高中常见分段函数题型归纳

分段函数常见题型及解法分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的围，有不同的对应法则的函数，它是一个函数，非几个函数；它的定义域是各段函数定义域的并集，其值域也是各段函数值域的并集.与分段函数有关的类型题的求解，在教材中只出现了由分段函数作出其图象的题型，并未作深入说明，因此，对于分段函数类型的求解不少同学感到困难较多，现举例说明其求解方法．1．求分段函数的定义域和值域例1.求函数1222[1,0];()(0,2);3[2,);x xf x x xx+∈-⎧⎪=-∈⎨⎪∈+∞⎩的定义域、值域.解析：作图, 利用“数形结合”易知()f x的定义域为[1,)-+∞, 值域为（-1，2]U｛3｝.例2.求函数的值域.解析：因为当x≥0时，x2+1≥1；当x<0时，-x2<0.所以，原函数的值域是[1,+∞)∪(-∞,0).2．求分段函数的函数值例1.已知函数2|1|2,(||1)()1,(||1)1x xf xxx--≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩求12[()]f f.解析：因为311222()|1|2f=--=-, 所以312223214[()]()1()13f f f=-==+-.例2.已知函数，求f{f[f(a)]} (a<0)的值.分析: 求此函数值关键是由到外逐一求值，即由 a<0, f(a)=2a，又0<2a<1, ,，所以，.注：求分段函数值的关键是根据自变量的取值代入相应的函数段．练1.设,0.(),0.xe xg xlnx x⎧≤=⎨>⎩则1(())2g g=__________练2.设1232(2),()(1)(2).logx xf xxex-⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩则[(2)]f f=__________11o322-1yx-13．求分段函数的最值例1.求函数43(0)()3(01)5(1)x xf x x xx x+≤⎧⎪=+<≤⎨⎪-+>⎩的最大值.解析：当0x≤时, max()(0)3f x f==, 当01x<≤时, max()(1)4f x f==, 当1x>时, 5154x-+<-+=, 综上有max()4f x=.例2.设a为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R,求f(x)的最小值.分析：因为原函数可化为所以，只要分别求出其最小值，再取两者较小者即可.解：当x<a时，函数f(x)=x2-x+a+1,所以若，则函数f(x)在(-∞,a]上单调递减，从而f(x)在(-∞,a]上的最小值为f(a)=a2+1. 若，则函数f(x)在(-∞,a]上的最小值为，且；当x≥a时，函数；若，则函数f(x)在[a,+∞)上的最小值为，且.若，则函数f(x)在[a,+∞)上的最小值为f(a)=a2+1.综上，当时，函数f(x)的最小值是；当时，函数f(x)的最小值是a2+1；当时，函数f(x)的最小值是.注：分段函数最值求解方法是先分别求出各段函数的最值，再进行大小比较，从而达到求解的目的. 4．求分段函数的解析式例1.在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x=和()y g x=的图象关于直线y x=对称, 现将()y g x=的图象沿x轴向左平移2个单位, 再沿y轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x的表达式为（）222(10).()2(02)xx xA f xx+-≤≤⎧=⎨+<≤⎩222(10).()2(02)xx xB f xx--≤≤⎧=⎨-<≤⎩222(12).()1(24)xx xC f xx-≤≤⎧=⎨+<≤⎩226(12).()3(24)xx xD f xx-≤≤⎧=⎨-<≤⎩解析：当[2,0]x∈-时,121y x=+, 将其图象沿x轴向右平移2个单位, 再沿y轴向下平移1个单位, 得解析式为1122(2)111y x x=-+-=-, 所以()22([1,0])f x x x=+∈-, 当[0,1]x∈时, 21y x=+, 将其图象沿x轴向右平移2个单位, 再沿y轴向下平移1个单位, 得解析式2(2)1124y x x=-+-=-, 所以12()2([0,2])f x x x=+∈, 综上可得222(10)()2(02)xx xf xx+-≤≤⎧=⎨+<≤⎩, 故选A.例2.某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天，西红柿售价与上市时间的关系用图1的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2的抛物线段表示：(I)写出图l表示的市场售价与时间的函数关系式P=f(t)，写出图2表示的种植成本与上市时间的函数关系式Q=g(t)； (II)认定市面上售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大?解析：(I)由图l可得市场售价与时间的关系为由图2可得种植成本与时间的函数关系为-12131o-2yx（0≤t ≤300）。

