傅立叶级数
x的傅里叶级数
x的傅里叶级数
傅里叶级数，也称为傅里叶线性分析，是一种用于描述函数的数学工具，它允许用户将函数分解为一系列和的周期性函数。
它是由法国数学家和物理学家福里叶（Joseph Fourier）于1807年发表的。
傅里叶级数可以用来描述任何有限的周期函数，并且可以用来解决复杂的微分方程，包括热传导方程、波动方程和量子力学方程。
傅里叶级数可以用来分解任何函数，并将其分解为若干正弦和余弦函数。
如果一个函数可以表示为一系列正弦和余弦函数的和，那么它就可以用傅里叶级数来分解。
换句话说，傅里叶级数是用来表示函数的基本函数的线性组合。
傅里叶级数的公式可以表示为：f(x)=a_0 +
\sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)
其中a_0是函数的常数项，a_n和b_n是函数的系数，n
是函数的周期。
傅里叶级数的优点之一是可以用来描述任何有限的周期函数，包括正弦波、余弦波和其他复杂的函数，这使得傅里叶级数在很多应用中具有重要意义。
例如，傅里叶级数可以用来解决热传导方程、波动方程和量子力学方程，从而解决实际问题。
除此之外，傅里叶级数还可以用来计算复杂的函数，例如积分和微分。
这种线性分析的优点在于，可以用一系列简单的函数来描述一个复杂的函数，而不需要解决复杂的微分方程。
因此，傅里叶级数能够将任何函数表示为一系列正弦和余弦函数的和，并可以用来解决复杂的微分方程。
傅里叶级数可以用来计算数学函数，也可以用来解决实际问题，因此可以说是一个重要的数学工具。
傅里叶级数对函数的展开
傅里叶级数对函数的展开傅里叶级数是指将任意周期函数展开成三角函数的和的形式。
这种展开方式不仅可以用于研究函数的性质，还是信号处理、波谱分析等领域中的一种基础工具。
在傅里叶级数展开中，我们将原函数表示为一组三角函数的线性组合，其中每个三角函数的频率是整数倍的基频率。
这样的展开可以用以下形式表示：$$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}{[a_n\cos(n\omega_0 x) + b_n\sin(n\omega_0 x)]}$$其中，$a_0$是常数项，$\omega_0$是基频率，$a_n$和$b_n$是展开系数。
对于周期为$T$的函数，基频率$\omega_0$可以表示为$\frac{2\pi}{T}$。
展开系数的计算方法如下：$$a_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(x) \cos(n\omega_0 x) dx$$$$b_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(x) \sin(n\omega_0 x) dx$$傅里叶级数展开有一个非常重要的性质，即可逆性。
也就是说，我们可以根据展开系数求出原函数。
展开系数的计算需要使用积分运算，这意味着对于某些函数，计算展开系数可能非常困难。
但在实践中，我们通常只需要知道一些基本的函数的展开系数，然后根据线性组合的性质得出更复杂函数的展开系数。
傅里叶级数展开的应用极为广泛。
例如，我们可以使用傅里叶级数展开来分析音乐信号的频谱，进而实现音频编解码、降噪等功能。
在计算机视觉领域，傅里叶级数展开可以应用于图像去噪、边缘检测等任务。
此外，傅里叶级数还有很多其他的应用，例如在天文学中用于分析星光的频谱，以及在工程中用于分析信号和数据的频谱。
总之，傅里叶级数展开是一种非常有用、基础性的数学工具。
通过了解傅里叶级数展开的原理和应用，我们可以更好地理解和应用这一工具，从而为更多领域的科学研究和工程应用提供支持。
傅里叶级数的三角形式和傅里叶级数的指数形式
