高中数学选修2-2优质学案：§1.5 定积分的概念

[学习目标] 1.了解定积分的概念.2.理解定积分的几何意义.3.通过求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程，了解“以直代曲”“以不变代变”的思想.4.能用定积分的定义求简单的定积分．知识点一曲边梯形的面积和汽车行驶的路程1．曲边梯形的面积(1)曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线________所围成的图形称为曲边梯形(如图①所示)．(2)求曲边梯形面积的方法把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些________，对每个__________“以直代曲”，即用__________的面积近似代替__________的面积，得到每个小曲边梯形面积的________，对这些近似值______，就得到曲边梯形面积的________(如图②所示)．(3)求曲边梯形面积的步骤：①________，②________，③________，④________.2．求变速直线运动的(位移)路程如果物体做变速直线运动，速度函数v＝v(t)，那么也可以采用________，________，________，________的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.思考(1)如何计算下列两图形的面积？(2)求曲边梯形面积时，对曲边梯形进行“以直代曲”，怎样才能尽量减小求得的曲边梯形面积的误差？知识点二 定积分的概念如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b 将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )作和式∑i ＝1nf (ξi )Δx ＝∑i ＝1nb －an f (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的________，记作⎠⎛ab f (x )d x ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝li m n →∞∑i ＝1n b －an f (ξi )．其中a 与b 分别叫做________与________，区间[a ，b ]叫做________，函数f (x )叫做________，x 叫做________，f (x )d x 叫做________．思考 (1)如何理解定积分？(2)用定义求定积分⎠⎛ab f (x )d x 的一般步骤是什么？知识点三 定积分的几何意义与性质 1．定积分的几何意义由直线x ＝a ，x ＝b (a <b )，x 轴及一条曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积设为S ，则有：(1)在区间[a ，b ]上，若f (x )≥0，则S ＝⎠⎛ab f (x )d x ，如图(1)所示，即______________．(2)在区间[a ，b ]上，若f (x )≤0，则S ＝－⎠⎛ab f (x )d x ，如图(2)所示，即________________．(3)若在区间[a ，c ]上，f (x )≥0，在区间[c ，b ]上，f (x )≤0，则S ＝⎠⎛a c f (x )d x －⎠⎛cb f (x )d x ，如图(3)所示，即______________(S A ，S B 表示所在区域的面积)． 2．定积分的性质(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝______________(k 为常数)；(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝____________________； (3)⎠⎛ab f (x )d x ＝____________________(其中a <c <b )．思考 设v ＝v (t )在时间区间[t 1，t 2]上连续且恒有v (t )≥0，定积分()21d t t t t ⎰v 的意义是什么？题型一 求图形的面积问题例1 用定积分的定义求曲线y ＝x 3＋1与x ＝0，x ＝1及y ＝0所围成的曲边梯形的面积．反思与感悟 对图形进行分割实现了把求不规则的图形面积化归为矩形面积，但这仅是近似值，分割得越细，近似程度就会越高，这就是“以直代曲”方法的应用． 跟踪训练1 求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x (x －1)围成的图形的面积．题型二求汽车行驶的路程例2汽车以速度v做匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程为s＝v t.如果汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)＝t2＋2(v的单位：km/h，t的单位：h)，那么它在1≤t≤2这段时间内行驶的路程s(单位：km)是多少？反思与感悟利用类比转化的思想，把求汽车行驶的路程转化为求时间—速度坐标系中的曲边梯形的面积，再用求曲边梯形的面积方法来解决此问题．跟踪训练2一物体自200 m高空自由落下，求它在开始下落后的第3秒至第6秒之间的距离．(g＝9.8 m/s2)题型三由定积分的几何意义求定积分例3利用定积分的几何意义，求：(1)39－x2d x；⎠⎛-3(2)3(2x＋1)d x.⎠⎛反思与感悟 利用定积分的几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图象，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积，求不规则图形的面积常用分割法，注意分割点的选取．跟踪训练3 利用定积分的几何意义计算． (1) ⎠⎛-11x d x ；(2) ⎠⎛-RR R 2－x 2d x .因对定积分的几何意义理解不准确致误例4 如图所示，f (x )在区间[a ，b ]上，则阴影部分的面积S 为( ) A.⎠⎛ab f (x )d xB.⎠⎛a c f (x )d x －⎠⎛cb f (x )d xC ．－⎠⎛a c f (x )d x －⎠⎛cb f (x )d xD ．－⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x错解 错选A 或B 或C.错因分析 错误的原因在于对定积分的几何意义不理解或理解不够透彻．