选修2-2定积分学案

1.5 定积分的概念

学习目标

知识与技能：

1.通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；

2.借助于几何直观体会定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分法求简单的定积分．

3.理解掌握定积分的几何意义和性质； 过程与方法：

通过问题的探究体会逼近、以直代曲的数学思想方法。 情感态度与价值观：

通过分割、逼近的观点体会定积分的来历，从本质上理解定积分的几何意义，从而激发学习数学的兴趣。

学习重点：定积分的概念、用定义求简单的定积分、定积分的几何意义． 学习难点：定积分的概念、定积分的几何意义． 学习过程：

问题 曲边梯形的面积

例如：求图中阴影部分是由抛物线2

y x =，直线1=x 以及x 轴所围成的平面图形的面积S 。

解： （1）．分割

在区间[]0,1上等间隔地插入1n -个点，将区间[]0,1等分成n

10,n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，12,n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…，1,1n n -⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

记第i 个区间为1,(1,2,,)i i i n n n -⎡⎤

=⎢

⎥⎣⎦

，其长度为

11i i x n n n -∆=

-= 分别过上述1n -个分点作x 轴的垂线，从而得到n 个小曲边梯形，他们的面积分别记作：

1S ∆，2S ∆，…，n

S ∆i n

i -1n 1O

y

x

y=x 2

思考：（1）曲边梯形与“直边图形”的区别？

（2）能否将求这个曲边梯形面积S 的问题转化为求“直边

图形”面积的问题？

分析：曲边梯形与“直边图形”的主要区别：曲边梯形有一边

是曲线段，“直边图形”的所有边都是直线段．“以直代曲”

的思想的应用．

显然，1

n

i

i S S ==

∆∑

（2）近似代替

记()2f x x =，如图所示，当n 很大，即x ∆

很小时，在区间

1,i i n n -⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

上，可以认为函数()2f x x =的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点

1

i n

-处的函数值1i f n -⎛⎫ ⎪⎝⎭

，从图形上看，就是用平行于x 轴的直线段近似的代替小

曲边梯形的曲边（如图）．这样，在区间1,i i n n -⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

上，用小矩形的面积i S '∆近似的代替i S ∆，即在局部范围内“以直代曲”，则有

22

1111

(1,2,

,)i i i i i S S f x x i n n n n n

---⎛⎫⎛⎫⎛⎫'∆≈∆=∆=∆== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ①

（3）求和

由①，上图中阴影部分的面积n S 为2

111111

n n

n

n i i i i i i S S f x n n n ===--⎛⎫⎛⎫'=∆=∆= ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭∑∑∑

= =

= = 从而得到S 的近似值n S S ≈= （4）取极限

分别将区间[]0,1等分8，16，20，…等份（如图），可以看到，当n 趋向于无穷大时，

即x ∆趋向于0时，1111132n S n n ⎛⎫⎛⎫

=

-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭

趋向于S ，从而有 1

11

1111lim lim lim 11323n

n n n n i i S S f n n n n →∞→∞→∞=-⎛⎫⎛⎫⎛⎫===--= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑i n

i -1n 1O

y

x

y=x 2

事实上，许多问题都可以归结为求这种特定形式和的极限 ☆定积分的概念

一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点

0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=

将区间[,]a b 等分成n 个小区间,在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=,作和

式：

()()1

1

n

n

i i i i b a

f x f n

ξξ==-∆=∑

∑

当n →+∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为：

()b

a

f x dx ⎰

， 即

()b

a

f x dx ⎰

=()i n

i n f n

a

b ξ∑

=∞

→-1

lim 其中函数()f x 叫做 ，x 叫做 变量，()f x dx 叫做 ，区间[,]a b 为 区间，b 叫做积分 ，a 叫做积分 。 说明：（1）定积分

()b

a

f x dx ⎰

是一个常数 ；

（2）用定义求定积分的一般方法是：

①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：

1()n

i i b a f n ξ=-∑；④取极限()1()lim n b i a n i b a

f x dx f n ξ→∞=-=∑⎰； （3）曲边图形面积：()b

a

S f x dx =

⎰

；变速运动路程2

1

()t t S v t dt =⎰.

根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： 性质1 ⎰⎰

=b

a

b

a dx x f k dx x kf )()( （其中k 是不为0的常数） （定积分的线性性质）

性质2

1212[()()]()()b

b b

a

a

a

f x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰

⎰⎰ （定积分的线性性质）

性质3

()()()()b

c b

a

a

c

f x dx f x dx f x dx

a c

b =+<<⎰⎰⎰其中

（定积分对积分区间的可加性） 说明：①推广：