周期信号的傅里叶级数分析 连续时间LTI 系统的时域分析: 以冲激函数为基本信号系统零状态响应为输入信号与系统冲激响应之卷积 傅立叶分析以正弦函数或复指数函数作为基本信号系统零状态响应可表示为一组不同频率的正弦函数或复指数函数信号响应的加权和或积分; 周期信号: 定义在区间,每隔一定时间 T ,按相同规律重复变化的信号,如图所示 .它可表示为f <t >=f < t +m T >其中 m 为正整数, T 称为信号的周期,周期的倒数称为频率. 周期信号的特点：（1） 它是一个无穷无尽变化的信号,从理论上也是无始无终的,时间范围为（2） 如果将周期信号第一个周期内的函数写成,则周期信号可以写成〔3〕周期信号在任意一个周期内的积分保持不变,即有 1. 三角形式的傅立叶级数周期信号 ,周期为1T ,角频率11122T f ππω==(,)-∞∞(,)-∞∞()f t f t ()该信号可以展开为下式三角形式的傅立叶级数.式中各正、余弦函数的系数n n b a , 称为傅立叶系数,函数通过它可以完全表示. 傅立叶系数公式如下式中积分可以取任意一个周期,一般情况下,取) ,0(T 或)2 ,2(TT-三角形式的傅立叶级数还可以写成下面形式∑∞=++=110)cos()(nn n t n c c t f ϕω或两种形式之间系数有如下关系: 2．指数函数形式的傅里叶级数令：()n n b a n F j 21)(1-=ω 由欧拉公式⎰-=Ttn tt f Tj d e )(11ω令：0)0(a F =前面的级数可展成指数形式系数 e )()(1j 1tn n n F t f ωω∑∞-∞==nnn n n n a b arctgb ac -=+=ϕ;:在傅立叶三角表示式中22()nnn c n F F ϕω±=相角辐角等于三角表示的初;2的模可知系数1)(一地表示了他唯,变化而变化的复数)(是一个随着频率)(11t f n n F ωω在傅立叶级数中,无论三角函数表示还是指数函数表示,都是通过三个量完整地表示一个函数：。
傅里叶级数和傅里叶系数的关系
傅里叶级数和傅里叶系数的关系傅里叶级数是一种将任意周期函数分解为无限多个正弦和余弦函数的和的数学工具。
它的应用十分广泛，包括信号处理、图像处理、物理学、工程学等领域。
傅里叶级数的计算需要用到傅里叶系数，傅里叶系数是傅里叶级数中每个正弦和余弦函数的系数，它们之间有着密切的关系。
傅里叶级数的计算公式是：f(x)=a0/2+∑[n=1,∞](an*cos(nωx)+bn*sin(nωx))其中，a0、an和bn是傅里叶系数，ω是角频率，n是正整数。
a0是函数f(x)在一个周期内的平均值，an和bn是函数f(x)中每个正弦和余弦函数的振幅系数。
傅里叶系数的计算公式是：an=2/T*∫[T/2,-T/2]f(x)*cos(nωx)dxbn=2/T*∫[T/2,-T/2]f(x)*sin(nωx)dx其中，T是函数f(x)的周期，ω=2π/T是角频率。
傅里叶系数的计算需要用到函数f(x)在一个周期内的积分，这就要求函数f(x)必须是周期函数。
傅里叶级数和傅里叶系数之间的关系可以用欧拉公式来表示：e^(inωx)=cos(nωx)+i*sin(nωx)将欧拉公式代入傅里叶级数的计算公式中，可以得到：f(x)=a0/2+∑[n=1,∞](an*cos(nωx)+bn*sin(nωx))=1/T*[∫[T/2,-T/2]f(x)dx+2∑[n=1,∞][∫[T/2,-T/2]f(x)*cos(nωx)dx*cos(nωx)+∫[T/2,-T/2]f(x)*sin(nωx)dx*sin(nωx)]]=1/T*[∫[T/2,-T/2]f(x)dx+2∑[n=1,∞](an*cos(nωx)+bn*sin(nωx))]=1/T*[∫[T/2,-T/2]f(x)dx+2∑[n=1,∞](an*cos(nωx)-bn*cos(nωx+π/2))]其中，i是虚数单位。
