【配套K12】广东省平远县高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.1.2 命题及其关系(二)教案 新人教A版选修1-1
广东省平远县高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.1.2 命
原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q逆命题若q 则p逆否命题若┐q 则┐p互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互1. 1.2 命题及其关系（二）教学要求：进一步理解命题的概念，了解命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.教学重点：四种命题的概念及相互关系. 教学难点：四种命题的相互关系. 教学过程： 一、复习准备：指出下列命题中的条件与结论，并判断真假： （1）矩形的对角线互相垂直且平分； （2）函数232y x x =-+有两个零点. 二、讲授新课：1. 教学四种命题的概念：原命题 逆命题 否命题 逆否命题 若p ，则q若q ，则p若⌝p ，则⌝q若⌝q ，则⌝p①写出命题“菱形的对角线互相垂直”的逆命题、否命题及逆否命题，并判断它们的真假. （师生共析→学生说出答案→教师点评）②例1：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假： （1）同位角相等，两直线平行； （2）正弦函数是周期函数；（3）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. （学生自练→个别回答→教师点评） 2. 教学四种命题的相互关系：①讨论：例1中命题（2）与它的逆命题、否命题、逆否命题间的关系. ②四种命题的相互关系图：③讨论：例1中三个命题的真假与它们的逆命题、否命题、逆否命题的真假间关系. ④结论一：原命题与它的逆否命题同真假；结论二：两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.⑤例 2 若222p q +=，则2p q +≤.（利用结论一来证明）（教师引导→学生板书→教师点评）3. 小结：四种命题的概念及相互关系. 三、巩固练习：1. 练习：写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并判断它们的真假. （1）函数232y x x =-+有两个零点；（2）若a b >，则a c b c +>+； （3）若220x y +=，则,x y 全为0；（4）全等三角形一定是相似三角形； （5）相切两圆的连心线经过切点.2. 作业：教材P9页 第2（2）题 P10页 第3（1）题。
2019_2020学年高中数学第一章常用逻辑用语1.1.2四种命题1.1.3四种命题间的相互关系课件新人教A版选修2_1
“若 x2＝1,则 x＝1”的否命题为( )
A.若 x2≠1,则 x＝1
B.若 x2＝1,则 x≠1
C.若 x2≠1,则 x≠1 答案：C
D.若 x≠1,则 x2≠1
设 a,b 是向量,命题“若 a＝－b,则|a|＝|b|”的逆命题是( ) A.若 a≠－b,则|a|≠|b| B.若 a＝－b,则|a|≠|b| C.若|a|≠|b|,则 a≠－b D.若|a|＝|b|,则 a＝－b 解析：选 D.条件“a＝－b”和结论“|a|＝|b|”互换后得到逆命题： 若|a|＝|b|,则 a＝－b.故选 D.
1.已知 a,b∈R,命题“若 a＋b＝1,则 a2＋b2≥12”的否命题是(
)
A.若 a2＋b2＜12,则 a＋b≠1
B.若 a＋b＝1,则 a2＋b2＜12
C.若 a＋b≠1,则 a2＋b2＜12
D.若 a2＋b2≥12,则 a＋b＝1
解析：选 C.将原命题的条件与结论同时否定,得否命题为“若 a ＋b≠1,则 a2＋b2＜12”.故选 C.
■名师点拨 (1)“逆命题、否命题、逆否命题”都是相对于原命题而言的,都 是相对概念,如命题“若 x≠2,则 x2≠4”相对于命题“若 x＝2, 则 x2＝4”是否命题,而相对于命题“若 x2＝4,则 x＝2”则是逆 否命题.
(2)互逆命题、互否命题、互为逆否命题都是说两个命题之间的 关系,把其中一个命题叫做原命题时,另一个命题就叫做原命题 的逆命题、否命题、逆否命题,即要充分理解“互为”的相对性. (3)不是“若 p,则 q”形式的命题,最好先改写成“若 p,则 q”的 形式,然后讨论其他三种命题,这样容易分清条件和结论.
