考研数学3真题及答案
考研数学三(微积分)历年真题试卷汇编15(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编15(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(2005年)当a取值为( )时，函数f(x)=2x3一9x2+12x—a恰有两个不同的零点。
A．2。
B．4。
C．6。
D．8。
正确答案：B解析：由f’(x)=6x2一18x+12=6(x一1)(x一2)，知可能极值点为x=1，x=2，当x＜1和x＞2时，函数单调增加，1＜x＜2时，函数单调减小，且f(1)=5一a，f(2)=4一a。
可见当a=4时，f(1)=1＞0，且=一∞，由单调性和零点存在性定理可知，函数在(-∞，1)上有唯一的零点，而此时f(2)=0，在(1，2)和(2，+∞)上无零点，因此a=4时，f(x)恰好有两个零点。
故应选B。
知识模块：微积分2．(2001年)设函数f(x)的导数在x=a处连续，又，则( )A．x=a是f(x)的极小值点。
B．x=a是f(x)的极大值点。
C．(a，f(a))是曲线y=f(x)的拐点。
D．x=a不是f(x)的极值点，(a，f(a))也不是曲线y=f(x)的拐点。
正确答案：B解析：又函数f(x)的导数在x=a处连续，根据函数在某点连续的定义，左极限等于右极限且等于函数在该点的值，所以f’(a)=0，于是即f’(a)=0，f”(a)=一1＜0，根据判定极值的第二充分条件知x=a是f(x)的极大值点，因此，正确选项为B。
知识模块：微积分3．(2004年)设f(x)=|x(1-x)|，则( )A．x=0是f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线y=f(x)的拐点。
B．x=0不是f(x)的极值点，但(0，0)是曲线y=f(x)的拐点。
C．x=0是f(x)的极值点，且(O，O)是曲线y=f(x)的拐点。
D．x=0不是f(x)的极值点，(0，0)也不是曲线y=f(x)的拐点。
正确答案：C解析：令φ(x)=x(x一1)，则φ(x)=是以直线x=为对称轴，顶点坐标为开口向上的一条抛物线，与x轴相交的两点坐标为(0，0)，(1，0)，f(x)=|φ(x)|的图形如图。
考研数学三(微积分)历年真题试卷汇编22(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编22(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(1990年)设函数f(x)=xtanxesinx，则f(x)是( )A．偶函数．B．无界函数．C．周期函数．D．单调函数．正确答案：B解析：由于则f(x)无界．2．(2011年)已知当x→0时，函数f(x)=3sinx—sin3x与cxk是等价无穷小，则( )A．k=1，c=4．B．k=1，c=一4．C．k=3，c=4．D．k=3，c=一4．正确答案：C解析：则k=3，c=43．(2000年)设函数f(x)在点x=a处可导，则函数｜f(x)｜在点x=a处不可导的充分条件是( )A．f(a)=0且f’(a)=0B．f(a)=0且f’(a)≠0C．f(a)＞0且f’(a)＞0D．f(a)＜0且f’(a)＜0正确答案：B解析：排除法．A选项显然不正确，f(x)=(x一a)2就是一个反例．事实上C 和D也是不正确的．因为f(x)在a点可导，则f(x)在a点连续，若f(a)＞0(或f(a)＜0)则存在a点某邻域在此邻域内f(x)＞0(或f(x)＜0)，因此在a点的此邻域内｜f(x)｜=f(x)(或｜f(x)｜=一f(x))．从而可知｜f(x)｜与f(x)在a点可导性相同，而f(x)在点可导，从而C和D都不正确，因此，应选B．4．(2007年)设某商品的需求函数为Q=160—2p，其中Q，p分别表示需求量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是( ) A．10C．30．D．40．正确答案：D解析：由题设可知，该商品的需求弹性为由知p=40．故应选D．5．(1987年)下列广义积分收敛的是( )A．B．C．D．正确答案：C解析：由于收敛，所以．应选C．6．(2018年)设函数f(x)在[0，1]上二阶可导，且∫01 f(x)dx=0，则( ) A．B．C．D．正确答案：D解析：由泰勒公式得上式两端积分得7．(2006年)设f(x，y)与φ(x，y)均为可微函数，且φ’(x，y)≠0，已知(x0，y0)是f(x，y)在约束条件φ(x，y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是( ) A．若fx’(x0，y0)=0，则fy’(x0，y0)=0．B．若fx’(x0，y0)=0，则fy’(x0，y0)≠0．C．若fx’(x0，y0)≠0，则fy’(x0，y0)=0．D．若fx’(x0，y0)≠0，则fy’(x0，y0)≠0．正确答案：D解析：由拉格朗日乘数法知，若(x0，y0)是f(x，y)在条件φ(x，y)=0下的极值点，则必有若fx’(x0，y0)≠0，由①式知λ≠0，由原题设知φy’ (x0，y0)≠0，由②式可知fy’ (x0，y0)≠0，故应选8．(2016年)级数(k为常数)( )A．绝对收敛．B．条件收敛．C．发散．D．收敛性与k有关．正确答案：A解析：由于收敛，则原级数绝对收敛．填空题9．(2007年) =______．正确答案：应填0．解析：由于sinx+cosx为有界变量，则10．(1990年)设f(x)有连续的导数，f(0)=0且f’(0)=b，若函数在x=0处连续，则常数A=______．正确答案：应填a+b．解析：由于F(x)在x=0连续，则11．(2003年)已知曲线y=x3一3a2x+b与x轴相切，则b2可以通过a表示为b2=______．正确答案：应填4a6．解析：设曲线y=x3一3a2x+b在x=x0处与x轴相切，则3x02—3a2=0 且x03—3a2x0+b=0即x02=a2 且x0(x02—3a2)=一b从而可得b2=4a612．(2018年)设函数f(x)满足f(x+△x)一f(x)=2xf(x)△x+o(△x)(△x→0)，且f(0)=2，则f(1)=______．正确答案：应填2e．解析：由f(x+△x)一f(x)=2xf(x)△x+o(△x)(△x→0)知上式中令△x→0得f’(x)=2xf(x)解方程得f(x)=Cex2又f(0)=2，则C=2，f(x)=2ex2，f(1)=2e．13．(2010年)设可导函数y=y(x)由方程∫0x+ye－t2dt=∫0xxsint2dt确定，则=______.正确答案：应填一1．解析：由∫0x+ye－t2dt=x∫0xsintdt知，x=0时y=0，且e－(x+y)2(1+y’)=∫0xsintdt+xsinx将x=0和y=0代入上式得1+y’(0)=0y’(0)=－114．(2000年)设其中f，g均可微，则=______．正确答案：应填解析：15．(2014年)二次积分=______．正确答案：应填解析：积分中的第二项适合先对x后对y积分，但第一项适合先对y后对x 积分．解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编12(题后含答案及解析)
考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编12(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．对任意两个随机变量X和Y，若E(XY)＝E(X).E(Y)，则A．D(XY)＝D(X).D(Y)．B．D(X＋Y)＝D(X)＋D(Y)．C．X与Y独立．D．X与Y不独立．正确答案：B解析：∵D(X＋Y)＝D(X)＋D(Y)＋2[E(XY)－E(X)E(Y)]，可见选项B与E(XY)＝E(X)E(Y)是等价的．知识模块：概率论与数理统计2．设随机变量X和Y独立同分布，记U＝X－Y，V＝X＋Y，则随机变量U与V必然A．不独立．B．独立．C．相关系数不为零．D．相关系数为零．正确答案：D解析：∵X与Y同分布，∴DX＝DY 得cov(U，V)＝cov(X－Y，X＋Y)＝cov(X，X)＋cov(X，Y)～cov(Y．X)－cov(Y，Y) ＝DX－DY=＝0 ∴相关系数ρ＝0 知识模块：概率论与数理统计3．将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于A．－1B．0C．D．1正确答案：A解析：∵X＋Y＝n，∴Y＝n－X 故DY＝D(n－X)＝DX，cov(X，Y)＝cov(X，n－X)＝－cov(X．X)＝－DX．∴X和Y的相关系数ρ(X，Y)＝＝－1．知识模块：概率论与数理统计4．设随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且X与Y不相关，fX(χ)，fY(y)分别表示X，Y的概率密度，则在Y＝y的条件下，X的条件概率密度fX｜Y(χ｜y)为A．fX(χ)．B．fY(y)．C．fX(χ)fY(y)．D．正确答案：A解析：由(X，Y)服从二维正态分布，且X与Y不相关．故X与Y独立，∴(X，Y)的概率密度f(χ，y)＝fX(χ).fY(y)，(χ，y)∈R2．得fX｜Y(X｜Y)＝＝fX(χ) 故选A．知识模块：概率论与数理统计填空题5．设随机变量Xij(i，j＝1，2，…，n；n≥2)独立同分布，EXij＝2，则行列式的数学期望EY＝_______．正确答案：0解析：由n阶行列式的定义知Y＝，p1，…，pn为(1，…，n)的排列，τ(p1p2…pn)为排列p1p2…pn的逆序数．而Xij(i，j＝1，2，…，n)独立同分布且EXij＝2，故知识模块：概率论与数理统计6．设随机变量X在区间[－1，2]上服从均匀分布，随机变量则方差DY＝_______．正确答案：解析：由题意，X的概率密度为：则P(X＞0)＝∫0＋∞f(χ)dχ＝P(X ＜0)＝∫－∞0＝，而P(X＝0)＝0 故EY＝1.P(X＞0)＋0.P(X＝0)＋(－1)P(x ＜0)＝E(Y2)＝12.P(X＞0)＋02.P(X＝0)＋(－1)2P(X＜0)＝＝1 ∴DY＝E(Y)2－(EY)21－知识模块：概率论与数理统计7．设随机变量X和Y的联合概率分布为则X2和Y2的协方差cov(X2，Y2)＝_______．正确答案：－0．02解析：E(X2Y2)＝02×(－1)2×0．07＋02×02×0．18＋02×12×0．15＋12×(－1)2×0．08＋12×02×0．32＋12×12×0．20＝0．28 而关于X的边缘分布律为：关于Y的边缘分布律为：∴EX2＝02×0．4＋12×0．6＝0．6，EY2＝(－1)2×0．15＋02×0．5＋12×0．35＝0．5 故cov(X2，Y2)＝E(X2Y2)－EX2.EY2＝0．28－0．6×0．5＝－0．02．知识模块：概率论与数理统计8．设随机变量X和Y的相关系数为0．9，若Z＝X－0．4，则Y与Z的相关系数为_______．正确答案：0．9解析：因为D(Z)＝D(X－0．4)＝DX，且cov(Y，Z)＝cov(Y，X－0．4)＝cov(Y，X)＝cov(X，Y) 故ρ(Y，Z)＝＝ρ(X，Y)＝0．9．知识模块：概率论与数理统计9．设随机变量X服从参数为λ的指数分布，则P{X＞}＝_______．正确答案：解析：由题意，DX＝，而X的概率密度为故＝e-1．知识模块：概率论与数理统计10．设随机变量服从参数为1的泊松分布，则P{X＝EX2}＝_______．正确答案：解析：由EX2＝DX＋(EX)2＝1＋12＝2，故P{X＝EX2}＝P{X＝2}＝知识模块：概率论与数理统计11．设二维随机变量(X，Y)服从正态分布N(μ，μ；σ2，σ2；0)，则E(XY2)＝_______．正确答案：μ3＋μσ2解析：由题意知X与Y独立同分布，且X～N(μ，σ2)，解：由题意知X与Y独立同分布，且X～N(μ，σ2)，故EX＝μ，E(Y2)＝DY＋(EY)2＝σ2＋μ2 ∴E(XY2)＝EX.E(Y2)＝μ(σ2＋μ2)＝μ3＋μσ2 知识模块：概率论与数理统计12．设随机变量X服从标准正态分布N(0，1)，则E(Xe2X)＝_______．正确答案：2e2解析：E(Xe2X)＝而－χ2＋2χ＝－(χ2－4χ＋4－4)＝－(χ－2)2＋2 ∴E(Xe2X)＝＝2e2 知识模块：概率论与数理统计13．设二维随机变量(X，Y)服从正态分布N(1，0；1，1；0)，则P{XY－Y＜0}＝_______．正确答案：解析：由题意可知X～N(1，1)，Y～N(0，1)，且X与Y独立．可得X－1～N(0，1)，于是P(Y＞0)＝P(Y＜0)＝，P(X－1＞0)＝P(X－1＜0)＝，可得P(XY －Y＜0)＝P{Y(X－1)＜0}＝P{Y＞0，X－1＜0}＋P{Y＜0，X－1＞0} ＝P(Y ＞0)P(X－1＜0)＋P(Y＜0)P(X－1＞0) ＝知识模块：概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1990考研数学三真题及超详细答案解析
1990年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】2【解析】对原式进行分子有理化,分子分母同乘以有理化因子3n n n n ++-.3(3)(3)lim()lim 3n n n n n n n n n n n n n n n n n n→∞→∞+--+--⋅++-=++-3lim3n n n n n n n n n→∞+-+=++-,再分子分母同时除以n ,有原式lim3111n n n→∞=++-.因为lim0n n→∞=,其中a 为常数,所以原式42.11==+(2)【答案】b a +【解析】由于()F x 在0x =处连续,故0(0)lim ()x A F F x →==.0lim ()x F x →为“0”型的极限未定式,又()f x 在点0处导数存在,所以 00()sin ()cos lim lim 1x x f x a x f x a xA b a x →→'++===+.【相关知识点】函数()y f x =在点0x 连续：设函数()y f x =在点0x 的某一邻域内有定义,如果00lim ()(),x x f x f x →=则称函数()f x 在点0x 连续.(3)【答案】142【解析】先解出两条曲线在平面的交点,即令22x x =+, 解得1x =-和2x =,故所围成的平面图形如右图所示: 所求面积为 ()2212S x x dx -=+-⎰223111124.232x x x -⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭(4)【答案】12340a a a a +++=O 2【解析】由于方程组有解()()r A r A ⇔=,对A 作初等行变换, 第一行乘以()1-加到第四行上,有1122334141100110001100 11000110011 10010101a a a a a a a a a --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦, 第二行加到第四行上,再第三行乘以()1-加到第四行上,有11223312341241100110001101100011110110a a a a a a a a a a a a a --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥+++++⎣⎦⎣⎦. 为使()()r A r A =,常数1234,,,a a a a 应满足条件:12340a a a a +++=.【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵()A A b =的秩,即是()()r A r A =(或者说,b 可由A 的列向量12,,,n ααα线表出,亦等同于12,,,n ααα与12,,,,n b ααα是等价向量组).设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =,则 （1） 有唯一解 ⇔ ()().r A r A n == （2） 有无穷多解 ⇔ ()().r A r A n =<（3） 无解 ⇔ ()1().r A r A +=⇔b 不能由A 的列向量12,,,n ααα线表出.(5)【答案】23【解析】这是一个四重伯努利试验概率模型,设试验的成功率即射手的命中率为p ,则进行四次独立的射击, 设事件Y 为“射手命中目标的次数”,Y 服从参数804,81n p ==的二项分布,由二项分布的概率公式,事件“四次均不中”的概率为4(1)p -,它是至少命中一次的对立事件.