. 3．求分段函数的最值例3．求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤⎧⎪=+<≤⎨⎪-+>⎩的最大值.【解析】当0x ≤时,max ()(0)3f x f ==, 当01x <≤时,max ()(1)4f x f ==, 当1x >时, 5154x -+<-+=, 综上有max ()4f x =.4．求分段函数的解析式例4．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（）【解析】当[2,0]x ∈-时, 121y x =+, 将其图象沿x 轴向右平移2个单位, 再沿y 轴向下平移1个单位, 得解析式为1122(2)111y x x =-+-=-, 所以()22([1,0])f x x x =+∈-, 当[0,1]x ∈时, 21y x =+, 将其图象沿x 轴向右平移2个单位,再沿y 轴向下平移1个单位, 得解析式2(2)1124y x x =-+-=-, 所以12()2([0,2])f x x x =+∈, 综上可得222(10)()2(02)xx x f x x +-≤≤⎧=⎨+<≤⎩, 故选A .5．作分段函数的图像例5．函数|ln ||1|x y e x =--的图像大致是（） 6．求分段函数得反函数例6已知()y f x =是定义在R 上的奇函数, 且当0x >时,()31x f x =-, 设()f x 得反函数为()y g x =, 求()g x 的表达式.【解析】设0x <, 则0x ->, 所以()31xf x --=-, 又因为()f x 是定义在R 上的奇函数, 所以()()f x f x -=-, 且(0)0f =, 所以()13xf x -=-, 因此31(0)()0(0)13(0)x x x f x x x -⎧->⎪==⎨⎪-<⎩, 从而可得33log (1)(0)()0(0)log (1)(0)x x g x x x x +>⎧⎪==⎨⎪--<⎩.7．判断分段函数的奇偶性例7．判断函数22(1)(0)()(1)(0)x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩的奇偶性.【解析】当0x >时, 0x -<,22()()(1)(1)()f x x x x x f x -=---+=-=, 当0x =时,(0)(0)0f f -==, 当0x <, 0x ->,22()()(1)(1)()f x x x x x f x -=---=-+=因此, 对于任意x R ∈都有()()f x f x -=, 所以()f x 为偶函数.8．判断分段函数的单调性例8．判断函数32(0)()(0)x x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩的单调性.【解析】显然()f x 连续. 当0x ≥时, '2()311f x x =+≥恒成立, 所以()f x 是单调递增函数, 当0x <时, '()20f x x =->恒成立,()f x 也是单调递增函数, 所以()f x 在R 上是单调递增函数;或画图易知()f x 在R 上是单调递增函数.例9．写出函数()|12||2|f x x x =++-的单调减区间.【解析】121231()()3(2)31(2)x x f x x x x x -+≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪-≥⎩, 画图易知单调减区间为12(,]-∞-.9．解分段函数的方程例10．（01年上海）设函数812(,1]()log (1,)x x f x x x -⎧∈-∞=⎨∈+∞⎩,则满足方程1()4f x =的x 的值为【解析】若142x -=, 则222x --=, 得2(,1]x =∉-∞, 所以2x =（舍去）, 若1814log x =, 则1481x =, 解得3(1,)x =∈+∞, 所以3x =即为所求.10．解分段函数的不等式x例11．设函数1221(0)()(0)x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩,若0()1f x >, 则x 得取值范围是（）【解析1】首先画出()y f x =和1y =的大致图像易知0()1f x >时, 所对应的0x 的取值范围是(,1)(1,)-∞-⋃+∞.【解析2】因为0()1f x >, 当00x ≤时, 0211x -->, 解得01x <-,当00x >时, 121x >, 解得01x >, 综上0x 的取值范围是(,1)(1,)-∞-⋃+∞. 故选D.例12．设函数2(1)(1)()4(1)x x f x x ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩, 则使得()1f x ≥的自变量x 的取值范围为（）A ．(,2][0,10]-∞-⋃ B. (,2][0,1]-∞-⋃ C. (,2][1,10]-∞-⋃ D. [2,0][1,10]-⋃ 【解析】当1x <时,2()1(1)120f x x x x ≥⇔+≥⇔≤-≥或, 所以21x x ≤-≤<或0, 当1x ≥时,()141310f x x ≥⇔⇔⇔≤, 所以110x ≤≤, 综上所述, 2x ≤-或010x ≤≤, 故选A 项.【点评：】xy以上分段函数性质的考查中, 不难得到一种解题的重要途径, 若能画出其大致图像, 定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解, 方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解, 使问题得到大大简化, 效果明显.。