2.分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们 的真假. (1)若 q≤94,则方程 x2＋3x＋q＝0 有实根； (2)若 ab＝0,则 a,b 中至少有一个为 0.
广东省平远县高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.2 充分条件和必要条件(2)教案 新人教A版选修1-
1.2 充分条件和必要条件（2）[教学目标]：1．进一步理解并掌握充分条件、必要条件、充要条件的概念；2．掌握判断命题的条件的充要性的方法；[教学重点、难点]：理解充要条件的意义，掌握命题条件的充要性判断．[教学过程]：一、复习回顾一般地，如果已知p q ⇒，那么我们就说p 是q 成立的充分条件，q 是p 的必要条件 ⑴“a b c >>”是“()()()0a b b c c a ---<”的 充分不必要 条件．⑵若a 、b 都是实数，从①0ab >；②0a b +>；③0ab =；④0a b +=；⑤220a b +>；⑥220a b +=中选出使a 、b 都不为0的充分条件是 ①②⑤ ．二、例题分析条件充要性的判定结果有四种，判定的方法很多，但针对各种具体情况，应采取不同的策略，灵活判断．下面我们来看几个充要性的判断及其证明的例题．1．要注意转换命题判定，培养思维的灵活性例1：已知p ：2x y +≠-；q ：x 、y 不都是1-，p 是q 的什么条件？分析：要考虑p 是q 的什么条件，就是判断“若p 则q ”及“若q 则p ”的真假性 从正面很难判断是，我们从它们的逆否命题来判断其真假性“若p 则q ”的逆否命题是“若x 、y 都是1-，则2x y +=-”真的“若q 则p ”的逆否命题是“若2x y +=-，则x 、y 都是1-”假的故p 是q 的充分不必要条件注：当一个命题很难判断其真假性时，我们可以从其逆否命题来着手．练习：已知p ：2x >或23x <；q ：2x >或1x <-，则p ⌝是q ⌝的什么条件？ 方法一：2:23p x ⌝≤≤ :12q x ⌝-≤≤ 显然p ⌝是q ⌝的的充分不必要条件方法二：要考虑p ⌝是q ⌝的什么条件，就是判断“若p ⌝则q ⌝”及“若q ⌝则p ⌝”的真假性“若p ⌝则q ⌝”等价于“若q 则p ”真的“若q ⌝则p ⌝”等价于“若p 则q ”假的故p ⌝是q ⌝的的充分不必要条件2．要注意充要条件的传递性，培养思维的敏捷性例2：若M 是N 的充分不必要条件，N 是P 的充要条件，Q 是P 的必要不充分条件，则M 是Q 的什么条件？分析：命题的充分必要性具有传递性M N P Q ⇒⇔⇒ 显然M 是Q 的充分不必要条件3．充要性的求解是一种等价的转化例3：求关于x 的一元二次不等式21ax ax +>于一切实数x 都成立的充要条件分析：求一个问题的充要条件，就是把这个问题进行等价转化由题可知等价于000004040a a a a a a ≠⎧⎪=>⇔=<<⇔≤<⎨⎪∆<⎩或或4．充要性的证明，关键是理清题意，特别要认清条件与结论分别是什么例4：证明：对于x 、y ∈R ，0xy =是220x y +=的必要不充分条件．分析：要证明必要不充分条件，就是要证明两个，一个是必要条件，另一个是不充分条件必要性：对于x 、y ∈R ，如果220x y +=则0x =，0y = 即0xy =故0xy =是220x y +=的必要条件不充分性：对于x 、y ∈R ，如果0xy =，如0x =，1y =，此时220x y +≠故0xy =是220x y +=的不充分条件综上所述：对于x 、y ∈R ，0xy =是220x y +=的必要不充分条件．例5：p ：210x -≤≤；q ：()110m x m m -≤≤+>．若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解：由于p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，则p 是q 的充分不必要条件于是有12101m m -≤-⎧⎨≤+⎩9m ∴≥三、练习：1．若命题甲是命题乙的充分不必要条件，命题丙是命题乙的必要非充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，那么：命题丁是命题甲的什么条件．（必要不充分的条件）2．对于实数x、y，判断“x+y≠8”是“x≠2或y≠6”的什么条件．（充分不必要条件）3．已知0ab≠，求证：1+=的充要条件是：33220a b++--=.a b ab a b。
高中数学第一章集合与常用逻辑用语12常用逻辑用语121命题与量词教学课件新人教B版必修第一册