依题意48012(1)118133p p p -=-⇒-=⇒=. 本题的另一种分析方法是用随机变量X 表示独立地进行射击中命中目标的次数,p 表示一次射击的命中率,则(4,)X B p ~,依题意{}{}41101,81k P X P X k ===-==∑ 即412(1).813p p -=⇒= 【相关知识点】二项分布的概率公式：若(,)Y B n p ~,则{}(1)k kn k n P Y k C p p -==-,0,1,,k n =.二、选择题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】(B)【解析】由于sin 2lim 2x x x e e ππ→⋅=⋅,而2lim tan x x π→=+∞,所以, sin 2lim tan x x x x e π→⋅⋅=+∞,故()f x 无界.或考察()f x 在2(1,2,)4n x n n ππ=+=的函数值,有lim ()lim n n n n f x x →∞→∞==+∞,可见()f x 是无界函数.应选(B).以下证明其他结论均不正确.由444444sin sin f e f eππππππ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=≠-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,知(A)不正确； 由0044f ,f ππ⎛⎫⎛⎫>->⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,而()00f =,知(D)不正确. 证明(C)不正确可用反证法. 设()sinxg x tan x e=⋅,于是()g x 的定义域为0122D x |x k ,k ,,,,ππ⎧⎫=≠+=±±⎨⎬⎩⎭且()g x 的全部零点为012n x n ,n ,,,.π==±±若()()f x xg x =以T ()0T >为周期,则有()()()x T g x T xg x ,x D.++=∀∈令0x ,=有()0Tg T ,=即()0g T =.从而T k π=,其中k 为某一正数.于是2k π也是()xg x 的周期.代入即得,对x D ∀∈有()()()()()222x k g x k x k g x xg x .πππ++=+=这表明()20k g x π≡在x D ∈上成立,于是()0g x ≡在x D ∈上成立,导致了矛盾. 故()()f x xg x =不可能是周期函数.【相关知识点】极限的四则运算法则:若0lim ()x x f x A →=,0lim ()x x g x B →=,则有 0lim ()()x x f x g x AB →⋅=.(2)【答案】(D)【解析】通过变量代换1t x =+或按定义由关系式(1)()f x af x +=将()f x 在1x =的可导性与()f x 在0x =的可导性联系起来.令1t x =+,则()(1)f t af t =-.由复合函数可导性及求导法则,知()f t 在1t =可导,且11()(1)(1)(0)t t f t af t t af ab =='''=--==,因此,应选(D).【相关知识点】复合函数求导法则:如果()u g x =在点x 可导,而()y f x =在点()u g x =可导,则复合函数[]()y f g x =在点x 可导,且其导数为()()dy f u g x dx ''=⋅ 或 dy dy dudx du dx=⋅. (3)【答案】(C)【解析】本题考查线性无关的概念与理论,以及充分必要性条件的概念.(A)(B)(D)均是必要条件,并非充分条件.也就是说,向量组12,,,s ααα线性无关,可以推导出(A)(B)(D)选项,但是不能由(A)(B)(D)选项中的任意一个推导出向量组12,,,sααα线性无关.例如:(1,0),(0,1),(1,1)显然有(1,0)(0,1)(1,1)(0,0)+-=,该向量组线性相关.但(A)(B)(D)均成立.根据“12,,,s ααα线性相关的充分必要条件是存在某(1,2,,)i i s α=可以由111,,,,i i s αααα-+线性表出.”或由“12,,,s ααα线性无关的充分必要条件是任意一个(1,2,,)i i s α=均不能由111,,,,i i s αααα-+线性表出.”故选(C).(4)【答案】A【解析】由于B A ⊂,所以A B A +=,于是有()()P A B P A +=.故本题选A. 对于B 选项,因为B A ⊂,所以事件B 发生,则事件A 必然发生,所以()()P AB P B =,而不是()()P AB P A =,故B 错.对于C 选项,因为B A ⊂,由条件概率公式()()()P AB P B A P A =,当,B A 是相互独立的事件时,才会有()()P B A P B =；所以C 错.对于D 选项,因为B A ⊂,所以事件B 发生事件A 不发生是个不可能事件,故()0P B A -=,所以(D)错.(5)【答案】(C)【解析】由离散型随机变量概率的定义,有{}{}{}1,11,1P X Y P X Y P X Y ===-=-+=={}{}1}{11}{1P X P Y P X P Y ==-⋅=-+=⋅=1111122222=⨯+⨯=. 故本题选(C).而(B)、(D)选项是错误的.对于(A)选项,题目中只说了随机变量X 和Y 相互独立,且他们的概率分布相同,但是二者是不同的事件,并不能说事件X 与事件Y 是同一事件.故(A)错.三、计算题(本题满分20分,每小题5分.) (1)【解析】在2[,]x e e ∈上,()22ln ln ()0211x x I x x x x '==>-+-,故函数()I x 在2[,]e e 上单调增加,最大值为2()I e .由22(1)1(1)(1)(1)dx d x d x x x --==---,有 ()2222ln 1()ln 11e e eetI e dt td t t ⎛⎫==- ⎪-⎝⎭-⎰⎰ ()2222ln ln 11()1111e e e e e e e et dt t dt t t t t t t =-+=-+-----⎰⎰[]2221ln(1)2ln(1)111e e e e =-++------- 11ln 1e e e +=++. 【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：若()()()()t t F t f x dx βα=⎰,()t α,()t β均一阶可导,则[][]()()()()()F t t f t t f t ββαα'''=⋅-⋅.2.假定()u u x =与()v v x =均具有连续的导函数,则,uv dx uv u vdx ''=-⎰⎰ 或者 .udv uv vdu =-⎰⎰(2)【解析】区域D 是无界函数,设{}()0{,0,}b y yD D y b x y y b x =≤≤=≤≤≤≤,不难发现,当b →+∞时有b D D →,从而22220limlimbyby y y y b b DD xedxdy xedxdy edy xdx ---→+∞→+∞==⎰⎰⎰⎰⎰⎰20111lim ()249b y b y y e dy -→+∞=-⎰ 2220055lim lim 72144b b y t b b ye dy t y e dt --→+∞→+∞==⎰⎰ 255lim (1).144144b b e -→+∞=-=(3)【解析】因系数21(1,2,)n a n n==,故()()2212211lim lim lim 111n n n n nn a n a n n+→∞→∞→∞+===+, 这样,幂级数的收敛半径11R ρ==.因此当131,x -<-<,即24x <<时级数绝对收敛.当2x =时,得交错级数211(1)nn n ∞=-∑；当4x =时,得正项级数211n n∞=∑,二者都收敛,于是原级数的收敛域为[2,4].【相关知识点】1.求收敛半径的方法：如果1n lim n na a ρ+→∞=,其中1,n n a a +是幂级数0nn n a x ∞=∑的相邻两项的系数,则这幂级数的收敛半径1, 0,, 0,0, .R ρρρρ⎧≤≤+∞⎪⎪⎪=+∞=⎨⎪=+∞⎪⎪⎩y2.交错级数的莱布尼茨判别法：设交错级数11(1)n n n u ∞-=-∑满足：(1)1,1,2,;n n u u n +≥= (2)lim 0.n n u →∞=则11(1)n n n u ∞-=-∑收敛,且其和满足1110(1),n n n u u ∞-=<-<∑余项1.n n r u +<3．p 级数：11pn n∞=∑当1p >时收敛；当1p ≤时发散. (4)【解析】方法1:所给方程为一阶线性微分方程,可直接利用通解公式求解.cos cos sin ln xdx xdx x y e e xe dx C --⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰ sin sin ln [ln ]x x e xdx C e x x x C --⎡⎤=+=-+⎣⎦⎰.方法2: 用函数()cos sin P x dxxdxx e e e ⎰⎰==同乘方程两端,构造成全微分方程.方程两端同乘sin xe,得sin sin sin sin cos ()()ln xx x x ey ye x ye ye x '''+=⇒=,再积分一次得sin ln ln x ye C xdx C x x x =+=+-⎰.最后,再用sin xe-同乘上式两端即得通解sin [ln ]xy ex x x C -=-+.【相关知识点】一阶线性非齐次方程()()y P x y Q x '+=的通解为()()()P x dx P x dx y e Q x e dx C -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰, 其中C 为任意常数.四、(本题满分9分)【解析】(1)利润为销售收入减去成本,所以利润函数为22121212121514328210()x x x x x x x x π=++----+221212121513318210.x x x x x x =++---由多元函数极值点的必要条件,有1211212248130,0.75, 1.25.820310,x x x x x x x x ππ∂⎧=--+=⎪∂⎪⇒==⎨∂⎪=--+=⎪∂⎩ 因驻点惟一,且实际问题必有最大值,故投入电台广告费用0.75万元,报纸广告费用1.25万元可获最大利润.(2)若广告费用为1.5万元,则应当求利润函数(与(1)中解析式相同)221212121513318210,x x x x x x π=++---在12 1.5x x +=时的条件最大值.拉格朗日函数为221212121212(,,)1513318210( 1.5),L x x x x x x x x x x λλ=++---++-由 1211221248130,820310,1.50Lx x x Lx x x Lx x λλλ∂⎧=--++=⎪∂⎪∂⎪=--++=⎨∂⎪⎪∂=+-=⎪∂⎩ 120, 1.5.x x ⇒==因驻点惟一,且实际问题必有最大值,故应将广告费1.5万元全部用于报纸广告,可使利润最大.【相关知识点】拉格朗日乘数法:要找函数(,)z f x y =在附加条件(,)0x y ϕ=下的可能极值点,可以先作拉格朗日函数(,)(,)(,),L x y f x y x y λϕ=+其中λ为参数.求其对x 与y 的一阶偏导数,并使之为零,然后与附加条件联立起来：(,)(,)0,(,)(,)0,(,)0.x x y y f x y x y f x y x y x y λϕλϕϕ⎧+=⎪+=⎨⎪=⎩ 由这方程组解出,x y 及λ,这样得到的(,)x y 就是函数(,)f x y 在附加条件(,)0x y ϕ=下的可能极值点.五、(本题满分6分)【解析】方法1:当0a =时,()()()()f a b f b f a f b +==+,即不等式成立； 若0a >,因为2121 ()()()(0)[()()][()(0)]()()[()()],f a b f a f b f f a b f b f a f f a f a a f f ξξξξ+--+=+---''''=-=- 其中120a b a b ξξ<<≤<<+.又()f x '单调减少,故21()()f f ξξ''≤.从而有()()()(0)0f a b f a f b f +--+≤,即()()()f a b f a f b +≤+.方法2:构造辅助函数,将式子移到不等式右边,再将b 视为变量x ,得辅助函数 令()()()(),[0,]F x f x f a f a x x b =+-+∈,由于(0)0f =,所以(0)0F =,又因为()()(),F x f x f a x '''=-+且0a ≥,()f x '在(0,)b 单调减少,所以()0F x '≥,于是()F x 在[0,]b 上单调递增,故()(0)0F b F ≥=,即()()()f a b f a f b +≤+,其中0a b a b c ≤≤≤+≤.【相关知识点】拉格朗日中值定理：如果函数()f x 满足在闭区间[,]a b 上连续；在开区间(),a b 内可导,那么在(),a b 内至少有一点()a b ξξ<<,使等式()()()()f b f a f b a ξ'-=-成立.六、(本题满分8分)【解析】本题中,方程组有解()()r A r A ⇔=.(相关定理见第一题(4))对增广矩阵作初等行变换,第一行乘以()3-、()5-分别加到第二、四行上,有111111111132113001226301226012265433120122625a a a b b a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎣⎦⎣⎦, 第二行乘以1、()1-分别加到第三、四行上,第二行再自乘()1-,有1111112263.322aa b a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥→⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦(1) 当30b a -=且220a -=,即1,3a b ==时方程组有解. (2) 当1,3a b ==时,方程组的同解方程组是1234523451,2263,x x x x x x x x x ++++=⎧⎨+++=⎩ 由()523n r A -=-=,即解空间的维数为3.取自变量为345,,x x x ,则导出组的基础解系为123(1,2,1,0,0),(1,2,0,1,0),(5,6,0,0,1)T T T ηηη=-=-=-.(3) 令3450x x x ===,得方程组的特解为(2,3,0,0,0)Tα=-.因此,方程组的所有解是112233k k k αηηη+++,其中123,,k k k 为任意常数.【相关知识点】若1α、2α是对应齐次线性方程组0Ax =的基础解系,则Ax b =的通解形式为1122,k k ηηξ++其中12,ηη是0Ax =的基础解系,ξ是Ax b =的一个特解.七、(本题满分5分)【解析】若A 、B 是n 阶矩阵,且,AB E =则必有.BA E =于是按可逆的定义知1A B -=.如果对特征值熟悉,由0kA =可知矩阵A 的特征值全是0,从而E A -的特征值全是1,也就能证明E A -可逆.由于0kA =,故()21()k k k E A E A A A E A E --++++=-=. 所以E A -可逆,且()121k E A E A A A ---=++++.八、(本题满分6分)【解析】(反证法)若12X X +是A 的特征向量,它所对应的特征值为λ,则由定义有：1212()()A X X X X λ+=+.由已知又有 12121122()A X X AX AX X X λλ+=+=+. 两式相减得 1122()()0X X λλλλ-+-=.由12λλ≠,知12,λλλλ--不全为0,于是12,X X 线性相关,这与不同特征值的特征向量线性无关相矛盾.所以,12X X +不是A 的特征向量.【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及非零的n 维列向量X 使得AX X λ=成立,则称λ是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征向量.九、(本题满分4分)【解析】样本空间含样本点总数为310C ；即十个数字任意选三个有多少种选择方案. 有利于事件1A 的样本点数为38C ；十个数字除去0和5任意选三个有多少种选择方案.有利于事件2A 的样本点数为33982C C -；十个数字除去0任意选三个的选择方案和十个数字除去5任意选三个的选择方案再减去中间多算了一次的方法数,即是事件1A 被加了两次,所以应该减去38C .由古典型概率公式,3813107();15C P A C ==33982310214()15C C P A C -==. 【相关知识点】古典型概率公式：()i i A P A =有利于事件的样本点数样本空间的总数.十、(本题满分5分) 【解析】(1) 由连续型随机变量边缘分布的定义,且lim 0,ax x e -→+∞=(a 为常数)有X 和Y 的边缘分布函数分别为0.51,0,()(,)lim (,)0,0;x X y e x F x F x F x y x -→+∞⎧-≥=+∞==⎨<⎩若若 0.51,0,()(,)lim (,)0,0.y Y x e y F y F y F x y y -→+∞⎧-≥=+∞==⎨<⎩若若 由于对任意实数,x y 都满足(,)()()X Y F x y F x F x =.因此X 和Y 相互独立.(2) 因为X 和Y 相互独立,所以有{}{}{}0.1,0.10.10.1P X Y P X P Y α=>>=>⋅>0.050.050.1[1(0.1)][1(0.1)]X Y F F e e e ---=--=⋅=.十一、(本题满分7分)【解析】若已知正态分布的期望和方差,在计算有关概率时可将其转化为标准正态分布的有关概率,通过()x Φ表计算.但是正态分布的参数μ与2σ未知时,则应先根据题设条件求出μ与2σ的值,再去计算有关事件的概率.设X 为考生的外语成绩,依题意有2~(,)X N μσ,且72μ=,但2σ未知.所以可标准化得72~(0,1)X N σ-.由标准正态分布函数概率的计算公式,有{}{}96722496196110.023,P X P X σσ-⎛⎫⎛⎫>=-≤=-Φ=-Φ= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2410.0230.977.σ⎛⎫Φ=-= ⎪⎝⎭查表可得 242,12σσ==,即2~(72,12)X N , {}72608412(1)10.68212X P X P ⎧-⎫≤≤=≤=Φ-=⎨⎬⎩⎭.。