解读分段函数

解读分段函数分段函数是一类特殊的函数，有着广泛的应用，课本中并没有进行大篇幅的介绍，但是它是高考的必考内容，下面就分段函数的有关知识进行拓展，供同学们学习时参考.一、分段函数解读在定义域中，对于自变量x 的不同取值范围，相应的对应关系不同，这样的函数称之为分段函数.分段函数是一个函数，而不是几个函数，它只是各段上的解析式(或对应关系)不同而已.二、常见的题型及其求解策略1.求分段函数的定义域、值域例1 求函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋4x ，x ≤－2，x 2，x ＞－2的值域.解当x ≤－2时，y ＝x 2＋4x ＝(x ＋2)2－4，∴y ≥－4；当x ＞－2时，y ＝x 2，∴y ＞－22＝－1.∴函数f (x )的值域是{y |y ≥－4}.解题策略分段函数的定义域是各段函数解析式中自变量取值集合的并集；分段函数的值域是各段函数值集合的并集.2.求分段函数的函数值例2 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ＞10，f [f (x ＋6)]，x ＜10，求f (5)的值. 解 ∵5＜10，∴f (5)＝f [f (5＋6)]＝f [f (11)]，∵11＞10，∴f [f (11)]＝f (9)，又∵9＜10，∴f (9)＝f [f (15)]＝f (13)＝11.即f (5)＝11.解题策略求分段函数的函数值时，关键是判断所给出的自变量所处的区间，再代入相应的解析式；另一方面，如果题目中含有多个分层的形式，则需要由里到外层层处理.3.画出分段函数的图象例3 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥0，x 2，x ＜0，作出此函数的图象. 解由于分段函数有两段，所以这个函数的图象应该由两条线组成，一条是抛物线的左侧，另一条是射线，画出图象如图所示.解题策略分段函数有几段，其图象就由几条曲线组成，作图的关键是根据定义域的不同分别由表达式作出其图象，作图时一要注意每段自变量的取值范围，二要注意判断函数图象每段端点的虚实.4.求解分段函数的解析式例4 某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x (分钟)与相应话费y (元)之间的函数图象如图所示.则：(1)月通话为50分钟时，应交话费多少元；(2)求y 与x 之间的函数关系式.解 (1)由题意可知当0＜x ≤100时，设函数的解析式y ＝kx ，又因过点(100,40)，得解析式为y ＝25x ，当月通话为50分钟时，0＜50＜100，所以应交话费y ＝25×50＝20元.(2)当x ＞100时，设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b ，由图知x ＝100时，y ＝40；x ＝200时，y ＝60.则有⎩⎨⎧ 40＝100k ＋b ，60＝200k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝15，b ＝20，所以解析式为y ＝15x ＋20，故所求函数关系式为y ＝⎩⎨⎧25x ，0＜x ≤100，15x ＋20，x ＞100.解题策略以收费为题材的数学问题多以分段函数的形式出现在高考试题中，解决此类问题的关键是正确的理解题目(或图象)给出的信息，确定合适的数学模型及准确的自变量的分界点.。

分段函数常见题型的解法

分段函数常见题型的解法作者：文/凌苏建来源：《新课程·中旬》2014年第05期分段函数对于自变量x的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数。

