(完整版)高中数学人教版选修2-2导数及其应用(定积分)知识点总结,推荐文档
高中数学人教版选修22导数及其应用知识点总结.pdf
数学选修 2-2 数系的扩充和复数的概念知识点必记
30.复数的概念是什么？ 答：形如 a．+．b．i．的数叫做复数，其中 i 叫虚数单位， a 叫实部， b 叫虚部，数集
C = a + bi | a,b R 叫做复数集。
规定：a + bi = c + di a．=．c．且．b．=．d．，强调：两复数不能比较大小，只有相等或不相
和综合法常结合使用，不要将它们：即反证法：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的
否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。
25.反证法的一般步骤是什么？
答：（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；
（2）从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
22.什么是综合法？
答：综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条
件，直至推出要证的结论。
23.什么是分析法？
答：分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者
一定成立的式子，可称为“由果索因”。
要注意叙述的形式：要证 A，只要证 B，B 应是 A 成立的充分条件. 分析法
个是最小值。 注：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；
9．求曲边梯形的思想和步骤是什么？
答：分割 → 近似代替 → 求和 → 取极限 （“以直代曲”的思想）
10.定积分的性质有哪些？ 根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：
性质 1
b
1dx = b − a
a
性质 5
若 f (x) 0,
特别地：
b
kf (x)dx = k
a
b f (x)dx(k为常数)
a
高中数学选修2-2(人教B版)第一章导数及其应用1.2知识点总结含同步练习题及答案
′
解：（1）y ′ = (e3x+2 ) = e3x+2 ⋅ (3x + 2)′ = 3e3x+2 ； （2）y ′ = (ln(2x − 1))′ =
1 2 ． ⋅ (2x − 1)′ = 2x − 1 2x − 1
2.利用导数求函数的切线方程 描述： 利用导数求函数的切线方程 步骤一：求出函数 y = f (x) 在点 x0 处的导数 f ′ (x0 ) ； 步骤二：根据直线方程的点斜式，得到切线方程为 y − f (x0 ) = f ′ (x0 )(x − x0 )． 例题： 求曲线 y = ex + 1 在 (0, 2) 处的切线方程． 解：因为 y = ex + 1，所以 y ′ = ex ，故曲线 y = ex + 1在 (0, 2)处的切线斜率为
解：（1）因为 y =
所以在点 P 处的切线的斜率等于 4 ．所以在点 P 处的切线方程是
y−
即
8 = 4(x − 2), 3
12x − 3y − 16 = 0.
（2）设切点为 (x 0 , y 0 )，则由（1）知切线的斜率 k = x2 ，切线方程为 y − y 0 = x2 (x − x 0 ) ． 0 0 又切线过点 P (2,
8 1 ) 且 (x0 , y 0 ) 在曲线 y = x3 上，所以 3 3 ⎧ ⎪ 8 − y = x2 (2 − x0 ), 0 0 ⎨3 1 ⎪ ⎩ y = x3 , ⎪ 0 3 0 − 3x2 + 4 = 0, x3 0 0
整理得
即
(x0 − 2)2 (x0 + 1) = 0.
2020版人教A版数学选修2-2___第一章 导数及其应用 定积分在几何中的应用
的函数的差的定积分.
知识梳理
【做一做2】 用S表示图中阴影部分的面积,则S的值是 ( )
A. B.
������ ������ ������ ������
������(x)dx f (x)d������
C.
������ ������
������(x)dx+
������ ������
������(x)dx
S=S(t)
=
4 3
������3-������2
+
13,0<t<1,
则
S'(t)=4t2-2t,解方程
4t2-2t=0,得
t1=0(舍去),������2
=
1.
2
当t变化时,S'(t)与S(t)的变化情况如下表:
1
1
1
t
0, 2
2
2 ,1
S'(t)
-
0+
S(t)
↘
1 ↗
4
由表知,当
t=
1 2
时,S(t)取极小值
曲线
y=x2(x≥0)以及
x
轴所围成的图形面积为
1 12
,
试求切点A
的坐
标以及过切点A的切线方程.
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
解:如图,设切点A(x0,y0),
由y'=2x,则过点A的切线方程为y-y0=2x0(x-x0),
即 y=2x0x−������02.
