高中数学常见题型解法归纳 求定积分的方法
高考数学复习点拨：有关定积分问题的常见题型解析
有关定积分问题的常见题型解析定积分是高中课程中新增加的内容，对函数进行积分运算这类题目占有非常重要的地位，它能解决很多实际应用问题。
在解题时也会出现很多问题，下面研究一下有关定积分的问题的常见题型及注意的一些问题。
题型一 用定义求定积分例1、用定义求dx x 301⎰。
分析：利用定义求定积分可分为四步：分割，近似代替，求和，取极限，按步骤求解 。
解：（1）分割[0，1]：11210=<-<<<<nn n n n n Λ。
（2）作和 nn i n n n n n n n n i 11121131323⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=Λ。
（因为x 3连续，所以i ξ可随意取而不影响极限，故我们此处将i ξ取为[x i ，x 1+i ]的右端点也无妨。
）（3）取极限()41211112413413lim lim lim =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+==⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→=∞→=∞→∑∑n n n i nn n i n n i n n i n 。
（此处用到了求和公式 ()()22333212121⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+++=+++n n n n ΛΛ。
） 因此dx x 301⎰＝41。
评注：求定积分四个步骤：分割、近似代替、求和、取极限，关键环节是求和。
体现的基本思想就是先分后合，化曲为直，通过取极限，形成整体图形的面积。
题型二 利用微积分基本定理求积分例2、求下列定积分：（1）()13031x x dx -+⎰ （2）41dx +⎰ 分析：根据求导数与求原函数互为逆运算，找到被积函数得一个原函数，利用微积分基本公式代入求值。
解：（1）因为3221312x x x x x '⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭， 所以()13031x x dx -+⎰=321102x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=32。
（2121x x =+，312222132x x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 所以41dx +⎰=3229211454326x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭。
定积分的计算方法总结
定积分的计算方法总结导读：定积分1、定积分解决的典型问题（1）曲边梯形的面积（2）变速直线运动的路程2、函数可积的充分条件●定理设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积，即连续=>可积。
●定理设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积。
3、定积分的若干重要性质●性质如果在区间[a,b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0。
●推论如果在区间[a,b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx。
●推论|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx。
●性质设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的'最大值和最小值，则m（b-a）≤∫abf(x)dx≤M（b-a）,该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。
●性质（定积分中值定理）如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一个点ξ，使下式成立：∫abf(x)dx=f(ξ)（b-a）。
4、关于广义积分设函数f(x)在区间[a,b]上除点c（a 定积分的应用1、求平面图形的面积（曲线围成的面积）●直角坐标系下（含参数与不含参数）●极坐标系下（r,θ,x=rcosθ,y=rsinθ）(扇形面积公式S=R2θ/2)●旋转体体积（由连续曲线、直线及坐标轴所围成的面积绕坐标轴旋转而成）（且体积V=∫abπ[f(x)]2dx，其中f(x)指曲线的方程）●平行截面面积为已知的立体体积（V=∫abA（x）dx,其中A（x）为截面面积）●功、水压力、引力●函数的平均值（平均值y=1/(b-a)*∫abf(x)dx）【定积分的计算方法总结】1.定积分计算方法总结2.不定积分的方法总结3.定积分证明题方法总结六篇4.极限的计算方法总结5.不定积分知识点总结6.高中定积分的概念课件7.也谈计息天数的计算方法散文8.《小数加减法的计算方法》教学反思范文上文是关于定积分的计算方法总结，感谢您的阅读，希望对您有帮助，谢谢。
求定积分的四种方法
