Zemax光学设计：一个柯克物镜的Seidel像差系数的计算
zemax光学设计像差分析
光线——波面的法线
波像差——实际波面对理想波面的偏离
轴上点 A 以单色光成像
存在球差
,A'M交理想波面于M，
即为波差。（以理想波面为基准，右负左正）
一、轴上点的波像差及其与球差的关系[返回本章要点]
球差相当的波像差为以u'2 为纵坐标，以δL'为横坐标的球差曲线 与纵轴所围面积的一半 【推导】
当物方无穷远时，u’=h/f’
离焦
离焦 垂轴离焦：对各条光线 δy'均改变同样值。->坐标平移 沿轴离焦：纵轴转一角度,以形成尽可能相等的大小相同、符号相反的小 面积
注意 1. 垂轴离焦只为评价像质，轴向离焦才为确定最佳像面位置。
[返回本章要点]
2.
沿轴离焦只能对某一视场而言，不同的视场有不同的沿轴离焦要求，不能同时满足。
3. 轴向离焦中
4. 计算精度较高
[返回本章要点]
§10-5 球色差、几何色差与波色差的关系 [返回本章要点]
一、球色差
边光环带的 F、C 波面相交，但 F、C 光由于球差存在，在其它 环带波面不相交，称球色差。 二、几何色差与波色差的关系
一般光学系统：
，校正色差要求：
此时
校正色差
当 0.707 环带
相当于
几何色差——带光消
1.当仅有初级量时
讨论 以波长为单位时，
边缘处波像差最大。移动接收面，以接收 面为基准，则球差将改变，波像差曲线随之改变。称之为离焦
赛德尔像差系数
赛德尔像差系数1. 什么是赛德尔像差系数？赛德尔像差系数（Seidel aberration coefficient）是光学系统中用来描述光线偏差的一个重要参数。
它通过对光线的像差进行分类和量化，用于评估光学系统的成像性能。
赛德尔像差系数的具体定义和计算方法与光学系统的设计和性质有关。
2. 赛德尔像差系数的分类根据光学系统中的光线偏差特点，赛德尔像差系数可以分为以下几类：2.1 球差（Spherical aberration）球差是指由于透镜的曲率不均匀或光线入射角不同而导致的成像位置偏差。
球差会使得像点不能完全聚焦在焦平面上，造成图像模糊和失真。
2.2 彗差（Coma）彗差是指光线在非轴上通过透镜时的偏差。
由于彗差的存在，非轴上的像点会呈现出一种彗星状的形态。
2.3 焦散（Astigmatism）焦散是指由于透镜的形状不规则或光线入射角不同而导致的成像位置偏差。
焦散会使得不同方向上的像点无法同时聚焦在焦平面上，造成图像模糊和失真。
2.4 弧差（Curvature of field）弧差是指由于光线通过透镜时，成像平面不在一个平面上而引起的像差。
弧差会导致不同位置的像点聚焦在不同的位置上，使得图像边缘失真。
2.5 像散（Distortion）像散是指由于透镜的形状不规则或光线入射角不同而引起的像差。
像散会使得图像中的直线变形，出现弯曲或拉伸的现象。
3. 赛德尔像差系数的计算方法赛德尔像差系数的计算方法主要基于光线的轴向和非轴向偏差。
下面是常见的赛德尔像差系数的计算公式：3.1 球差系数计算公式球差系数可通过将光线通过透镜的光路计算得到，其计算公式为：S球差=14(1f)2(ℎn)2其中，S球差为球差系数，f为透镜焦距，ℎ为入射光线的高度，n为介质折射率。
3.2 彗差系数计算公式彗差系数可通过将光线通过透镜的光路计算得到，其计算公式为：S彗差=14(1f)2(ℎn)3其中，S彗差为彗差系数，f为透镜焦距，ℎ为入射光线的高度，n为介质折射率。
Zemax课堂2 (solves求解和分析 )
Thickness solves
Thickness solves
• Marginal ray height:定位像平面（常用控制近轴边缘光线在后一 个面上的高度，使像面处在近轴焦点上）；还可以约束特定的 光束；