令 y=0,得 x= ������0 , 即������ ������0 ,0 .
由 y2=8x(y≥0)可得 y= 8������,
2020版人教A版数学选修2-2___第一章 导数及其应用 定积分的概念
知识梳理
【做一做 1】
在定积分的概念中,定积分
������ ������
������(x)dx 的大小(
)
A.与f(x)和积分区间[a,b]有关,与ξi的取法无关 B.与f(x)有关,与区间[a,b]以及ξi的取法无关 C.与f(x)以及ξi的取法有关,与区间[a,b]无关 D.与f(x)、积分区间[a,b]和ξi的取法都有关 解析:根据定积分的概念可知,选项A正确,选项B,C,D都不正确,故
2×2sin
π 3
=
2π 3
−
3,
S 矩形=AB·BC=2 3,
所以 1
-1
4-������2dx=2
3 + 2π −
3
3 = 2π +
3
3.
题型一
题型二
(2)函数y=1+sin x的图象如图所示,
5π
所以
2 π
(1+sin
x)dx=2S
矩形
ABCD=2π.
2
典例透析
������
·1 =
������
∑
������ ������=1
3(������-1) ������ 2
+
5 ������
=
3 ������ 2
[0+1+2+…+(n-1)]+5
3 ������2-������ = 2 · ������2 + 5
13 3
= 2 − 2������.
(3)取极限
2 1
−
������+������-1 = 1.
������
������
高中数学定积分知识点总结
高中数学定积分知识点总结篇一：高中数学定积分知识点数学选修2-2知识点总结一、导数1．函数的平均变化率为f?ff?f?y?f???x?xx2?x1?x注1：其中?x是自变量的改变量，可正，可负，可零。
注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
2、导函数的概念:函数y?f在x?x0处的瞬时变化率是limf?f?y则?lim?x?0?x?x?0?x称函数y?f在点x0处可导，并把这个极限叫做y?f在x0处的导数，记作f'或y'|x?x0，即f'=limf?f?y. ?lim?x?0?x?x?0?x3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。
4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；6、常见的导数和定积分运算公式:若f?x?，g?x?均可导（可积），则有：用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数f的导数f'②令f'>0,解不等式，得x的范围就是递增区间. ③令f'篇二：高中数学人教版选修2-2导数及其应用知识点总结数学选修2-2导数及其应用（定积分）知识点必记1．函数的平均变化率是什么？答：平均变化率为f?ff?f?y?f???x?xx2?x1?x注1：其中?x是自变量的改变量，可正，可负，可零。
注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
2、导函数的概念是什么？答：函数y?f在x?x0处的瞬时变化率是limf?f?y则称?lim?x?0?x?x?0?x函数y?f在点x0处可导，并把这个极限叫做y?f在x0处的导数，记作f'或y'|x?x0，即f'=limf?f?y. ?lim?x?0?x?x?0?x3.平均变化率和导数的几何意义是什么？答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。
4导数的背景是什么？答：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。
人教版高中数学【选修2-2】[知识点整理及重点题型梳理]_《导数及其应用》全章复习与巩固(提高)(理)
![人教版高中数学【选修2-2】[知识点整理及重点题型梳理]_《导数及其应用》全章复习与巩固(提高)(理)](https://img.taocdn.com/s3/m/7ba83a5f0b1c59eef8c7b4c7.png)
人教版高中数学选修2-2知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习《导数及其应用》全章复习与巩固【学习目标】1. 会利用导数解决曲线的切线的问题.2. 会利用导数解决函数的单调性等有关问题.3. 会利用导数解决函数的极值、最值等有关问题.4. 能通过运用导数这一工具解决生活中的一些优化问题：例如利润最大、用料最省、效率最高等问题【知识网络】【要点梳理】要点一：有关切线问题直线与曲线相切，我们要抓住三点： ①切点在切线上； ②切点在曲线上；③切线斜率等于曲线在切点处的导数值. 要点诠释：通过以上三点可以看出，抓住切点是解决此类题的关键，有切点直接求，无切点则设切点，布列方程组.要点二：有关函数单调性的问题设函数()y f x =在区间（a ，b ）内可导，（1）如果恒有'()0f x >，则函数()f x 在（a ，b ）内为增函数； （2）如果恒有'()0f x <，则函数()f x 在（a ，b ）内为减函数； （3）如果恒有'()0f x =，则函数()f x 在（a ，b ）内为常数函数. 要点诠释：（1）若函数()f x 在区间（a ，b ）内单调递增，则'()0f x ≥，若函数()f x 在（a ，b ）内单调递减，则'()0f x ≤.（2）'()0f x ≥或'()0f x ≤恒成立，求参数值的范围的方法： ① 分离参数法：()m g x ≥或()m g x ≤.② 若不能隔离参数，就是求含参函数(,)f x m 的最小值min (,)f x m ，使min (,)0f x m ≥. （或是求含参函数(,)f x m 的最大值max (,)f x m ，使max (,)0f x m ≤） 要点三：函数极值、最值的问题 函数极值的问题（1）确定函数的定义域； （2）求导数)(x f '； （3）求方程0)(='x f 的根；（4）检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法) 要点诠释： ①先求出定义域②一般都要列表：然后看在每个根附近导数符号的变化：若由正变负，则该点为极大值点； 若由负变正，则该点为极小值点.