它是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集。

由于课本没有明确给出分段函数的定义，只以例题的形式出现，不少学生对它的认识肤浅模糊，以致解题常常出错。

本文归类介绍分段函数的若干种题型及其解法，以供大家参考.题型一：求函数值例1.（2012年山东高考卷8）定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x），当-3≤x＜-1时，f（x）=-（x+2）2，当-1≤x＜3时，f（x）=x。

则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=（A）335 （B）338 （C）1678 （D）2012分析：本题为已知分段函数求值问题，此函数有两段表达式，利用函数的周期性将自变量化到已知段上来求值.解析：（-3）=-1，f（-2）=0，f（-1）=-1，f（0）=0，f（1）=1，f（2）=2，而函数周期为6，f（1）+f（2）+···+f（2012）=335（-1+0-1+0+1+2）+f（1）+f（2）=335+3=338.答案应选B.例2.已知函数f（x）=■,若f(a)=8，求a.分析：本题为已知函数值求自变量，应分段求a值，将符合要求的a值并起来即可，a=±2。

题型二：求函数值域或最值例3.已知函数■的值域为分析：分段函数的值域为各段函数值域的并集，分别求出各段的值域即可，值域为［-8，1］例4.设a＞0，函数f（x）=x2+alnx-1，求函数f（x）在［1，+∞）的最小值.分析：去绝对值后可化为分段函数，然后分段求最小值，再比较各段的最小值确定函数的最小值。

解析：f（x）=■（1）当x≥e时，通过求导知f（x）在［e，+∞）上是增函数，所以ymin=f（e）=e2。

求解分段函数问题

一
ｘ＋＝ｇ。￣１－（）
故ｇ为奇函数。（）
ｙ
说明判断函数奇偶性时，应按照函数奇偶
性的定义来判断，得注意的是自变量取值变化值
时函数的表达式也随之变化。
题型四：分段函数的最值求
说明求分段函数的最值，以先求各段函数的极值，后取这些极值的最值。可然
总之，分段函数也是函数，处理其相关内容时，质上仍是按照求函数的思路去解在本
决即可。●
又≥ ３：・３（）。３且时（．）３ ≥ ）．＝＝丢 ≥吉
且ｆ。ｏ）ｆ专２
说明在求分段函数的函数值时．当按白变量所取的值去选择相应的函数解析式。应
题型二：分段函数的解析式求
例２已知函数ｙｇ）图像如图，关５ｘ函数关系式。：（的求ｙ－＠
ｌｌ
４
一
／
－
－
Ｉｘ３（３＋ ≤０，）
一
例４已知（＝＋（ ≤１，数最大值厂）｛３０）求函
【ｘ５（＞）－＋ｘ１，
３２０ —ｌ
２４５３＼＼
解析方法１利用数形结合，出分段函数的图像，图中观察可知道函数最大值：作从
ｆｘ＝。ｃ）４
方法２利用函数单调性，：函数厂）３＋在（ ∞，］（＝３一０是增函数，其最大值为３函；