• Chief ray height:定位pupil p（应用：1、它可以将参考面固定地处在 pupil上，2、定位入、出瞳）； • Edge thickness:控制二个面之间的距离，使其在半径为某个值 处为规定的值。可以避免边缘厚度为负或边缘太尖锐； • Pick up：使这个面的thickness值随指定的面按一定规律变化； （主要用于：double pass system, endoscopes,relay lens等 包含多个相同元件的系统中），
Huygens MTF
• Huygens MTF：计算Huygens PSF的FFT。出瞳存在严重的拉伸时，在出 瞳上的光线分布不均匀，比FFT MTF更普遍使用。 •Huygens Through Focus MTF: vs. focus shift：在不同离焦距离下的 Huygens MTF的变化曲线；
值。
• Surface Phase：显示某个面对通过的光线的位相改变情况，单位 为周期。
RMS
• RMS vs. Field：RMS radial, x, and y spot radius, RMS wavefront error, or Strehl ratio对视场角的变化曲线； • RMS vs. Wavelength：RMS radial, x, and y spot radius, RMS wavefront error, or Strehl ratio对波长的变化曲线；
Glass solves
ZEMAX建模及像差分析(1)
41
2.7 倍率色差
我们知道放大率与焦距有关，而透镜焦距与折射 率有关，折射率n的大小又与光的颜色有关。可见， 透镜对不同色光有不同的放大率，因此，白光通过 透镜可形成一系列的与各色光对应的高度不同，位 置也不一致的像，而在其中任一色光所成的像面上 只能得到一个有彩边的“像”。这种色差，称为放 大率色差。由于它表现在垂轴方向，因而也叫垂轴 色差，或叫倍率色差。
ZEMAX建模及像差分析
◆ZEMAX建模 ◆ZEMAX像差分析
1
§1 光阑
光学元件的边缘、框架或者特别设置的带孔屏障
光阑
感光 底片
限制光束孔径、限制视场，影响像的景深、 亮度、分辨本领、像差等。
1.1 孔径光阑 入射光瞳和出射光瞳
孔径光阑：真正决定着通过光具组光束孔径的光阑
焦点 以内
有效光阑
入射光瞳 (孔径光阑在物方的共轭)
鱼眼镜头 门镜系统
应用负畸变增加视场
39
一般系统的畸变要求
• 目视光学系统<3％ • 数码相机镜头<2％ • 测量系统 <0.5%
40
2.6 位置色差
• 由透镜焦距公式 1/f′＝（n-1）（1/r1-1/r2）可 知，同一薄透镜对不同色光，对应着不同焦距。 由高斯公式1/S′＝1/f′+1/S可知，当透镜对一物 体成像时，由于各种色光对应的焦f′值不同，所 以各色光所成的像位置就不同。按色光的波长 由短到长，它们的像点离开透镜由近到远地排 列在光轴上，这种现象就是位置色差。即使在 光学系统的近轴区，也同样存在着位置色差。
seidel系数
seidel系数什么是Seidel系数？Seidel系数是一种用于衡量光学元件成像质量的指标。
它是根据Seidel 理论而得出的，Seidel理论是基于光线传输方程推导出来的。
在光学系统中，如透镜或反射镜等，光线经过折射或反射后会发生偏折，从而会引起成像质量的变化。
Seidel系数衡量的就是这种光线偏折对成像质量的影响，它包括了光线经过光学系统时的主要像差项。
主要像差项有哪些？主要的像差项包括球差、彗差、像散、像场弯曲和畸变等。
下面逐一解释这些像差项：1. 球差：球差是透镜或反射镜在光线入射位置不同时引起的像差，它表现为焦距与入射光线高度的关系。
当光线入射位置离轴越远时，球差越严重。
