推理与证明(含答案)

推理与证明(含答案)

推理与证明

考情解读 1.以数表、数阵、图形为背景与数列、周期性等知识相结合考查归纳推理和类比推理，多以小题形式出现.2.直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，常与函数、数列及不等式等综合命题．

1．合情推理

(1)归纳推理

①归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．②归纳推理的思维过程如下：

实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论

(2)类比推理

①类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其

中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．

②类比推理的思维过程如下：

观察、比较→联想、类推→猜测新的结论2．演绎推理

(1)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：

①大前提——已知的一般原理；

②小前提——所研究的特殊情况；

③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．

(2)合情推理与演绎推理的区别

归纳和类比是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理；类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．

3．直接证明

(1)综合法

用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：

P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q

(2)分析法

用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：

Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件

4．间接证明

反证法的证明过程可以概括为“否定——推理——否定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛

盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程．用反证法证明命题“若p，则q”的过程可以用如图

所示的框图表示．

肯定条件p否定结论q→导致逻辑矛盾→“既p，又綈q”为假→“若p，则q”为真5．数学归纳法

数学归纳法证明的步骤：

(1)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立．

(2)假设n＝k(k∈N*，且k≥n0)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立．

由(1)(2)可知，对任意n≥n0，且n∈N*时，命题都成立．

热点一归纳推理

例1(1)有菱形纹的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是()

A．26 B．31

C．32 D．36

(2)两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位的排法如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是()

A．48,49 B．62,63

C．75,76 D．84,85

思维启迪(1)根据三个图案中的正六边形个数寻求规律；(2)靠窗口的座位号码能被5整除或者被5除余1.

答案(1)B(2)D

解析(1)有菱形纹的正六边形个数如下表：

图

123…

案

由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.

故选B.

(2)由已知图形中座位的排列顺序，可得：被5除余1的数和能被5整除的座位号临窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，分析答案中的4组座位号，只有D符合条件．

思维升华归纳递推思想在解决问题时，从特殊情况入手，通过观察、分析、概括，猜想出一般

性结论，然后予以证明，这一数学思想方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题时有着广泛的应用．其思维模式是“观察——归纳——猜想——证明”，解题的关键在于正确的归纳猜想．

(1)四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1、2、3、4号位上(如图)，第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…这样交替进行下去，那么第202次互换座位后，小兔坐在第______号座位上．

1鼠2猴

3兔4

猫

开始

第一次

第二次

第三次A．1 B．2 C．3 D．4

(2)已知f(n)＝1＋1

2＋

1

3＋…＋

1

n(n∈N

*)，经计算得

f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72

，则有________________．

答案 (1)B (2)f (2n

)>n ＋22(n ≥2，n ∈N *) 解析 (1)考虑小兔所坐的座位号，第一次坐在1号位上，第二次坐在2号位上，第三次坐在4号位上，第四次坐在3号位上，第五次坐在1号位上，因此小兔的座位数更换次数以4为周期，因为202＝50×4＋2，因此第202次互换后，小兔所在的座位号与小兔第二次互换座位号所在的座位号相同，因此小兔坐在2号位上，故选B.

(2)由题意得f (22

)>42，f (23)>52，f (24)>62， f (25)>72，所以当n ≥2时，有f (2n )>n ＋22

.

故填f (2n )>n ＋2

2(n ≥2，n ∈N *)．

热点二 类比推理

例2 (1)在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则

S 1

S 2＝1

4.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体ABCD 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1

V 2

＝________.

(2)已知双曲正弦函数sh x ＝e x －e

－x

2和双曲余弦函

数ch x ＝e x

＋e

－x

2与我们学过的正弦函数和余弦函

数有许多类似的性质，请类比正弦函数和余弦函数的和角或差角．．．．．公式，写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个．．类似的正确结论________． 思维启迪 (1)平面几何中的面积可类比到空间几