分段函数“题型”剖析

ʏ王飞分段函数是自变量取不同范围时所使用的解析式不同 ,于是,求解分段函数要时刻盯着自变量的范围是否发生变化,即分段函数分区间研究其性质㊂题型1:分段函数的求值问题例1 已知分段函数f (x )=x (x +4),x ȡ0,x (x -4),x <0,求f (1),f (-3),f (a +1)的值㊂分析:求f (1),f (-3),可选用解析式求值;求f (a +1),依据(a +1)和0的大小进行分类,再选择解析式求值㊂解:因为f (x )=x (x +4),x ȡ0,x (x -4),x <0,所以f (1)=1ˑ(1+4)=5,f (-3)=-3ˑ(-3-4)=21,f (a+1)=(a +1)(a +5),a ȡ-1,(a +1)(a -3),a <-1㊂分段函数求值,可依据自变量的值,选择对应的解析式求值㊂当自变量不确定时,先合理分类,再利用区间上的解析式求值㊂题型2:分段函数的复合函数求值问题例2 设函数f (x )=2,x >0,0,x =0,-2,x <0,函数g (x )=1,x ɪQ ,-1,x ɪ(∁R Q),则f g (π) 的值为㊂分析:求f [g (π)]的值,需认清由内向外的顺序,合理选择区间上的解析式求值㊂解:因为π为无理数,所以g (π)=-1㊂又-1<0,所以f [g (π)]=f (-1)=-2㊂分段函数的复合函数求值,注意由内向外的复合过程,每一次都由自变量的范围合理选择区间上对应的解析式求值㊂本题先求g (π)的值,再求f [g (π)]的值㊂题型3:分段函数的不等式问题例3 已知分段函数f (x )=1x -1,1<x ɤ2,12x ,x >2,则满足f (a )>3的实数a 的取值范围是㊂分析:求f (a )>3,需依据a 的取值范围选择解析式,这就要对a 进行分类讨论,利用f (a )构建不等式组,最后求并集㊂解:当1<a ɤ2时,由f (a )=1a -1>3,解得1<a <43;当2<a 时,由f (a )=12a >3,解得a >6㊂综上可得,实数a ɪ1,43ɣ(6,+ɕ)㊂求分段函数的不等式,关键是先利用区间上的解析式,对整体变量进行合理分类,构建不等式组,再求并集,凸显了先分后合的分类方法㊂题型4:分段函数与实际应用问题例4 某单位为鼓励职工节约用水,有如下规定:每位职工每月用水量不超过10m 3,按3元/m 3收费;用水量超过10m 3,超过部分按5元/m 3收费㊂某职工某月缴水费55元,则该职工这个月实际用水量为m 3㊂分析:先设出职工的月实际用水量,由题设构建所交水费与用水量的分段函数,借助分段函数的函数值构建方程,再求对应的用水量㊂解:设职工的月实际用水量为x m 3,所缴水费为y 元㊂结合题意可得y =71知识结构与拓展高一数学 2023年10月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.3x ,0ɤx ɤ10,30+5(x -10),x >10, 即所缴水费y =3x ,0ɤx ɤ10,5x -20,x >10㊂因为该职工实际用水量超过10m 3,所以5x -20=55,解得x =15㊂故该职工这个月实际用水量为15m 3㊂在阅读理解的基础上,构建分段函数模型是解题的关键㊂解题的难点是当x >10时,y =30+5(x -10) 的应用㊂题型5:分段函数的单调性问题例5 已知分段函数f (x )=(2a -1)x +4a ,x <1,-x +1,x ȡ1是定义在R 上的减函数,则实数a 的取值范围为㊂分析:当x ȡ1时,f (x )为减函数,当x <1时,f (x )也为减函数,且注意分界点处的函数值的大小关系,从而构建不等式组求出参数的取值范围㊂解:因为f (x )为定义在R 上的减函数,所以2a -1<0,(2a -1)ˑ1+4a ȡ-1+1,解得16ɤa <12,即所求实数a ɪ16,12㊂分段函数由区间单调到R 上单调,既要考虑同步单调 ,也要考虑分界点处的函数值的大小关系㊂题型6:新定义的分段函数问题例6 对于实数a 和b ,定义运算 *:a *b =a 2-a b (a ɤb ),b 2-a b (a >b ),设f (x )=(2x -1)*(x -1),且关于x 的方程f (x )=m (m ɪR )恰有三个互不相等的实数根x 1,x 2,x 3,则x 1x 2x 3的取值范围是㊂分析:理解新定义是解题的重点㊂解:由所给新定义的运算可得函数f (x )=(2x -1)*(x-1)=(2x -1)2-(2x -1)(x -1)(x ɤ0),(x -1)2-(2x -1)(x -1)(x >0),即函数f (x )=2x 2-x (x ɤ0),-x 2+x (x >0)㊂画出函数f (x )的大图1致图像,如图1所示㊂关于x 的方程f (x )=m 有三个互不相等的实数根x 1,x 2,x 3,即函数f (x )的图像与直线y =m有三个不同的交点,所以0<m <14㊂不妨设从左到右的交点的横坐标分别为x 1,x 2,x 3㊂当x >0时,-x 2+x =m ,即x 2-x +m =0,所以x 2+x 3=1,且x 2ɪ0,12,所以x 2x 3=x 2(1-x 2)=-x 2-12 2+14,所以0<x 2x 3<14㊂当x <0时,由2x 2-x =14,x <0,解得x =1ʃ34,所以1-34<x 1<0,所以0<-x 1<3-14㊂据上可得,0<-x 1x 2x 3<3-116,所以1-316<x 1x 2x 3<0,即x 1x 2x 3ɪ1-316,0㊂解答本题的关键是由新定义的运算法则得到函数f (x )=(2x -1)*(x -1)=2x 2-x (x ɤ0),-x 2+x (x >0), 再结合分段函数的图像求出x 1x 2x 3的取值范围㊂若分段函数f(x )=(2b -1)x +b -1,x >0,-x 2+(2-b )x ,x ɤ0是R 上的增函数,则实数b 的取值范围是㊂提示:因为f (x )是R 上的增函数,所以2b -1>0,2-b 2ȡ0,b -1ȡ0,解得1ɤb ɤ2,即b ɪ[1,2]㊂作者单位:陕西省洋县中学(责任编辑郭正华)81 知识结构与拓展高一数学 2023年10月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

