高中数学定积分知识点讲解学习

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数学选修2-2知识点总结

一、导数

1.函数的平均变化率为

=

??=??x

f

x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1:其中x ?是自变量的改变量,可正,可负,可零。

注2:函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。

2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x

x f x x f x y

x x ?-?+=??→?→?)()(lim

lim

0000,则称函数)(x f y =在点0x 处可导,并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数,记作)(0'x f 或

0|'x x y =,即)(0'x f =x

x f x x f x y

x x ?-?+=??→?→?)()(lim

lim

0000.

3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率; 函数的导数的几何意义是切线的斜率。

4导数的背景(1)切线的斜率;(2)瞬时速度;

6、常见的导数和定积分运算公式:若()f x ,()g x 均可导(可积),则有:

用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数f (x )的导数'()f x

②令'()f x >0,解不等式,得x 的范围就是递增区间. ③令'()f x <0,解不等式,得x 的范围,就是递减区间; [注]:求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。

7.求可导函数f (x )的极值的步骤:

(1)确定函数的定义域。

(2) 求函数f (x )的导数'()f x (3)求方程'()f x =0的根

(4) 用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格,检查/()f x 在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f (x )在这个根处取得极大值;如

果左负右正,那么f (x )在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号,那么f (x )在这个根处无极值

8.利用导数求函数的最值的步骤:求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下: ⑴求)(x f 在[]b a ,上的极值;

⑵将)(x f 的各极值与(),()f a f b 比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值。[注]:实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点;

9.求曲边梯形的思想和步骤 (“以直代曲”的思想)

10.定积分的性质

根据定积分的定义,不难得出定积分的如下性质: 性质1

a b dx b

a

-=?1

性质5 若[]b a x x f ,,0)(∈≥,则0)(≥?b a

dx x f

①推广:1212[()()()]()()()b

b b

b

m m a

a

a

a

f x f x f x dx f x dx f x dx f x ±±

±=±±

±????

②推广:12

1

()()()()k

b

c c b

a

a

c c f x dx f x dx f x dx f x dx =++

+????

11定积分的取值情况:定积分的值可能取正值,也可能取负值,还可能是0.

( l )当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时,定积分的值取正值,且等于x 轴上方的图形面积;

(2)当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时,定积分的

值取负值,且等于x 轴上方图形面积的相反数;

(3)当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时,定积分的值为0,且等于x 轴上方图形的面积减去下方的图形的面积.

12.物理中常用的微积分知识(1)位移的导数为速度,速度的导数为加速度。(2)力的积分为功。

二、推理与证明知识点

13.归纳推理的定义: 从个别事实....中推演出一般性...的结论,像这样的推理通常称为归纳推理。 归纳推理是由部分到整体..,由个别到一般..的推理。

14.归纳推理的思维过程大致如图:

15.归纳推理的特点:

①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象,归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。

②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实,还需经过逻辑证明和实验检验,因此,它不能作为数学证明的工具。

③归纳推理是一种具有创造性的推理,通过归纳推理的猜想,可以作为进一步研究的起点,帮助人们发现问题和提出问题。

16.类比推理的定义:

根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其他方面也相似或相同,这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊..到特殊..的推理。

17.类比推理的思维过程

18.演绎推理的定义:

演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般..到特殊..的推理。

19.演绎推理的主要形式:三段论

20.“三段论”可以表示为:①大前题:M 是P ②小前提:S 是M ③结论:S 是P 。

其中①是大前提,它提供了一个一般性的原理;②是小前提,它指出了一个特殊对象;③是结论,它是根据一般性原理,对特殊情况做出的判断。

21.直接证明是从命题的条件或结论出发,根据已知的定义、公理、定理,直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。

22.综合法就是“由因导果”,从已知条件出发,不断用必要条件代替前面的条件,直至推出要证的结论。

23.分析法就是从所要证明的结论出发,不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子,可称为“由果索因”。

要注意叙述的形式:要证A ,只要证B ,B 应是A 成立的充分条件. 分析法和综合法常结合使用,不要将它们割裂开。

24反证法:是指从否定的结论出发,经过逻辑推理,导出矛盾,证实结论的否定是错误的,从而肯定原结论是正确的证明方法。

25.反证法的一般步骤

(1)假设命题结论不成立,即假设结论的反面成立;

(2)从假设出发,经过推理论证,得出矛盾;

(3)从矛盾判定假设不.正确..,即所求证命题正确。

26

27.反证法的思维方法:正难则反....

28.归缪矛盾 (1)与已知条件....

矛盾: (2)与已有公理、定理、定义..........矛盾; (3)自相..

矛盾.

29.数学归纳法(只能证明与正整数...

有关的数学命题)的步骤 (1)证明:当n 取第一个值....

()00n n N *∈时命题成立; (2)假设当n=k (k ∈N *,且k ≥n 0)时命题成立,证明当n=k+1.....时命题也成立. 由(1),(2)可知,命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确 [注]:常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明。

三、数系的扩充和复数的概念知识点

30.复数的概念:形如a+bi ....