2. 彗差：彗差也是光线入射位置引起的像差，不同于球差，彗差是由于非球面形状引起的。
在非球面透镜或反射镜中，彗差表现为光线的聚焦位置不同。
3. 像散：像散是光线通过非轴上位置时产生的像差，它与波长和入射角度有关。
当光线波长不同或入射角度不同时，像散现象就会出现。
4. 像场弯曲：像场弯曲是由于非理想透镜或反射镜形状引起的像差。
它表现为在不同位置处，图像出现的畸变，使得图像有一定的形状变化。
5. 畸变：畸变是指透镜或反射镜引起的图像失真现象。
根据失真的形式可以分为桶形畸变和枕形畸变。
桶形畸变指像质在图像边缘向中心收缩，而枕形畸变则相反。
如何计算Seidel系数？计算Seidel系数需要对系统的光学元件进行数学建模，然后通过光线追迹的方法进行计算。
首先，根据透镜或反射镜的参数（例如球面曲率、厚度、尺寸等）建立数学模型。
然后，通过光线追迹的方法，将入射光线从不同位置和角度射向光学元件，并进行折射或反射计算。
根据光线的追迹结果，可以得到成像位置的变化情况。
利用成像位置的变化，可以计算出Seidel系数。
Seidel系数是成像位置关于入射位置和角度的导数。
通过计算各个主要像差项的Seidel系数，可以了解到光学系统的成像质量情况。
Zemax光学设计：双片式透镜的Seidel像差及校正
Zemax光学设计：双片式透镜的Seidel像差及校正双片式物镜适用于很多小口径（最大为f/4）和小视场角的情况。
双片物镜的两个元件可以胶合在一起，也可以用空气间隔分开。
在大多数情况下，两片透镜是胶合在一起的，因为这样公差更容易满足而且更牢固。
双片镜可以单独使用，也可以用作准直镜或者望远镜的物镜。
许多透镜系统都含有若干个双片镜。
对单个双片式物镜探讨得到的大部分结果，也适用于复杂系统中的双片镜。
1.双片式物镜的Seidel分析1.1色差2.由在光阑处的薄透镜的轴向色差的Seidel方程：若要使双片式物镜的轴向色差得以校正，需要满足的条件为：同时，两个透镜的光焦度的和等于总光焦度：联立上面两式可以求出：在常规的光学设计中，常用玻璃库中，折射率范围在1.5至1.8之间，V值范围在90至20之间例如，取V1=60，V2=36，代入上式可得：1.2像散与场曲的横向光线像差三阶像散与场曲的横向光线像差为：注意，δη`表示y分量（即y-z平面或子午面内的光线，），δξ`表示x分量（即x-z平面或弧矢面内的光线）。
又因为薄透镜在光阑上，当n=1.5时，则上式可以简化为：例如，一个双片式透镜，焦距f`=100mm，即光焦度K=0.01mm-1，孔径为f/5，透镜的数值孔径（在空气中）u`=n`sinU`约为0.1，半视场角为1°，那么像高η`=f`tam(1°)≈1.74mm。
因此，可以计算得到：在ZEMAX中模拟上述这个例子。
在MFE中可以使用操作数查看透镜的数值孔径（在空气中）u`=n`sinU`约为0.1，和像高η`：再查看SeidelCoefficient：1.3同时校正 Petzval 和与轴向色差同时校正镜头的所有像差是不可能的。
对于可见光波段的双片式透镜，这点更为明显。
双片式透镜可以改变的设计参数非常少，而且很多可以产生更好结果的玻璃不能用。
例如，两个贴在一起的双片式透镜的场曲为：其轴向色差为：这两个方程非常类似，若我们可以找到一对玻璃满足以下条件：就可以同时校正S4和C1。
设计实例zemax设计照相物镜详细过程
照相物镜设计实例
照相物镜的技术指标要求：
焦距：f’=9.6mm； 焦距：f’=9.6mm； 相对孔径D/f’不小于1/2.8； 图像传感器为1/2.5英寸的CCD， 成像面大小为4.32mm×5.76mm； 后工作距>5mm 在可见光波段设计(取d、F、C三种色光，d为主波 长)； 1m成像质量，MTF 轴上>40% @100 lp/mm 轴外0.707 >35%@100 lp/mm ������ 最大畸变<1%