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复习教案：分段函数的几种常见题型及解法

数学组 1

分段函数的几种常见题型及解法【关键词】分段函数; 定义域; 值域或最值; 函数值; 解析式; 图像; 反函数; 奇偶性; 方程; 不等式. 分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数.它是一类表达形式特殊的函数,是中学数学中的一种重要函数模型。分段函数有关问题蕴含着分类讨论、数形结合等思想方法.

它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域

的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 对于分段函数类

型的求解不少同学感到困难较多，笔者就几种具体的题型做了一些思考, 解析如下：

1．求分段函数的定义域和值域分段函数的定义域为每一段函数定义域的并集,在表示每一段函数中x的取值范围时,要确保做到定义域不重不漏,即交集为空集, 并集为整个定义域.值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。

例1求函数4,23,0123,10xxyxxxx的定义域和值域

例1．求函数1222[1,0];()(0,2);3[2,);xxfxxxx的定义域、值域. 【解析】作图, 利用“数形结合”易知()fx的定义域为[1,), 值域为(1,3].

例5．求函数的值域。解：因为当x≥0时，x2+1≥1；当x<0时，-x2<0。

11o

2-1

x-1 2

所以，原函数的值域是[1,+∞)∪(-∞,0)。注：分段函数的值域求解，只要分别求出各部分的值域，再取其并集即可。

2．求分段函数的函数值在求分段函数的值0()fx时，一定首先要判断0x属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式

例1、（辽宁理）设,0.(),0.xexgxlnxx则1(())2gg__________

2、（2006山东）设1232(2),()(1)(2).logxxfxxex则[(2)]ff A.0 B.1 C.2 D.3 3、已知)(xf  －log3(x + 1)(x>6) 3x－6(x≤6) ，若记)(1xf为)(xf的反函数，且),91(1fa则)4(af .

4 、设222(1),()1(1).1xxfxxx 则1[()]2ff ( ） A.12 B.413 C.95 D.2541

5、已知sin(0),()(1)1(0).xxfxfxx则1111()()66ff的值为 . 4．（05年浙江理）已知函数2|1|2,(||1)()1,(||1)1xxfxxx求12[()]ff. 【解析】因为311222()|1|2f, 所以312223214[()]()1()13fff. 3

例1 已知函数求f{f[f(a)]} (a<0)的值。

分析求此函数值关键是由内到外逐一求值，即由 a<0, f(a)=2a，又0<2a<1, , , 所以，。注：求分段函数值的关键是根据自变量的取值代入相应的函数段． 3．求分段函数的最值例3．求函数43(0)()3(01)5(1)xxfxxxxx的最大值. 【解析】当0x时, max()(0)3fxf, 当01x时, max()(1)4fxf, 当1x时, 5154x, 综上有max()4fx. 例4．设a为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R, 求f(x)的最小值。