求定积分的四种方法定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例析定积分计算的几种常用方法．一、定义法例1 用定义法求230x dx ⎰的值.分析：用定义法求积分可分四步：分割，以曲代直，作和，求极限．解：（1）分割：把区间[0，2] 分成n 等分，则△x ＝2n． （2）近似代替：△32()i i i S f x x n ξ⎛⎫=∆=∆ ⎪⎝⎭（3）求和：33111222n n n i i i i i i S x n n n ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆≈∆=• ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑. （4）取极限：S=3332242lim n n n n n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ＝443332244221lim 12lim[(1)]4n n n n n n n →∞→∞⎡⎤+++=⨯+⎣⎦ ＝224(21)lim n n n n→∞++=＝4． ∴230x dx ⎰=4．.评注：本题运用微积分的基本定理法来求非常简单．一般地，其它方法计算定积分比较困难时，用定义法，应注意其四个步骤中的关键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲．二、微积分基本定理法例2 求定积分221(21)x x dx ++⎰的值.分析：可先求出原函数，再利用微积分基本定理求解．解：函数y ＝221x x ++的一个原函数是y ＝323x x x ++．所以.221(21)x x dx ++⎰＝3221()|3x x x ++＝81421133⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝193． 评注：运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数．三、几何意义法例3 求定积分11dx -⎰的值.分析：利用定积分的意义是指曲边梯形的面积，只要作出图形就可求出．解：11dx -⎰表示圆x 2＋y 2＝1在第一、二象限的上半圆的面积．因为2S π=半圆，又在x 轴上方． 所以11dx -⎰＝2π． 评注：利用定积分的几何意义解题，被积函数图形易画，面积较易求出．四、性质法例4 求下列定积分： ⑴44tan xdx ππ-⎰；⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰． 分析：对于⑴用微积分的基本定理可以解决，而⑵的原函数很难找到，几乎不能解决．若运用奇偶函数在对称区间的积分性质，则能迎刃而解．解：由被积函数tan x 及22sin 1x x x +是奇函数，所以在对称区间的积分值均为零．所以⑴ 44tan xdx ππ-⎰＝0；⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰＝0． 评注：一般地，若f (x )在[－a ，a ]上连续，则有性质：①当f (x )为偶函数时，()a a f x dx -⎰＝20()a f x dx ⎰；②当f (x )为奇函数时，()a a f x dx -⎰＝0．。
求定积分的方法
求定积分的方法
定积分的运算是定积分的重要内容，解决这类问题不仅要掌握定积分的几何意义及微积分基本定理，而且还应掌握相应的方法技巧，从而达到事半功倍的效果。
本文举三例说说解决这类问题的常见方法技巧。
一、等价转化法
例1.求定积分dx的值
分析：直接求，很很困难，观察被积函数，可将其拆分，则易于求解。
解：dx=（-）dx = [1nx|21-1n（x+2）|21]
= （-1n2+1n3）= 1n
二、数形结合法
例2.求定积分（-x）dx的值
分析：由定积分的几何意义知（-x）dx 表示的是右图中阴影影的面。
解：（-x）dx 表示圆（x-1）2 + y2 =1
与直线方程y=x所围成的图形（如图示）的面积，
因此= （-x）dx =×12-×1×1=-
三、运用性质法
已知函数f（x）=sin5 x+1，根据函数的性质，定积分的性质和几何意义，探求f（x）dx 的值。
分析：观察题设特点，可利用性质：若函数f（x）是奇函数，即f（-x）=-f （x），则用f（x）dx =0求解
解：由于y=sin5x 为奇函数，所以sin5xdx=0
于是f（x）dx =sin5xdx+dx
=0+x|- = π
故f（x）dx = π。
求解定积分的技巧与方法
求解定积分的技巧与方法求解定积分是高中数学和大学数学中不可避免的一个内容。
对于许多学生和学者来说，求解定积分是一个比较棘手的问题，需要灵活的思维和丰富的数学知识。
本文将为大家介绍一些求解定积分的技巧和方法，帮助大家更好地理解和掌握这一内容。
1. 分段函数法分段函数法是解决经典定积分求解的常用技巧之一。
当我们面对一个比较复杂的积分时，可以尝试将其分解成多个简单的分段函数，进而分别求解。
例如，对于一个形如$y=|x|$ 的函数图像，我们可以将其分区间来讨论，即：当$x\leq0$ 时，$y=-x$，则：$\int_{-1}^{1}|x|\,\mathrm{d}x=\int_{-1}^{0}-x\,\mathrm{d}x+\int_{0}^{1}x\,\mathrm{d}x$当$x>0$ 时，$y=x$，则：$\int_{-1}^{1}|x|\,\mathrm{d}x=\int_{0}^{1}x\,\mathrm{d}x-\int_{-1}^{0}x\,\mathrm{d}x$这样的分段讨论可以使我们更加清晰地理解函数的特性，并且更加方便地求解原函数。
2. 换元法换元法是求解复杂定积分的常用方法之一。
通常我们会利用简单的变量替换，将原积分转化为易于处理的形式。