的数叫做复数,其中i 叫虚数单位,a 叫实部, b 叫虚部,数集{}|,C a bi a b R =+∈叫做复数集。 规定:a bi c di +=+?a=c ...且.b=d ...

, 强调:两复数不能比较大小,只有相等或不相等。

31.数集的关系:0000b Z a b a =??

≠???≠??

=???

实数 ()复数一般虚数()虚数 ()纯虚数()

32.复数的几何意义:复数与平面内的点或有序实数对一一对应。

33.复平面:根据复数相等的定义,任何一个复数bi a z +=,都可以由一个有序实数对),(b a 唯一确定。

由于有序实数对),(b a 与平面直角坐标系中的点一一对应,因此复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应。这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,

x 轴叫做实轴,y 轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数,除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数。

34.求复数的模(绝对值)与复数z 对应的向量OZ 的模r 叫做复数bi a z +=的模(也叫绝对值)记作bi a z +或。由模的定义可知:22b a bi a z +=+=

35.复数的加、减法运算及几何意义

①复数的加、减法法则:12z a bi c di =+=+与z ,则12()z z a c b d i ±=±+±。 注:复数的加、减法运算也可以按向量..的加、减法来进行。 ②复数的乘法法则:()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++。 ③复数的除法法则:

2222

()()()()a bi a bi c di ac bd bc ad

i c di c di c di c d c d ++-+-==+++-++其中c di -叫做实数化因子 36.共轭复数:两复数a bi a bi +-与互为共轭复数,当0b ≠时,它们叫做共轭虚数。

常见的运算规律

(1);

(2)2,2;z z z z a z z bi =+=-=

2

2

22(3);(4);(5)z z z z a b z z z z z R ?===+==?∈

41

42

43

44

(6),1,,1;

n n n n i

i i

i

i i

++++==-=-=

(

)

2

2

11(7)1;(8),,11i i i i i i i i i +-±=±==-=±-+

)9(设2

31i +-=

ω是1的立方虚根,则012

=++ωω,1,,332313===+++n n n ωωωωω

高中数学导数与积分知识点

高中数学教案—导数、定积分 一.课标要求: 1.导数及其应用 (1)导数概念及其几何意义 ① 通过对大量实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵; ②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。 (2)导数的运算 ① 能根据导数定义求函数y=c ,y=x ,y=x 2,y=x 3 ,y=1/x ,y=x 的导数; ② 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数(仅限于形如f (ax+b ))的导数; ③ 会使用导数公式表。 (3)导数在研究函数中的应用 ① 结合实例,借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间; ② 结合函数的图像,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值,以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值;体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。 (4)生活中的优化问题举例 例如,使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的作用。 (5)定积分与微积分基本定理 ① 通过实例(如求曲边梯形的面积、变力做功等),从问题情境中了解定积分的实际背景;借助几何直观体会定积分的基本思想,初步了解定积分的概念; ② 通过实例(如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系),直观了解微积分基本定理的含义。 (6)数学文化 收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料,并进行交流;体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。具体要求见本《标准》中"数学文化"的要求。 二.命题走向 导数是高中数学中重要的内容,是解决实际问题的强有力的数学工具,运用导数的有关知识,研究函数的性质:单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样,以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用,也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来,综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值. 三.要点精讲 1.导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?,那么函数y 相应地有增量y ?=f (x 0+x ?)-f (x 0),比值 x y ??叫做函数y=f (x )在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率,即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。 如果当0→?x 时, x y ??有极限,我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导,并把这个极限叫做f (x )在点x 0处的导数,记作f’(x 0)或y’|0x x =。

高中数学定积分知识点

数学选修2-2知识点总结 一、导数 1.函数的平均变化率为 =??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1:其中x ?是自变量的改变量,可正,可负,可零。 注2:函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000,则称函数)(x f y =在点0x 处可导,并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数,记作)(0'x f 或 0|'x x y =,即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率; 函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景(1)切线的斜率;(2)瞬时速度;

6、常见的导数和定积分运算公式:若() g x均可导(可积),则有: f x,() 用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数f(x)的导数'() f x ②令'() f x>0,解不等式,得x的范围就是递增区间. ③令'() f x<0,解不等式,得x的范围,就是递减区间; [注]:求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 7.求可导函数f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义域。 (2) 求函数f(x)的导数'() f x (3)求方程'() f x=0的根 (4) 用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格,检查/() f x在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如

