离散数学及应用课件
离散数学及应用课件
离散数学是数学的一个重要分支，它研究的是数学离散对象，如集合、图、树、数等。它涵盖了一系列丰富而又有深度的主题，包括集合论、图论、数论、逻辑学等。这些主题不仅在数学领域有着广泛的应用，也在计算机科学、物理学、经济学等多个领域有所涉及。
一、离散数学的主要内容
1、集合论：集合论是离散数学的基础，它研究的是集合及其性质和运算。集合论中的基本概念包括元素、集合、子集、并集、交集、补集等。
2、图论：图论是离散数学中一门研究图形和网络结构的学科。图论中的基本概念包括节点、边、路径、环、子图等。图论在计算机科学、电子工程、交通运输等领域都有广泛的应用。
3、数论：数论是研究整数性质和运算的学科。数论中的基本概念包括整数、素数、合数、约数、倍数等。数论在密码学、计算机科学等领域有着重要的应用。
4、逻辑学：逻辑学是研究推理和证明的学科。逻辑学中的基本概念包括命题、推理、证明、反证等。逻辑学在人工智能、哲学、法学等
领域有着广泛的应用。
二、离散数学的应用
1、计算机科学：离散数学在计算机科学中的应用广泛而重要。例如，图论被用于解决计算机科学中的一些基本问题，如排序问题、旅行商问题等。离散数学还在计算机科学的其他领域有所应用，如算法设计、数据结构、数据库系统等。
2、物理学：离散数学在物理学中的应用也十分广泛。例如，量子力学和统计力学的理论框架中都有离散数学的影子。离散数学还在固体物理学、分子物理学等领域有所应用。
3、经济学：离散数学在经济学中的应用也日益增多。例如，离散数学被用于研究金融市场中的复杂行为，以及分析经济数据的模式和趋势。离散数学还在博弈论、决策理论等领域有所应用。
三、总结
离散数学作为数学的一个重要分支，其理论和应用已经渗透到科学的各个领域。学习和研究离散数学，不仅可以增强我们的数学素养，还可以提高我们的逻辑思维能力和解决问题的能力。因此，我们应该重视离散数学的学习和应用。
离散数学是数学的一个重要分支，它研究的是离散量的结构及其相互关系。它包括许多不同的领域，如集合论、图论、数论、组合数学等。离散数学的应用非常广泛，它不仅在计算机科学中有着广泛的应用，还在物理学、化学、生物学、经济学等许多领域中有着重要的应用。在计算机科学中，离散数学是许多算法和数据结构的基础。例如，图论是网络设计和优化的基础，数论是密码学和安全协议的基础，组合数学是算法设计和分析的基础。因此，离散数学对于计算机科学的研究和应用是非常重要的。
除了计算机科学，离散数学还在其他领域中有着广泛的应用。例如，在物理学中，离散数学可以用来描述量子力学和统计力学的现象。在化学中，离散数学可以用来描述分子和材料的性质。在生物学中，离散数学可以用来描述基因和蛋白质的结构和行为。在经济学中，离散数学可以用来描述市场和金融的现象。
因此，离散数学不仅在计算机科学中有着广泛的应用，还在其他领域中有着重要的应用。它不仅是一门理论学科，还是一门应用学科。通过学习和应用离散数学，我们可以更好地理解和解决现实世界中的许多问题。
离散数学，一个看似高深而抽象的数学领域，其实践应用却广泛而深
入。从计算机科学到生物学，从金融学到物理，离散数学的原理和思想在各个领域中都有其应用。下面，我们就来看看离散数学的一些主要应用。
离散数学在计算机科学中的应用无处不在。无论是算法设计、数据结构，还是人工智能、机器学习，都离不开离散数学的影子。例如，图论中的最短路径问题和网络流量问题，在计算机科学中有着广泛的应用。另外，离散概率论也在计算机科学中有着重要的应用，如密码学、数据压缩等。
在生物学中，离散数学也被广泛应用于各种问题。例如，在遗传学中，可以用离散数学来研究DNA序列的比对和进化树构建。在生态学中，离散数学也可以用来研究种群动态和生态系统平衡。
金融学中也有大量离散数学的应用。例如，在期权定价模型中，需要用到离散概率论和动态规划。在风险管理领域，离散数学也被用来建模和评估风险。
在物理学中，离散数学的应用可能不像其他领域那么直观，但其实它在物理学中的地位同样重要。例如，在量子力学和量子计算中，离散数学中的态和量子纠缠等概念扮演了核心角色。在统计物理和复杂系统中，离散数学中的概率论和统计方法也有着广泛的应用。
在社会科学中，离散数学也发挥着重要作用。例如，在社会网络分析中，可以用图论来研究社交网络的结构和动态。在经济学中，离散数学被用来研究市场均衡和决策理论。
离散数学的应用广泛而深入，几乎渗透到科学的各个领域。无论是计算机科学、生物学、金融学、物理学还是社会科学，都离不开离散数学的支撑。因此，理解和掌握离散数学的概念和方法，对于研究和解决实际问题具有重要的意义。
离散数学是数学的一个重要分支，它主要研究的是非连续的、分离的对象，如整数、集合、向量、矩阵等。它在计算机科学、电子工程、物理学等多个领域都有广泛的应用。在这一篇文章中，我们将探讨离散数学的一些基本概念及其在日常生活和其他学科中的应用，并重点分析一些具有代表性的题目及其答案。
我们来看一下离散数学的基本概念。离散数学主要包括集合论、图论、数论、组合数学等几个部分。这些概念在我们的日常生活中都有应用。例如，集合论可以帮助我们理解如何对一组对象进行分类和计数；图论可以解释交通流量、社交网络等问题；数论则涉及到密码学、计算机科学等领域；组合数学则可以解决排列、组合、子集构造等问题。接下来，我们来看一下离散数学在日常生活中的应用。例如，在计算
机科学中，离散数学提供了数据结构、算法设计的基础；在电子工程中，离散数学可以帮助我们理解数字电路和逻辑设计；在物理学中，离散数学可以描述量子力学和统计力学的现象。
然后，我们将重点分析一些具有代表性的题目及其答案。例如，在数论中，奇数题是一个常见的问题。题目是：证明存在无穷多个奇数，使得它们的平方同时为奇数。这个问题的答案涉及到无穷递归和数学归纳法的应用。我们观察到3的平方是9，这是一个奇数。接下来，我们可以推断出，对于任何一个正整数n，(2n+1)^2 = 4n^2 + 4n + 1 = 4(n^2 + n) + 1，这同样是一个奇数。因此，通过数学归纳法，我们可以证明存在无穷多个奇数，使得它们的平方同时为奇数。
再来看一个图论的问题：给定一个无向图，证明存在一个节点，使得该节点的度数为奇数。这个问题的答案涉及到图的度的概念和数学归纳法的应用。我们观察到任何一个节点都至少连接两条边，这意味着它的度数是偶数。接下来，我们可以推断出，对于任何一个节点n，如果它的度数是偶数，那么它至少连接两条边；如果它的度数是奇数，那么它至少连接一条边。因此，通过数学归纳法，我们可以证明存在一个节点，使得该节点的度数为奇数。