在镜片厚度（Thickness）列顺序输入表1-2中的 镜片厚度；在第七个面厚度处单击右键，选择面 型为Marginal Ray Height。在镜片类型（Glass） 列输入镜片参数，方法是:在表中点右键对话框 Solve Type选中Model，Index nd中输入n值， Abbe Vd中输入v值。结果如下图2-1在systemgeneral-aperture中输入相对孔径值2.8，在 system-wavelength中输入所选波段，根据要求选 d光为主波长。然后在tools-make focus中改焦距 为12mm进行缩放。
照相物镜镜头设计与像差
分析
设计实例
光学设计流程
光学设计初始结构方法
1、计算法
2、计算结合经验法
3、经验法
4、查资料法(孔径、视场、波长、 焦距，整体缩放)
查资料法:确定初始结构
查资料法
E.F.L----Effective Focus Length （有效焦距） B.F.L----Back Focus Length （后工作距） FNo.----F Number （相对孔径） F.A.----Field Angle (视场角)
该镜头不仅体积小, 结构紧凑, 而且像质较 好。在此次设计中，发现光阑面使用非球 面能够很好的平衡像差，只进行了对玻璃 厚度和曲率的简单优化，查阅相关资料后 设想如果将第一面的透镜换为鼓形透镜， 第二面换为弯月透镜或换成折射率更高的 玻璃，还可以进一步做出深度优化，使之 获得更好的性能 。
Zemax光学设计：ZEMAX中的初级像差描述
Zemax光学设计：ZEMAX中的初级像差描述引言：实际的光学系统都是不完美的，光线经过光学系统各个表面的传输都会形成多种像差。
光学设计的一个重要任务就是校正、优化与平衡这些像差，使成像质量达到技术要求。
常见的初级像差包括5种单色像差（球差、彗差、像散、场曲与畸变）和2种色差（轴向色差与倍率色差）。
1.ZEMAX中的球差描述以一个简单的单透镜为例。
首先输入系统特性参数，如下：在系统通用对话框中设置孔径。
在孔径类型中选择“Entrance Pupil Diameter”，并根据设计要求输入“50.0”；在视场设定对话框中设置1个视场，要选择“Angle”，如下图：在波长设定对话框中，设定0.55um一个波长，如下图：LDE的结构参数，如下图：查看2D Layout：查看Ray Fan：Ray Fan图中可以定量分析球差在不同孔径的大小，可以看出球差曲线具有旋转对称性；而且由于不存在离焦的情况，其在中央区域很平坦。
查看点列图：可以看出，不同环带（孔径）的光线会聚于光轴的不同点。
球差是和孔径相关的像差。
查看波前图：从光程差上分析，球差的产生其实是波前相位的移动，即出瞳参考球面与实际球面波前的差异。
当实际波前和参考波前分离时，光程差不再相等，这样物面同一束光经实际透镜和理想透镜后，相当于产生了牛顿干涉环。
查看Seidel Coefficients：也可以在MFE中使用操作数查看球差值。
Surf若不指定某一个面(取值为0)，则计算所有面产生球差总和。
2.ZEMAX中的彗差描述使用一个带Binary 2面型的单透镜来模拟彗差。
首先输入系统特性参数，如下：在系统通用对话框中设置孔径。
在孔径类型中选择“Entrance Pupil Diameter”，并根据设计要求输入“20.0”；在视场设定对话框中设置1个视场，要选择“Angle”，如下图：在波长设定对话框中，设定0.55um一个波长，如下图：LDE的结构参数，如下图：查看2D Layout：查看Ray Fan：Ray Fan图显示彗差为主要像差，残余还有离焦和球差。
zemax像差图分析