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12
即时训练2：
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2.存在量词与存在量词命题
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即时训练3：
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典型例题：
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问题探究二
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高中数学第一章集合与常用逻辑用语12常用逻辑用语121命 题与量词教学课件新人量词与全称量词命题
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评价反馈：
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课堂小结：
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作业：
【配套K12】广东省平远县高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.2 充分条件和必要条件(1)教案 新人教A版选修1-1
1.2 充分条件和必要条件（1）【教学目标】1．从不同角度帮助学生理解充分条件、必要条件与充要条件的意义；2．结合具体命题，初步认识命题条件的充分性、必要性的判断方法；3．培养学生的抽象概括和逻辑推理的意识．【教学重点】构建充分条件、必要条件的数学意义；【教学难点】命题条件的充分性、必要性的判断．【教学过程】一、复习回顾1．命题：可以判断真假的语句，可写成：若p 则q ．2．四种命题及相互关系：3．请判断下列命题的真假：（1）若x y =,则22x y =; （2）若22x y =,则x y =;（3）若1x >,则21x >; （4）若21x >,则1x >二、讲授新课1.推断符号“⇒”的含义：一般地,如果“若p ,则q ”为真, 即如果p 成立，那么q 一定成立,记作:“p q ⇒”; 如果“若p ,则q ”为假, 即如果p 成立，那么q 不一定成立,记作:“p q ⇒/”. 用推断符号“⇒和⇒/”写出下列命题：⑴若a b >，则a c b c >；⑵若a b >，则a c b c +>+；2．充分条件与必要条件一般地，如果p q ⇒，那么称p 是q 的充分条件；同时称q 是p 的必要条件．如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢？由上述定义知“p q ⇒”表示有p 必有q ，所以p 是q 的充分条件，这点容易理解．但同时说q 是p 的必要条件是为什么呢？q 是p 的必要条件说明没有q 就没有p ,q 是p 成立的必不可少的条件,但有q 未必一定有p .充分性：说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．它符合上述的“若p 则q ”为真（即p q ⇒）的形式．“有之必成立，无之未必不成立”．必要性：必要就是必须，必不可少．它满足上述的“若非q 则非p ”为真（即q p ⌝⇒⌝）的形式．“有之未必成立，无之必不成立”．命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类：（1）充分必要条件（充要条件），即 p q ⇒且q p ⇒；（2）充分不必要条件，即p q ⇒且q p ⇒/；（3）必要不充分条件，即p q ⇒/且q p ⇒；（4）既不充分又不必要条件，即p q ⇒/且q p ⇒/．3．从不同角度理解充分条件、必要条件的意义（1）借助“子集概念”理解充分条件与必要条件。
【配套K12】广东省平远县高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.3 简单的逻辑联结词(二)复合命题教案 新人教A版