我们来看一下一个组合数学的问题：给定一个集合A={a1,a2,...,an}，
求所有可能的排列的总数。这个问题的答案涉及到排列组合的概念和数学归纳法的应用。我们知道一个集合的排列数是n!（n的阶乘）。接下来，我们可以推断出，对于任何一个集合A={a1,a2,...,an}，它的排列数是n!（n的阶乘）。因此，通过数学归纳法，我们可以求出所有可能的排列的总数。
通过以上的分析，我们可以看到离散数学在日常生活和其他学科中的应用是广泛的。我们也发现了一些具有代表性的题目及其答案涉及到无穷递归、数学归纳法等重要的数学方法。这些方法不仅可以帮助我们解决离散数学中的问题，也可以应用到其他学科和实际生活中。因此，掌握好离散数学的基本概念和方法对于我们理解和解决实际问题是非常重要的。
离散数学是计算机科学和相关领域的一门重要课程，它研究的是离散结构中的数学关系和性质。本课程旨在帮助学生掌握离散数学的基本概念、方法和应用，为后续的计算机科学课程和实际工作打下坚实的基础。
掌握离散数学的基本概念和术语，了解离散数学的体系和分类。
掌握离散数学中的命题逻辑、一阶逻辑、集合论、图论等基本内容和方法。
能够运用离散数学知识解决实际问题，培养离散思维和抽象思维的能力。
培养学生的创新能力和团队协作精神，提高综合素养。
主要内容：命题及其表示方法，真值表，联结词，范式。
主要内容：一阶逻辑的基本概念，形式语言，一阶逻辑推理理论。主要内容：集合及其基本概念，子集、并集、交集、补集，幂集，等价关系与划分，序关系与偏序关系。
主要内容：图的基本概念，路径与连通性，欧拉图与哈密尔顿图，树与图的同构，图的矩阵表示。
主要内容：运用离散数学知识解决实际问题，如算法分析、数据结构等。
采用多媒体教学和传统教学相结合的方式，注重启发式教学和案例分析。
鼓励学生积极参与课堂讨论和小组活动，加强实践操作和问题解决能力的培养。
要求学生掌握基本概念、方法和技能，同时能够运用所学知识解决实际问题。
要求学生具备一定的人文素养和社会责任感，注重团队协作和创新思维的培养。
期末考试：采用闭卷考试方式，考试内容涵盖全部教学内容。
平时成绩：包括作业、课堂表现、小组讨论等情况。
成绩评定：按照期末考试成绩和平时成绩综合评定学生成绩，其中期末考试成绩占70%，平时成绩占30%。
离散数学是计算机科学的基础学科，它为计算机科学提供了重要的概念和工具，是计算机科学不可或缺的一部分。离散数学的基本概念和原理在计算机科学中有着广泛的应用，从算法设计到数据结构，再到计算机体系结构，离散数学都扮演着重要的角色。
算法是计算机科学的核心，离散数学为算法设计提供了许多重要的概念和方法。例如，在图论中，图是由顶点集合和边集合组成的数据结构，图的遍历算法可以应用于解决许多实际问题。例如，在一个社交网络中，我们可以使用图的遍历算法来寻找可能的朋友或者在网络安全领域中检测恶意节点。离散数学中的欧拉路径和哈密尔顿路径问题
也可以应用于路径规划算法中。
数据结构是计算机科学中用于管理和存储数据的方式，离散数学为数据结构提供了许多重要的概念和原理。例如，在树形数据结构中，离散数学中的二叉树和多叉树的概念可以应用于构建高效的搜索和排序算法。在图形数据处理中，离散数学中的图论和超图论的概念可以应用于构建高效的数据结构和算法。
计算机体系结构是计算机科学的底层结构，离散数学为计算机体系结构提供了许多重要的概念和原理。例如，离散数学中的集合和关系等概念可以应用于构建计算机存储系统，例如内存和缓存等。离散数学中的数论和抽象代数等概念可以应用于构建加密算法和数字签名等安全机制。
离散数学在计算机科学中的应用是非常广泛的，从算法设计到数据结构，再到计算机体系结构，离散数学都扮演着不可或缺的角色。通过学习和理解离散数学的基本概念和原理，我们可以更好地理解和掌握计算机科学的核心概念和技术。因此，离散数学是计算机科学专业的重要基础课程之一。
离散数学是计算机科学、软件工程、信息科学等专业的重要基础课程之一，它主要研究离散结构中的数学关系和逻辑推理。通过离散数学
的学习，学生将掌握处理离散问题的基本方法和技巧，培养其逻辑思维能力、抽象思维能力和形式化描述能力。
掌握离散数学的基本概念、方法和理论，包括集合、图论、数理逻辑、组合数学等。
理解离散数学在计算机科学、软件工程、信息科学等领域中的应用，培养解决实际问题的能力。
培养学生的逻辑思维、抽象思维和形式化描述能力，提高其综合素质。掌握离散数学的常用算法和数据结构，能够进行简单的编程实现。
集合论：集合的基本概念、集合的运算、集合的基数、序关系等。
图论：图的基本概念、图的连通性、图的矩阵表示、最短路径问题等。数理逻辑：命题逻辑、一阶逻辑、推理理论等。
组合数学：排列与组合、二项式系数、欧拉数、范德蒙德定理等。
离散数学其他应用：数理逻辑在计算机科学中的应用、图论在算法分析中的应用等。
本课程总计学时，其中理论教学学时，实验教学学时。教学内容应按
照教学计划表执行，并根据实际情况适当调整。
采用多媒体教学与板书相结合的方式，注重学生的接受能力，提高教学效果。
加强实践教学环节，通过编程实现离散数学中的常用算法和数据结构，加深学生对理论知识的理解和掌握。
要求学生课前预习，课后复习，及时掌握学习内容，提高学习效果。同时要求学生完成一定量的课外作业，巩固所学知识。
鼓励学生参加课外辅导和学术活动，拓宽知识面和视野。
期末考试采用闭卷考试方式，考试内容应覆盖教学大纲所要求的知识点，注重考查学生的逻辑思维能力和应用能力。同时应注重对实验环节的考核，以全面评估学生的综合素质和能力。
在教学过程中应注重培养学生的独立思考能力和创新意识，鼓励学生提出问题和解决问题的方法。同时应注重培养学生的团队合作精神和沟通能力，提高其综合素质和社会适应能力。
离散数学是数学的一个重要分支，它研究的是数学结构中离散对象的性质和关系。其中，数理逻辑是离散数学的核心部分，它通过符号化
的方式来表达和推理数学中的概念和命题。本文将探讨离散数学数理逻辑的基础和应用。
命题逻辑是数理逻辑的基础，它研究的是命题之间的关系。命题是一个有真值（真或假）的陈述句。在命题逻辑中，我们通过连接词（如且、或、非）来组合简单命题，形成复杂的命题。
谓词逻辑是数理逻辑的另一个重要分支，它研究的是个体和谓词之间的关系。谓词是一个描述个体具有某种性质的陈述句。在谓词逻辑中，我们可以通过谓词和个体来表达和推理更复杂的命题。
离散数学数理逻辑在计算机科学中的应用广泛而重要。计算机科学中的许多概念和问题都需要用到数理逻辑来表达和解决。例如，计算机程序的设计和验证需要使用命题逻辑和谓词逻辑来描述和推理程序