zemax像差图分析ZEMAX 像差深入以及像差各种图表分析初级像差深入近轴光线和远轴光线的概念。
近轴光线和远轴光线都是指与光轴平行的光线，它们都成像在光轴上（下图中画的是主光轴情况）。
缩小的光圈可以拦去远轴光线，而由近轴光线来成像。
总的来说，镜头的像差可以分成两大类，即单色像差及色差。
镜头的单色像差五种，它们分别是影响成像清晰度的球差、彗差、象散、场曲，以及影响物象相似度的畸变。
以下就分别介绍五种不同性质的单色像差：球差是由于镜头的透镜球面上各点的聚光能力不同而引起的。
从无穷远处来的平行光线在理论上应该会聚在焦点上。
但是由于近轴光线与远轴光线的会聚点并不一致，会聚光线并不是形成一个点，而是一个以光轴为中心对称的弥散圆，这种像差就称为球差。
球差的存在引起了成像的模糊，而从下图可以看出，这种模糊是与光圈的大小有关的。
小光圈时，由于光阑挡去了远轴光线，弥散圆的直径就小，图像就会清晰。
大光圈时弥散圆直径就大，图像就会比较模糊。
必须注意，这种由球差引起的图像模糊与景深中的模糊完全是两会事，不可以混为一谈的。
球差可以通过复合透镜或者非球面镜等办法在最大限度下消除的。
在照相镜头中，光圈（孔径）数增加一档（光孔缩小一档），球差就缩小一半。
我们在拍摄时，只要光线条件允许，可以考虑使用较小的光圈（孔径）来减小球差的影响。
丰主圣彗差是在轴外成像时产生的一种像差。
从光轴外的某一点向镜头发出一束平行光线，经光学系统后，在像平面上并不是成一个点的像，而是形成不对称的弥散光斑，这种弥散光斑的形状象彗星，从中心到边缘拖着一个由细到粗的尾巴，首端明亮、清晰，尾端宽大、暗淡、模糊。
这种轴外光束引起的像差就称为彗差。
彗差的大小既与光圈（孔径）有关，也与视场有关。
我们在拍摄时也可以采取适当采用较小的光圈（孔径）来减少彗差对成象的影响。
像散也是一种轴外像差。
与彗差不同，像散仅仅与视场有关。
由于轴外光束的不对称性，使得轴外点的子午细光束（即镜头的直径方向）的会聚点与弧矢细光束（镜头的园弧方向）的会聚点位置不同，这种现象称为象散。
光学系统设计z系数计算公式
光学系统设计z系数计算公式在光学系统中，光线从物体上的一点出发，通过光学系统中的一系列光学元件，最终会汇聚到像平面上的一点。
然而，由于光线的折射、散射等现象，光学系统中会存在一定的像差。
像差的存在会导致成像质量下降，影响系统的分辨率、聚焦能力等。
Z系数通过对比理想像差情况和实际像差情况来评估系统的像差程度。
理想像差是指理想光学系统（无像差）所产生的像差情况，而实际像差则是指实际光学系统所产生的像差情况。
光学系统设计中常用的Zernike多项式可以用来表示系统的像差。
Zernike多项式是一组正交归一化的函数，可以用来描述光学系统在不同位置上的像差情况。
利用Zernike多项式展开系数的绝对值，可以得到系统的Z系数。
Zernike多项式可以表示各种不同的像差类型，例如球差、像散、像场曲率等。
每个Zernike多项式都有一个对应的Z系数。
系统的Z系数是各个Zernike多项式对应的Z系数的平方和的平方根。
光学系统设计中，通过计算Z系数可以评估系统的像差程度，并且可以知道哪些Zernike多项式对系统的像差贡献最大。
通过调整系统的光学元件参数，可以减小这些对像差贡献最大的多项式的Z系数，从而改善系统的像差性能。
计算Z系数的具体步骤如下：1. 将系统的实际像差情况用Zernike多项式展开，得到各个Zernike多项式的展开系数。
2. 对每个Zernike多项式的展开系数求平方和，并对结果取平方根。
3.将步骤2中得到的结果作为Z系数。
需要注意的是，由于Z系数是光学系统的全息评价，它不能完全代表实际成像质量，因此在实际系统设计中，需要结合其他指标和要求，综合考虑系统的像差和其他性能指标。