由此可见，傅里叶级数中的正弦和余弦函数可以用复指数函数来表示，而傅里叶系数就是复指数函数的系数。
傅里叶级数的意义
傅里叶级数的意义
傅里叶级数是一种将任意周期函数分解为一系列正弦和余弦函数的方法。
这个分解过程可以让我们更好地理解周期函数的性质和特征，从而可以应用于信号处理、图像处理、物理学等领域。
具体来说，傅里叶级数将一个周期为T的函数f(x)表示为以下形式：
f(x) = a0/2 + ∑(an*cos(nπx/T) + bn*sin(nπx/T)) 其中a0/2是函数f(x)的平均值，an和bn是一系列系数，由函数f(x)对应的正弦和余弦函数的积分计算得到。
这些系数反映了函数f(x)关于各个频率的振幅和相位信息。
傅里叶级数的意义在于，它让我们能够将一个复杂的周期函数分解为若干个简单的正弦和余弦函数。
这使得我们可以更好地理解这个函数的周期性、频率特征、振幅等性质。
此外，傅里叶级数还可以用于信号处理中的滤波、谐波分析等问题。
总的来说，傅里叶级数是一种非常重要的数学工具，在不同领域有着广泛的应用价值。
- 1 -。
傅里叶级数 求和公式
傅里叶级数求和公式傅里叶级数是一种将一个周期函数表示为无限三角函数的级数的方法。
它的求和公式是傅里叶级数公式，用于将函数展开为正弦和余弦函数的线性组合。
以下是傅里叶级数求和公式的简要介绍。
给定一个周期为T的函数f(t)，它的傅里叶级数展开为：f(t) = a0 + Σ(an*cos(nωt) + bn*sin(nωt))其中，n为正整数，ω为角频率，a0、an和bn是系数。
公式中的a0表示恒定项，an和bn则是余弦和正弦项的系数。
傅里叶级数的系数可以通过函数f(t)与正交基函数的内积来计算。
对于周期为T的函数f(t)，正交基函数是e^(-i*n ωt)，其中i为虚数单位，n为正整数。
内积的计算公式为：a0 = (1/T) * ∫(f(t)dt)an = (2/T) * ∫(f(t)*cos(nωt)dt)bn = (2/T) * ∫(f(t)*sin(nωt)dt)这些积分可以在一个周期内进行计算。
傅里叶级数展开能够将周期函数表示为无限三角函数的级数，其中每一项通过系数an和bn加权得到。
在实践中，我们通常根据具体函数的性质，选择适当的级数截断来近似表达函数。
截断级数意味着我们只取有限的项进行求和，从而得到一个近似解。
傅里叶级数在物理学、工程学、信号处理等领域中广泛应用。
它能够将复杂的周期函数分解为一系列简单的正弦和余弦函数，方便对信号的特性进行分析和处理。
通过调整系数an和bn，我们可以改变傅里叶级数的振幅、频谱和相位，从而实现信号的变换和滤波。
傅里叶级数求和公式是傅里叶分析的基础，它提供了一种将周期函数表示为无限三角函数的形式。
通过傅里叶级数，我们能够揭示周期函数的频谱特性，并进行信号的处理和分析。
在实践中，我们可以根据具体问题选择适当的级数截断来近似求解。
傅里叶级数及其性质
傅里叶级数及其性质是研究周期函数的一个重要分支。
傅里叶级数最初是由法国数学家傅里叶在研究热传导问题时提出的。
它主要用于将复杂的周期函数分解为一组简单的正弦函数的和，使得人们可以更加清晰地理解周期函数的性质。
傅里叶级数的表示形式为：$$f(x)=\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)$$其中，$a_0$、$a_n$、$b_n$都是常数系数，$x$是自变量。
傅里叶级数表示了一个周期为$2\pi$的函数$f(x)$可以分解为多个周期为$\frac{2\pi}{n}$($n=1,2,3,\cdots$)的正弦和余弦函数的和。
其中$a_n$和$b_n$分别表示$f(x)$在一个周期内的偶函数和奇函数的系数，$a_0$表示$f(x)$在一个周期内的平均值。