1990考研数学三真题及解析
1990年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.) (1)极限n →∞=_________.(2) 设函数()f x 有连续的导函数,(0)0,(0)f f b '==,若函数()sin ,0,(),0f x a xx F x xA x +⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续,则常数A =___________.(3) 曲线2y x =与直线2y x =+所围成的平面图形的面积为_________.(4) 若线性方程组121232343414,,,x x a x x a x x a x x a +=-⎧⎪+=⎪⎨+=-⎪⎪+=⎩有解,则常数1234,,,a a a a 应满足条件________.(5) 一射手对同一目标独立地进行四次射击,若至少命中一次的概率为8081,则该射手的命中率为________. 二、选择题(本题满分15分,每小题3分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设函数sin ()tan xf x x x e=⋅⋅,则()f x 是 ( )(A) 偶函数 (B) 无界函数 (C) 周期函数 (D) 单调函数 (2) 设函数()f x 对任意x 均满足等式(1)()f x af x +=,且有(0),f b '=其中,a b 为非零常数,则 ( ) (A) ()f x 在1x =处不可导 (B) ()f x 在1x =处可导,且(1)f a '= (C) ()f x 在1x =处可导,且(1)f b '= (D) ()f x 在1x =处可导,且(1)f ab '= (3) 向量组12,,,s αααL 线性无关的充分条件是 ( )(A) 12,,,s αααL 均不为零向量(B) 12,,,s αααL 中任意两个向量的分量不成比例(C) 12,,,s αααL 中任意一个向量均不能由其余1s -个向量线性表示(D) 12,,,s αααL 中有一部分向量线性无关(4) 设,A B 为两随机事件,且B A ⊂,则下列式子正确的是 ( )(A) ()()P A B P A += (B) ()()P AB P A =(C) ()()P B A P B = (D) ()()()P B A P B P A -=- (5) 设随机变量X 和Y 相互独立,其概率分布为则下列式子正确的是 ( ) (A) X Y = (B) {}0P X Y == (C) {}12P X Y ==(D) {}1P X Y ==三、计算题(本题满分20分,每小题5分.) (1) 求函数2ln ()21xet I x dt t t =-+⎰在区间2[,]e e 上的最大值. (2) 计算二重积分2yDxe dxdy -⎰⎰,其中D 是曲线24y x =和29y x =在第一象限所围成的区域.(3) 求级数21(3)nn x n ∞=-∑的收敛域. (4) 求微分方程sin cos (ln )xy y x x e-'+=的通解.四、(本题满分9分)某公司可通过电台及报纸两种形式做销售某种商品的广告,根据统计资料,销售收入R (万元)与电台广告费用1x (万元)及报纸广告费用2x (万元)之间的关系有如下经验公式:221212121514328210.R x x x x x x =++---(1) 在广告费用不限的情况下,求最优广告策略；(2) 若提供的广告费用为1.5万元,求相应的最优广告策略.五、(本题满分6分)设()f x 在闭区间[0,]c 上连续,其导数()f x '在开区间(0,)c 内存在且单调减少；(0)0f =,试应用拉格朗日中值定理证明不等式:()()()f a b f a f b +≤+,其中常数a b、满足条件0a b a b c ≤≤≤+≤.六、(本题满分8分)已知线性方程组1234512345234512345,3230,226,54332,x x x x x a x x x x x x x x x b x x x x x ++++=⎧⎪+++-=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩ (1) a b 、为何值时,方程组有解?(2) 方程组有解时,求出方程组的导出组的一个基础解系； (3) 方程组有解时,求出方程组的全部解.七、(本题满分5分)已知对于n 阶方阵A ,存在自然数k ,使得0kA =,试证明矩阵E A -可逆,并写出其逆矩阵的表达式(E 为n 阶单位阵).八、(本题满分6分)设A 是n 阶矩阵,1λ和2λ是A 的两个不同的特征值,12,X X 是分别属于1λ和2λ的特征向量.试证明12X X +不是A 的特征向量.九、(本题满分4分)从0,1,2,,9L 十个数字中任意选出三个不同数字,试求下列事件的概率：1A ={三个数字中不含0和5}；2A ={三个数字中不含0或5}.十、(本题满分5分)一电子仪器由两个部件构成,以X 和Y 分别表示两个部件的寿命(单位:千小时),已知X 和Y 的联合分布函数为:0.50.50.5(),0,0,(,)0,x y x y e e e x y F x y ---+⎧-+≥≥=⎨⎩1-若其他.(1) 问X 和Y 是否独立?(2) 求两个部件的寿命都超过100小时的概率α.十一、(本题满分7分)某地抽样调查结果表明,考生的外语成绩(百分制)近似服从正态分布,平均成绩为72 分,96分以上的占考生总数的2.3%,试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率.[附表Φ是标准正态分布函数. 表中()x1990年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】2【解析】对原式进行分子有理化,n n →∞=n =,,有原式n =.因为lim0n =,其中a 为常数,所以原式42.11==+(2)【答案】b a +【解析】由于()F x 在0x =处连续,故0(0)lim ()x A F F x →==.0lim ()x F x →为“0”型的极限未定式,又()f x 在点0处导数存在,所以 00()sin ()cos lim lim 1x x f x a x f x a xA b a x →→'++===+.【相关知识点】函数()y f x =在点0x 连续：设函数()y f x =在点0x 的某一邻域内有定义,如果00lim ()(),x x f x f x →=则称函数()f x 在点0x 连续.(3)【答案】142【解析】先解出两条曲线在平面的交点,即令22x x =+解得1x =-和2x =,故所围成的平面图形如右图所示: 所求面积为 ()2212S x x dx -=+-⎰223111124.232x x x -⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭(4)【答案】12340a a a a +++=【解析】由于方程组有解()()r A r A ⇔=,对A 作初等行变换, 第一行乘以()1-加到第四行上,有1122334141100110001100 11000110011 10010101a a a a a a a a a --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦, 第二行加到第四行上,再第三行乘以()1-加到第四行上,有11223312341241100110001101100011110110a a a a a a a a a a a a a --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥+++++⎣⎦⎣⎦. 为使()()r A r A =,常数1234,,,a a a a 应满足条件:12340a a a a +++=.【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵()A A b =M 的秩,即是()()r A r A =(或者说,b 可由A 的列向量12,,,n αααL 线表出,亦等同于12,,,n αααL 与12,,,,n b αααL 是等价向量组).设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =,则 （1） 有唯一解 ⇔ ()().r A r A n == （2） 有无穷多解 ⇔ ()().r A r A n =<（3） 无解 ⇔ ()1().r A r A +=⇔b 不能由A 的列向量12,,,n αααL 线表出. (5)【答案】23【解析】这是一个四重伯努利试验概率模型,设试验的成功率即射手的命中率为p ,则进行四次独立的射击, 设事件Y 为“射手命中目标的次数”,Y 服从参数804,81n p ==的二项分布,由二项分布的概率公式,事件“四次均不中”的概率为4(1)p -,它是至少命中一次的对立事件.依题意48012(1)118133p p p -=-⇒-=⇒=. 本题的另一种分析方法是用随机变量X 表示独立地进行射击中命中目标的次数,p 表示一次射击的命中率,则(4,)X B p ~,依题意{}{}41101,81k P X P X k ===-==∑ 即412(1).813p p -=⇒= 【相关知识点】二项分布的概率公式：若(,)Y B n p ~,则{}(1)k kn k n P Y k C p p -==-,0,1,,k n =L .二、选择题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】(B)【解析】由于sin 2lim 2x x x e e ππ→⋅=⋅,而2lim tan x x π→=+∞,所以, sin 2lim tan x x x x e π→⋅⋅=+∞,故()f x 无界.或考察()f x 在2(1,2,)4n x n n ππ=+=L 的函数值,有lim ()lim n n n n f x x →∞→∞==+∞,可见()f x 是无界函数.应选(B).以下证明其他结论均不正确.由444444sin sin f e f eππππππ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=≠-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,知(A)不正确； 由0044f ,f ππ⎛⎫⎛⎫>->⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,而()00f =,知(D)不正确. 证明(C)不正确可用反证法. 设()sinxg x tan x e=⋅,于是()g x 的定义域为0122D x |x k ,k ,,,,ππ⎧⎫=≠+=±±⎨⎬⎩⎭L 且()g x 的全部零点为012n x n ,n ,,,.π==±±L 若()()f x xg x =以T ()0T >为周期,则有()()()x T g x T xg x ,x D.++=∀∈令0x ,=有()0Tg T ,=即()0g T =.从而T k π=,其中k 为某一正数.于是2k π也是()xg x 的周期.代入即得,对x D ∀∈有()()()()()222x k g x k x k g x xg x .πππ++=+=这表明()20k g x π≡在x D ∈上成立,于是()0g x ≡在x D ∈上成立,导致了矛盾. 故()()f x xg x =不可能是周期函数.【相关知识点】极限的四则运算法则:若0lim ()x x f x A →=,0lim ()x x g x B →=,则有 0lim ()()x x f x g x AB →⋅=.(2)【答案】(D)【解析】通过变量代换1t x =+或按定义由关系式(1)()f x af x +=将()f x 在1x =的可导性与()f x 在0x =的可导性联系起来.令1t x =+,则()(1)f t af t =-.由复合函数可导性及求导法则,知()f t 在1t =可导,且11()(1)(1)(0)t t f t af t t af ab =='''=--==,因此,应选(D).【相关知识点】复合函数求导法则:如果()u g x =在点x 可导,而()y f x =在点()u g x =可导,则复合函数[]()y f g x =在点x 可导,且其导数为()()dy f u g x dx ''=⋅ 或 dy dy dudx du dx=⋅. (3)【答案】(C)【解析】本题考查线性无关的概念与理论,以及充分必要性条件的概念.(A)(B)(D)均是必要条件,并非充分条件.也就是说,向量组12,,,s αααL 线性无关,可以推导出(A)(B)(D)选项,但是不能由(A)(B)(D)选项中的任意一个推导出向量组12,,,s αααL 线性无关.例如:(1,0),(0,1),(1,1)显然有(1,0)(0,1)(1,1)(0,0)+-=,该向量组线性相关.但(A)(B)(D)均成立.根据“12,,,s αααL 线性相关的充分必要条件是存在某(1,2,,)i i s α=L 可以由111,,,,i i s αααα-+L L 线性表出.”或由“12,,,s αααL 线性无关的充分必要条件是任意一个(1,2,,)i i s α=L 均不能由111,,,,i i s αααα-+L L 线性表出.”故选(C).(4)【答案】A【解析】由于B A ⊂,所以A B A +=,于是有()()P A B P A +=.故本题选A. 对于B 选项,因为B A ⊂,所以事件B 发生,则事件A 必然发生,所以()()P AB P B =,而不是()()P AB P A =,故B 错.对于C 选项,因为B A ⊂,由条件概率公式()()()P AB P B A P A =,当,B A 是相互独立的事件时,才会有()()P B A P B =；所以C 错.对于D 选项,因为B A ⊂,所以事件B 发生事件A 不发生是个不可能事件,故()0P B A -=,所以(D)错.(5)【答案】(C)【解析】由离散型随机变量概率的定义,有{}{}{}1,11,1P X Y P X Y P X Y ===-=-+=={}{}1}{11}{1P X P Y P X P Y ==-⋅=-+=⋅=1111122222=⨯+⨯=. 