总结起来，Z系数是光学系统设计中一个重要的评估指标，可以用来衡量系统的像差程度。
通过计算Z系数，可以了解系统在不同位置上的像差情况，并通过优化光学元件参数来改善系统的像差性能。
在实际系统设计中，需要综合考虑Z系数和其他性能指标，以满足系统的需求。
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Zemax光学设计：一个柯克物镜的Seidel像差系数的计算
引言：
Seidel像差系数中，五个单色三阶像差与两个一阶色差方程整合起来：
其中，A 等于ni ，i是近轴边际线的入射角度，A——等于 n i——，i——是近轴主光线的入射角度， h是近轴边际线的高度。
H是 Lagrange 不变量，等于nuh=n`u`h`。
还有，
在光学设计中这七个公式非常重要。
它们不仅简单易于理解，而且能够使设计者区分每个表面对特定像差的贡献量。
虽然，我们知道高级像差通常是限制镜头分辨率的主要因素，但是，对于一个具有好像质的镜头，校正以上七种像差却是必要条件。
柯克物镜seidel像差系数的计算过程：
以三片式的柯克物镜来举例，该实例来自ZEMAX自带的“Cooke 40 degree field”。
LDE结构参数如下：
2D Layout，如下图：
（1）计算Lagrange不变量H
该柯克物镜的焦距是100mm，入瞳直径是20mm，即入瞳半径为10mm，这就是在入射面的边际光线高度，即h=10mm；
该柯克物镜的半视场角为20°，那么像的尺寸大小为100mm×tan20°=36.397023mm。
像方孔径角u`=h/f`=10/100=0.1
Lagrange不变量H=nuh= n`u`h`=1×0.1×36.397023=3.6397023以上可以在ZEMAX MFE中直接计算与验证，如下图：
EFFL，有效焦距；
PARY，surf 1#，Py=1.0，第1面的近轴光线高度（注意：不要用REAY实际光线高度）；
PIMH，近轴像平面上的近轴像高；
DIVI，操作数5除以操作数6；
PROD，操作数3乘以操作数4；
以上从而计算得到Lagrange不变量H。
再用LINV直接计算Lagrange不变量H，两者结果一致。
（2）追迹一条近轴边际光线
利用以下两个公式追迹一条近轴边际光线：
例如：计算第2面的近轴光线高度h2。
第1面的近轴光线高度h1=10mm，u1=0，n=1.00，n`=1.6204，c1=1/R1=1/44.027185，d1=6.517912。
n`、R1和d1的数据可以在ZEMAX LDE中得到，代入上面两式中可以求出h2=9.433185mm。
可以在ZEMAX MFE中直接计算与验证，如下图：
两者计算结果一致。
由转面公式u2=u`1=-0.08696。
通过以上计算过程，可以依次求出各个面的u和h，列表如下：
可以在ZEMAX MFE中验证，如下图：
（3）计算折射不变量A
对于近轴边际线，我们还可以计算折射不变量A：
由已知的n、h、c和u可以求出各个面的A，如下表：
（4）计算每个面的球差系数S1
其中，
由已知的n、n`、h、c、u、u`和A可以求出各个面的球差系数S1，如下表：
具体计算过程，如下图：
再与ZEMAX Seidel Coefficient中的SPHA S1对比，如下图：
可以看出，该柯克物镜的球差系数S1的计算结果基本一致。
（5）计算每个面的轴向色差系数C1
其中，
由已知的n、n`、v d、v`d、h、和A可以求出各个面的轴向色差系数C1，如下表：
具体计算过程，如下图：
再与ZEMAX Seidel Coefficient中的CLA（CL）对比，如下图：
可以看出，计算结果与ZEMAX给出的结果数值相同，符号相反。