注意：无定义的点不用在表中列出③根据表格给出结论：注意一定指出在哪取得极值. 函数最值的问题若函数()y f x =在闭区间],[b a 有定义，在开区间(,)a b 内有导数，则求函数()y f x =在],[b a 上的最大值和最小值的步骤如下：（1）求函数)(x f 在),(b a 内的导数)(x f '； （2）求方程0)(='x f 在),(b a 内的根；（3）求在),(b a 内所有使0)(='x f 的的点的函数值和)(x f 在闭区间端点处的函数值)(a f ，)(b f ； （4）比较上面所求的值，其中最大者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最大值，最小者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最小值.要点诠释：①求函数的最值时，不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可.②若)(x f 在开区间),(b a 内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值. 要点四：优化问题在实际生活中用料最省、利润最大、效率最高等问题，常常可以归结为函数的最大值问题，从而可用导数来解决.我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题.利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤：(1) 分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式()y f x =；(2) 求函数的导数'()f x ，解方程'()0f x =；(3) 比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大(小)者为最大(小)值． 要点诠释：①解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系.再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具． 利用导数解决优化问题的基本思路：②得出变量之间的关系()y f x =后，必须由实际意义确定自变量x 的取值范围；③在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f ′(x )＝0的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值．④在求实际问题的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去． 要点五：定积分的概念如果函数=()y f x 在区间[]a b ，上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[]a b ，等分成n 个小区间，在每个小区间[]1,i i x x -上取点()1,2,,i i n =ξ，作和式：11()()nnn i i i i b aS f x f n==-=∆=∑∑ξξ．当n →+∞时，上述和式n S 无限趋近于常数，那么称该常数为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记作：()baf x dx ⎰，即+1()lim()nbi an i b af x dx f n→∞=-=∑⎰ξ．要点诠释： （1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时），记为()baf x dx ⎰，而不是n S ．(2) 定积分是一个数值（极限值），它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即()()()bbbaaaf x dx f u du f t dt ===⎰⎰⎰（称为积分形式的不变性），另外定积分()()baf x d x ⎰与积分区间[a ，b ]息息相关，不同的积分区间，定积分的积分上下限不同，所得的值也就不同，例如120(1)x dx +⎰与320(1)x dx +⎰的值就不同．要点六：定积分的几何意义要点诠释：（1）当()0f x ≤时，由()y f x =、x =a 、x =b 与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方，积分()d baf x x⎰在几何上表示上述曲边梯形面积的相反数（负数）．所以[()]d ()bbaaS f x x f x S =-=-=-⎰⎰，即()d baf x x S =-⎰，如图（b ）．（2）当()f x 在区间[a ，b ]上有正有负时，积分()d b af x x ⎰在几何上表示几个小曲边梯形面积的代数和（x 轴上方面积取正号，x 轴下方面积取负号）．在如图（c ）所示的图象中，定积分132()d baf x x S S S =+-⎰．要点七：定积分的运算性质 性质1：()d ()bba ak f x x k f x kS ==⎰⎰；性质2：[()g()]d ()g()d bb baaaf x x x f x x x ±=±⎰⎰⎰；性质3：定积分关于积分区间具有可加性。
人教版高中数学选修2-2第一章导数及其应用第五节(第一课时)曲边梯形的的面积和定积分的概念(共19张
n nn
nn
nn
每个区间的长度为 x i i 1 1 nn n
过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n 个小曲边梯形，他们的面积分别记作
S1, S2,, Si ,, Sn.