分析：因为原函数可化为 4

所以，只要分别求出其最小值，再取两者较小者即可。解：当x所以若，则函数f(x)在(-∞,a]上单调递减，从而f(x)在(-∞,a]上的最小值为f(a)=a2+1。

若，则函数f(x)在(-∞,a]上的最小值为，且；当x≥a时，函数；若，则函数f(x)在[a,+∞)上的最小值为，且。若，则函数f(x)在[a,+∞)上的最小值为f(a)=a2+1。综上，当时，函数f(x)的最小值是；当时，函数f(x)的最小值是a2+1；当时，函数f(x)的最小值是。 (2005上海高考题)对定义域分别是,fgDD的函数(),()yfxygx.规定： 5

函数()(),,()(),(),fgfggffxgxxxhxfxxxgxxxDDDDDD当且当且当且（I）若函数21(),()1fxgxxx，写出函数()hx的解析式；（II）求问题（I）中函数()hx的最大值；

注：分段函数的最值求解的方法是先分别求出各段函数的最值，再进行大小比较，从而达到求解的目的。

4．求分段函数的解析式例4．在同一平面直角坐标系中, 函数()yfx和()ygx的图象关于直线yx对称, 现将()ygx的图象沿x轴向左平移2个单位, 再沿y轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()fx的表达式为（）

222(10).()2(02)xxxAfxx





222(10).()2(02)xxxBfxx





222(12).()1(24)xxxCfxx





226(12).()3(24)xxxDfxx





【解析】当[2,0]x时, 121yx, 将其图象沿x轴向右平移2个单位, 再沿y轴向下平移1个单位, 得解析式为1122(2)111yxx, 所以()22([1,0])fxxx, 当[0,1]x时, 21yx, 将其图象沿x轴向右平移2

-121

1o-2

x 6

个单位, 再沿y轴向下平移1个单位, 得解析式2(2)1124yxx, 所以12()2([0,2])fxxx

, 综上可得222(10)()2(02)xxxfxx, 故选A.

5．作分段函数的图像例5．函数|ln||1|xyex的图像大致是（）

A11o

x Byx11O

xO1

DyxO11 例9．已知函数f(x)=|x2-2x-3|的图象与直线y=a有且仅有3个交点，求a的值。解：∵ f(x)=|(x-1)2-4|=|(x+1)(x-3)|,

∴ 由图象易知a=4。注：此题可以根据函数图像的对称性直接画出函数图像，再根据数形结合的方法求出，不用写出函数解析式，更简单。 7

6．求分段函数得反函数例6已知()yfx是定义在R上的奇函数, 且当0x时, ()31xfx, 设()fx得反函数为()ygx, 求()gx的表达式.

【解析】设0x, 则0x, 所以()31xfx, 又因为()fx是定义在R上的奇函数, 所以()()fxfx, 且(0)0f, 所以()13xfx, 因此 31(0)()0(0)13(0)xxxfxxx



, 从而可得33log(1)(0)()0(0)log(1)(0)xxgxxxx.

注：求分段函数的反函数只要分别求出其反函数即可。

7．判断分段函数的奇偶性例7．判断函数22(1)(0)()(1)(0)xxxfxxxx的奇偶性. 【解析】当0x时, 0x, 22()()(1)(1)()fxxxxxfx, 当0x时, (0)(0)0ff, 当0x, 0x,

22()()(1)(1)()fxxxxxfx

因此, 对于任意xR都有()()fxfx, 所以()fx为偶函数. 注：分段函数的奇偶性必须对x的值分类，从而比较f(-x)与f(x)的关系，得出f(x)是否是奇偶函数的结论。

8．判断分段函数的单调性例8．判断函数32(0)()(0)xxxfxxx的单调性. 【解析】显然()fx连续. 当0x时, '2()311fxx恒成立, 所以()fx是单调递增函