简单的逻辑联结词（二）复合命题教学目标：加深对“或”“且”“非”的含义的理解，能利用真值表判断含有复合命题的真假；教学重点：判断复合命题真假的方法；教学难点：对“p或q”复合命题真假判断的方法课型：新授课教学手段：多媒体一、创设情境1．什么叫做命题？（可以判断真假的语句叫命题正确的叫真命题，错误的叫假命题）2．逻辑联结词是什么？（“或”的符号是“∨”、“且”的符号是“∧”、“非”的符号是“┑”，这些词叫做逻辑联结词）3．什么叫做简单命题和复合命题？（不含有逻辑联结词的命题是简单命题由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题）4．复合命题的构成形式是什么？p或q(记作“p∨q” )； p且q(记作“p∨q” )；非p(记作“┑q” )二、活动尝试问题1:判断下列复合命题的真假（1）8≥7（2）2是偶数且2是质数；（3） 不是整数；解：（1）真；（2）真；（3）真；命题的真假结果与命题的结构中的p和q的真假有什么联系吗？这中间是否存在规律？三、师生探究1．“非p”形式的复合命题真假：例1：写出下列命题的非，并判断真假：（1）p：方程x2+1=0有实数根（2）p：存在一个实数x，使得x2－9=0．（3）p:对任意实数x，均有x2－2x+1≥0；（4）p：等腰三角形两底角相等显然，当p为真时，非p为假；当p为假时，非p为真．2．“p且q”形式的复合命题真假：例2：判断下列命题的真假：（1）正方形ABCD 是矩形，且是菱形； （2）5是10的约数且是15的约数 （3）5是10的约数且是8的约数 （4）x 2-5x=0的根是自然数所以得：当p 、q 为真时，p 且q 为真；当p 、q 中至少有一个为假时，p 且q 为假。
3．“p 或q ”形式的复合命题真假：例3：判断下列命题的真假：（1）5是10的约数或是15的约数； （2）5是12的约数或是8的约数； （3）5是12的约数或是15的约数； （4）方程x 2－3x-4=0的判别式大于或等于零当p 、q 中至少有一个为真时，p 或q 为真；当p 、q 都为假时，p 或q 为假。
高中数学第一章常用逻辑用语1.1.2充分条件与必要条件2111数学
• （2）若 x2 y2，则 xy ； 假
• （3）全等三角形的面积相等(xiāngdě真ng)； • （4）对角线互相垂直的四边形是菱形； 假
第三页，共十五页。
若p则q为真 ，记作 pq； 若p则q为假，记作 pq
（1）若 x1 ，则 x2 1 ； 真
x≥1 x2≥1
简称充要条件，记作 pq ．
第七页，共十五页。
如果p q ,且q p , 那么称p是q的充分 不必要条件 (chōngfèn) ;
如果 p q ,且 q p ,那么称p是q的既不 充分也不必要条件.
第八页，共十五页。
3.判断充分、必要条件的基本步骤： （1）认清条件和结论；
（2）考察 pq 和 qp 的真假。
第九页，共十五页。
典型 例 (diǎnxíng) 题
例1 ．指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是 p的什么条件：
（1） p:xy; q: x2y2 （2）p：三角形的三条边相等； q：三角形的三个角相等．
• 解: (1) x=y是x2=y2的充分不必要条件. x2=y2是x=y的必 要(bìyào)不充分条件.
No 三角形全等的必要条件．。即如果p是q的充分条件， p又是q的必。要条件，则称 p是q的充分
必要条件，。(2) p是q的充分条件且是必要条件.。q是p充分条件且是必要条件.。例1 ．指出下 列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：。①认清条件和结论
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12/9/2021
第十五页，共十五页。
两三角形全等 两三角形面积(miàn jī)相等
两三角形全等是两三角形面积相等(xiāngděng)的充分条件． 两三角形面积相等(xiāngděng)是两三角形全等的必要条件．
高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.1.2 四种命题课件2 新人教A版选修1-1.ppt
1
请将命题“正弦函数是周期函数” 改写成“ 若 p , 则 q ”的形式. 若 f ( x ) 是 正 弦 函 数 , 则 f ( x ) 是 周 期 函 数 .
条件
结论
2
命题： （ 1 ） 若 f ( x ) 是 正 弦 函 数 , 则 f ( x ) 是 周 期 函 数 .
提示：用命题的条件和结论之间的关系作答。
5
探究点1 观察命题(1)与命题(2)的条件和结论
之间分别有什么关系？
（1）若f(x)是正弦函数，
（2）若f(x)是周期函数，p
则f(x)是周期函数；
则f(x)是正弦函数；q
提示:
q
p
互逆命题：一个命题的条件和结论分别是另一个命 题的结论和条件，这两个命题叫做互逆命题. 原 命 题：其中一个命题叫做原命题. 逆 命 题：另一个命题叫做原命题的逆命题.