(II)设t 时间的纯收益为h(t)，由题意得h(t)=f(t)-g(t)再求h(t)的最大值即可。

注：观察图1，知f(t)应是一个关于t 的一次分段函数，观察图2可知g(t)是关于t 的二次函数，可设为顶点式，即设g(t)=a(t-150)2+100。

5．作分段函数的图像例1.函数|ln ||1|x y e x =--的图像大致是（ ） A11oyxyx11OCyxO11D yxO11例2.已知函数f(x)=|x 2-2x-3|的图象与直线y=a 有且仅有3个交点，求a 的值.解：∵ f(x)=|(x-1)2-4|=|(x+1)(x-3)|,所以由图象易知a=4.注：此题可以根据函数图像的对称性直接画出函数图像，再根据数形结合的方法求出，不用写出函数解析式，更简单.例3.已知函数f(x)=|x2-2x-3|的图象与直线y=a 有且仅有3个交点，求a 的值. 解：∵ f(x)=|(x-1)2-4|=|(x+1)(x-3)|,∴由图象易知a=4.注：此题可以根据函数图像的对称性直接画出函数图像，再根据数形结合的方法求出，不用写出函数解析式，更简单.6．求分段函数得反函数例1.求函数的反函数.解：∵ f(x)在R 上是单调减函数， ∴ f(x)在R 上有反函数. ∵ y=x2+1(x ≤0)的反函数是(x ≥1),y=1-x(x>0)的反函数是y=1-x(x<1),∴ 函数f(x)的反函数是注 ：求分段函数的反函数只要分别求出其反函数即可.例2.已知()y f x =是定义在R 上的奇函数, 且当0x >时,()31xf x =-, 设()f x 得反函数为()yg x =, 求()g x 的表达式.解析：设0x <, 则0x ->, 所以()31xf x --=-, 又因为()f x 是定义在R 上的奇函数, 所以()()f x f x -=-, 且(0)0f =, 所以()13x f x -=-, 因此31(0)()0(0)13(0)x x x f x x x -⎧->⎪==⎨⎪-<⎩, 从而可得33log (1)(0)()0(0)log (1)(0)x x g x x x x +>⎧⎪==⎨⎪--<⎩.例3.已知=)(x f ⎩⎨⎧ －log3(x + 1)(x>6)3x －6(x ≤6)，若记)(1x f-为)(x f 的反函数，且),91(1-=fa 则=+)4(a f __________.7．判断分段函数的奇偶性例1.判断函数22(1)(0)()(1)(0)x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩的奇偶性. 解析：当0x >时, 0x -<,22()()(1)(1)()f x x x x x f x -=---+=-=, 当0x =时,(0)(0)0f f -==, 当0x <, 0x ->, 22()()(1)(1)()f x x x x x f x -=---=-+=因此, 对于任意x R ∈都有()()f x f x -=, 所以()f x 为偶函数.注：分段函数奇偶性必须对x 值分类，从而比较f(-x)与f(x)的关系，得出f(x)是否是奇偶函数结论. 8．判断分段函数的单调性例1.判断函数32(0)()(0)x x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩的单调性.解一：分析：由于x ∈R ，所以对于设x1>x2必须分成三类： 1.当x 1>x 2>0时，则f(x 1)-f(x 2)==(x 1-x 2)(x 1+x 2)>0；2.当0>x 1>x 2时，则；3.当x 1>0>x 2时，则综上所述：x ∈R ，且x 1>x 2时，有f(x 1)-f(x 2)>0。