正解 若f (x )≥0，则在[a ，b ]上阴影部分的面积S ＝⎠⎛ab f (x )d x ；若f (x )≤0，则在[a ，b ]上阴影部分的面积S ＝－⎠⎛ab f (x )d x ；若在[a ，c ]上，f (x )≤0，在[c ，b ]上，f (x )≥0，则在[a ，b ]上阴影部分的面积S ＝－⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x ，故选D.防范措施 定积分的几何意义是在x 轴上半部计算的面积取正值，在x 轴下半部计算的面积取负值．1．把区间[1,3]n 等分，所得n 个小区间的长度均为( ) A.1n B.2n C.3n D.12n2．定积分⎠⎛ab f (x )d x 的大小( )A ．与f (x )和积分区间[a ，b ]有关，与ξi 的取法无关B ．与f (x )有关，与区间[a ，b ]以及ξi 的取法无关C ．与f (x )以及ξi 的取法有关，与区间[a ，b ]无关D ．与f (x )、积分区间[a ，b ]和ξi 的取法都有关3．求由曲线y ＝12x 2与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________． 4．根据定积分的几何意义，用不等号连接下列式子： ①⎠⎛01x d x ________⎠⎛01x 2 d x ；②⎠⎛024－x 2d x ________⎠⎛022d x .1.求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤： (1)分割：n 等分区间[a ，b ]； (2)近似代替：取点ξi ∈[x i －1，x i ]； (3)求和：∑i ＝1n f (ξi )·b －an；(4)取极限：S ＝lim n →∞∑i ＝1nf (ξi )·b －an.“近似代替”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点)． 2．定积分⎠⎛ab f (x )d x是一个和式∑i ＝1n b －anf (ξi )的极限，是一个常数．3．可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分；对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分．4．定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算．提醒：完成作业 §1.5[答案]精析知识梳理 知识点一1．(1)y ＝f (x ) (2)小曲边梯形 小曲边梯形 矩形 小曲边梯形 近似值 求和 近似值 (3)①分割 ②近似代替 ③求和 ④取极限 2．分割 近似代替 求和 取极限思考 (1)①直接利用梯形面积公式求解．②转化为三角形和梯形求解．(2)为了减小近似代替的误差，需要先分割再分别对每个小曲边梯形“以直代曲”，而且分割的曲边梯形数目越多，得到的面积的误差越小． 知识点二定积分 积分下限 积分上限 积分区间 被积函数 积分变量 被积式思考 (1)定积分是一个数值(极限值)，它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即⎠⎛a bf (x )d x ＝⎠⎛a bf (u )d u ＝⎠⎛a bf (t )d t ＝…(称为积分形式的不变性)，另外，定积分⎠⎛abf (x )d x 的值与积分区间[a ，b ]息息相关，不同的积分区间，定积分的积分限不同，所得的值也不同，例如⎠⎛01(x 2＋1)d x 与⎠⎛03(x 2＋1)d x 的值就不同．(2)①分割：将区间[a ，b ]n 等分，记第i 个小区间为[x i －1，x i ]，区间长度Δx ＝x i －x i －1；②近似代替、求和：取点ξi ∈[x i －1，x i ]，⎠⎛ab f (x )d x ≈∑i ＝1nf (ξi )Δx ；③取极限：⎠⎛ab f (x )d x ＝lim Δx →0∑i ＝1n f (ξi )Δx . 知识点三 1．(1)⎠⎛ab f (x )d x ＝S(2)⎠⎛a b f (x )d x ＝－S(3)⎠⎛ab f (x )d x ＝S A －S B2．(1)k ⎠⎛a b f (x )d x (2)⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x(3)⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x思考 定积分21t t ⎰v (t )d t 表示做变速直线运动的物体在时间区间[t 1，t 2]内经过的路程，这就是定积分21t t ⎰v (t )d t 的物理意义．题型探究例1 解 ①分割：将区间[0,1]等分成n 个小区间⎣⎡⎦⎤0，1n ，⎣⎡⎦⎤1n ，2n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －1n ，n n ，每个小区间的长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n ，过各区间端点作x 轴的垂线，从而得到n 个小曲边梯形，它们的面积分别记为ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS i ，…，ΔS n .②近似代替：对区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上的小曲边梯形，以区间左端点i －1n 对应的函数值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 3＋1为一边的长，以Δx ＝1n 为邻边的长的小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积，即ΔS i ≈f ⎝⎛⎭⎪⎫i －1n Δx ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 3＋11n . ③求和：S n ＝ΔS 1＋ΔS 2＋…＋ΔS n ＝∑i ＝1nΔS i ≈∑i ＝1nf ⎝⎛⎭⎪⎫i －1n Δx ＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫i －1n 3＋11n ＝1n4[03＋13＋23＋…＋(n －1)3]＋1 ＝1n 4·(n －1)2·n24＋1＝n 2－2n ＋14n 2＋1. ④取极限：当n →∞时，S n 趋近于54，即S ＝lim n →∞S n＝54. 所以曲边梯形的面积是54.