傅里叶级数的推导过程需要借助于正交函数的思想。
将一组正交函数与一个函数进行内积运算，得到的系数就是该函数在这组正交函数上的投影。
傅里叶级数就是将正弦和余弦函数作为正交函数来分解一个周期函数$f(x)$的过程。
傅里叶级数的性质十分重要，它们不仅为理解周期函数提供了便捷的工具，同时也具有重要的数学意义。
下面将介绍傅里叶级数的四个主要性质。
1. 周期性傅里叶级数是一个周期为$2\pi$的函数，这一点可以从其表示形式看出。
由于正弦和余弦函数都是周期为$2\pi$的函数，所以傅里叶级数表示的周期函数也是周期为$2\pi$的。
这个周期可以通过对傅里叶级数中的每个正弦和余弦函数的周期求最小公倍数得到。
2. 收敛性傅里叶级数有可能不收敛，也有可能收敛于非周期函数。
关于傅里叶级数的收敛性，有一个重要的结论称为狄利克雷条件：如果一个周期函数在一个周期内满足狄利克雷条件，那么其傅里叶级数必定收敛于该函数。
狄利克雷条件是指周期函数在一个周期内必须满足以下两个条件之一：(1) 函数在一个周期内只有有限个极值点（包括最大值和最小值）；(2) 函数在一个周期内只有有限个不连续点（包括第一类和第二类不连续点）。
傅里叶级数展开计算
傅里叶级数展开计算傅里叶级数展开（Fourier series expansion）是一种将周期函数分解为一组简单正弦和余弦函数的方法。
在这个分解中，每个正弦和余弦的振幅和相位在某种意义上是唯一确定的。
傅里叶级数由以下公式表示：f(x)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(n{\omega}x)+\sum_{n=1}^{\infty} b_n\sin(n{\omega}x)其中，a_0是常数项，a_n和b_n是对应于余弦和正弦项的系数。
系数a_n和b_n是由f(x)的傅里叶系数公式确定的：a_n=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)\cos(n{\omega}x)dxb_n= \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)\sin(n{\omega}x)dx其中，T是函数的周期，{\omega}=\frac{2\pi}{T}是角频率。
要计算傅里叶级数展开，我们需要知道周期函数的周期T、傅里叶系数a_n和b_n以及常数项a_0。
首先，确定周期T非常重要，因为它决定了正弦和余弦的频率。
如果我们选择了错误的周期，那么结果可能是意外的。
其次，我们需要计算傅里叶系数a_n和b_n。
傅里叶系数表示了函数在振动频率为n{\omega}时的幅度。
要计算a_n和b_n，需要对函数f(x)进行积分。
积分的区间是周期的一半，即从-\frac{T}{2}到\frac{T}{2}。
要计算积分，我们需要知道函数f(x)。
最后，我们需要计算常数项a_0。
由于傅里叶级数包含正弦和余弦项，没有确定的常数项可以产生等于常数项的函数值。
为了解决这个问题，我们需要计算平均函数值。
平均函数值可以通过求解傅里叶系数a_0的公式来计算：a_0=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)dx在实际应用中，使用傅里叶级数展开来解决各种问题。
基本函数的傅里叶级数展开公式
基本函数的傅里叶级数展开公式
傅里叶级数展开公式是将一个周期函数表示为一系列正弦和余
弦函数之和的表达式。
对于基本函数而言，傅里叶级数展开公式可以写作：
f(x) = a0/2 + Σ(n=1 to ∞) [an*cos(nωx) + bn*sin(nωx)] 其中，a0、an、bn分别是傅里叶系数，ω是角频率，x是周期函数中的一点。
对于常见的基本函数而言，它们的傅里叶级数展开公式如下：
1. 正弦函数：