所以函数f(x)是增函数.注：分段函数的单调性的讨论必须对自变量的值分类讨论.解二：显然()f x 连续. 当0x ≥时, '2()311f x x =+≥恒成立, 所以()f x 是单调递增函数, 当0x <时, '()20f x x =->恒成立, ()f x 也是单调递增函数, 所以()f x 在R 上是单调递增函数;或画图易知()f x 在R 上是单调递增函数.例2.写出函数()|12||2|f x x x =++-的单调减区间.解析：121231()()3(2)31(2)x x f x x x x x -+≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪-≥⎩, 画图知单调减区间为12(,]-∞-. 9．解分段函数的方程例1.设函数812(,1]()log (1,)x x f x x x -⎧∈-∞=⎨∈+∞⎩, 则满足方程1()4f x =的x 的值为__________ 解析：若142x -=, 则222x --=, 得2(,1]x =∉-∞, 所以2x =（舍去）, 若1814log x =, 则1481x =, 解得3(1,)x =∈+∞, 所以3x =即为所求.例2.设函数812(,1]()log (1,)x x f x x x -⎧∈-∞=⎨∈+∞⎩, 则满足方程1()4f x =的x 的值为__________ 解析：若142x -=, 则222x --=, 得2(,1]x =∉-∞, 所以2x =（舍去）, 若1814log x =, 则yx52o -12521481x =, 解得3(1,)x =∈+∞, 所以3x =即为所求.练1：函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>≤-)1|(|||)1|(|12x x x x ，如果方程f(x)=a 有且只有一个实根，那么a 满足A.a<0B.0≤a<1C.a=1D.a>1练2：设定义为R 的函数lg 1,1,()0,0.x x f x x ⎧-≠⎪=⎨=⎪⎩则关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有7个不同的实数解的充要条件是（ ）A. 0b <且0c >B. 0b >且0c <C. 0b <且0c =D. 0b ≥且0c =练3：设函数()f x 在(,)-∞+∞上满足(2)(2)f x f x -=+，(7)f x -=(7)f x +，且在闭区间[0,7]上，只有(1)(3)0f f ==.（Ⅰ）试判断函数()y f x =的奇偶性；（Ⅱ）试求方程()0f x =在闭区间[2005,2005]-上的根的个数，并证明你的结论.10．解分段函数的不等式例1：设函数1221(0)()(0)x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩, 若0()1f x >, 则x 得取值围是（ ）.(1,1)A - .(1,)B -+∞.(,2)(0,)C -∞-⋃+∞ .(,1)(1,)D -∞-⋃+∞解一：首先画出()y f x =和1y =的大致图像, 易知0()1f x >时, 所对应的x 的取值围是(,1)(1,)-∞-⋃+∞.解二：因为0()1f x >, 当00x ≤时, 0211x -->, 解得01x <-, 当00x >时, 1201x >, 解得01x >, 综上x 的取值围是(,1)(1,)-∞-⋃+∞. 故选D.例2：设函数2(1)(1)()4(1)x x f x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩, 则使得()1f x ≥的自变量x 的取值围为（ ） A ．(,2][0,10]-∞-⋃ B. (,2][0,1]-∞-⋃xyC. (,2][1,10]-∞-⋃D. [2,0][1,10]-⋃解析：当1x <时,2()1(1)120f x x x x ≥⇔+≥⇔≤-≥或, 所以21x x ≤-≤<或0, 当1x ≥时, ()141310f x x ≥⇔≥⇔⇔≤, 所以110x ≤≤, 综上所述, 2x ≤-或010x ≤≤, 故选A 项.例3：设函数2(1)(1)()4(1)x x f x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩, 则使得()1f x ≥的自变量x 的取值围为（ ） A ．(,2][0,10]-∞-⋃ B. (,2][0,1]-∞-⋃ C. (,2][1,10]-∞-⋃ D. [2,0][1,10]-⋃解析：当1x <时,2()1(1)120f x x x x ≥⇔+≥⇔≤-≥或, 所以21x x ≤-≤<或0, 当1x ≥时, ()141310f x x ≥⇔≥⇔⇔≤, 所以110x ≤≤, 综上所述, 2x ≤-或010x ≤≤, 故选A 项.练1：已知1(0)()1(0)x f x x ≥⎧=⎨-<⎩ ，则不等式(2)(2)5x x f x +++≤的解集是________ 练2：设f(x)= 1232,2,log (1),2,x e x x x -⎧<⎪⎨-≥⎪⎩ 则不等式f(x)>2的解集为________(A)（1，2）⋃（3，+∞）(B)（10，+∞）(C)（1，2）⋃ （10 ，+∞）(D)（1，2）练3：设f (x)=1()0x x ⎧⎨⎩为有理数(为无理数)，使所有x 均满足x ·f (x)≤g (x)的函数g(x)是（ ）A ．g (x)=sinxB ．g (x)=xC ．g (x)=x2D ．g (x)=|x| 点评：以上分段函数性质的考查中，不难得到一种解题的重要途径， 若能画出其大致图像, 定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解，方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解，使问题得到大大简化，效果明显.。