(新)高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解

年 级 高二 学科 数学 内容标题 定积分的计算 编稿老师 马利军 一、教学目标: 1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题. 2. 理解微积分的基本定理,并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题. 二、知识要点分析 1. 定积分的概念:函数)(x f 在区间[a ,b ]上的定积分表示为:? b a dx x f )( 2. 定积分的几何意义: (1)当函数f (x )在区间[a ,b]上恒为正时,定积分? b a dx x f )(的几何意义是:y=f (x ) 与x=a ,x=b 及x 轴围成的曲边梯形面积,在一般情形下. ? b a dx x f )(的几何意义是介于x 轴、 函数f (x )的图象、以及直线x=a ,x=b 之间的各部分的面积代数和,在x 轴上方的面积取正号,x 轴下方的面积取负号. 在图(1)中:0s dx )x (f b a >=? ,在图(2)中:0s dx )x (f b a <=? ,在图(3)中:dx )x (f b a ? 表示函数y=f (x )图象及直线x=a ,x=b 、x 轴围成的面积的代数和. 注:函数y=f (x )图象与x 轴及直线x=a ,x=b 围成的面积不一定等于? b a dx x f )(,仅 当在区间[a ,b]上f (x )恒正时,其面积才等于 ? b a dx x f )(. 3. 定积分的性质,(设函数f (x ),g (x )在区间[a ,b ]上可积) (1)???±=±b a b a b a dx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [ (2)?? =b a b a dx x f k dx x kf )()(,(k 为常数) (3) ?? ?+=b c b a c a dx x f dx x f dx x f )()()( (4)若在区间[a ,b ]上,? ≥≥b a dx x f x f 0)(,0)(则

高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解

一、教学目标:1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题. 2. 理解微积分的基本定理,并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题. 二、知识要点分析 1. 定积分的概念:函数)(x f 在区间[a ,b ]上的定积分表示为:?b a dx x f )( 2. 定积分的几何意义: (1)当函数f (x )在区间[a ,b]上恒为正时,定积分?b a dx x f )(的几何意义是:y=f (x )与x=a ,x= b 及x 轴围成的曲边梯形面积,在一般情形下.?b a dx x f )(的几何意义是介于x 轴、函数f (x )的图象、以及直线x=a ,x= b 之间的各部分的面积代数和,在x 轴上方的面积取正号,x 轴下方的面积取负号. 在图(1)中:0s dx )x (f b a >=?,在图(2)中:0s dx )x (f b a <=?,在图(3)中:dx )x (f b a ?表示 函数y=f (x )图象及直线x=a ,x=b 、x 轴围成的面积的代数和. 注:函数y=f (x )图象与x 轴及直线x=a ,x=b 围成的面积不一定等于?b a dx x f )(,仅当在区间[a ,b]上f (x )恒正时,其面积才等于?b a dx x f )(. 3. 定积分的性质,(设函数f (x ),g (x )在区间[a ,b ]上可积) (1)???±=±b a b a b a dx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [ (2)??=b a b a dx x f k dx x kf )()(,(k 为常数) (3)???+=b c b a c a dx x f dx x f dx x f )()()( (4)若在区间[a , b ]上,?≥≥b a dx x f x f 0)(,0)(则 推论:(1)若在区间[a ,b ]上,??≤≤b a b a dx x g dx x f x g x f )()(),()(则 (2)??≤b a b a dx x f dx x f |)(||)(| (3)若f (x )是偶函数,则??=-a a a dx x f dx x f 0)(2)(,若f (x )是奇函数,则0)(=?-a a dx x f 4. 微积分基本定理: 一般地,若)()()(],[)(),()('a F b F dx x f b a x f x f x F b a -==?上可积,则在且 注:(1)若)()('x f x F =则F (x )叫函数f (x )在区间[a ,b ]上的一个原函数,根据

高中数学16微积分基本定理(教案)

三、教学过程 1、复习: 定积分的概念及用定义计算 2、引入新课 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂,所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法,也是比较一般的方法。 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设一物体沿直线作变速运动,在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)(()v t o ≥), 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为 2 1 ()T T v t dt ? 。 另一方面,这段路程还可以通过位置函数S (t )在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达,即 2 1 ()T T v t dt ? =12()()S T S T - 而()()S t v t '=。 对于一般函数()f x ,设()()F x f x '=,是否也有 ()()()b a f x dx F b F a =-? 若上式成立,我们就找到了用()f x 的原函数(即满足()()F x f x '=)的数值差()()F b F a -来计算 ()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。 注:1:定理 如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数,则 ()()()b a f x dx F b F a =-? 证明:因为()x Φ= ()x a f t dt ? 与()F x 都是()f x 的原函数,故 ()F x -()x Φ=C (a x b ≤≤) 其中C 为某一常数。 令x a =得()F a -()a Φ=C ,且()a Φ= ()a a f t dt ? =0 即有C=()F a ,故()F x =()x Φ+()F a ∴ ()x Φ=()F x -()F a =()x a f t dt ? 令x b =,有 ()()()b a f x dx F b F a =-? 此处并不要求学生理解证明的过程 为了方便起见,还常用()|b a F x 表示()()F b F a -,即 ()()|()()b b a a f x dx F x F b F a ==-? 该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法,把求 定积分的问题,转化成求原函数的问题,是微分学与积分学之间联系的桥梁。 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系,同时也提供计算定积分的一种有效方法,为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位,起到了承上启下的作用,不仅如此,它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响,是微积分学中最重要最辉煌的成果。

高中数学人教版选修2-2导数及其应用(定积分)知识点总结

数学选修2-2导数及其应用(定积分)知识点必记 1.函数的平均变化率是什么? 答:平均变化率为 =??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1:其中x ?是自变量的改变量,可正,可负,可零。 注2:函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念是什么? 答:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000,则称函数)(x f y =在点0x 处可导,并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数,记作)(0'x f 或0|'x x y =,即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.平均变化率和导数的几何意义是什么? 答:函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率;函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景是什么? 答:(1)切线的斜率;(2)瞬时速度;(3)边际成本。 5、常见的函数导数和积分公式有哪些? 函数 导函数 不定积分 y c = 'y =0 ———————— n y x =()*n N ∈ 1'n y nx -= 1 1n n x x dx n +=+? x y a =()0,1a a >≠ 'ln x y a a = ln x x a a dx a =? x y e = 'x y e = x x e dx e =? log a y x =()0,1,0a a x >≠> 1 'ln y x a = ———————— ln y x = 1'y x = 1 ln dx x x =? sin y x = 'cos y x = cos sin xdx x =? cos y x = 'sin y x =- sin cos xdx x =-? 6、常见的导数和定积分运算公式有哪些?