(1)原 命 题 ： 若 a b， 则 a c b c 真 逆 命 题 ： 若 a c b c， 则 a b 真
否 命 题 ： 若 a b， 则 a c b c 真
逆 否 命 题 ： 若 a c b c， 则 a b 真
(2)原 命 题 ： 若 x 2 3 x 2 0， 则 x 2 假
命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题是 什么？ 解答：“两直线不平行，同位角不相等”.
11
三个概念 1.互逆命题：一般地，对于两个命题，如果一个命题 的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么 我们把这样的两个命题叫做互逆命题.其中一个命题 叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题. 2.互否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和 结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定， 我们把这样的两个命题叫做互否命题.如果把其中的 一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命 题.
高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.1.2 四种命题课件4 新人教A版选修1-1.ppt
2.由已知得,若1<x<2成立,则m-1<x<m+1也成立.所
以 mm
1 1
1， 2
所以1≤m≤2.
答案:[1,2]
25
【延伸探究】 本例2中的否命题是什么? 【解析】否命题为:若x≤m-1或x≥m+1,则x≤1或x≥2.
26
【方法技巧】判断四种命题真假的方法 (1)要正确理解四种命题间的相互关系. (2)正确利用相关知识进行判断推理. (3)若由p经逻辑推理得出q,则命题“若p,则q”为真; 确定“若p,则q”为假时,则只需举一个反例说明即可.
6
【解析】选C.命题p的逆命题是“若x≥2ab,则 x≥a2+b2”,故A,B都错,命题p的否命题是:“若x<a2+b2, 则x<2ab”,故C正确,D错误.
7
【知识探究】 探究点 四种命题的概念 1.四种命题中原命题是否是固定的? 提示:原命题不是固定的,任何一个命题都可以作为原 命题,从而有另外的三种命题.
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2.已知命题“若m-1<x<m+1,则1<x<2”的逆命题为真命 题,则m的取值范围是________. 【解题探究】 1.典例1①中如何否定“x,y全是0”? 提示:x,y不全是0. 2.典例2中逆命题为真的含义是什么? 提示:可以由1<x<2推出m-1<x<m+1.
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【解析】1.选D.①否命题为“若x2+y2≠0,则x,y不全
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(3)任何一个命题都包含条件和结论两部分,通过条件 和结论的不同变换都可以得到这个命题的逆命题、否 命题和逆否命题.因此任何一个命题都有逆命题、否命 题和逆否命题. 易错警示:对条件或结论进行否定时易出现错误.如 “大于”的否定应是“不大于,即≤”;“都是”的否 定为“不都是”等.