f(x) = Σ(n=1 to ∞) [bn*sin(nωx)]
其中，bn = (2/T) * ∫(T/2 to -T/2) f(x)sin(nωx)dx
2. 余弦函数：
f(x) = a0/2 + Σ(n=1 to ∞) [an*cos(nωx)]
其中，a0 = (1/T) * ∫(T/2 to -T/2) f(x)dx
an = (2/T) * ∫(T/2 to -T/2) f(x)cos(nωx)dx
3. 三角函数：
f(x) = a0/2 + Σ(n=1 to ∞) [an*cos(nωx) + bn*sin(nωx)] 其中，a0 = (1/T) * ∫(T/2 to -T/2) f(x)dx
an = (2/T) * ∫(T/2 to -T/2) f(x)cos(nωx)dx
bn = (2/T) * ∫(T/2 to -T/2) f(x)sin(nωx)dx
通过以上公式，我们可以将一个周期函数表示为一系列正弦和余弦函数之和，从而更好地进行数学分析和计算处理。
高等数学傅里叶级数展开公式
高等数学傅里叶级数展开公式
（原创版）
目录
1.傅里叶级数的概念与意义
2.傅里叶级数展开公式的形式
3.傅里叶级数展开的例子
4.傅里叶级数与其他正交函数集的关系
5.傅里叶级数在实际应用中的意义
正文
高等数学中的傅里叶级数是一个非常重要的概念，它是一种特殊的三角级数，可以用来表示周期函数在一定区间内的值。
傅里叶级数的展开公式可以写作：f(x) = a0/2 + Σ[an*cos(nx) + bn*sin(nx)]，其中 n 从0 到无穷大，an 和 bn 是傅里叶系数，a0 是常数项。
举个例子，如果我们有一个高斯函数（取整函数），我们可以通过傅里叶级数展开来表示它。
假设我们的高斯函数是 f(x) = e^(-πx^2)，我们可以计算出它的傅里叶系数，然后将它们代入傅里叶级数展开公式中，得到高斯函数的傅里叶级数表示形式。
傅里叶级数与其他正交函数集的关系也很重要。
傅里叶级数选择三角函数集，只是因为三角函数集一类特殊的正交函数集，其实还有很多其他的正交函数集。
我们可以用其他的完备正交函数集来拟合给定区间的给定函数，不过本科只涉及到三角函数。
在实际应用中，傅里叶级数有着广泛的应用，比如在信号处理、图像处理、量子力学等领域都有重要的应用。
通过傅里叶级数，我们可以将复杂的周期函数分解成简单的三角函数，从而更容易地分析和处理。
第1页共1页。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
的傅里叶级数
首页
上页
下页
返回
结束
高 等 数 学 教 案 华 南 理 工 大 学 广 州 汽 车 学 院
二、分析问题 2、傅里叶级数的两个基本问题
a0 ∞ f (x)？ + ∑(ak cos kx + bk sin kx) = 2 k =1 问题 1.若能展开，an , bn 是什么？
2.展开的条件是什么?
有如下特性 （1）它们的最小公共周期为 （2）任何两个不同的函数相乘在 （3）任何两个相同的函数相乘在 上积分 为0 上积分不为0
∫
π
−π
π
cos kx sin nx dx =0
sin2 nx dx = π
首页 上页 下页 返回 结束
∫
−π
高 等 数 学 教 案 华 南 理 工 大 学 广 州 汽 车 学 院
] = 0,
当n = 2 , 4 , 6 , L
1 1 1 ∴ f (x) = [ sin x + sin3x + sin5x + sin7x +L+L] π 3 5 7
(−∞ < x < +∞ , x ≠ 0 , ±π , ± 2π , L)
4
首页
上页
下页
返回
结束
高 等 数 学 教 案 华 南 理 工 大 学 广 州 汽 车 学 院
a （1）若能展开，n , bn 是什么？
（2）展开的条件是什么?