故本题选(C).而(B)、(D)选项是错误的.对于(A)选项,题目中只说了随机变量X 和Y 相互独立,且他们的概率分布相同,但是二者是不同的事件,并不能说事件X 与事件Y 是同一事件.故(A)错.三、计算题(本题满分20分,每小题5分.) (1)【解析】在2[,]x e e ∈上,()22ln ln ()0211x x I x x x x '==>-+-,故函数()I x 在2[,]e e 上单调增加,最大值为2()I e .由22(1)1(1)(1)(1)dx d x d x x x --==---,有 ()2222ln 1()ln 11e e eetI e dt td t t ⎛⎫==- ⎪-⎝⎭-⎰⎰ ()2222ln ln 11()1111e e e e e e e et dt t dt t t t t t t =-+=-+-----⎰⎰[]2221ln(1)2ln(1)111e e e e =-++------- 11ln 1e e e +=++. 【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：若()()()()t t F t f x dx βα=⎰,()t α,()t β均一阶可导,则[][]()()()()()F t t f t t f t ββαα'''=⋅-⋅.2.假定()u u x =与()v v x =均具有连续的导函数,则,uv dx uv u vdx ''=-⎰⎰ 或者 .udv uv vdu =-⎰⎰(2)【解析】区域D 是无界函数,设{}()0{,0b D D y b x y y b x =≤≤=≤≤≤≤I ,不难发现,当b →+∞时有b D D →,从而222limlimbby y y b b DD xedxdy xedxdy edy xdx ---→+∞→+∞==⎰⎰⎰⎰⎰20111lim ()249b y b y y e dy -→+∞=-⎰ 2220055lim lim 72144b b y t b b ye dy t y e dt --→+∞→+∞==⎰⎰ 255lim (1).144144b b e -→+∞=-=(3)【解析】因系数21(1,2,)n a n n==L ,故()()2212211lim lim lim 111n n n n nn a n a n n+→∞→∞→∞+===+, 这样,幂级数的收敛半径11R ρ==.因此当131,x -<-<,即24x <<时级数绝对收敛.当2x =时,得交错级数211(1)nn n ∞=-∑；当4x =时,得正项级数211n n∞=∑,二者都收敛,于是原级数的收敛域为[2,4].【相关知识点】1.求收敛半径的方法：如果1n lim n na a ρ+→∞=,其中1,n n a a +是幂级数0nn n a x ∞=∑的相邻两项的系数,则这幂级数的收敛半径1, 0,, 0,0, .R ρρρρ⎧≤≤+∞⎪⎪⎪=+∞=⎨⎪=+∞⎪⎪⎩2.交错级数的莱布尼茨判别法：设交错级数11(1)n n n u ∞-=-∑满足：(1)1,1,2,;n n u u n +≥=L (2)lim 0.n n u →∞=则11(1)n n n u ∞-=-∑收敛,且其和满足1110(1),n n n u u ∞-=<-<∑余项1.n n r u +<3．p 级数：11pn n∞=∑当1p >时收敛；当1p ≤时发散. (4)【解析】方法1:所给方程为一阶线性微分方程,可直接利用通解公式求解.cos cos sin ln xdx xdx x y e e xe dx C --⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰ sin sin ln [ln ]x x e xdx C e x x x C --⎡⎤=+=-+⎣⎦⎰.方法2: 用函数()cos sin P x dxxdxx e e e ⎰⎰==同乘方程两端,构造成全微分方程.方程两端同乘sin xe,得sin sin sin sin cos ()()ln xx x x ey ye x ye ye x '''+=⇒=,再积分一次得sin ln ln x ye C xdx C x x x =+=+-⎰.最后,再用sin xe-同乘上式两端即得通解sin [ln ]xy ex x x C -=-+.【相关知识点】一阶线性非齐次方程()()y P x y Q x '+=的通解为()()()P x dx P x dx y e Q x e dx C -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰, 其中C 为任意常数.四、(本题满分9分)【解析】(1)利润为销售收入减去成本,所以利润函数为22121212121514328210()x x x x x x x x π=++----+221212121513318210.x x x x x x =++---由多元函数极值点的必要条件,有1211212248130,0.75, 1.25.820310,x x x x x x x x ππ∂⎧=--+=⎪∂⎪⇒==⎨∂⎪=--+=⎪∂⎩ 因驻点惟一,且实际问题必有最大值,故投入电台广告费用0.75万元,报纸广告费用1.25万元可获最大利润.(2)若广告费用为1.5万元,则应当求利润函数(与(1)中解析式相同)221212121513318210,x x x x x x π=++---在12 1.5x x +=时的条件最大值.拉格朗日函数为221212121212(,,)1513318210( 1.5),L x x x x x x x x x x λλ=++---++-由 1211221248130,820310,1.50Lx x x Lx x x Lx x λλλ∂⎧=--++=⎪∂⎪∂⎪=--++=⎨∂⎪⎪∂=+-=⎪∂⎩ 120, 1.5.x x ⇒==因驻点惟一,且实际问题必有最大值,故应将广告费1.5万元全部用于报纸广告,可使利润最大.【相关知识点】拉格朗日乘数法:要找函数(,)z f x y =在附加条件(,)0x y ϕ=下的可能极值点,可以先作拉格朗日函数(,)(,)(,),L x y f x y x y λϕ=+其中λ为参数.求其对x 与y 的一阶偏导数,并使之为零,然后与附加条件联立起来：(,)(,)0,(,)(,)0,(,)0.x x y y f x y x y f x y x y x y λϕλϕϕ⎧+=⎪+=⎨⎪=⎩ 由这方程组解出,x y 及λ,这样得到的(,)x y 就是函数(,)f x y 在附加条件(,)0x y ϕ=下的可能极值点.五、(本题满分6分)【解析】方法1:当0a =时,()()()()f a b f b f a f b +==+,即不等式成立； 若0a >,因为2121 ()()()(0)[()()][()(0)]()()[()()],f a b f a f b f f a b f b f a f f a f a a f f ξξξξ+--+=+---''''=-=- 其中120a b a b ξξ<<≤<<+.又()f x '单调减少,故21()()f f ξξ''≤.从而有()()()(0)0f a b f a f b f +--+≤,即()()()f a b f a f b +≤+.方法2:构造辅助函数,将式子移到不等式右边,再将b 视为变量x ,得辅助函数 令()()()(),[0,]F x f x f a f a x x b =+-+∈,由于(0)0f =,所以(0)0F =,又因为()()(),F x f x f a x '''=-+且0a ≥,()f x '在(0,)b 单调减少,所以()0F x '≥,于是()F x 在[0,]b 上单调递增,故()(0)0F b F ≥=,即()()()f a b f a f b +≤+,其中0a b a b c ≤≤≤+≤.【相关知识点】拉格朗日中值定理：如果函数()f x 满足在闭区间[,]a b 上连续；在开区间(),a b 内可导,那么在(),a b 内至少有一点()a b ξξ<<,使等式()()()()f b f a f b a ξ'-=-成立.六、(本题满分8分)【解析】本题中,方程组有解()()r A r A ⇔=.(相关定理见第一题(4))对增广矩阵作初等行变换,第一行乘以()3-、()5-分别加到第二、四行上,有111111111132113001226301226012265433120122625a a a b b a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎣⎦⎣⎦M MM M M M M M , 第二行乘以1、()1-分别加到第三、四行上,第二行再自乘()1-,有1111112263.322a a b a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥→⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦M M M M (1) 当30b a -=且220a -=,即1,3a b ==时方程组有解. (2) 当1,3a b ==时,方程组的同解方程组是1234523451,2263,x x x x x x x x x ++++=⎧⎨+++=⎩ 由()523n r A -=-=,即解空间的维数为3.取自变量为345,,x x x ,则导出组的基础解系为123(1,2,1,0,0),(1,2,0,1,0),(5,6,0,0,1)T T T ηηη=-=-=-.(3) 令3450x x x ===,得方程组的特解为(2,3,0,0,0)Tα=-.因此,方程组的所有解是112233k k k αηηη+++,其中123,,k k k 为任意常数.【相关知识点】若1α、2α是对应齐次线性方程组0Ax =的基础解系,则Ax b =的通解形式为1122,k k ηηξ++其中12,ηη是0Ax =的基础解系,ξ是Ax b =的一个特解.七、(本题满分5分)【解析】若A 、B 是n 阶矩阵,且,AB E =则必有.BA E =于是按可逆的定义知1A B -=.如果对特征值熟悉,由0kA =可知矩阵A 的特征值全是0,从而E A -的特征值全是1,也就能证明E A -可逆.由于0kA =,故()21()k k k E A E A A A E A E --++++=-=L.所以E A -可逆,且()121k E A E A A A ---=++++L .八、(本题满分6分)【解析】(反证法)若12X X +是A 的特征向量,它所对应的特征值为λ,则由定义有：1212()()A X X X X λ+=+.由已知又有 12121122()A X X AX AX X X λλ+=+=+. 两式相减得 1122()()0X X λλλλ-+-=.由12λλ≠,知12,λλλλ--不全为0,于是12,X X 线性相关,这与不同特征值的特征向量线性无关相矛盾.所以,12X X +不是A 的特征向量.【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及非零的n 维列向量X 使得AX X λ=成立,则称λ是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征向量.九、(本题满分4分)【解析】样本空间含样本点总数为310C ；即十个数字任意选三个有多少种选择方案. 有利于事件1A 的样本点数为38C ；十个数字除去0和5任意选三个有多少种选择方案.有利于事件2A 的样本点数为33982C C -；十个数字除去0任意选三个的选择方案和十个数字除去5任意选三个的选择方案再减去中间多算了一次的方法数,即是事件1A 被加了两次,所以应该减去38C .由古典型概率公式,3813107();15C P A C ==33982310214()15C C P A C -==. 【相关知识点】古典型概率公式：()i i A P A =有利于事件的样本点数样本空间的总数.十、(本题满分5分)【解析】(1) 由连续型随机变量边缘分布的定义,且lim 0,axx e-→+∞=(a 为常数)有X 和Y 的边缘分布函数分别为0.51,0,()(,)lim (,)0,0;x X y e x F x F x F x y x -→+∞⎧-≥=+∞==⎨<⎩若若 0.51,0,()(,)lim (,)0,0.y Y x e y F y F y F x y y -→+∞⎧-≥=+∞==⎨<⎩若若 由于对任意实数,x y 都满足(,)()()X Y F x y F x F x =.因此X 和Y 相互独立. (2) 因为X 和Y 相互独立,所以有{}{}{}0.1,0.10.10.1P X Y P X P Y α=>>=>⋅>0.050.050.1[1(0.1)][1(0.1)]X Y F F ee e ---=--=⋅=.十一、(本题满分7分)【解析】若已知正态分布的期望和方差,在计算有关概率时可将其转化为标准正态分布的有关概率,通过()x Φ表计算.但是正态分布的参数μ与2σ未知时,则应先根据题设条件求出μ与2σ的值,再去计算有关事件的概率.设X 为考生的外语成绩,依题意有2~(,)X N μσ,且72μ=,但2σ未知.所以可标准化得72~(0,1)X N σ-.由标准正态分布函数概率的计算公式,有{}{}96722496196110.023,P X P X σσ-⎛⎫⎛⎫>=-≤=-Φ=-Φ= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2410.0230.977.σ⎛⎫Φ=-= ⎪⎝⎭查表可得242,12σσ==,即2~(72,12)X N ,{}72608412(1)10.68212X P X P ⎧-⎫≤≤=≤=Φ-=⎨⎬⎩⎭.1990年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题满分15分,每小题3分.)(1)【答案】2【解析】对原式进行分子有理化,n n →∞=n =,,有原式n =.因为lim0n =,其中a 为常数,所以原式42.11==+(2)【答案】b a +【解析】由于()F x 在0x =处连续,故0(0)lim ()x A F F x →==.0lim ()x F x →为“0”型的极限未定式,又()f x 在点0处导数存在,所以 00()sin ()cos lim lim 1x x f x a x f x a xA b a x →→'++===+.【相关知识点】函数()y f x =在点0x 连续：设函数()y f x =在点0x 的某一邻域内有定义,如果00lim ()(),x x f x f x →=则称函数()f x 在点0x 连续.(3)【答案】142【解析】先解出两条曲线在平面的交点,即令22x x =+解得1x =-和2x =,故所围成的平面图形如右图所示: 所求面积为 ()2212S x x dx -=+-⎰223111124.232x x x -⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭(4)【答案】12340a a a a +++=【解析】由于方程组有解()()r A r A ⇔=,对A 作初等行变换, 第一行乘以()1-加到第四行上,有1122334141100110001100 11000110011 10010101a a a a a a a a a --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦, 第二行加到第四行上,再第三行乘以()1-加到第四行上,有11223312341241100110001101100011110110a a a a a a a a a a a a a --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥+++++⎣⎦⎣⎦. 为使()()r A r A =,常数1234,,,a a a a 应满足条件:12340a a a a +++=.【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵()A A b =M 的秩,即是()()r A r A =(或者说,b 可由A 的列向量12,,,n αααL 线表出,亦等同于12,,,n αααL 与12,,,,n b αααL 是等价向量组).