高中数学定积分计算习题

定积分的计算 班级 姓名 一、利用几何意义求下列定积分 (1)dx x ? 1 1 -2-1 (2)dx x ? 2 2-4 (3) dx x ? 2 2-2x (4) ()dx x x ? -2 4 二、定积分计算 (1)()dx ?1 7-2x (2)( ) d x ?+2 1 x 2x 32 (3)dx ?3 1 x 3 (4)dx x ?π π - sin (5)dx x ?e 1 ln (6)dx ? +1 x 112 (7)() dx x x ?+-10 2 32 (8)()dx 2 31 1-x ? (9)dx ?+1 1 -2x x 2)( (10)( ) d x x ?+21 2x 1x (11)() dx x x ?-+1 1 -352x (12)() dx e e x x ?+ln2 x -e (13)dx x ?+π π --cosx sin ) ( (14)dx ? e 1 x 2 (15)dx x ?2 1 -x sin -2e )( (16)dx ?++2 1-3x 1 x x 2 (17)dx ? 2 1x 13 (18)()dx 2 2 -1x ?+

三、定积分求面积、体积 1求由抛物线y 2=2x 与直线y =4-x 围成的平面图形的面积。 2.求曲线y =x ,y =2-x ,y =-1 3 x 所围成图形的面积. 3.求由曲线y =cos x (0≤x ≤2π)与直线y =1所围成的图形面积 4.如图求由两条曲线y =-x 2 ,y =-14 x 2 及直线y =-1所围成的图形的面积. 5、求函数f(x)=???? ? x +1 (-1≤x<0)cosx (0≤x ≤π 2)的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积。 6.将由曲线y =x 2,y =x 3所 围成平面图形绕x 周旋转一周,求所得旋转体的体积。 7.将由三条直线x =0、x =2、y =0和曲线y =x 3所围成的图形绕x 周旋转一周,求所得旋转体的体积。 8.由曲线y =x 与直线x =1,x =4及x 轴所围成的封闭图形绕x 周旋转一周,求所得旋转体的体积

高中数学常见题型解法归纳 求定积分的方法

高中数学常见题型解法归纳 求定积分的方法 【知识要点】 一、曲边梯形的定义 我们把由直线,,0x a x b y ===和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形. 二、曲边梯形的面积的求法 分割→近似代替(以直代曲)→求和→取极限 三、定积分的概念 一般地,设函数()f x 在区间[,]a b 上连续,用分点 0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L 将区间[,]a b 等分成n 个小区间,每个小区间长度为x D (b a x n -D =),在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点()1,2,,i i n x =L ,作和式:1 1 ()()n n n i i i i b a S f x x f n ξ==-= ?=∑∑ 如果x D 无限接近于0(亦即n →+∞)时,上述和式n S 无限趋近于常数S ,那么称该常数S 为函数 ()f x 在区间[,]a b 上的定积分.记为:()b a S f x dx =?, 其中 ? 是积分号,b 是积分上限,a 是积分下限,()f x 是被积函数,x 是积分变量,[,]a b 是积分区间,()f x dx 是被积式. 说明:(1)定积分 ()b a f x dx ? 是一个常数,可以是正数,也可以是负数,也可以是零,即n S 无限趋 近的常数S (n →+∞时)记为 ()b a f x dx ? ,而不是n S . (2)用定义求定积分的一般方法是:①分割:n 等分区间[],a b ;②近似代替:取点[]1,i i i x x ξ-∈;③ 求和:1 ()n i i b a f n ξ=-∑;④取极限:()1()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞=-=∑? 四、定积分的性质 根据定积分的定义,不难得出定积分的如下性质: 性质1()()()b b a a kf x dx k f x dx k =??为常数(定积分的线性性质); 性质2 1212[()()]()()b b b a a a f x f x dx f x dx f x dx ±=±? ??(定积分的线性性质);