的状态和行为。
人工智能是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学。在人工智能中，数理逻辑被广泛应用于知识表示、推理和决策等方面。例如，专家系统可以通过数理逻辑来表达和推理专家的知识和经验。
在通信工程中，数理逻辑被用于设计和分析通信协议。例如，可以通
过数理逻辑来验证通信协议的正确性和安全性。数理逻辑还可以用于加密和解密信息，保障通信的安全性。
生物信息学是一个研究生物系统中信息的存储、传递和处理的学科。在生物信息学中，数理逻辑被用于分析和理解基因组、蛋白质组和其他生物数据。例如，可以通过数理逻辑来预测基因的功能和结构，为药物设计和疾病治疗提供重要的参考。
离散数学数理逻辑是数学中的一个重要分支，它在计算机科学、通信工程和生物信息学等领域有着广泛的应用。通过学习和研究离散数学数理逻辑，我们可以更好地理解和应用这些领域的知识和技术，为未来的科技发展做出重要的贡献。
离散数学是计算机科学、电子工程和许多其他工程学科的基础课程，它研究的是离散结构和空间关系。通过离散数学的学习，学生可以培养出对问题进行分析、推理和解决的能力，同时也可以为后续的计算机科学课程打下坚实的基础。
理解离散数学的基本概念和原理，包括集合论、图论、逻辑、计数等。掌握如何运用离散数学知识解决实际问题，提高分析和解决问题的能力。
通过课程中的实践活动，提高学生的创新能力和团队协作能力。
集合论：集合的基本概念、集合的运算、自然数集、有理数集、实数集等。
图论：图的基本概念、图的矩阵表示、欧拉路径和哈密尔顿路径、图的着色等。
逻辑：命题逻辑、谓词逻辑、推理规则和证明等。
离散概率论：基本概念、概率分布、条件概率等。
理论教学：通过课堂讲解，使学生理解离散数学的基本概念和原理。实践教学：通过问题解决、案例分析等方式，使学生能够运用所学知识解决实际问题。
小组讨论：通过小组讨论的形式，提高学生的团队协作能力和沟通能力。
自主学习：鼓励学生通过自主学习，深入理解和掌握课程内容。
平时作业：根据课程内容布置平时作业，以检验学生对课程内容的理解和掌握程度。
期中考试：通过期中考试检查学生对课程内容的掌握情况。
期末考试：期末考试将涵盖整个课程内容，以评估学生的整体学习效果。
实践活动：学生需要在课程中完成一定的实践活动，以评估他们的实践能力和团队协作能力。实践活动可以包括解决实际问题、进行实验操作等。
期末论文：学生需要在课程结束时提交一篇关于离散数学应用的论文，以评估他们的研究能力和写作能力。论文应包括对问题的定义、分析、解决方案和结论，并应按照学术论文的格式进行撰写。
本课程的教学进度将根据学生的实际情况和教学计划进行安排。一般来说，每周会安排一次理论课程和一次实践课程（包括小组讨论和实践活动）。期中考试将安排在课程进行到一半的时候，期末考试则安排在课程结束前进行。实践活动和期末论文的完成时间将在课程结束前的一个月内进行安排。
教材：我们将使用《离散数学》（作者姓名）作为主要教材。我们还将参考其他相关教材和参考书籍。
教学视频：学生可以通过在线教学视频进行自主学习，加深对课程内
容的理解。
在线练习：学生可以通过在线练习平台进行练习，以巩固所学知识。学习小组：学生可以组成学习小组，进行讨论和学习交流。
离散数学是数学的一个重要分支，它研究的是非连续的、分离的对象，如整数、集合、图形等。在计算机科学中，离散数学的方法和概念被广泛应用，为复杂的问题提供了有效的解决方案。本文将探讨离散数学在计算机科学中的几个主要应用领域。
离散数学在算法设计与分析中发挥了核心作用。算法是对一类问题的解决方案的描述，而离散数学提供了对这类问题精确的数学描述。例如，图论中的最短路径算法，可以通过离散数学的方法找到两点之间的最短路径。离散数学还提供了复杂度分析的工具，帮助我们理解算法的效率。
数据结构是计算机中数据的组织和存储方式，而数据库系统是数据结构的高级应用。离散数学在数据结构和数据库设计中扮演了重要角色。例如，集合论的概念被用于描述和操作数据库中的数据，如集合运算（交、并、差等）。
计算机网络是计算机和通信技术的结合，而网络协议是计算机网络的
核心组成部分。离散数学在网络协议设计中发挥了重要作用，如利用概率论和数理统计来设计和优化网络协议。离散数学还在网络安全领域发挥了关键作用，如在密码学中提供了加密和解密的方法。
人工智能和机器学习是计算机科学的两个重要领域，它们都需要对数据进行处理和分析。离散数学提供了对数据的精确描述和分析工具。例如，离散数学中的概率论和统计方法被广泛应用于机器学习的算法中，如贝叶斯网络和决策树等。
形式化方法是用来精确描述和验证计算机系统的工具，而软件工程是计算机科学的一个分支，它的是构建和维护计算机程序。离散数学为形式化方法和软件工程提供了一种严谨、精确的数学语言。例如，离散数学中的逻辑推理为形式化验证提供了基础，以确保软件的正确性和安全性。
离散数学在计算机科学中的应用广泛且深入。无论是算法设计、数据结构、数据库系统、计算机网络，还是、机器学习和形式化方法等领域，都离不开离散数学的支撑。随着计算机科学的不断发展，离散数学的应用将会更加广泛和深入。因此，对于计算机科学的学习者和研究者来说，掌握离散数学的基本概念和方法是非常重要的。
离散数学是计算机科学和许多其他学科的基础，因此掌握离散数学的
概念和技巧对于这些学科的学习和研究至关重要。下面是一些离散数学的题目和答案，供大家参考。
设A和B是两个集合，用符号表示它们之间的关系。
本文a) A={1，2，3}，B={2，3，4}
本文a)根据集合之间的关系，进行分类讨论即可；
本文b)根据集合之间的关系，进行分类讨论即可．
本文a)如果一个人喜欢看电影，那么他喜欢听音乐。
本文b)如果一个人不喜欢吃苹果，那么他喜欢吃橙子。
非P⇒非Q．
离散数学是计算机科学和许多其他工程学科的基础课程，其重要性不言而喻。这门学科涉及的知识点包括集合论、图论、逻辑、组合数学等，对于培养我们的逻辑思维和解决问题的能力有着极大的帮助。
最近，我找到了一份离散数学的下载作业，并且我已经将它转换成了Word版，方便大家阅读和编辑。这份作业包含了课程中所有重要的知识点，而且难度适中，非常适合我们作为学习离散数学的辅助材料。
Word版的好处在于它可以让我们方便地进行编辑和注释，而且还可以轻松地打印出来进行纸质阅读。这对于我们复习和巩固离散数学的知识点非常有帮助。
如果你也需要这份作业来帮助你学习离散数学，你可以通过以下方式下载：
我的个人：CS_Sketchnotes，并在后台回复“离散数学下载作业Word 版”即可获取下载链接。