三、解决问题
1.收敛定理 2.例子及演示
首页 上页 下页 返回 结束
高 等 数 学 教 案 华 南 理 工 大 学 广 州 汽 车 学 院
重要结论 ：
1.傅里叶级数展开的条件是什么? 1.傅里叶级数展开的条件是什么 傅里叶级数展开的条件是什么 收敛定理，狄利克雷条件: 1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点; 2) 在一个周期内只有有限个极值点 2.傅里叶级数的作用 傅里叶级数的作用 是声音等信号处理的重要工具。 3.最大胆最辉煌的设想 3.最大胆最辉煌的设想 任何函数都可以表示为单纯的正弦与余弦函数之和
首页 上页 下页 返回 结束
4
高 等 数 学 教 案 华 南 理 工 大 学 广 州 汽 车 学 院
u=
4
π
sin t
首页
上页
下页
返回
结束
高 等 数 学 教 案 华 南 理 工 大 学 广 州 汽 车 学 院
1 u = (sin t + sin 3t ) 3 π
4
首页
上页
下页
返回
结束
高 等 数 学 教 案 华 南 理 工 大 学 广 州 汽 车 学 院
首页
上页
下页
返回
结束
高 等 数 学 教 案 华 南 理 工 大 学 广 州 汽 车 学 院
二、分析问题 1、历史回顾 1822年， Fourier经过十年的努力，终于出版了专 著： 《热的解析理论》 这部经典著作将欧拉、伯努力等人在一些特殊情况 下试用的三角级数方法，发展成内容丰富的一般理 论，特别是在工程应用方面显示出巨大的价值。
首页
上页
下页
返回
结束
高 等 数 学 教 案 华 南 理 工 大 学 广 州 汽 车 学 院
首页
上页
下页
返回
结束
①
展开成的傅里叶级数是否和f(x)相等？
首页
上页
下页
返回
结束
高 等 数 学 教 案 华 南 理 工 大 学 广 州 汽 车 学 院
三、解决问题 定理 (收敛定理)设f(x)是周期为2π 的 周期函数,并满足狄利克雷条件: 1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点; 2) 在一个周期内只有有限个极值点, 注意:函数展成 傅里叶级数的条 则f(x)的傅里叶级数收敛 , 且有
首页 上页 下页 返回 结束
高 等 数 学 教 案 华 南 理 工 大 学 广 州 汽 车 学 院
二、分析问题
任何函数都可以表示为单纯的正弦 与余弦函数之和。
a0 ∞ + ∑(ak cos kx + bk sin kx) = ？ 2 k =1
首页
上页
下页
返回
结束
高 等 数 学 教 案 华 南 理 工 大 学 广 州 汽 车 学 院
（ 能否把函数展开成三角级数） 一、提出问题 3.三角函数及三角级数 3.三角函数及三角级数
简谐振动 : 若干个简谐振动的叠加
简单的周期运动
复杂的周期运动 问题： 任何一个周期函数
∞ n =1
,能否表示为三角级数
= A0 + ∑ An sin(nω t + φn ) ？
首页 上页 下页 返回 结束
高 等 数 学 教 案 华 南 理 工 大 学 广 州 汽 车 学 院
首页 上页 下页 返回 结束
高 等 数 学 教 案 华 南 理 工 大 学 广 州 汽 车 学 院
一、提出问题 （为什么想到要把函数展开成三角级数）
首页
上页
下页
返回
结束
高 等 数 学 教 案 华 南 理 工 大 学 广 州 汽 车 学 院
一、提出问题 （为什么想到要把函数展开成三角级数） 函数展成幂级数： 函数展成幂级数：泰勒展式 为复杂函数的近似运算提供了一种算法
首页
上页
下页
返回
结束
高 等 数 学 教 案 华 南 理 工 大 学 广 州 汽 车 学 院
一、提出问题 （为什么想到要把函数展开成三角级数） 1.在工程技术中三角函数容易实现 单摆 弹簧
首页
上页
下页
返回
结束