高中数学定积分训练题

定积分训练题 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代 号填在题后的括号内(每小题5分,共50分). 1.将和式的极限)0(.......321lim 1 >+++++∞→p n n P p p p p n 表示成定积分 ( ) A .dx x ?101 B .dx x p ?10 C .dx x p ?10)1( D .dx n x p ?10)( 2.下列等于1的积分是 ( ) A . dx x ? 1 B .dx x ?+10 )1( C .dx ? 1 01 D .dx ?1 021 3.dx x |4|1 02 ? -= ( ) A . 321 B .322 C .3 23 D .325 4.已知自由落体运动的速率gt v =,则落体运动从0=t 到0t t =所走的路程为 ( ) A .320gt B .2 0gt C .2 2 0gt D .6 2 0gt 5.曲线]2 3 ,0[,cos π∈=x x y 与坐标周围成的面积 ( ) A .4 B .2 C .2 5 D .3 6.dx e e x x ? -+1 )(= ( ) A .e e 1 + B .2e C . e 2 D .e e 1- 7.求由1,2,===y x e y x 围成的曲边梯形的面积时,若选择x为积分变量,则积分区间为( ) A .[0,2e ] B .[0,2] C .[1,2] D .[0,1] 8.由直线1,+-==x y x y ,及x轴围成平面图形的面积为 ( ) A .()[]dy y y ?--1 1 B . ()[]dx x x ?-+-210 1 C . ()[]dy y y ?--210 1 D .()[]dx x x ? +--10 1 9.如果1N 力能拉长弹簧1cm ,为将弹簧拉长6cm ,所耗费的功是 ( ) A .0.18 B .0.26 C .0.12 D .0.28 10.将边长为1米的正方形薄片垂直放于比彼一时为ρ的液体中,使其上距液面距离为2米, 则该正方形薄片所受液压力为 ( ) A .? 3 2 dx x ρ B . ()?+2 1 2dx x ρ C .? 1 dx x ρ D . ()?+3 2 1dx x ρ 二、填空题:请把答案填在题中横线上(每小题6分,共24分). 11.将和式)21 .........2111( lim n n n n +++++∞ →表示为定积分 . 12.曲线1,0,2===y x x y ,所围成的图形的面积可用定积分表示为 . 13.由x y cos =及x 轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积,利用定积分应表达为 .

高等数学第五章定积分总结

第五章 定积分 内容:定积分的概念和性质、微积分基本公式、换元积分法、分部积分法、广义积分。 要求:理解定积分的概念和性质。掌握牛顿-莱布尼兹公式、定积分的换元法和分部积分法,理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理,理解广义积分的概念和计算方法。 重点:定积分的概念和性质;微积分基本公式;换元积分法、分部积分法。 难点:定积分的概念;变上限积分函数及其导数;换元积分法、分部积分法。 §1.定积分的概念 一、实例分析 1.曲边梯形的面积 设函数)(x f y =∈C[a , b ], 且)(x f y =>0. 由曲线0,,),(====y b x a x x f y 围成的图形称为曲边梯形. 如何定义曲边梯形的面积?(1) 矩形面积=底高. (2) 预备一张细长条的纸, 其面积底高. (3) 预备一张呈曲边梯形状的纸, 将其撕成许多细长条. (4) 启示: 将曲边梯形分割为许多细长条, 分割得越细, 误差越小. y =f (x ) x =a x =b y =f (x ) a=x 0 x 1 x i-1 x i x n =b

第i 个细长条面积)],,[()(11---=?∈??≈?i i i i i i i i i x x x x x x f S ξξ 曲边梯形面积: ∑=?≈ n i i i x f S 1 )(ξ 定积分概念示意图.ppt 定义: ),,2,1,max {()(lim 1 n i x x f S i n i i i Λ=?=?=∑=→λξλ 抛开上述过程的几何意义,将其数学过程定义为定积分. 二、定积分的定义 1. 定义 设)(x f y =在[a , b ]有定义, 且有界. (1) 分割: 用分点b x x x a n =<<<=Λ10把[a , b ]分割成n 个小区间: } ,,2,1,max{,,,2,1],,[11n i x x x x n i x x i i i i i i ΛΛ=?=-=?=--λ记 (2) 取点: 在每个小区间],[1i i x x -上任取一点i , 做乘积: i i x f ?)(ξ. (3) 求和: ∑=?n i i i x f 1 )(ξ (4) 取极限: ∑=→?n i i i x f 1 )(lim ξλ 若极限存在, 则其为)(x f 在[a , b ]上的定积分, 记作: ? b a dx x f )(. 即: ∑? =→?=n i i i b a x f dx x f 1 )(lim )(ξλ [a , b ]: 积分区间;a :积分下限;b :积分上限; ∑=?n i i i x f 1 )(ξ积分和式. 问题: 定积分是极限值, 在求极限的过程中, 谁是常量, 谁是变量?

高中数学导数与定积分知识点

高中数学知识点—导数、定积分 一.课标要求: 1.导数及其应用 (1)导数概念及其几何意义 ①通过对大量实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵; ②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。 (2)导数的运算 ①能根据导数定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=x3,y=1/x,y=x 的导数; ②能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax+b))的导数; ③会使用导数公式表。 (3)导数在研究函数中的应用 ①结合实例,借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间; ②结合函数的图像,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值,以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值;体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。 (4)生活中的优化问题举例 例如,使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的作用。 (5)定积分与微积分基本定理 ①通过实例(如求曲边梯形的面积、变力做功等),从问题情境中了解定积分的实际背景;借助几何直观体会定积分的基本思想,初步了解定积分的概念; ②通过实例(如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系),直观了解微积分基本定理的含义。 (6)数学文化 收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料,并进行交流;体会微积