跟踪训练1 解 (1)分割：将曲边梯形分成n 个小曲边梯形，用分点1n ，2n ，…，n －1n 把区间[0,1]等分成n 个小区间⎣⎡⎦⎤0，1n ，⎣⎡⎦⎤1n ，2n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －1n ，n n ， 简写作⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )，每个区间的长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n . 过各分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作：ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS i ，…，ΔS n . (2)近似代替：用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积． 在小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上任取一点x i (i ＝1,2，…，n )，为了计算方便取x i 为小区间的左端点，以点x i 的函数值f (x i )＝⎝⎛⎭⎪⎫i －1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n －1为一边，以小区间长度Δx ＝1n 为邻边的小矩形的面积近似代替第i 个小曲边梯形的面积，可以近似地表示为ΔS i ≈f (x i )·Δx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n －1·1n(i ＝1,2，…，n )． (3)求和：因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n 个小矩形面积的和，就是曲边梯形面积S 的近似值．即 S ＝∑i ＝1nΔS i ≈∑i ＝1nf (x i )Δx ＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫i －1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n －1·1n ＝1n 3∑i ＝1n (i －1)2－1n2∑i ＝1n(i －1) ＝16(n －1)(2n －1)n n 3－12n (n －1)n 2＝1－n 26n 2＝－16＋16n 2.① (4)取极限：当分点数目愈多，即Δx 愈小时，和式①的值就愈接近曲边梯形的面积S ，因此，当n →∞，即Δx →0时，和式①的逼近值就是所求曲边梯形的面积． 当Δx →0时，S →－16(负号表示图象在x 轴下方)．所以由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x (x －1)围成图形的面积是16.例2 解 将区间[1,2]等分成n 个小区间，即第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋i n (i ＝1,2，…，n )．所以Δs ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i －1n ·1n ，s n ＝∑i ＝1n f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i －1n ·1n＝1n ∑i ＝1n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i －1n 2＋2 ＝1n ∑i ＝1n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(i －1)2n 2＋2(i －1)n ＋3 ＝1n ⎩⎨⎧3n ＋1n 2[02＋12＋22＋…＋(n －1)2]⎭⎬⎫＋1n [0＋2＋4＋6＋…＋2(n －1)] ＝3＋(n －1)(2n －1)6n 2＋n －1n.s ＝lim n →∞ s n ＝lim n →∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3＋(n －1)(2n －1)6n 2＋n －1n ＝133. 所以这段时间内行驶的路程s 是133km.跟踪训练2 解 自由落体的下落速度为v (t )＝gt . 将[3,6]等分成n 个小区间，每个区间的长度为3n.在第i 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3＋3(i －1)n ，3＋3i n (i ＝1,2，…，n )上，以左端点函数值作为该区间的速度．所以s n ＝∑i ＝1nv ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3＋3(i －1)n 3n ＝∑i ＝1n ⎣⎡⎦⎤3g ＋3g n (i －1)·3n ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫3ng ＋3g n [1＋2＋…＋(n －1)]·3n ＝9g ＋9g n 2·n (n －1)2＝9g ＋92g ·⎝⎛⎭⎫1－1n . 所以s ＝lim n →∞s n ＝lim n →∞⎣⎡⎦⎤9g ＋92g ·⎝⎛⎭⎫1－1n ＝9g ＋92g ＝272×9.8＝132.3(m)． 故该物体在下落后第3 s 至第6 s 之间的距离是132.3 m.例3 解 (1)在平面上y ＝9－x 2表示的几何图形为以原点为圆心，以3为半径的上半圆，如图(1)所示．其面积为S ＝12πr 2＝92π. 由定积分的几何意义知⎠⎛-339－x 2d x ＝92π. (2)在坐标平面上，f (x )＝2x ＋1为一条直线．⎠⎛03(2x ＋1)d x 表示直线f (x )＝2x ＋1，x ＝0，x ＝3围成的直角梯形OABC 的面积，如图(2)所示． 其面积为S ＝12(1＋7)×3＝12. 根据定积分的几何意义知⎠⎛03(2x ＋1)d x ＝12.跟踪训练3 解 (1)如图①所示，定积分为图中阴影部分面积A 减去B .∵S A ＝S B ＝12，∴⎠⎛-11x d x ＝12－12＝0.(2)如图②所示，定积分为图中阴影部分面积，而阴影部分面积为π2R 2， ∴⎠⎛-R R R 2－x 2d x ＝π2R 2.当堂检测1．B [区间[1,3]的长度为2，故n 等分后，每个小区间的长度均为2n.] 2．A3．1.02[解析] 将区间5等分所得的小区间为⎣⎡⎦⎤1，65，⎣⎡⎦⎤65，75，⎣⎡⎦⎤75，85，⎣⎡⎦⎤85，95，⎣⎡⎦⎤95，2，于是所求平面图形的面积近似等于110⎝⎛⎭⎫1＋3625＋4925＋6425＋8125＝110×25525＝1.02. 4．①> ②<。