高中数学 第1章 常用逻辑用语 1.1 1.1.2 四种命题 1.1.3 四种命题间的相互关系(教师
1.1.2 四种命题1.1.3四种命题间的相互关系学习目标核心素养1.了解命题的四种形式，能写出一个命题的逆命题、否命题和逆否命题．(重点)2．理解并掌握四种命题之间的关系及其真假性之间的关系．(易混点)3．能够利用命题的等价性解决有关问题．(难点)借助命题的等价性解题培养数学抽象、逻辑推理素养.1．四种命题的概念及结构(1)四种命题的概念对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么把这样的两个命题叫做互逆命题，如果恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么把这样的两个命题叫做互否命题，如果恰好是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这样的两个命题叫做互为逆否命题，把第一个叫做原命题时，另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题．(2)四种命题结构2．四种命题间的相互关系(1)四种命题之间的关系(2)四种命题间的真假关系原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．思考：(1)“a＝b＝c＝0〞的否定是什么？(2)在原命题、逆命题、否命题和逆否命题四个命题中，真命题的个数会是奇数吗？[提示](1)“a＝b＝c＝0〞的否定是“a，b，c至少有一个不等于0〞．(2)真命题的个数只能是0,2,4，不会是奇数．1．命题“假设m＝10，那么m2＝100〞与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是()A．原命题、否命题B．原命题、逆命题C．原命题、逆否命题D．逆命题、否命题C[原命题正确，那么逆否命题正确，逆命题不正确，从而否命题不正确．应选C．] 2．给出以下命题：①假设一个四边形的四条边不相等，那么它不是正方形；②假设一个四边形的对角互补，那么它内接于圆；③正方形的四条边相等；④圆内接四边形的对角互补；⑤对角不互补的四边形不内接于圆；⑥假设一个四边形的四条边相等，那么它是正方形．其中互为逆命题的有________；互为否命题的有______；互为逆否命题的有________．③和⑥，②和④①和⑥，②和⑤①和③，④和⑤[互为逆命题有③和⑥，②和④；互为否命题有①和⑥，②和⑤；互为逆否命题有①和③，④和⑤.]3．命题p ：假设x ＝π3，那么cos x ＝12，那么命题p 的逆命题为________；命题p 的否命题为________；命题p 的逆否命题为________．[答案] 假设cos x ＝12，那么x ＝π3 假设x ≠π3，那么cos x ≠12假设cos x ≠12，那么x ≠π3写出原命题的其他三种命题(1)假设sin α＝12，那么tan α＝3； (2)假设a ＋b 是偶数，那么a ，b 都是偶数；(3)等底等高的两个三角形是全等三角形；(4)当1<x <2时，x 2－3x ＋2<0；(5)假设ab ＝0，那么a ＝0或b ＝0.[解](1)逆命题：假设tan α＝3，那么sin α＝12. 否命题：假设sin α≠12，那么tan α≠ 3. 逆否命题：假设tan α≠3，那么sin α≠12. (2)逆命题：假设a ，b 都是偶数，那么a ＋b 是偶数．否命题：假设a ＋b 不是偶数，那么a ，b 不都是偶数．逆否命题：假设a ，b 不都是偶数，那么a ＋b 不是偶数．(3)逆命题：假设两个三角形全等，那么这两个三角形等底等高．否命题：假设两个三角形不等底或不等高，那么这两个三角形不全等．逆否命题：假设两个三角形不全等，那么这两个三角形不等底或不等高．(4)逆命题：假设x 2－3x ＋2<0，那么1<x <2.否命题：假设x ≤1或x ≥2，那么x 2－3x ＋2≥0.逆否命题：假设x2－3x＋2≥0，那么x≤1或x≥2.(5)逆命题：假设a＝0或b＝0，那么ab＝0.否命题：假设ab≠0，那么a≠0且b≠0.逆否命题：假设a≠0且b≠0，那么ab≠0.1．写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题的方法(1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题．(2)在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当地添加一些词语，但不能改变条件和结论．2．写否命题时应注意一些否定词语，列表如下：原词语等于(＝)大于(>)小于(<)是都是至多有一个否定词语不等于(≠)不大于(≤)不小于(≥)不是不都是至少有两个原词语至少有一个至多有n个任意的任意两个所有的能否定词语一个也没有至少有(n＋1)个某一个(确定的)某两个某些不能[跟进训练]1．写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．(1)正数a的立方根不等于0；(2)在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行．[解](1)原命题：假设a是正数，那么a的立方根不等于0，是真命题．