分的建立在人类文化发展中的意义和价值。具体要求见本《标准》中"数学文化"的要求。 二.命题走向 导数是高中数学中重要的内容,是解决实际问题的强有力的数学工具,运用导数的有关知识,研究函数的性质:单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样,以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用,也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来,综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值. 三.要点精讲 1.导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?,那么函数y 相应地有增量y ?=f (x 0+x ?)-f (x 0),比值x y ??叫做函数y=f (x )在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率,即 x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。 如果当0→?x 时, x y ??有极限,我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导,并把这个极限叫做f (x )在点x 0处的导数,记作f ’(x 0)或y ’|0x x =。 即f (x 0)=0 lim →?x x y ??=0 lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。 说明: (1)函数f (x )在点x 0处可导,是指0→?x 时,x y ??有极限。如果x y ??不存在极限,就说函数在点x 0处不可导,或说无导数。 (2)x ?是自变量x 在x 0处的改变量,0≠?x 时,而y ?是函数值的改变量,可以是零。 由导数的定义可知,求函数y=f (x )在点x 0处的导数的步骤(可由学生来归纳): (1)求函数的增量y ?=f (x 0+x ?)-f (x 0);

高等数学第五章定积分及自测题

第五章定积分 一、基本要求: 1.理解定积分的概念、几何意义、物理意义及定积分的性质. 2.理解积分上限的函数,并掌握其求导法则. 3.掌握牛顿——莱布尼兹公式. 4.掌握定积分的换元法和分布积分法. 5.理解反常积分(广义积分)的概念,会计算反常积分,了解反常积分的审敛法. 6.了解定积分的近似计算方法. 二、主要内容

Ⅰ. 定积分概念: 1. 定积分定义:设()f x 在区间[,]a b 上有界,在[,]a b 中任意插入若干个分点 0121n n a x x x x x b -=<<<<<=.把[,]a b 分成n 个小区间1[,],(1,2, ,)i i x x i n -=,小 区间的长度记为1,(1,2, ,)i i i x x x i n -?=-=,在1[,]i i x x -上任意取一点i ξ,作1 ()n i i i f x ξ=?∑, 若0 1 lim ()n i i i f x λξ→=??∑ 1(max{})i i n x λ≤≤=?存在. 就称该极限为()f x 在[,]a b 上的定积分. 记为 1 ()lim ()n b i i a i f x dx f x λξ→==??∑? 当上述极限存在时,称()f x 在[,]a b 上可积. 2. 若()f x 在[,]a b 上连续,则()f x 在[,]a b 上可积。 3. 若()f x 在[,]a b 上有界,且只有有限个间断点,则()f x 在[,]a b 上可积. Ⅱ. 定积分的几何意义 定积分 ()b a f x dx ? 在几何上表示:由曲线()y f x =,直线x a =和x b =以及x 轴所围图形面 积的代数和 (x 轴上方的面积取正,x 轴下方的面积取负) Ⅲ. 定积分的性质 1. 补充规定:(1)当a b =时, ()0b a f x dx =? (2)当a b >时, ()()b a a b f x dx f x dx =-?? 2. 性质: (1) [()()]()()b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx - -+=+? ?? (2) ()(),()b b a a kf x dx k f x dx k =? ?为常数 (3) ()()()b c b a a c f x dx f x dx f x dx =+? ?? (4) b a dx b a =-? (5) 若在[,]a b 上,()0f x ≥,则 ()0,()b a f x dx a b ≥

高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解

高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题 及详解 Newly compiled on November 23, 2020

1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题. 2. 理解微积分的基本定理,并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题. 二、知识要点分析 1. 定积分的概念:函数)(x f 在区间[a ,b ]上的定积分表示为:?b a dx x f )( 2. 定积分的几何意义: (1)当函数f (x )在区间[a ,b]上恒为正时,定积分?b a dx x f )(的几何意义是:y=f (x )与x=a ,x=b 及x 轴围成的曲边梯形面积,在一般情形下.?b a dx x f )(的几何意义是 介于x 轴、函数f (x )的图象、以及直线x=a ,x=b 之间的各部分的面积代数和,在x 轴上方的面积取正号,x 轴下方的面积取负号. 在图(1)中:0s dx )x (f b a >=?,在图(2)中:0s dx )x (f b a <=?,在图(3)中: dx )x (f b a ?表示函数y=f (x )图象及直线x=a ,x=b 、x 轴围成的面积的代数和. 注:函数y=f (x )图象与x 轴及直线x=a ,x=b 围成的面积不一定等于?b a dx x f )(, 仅当在区间[a ,b]上f (x )恒正时,其面积才等于?b a dx x f )(. 3. 定积分的性质,(设函数f (x ),g (x )在区间[a ,b ]上可积) (1)???±=±b a b a b a dx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [ (2)?? =b a b a dx x f k dx x kf )()(,(k 为常数) (3)???+=b c b a c a dx x f dx x f dx x f )()()( (4)若在区间[a ,b ]上,?≥≥b a dx x f x f 0)(,0)(则 推论:(1)若在区间[a ,b ]上,??≤≤b a b a dx x g dx x f x g x f )()(),()(则 (2)??≤b a b a dx x f dx x f |)(||)(| (3)若f (x )是偶函数,则??=-a a a dx x f dx x f 0 )(2)(,若f (x )是奇函数,则 0)(=? -a a dx x f

高中数学选修2-2精品学案:§1.6 微积分基本定理

学习目标 1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义. 2.会利用微积分基本定理求函数的积分.