设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =,则 （4） 有唯一解 ⇔ ()().r A r A n == （5） 有无穷多解 ⇔ ()().r A r A n =<（6） 无解 ⇔ ()1().r A r A +=⇔b 不能由A 的列向量12,,,n αααL 线表出. (5)【答案】23【解析】这是一个四重伯努利试验概率模型,设试验的成功率即射手的命中率为p ,则进行四次独立的射击, 设事件Y 为“射手命中目标的次数”,Y 服从参数804,81n p ==的二项分布,由二项分布的概率公式,事件“四次均不中”的概率为4(1)p -,它是至少命中一次的对立事件.依题意48012(1)118133p p p -=-⇒-=⇒=. 本题的另一种分析方法是用随机变量X 表示独立地进行射击中命中目标的次数,p 表示一次射击的命中率,则(4,)X B p ~,依题意{}{}41101,81k P X P X k ===-==∑即412(1).813p p -=⇒= 【相关知识点】二项分布的概率公式：若(,)Y B n p ~,则{}(1)k kn k n P Y k C p p -==-,0,1,,k n =L .二、选择题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】(B)【解析】由于sin 2lim 2x x x e e ππ→⋅=⋅,而2lim tan x x π→=+∞,所以, sin 2lim tan x x x x e π→⋅⋅=+∞,故()f x 无界.或考察()f x 在2(1,2,)4n x n n ππ=+=L 的函数值,有lim ()lim n n n n f x x →∞→∞==+∞,可见()f x 是无界函数.应选(B).以下证明其他结论均不正确.由444444sin sin f e f eππππππ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=≠-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,知(A)不正确； 由0044f ,f ππ⎛⎫⎛⎫>->⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,而()00f =,知(D)不正确. 证明(C)不正确可用反证法. 设()sinxg x tan x e=⋅,于是()g x 的定义域为0122D x |x k ,k ,,,,ππ⎧⎫=≠+=±±⎨⎬⎩⎭L 且()g x 的全部零点为012n x n ,n ,,,.π==±±L 若()()f x xg x =以T ()0T >为周期,则有()()()x T g x T xg x ,x D.++=∀∈令0x ,=有()0Tg T ,=即()0g T =.从而T k π=,其中k 为某一正数.于是2k π也是()xg x 的周期.代入即得,对x D ∀∈有()()()()()222x k g x k x k g x xg x .πππ++=+=这表明()20k g x π≡在x D ∈上成立,于是()0g x ≡在x D ∈上成立,导致了矛盾. 故()()f x xg x =不可能是周期函数.【相关知识点】极限的四则运算法则:若0lim ()x x f x A →=,0lim ()x x g x B →=,则有 0lim ()()x x f x g x AB →⋅=.(2)【答案】(D)【解析】通过变量代换1t x =+或按定义由关系式(1)()f x af x +=将()f x 在1x =的可导性与()f x 在0x =的可导性联系起来.令1t x =+,则()(1)f t af t =-.由复合函数可导性及求导法则,知()f t 在1t =可导,且11()(1)(1)(0)t t f t af t t af ab =='''=--==,因此,应选(D).【相关知识点】复合函数求导法则:如果()u g x =在点x 可导,而()y f x =在点()u g x =可导,则复合函数[]()y f g x =在点x 可导,且其导数为()()dy f u g x dx ''=⋅ 或 dy dy dudx du dx=⋅. (3)【答案】(C)【解析】本题考查线性无关的概念与理论,以及充分必要性条件的概念.(A)(B)(D)均是必要条件,并非充分条件.也就是说,向量组12,,,s αααL 线性无关,可以推导出(A)(B)(D)选项,但是不能由(A)(B)(D)选项中的任意一个推导出向量组12,,,s αααL 线性无关.例如:(1,0),(0,1),(1,1)显然有(1,0)(0,1)(1,1)(0,0)+-=,该向量组线性相关.但(A)(B)(D)均成立.根据“12,,,s αααL 线性相关的充分必要条件是存在某(1,2,,)i i s α=L 可以由111,,,,i i s αααα-+L L 线性表出.”或由“12,,,s αααL 线性无关的充分必要条件是任意一个(1,2,,)i i s α=L 均不能由111,,,,i i s αααα-+L L 线性表出.”故选(C).(4)【答案】A【解析】由于B A ⊂,所以A B A +=,于是有()()P A B P A +=.故本题选A. 对于B 选项,因为B A ⊂,所以事件B 发生,则事件A 必然发生,所以()()P AB P B =,而不是()()P AB P A =,故B 错.对于C 选项,因为B A ⊂,由条件概率公式()()()P AB P B A P A =,当,B A 是相互独立的事件时,才会有()()P B A P B =；所以C 错.对于D 选项,因为B A ⊂,所以事件B 发生事件A 不发生是个不可能事件,故()0P B A -=,所以(D)错.(5)【答案】(C)【解析】由离散型随机变量概率的定义,有{}{}{}1,11,1P X Y P X Y P X Y ===-=-+=={}{}1}{11}{1P X P Y P X P Y ==-⋅=-+=⋅=1111122222=⨯+⨯=. 故本题选(C).而(B)、(D)选项是错误的.对于(A)选项,题目中只说了随机变量X 和Y 相互独立,且他们的概率分布相同,但是二者是不同的事件,并不能说事件X 与事件Y 是同一事件.故(A)错.三、计算题(本题满分20分,每小题5分.) (1)【解析】在2[,]x e e ∈上,()22ln ln ()0211x xI x x x x '==>-+-,故函数()I x 在2[,]e e 上单调增加,最大值为2()I e .由22(1)1(1)(1)(1)dx d x d x x x --==---,有()2222ln 1()ln 11e e ee tI e dt td t t ⎛⎫==- ⎪-⎝⎭-⎰⎰ ()2222ln ln 11()1111e e e e e e e e t dt t dt t t t t t t=-+=-+-----⎰⎰[]2221ln(1)2ln(1)111e e e e =-++------- 11ln1e e e +=++. 【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：若()()()()t t F t f x dx βα=⎰,()t α,()t β均一阶可导,则[][]()()()()()F t t f t t f t ββαα'''=⋅-⋅.2.假定()u u x =与()v v x =均具有连续的导函数,则,uv dx uv u vdx ''=-⎰⎰ 或者 .udv uv vdu =-⎰⎰(2)【解析】区域D 是无界函数,设{}()0{,0b D D y b x y y b x =≤≤=≤≤≤≤I ,不难发现,当b →+∞时有b D D →,从而222limlimbbyyyb b DD xedxdy xedxdy edy xdx ---→+∞→+∞==⎰⎰⎰⎰⎰20111lim ()249b y b y y e dy -→+∞=-⎰ 2220055lim lim 72144b b y t b b ye dy t y e dt --→+∞→+∞==⎰⎰ 255lim (1).144144b b e -→+∞=-= (3)【解析】因系数21(1,2,)n a n n==L ,故()()2212211lim lim lim 111n n n n nn a n a n n+→∞→∞→∞+===+, 这样,幂级数的收敛半径11R ρ==.因此当131,x -<-<,即24x <<时级数绝对收敛.当2x =时,得交错级数211(1)nn n ∞=-∑；当4x =时,得正项级数211n n∞=∑,二者都收敛,于是原级数的收敛域为[2,4].【相关知识点】1.求收敛半径的方法：如果1n lim n na a ρ+→∞=,其中1,n n a a +是幂级数0nn n a x ∞=∑的相邻两项的系数,则这幂级数的收敛半径1, 0,, 0,0, .R ρρρρ⎧≤≤+∞⎪⎪⎪=+∞=⎨⎪=+∞⎪⎪⎩2.交错级数的莱布尼茨判别法：设交错级数11(1)n n n u ∞-=-∑满足：(1)1,1,2,;n n u u n +≥=L (2)lim 0.n n u →∞=则11(1)n n n u ∞-=-∑收敛,且其和满足1110(1),n n n u u ∞-=<-<∑余项1.n n r u +<3．p 级数：11p n n ∞=∑当1p >时收敛；当1p ≤时发散. (4)【解析】方法1:所给方程为一阶线性微分方程,可直接利用通解公式求解.cos cos sin ln xdx xdx x y e e xe dx C --⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰ sin sin ln [ln ]x x e xdx C e x x x C --⎡⎤=+=-+⎣⎦⎰.方法2: 用函数()cos sin P x dxxdxx e e e ⎰⎰==同乘方程两端,构造成全微分方程.方程两端同乘sin xe,得sin sin sin sin cos ()()ln xx x x ey ye x ye ye x '''+=⇒=,再积分一次得sin ln ln x ye C xdx C x x x =+=+-⎰.最后,再用sin xe-同乘上式两端即得通解sin [ln ]xy ex x x C -=-+.【相关知识点】一阶线性非齐次方程()()y P x y Q x '+=的通解为()()()P x dx P x dx y e Q x e dx C -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰, 其中C 为任意常数.四、(本题满分9分)【解析】(1)利润为销售收入减去成本,所以利润函数为22121212121514328210()x x x x x x x x π=++----+221212121513318210.x x x x x x =++---由多元函数极值点的必要条件,有1211212248130,0.75, 1.25.820310,x x x x x x x x ππ∂⎧=--+=⎪∂⎪⇒==⎨∂⎪=--+=⎪∂⎩ 因驻点惟一,且实际问题必有最大值,故投入电台广告费用0.75万元,报纸广告费用1.25万元可获最大利润.(2)若广告费用为1.5万元,则应当求利润函数(与(1)中解析式相同)221212121513318210,x x x x x x π=++---在12 1.5x x +=时的条件最大值.拉格朗日函数为221212121212(,,)1513318210( 1.5),L x x x x x x x x x x λλ=++---++-由 1211221248130,820310,1.50Lx x x Lx x x Lx x λλλ∂⎧=--++=⎪∂⎪∂⎪=--++=⎨∂⎪⎪∂=+-=⎪∂⎩ 120, 1.5.x x ⇒==因驻点惟一,且实际问题必有最大值,故应将广告费1.5万元全部用于报纸广告,可使利润最大.【相关知识点】拉格朗日乘数法:要找函数(,)z f x y =在附加条件(,)0x y ϕ=下的可能极值点,可以先作拉格朗日函数(,)(,)(,),L x y f x y x y λϕ=+其中λ为参数.求其对x 与y 的一阶偏导数,并使之为零,然后与附加条件联立起来：(,)(,)0,(,)(,)0,(,)0.x x y y f x y x y f x y x y x y λϕλϕϕ⎧+=⎪+=⎨⎪=⎩ 由这方程组解出,x y 及λ,这样得到的(,)x y 就是函数(,)f x y 在附加条件(,)0x y ϕ=下的可能极值点.五、(本题满分6分)【解析】方法1:当0a =时,()()()()f a b f b f a f b +==+,即不等式成立； 若0a >,因为2121 ()()()(0)[()()][()(0)]()()[()()],f a b f a f b f f a b f b f a f f a f a a f f ξξξξ+--+=+---''''=-=- 其中120a b a b ξξ<<≤<<+.又()f x '单调减少,故21()()f f ξξ''≤.从而有()()()(0)0f a b f a f b f +--+≤,即()()()f a b f a f b +≤+.方法2:构造辅助函数,将式子移到不等式右边,再将b 视为变量x ,得辅助函数 令()()()(),[0,]F x f x f a f a x x b =+-+∈,由于(0)0f =,所以(0)0F =,又因为()()(),F x f x f a x '''=-+且0a ≥,()f x '在(0,)b 单调减少,所以()0F x '≥,于是()F x 在[0,]b 上单调递增,故()(0)0F b F ≥=,即()()()f a b f a f b +≤+,其中0a b a b c ≤≤≤+≤.【相关知识点】拉格朗日中值定理：如果函数()f x 满足在闭区间[,]a b 上连续；在开区间(),a b 内可导,那么在(),a b 内至少有一点()a b ξξ<<,使等式()()()()f b f a f b a ξ'-=-成立.六、(本题满分8分)【解析】本题中,方程组有解()()r A r A ⇔=.(相关定理见第一题(4))对增广矩阵作初等行变换,第一行乘以()3-、()5-分别加到第二、四行上,有111111111132113001226301226012265433120122625a a a b b a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎣⎦⎣⎦M MM M M M M M , 第二行乘以1、()1-分别加到第三、四行上,第二行再自乘()1-,有1111112263.322a a b a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥→⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦M M M M (1) 当30b a -=且220a -=,即1,3a b ==时方程组有解. (2) 当1,3a b ==时,方程组的同解方程组是1234523451,2263,x x x x x x x x x ++++=⎧⎨+++=⎩ 由()523n r A -=-=,即解空间的维数为3.取自变量为345,,x x x ,则导出组的基础解系为123(1,2,1,0,0),(1,2,0,1,0),(5,6,0,0,1)T T T ηηη=-=-=-.(3) 令3450x x x ===,得方程组的特解为(2,3,0,0,0)Tα=-.因此,方程组的所有解是112233k k k αηηη+++,其中123,,k k k 为任意常数.【相关知识点】若1α、2α是对应齐次线性方程组0Ax =的基础解系,则Ax b =的通解形式为1122,k k ηηξ++其中12,ηη是0Ax =的基础解系,ξ是Ax b =的一个特解.七、(本题满分5分)【解析】若A 、B 是n 阶矩阵,且,AB E =则必有.BA E =于是按可逆的定义知1A B -=.如果对特征值熟悉,由0kA =可知矩阵A 的特征值全是0,从而E A -的特征值全是1,也就能证明E A -可逆.由于0kA =,故()21()k k k E A E A A A E A E --++++=-=L.所以E A -可逆,且()121k E A E A A A ---=++++L .八、(本题满分6分)【解析】(反证法)若12X X +是A 的特征向量,它所对应的特征值为λ,则由定义有：1212()()A X X X X λ+=+.由已知又有 12121122()A X X AX AX X X λλ+=+=+. 两式相减得 1122()()0X X λλλλ-+-=.由12λλ≠,知12,λλλλ--不全为0,于是12,X X 线性相关,这与不同特征值的特征向量线性无关相矛盾.