在学校的教学资源库或者在线教育平台上搜索“离散数学下载作业Word版”，也可以找到相应的资源。
请注意，这份作业只是作为学习离散数学的一个辅助材料，我们还是应该以课堂上的教学为主，积极参与到教学过程中，深入理解和掌握离散数学的知识点。我们也要合理利用电子设备和学习资源，避免沉迷其中而影响正常的学习生活。
祝大家学习愉快，取得优异的成绩！
离散数学 课件 the_whole_exercises_from_chapter_1_to_chapter_4-discrete_mathematics
《离散数学》布置的课后作业习题解答 作者：黄海平 第一次布置的作业： P8 1-1,1-2习题 (1) 指出下列语句哪些是命题，哪些不是命题，如果是命题，指出它的真值。 a) 离散数学是计算机科学系的一门必修课。 命题，T b) 计算机有空吗？ 不是命题 c) 明天我去看电影。 命题，根据主体情况可能为T 或者F d) 请勿随地吐痰！ 不是命题 e) 不存在最大质数。 命题，T f) 如果我掌握了英语、法语，那么学习其它欧洲语言就容易得多。 命题，T g) 9+5≤12 命题，F h) x=3 不是命题 i) 我们要努力学习。 不是命题，是陈述句，但是没有真假值 (3) 设P 表示命题“天下雪”，Q 表示命题“我将去镇上”，R 表示命题“我有时间”，以符号形式写出下列命题。 a) 如果天不下雪和我有时间，那么我将去镇上。 ()P R Q ?∧→ b) 我将去镇上，仅当我有时间时。 Q R → c) 天不下雪。 P ? d) 天下雪，那么我不去镇上。 P Q →? (5) 将下列命题符号化。 a) 小李一边看书，一边听音乐。 P: 小李看书。 Q: 小李听音乐。 P Q ∧ d) 如果a 和b 是偶数，则a+b 是偶数。 写法一： P: a 和b 是偶数。 Q: a+b 是偶数。 P Q → 写法二： P: a 是偶数。 Q: b 是偶数。 R: a+b 是偶数。 P Q R ∧→ f) 停机的原因在于语法错误或程序错误。 P: 停机。 Q: 语法错误。 R: 程序错误。 P Q R ∨ P12 1-3习题 (5) 试把原子命题表示为P 、Q 、R 等，然后用符号译出下列各句子。 a) 或者你没有给我写信，或者它在途中丢失了。 P: 你给我写信。 Q: 信在途中丢失了。 P Q ?∨ 或者 ()P R ??
高中数学教案离散数学
高中数学教案离散数学 高中数学教案—离散数学 一、教学目标 本节课的教学目标是：使学生了解离散数学的基本概念，掌握离散数学的常见应用，培养学生的逻辑思维和问题解决能力。 二、教学重点 本节课的教学重点是：培养学生的逻辑思维和问题解决能力。 三、教学难点 本节课的教学难点是：使学生能够熟练应用离散数学的概念和方法解决实际问题。 四、教学准备 教学准备工作包括： 1. 教师准备PPT课件，包括离散数学的基本概念和应用案例； 2. 备齐黑板、粉笔和讲义。 五、教学过程 本节课的教学过程分为以下几个步骤： 步骤一：导入
教师向学生介绍离散数学的概念和重要性，引起学生的兴趣和好奇心。教师可用一些实际生活中的例子说明离散数学的应用场景，如网络安全、密码学等。 步骤二：讲解离散数学的基本概念 1. 集合与元素：介绍集合的定义，集合的运算及其性质，以及元素的概念。 2. 关系与函数：讲解关系和函数的定义，重点介绍关系的性质和函数的性质，以及它们在实际问题中的应用。 步骤三：讲解离散数学的应用案例 1. 图论：介绍图的基本概念和性质，讲解图在网络分析、路径规划等领域的应用。 2. 组合数学：介绍组合数学的基本概念和应用，如排列组合、概率等。 步骤四：解决实际问题 教师提供一些实际问题，要求学生利用离散数学的知识解决，培养学生的问题解决能力和逻辑思维能力。 步骤五：总结与拓展 教师与学生一起总结本节课的学习内容，再次强调离散数学的重要性和应用领域。鼓励学生在日常生活中发现离散数学的应用，并进行拓展学习。
六、板书设计 根据本节课的教学内容，板书设计如下： ``` 离散数学 1. 集合与元素 集合定义、运算与性质，元素概念 2. 关系与函数 关系定义与性质，函数定义与性质，应用案例 3. 图论 图定义与性质，应用案例 4. 组合数学 基本概念，排列组合、概率 ``` 七、作业布置 布置离散数学的相关作业，要求学生巩固课堂所学内容，并鼓励学生提出自己的问题进行进一步研究。 八、教学反思
离散数学-第三部分代数结构练习题答案(课件模板)
《离散数学》第三部分----代数结构 一、选择或填空 1、设A={2,4,6}，A上的二元运算*定义为：a*b=max{a,b}，则在独异点
答：单位元，1 8、素数阶群一定是( )群, 它的生成元是( )。 答：循环群，任一非单位元 9、设〈G,*〉是一个群，a,b,c∈G，则 (1) 若c*a=b，则c=( )；(2) 若c*a=b*a，则c=( )。 答：（1）b1- *a(2) b 10、
离散数学的应用
离散数学的应用 离散数学在其他学科及现实生活中的应用一、离散数学概论离散数学是现代数学的一个重要分支，也是计算机专业课程体系中地位极为重要的专业基础课之一。它以研究离散量的结构及相互关系为主要目标，充分描述了计算机科学离散性的特点。该课程是数据结构、操作系统、计算机网络、算法设计与分析、软件工程、人工智能、形式语言、编译原理等计算机本科阶段核心课程的基础，也是组合数学、遗传算法、数据挖掘等计算机硕士研究生阶段相关课程的重要基础。离散数学的主要内容包括集合论、数理逻辑、代数结构和图论四部分。数理逻辑与代数结构的研究思想和研究方法在计算机科学中的许多研究领域得到了广泛的应用，解决了大量的计算机科学问题。数理逻辑是研究推理的学科，在人工智能、程序理论和数据库理论等的研究中有重要的应用。代数结构是关于运算或计算规则的学问，在计算机科学中，代数方法被广泛应用于许多分支学科，如可计算性与计算复杂性、形式语言与自动机、密码学、网络与通信理论、程序理论和形式语义学等。集合论和图论在计算机科学中也有广泛的应用，他们为数据结构和算法分析奠定了数学基础，也为许多问题从算法角度如何加以解决提供了进行抽象和描述的一些重要方法。离散数学不仅是计算机技术迅猛发展的支撑学科，更是提高学生逻辑思维能力、创造性思维能力以及形式化表述能力的动力源，为他们今后处理离散信息，从事计算机应用、信息管理和计算机科研打下扎实的数学基础。中国科学院也已成立了离散数学研究中心，并得到国家的重点资助。二、应用 2.1 离散数学在计算机学科中的应用计算机学科主要脱胎发源于数学学科，离散数学是现代数学的一个重要分支，是计算机科学中基础理论的核心课程。由于计算机科学的迅速发展，与其有关的领域中，提出了许多有关离散量的理论问题，需要用某些数学的工具做出描述和深化。离散数学把计算机科学中所涉及