知识点一 微积分基本定理(牛顿—莱布尼茨公式) 思考1 已知函数f (x )=2x +1,F (x )=x 2+x ,则?10(2x +1)d x 与F (1)-F (0)有什么关系? 思考2 对一个连续函数f (x )来说,是否存在唯一的F (x ),使得F ′(x )=f (x )? 梳理 (1)微积分基本定理 ①条件:f (x )是区间[a ,b ]上的连续函数,并且______; ②结论:?b a f (x )d x =__________; ③符号表示:?b a f (x )d x =________=__________. (2)常见的原函数与被积函数关系 ①?b a c d x =cx |b a (c 为常数). ②?b a x n d x = ??1n +1x n +1b a (n ≠-1). ③?b a sin x d x =-cos x |b a .

④?b a cos x d x =sin x |b a . ⑤?b a 1x d x =ln x |b a (b >a >0). ⑥?b a e x d x =e x |b a . ⑦?b a a x d x = ??a x ln a b a (a >0且a ≠1). ⑧?b a x d x = ???233 2x b a (b >a >0). 知识点二 定积分和曲边梯形面积的关系 思考 定积分与曲边梯形的面积一定相等吗? 梳理 设曲边梯形在x 轴上方的面积为S 上,在x 轴下方的面积为S 下,则 (1)当曲边梯形在x 轴上方时,如图①,则?b a f (x )d x =________. (2)当曲边梯形在x 轴下方时,如图②,则?b a f (x )d x =________. (3)当曲边梯形在x 轴上方、x 轴下方均存在时,如图③,则?b a f (x )d x =________________.特别地,若S 上=S 下,则?b a f (x )d x =____.

高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解

高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理 习题及详解 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

定积分与微积分基本定理习题 一、选择题 1. a =??02x d x ,b =??0 2e x d x ,c =??0 2sin x d x ,则a 、b 、c 的大小关系是( ) A .a

定积分、微积分基本定理-高中数学知识点讲解

定积分、微积分基本定理 1.定积分、微积分基本定理 【定积分】 定积分就是求函数在区间中图线下包围的面积.即由所围成图(f X)[a,b] y=0,x=a,x=b,y=(f X) 形的面积.这个图形称为曲边梯形,特例是曲边三角形,表示的是一个面积,是一个 数. 定积分的求法: 求定积分首先要确定定义域的范围,其次确定积分函数,最后找出积分的原函数然后求解,这里以例题为例. 【微积分基本定理】 在高等数学中对函数的微分、积分的研究和对相关概念及用途的数学称作微积分.积分学、极限、微分学及其应用是微积分的主要内容.微积分也称为数学分析,用以研究事物运动时的变化和规律.在高等数学学科中,微积分是一个基础学科. 其中,微积分的核心(基本)定理是 ? ? F(x)=(f x)(f x) ?(?)??= ?(?)―?(?),其中,而 必须在区间 (a,b) 内连续. 2 例 1:定积分|3 ―2?|??= 1 解: 1 | 3﹣2x | dx 2 = 3 2 1 (3 ―2?)??+ 2 3 2 (2?―3)?? 3 =(﹣2)1 +(x2﹣3x)|23 3x x |

2 2 1/ 2

= 1 2 通过这个习题我们发现,第一的,定积分的表示方法,后面一定要有;第二,每一段对应的被积分函数的表 dx 达式要与定义域相对应;第三,求出原函数代入求解. 例 2:用定积分的几何意义,则 3 9 ― ?2??. ―3 解:根据定积分的几何意义,则 3 9 ―?2??表示圆心在原点,半径为3 的圆的上半圆的面积, ―3 故 3 ―3 9 ―?2?? = 1 2 × ?× 3 2 = 9? . 2 这里面用到的就是定积分表示的一个面积,通过对被积分函数的分析,我们发现它是个半圆,所以可以直接求他的面积. 【考查】 定积分相对来说比较容易,一般以选择、填空题的形式出现,这里要熟悉定积分的求法,知道定积分的含义,上面两个题代表了两种解题思路,也是一般思路,希望同学们掌握. 2/ 2