所以,12X X +不是A 的特征向量.【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及非零的n 维列向量X 使得AX X λ=成立,则称λ是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征向量.九、(本题满分4分)【解析】样本空间含样本点总数为310C ；即十个数字任意选三个有多少种选择方案. 有利于事件1A 的样本点数为38C ；十个数字除去0和5任意选三个有多少种选择方案.有利于事件2A 的样本点数为33982C C -；十个数字除去0任意选三个的选择方案和十个数字除去5任意选三个的选择方案再减去中间多算了一次的方法数,即是事件1A 被加了两次,所以应该减去38C .由古典型概率公式,3813107();15C P A C ==33982310214()15C C P A C -==. 【相关知识点】古典型概率公式：()i i A P A =有利于事件的样本点数样本空间的总数.十、(本题满分5分)【解析】(1) 由连续型随机变量边缘分布的定义,且lim 0,axx e-→+∞=(a 为常数)有X 和Y 的边缘分布函数分别为0.51,0,()(,)lim (,)0,0;x X y e x F x F x F x y x -→+∞⎧-≥=+∞==⎨<⎩若若 0.51,0,()(,)lim (,)0,0.y Y x e y F y F y F x y y -→+∞⎧-≥=+∞==⎨<⎩若若 由于对任意实数,x y 都满足(,)()()X Y F x y F x F x =.因此X 和Y 相互独立. (2) 因为X 和Y 相互独立,所以有{}{}{}0.1,0.10.10.1P X Y P X P Y α=>>=>⋅>0.050.050.1[1(0.1)][1(0.1)]X Y F F ee e ---=--=⋅=.十一、(本题满分7分)【解析】若已知正态分布的期望和方差,在计算有关概率时可将其转化为标准正态分布的有关概率,通过()x Φ表计算.但是正态分布的参数μ与2σ未知时,则应先根据题设条件求出μ与2σ的值,再去计算有关事件的概率.设X 为考生的外语成绩,依题意有2~(,)X N μσ,且72μ=,但2σ未知.所以可标准化得72~(0,1)X N σ-.由标准正态分布函数概率的计算公式,有{}{}96722496196110.023,P X P X σσ-⎛⎫⎛⎫>=-≤=-Φ=-Φ= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2410.0230.977.σ⎛⎫Φ=-= ⎪⎝⎭查表可得242,12σσ==,即2~(72,12)X N ,{}72608412(1)10.68212X P X P ⎧-⎫≤≤=≤=Φ-=⎨⎬⎩⎭.。
考研数学三(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编6(题后含答案及解析)
考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编6(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(2000年)在电炉上安装了4个温控器，其显示温度的误差是随机的。
在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度t0，电炉就断电，以E表示事件“电炉断电”，而T(1)≤T(2)≤T(3)≤T(4)为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E等于事件( )A．{T(1)≥t0}。
B．{T(2)≥t0}。
C．{T(3)≥t0}。
D．{T(4)≥t0}。
正确答案：C解析：随机变量T(1)，T(2)，T(3)，T(4)为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，事件E表示事件“电炉断电”，即有两个温控器显示的温度不低于t0，此时必定两个显示较高的温度大于等于t0，即T(4)≥T(3)≥t0。
所以说断电事件就是{T(3)≥t0}。
2．(2009年)设事件A与事件B互不相容，则( )A．B．P(AB)=P(A)P(B)。
C．P(A)=1-P(B)。
D．正确答案：D解析：因为A，B互不相容，所以P(AB)=0。
选项A：=1-P(A∪B)，因为P(A ∪B)不一定等于1，所以A不正确；选项B：当P(A)，P(B)不为0时，选项B 不成立，故排除B；选项C：只有当A、B互为对立事件的时候才成立，故排除C；选项D：=1-P(AB)-1，故D正确。
3．(2014年)设随机事件A与B相互独立，且P(B)=0．5，P(A-B)=0．3，则P(B-A)=( )A．0．1。
B．0．2。
C．0．3。
D．0．4。
正确答案：B解析：P(A-B)=0．3，则P(A)-P(AB)=0．3，又随机事件A与B相互独立，则有P(AB)=P(A)P(B)。
因此有P(A)-P(A)P(B)=0．3，又P(B)=0．5，故P(A)=0．6，且P(AB)=P(A)P(B)=0．3。
2020年考研数学(三)真题(后附解析答案)
2020年全国硕士研究生招生考试数学(三)(科目代码：303)一、选择题(1〜8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母写在题后的括号内.)(1)设1口心—°= b,则lim sinfQ)—sina=().x-^a x——a x-*a3C——a(A)6sin a(B)6cos a(C)6sin/(a)iIn I14-rr I(2)函数心)=二的第二类间断点的个数为((e—1)(j?—2)(A)l(B)2(03(3)设奇函数心)在(-00,-1-00)上具有连续导数，则().(A)f[cos/"(/)+/^(Olldr是奇函数J0(E)「[cos/(i)+/(O]d^是偶函数J0(C)[[cos/"'(/)+y(t)]d/是奇函数J0(D)「[cos是偶函数J0(D)bcos/(a) ).(D)4(4)设幕级数—2)"的收敛区间为(一2,6),则工a”Q+l)2n的收敛区间为().n=\n=1(A)(-2,6)(B)(-3,l)(0(-5,3)(D)(-17,15)(5)设4阶矩阵A=(a“)不可逆,a*的代数余子式A12丰O,aj,a2,a3,a,为矩阵A的列向量组,A*为A的伴随矩阵，则方程组A*X=0的通解为().(A)X=^1a1+^2a2+^3a3,其中k x,k2,k.为任意常数(B)X=^1a1+k2a2+k3a4,其中k,,k2,k3为任意常数(C)X=bS+展as+匕。
4,其中紅,k2,k3为任意常数(D)X=k i a2k2a3+怂。
4,其中ki,k2^k3为任意常数(6)设A为3阶矩阵,a】，a?为A的属于特征值1的线性无关的特征向量,as为A的属于特征I1°°\值一1的特征向量，则满足P_1AP=0-10的可逆矩阵卩为().'o01'(A)(a j a3,a2,—a3)(B)(a〕+ct2，a2，—a3)(C)(a1+a3,—a3,a2)(D)(a T+a2»—a3,a2)(7)设A,B,C为三个随机事件，且PC A)=P(£)=P(C)=±,P(AB)=O,P(AC)=P(BC)=2，412则A,B,C中恰有一个事件发生的概率为().3215(A)Z(B)T(C)7(D)12(8)设随机变量(X,Y)服从二维正态分布N(0,0；1,4；-，则下列随机变量中服从标准正态分布且与X相互独立的是().(A)啤(X+Y)(B)尝(X—丫)55(C)y(X+Y)(D)y(X-Y)二、填空题(9〜14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在题中的横线上.)(9)设z=arctanRy+sin(z+了)],贝0dz|(0,…)=______.(10)曲线jc y+e2iy=0在点(0,—1)处的切线方程为________.(H)设某厂家生产某产品的产量为<2,成本C(Q)=100+13Q,该产品的单价为/,需求量—2,则该厂家获得最大利润时的产量为(12)设平面区域。
1991考研数学三真题及超详细答案解析
1991年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】()sin cos xy e xy ydx xdy + 【解析】方法一：先求出两个偏导数z x ∂∂和z y∂∂,然后再写出全微分dz , sin sin sin sin cos cos cos cos xy xy xy xy ze xy y ye xy xze xy x xe xy y∂⎧=⋅⋅=⎪∂⎪⎨∂⎪=⋅⋅=∂⎪⎩, 所以 sin sin cos cos xy xy z zdz dx dy ye xydx xe xydy x y∂∂=+=+∂∂ sin cos ()xye xy ydx xdy =+.方法二：利用一阶全微分形式不变性和微分四则运算法则直接计算dz .()()()sin xy sin xy sin xy sin xy dz d e e d sin xy e cos xydxy e cos xy ydx xdy ====+.(2)【答案】1a =-,1b =-,1c =【解析】由于曲线()f x 与()g x 都通过点()10,,-则()()11010f a g b c -=--=⎧⎪⎨-=+=⎪⎩, 又曲线()f x 与()g x 在点()10,-有公切线,则()()11f g ''-=-,即()()()211133122x x f x a a g bx b =-=-''-=+=+=-==-,亦即32a b +=-,解之得 1a =-,1b =-,1c =.(3)【答案】()1x n =-+；()1n e-+-【解析】由高阶导数的莱布尼兹公式()()()()0nn k n k k n k uv C u v -==∑可知, ()0()1(1)2(2)()()()()()n x n x n x n n n xn n n n f x C x e C x e C x e C x e --'''=++++00()x xx xe ne x n e =++++=+.对函数()()()n g x fx =求导,并令()0g x '=,得()(1)()(1)0n x g x f x x n e +'==++=,解之得驻点()1x n =-+,且()0,(1),()()0,(1),()g x x n g x g x x n g x '<<-+⎧⎨'>>-+⎩函数严格单调递减函数严格单调递增；；故()1x n =-+是函数()()()n g x fx =的极小值点,极小值为()11(1)(1)(1)n n n g n f n n n e e ------=--=--+=-.(4)【答案】110B A --⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】利用分块矩阵,按可逆矩阵定义有12340000X X A E X X BE ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 由对应元素或块相等,即3412,0,0,.AX E AX BX BX E =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩从A 和B 均为可逆矩阵知113412,0,0,X A X X X B --====.故应填110B A--⎛⎫ ⎪⎝⎭. (5)【答案】【解析】因为随机变量X 的分布函数()F x 在各区间上的解析式都与自变量x 无关,所以在()F x 的连续点,{}0P X x ==,只有在()F x 的间断点处X 取值的概率才大于零,且{}{}{}()(0)P X x P X x P X x F x F x ==≤-<=--,则{1}(1)(10)0.4P X F F =-=----=, {1}(1)(10)0.80.40.4,P X F F ==--=-= {3}(3)(30)10.80.2.P X F F ==--=-=因此X 的概率分布为二、选择题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】(A)【解析】由重要极限1lim(1)xx e x→∞+=可知,极限 (1)111lim(1)lim[1()]x x x x e x x-⋅--→∞→∞-=+-=,(1)111lim(1)lim(1)x x x x e x x-⋅--→∞→∞+=+=.而极限 00111lim ln(1)lim ln(1)ln(1)001lim (1)lim x x x x x x x x x x x e e e x++→→+++++→→+===, 令1t x=,则 01ln(1)1lim ln(1)lim lim 01t t x t x x tt +→+∞→+∞→++==+洛,所以 01lim ln(1)001lim (1)1x x x x x e e x+→++→+===. 故选项(A)正确.(2)【答案】(D)【解析】因为2221(1)nn na a n -=<,由211n n ∞=∑收敛及比较判别法可知21(1)n n n a ∞=-∑绝对收敛.即(D)正确.另外,设1(1,2)2n a n n==,则可知 (A) 11111122n n n n a n n ∞∞∞=====∑∑∑, (C) 111212n n n n∞∞∞=====∑ 都不正确.设21210,(1,2)4n n a a n n-===,则可知(B)不正确. (3)【答案】(B).【解析】由λ为A 的特征值可知,存在非零向量X ,使得AX X λ=.两端同时乘以*A ,有 **()A X A AX λ=,由公式*A A A =得到*A X A X λ=.于是*1A X A X λ-=.按特征值定义知1A λ-是伴随矩阵*A 的特征值.故应选(B).【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及非零的n 维列向量X 使得AX X λ=成立,则称λ是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征向量.(4)【答案】(D)【解析】A B A B =,如果A B =Ω,则A B =∅,即A 与B 互不相容；如果A B ≠Ω,则A B ≠∅,即A 与B 相容.由于A 、B 的任意性,故选项(A)(B)均不正确.任何事件A 一定可以表示为两个互不相容事件AB 与AB 的和. 又因AB =∅,从而A B AB A -==,另外要注意区分独立与互不相容两个概念,不要错误地把A 、B 互不相容等同于A 、B 相互独立而错选(C).A ,B 不相容,()P A ,()P B 均不为零,因此()()0P AB P =∅=,()()()P AB P A P B .≠即(C)不正确. 用排除法应选(D).事实上,()()()()P A B P A P AB P A .-=-= (5)【答案】(B)【解析】由于()()()E XY E X E Y =,因此有cov(,)()()()0,()()2cov(,)()()().X Y E XY E X E Y D X Y D X X Y D Y D X D Y =-=+=++=+故应选(B).【相关知识点】若两个随机变量X ,Y 的方差都大于零,则下面四个命题是等价的：1) ()()()E XY E X E Y =； 2) ()()()D X Y D X D Y +=+； 3) cov(,)0X Y =；4) X 和Y 不相关,即X 和Y 的相关系数0ρ=.三、(本题满分5分)【解析】方法一：这是 1∞型未定式极限.1220112ln lim 00lim lim x x nx x x nx xx e e e e e e x xnxxn x n x x e e e e en →⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭→→⎛⎫+++== ⎪⎝⎭20ln()ln limx x nx x e e e n xe→+++-=,其中指数上的极限是型未定式,由洛必达法则,有20ln()ln limx x nx x e e e nx→+++-220212(1)1lim 22x x nx x xnx x e e ne n n n n e e e n n →++++++++====+++.所以 11220lim n xxnxxx e e e e n +→⎛⎫+++=⎪⎝⎭. 