离散数学及应用课件
离散数学及应用课件 离散数学是数学的一个重要分支，它研究的是数学离散对象，如集合、图、树、数等。它涵盖了一系列丰富而又有深度的主题，包括集合论、图论、数论、逻辑学等。这些主题不仅在数学领域有着广泛的应用，也在计算机科学、物理学、经济学等多个领域有所涉及。 一、离散数学的主要内容 1、集合论：集合论是离散数学的基础，它研究的是集合及其性质和运算。集合论中的基本概念包括元素、集合、子集、并集、交集、补集等。 2、图论：图论是离散数学中一门研究图形和网络结构的学科。图论中的基本概念包括节点、边、路径、环、子图等。图论在计算机科学、电子工程、交通运输等领域都有广泛的应用。 3、数论：数论是研究整数性质和运算的学科。数论中的基本概念包括整数、素数、合数、约数、倍数等。数论在密码学、计算机科学等领域有着重要的应用。 4、逻辑学：逻辑学是研究推理和证明的学科。逻辑学中的基本概念包括命题、推理、证明、反证等。逻辑学在人工智能、哲学、法学等
领域有着广泛的应用。 二、离散数学的应用 1、计算机科学：离散数学在计算机科学中的应用广泛而重要。例如，图论被用于解决计算机科学中的一些基本问题，如排序问题、旅行商问题等。离散数学还在计算机科学的其他领域有所应用，如算法设计、数据结构、数据库系统等。 2、物理学：离散数学在物理学中的应用也十分广泛。例如，量子力学和统计力学的理论框架中都有离散数学的影子。离散数学还在固体物理学、分子物理学等领域有所应用。 3、经济学：离散数学在经济学中的应用也日益增多。例如，离散数学被用于研究金融市场中的复杂行为，以及分析经济数据的模式和趋势。离散数学还在博弈论、决策理论等领域有所应用。 三、总结 离散数学作为数学的一个重要分支，其理论和应用已经渗透到科学的各个领域。学习和研究离散数学，不仅可以增强我们的数学素养，还可以提高我们的逻辑思维能力和解决问题的能力。因此，我们应该重视离散数学的学习和应用。
离散数学北京大学出版社第二版配套PPT课件_屈婉玲_耿素云_张立昂ch
离散数学北京大学出版社第二版配套PPT课件 介绍 本文档是北京大学出版社出版的《离散数学》第二版的配套PPT课件的简介。透过课件，学生可以更好地理解和学习离散数学的概念和原理。 课件的作者包括屈婉玲、耿素云和张立昂等离散数学领域的专家，他们精心设计了课件的内容和布局，旨在帮助学生更好地理解离散数学的基础知识，并应用到实际问题中。 内容概述 离散数学是计算机科学和信息技术中的一门基础课程，它研究离散的数学结构和离散对象之间的关系。离散数学的理论和方法在计算机科学、密码学、人工智能等领域有着广泛的应用。 《离散数学》第二版的配套PPT课件涵盖了离散数学的主要内容，包括集合论、逻辑、关系、图论、计数原理等。课件的设计旨在让学生通过图示、例子和练习等形式来理解和掌握
离散数学的概念和方法。课件还提供了一些附加材料和参考资料，供学生进一步学习和探索离散数学的相关内容。 课件特点 1.系统性：课件内容有机地连接起来，形成一个完整 的体系，学生可以从不同的章节中逐步深入学习离散数学 的不同方面。 2.可视化：课件中使用了大量的图示和示例，帮助学 生更直观地理解离散数学的概念和原理。 3.互动性：课件中设置了各种练习和思考题，鼓励学 生积极参与和思考，提高学习效果。 4.实用性：课件中的例子和实际应用案例帮助学生将 离散数学的理论应用到实际问题中，增强学习的实际效果。 使用指南 学生可以使用任何支持Markdown文本格式的编辑器来打 开和阅读本课件。在阅读的同时，建议学生积极参与，思考课件中的问题，并完成相应的练习。学生还可以根据自己的学习情况，有针对性地选择课件中的章节进行学习。
离散数学与组合数学
离散数学与组合数学 1 离散数学与组合数学的定义和重要性 离散数学和组合数学是数学的两个重要分支，它们关注的对象不 同于传统的连续数学。离散数学主要研究在离散的数学结构（如图、树、集合等）中的数学问题；而组合数学侧重于研究离散问题的计数、排列、组合、概率等问题。 离散数学和组合数学的研究不仅具有强大的理论意义，也被广泛 应用于计算机科学、通信工程、统计学等领域。它们的理论和方法不 仅可以解决各种实际问题，而且已经成为当代科学和技术进步的重要 支撑和基础。 2 离散数学和组合数学的分支和应用 离散数学包括图论、逻辑、集合论、代数结构等分支，其中图论 是最为重要的分支之一。图论研究的是用节点和边来表示的图结构， 是计算机科学、网络优化等领域中使用最广泛的数学分支之一。逻辑 是研究命题、谓词、逻辑演算等数学分支，是人工智能、数据库等领 域最基础的数学分支之一。集合论是研究集合、子集、并集、交集等 概念的数学分支，是概率论、统计学等领域中使用最广泛的数学分支 之一。代数结构是研究代数系统、群、环、域等代数概念的数学分支，是计算机科学、密码学等领域使用最广泛的数学分支之一。
组合数学主要包括计数学、图论、设计论、生成函数等分支。计 数学是研究离散结构的计数问题，是组合数学中最基础的分支之一。 图论则在离散结构中研究图的性质和特征等问题。设计论研究的是离 散结构中的设计问题，如设计代码、图案、图形等问题。生成函数则 是一种将一个问题转化为一种数学问题的方法，从而解决问题的一种 有效工具。 离散数学和组合数学广泛应用于计算机科学、通信工程、统计学 等领域。在计算机科学中，离散数学和组合数学被广泛应用于算法设计、图像处理、密码学等方面。在通信工程中，离散数学和组合数学 被广泛应用于信息编码、网络流理论、调度论等方面。在统计学中， 离散数学和组合数学则被广泛应用于概率论、统计推断、假设检验等 方面。 3 离散数学和组合数学的发展趋势 随着科学技术的不断进步以及计算机科学、通信工程、统计学等 领域的不断发展，离散数学和组合数学的应用范围将不断扩大，理论 和方法也将不断创新。具体来说，离散数学和组合数学在以下方面将 逐渐发展壮大： 1.图论算法的研究将会更加深入和广泛，推动计算机科学和网络 科学的发展。 2.离散结构的发现和应用将会不断更新，带动化学、生物学等领 域的科研进展。 3.组合数学的研究将会更加深入和广泛，应用领域将会不断拓展。
离散数学与图论的应用与分析