逆命题：假设a的立方根不等于0，那么a是正数，是假命题．否命题：假设a不是正数，那么a的立方根等于0，是假命题．逆否命题：假设a 的立方根等于0，那么a 不是正数，是真命题．(2)原命题：在同一平面内，假设两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行，是真命题．逆命题：在同一平面内，假设两条直线平行，那么这两条直线平行于同一条直线，是真命题．否命题：在同一平面内，假设两条直线不平行于同一条直线，那么这两条直线不平行，是真命题．逆否命题：在同一平面内，假设两条直线不平行，那么这两条直线不平行于同一条直线，真命题．四种命题的关系及真假判断否命题、逆否命题，在这4个命题中，真命题的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个(2)判断命题“假设a ≥0，那么x 2＋x －a ＝0有实根〞的逆否命题的真假．[思路点拨](1)只需判断原命题和逆命题的真假即可． (2)思路一 写出原命题的逆否命题→判断其真假思路二 原命题与逆否命题同真同假(即等价关系)→判断原命题的真假→得到逆否命题的真假(1)C [当c ＝0时，ac 2>bc 2不成立，故原命题是假命题，从而其逆否命题也是假命题；原命题的逆命题为“假设ac 2>bc 2，那么a >b 〞是真命题，从而否命题也是真命题，应选C ．](2)[解] 法一：原命题的逆否命题：假设x 2＋x －a ＝0无实根，那么a <0.∵x 2＋x －a ＝0无实根，∴Δ＝1＋4a <0，解得a <－14<0， ∴原命题的逆否命题为真命题．法二：∵a≥0，∴4a≥0，∴对于方程x2＋x－a＝0，根的判别式Δ＝1＋4a>0，∴方程x2＋x－a＝0有实根，故原命题为真命题．∵原命题与其逆否命题等价，∴原命题的逆否命题为真命题．判断命题真假的方法(1)解决此类问题的关键是牢记四种命题的概念，正确地写出所涉及的命题，判定为真的命题需要简单的证明，判定为假的命题要举出反例加以验证.(2)原命题与它的逆否命题同真同假，原命题的否命题与它的逆命题同真同假，故二者只判断一个即可.[跟进训练]2．判断以下四个命题的真假，并说明理由．(1)“假设x＋y＝0，那么x，y互为相反数〞的否命题；(2)“假设x>y，那么x2>y2〞的逆否命题；(3)“假设x≤3，那么x2－x－6>0〞的否命题；(4)“对顶角相等〞的逆命题．[解](1)命题“假设x＋y＝0，那么x，y互为相反数〞的逆命题为“假设x，y互为相反数，那么x＋y＝0〞，那么逆命题为真命题，因为原命题的逆命题和否命题具有相同的真假性，所以“假设x＋y＝0，那么x，y互为相反数〞的否命题是真命题．(2)令x＝1，y＝－2，满足x>y，但x2<y2，所以“假设x>y，那么x2>y2〞是假命题，因为原命题与其逆否命题具有相同的真假性，所以“假设x>y，那么x2>y2〞的逆否命题也是假命题．(3)该命题的否命题为“假设x>3，那么x2－x－6≤0〞，令x＝4，满足x>3，但x2－x－6＝6>0，不满足x2－x－6≤0，那么该否命题是假命题．(4)该命题的逆命题为“相等的角是对顶角〞是假命题，如等边三角形的任意两个内角都相等，但它们不是对顶角．等价命题的应用[探究问题]1．命题“假设x≠1，那么x2－2x－3≠0〞的等价命题是什么，其命题真假如何？提示：等价命题为“假设x2－2x－3＝0，那么x＝1〞，其为假命题．2．当一个命题的条件与结论以否定形式出现时，为了研究方便，我们可以研究哪一个命题？提示：一个命题与其逆否命题等价，我们可研究其逆否命题．[例3]证明：函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，假设f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，那么a＋b≥0.[思路点拨]证明其逆否命题成立⇒原命题成立．[证明]原命题的逆否命题为“函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，假设a＋b<0，那么f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)〞．假设a＋b<0，那么a<－b，b<－a.∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．即原命题的逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．1．假设一个命题的条件或结论含有否定词时，直接判断命题的真假较为困难，这时可以转化为判断它的逆否命题．2．当证明一个命题有困难时，可尝试证明其逆否命题成立．[跟进训练]3．判断命题“a，x为实数，假设关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集，那么a<2〞的真假．[解]原命题的逆否命题为“a，x为实数，假设a≥2，那么关于x的不等式x2＋(2a＋1)x ＋a2＋2≤0的解集不是空集〞．判断真假如下：抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的开口向上，根的判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7，因为a≥2，所以4a－7>0，即抛物线与x轴有交点，所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，故原命题的逆否命题为真，从而原命题为真．