方法二：由于 112211xxnxx xnxxxe e e e e en n ⎛⎫⎛⎫++++++=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 记21x x nxe e e y n+++=-,则当0x →时0y →,从而1112000lim lim(1)lim (1)y xxnxxxyxx x x e e e y y n →→→⎡⎤⎛⎫+++=+=+⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 而10lim(1)yy y e →+=,所以01lim 0lim (1)x y y xyxx y e →→⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 又因 200(1)(1)(1)lim limx x nx x x y e e e x nx→→-+-++-=2000111111limlim lim (12)2x x nx x x x e e e n n n x x x n→→→⎡⎤---+=++++++=⎢⎥⎣⎦洛. 所以 11220lim n x xnxxx e e e e n +→⎛⎫+++=⎪⎝⎭.四、(本题满分5分)【解析】积分区域D 如图阴影部分所示.由1x y a b +=,得21x y b a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭. 因此 ()()22412120001122b x aa b x aaaDb x I ydxdy dx ydy dx y dx a --⎛⎫⎡⎤====- ⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 令1x t a=-,有2(1),2(1)x a t dx a t dt =-=--,故42240112(1)22a b x b I dx t a t dt a ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰15621245200()5630t t ab ab t t dt ab ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰.五、(本题满分5分)【解析】将原方程化为2221y dy x y xy dx xyx ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==,由此可见原方程是齐次微分方程. 令y ux =,有,dy duu x dx dx=+将其代入上式,得21dy du u u x dx dx u +=+=, 化简得1du x dx u =,即dx udu x =.积分得 21ln .2u x C =+ 将yu x=代入上式,得通解222(ln )y x x C =+. 由条件2x e y e ==,即2242(ln )e e e C =+求得1C =. 所以222(ln 1)y x x =+所求微分方程的特解.六、(本题满分6分)【解析】先求出曲线1L 和2L 的交点,然后利用定积分求出平面图形面积1S 和2S ,如图：由()()221010y x x y ax a ⎧=-≤≤⎪⎨= >⎪⎩ 得 11x ,aa y .a ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩所以 112120(1)S S S ydx x dx =+==-⎰⎰1301233x x ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦,()()2221110111a aS x ax dx a x dx ++⎡⎤⎡⎤=--=-+⎣⎦⎣⎦⎰⎰1301331aa x x a++⎡⎤=-=⎢+⎣⎦.又因为12S S =,所以223=,2=,解得3a .=七、(本题满分8分)【解析】方法1：总收入函数为2211221122240210005R p q p q p .p p .p =+=-+-,总利润函数为()()1122123540L R C p q p q q q =-=+-++⎡⎤⎣⎦2211223202120051395p .p p .p =-+--.由极值的必要条件,得方程组11223204012010L.p ,p L .p ,p ∂⎧=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-=⎪∂⎩ 即1280120p ,p ==.因驻点的唯一,且由问题的实际含义可知必有最大利润.故当1280120p ,p ==时,厂家所获得的总利润最大,其最大总利润为121222112280120801203202120051395605p ,p p ,p L p .p p .p =====-+--=（）方法2：两个市场的价格函数分别为1122120520020p q ,p q =-=-,总收入函数为()()11221122120520020R p q p q q q q q =+=-+-,总利润函数为()()()1122121205200203540L R C q q q q q q =-=-+--++⎡⎤⎣⎦2211228051602035q q q q =-+--.由极值的必要条件,得方程组1112228010084160400Lq ,q q ,q .L q ,q ∂⎧=-=⎪∂⎪⇒==⎨∂⎪=-=⎪∂⎩ 因驻点的唯一,且由问题的实际含义可知必有最大利润.故当1284q ,q ==,即180p ,=2120p =时,厂家所获得的总利润最大,其最大总利润为1284605q ,q L ===.八、(本题满分6分)【解析】因为(0,)x ∈+∞,所以1()(1)0xf x x=+>.1ln(1)1()(1)x xxf x e x+=+=,两边对x 求导,得112ln(1)ln(1)1()1111()ln(1)(1)ln(1)111x x x xxx x f x e e x x x x x ++⎡⎤⋅-'⎢⎥⎡⎤⎡⎤'==⋅++=++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎢⎥+⎣⎦. 令11()ln(1)1g x x x=+-+,为证函数()f x 为增函数,只需()0f x '>在(0,)+∞上成立,,即()0,(0,)g x x >∈+∞. 方法一：利用单调性.由于 22211111()ln(1)11(1)(1)1x g x x x x x x x-'-⎡⎤'=+-=-=-⎢⎥+++⎣⎦+, 且(0,)x ∈+∞,故21()0(1)g x x x '=-<+,所以函数()g x 在(0,)+∞上单调减少.又11lim ()lim[ln(1)]01x x g x xx→∞→∞=+-=+,于是有()0,(0,)g x x >∈+∞.从而 1()(1)()0x f x g x x'=+>,(0,)x ∈+∞,于是函数()f x 在(0,)+∞单调增加. 方法二：利用拉格朗日中值定理. 令 11ln(1)ln()ln(1)ln (1)()x x x u x u x x x++==+-=+-, 所以在区间(,1)x x +存在一点ξ,使得1(1)()()(1)()u x u x u x x u ξξξ''+-=+-==,即11ln(1)xξ+=.又因为01x x ξ<<<+,所以1111x xξ<<+,所以 1111ln(1)1x x xξ<+=<+.故对一切(0,)x ∈+∞,有111()(1)[ln(1)]01xf x x x x'=++->+.函数()f x 在(0,)+∞单调增加.九、(本题满分7分)【解析】设112233x x x ,αααβ++=将分量代入得到方程组()()()12312321231011x x x ,x x x ,x x x .λλλλλ⎧+++=⎪+++=⎨⎪+++=⎩对方程组的增广矩阵作初等行变换.第一行分别乘以有()1-、()1λ-+加到第二行和第三行上,有22211101110111011120λλλλλλλλλλλλλ++⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+---⎣⎦⎣⎦, 再第二行加到第三行上,所以有2211100300λλλλλλλλ+⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦.若0λ≠且230,λλ+≠即0λ≠且3λ≠-,则()()3r A r A ==,方程组有唯一解,即β可由123,,ααα线性表示且表达式唯一.若0λ=,则()()13r A r A ==<,方程组有无穷多解,β可由123,,ααα线性表示,且表达式不唯一.若3λ=,则()()23r A ,r A ==,方程组无解,从而β不能由123,,ααα线性表示. 【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵()A A b =的秩,即是()()r A r A =(或者说,b 可由A 的列向量12,,,n ααα线表出,亦等同于12,,,n ααα与12,,,,n b ααα是等价向量组).设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =,则 (1) 有唯一解 ⇔ ()().r A r A n == (2) 有无穷多解⇔ ()().r A r A n =<(3) 无解 ⇔ ()1().r A r A +=⇔b 不能由A 的列向量12,,,n ααα线表出.十、(本题满分6分)【解析】关于判定二次型正定这类题目时,用“顺序主子式全大于0”的方法最为简捷.二次型f 的矩阵为1142124A λλ-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,其顺序主子式为 2212311,4,448.4A λλλλλ∆=∆==-∆==--+正定的充分必要条件是各阶顺序主子式都大于0,所以有12310,(2)(2)0,4(1)(2)04A λλλλλλ∆>∆==-+>∆==--+>.解出其交集为(2,1)-,故(2,1)λ∈-时,f 为正定二次型. 【相关知识点】二次型的定义：含有n 个变量12,,,n x x x 的二次齐次多项式(即每项都是二次的多项式)()1211,,,,n nn ij i j i j f x x x a x x ===∑∑ 其中ij ji a a =,称为n 元二次型,令()12,,,Tn x x x x =,()ij A a =,则二次型可用矩阵乘法表示为()12,,,,T n f x x x x Ax =其中A 是对称矩阵()T A A =,称A 为二次型()12,,,n f x x x 的矩阵.十一、(本题满分6分) 【解析】记12(,,,)n A ααα=,则12,,,n ααα线性无关的充分必要条件是0A ≠.由于[]1111212212221212,,,T T T T n T T T TTn n T T T Tn n n n n A A αααααααααααααααααααααααα⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,从而取行列式,有2TTD A A A A A ===.由此可见12,,,n ααα线性无关的充分必要条件是0D ≠.【相关知识点】m 个n 维向量12m ,,,ααα线性相关的充分必要条件是齐次方程组()12120m m x x x ααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦有非零解.特别地,n 个n 维向量12,,,n ααα线性相关的充分必要条件是行列式12,,,0n ααα=.十二、(本题满分5分)【解析】首先确定X 的可能值是0123,,,,其次计算X 取各种可能值的概率.设事件i A =“汽车在第i 个路口首次遇到红灯”,123i ,,,=且i A 相互独立.()()12i i P A P A .==事件i A 发生表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数为1i -.所以有{}()1102P X P A ,==={}()()()21212112P X P A A P A P A ,===={}()()()()3123123122P X P A A A P A P A P A ,==== {}()()()()3123123132P X P A A A P A P A P A .====则X 的概率分布为注：此题易犯的一个错误是将{}3P X =计算为412,这是由于该街道仅有三个设有红绿信号灯的路口,3X =仅表示所有三个信号灯路口均为绿灯,而不存在第四个有信号灯路口问题.十三、(本题满分6分)【解析】二维均匀分布(,)X Y 的联合密度函数为1, (,),(,) 0, (,),Dx y D S f x y x y D ⎧∈⎪=⎨⎪∉⎩D S 是区域D 的面积,2,D S r π=所以(,)X Y 的联合密度22222221,(,)0,x y rf x y rx y r π⎧+≤⎪=⎨⎪+>⎩. 由连续型随机变量边缘分布的定义,X 和Y 的概率密度1()f x 和2()f y 为121()(,)),f x f x y dy x r rπ+∞-∞===≤⎰2()(,))f y f x y dx y r +∞-∞==≤⎰. 由一维连续型随机变量的数学期望的定义：()EX x f x dx +∞-∞=⋅⎰, []()()().E g X g x f x dx +∞-∞=⋅⎰若()f x 为奇函数,积分区间关于原点对称,则积分为零,即是()0rrf x dx -=⎰.故22,rrEX r π-=⎰22rrEY r π-=⎰,由于被积函数为奇函数,故 0EX EY ==.()2222cov(,)x y r xyX Y E XY EX EY dxdy r π+≤=-⋅=⎰⎰, 因为此二重积分区域关于x 轴对称,被积函数为y 的奇函数,所以积分式为0.cov(,)0X Y =.由相关系数计算公式ρ=于是X 和Y 的相关系数0ρ=.(2)由于12(,)()()f x y f x f y ≡,可见随机变量X 和Y 不独立.十四、(本题满分5分) 【解析】最大似然估计,实质上就是找出使似然函数最大的那个参数,问题的关键在于构造似然函数.现题设给出概率密度函数(;)f x λ,则似然函数11121(,,,;)(),ni i nx nn ii L x x x eX αλαλλα=--=∑=∏111ln ln()ln .nnii i i L n X X ααλαλ-===+-∑∏(由于ln L 是单调递增函数,L 取最大与ln L 取最大取到的θ是一致的,而加对数后能把连乘转换成累加,这样求导,找极值比较方便).由对数似然方程1ln 0,n i i L n X αλλ=∂=-=∂∑ 得λ的最大似然估计值1ˆnii nX αλ==∑.所以得λ的最大似然估计量为 1ˆnii nX αλ==∑.【相关知识点】似然函数的定义：设12,,...,n x x x 是相应于样本12,,...,n X X X 的一组观测值,则似然函数为：12121()(,,,;)(;)(;)(;)(;)nn i n i L f x x x f x f x f x f x θθθθθθ====∏。
2021考研数学(三)真题(含详细解析)
【答案】C
【解析】当
x
0
时，
x2 0
(et3
1)dt
'
2x(ex6
1)
2x7 ，故 x2 (et3 1)dt 是 x7 的高阶无穷小. 0
（2）函数
f
(x)
ex
1
,
x
x
0 ，在
x
0
处（
）
1, x 0
（A）连续且取极大值 （B）连续且取极小值 （C）可导且导数为 0 （D）可导且导数不为 0
B
1T
T 2
，
1 1
，k
表示任意常数，则线性方
3T
1
程组 Bx 的通解 x （ ）
（A） k1 2 3 4
（B）1 k2 3 4
（C）1 2 k3 4
【答案】D
（D）1 2 3 k4
【解析】由 A (1,2,3,4 ) 为 4 阶正交矩阵，知向量组 1,2,3,4 是一组标准正交向量组，则
0 0 1 3
PAQ Q
，则
Q
1 0 0
0 1
1
3
.选（C）
0 1
0 0 1 0 0 1
（8）设 A, B 为随机事件，且 0 P(B) 1，下列命题不成立的是（
）
（A）若 P(A | B) P(A) ，则 P(A | B) P(A)
（B）若 P(A | B) P(A) ，则 P(A | B) P(A)
从而 E( ) E X EY 1 2 ，
D( ) DX DY 2cov(X ,Y ) DX DY 2
DX
DY
12
2 2
21 2
.选（D）.