离散数学与图论的应用与分析离散数学是数学中研究与计数、排序、关系和图形等离散量的 数学分支。图论是离散数学中研究图及其性质的一门学科。本文 将探讨离散数学与图论在实际应用中的重要性和价值，并分析一 些相关的具体案例。 一、网络通信与路由优化 图论在网络通信中有着广泛的应用，尤其是在路由优化方面。 通过建立网络节点和通信线路之间的关系图，可以找到最优的数 据传输路径，减少数据传输的时间和成本。例如，在Internet中， 通过图论的算法可以找到最短路径，从而实现高效的数据传输， 提高网络性能和稳定性。 二、社交网络分析 离散数学与图论也被广泛应用于社交网络分析。社交网络可以 被看做是一个由个体和他们之间关系构成的复杂系统，通过图论 的方法可以揭示社交网络中的群体行为、信息传播等特征。例如，在社交媒体中，通过分析用户之间的互动关系和信息流动，可以
发现影响力较大的用户和关键节点，从而实现精准的营销策略和 推广活动。 三、图像处理与模式识别 在图像处理和模式识别领域，离散数学与图论也得到了广泛的 运用。通过将图像转化为图的形式，可以利用图论的算法进行图 像分割、特征提取等操作。例如，在人脸识别中，可以通过建立 人脸图像之间的关联图，通过图匹配算法来实现快速高效的人脸 识别。 四、电路设计与布线优化 在电路设计和布线优化中，离散数学与图论的应用也不可忽视。通过将电路元件与连接线构建成关系图，可以通过图论的方法来 解决电路布线的问题。例如，在集成电路设计中，通过建立电路 元件之间的关系图，可以通过图着色算法来解决布线冲突和优化 电路性能的问题。 五、生物信息学中的应用
离散数学中初级回路和简单回路
离散数学中初级回路和简单回路 离散数学是一门研究离散量和离散结构的学科，在其中初级回路和简单回路是常见概念之一。本文将介绍初级回路和简单回路的概念、性质及应用。 一、初级回路和简单回路的概念 1.初级回路 初级回路又称为欧拉回路，是指经过图中每个边恰好一次的回路。当图G中存在欧拉回路，G被称为欧拉图。欧拉回路必须是连通图，而且每个顶点的度数都是偶数。同样地，对于 n 个顶点的简单连通图 G，G 是欧拉图当且仅当它的每个顶点的度数都是偶数。 2.简单回路 简单回路又称为哈密顿回路，是指经过图中每个顶点恰好一次的回路。当图G中存在简单回路，G被称为哈密顿图。 在实际应用中，初级回路和简单回路有着不同的价值，前者被广泛应用于城市规划、通信网络等领域，而后者则被用于模拟电路、运输路线等问题的求解。 二、初级回路和简单回路的性质 1.初级回路的性质
对于 n 个顶点的欧拉图 G，设k 是一个连通分量，则 G 是欧拉图当且仅当 G 的每个连通分量都是欧拉图。 2.简单回路的性质 对于 n 个顶点的简单连通图 G，如果 v 是 G 的一点，则 G 是哈密顿图当且仅当 G-v 是哈密顿图。 3.初级回路和简单回路的关系 对于 n 个顶点的连通图 G，如果 G 是欧拉图，那么 G 必须是哈密顿图。但反过来并不成立，即哈密顿图不一定是欧拉图。 三、初级回路和简单回路的应用 1.初级回路的应用 欧拉回路被广泛应用于城市规划、通信网络等领域。以城市规划为例，欧拉回路可以用来规划城市的交通系统，以实现绿色出行，节约能源，减少碳排放等目的。同时，欧拉回路还可以用来测试网络中的通信障碍，以及计算机网络中的最短路径等问题。 2.简单回路的应用 哈密顿回路被广泛应用于模拟电路、物流运输等领域。以模拟电路为例，哈密顿回路可以用来分析电路中的开闭电路问题，
离散数学和具体数学
离散数学和具体数学 离散数学和具体数学是数学学科中的两个重要分支，它们在不同的领域中发挥着重要的作用。离散数学主要研究离散对象及其关系，而具体数学则研究实际问题中的数学方法和技巧。以下将分别介绍离散数学和具体数学的基本概念和应用。 离散数学是研究离散对象及其关系的数学学科。离散对象是指可数的、离散的个体，如整数、图、集合等。离散数学的研究对象可以是离散结构、离散事件、离散算法等。离散数学的基本概念包括集合论、逻辑、代数结构、图论等。集合论研究的是集合的性质和运算规则，逻辑研究的是命题的真假和推理规则，代数结构研究的是集合上的代数运算，图论研究的是图的性质和图算法。离散数学在计算机科学、运筹学、密码学等领域中有着广泛的应用。 计算机科学是离散数学的一个重要应用领域。计算机科学中的算法和数据结构都基于离散数学的理论。算法是指用来解决特定问题的一系列指令或操作，离散数学的算法分析和设计方法为计算机科学提供了理论基础。数据结构是组织和存储数据的方式，离散数学的图论和集合论等概念为数据结构的设计和分析提供了工具。离散数学在计算机科学中的应用还包括编译原理、人工智能、数据库等方面。 运筹学是应用离散数学解决优化问题的学科。在运筹学中，离散数
学的方法被广泛应用于决策分析、网络优化、排队论等问题的建模和求解。离散数学的图论、线性规划和整数规划等方法为运筹学提供了理论支持。运筹学在物流管理、交通规划、生产调度等领域中起着重要作用。 密码学是应用离散数学保护信息安全的学科。在密码学中，离散数学的数论和代数结构等理论为加密算法和安全协议的设计提供了基础。离散数学的排列组合和概率论等方法被用于分析密码学中的攻击方法和安全性。密码学在信息安全、网络安全等领域中扮演着重要的角色。 具体数学是研究实际问题中的数学方法和技巧的学科。具体数学的研究对象可以是数列、函数、概率等。具体数学的基本概念包括微积分、线性代数、概率论等。微积分研究的是变化率和积分，线性代数研究的是向量空间和线性变换，概率论研究的是随机事件和概率分布。具体数学在物理学、工程学、经济学等领域中有着广泛的应用。 物理学是具体数学的一个重要应用领域。物理学中的力学、电磁学和量子力学等理论都建立在具体数学的基础上。具体数学的微积分和线性代数等方法为物理学中的方程求解和物理模型的建立提供了工具。物理学在工程学、天文学、地球科学等领域中起着重要作用。 工程学是应用具体数学解决实际工程问题的学科。在工程学中，具
《应用离散数学》方景龙4.5陪集与商群—离散数学资料文档