2、近似代替
S第i个黄色矩形
1 n
f
(i-1) n
10
S第1个黄色矩形
n
f
() n
0
S第2个黄色矩形
1 n
f
(1) n
1 n3
凡 事 都是 多 棱 镜 ， 不 同 的 角 度 会 看 到 不 同 的 结果 。 若 能 把 一 些 事 看 淡 了 ，就 会 有 个 好 心 境 ， 若 把 很 多事 看 开 了 ， 就 会有 个 好 心 情 。 让 聚 散 离 合 犹 如 月 缺 月 圆那 样 寻 常 ， 让 得 失 利 弊 犹 如花 开 花 谢 那 样 自 然 ， 不 计 较， 也 不 刻 意 执 着； 让 生 命 中 各 种 的 喜 怒 哀 乐 ， 就 像 风 儿一 样 ， 来 了 ， 不 管 是 清 风 拂面 ， 还 是 寒 风 凛 冽 ， 都 报 以自 然 的 微 笑 ， 坦然 的 接 受 命 运 的 馈 赠 ， 把 是 非 曲 折 ， 都当 作 是 人
n
i 1
f i x
n i 1
ba n
f i
当n→∞时,上式无限接近某个常数,这个常数叫做函数
f
(x)在区间[a,b]上的定积分
记作 b a
f
xdx
b a
f xdx lim n
n i 1
ba n
f i
定积分的定义：即
b a
f
(x)dx
lim
n
n i1
人教版高中数学选修2-2知识点总结优质
数学选修2-2 知识点总结、导数1．函数的平均变化率为y f f (x2) f(x1) f(x1 x) f(x1)x x x2 x1 x注1：其中x 是自变量的改变量，可正，可负，可零。
注2 ：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
2、导函数的概念: 函数y f(x) 在x x0 处的瞬时变化率是lim y lim f(x0 x) f ( x0 )，则称函数y f (x)在点x0处可导，并把这个极限x 0 x x 0 x叫做y f(x) 在x0 处的导数，记作f'(x0) 或y'|xx0 ，即f'(x0) = lim ylim f(xx) f(x).x 0 x x 0 x3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。
4 导数的背景( 1 )切线的斜率；( 2 )瞬时速度；5、常见的函数导数6、常见的导数和定积分运算公式:若 f x ，g x 均可导（可积），则有：用导数求函数单调区间的步骤:①求函数f(x)的导数 f '(x)②令 f '(x)>0,解不等式，得x 的范围就是递增区间.③令 f '(x)<0,解不等式，得x 的范围，就是递减区间；［注］：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。
7.求可导函数f(x)的极值的步骤：(1)确定函数的定义域。
(2)求函数f(x)的导数 f '(x)(3)求方程 f '(x)=0 的根(4)用函数的导数为0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查 f /(x) 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值8.利用导数求函数的最值的步骤:求 f (x) 在a,b 上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求 f (x) 在a,b 上的极值；⑵将 f (x) 的各极值与 f (a), f (b) 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
y' 1 x ln a
y' 1 x
y ' cos x
————————
1 x
dx
ln
x
cos xdx sin x
y cos x
y ' sin x
sin xdx cos x
我去6、人常也见的就导数有和人定积！分运为算U公R答：若 f x， g x均可导（可积），则有：
我去人也就有人！为UR扼腕入站内信不存在向你偶同意调剖沙
2、导函数的概念是什么？
答：函数
y
f (x) 在 x
x0
处的瞬时变化率是 lim x0
y x
lim
x0
f (x0
x) x
f (x0 )
，则称
函数 y f (x) 在点 x0 处可导，并把这个极限叫做 y f (x) 在 x0 处的导数，记作
f
' (x0 ) 或
y'
| xx0
，即
f
'
(
x0
)
=
特别地： a
a
积分的区间可加性
b
c
b
f (x)dx f (x)dx f (x)dx (其中a c b)
a
a
c
6.用导数求函数单调区间的步骤是什么？
答：①求函数 f(x)的导数 f '(x)
②令 f '(x) >0,解不等式，得 x 的范围就是递增区间.