考研数学三(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编10(题后含答案及解析)
考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编10(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设随机变量X和y相互独立，其概率分布为则下列式子正确的是：A．X＝YB．P{X－Y}＝0C．P{X－Y}＝D．P{X＝Y}＝1正确答案：C解析：P(X＝Y)＝P(X＝－1，Y＝－1)＋P(X＝1，Y＝1) ＝P(X＝－1)P(Y ＝－1)＋P(X＝1)P(Y＝1) ＝知识模块：概率论与数理统计2．设随机变量X的密度函数为φ(χ)，且φ(－χ)＝φ(χ)，F(χ)为X的分布函数，则对任意实数a，有A．F(－a)＝1－∫0aφ(χ)dχB．F(－a)＝－∫0aφ(χ)dχC．F(－a)＝F(a)D．F(－a)＝2F(a)－1正确答案：B解析：由概率密度的性质和已知，可得1－∫－∞＋∞φ(χ)dχ＝2∫0＋∞φ(χ)dχ，∴∫0＋∞φ(χ)dχ＝而F(－a)＝∫－∞－aφ(χ)dχ∫＋∞aφ(－t)(－dt)＝∫a＋∞φ(t)dt ＝∫0＋∞φ(χ)dχ－∫0aφ(χ)dχ＝－∫0aφ(χ)dχ故选B．知识模块：概率论与数理统计3．设随机变量X～N(／μ，σ2)，则随着σ的增大，概率P(｜X－μ｜＜σ)A．单调增大．B．单调减小．C．保持不变．D．增减不定．正确答案：C解析：由已知X～N(μ，σ2)，得～N(0，1) 故P{｜X－μ｜＜σ}＝＝Ф(1)－Ф(－1) 故选C．知识模块：概率论与数理统计4．设两个随机变量X与Y相互独立且同分布。
P(X＝－1)＝P(Y＝－1)＝．P(X＝1)＝P(Y＝1)＝，则下列各式成立的是A．P(X＝Y)＝B．P(X＝Y)＝1C．P(X＋Y＝0)＝D．P(XY＝1)＝正确答案：A解析：P(X＝Y)＝P(X＝－1，Y＝－1)＋P(X＝1，Y＝1) ＝P(X＝－1)P(Y ＝－1)＋P(X＝1)P(Y＝1) ＝知识模块：概率论与数理统计5．设F1(χ)与F2(χ)分别为随机变量X1与X2的分布函数．为使F(χ)＝a1F1(χ)－bF2(χ)是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取A．B．C．D．正确答案：A解析：∵F1(χ)和F2(χ)均为分布函数，∴F1(＋∞)＝F2(＋∞)＝1 要使F(χ)为分布函数，也有F(＋∞)＝1．对该式令χ→＋∞，即得a－b＝1，只有A符合．知识模块：概率论与数理统计6．设随机变量Xi～(i＝1，2)，且满足P{X1X2＝0}＝1，则P{X1＝X2}等于A．0B．C．D．1正确答案：A解析：由P(X1X2＝0)＝1 可知P(X1＝－1，X2＝－1)＝P(X1＝－1，X2＝1)＝P(X1＝1，X2＝－1)＝P(X1＝1，X2＝1)＝0 由联合、边缘分布列(多维离散型)的性质和关系得(X1，X2)的联合、边缘分布列如下表．得：P(X1＝X2)＝P(X1＝－1，X2＝－1)＋P(X1＝0，X2＝0)＋P(X1＝1，X2＝1)＝0＋0＋0＝0 故选A．知识模块：概率论与数理统计7．设随机变量X服从正态分布N(0，1)，对给定的α∈(0，1)，数ua满足P{X＞ua}＝α，若P{｜X｜＜χ}＝α，则χ等于A．B．C．D．u1-α正确答案：C解析：设Ф(χ)＝P(X≤χ)为服从标准正态分布的X的分布函数，有结果：Ф(χ)＋Ф(－χ)＝1．χ∈(－∞，＋∞) (1) 又由α＝P(｜X｜＜χ)＝P(－χ＜X＜χ)＝Ф(χ)－Ф(－χ) (显然χ＞0) (2) 由(1)、(2)式得2Ф(－χ)＝1－α．得＝Ф(－χ)＝1－Ф(χ)＝1－P(X≤χ)＝P(X＞χ) 与题目中α＝P(X＞uα)比较，注意Ф(χ)为严格单调增函数(∵Ф(χ)＝＞0，χ∈R′)，这时P(X＞χ)＝P(X＞)，故χ＝，选C．知识模块：概率论与数理统计8．设随机变量X服从正态分布N(μ1，σ12)，随机变量Y服从正态分布N(μ2，σ22)，且P{｜X－μ1｜＜1}＞P{｜Y－μ2｜＜1} 则必有A．σ1＜σ2．B．σ1＞σ2．C．μ1＜μ2．D．μ1＞μ2．正确答案：A解析：P{｜X－μ1｜＜1}＝＝2Ф()－1．同理：P{｜Y－μ2｜＜1}＝2Ф()－1．由已知得：由分布函数的非降性得：．故σ1＜σ2．知识模块：概率论与数理统计9．设随机变量X，Y独立同分布，且X的分布函数为F(χ)，则Z＝max{X，Y}的分布函数为A．F2(χ)B．F(χ)F(y)C．1－[1－F(χ)]2D．[1－F(χ)][1－F(y)]正确答案：A解析：Z的分布函数FZ(χ)＝P{Z≤χ}＝P{max(X，Y)≤χ}＝P{X≤X，Y ≤χ}＝P{X≤χ}.P{Y≤χ}＝F2(χ)，故选A．知识模块：概率论与数理统计10．设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N(0，1)，Y的概率分布为P{Y＝0}＝P{Y＝1}＝．记FZ(z)为随机变量Z＝XY的分布函数，则函数FZ(z)的间断点个数为A．0．B．1．C．2．D．3．正确答案：B解析：FZ(z)＝P(Z≤z)＝P(XY≤z) ＝P(XY≤z｜Y＝0)P{Y＝0}＋P{XY ≤z｜Y＝1}P{Y＝1} ＝P{0≤z｜Y＝0}＋P{X≤z｜Y＝1} 而P{0≤z｜Y＝0}＝P{0≤z}＝P{X≤z｜Y＝1}＝P{X≤z}＝故FZ(z)＝在z＜0和z＞0上，FZ(z)显然连续；在z＝0上，可见FZ(z)只有1个间断点(z＝0处，∵)，故选B．知识模块：概率论与数理统计11．设随机变量X的分布函数F(χ)＝，则P{X＝1}＝A．0．B．．C．－e-1．D．1－e-1．正确答案：C解析：P(X＝1)＝F(1)－F(1－0)＝(1－e-1)－e-1，故选C．知识模块：概率论与数理统计12．设f1(χ)为标准正态分布的概率密度，f2(χ)为[－1，3]上均匀分布的概率密度，若为概率密度，则a，b应满足A．2a＋3b＝4．B．3a＋2b＝4．C．a＋b＝1．D．a＋b＝2．正确答案：A解析：由题意知：f1(χ)＝，－∞＜χ＜＋∞所以2a＋3b＝4，故选A．知识模块：概率论与数理统计13．设F1(χ)与F2(χ)为两个分布函数，其相应的概率密度f1(χ)与F2(χ)是连续函数，则必为概率密度的是A．f1(χ)，f2(χ)．B．2f2(χ)F1(χ)．C．f1(χ)F2(χ)．D．f1(χ)F2(χ)＋f2(χ)F1(χ)．正确答案：D解析：由题意知′1(χ)＝f1(χ)，F′2(χ)＝f2(χ)，且F1(χ)F2(χ)为分布函数，那么[F1(χ)F2(χ)]′＝f1(χ)F2(χ)＋F1(χ)f2(χ)为概率密度，故选D．知识模块：概率论与数理统计填空题14．连续型随机变量取任何给定实数值的概率都等于6．_______(填“是”或“不是”)正确答案：是涉及知识点：概率论与数理统计15．设随机变量X的分布函数为则A＝_______，P{｜X｜＜}＝_______．正确答案：1；．解析：分布函数是右连续的，故得1＝Asin∴A＝1 这时，F(χ)在(－∞，＋∞)上都连续，于是知识模块：概率论与数理统计16．设随机变最X的分布函数为则X的概率分布为_______．正确答案：解析：F(χ)为一阶梯状函数，则X可能取的值为F(χ)的跳跃点：－1，1，3．P(X＝－1)＝F(－1)－F(－1－0)＝0．4 P(X＝1)＝F(1)－F(1－0)＝0．8－0．4＝0．4 P(X－3)＝F(3)－F(3－0)＝1－0．8＝0．2 知识模块：概率论与数理统计17．设随机变量X的概率密度为以Y表示对X的三次独立重复观察中事件{X≤}出现的次数，则P(Y＝2}＝_______．正确答案：解析：由题意，Y～B(3，p)．其中故P{Y＝2}＝知识模块：概率论与数理统计18．设随机变量X的概率密度为若忌使得P{X≥k}＝，则k的取值范围是_______．正确答案：[1，3]解析：P(X≥k)＝∫k＋∞f(χ)dχ．可见：若0＜k＜1，则P(X≥k)＝若k＞6，则P(X≥k)＝0 若3＜k≤6，则P(X≥k)＝∫k6(6－k) 若1≤k≤3，则P≥k)＝知识模块：概率论与数理统计19．从数1，2，3，4中任取一个数，记为X，再从1，…，X中任取一个数，记为Y，则P{Y＝2}＝_______．正确答案：解析：由题意，X的概率分布为而P(＝2｜X＝1)＝0，P(Y＝2｜X＝2)＝，P(Y＝2｜X＝3)＝，P(Y＝2｜X＝4)＝，故由全概率公式得P{Y－2}＝P{X＝i}P{Y＝2｜X＝i}＝．知识模块：概率论与数理统计20．设二维随机变量(X，Y)的概率分布为若随机事件{X＝0}与{X＋Y ＝1}相互独立，则a＝_______，b＝_______．正确答案：a＝0．4，b＝0．1．解析：由题意知0．4＋a＋b＋0．1＝1，∴a＋b＝0．5 而P{X＝0}＝0．4＋a，P{X＋Y＝1}＝P(X＝0，Y＝1}＋P(X＝1，Y＝0}＝a＋b＝0．5，P{X ＝0，X＋Y＝1}＝P{X＝0，Y＝1}＝a 由P{X＝0，X＋Y＝1}＝P{X＝0}P{X ＋Y＝1} ∴a＝(0．4＋a)0．5，得a＝0．4，从而b＝0．1．知识模块：概率论与数理统计21．设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间[0，3]上的均匀分布，则P{max(X，Y)≤1}＝_______。
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考研数学3真题及答案
考研数学3真题及答案
考研数学是考研考试中的一门重要科目，对于大部分考生来说，数学是一个相对较难的科目。
在备考过程中，了解往年的真题是非常重要的。
本文将为大家介绍考研数学3的真题及答案，希望能对考生的备考有所帮助。
考研数学3是一门综合性较强的数学科目，主要涉及概率论、数理统计、线性代数等内容。
考生需要具备扎实的数学基础和较强的逻辑思维能力。
下面我们就来看一下近几年的考研数学3真题及答案。
2019年考研数学3真题：
1. 设随机变量X的概率密度函数为f(x)，已知E(X) = a，Var(X) = b，求常数a 和b的表达式。
答案：由E(X) = a和Var(X) = b，可以得到两个方程：
∫xf(x)dx = a
∫(x-a)^2f(x)dx = b
通过求导和积分，可以求出a和b的表达式。
2. 设X1，X2，...，Xn是来自总体X的一个样本，已知样本均值为x̄，样本方差为s^2，求总体均值μ的置信区间。
答案：根据中心极限定理，当样本量n足够大时，样本均值x̄的分布近似服从正态分布。
根据正态分布的性质，可以构造出总体均值μ的置信区间。
3. 设A为n阶方阵，若存在非零向量x使得Ax = 0，则矩阵A一定是奇异矩阵吗？
答案：是的，矩阵A是奇异矩阵。
根据线性代数的知识，奇异矩阵的定义是存
在非零向量x使得Ax = 0。
因此，若存在非零向量x使得Ax = 0，则矩阵A一定是奇异矩阵。
以上是2019年考研数学3的部分真题及答案，通过解答这些题目，考生可以更好地了解考研数学3的考点和考察重点。
同时，通过对这些题目的分析和解答，考生可以提高自己的数学解题能力和逻辑思维能力。
备考考研数学3时，考生需要系统地学习数学基础知识，掌握概率论、数理统计和线性代数等相关内容。
同时，还需要进行大量的练习和真题训练，提高解题能力和应试能力。
总之，考研数学3是一门相对较难的科目，需要考生具备扎实的数学基础和较强的解题能力。
通过了解往年的真题及答案，考生可以更好地把握考试的重点和难点，有针对性地进行备考。
希望本文对考生备考考研数学3有所帮助。