§4.5 陪集与商群 习题4.5 1. 集合}19210{20，，，， =Z 在“模20加法20+”下构成群。设H 是由元素5生成的20Z 的子群。 （1）求H 的每个元素及其次数。 （2）求H 在20Z 中的所有左陪集。 解 （1）}151050{，， ，=H ，151050，，，的次数分别为：1，4，2，4。 （2）H 在20Z 中的所有左陪集如下： }151050{，，，=H ，}161161{1，，，=H ，}171272{2，，，=H }181383{3，，，=H ，}191494{4，，，=H 2. 求12阶循环群}{11432a a a a a e G ，，，，，， =的子群 }{84a a e H ，，=在G 中的所有左陪集。 解 所有左陪集如下： }{84a a e H ，，=，}{95a a a aH ，，=，}{10622a a a H a ，，= 3. 设H 是群>*<， G 的子群，证明H 的所有不同左陪集（右陪集）中有且仅又一个在*下构成>*<， G 的子群。 解 略 4. 证明6阶群必含有3次元。 解 略 5. 证明偶数阶群必含2次元。 解 设>*<， G 是偶数阶群，若它无二次元，则对G 中的非单位元a ，有 1-≠a a 所以，G 中的元素，除单位元外，其他都是成对出现的，所以G 中的元素是偶数个，矛盾。故偶数阶群必含2次元。 6. 证明在有限群中次数大于2的元素的个数必定是偶数。 解 略 7. 设>*<， G 是一个阶数为p 的有限群，其中p 是质数，证明G 是循环群并求它的所有子群。 解 略 8. 设H 和K 分别是群>*<，G 的s r ，阶子群，若s r ，互质，证明}{e K H = 。 解 略 9. 设i 为虚数单位，即12-=i ，令 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±⎪⎪⎭⎫ ⎝ ⎛±=000110001001i i i i G ，，， 证明G 在矩阵乘法下构成群，并 （1）给出G 的运算表。 （2）找出G 的所有子群。
离散数学及应用习题及答案1-3
§1.3 命题公式的等价演算 习题1.3 1. 用真值表证明下面的等价式 （1）B A B A ⌝∨⌝=∧⌝)( （2）A B A A =∨∧)( （3）B A B A ∨⌝=→ （4）)()(A B B A B A →∧→=↔ （5）)()()(C A B A C B A ∧∨∧=∨∧ 解 （1） （2） （3） （4）
2. 只使用命题变元p 和q 能构造多少不同的命题公式真值表？ 解 能构造出16（2的4次方）种不同的命题公式真值表。 3. 用等价演算法证明下面的等价式 （1）)()(q p q p p ⌝∧∨∧= （2）)()()()(q p q p q p q p ∧⌝∧∨=∧⌝∨⌝∧ （3）)()(q p p p q p ⌝→→⌝=→→ （4）)()()(q p q p q p ∧⌝∧∨=↔⌝ （5）)()()(r q p r p q p ∧→=→∧→ （6）r q p r q r p →∨=→∧→)()()( （7）r q p r q p →∧=→→)()( （8）)()(r p q r q p →→=→→ 解 （1）右边)()(q p q p ⌝∧∨∧=)(q q p ⌝∨∧=1∧=p p ==左边 （2） 左边)()(q p q p ∧⌝∨⌝∧＝ )()()()(q q p q q p p p ∨⌝∧⌝∨⌝∧∨∧⌝∨=
1)()(1∧⌝∨⌝∧∨∧=p q q p )()(p q q p ⌝∨⌝∧∨= )()(q p q p ∧⌝∧∨= =右边 （3） 左边)(p q p →→＝)(p q p ∨⌝∨⌝＝=1 右边)(q p p ⌝→→⌝=)(q p p ⌝∨⌝∨==1 所以 左边＝右边 （4） 左边)(q p ↔⌝＝ ))()((p q q p →∧→⌝＝ )()(p q q p ∨⌝⌝∨∨⌝⌝= )()(p q q p ⌝∧∨⌝∧= )()()()(p q q q p p q p ⌝∨⌝∧∨⌝∧⌝∨∧∨= )()(q p q p ∧⌝∧∨==右边 （5） 左边)()(r p q p →∧→＝ )()(r p q p ∨⌝∧∨⌝＝ )(r q p ∧∨⌝= )(r q p ∧→==右边 （6） 左边)()(r q r p →∧→＝ )()(r q r p ∨⌝∧∨⌝＝ r q p ∨⌝∧⌝)(＝ r q p ∨∨⌝)(＝ r q p →∨=)(=右边 （7） 左边)(r q p →→＝)(r q p ∨⌝∨⌝＝ 右边r q p →∧=)(r q p ∨∧⌝=)(r q p ∨⌝∨⌝= 所以 左边＝右边 （8） 左边)(r q p →→＝)(r q p ∨⌝∨⌝＝ 右边)(r p q →→=)(r p q ∨⌝∨⌝= 所以 左边＝右边
离散数学及其应用英文版第八版课程设计 (2)
Discrete Mathematics and Its Applications, 8th Edition Course Design Introduction Discrete mathematics is a branch of mathematics that deals with discrete objects, which are often represented by integers or graphs. It has a wide range of applications in computer science, engineering, and other fields, including cryptography, optimization, and coding theory. This course is designed to introduce students to the fundamental concepts of discrete mathematics and to provide them with the tools necessary to solve problems in a variety of applications. The course will cover a range of topics including set theory, logic, graph theory, combinatorics, and number theory. Objectives By the end of this course, students should be able to: •Understand the basic concepts of set theory and logic. •Analyze and solve problems using concepts from graph theory, combinatorics, and number theory. •Use discrete mathematics to solve problems in computer science, engineering, and other fields. •Develop critical thinking and problem-solving skills.