（6）计算每个面的场曲系数S4
其中，
由已知的H、c和n可以求出各个面的场曲系数S4，如下表：
具体计算过程，如下图：
再与ZEMAX Seidel Coefficient中的FCUR（S4）对比，如下图：
可以看出，该柯克物镜的球差系数S4的计算结果基本一致。
（7）求解每个面的离心率E
为了计算剩下的像差系数S2、S3、S5、和C2，我们需要每个表面的主光线折射不变量A——。
对于光学系统中的一些表面定义一个常量 E ， E 通常称为离心率，如下方程：
如此定义，那么E可以测出表面到光阑的距离，因为在光阑处的 h 为零。
通常，系统中每个表面的 E 都不一样。
近轴主光线入射角度A——的表达式：
只要知道一个表面的近轴边际线数据（ h , u 和 A ）以及常量E ，就完全确定近轴主光线的数据。
假设已知光学系统表面i和1+i的近轴边际线高度，它们分别是h i和h i+1。
假设我们还知道表面i和1+i的近轴主光线的高度h——i和h——i+1。
推导得到
根据定义，在光阑处E为零，所以可以利用上式来计算靠近光阑表面的E，接着可以利用该式计算系统中的其他表面的E。
然后由各个表面的E就可以求出主光线的h——，u——和A——。
这个柯克物镜的第 4 个面是光阑面，即根据定义E4等于零。
因为E4等于零，那就有
同样地，由E5可以求解E6。
至于光阑前面的表面，可以从光阑往前计算，先求E3，然后求E2，最后求E1。
由已知的A、H、h和n可以求出各个面的E，h——和A——，如下表：
具体计算过程，如下图：
（8）计算每个面的彗差系数S2
其中，
由已知的n、n`、h、c、u、u`、A和A——可以求出各个面的彗差系数S2，如下表：
具体计算过程，如下图：
再与ZEMAX Seidel Coefficient中的COMA S2对比，如下图：
可以看出，计算结果与ZEMAX给出的结果数值相同，符号相反。
（9）计算每个面的像散系数S3
其中，
由已知的n、n`、h、c、u、u`和A——可以求出各个面的像散系数S3，如下表：
具体计算过程，如下图：
再与ZEMAX Seidel Coefficient中的ANTI S3对比，如下图：
可以看出，计算结果与ZEMAX给出的结果数值基本一致。
（10）计算每个面的畸变系数S5
由已知的S3、S4、A和A——可以求出各个面的畸变系数S5，如下表：
具体计算过程，如下图：
再与ZEMAX Seidel Coefficient中的DIST S5对比，如下图：
可以看出，计算结果与ZEMAX给出的结果数值基本一致。
（11）计算每个面的垂轴色差系数C2
其中，
由已知的S3、S4、A和A——可以求出各个面的垂轴色差系数C2，如下表：
具体计算过程，如下图：
再与ZEMAX Seidel Coefficient中的CTR（CT）对比，如下图：
可以看出，计算结果与ZEMAX给出的结果数值基本一致。
（12）汇总
由这个柯克物镜的结构参数，计算得来的Seidel像差系数汇总如下表：
与ZEMAX的计算结果对比：
Seidel像差系数的汇总数据来看，球差S1、像散S3、场曲S4和垂轴色差C2的数值和符号都一致；但彗差S2、畸变S5和轴向色差C1的数值一致但符号相反。
应该注意的是，我们使用的是近轴数据来计算 Seidel 像差系数。
这点对于初学者可能会产生困惑，即像差是由根据定义没有像差的光线（近轴光线）计算出来的。
计算 Seidel像差需要的所有变量都是近轴参数，即近轴边际光线以及近轴主光线的高度和角度。
Seidel像差只能适用于所有面都是standardsurface的系统。
利用Seidel像差公式可以分析镜头的像差特性，而光线追迹，还是很难给出这个分析。
Seidel像差系数的计算过程值得好好钻研，以充分理解这些方程的应用。