③令 f '(x) <0,解不等式，得 x 的范围，就是递减区间； 注：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 7.求可导函数 f(x)的极值的步骤是什么？ 答：(1)确定函数的定义域。(2) 求函数 f(x)的导数 f '(x)
lim
x0
y x
lim
x0
f (x0
x) x
f (x0 )
.
3.平均变化率和导数的几何意义是什么？
答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切
线的斜率。
4 导数的背景是什么？
答：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。
5、常见的函数导数和积分公式有哪些？
函数
导函数
8.利用导数求函数的最值的步骤是什么？
答：求 f (x) 在 a,b上的最大值与最小值的步骤如下：
⑴求 f (x) 在 a,b上的极值；
建议收藏下载本文，以便随时学习！ ⑵将 f (x) 的各极值与 f (a), f (b) 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一
个是最小值。 注：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；
和差的导数运算
f (x) g(x)' f ' (x) g' (x)
建议收藏下载本文，以便随时学习！ 积的导数运算
f (x) g(x)' f ' (x)g(x) f (x)g' (x)
特别地： Cf x ' Cf 'x
商的导数运算
f (x) ' g(x)
f
'
(
x)
g
(x) f (
不定积分
yc
y'0
————————
y xn n N*
y ' nxn1
xndx xn1
n 1
y ax a 0, a 1
y ' ax ln a
axdx ax
ln a
y ex
y ' ex
exdx ex
y loga x
a 0, a 1, x 0
y ln x y sin x
(3)求方程 f '(x) =0 的根 (4) 用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，
并列成表格，检查 f / (x) 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么 f(x)在 这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值；如果
我去左人右不也改变就符有号，人那么！f(为x)在U这R个扼根处腕无入极值站内信不存在向你偶同意调剖沙
数学选修 2-2 导数及其应用（定积分）知识点必记
1．函数的平均变化率是什么？
答：平均变化率为 y f f (x2 ) f (x1 ) f (x1 x) f (x1 )
建议收藏下x 载x 本x2文 x1 ，以便x 随时学习！ 注 1：其中 x 是自变量的改变量，可正，可负，可零。
注 2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
g ( x)2
x)
g
'
(
x)
(g(x)
0)
特别地：
g
1
x
'
g g2
'( x)
x
复合函数的导数 微积分基本定理
yx yu ux
b
a
f
xdx
F 'x f x）
（其中
和差的积分运算
b
b
b
a [ f1(x) f2 (x)]dx a f1(x)dx a f2 (x)dx
b
b
kf (x)dx k f (x)dx(k为常数)
定积分的值取正值，且等于 x 轴上方的图形面积；
（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时， 定积分的值取负值，且等于 x 轴上方图形面积的 相反数；
（3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于 位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值 为 0，且等于 x 轴上方图形的面积减去下方的图 形的面积．
12．物理中常用的微积分知识有哪些？ 答：（1）位移的导数为速度，速度的导数为加速 度。 （2）力的积分为功。
f2(x)
fm (x)]dx
b
a f1(x)dx
b a
f2 (x)dx
b
a fm (x)
②推广:
b
f (x)dx
c1 f (x)dx
c2 f (x)dx
b
f (x)dx
a
a
c1
ck
11 定积分的取值情况有哪几种？
答：定积分的值可能取正值，也可能取负值，还
可能是 0. ( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，
9．求曲边梯形的思想和步骤是什么？
答：分割 近似代替 求和 取极限 （“以直代曲”的思想）
10.定积分的性质有哪些？ 根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：
b
性质 1 1dx b a a
性质 5
若 f (x) 0,
x
a,
b，则
b a
f
( x)dx
0
①推广：
b
[
a
f1(x)