离散数学及应用习题及答案6-3
§6.3 根树 习题6.3 1．分别画出符合要求的图，如果不能画出，请解释原因。 （1）正则二叉树，4个非叶顶点，5个叶顶点。 （2）正则二叉树，9个叶顶点，高度为3。 （3）正则二叉树，9个叶顶点，高度为4。 解： （1） （2）不能画出，因为高度为3的满正则二叉树的叶子只有8个。 （3） 2．求有t 个叶顶点的正则二叉树的最大高度。 解：t 个叶顶点的正则二叉树的顶点数p=2t-1 所以最大高度为t-1。 3．给出一个构造二叉搜索树的算法，要求树的高度最低，并写出这个算法的算法步骤。 解：实际上是构造一颗平衡二叉树，这样左子树与右子树的高度相差不过1. 平衡二叉树构建的基本思想：在构建二叉排序树的过程中，每当插入新结点是，先检查是否因插入而破坏了树的平衡性，若是，则找到最小不平衡子树，在保证二叉排序树特性的前提下，调整最小不平衡子树中各节点之间的链接关系，进行左旋或者右旋，使之成为最新的平衡子树。 二叉树上左子树的深度减去右子树的深度的值称为平衡因子BF ，对于平衡因子的处理如下面几种情况： （1） 平衡因子为负数，左旋。 （2） 平衡因子为正数，右旋。 （3） 平衡因子为有正负数，先旋转统一平衡因子的符号，进行双旋转。 4．证明：对于n 个顶点的二叉搜索树，其最小高度为⎡⎤1)1(log 2-+n 。 证明：若二叉树有t 个叶子，则其高度h ≥log 2t ,要使二叉搜索树的高度最小，则需要是平衡二叉树，因此其高度为⎡⎤1)1(log 2-+n 。 5．如果对于每个顶点v 来说，v 的右子树与左子树的高度差不超过1，则称二叉树是平衡的。试说明图6.7、图6.12和图6.14中的二叉树是否为平衡二叉树。 解：图6.7不是树。
离散数学及应用习题及答案5-2
§5.2 图的连通性 习题5.2 1．证明或否定： （1）简单图G 中有从点u 到点v 的两条不同的通路，则G 中有基本回路。 （2）简单图G 中有从点u 到点v 的两条不同的基本通路，则G 中有基本回路。 解：（1）简单图G 中有从点u 到点v 的两条不同的通道，则G 中有回路。 （2）简单图G 中有从点u 到点v 的两条不同的路，则G 中有回路。 解 （1）不一定：如下图，点1与点3之间有两条通道：（1、2、3）和（1、2、1、2、3），但图中没有回路。 （2）一定：设两条路分别为),,,,,(211v x x x u L m =和),,,,,(212v y y y u L n =。若对m i ≤≤1，n j ≤≤1有j i y x ≠，则),,,,,,,,,,(12121u y y y y v x x x u n n m -是一条回路。否则假设l k y x =且是离u 最近的一对（即对k i ≤≤1，l j ≤≤1，不存在j i y x =），则),,,,,,,,,(12121v y y y x x x u l k -是一条回路。 2．设G 是简单图，)(G δ≥2，证明G 中存在长度大于或等于1)(+G δ的基本回路。 证：以图G 中一点v 1出发，与之相邻的点设为v 2，由于)(G δ≥2，则v 2至少还有一个邻接点，设为v 3，若v 3与v 1邻接，则形成长度为1)(+G δ的基本回路，则若v 3不与v 1邻接，则至少还有一个邻接点，设为v 4，若v 4与v 1或v 2邻接，则形成长度为大于或等于1)(+G δ的基本回路，若v 4与v 1和v 2都不邻接，至少还有一个邻接点，设为v 5，…，依次类推，一定可以到达最后一个顶点v i ，由于)(G δ≥2，则除了v i -1外，一定会与前面的某个顶点邻接，就会形成长度为大于或等于1)(+G δ的基本回路。 3．证明：若连通图G 不是完全图，则G 中存在三个点w v u ，，，使E v u ∈)(，， E w v ∈)(，，E w u ∉)(，。 证明：用反证法，假设图G 中任意的三个点都有E v u ∈)(，，E w v ∈)(，，(u ，w )∈E ,
离散数学及其应用(课后习题)
离散数学及其应用（课后习题） 习题1.1 2. 指出下列命题是原子命题还是复合命题。 （3）大雁北回，春天来了。 （4）不是东风压倒西风，就是西风压倒东风。 （5）张三和李四在吵架。 解：（3）和（4）是复合命题，（5）是原子命题。 习题1.2 1. 指出下列命题的真值： （1）若224+>，则太阳从西方升起。 解：该命题真值为T （因为命题的前件为假）。 （3）胎生动物当且仅当是哺乳动物。 解：该命题真值为F （如鸭嘴兽虽是哺乳动物，但不是胎生动物）。 2. 令P ：天气好。Q ：我去公园。请将下列命题符号化。 （2）只要天气好，我就去公园。 （3）只有天气好，我才去公园。 （6）天气好，我去公园。 解：（2）P Q →。 （3）Q P →。 （6）P Q ↔。 习题1.3 2. 将下列命题符号化（句中括号内提示的是相应的原子命题的符号表示）： （1）我去新华书店（P ），仅当我有时间（Q ）。 （3）只要努力学习（P ），成绩就会好的（Q ）。 （6）我今天进城（P ），除非下雨（Q ）。 （10）人不犯我（P ），我不犯人（Q ）；人若犯我，我必犯人。 解：（1）P Q →。 （3）P Q →。 （6）Q P ⌝→。 （10）()()P Q P Q ⌝→⌝∧→。 习题1.4
1. 写出下列公式的真值表： （2）()P Q R ∨→。 解：该公式的真值表如下表： 2. 证明下列等价公式： （2）()()()P Q P Q P Q ∨∧⌝∧⇔⌝↔。 证明： ()(()()) ()()) ()() ()() P Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q ⌝↔⇔⌝∧∨⌝∧⌝⇔⌝∧∧⌝⌝∧⌝⇔⌝∧∧∨⇔∨∧⌝∧ （4）()()()P Q P R P Q R →∧→⇔→∧。 证明： ()()()() () () P Q P R P Q P R P Q R P Q R →∧→⇔⌝∨∧⌝∨⇔⌝∨∧⇔→∧ 3. 甲、乙、丙、丁4人参加考试后，有人问他们谁的成绩最好，甲说，不是我。乙说：是丁。丙说：是乙。丁说：不是我。已知4个人的回答只有一个人符合实际，问成绩最好的是谁？ 解：设A ：甲成绩最好。B ：乙成绩最好。C ：丙成绩最好。D ：丁成绩最好。 四个人所说的命题分别用P Q R S 、、、表示，则 P A ⇔⌝；Q A B C D ⇔⌝∧⌝∧⌝∧；R A B C D ⇔⌝∧∧⌝∧⌝；S D ⇔⌝。 则只有一人符合实际的命题K 符号化为