1．写四种命题时，可以按以下步骤进行：(1)找出命题的条件p和结论q；(2)写出条件p的否定¬p和结论q的否定¬q；(3)按照四种命题的结构写出所求命题．2．每一个命题都由条件和结论组成，要分清条件和结论．3．判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础．1．判断正误(1)命题“假设p，那么q〞的否命题为“假设¬p，那么¬q〞．( )(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题．()(3)命题“假设A∩B＝A，那么A∪B＝B〞的逆否命题是“假设A∪B≠B，那么A∩B≠A〞．( )[答案](1)×(2)√(3)√2．命题“假设a>－3，那么a>－6〞以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()A．1B．2C．3 D．4B[原命题是真命题，从而其逆否命题是真命题，其逆命题是“假设a>－6，那么a>－3〞，是假命题，从而其否命题也是假命题，故真命题的个数是2.]3．命题“假设m＞1，那么mx2－2x＋1＝0无实根〞的等价命题是________．假设mx2－2x＋1＝0有实根，那么m≤1[原命题的等价命题是其逆否命题，由定义可知其逆否命题为：“假设mx2－2x＋1＝0有实根，那么m≤1〞．]4．写出以下命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假．(1)假设a>b，那么ac2>bc2；(2)在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，假设b2－4ac<0，那么该函数的图象与x轴无交点．[解](1)逆命题：假设ac2>bc2，那么a>b，真命题．否命题：假设a≤b，那么ac2≤bc2，真命题．逆否命题：假设ac2≤bc2，那么a≤b，假命题．(2)逆命题：在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，假设图象与x轴无交点，那么b2－4ac<0，真命题．否命题：在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，假设b2－4ac≥0，那么图象与x轴有交点，真命题．逆否命题：在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，假设图象与x轴有交点，那么b2－4ac≥0，真命题．。
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原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q
逆命题若q 则p
逆否命题若┐q 则┐p
互为逆否
互逆否
互为逆
否
互
互逆
否
互1. 1.2 命题及其关系（二）
教学要求：进一步理解命题的概念，了解命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.
教学重点：四种命题的概念及相互关系. 教学难点：四种命题的相互关系. 教学过程： 一、复习准备：
指出下列命题中的条件与结论，并判断真假： （1）矩形的对角线互相垂直且平分； （2）函数232y x x =-+有两个零点. 二、讲授新课：
1. 教学四种命题的概念：
原命题 逆命题 否命题 逆否命题 若p ，则q
若q ，则p
若⌝p ，则⌝q
若⌝q ，则⌝p
①写出命题“菱形的对角线互相垂直”的逆命题、否命题及逆否命题，并判断它们的真假. （师生共析→学生说出答案→教师点评）
②例1：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假： （1）同位角相等，两直线平行； （2）正弦函数是周期函数；
（3）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. （学生自练→个别回答→教师点评） 2. 教学四种命题的相互关系：
①讨论：例1中命题（2）与它的逆命题、否命题、逆否命题间的关系. ②四种命题的相互关系图：
③讨论：例1中三个命题的真假与它们的逆命题、否命题、逆否命题的真假间关系. ④结论一：原命题与它的逆否命题同真假；
结论二：两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.
⑤例 2 若222p q +=，则2p q +≤.（利用结论一来证明）（教师引导→学生板书→教师点评）
3. 小结：四种命题的概念及相互关系. 三、巩固练习：
1. 练习：写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并判断它们的真假. （1）函数232y x x =-+有两个零点；（2）若a b >，则a c b c +>+； （3）若220x y +=，则,x y 全为0；（4）全等三角形一定是相似三角形； （5）相切两圆的连心线经过切点.
2. 作业：教材P9页 第2（2）题 P10页 第3（1）题。