高中数学知识点精讲精析 定积分

1.5 定积分 1. 定积分的概念 定义1 设)(x f 在],[b a 上有界, 在],[b a 中任意插入若干个分点 b x x x x x a n n =<<<<<=-1210 把区间],[b a 分割成n 个小区间 ],[10x x , ],[21x x , , ],[1n n x x -, 各小区间的长度依次为 ,011x x x -=? ,122x x x -=?1,--=?n n n x x x . 在每个小区间],[1i i x x -上任取一点),(1i i i i x x ≤≤-ξξ 作函数值)(i f ξ与小区间长度i x ?的乘积i i x f ?)(ξ),,2,1(n i =, 并作和式 ,)(1 ∑=?=n i i i n x f S ξ 记},,,,max{21n x x x ???= λ如果不论对],[b a 怎样的分法, 也不论在小区间],[1i i x x -上点i ξ怎样取法, 只要当0→λ时, 和n S 总趋于确定的极限I , 我们就称这个极限I 为函数 )(x f 在区间],[b a 上的定积分, 记为 ∑? =→?==n i i i b a x f I dx x f 1 )(lim )(ξλ, 其中)(x f 叫做被积函数, dx x f )(叫做被积表达式, x 叫做积分变量, ],[b a 叫做积分区间. 2.求定积分过程中的辩证思维 定积分中的极限方法可以使有关常量与变量、近似与精确、变与不变等矛盾的对立双方相互转化,从而化未知为已知,体现了对立统一法则.同时也体现了否定之否定法则: 为求

总量U ,在取极限过程中,当∞→n 时,一方面使积分和∑=?n i i i x f 1 )(ξ中的积分元素i i x f ?)(ξ转化为总量U 的微分,)(dx x f dU = 这是对总量U 的否定,这次否定的结果得到了U 的微分,dU 这是对总量U 的无限项细分;另一方面,当∞→n 时,积分和∑=?n i i i x f 1)(ξ转化为对 微分dU 的无限项相加,这是对dU 的否定,这一次否定的结果得到了总量U ,这是对dU 的无限积累. 正是由于求定积分过程中包含着丰富的辨证思维,才使得高等数学 —— 主要是微积分 —— 巧妙地、有效地解决了初等数学所不能解决的问题. 3.定积分的近似计算 矩形法的几何意义非常明确,就是用小矩形的面积近似作为小曲边梯形的面积,总体上用阶梯形的面积作为整个曲边梯形面积的近似值 4.定积分在几何中的应用 (1)在直角坐标系下计算平面图形的面积 方法一 面积元素dA =dx x x )]()([12??-,面积A =x x x b a d )]()([12??-? 第一步:在D 边界方程中解出y 的两个表达式)(1x y ?=,)(2x y ?=. 第二步:在剩下的边界方程中找出x 的两个常数值a x =,b x =;不够时由)(1x ?)(2x ?=解出, b x a ≤≤,)()(21x y x ??≤≤,面积S =x x x b a d )]()([12??-? 方法二 面积元素dA =dy y y )]()([12??-,面积A =y y y d c d )]()([12??-? 第一步:在D 边界方程中解出x 的两个表达式)(1y x ?=, )(2y x ?=. 第二步:在剩下的边界方程中找出y 的两个常数值c y =,d y =;不够时由)(1y ?)(2y ?=解出, d y c ≤≤,)()(21y x y ??≤≤,面积S =y y y d c d )]()([12??-? )

高中数学选修微积分基本定理

[学习目标] 1.了解导数和微积分的关系.2.掌握微积分基本定理.3.会用微积分基本定理求一些函数的定积分. 知识点一导数与定积分的关系 f(x)d x等于函数f(x)的任意一个原函数F(x)(F′(x)=f(x))在积分区间[a,b]上的改变量F(b)-F(a). 以路程和速度之间的关系为例解释如下: 如果物体运动的速度函数为v=v(t),那么在时间区间[a,b]内物体的位移s可以用定积分表示为s=v(t)d t.另一方面,如果已知该变速直线运动的路程函数为s=s(t),那么在时间区间[a,b]内物体的位移为s(b)-s(a),所以有v(t)d t=s(b)-s(a).由于s′(t)=v(t),即s(t)为v(t)的原函数,这就是说,定积分v(t)d t等于被积函数v(t)的原函数s(t)在区间[a,b]上的增量s(b)-s(a). 思考函数f(x)与其一个原函数的关系: (1)若f(x)=c(c为常数),则F(x)=cx; (2)若f(x)=x n(n≠-1),则F(x)=·x n+1; (3)若f(x)=,则F(x)=ln x(x>0); (4)若f(x)=e x,则F(x)=e x; (5)若f(x)=a x,则F(x)=(a>0且a≠1); (6)若f(x)=sin x,则F(x)=-cos x; (7)若f(x)=cos x,则F(x)=sin x.

知识点二微积分基本定理 一般地,如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且F′(x)=f(x),那么f(x)d x=F(b)-F(a). 思考(1)函数f(x)的原函数F(x)是否唯一? (2)用微积分基本定理计算简单定积分的步骤是什么? 答案(1)不唯一. (2)①把被积函数f(x)变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数等初等函数与常数的和或差; ②用求导公式找到F(x),使得F′(x)=f(x); ③利用微积分基本定理求出定积分的值. 题型一求简单函数的定积分 例1计算下列定积分. (1)3d x;(2)(2x+3)d x; (3)(4x-x2)d x;(4)(x-1)5d x. 解(1)因为(3x)′=3, 所以3d x=(3x)=3×2-3×1=3. (2)因为(x2+3x)′=2x+3, 所以(2x+3)d x=(x2+3x) =22+3×2-(02+3×0)=10.

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