高 等 数 学 教 案 华 南 理 工 大 学 广 州 汽 车 学 院
一、提出问题 （为什么要把函数展开成三角级数） 2.三角函数系的 2.三角函数系的 正交性
二、分析问题 1、历史回顾 Fourier在研究热的传导，得到以下偏微分方程
2 ∂ 2u 2 ∂ u 0 < x < l, t > 0 ∂t 2 = a ∂x2 , t >0 u(0, t ) = 0, u(l , t ) = 0, ∂u( x,0) u( x,0) = ϕ ( x), = ψ ( x), 0 ≤ x ≤ l ∂t
枕边梦去心亦去，醒后梦还心不还。 最后得到方程解
nπa nπa nπ u = ∑ (Cn cos t + Dn sin t ) sin x l l l n =1
∞
首页 上页 下页 返回 结束
高 等 数 学 教 案 华 南 理 工 大 学 广 州 汽 车 学 院
二、分析问题 1、历史回顾 1807年12月12日，在法国科学院举行的一次会 议上，Fourier宣读了他的一篇关于热传导的论 文，宣称： 在有限区间上由任意图形定义的任 何函数都可以表示为单纯的正弦与 余弦函数之和。 （号称3L） 经过拉格朗日、拉普拉斯、勒让德三人 审阅后，认为其推导极不严密，被拒收。
首页
上页
下页
返回
结束
高 等 数 学 教 案 华 南 理 工 大 学 广 州 汽 车 学 院
二、分析问题 1、历史回顾 1811年， Fourier将修改好的论文： 《关于热传导问题的研究》 提交给法国科学院。 经过评审小组（3L）审阅后，认为其新颖、实 用，从而于1812年获得法国科学院颁发的大奖， 但仍以其不严密性被《论文汇编》拒收。
三、解决问题
1 1 1 ∴ f (x) = [ sin x + sin3x + sin5x + sin7x +L+L] π 3 5 7 方波 方波的傅里叶级数
上述结果表明: 1.当方波的傅里叶级数的项数越来越多时， 它的图像会和方波的图像越来越 接近. 2.方波是由一系列不同频率的简谐波叠加，且 这些频率一次是基频的奇数倍. 3.作用：可利用傅里叶级数作频谱分析.
件比展成幂级数 的条件“宽”得 多.
= f (x+ ) + f (x− ) , x 为间断点
2
首页 上页 下页 返回 结束
f (x) ,
x 为连续点
高 等 数 学 教 案 华 南 理 工 大 学 广 州 汽 车 学 院
三、解决问题 例1.设f(x)是周期为 2π 的周期函数 , 它在 上的表达式为
二、分析问题 2、傅里叶级数的两个基本问题
a0 ∞ f (x) = + ∑(ak cos kx + bk sin kx) 2 k =1 问题 1.若能展开，an , bn 是什么？
2.展开的条件是什么? 称为 三角级数①称为 的傅里叶系数 ， 的傅里叶级数
首页 上页 下页
①
②
返回
结束
通过求
高 等 数 学 教 案 华 南 理 工 大 学 广 州 汽 车 学 院
高 等 数 学 教 案 华 南 理 工 大 学 广 州 汽 车 学 院
首页
上页
下页
返回
结束
高 等 数 学 教 案 华 南 理 工 大 学 广 州 汽 车 学 院
第七节 傅里叶级数 一、提出问题
为什么想到要把函数展开成三角级数
二、分析问题
1.历史回顾 2.傅里叶级数
三、解决问题
1.收敛定理 2.例子及演示
首页 上页 下页 返回 结束
4
高 等 数 学 教 案 华 南 理 工 大 学 广 州 汽 车 学 院
三、解决问题
1 1 1 ∴ f (x) = [ sin x + sin3x + sin5x + sin7x +L+L] π 3 5 7 方波 方波的傅里叶级数
上述结果表明: 1.当方波的傅里叶级数的项数越来越多时， 它的图像会和方波的图像越来越 接近. 2.方波是由一系列不同频率的简谐波叠加，且 这些频率依次是基频的奇数倍. 3.作用：可利用傅里叶级数作频谱分析.