例如，对于$\int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{1+\sin x}\,\mathrm{d}x$这样的积分，我们可以利用以下替换：设$t=\tan\frac{x}{2}$，则有：$\sin x=\frac{2t}{1+t^{2}},\cos x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}},\mathrm{d}x=\frac{2\mathrm{d}t}{1+t^{2}}$将上述变量替换代入原式中，则有：$\int_{-1}^{1}\frac{2}{1+(2t/(1+t^{2}))}\frac{2\mathrm{d}t}{1+t^{2}}=4\in t_{-1}^{1}\frac{\mathrm{d}t}{1+t^{2}}=4\pi$所以原式的解为$4\pi$。
高二数学 求定积分的四种方法知识点分析 大纲人教版
1 / 1求定积分的四种方法定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例析定积分计算的几种常用方法．一、定义法 例1 用定义法求23x dx ⎰的值.分析：用定义法求积分可分四步：分割，以曲代直，作和，求极限．解：（1）分割：把区间[0，2] 分成n 等分，则△x ＝2n．（2）近似代替：△32()i i i S f x x n ξ⎛⎫=∆=∆ ⎪⎝⎭（3）求和：33111222nnni i i i i i S x n n n ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆≈∆=• ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑.（4）取极限：S=3332242lim n n n n n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦＝443332244221lim 12lim[(1)]4n n n n n n n →∞→∞⎡⎤+++=⨯+⎣⎦ ＝224(21)lim n n n n→∞++=＝4． ∴230x dx ⎰=4．.评注：本题运用微积分的基本定理法来求非常简单．一般地，其它方法计算定积分比较困难时，用定义法，应注意其四个步骤中的关键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲．二、微积分基本定理法 例2 求定积分221(21)x x dx ++⎰的值.分析：可先求出原函数，再利用微积分基本定理求解． 解：函数y ＝221x x ++的一个原函数是y ＝323xx x ++． 所以.221(21)x x dx ++⎰＝3221()|3x x x ++＝81421133⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝193．评注：运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数． 三、几何意义法例3 求定积分11dx -⎰的值.分析：利用定积分的意义是指曲边梯形的面积，只要作出图形就可求出．解：11dx -⎰表示圆x 2＋y 2＝1在第一、二象限的上半圆的面积．因为2S π=半圆，又在x 轴上方．所以11dx -⎰＝2π． 评注：利用定积分的几何意义解题，被积函数图形易画，面积较易求出． 四、性质法例4 求下列定积分：⑴44tan xdx ππ-⎰；⑵22sin 1x xdx x ππ-+⎰． 分析：对于⑴用微积分的基本定理可以解决，而⑵的原函数很难找到，几乎不能解决．若运用奇偶函数在对称区间的积分性质，则能迎刃而解．解：由被积函数tan x 及22sin 1x xx +是奇函数，所以在对称区间的积分值均为零．所以⑴44tan xdx ππ-⎰＝0；⑵22sin 1x xdx x ππ-+⎰＝0． 评注：一般地，若f (x )在[－a ，a ]上连续，则有性质：①当f (x )为偶函数时，()aaf x dx -⎰＝20()af x dx ⎰；②当f (x )为奇函数时，()aaf x dx -⎰＝0．。
计算定积分的方法
计算定积分的方法定积分是微积分中的一个重要概念，用来描述曲线下方的面积。
计算定积分的方法通常包括几何法、零散法、换元法和分部积分法等。
一、几何法几何法是通过几何图形的性质计算定积分。
常用的几何法计算定积分的方法有：1. 面积法：将曲线下方的区域分割成许多个简单几何形状，如矩形、三角形等，然后计算每个几何形状的面积，并将所有面积相加得到总面积。
2. 折线法：将曲线下方的区域近似地用折线连接起来，然后计算每段折线的长度，并将所有长度相加得到总长度。
二、零散法零散法是将曲线下方的面积进行分割求和的方法。
常用的零散法计算定积分的方法有：1. 矩形法：将曲线下方的区域分割成若干个矩形，然后计算每个矩形的面积，并将所有面积相加得到总面积。
2. 梯形法：将曲线下方的区域分割成若干个梯形，然后计算每个梯形的面积，并将所有面积相加得到总面积。
3. 辛普森法则：将曲线下方的区域分割成若干个小区间，在每个小区间上使用二次多项式逼近曲线，然后使用辛普森公式进行近似计算。
三、换元法换元法是通过变量替换的方式将复杂的积分转化成简单的积分，从而简化计算。
常用的换元法计算定积分的方法有：1. 对换元法：将被积函数中的自变量替换成新的自变量，通过求出新的积分变量和原积分变量的关系，将原来的积分变量带入进行计算。
2. 三角换元法：将被积函数中的自变量表示成三角函数形式，通过选择合适的三角变换，将原函数转化成更简单的形式进行计算。
四、分部积分法分部积分法是微积分中的一个重要定理，可以将一个积分问题转化为另一个积分问题，从而简化计算。
常用的分部积分法计算定积分的方法有：1. 正比换元法：将被积函数中的一项作为导数，另一项作为原函数，通过求出原函数和导数的关系，将积分变换为另一个积分。
2. 对数换元法：将被积函数中的一项取导数，另一项取倒数，通过求出导数和倒数的关系，将积分变换为另一个积分。
以上是计算定积分的常用方法，通过几何法、零散法、换元法和分部积分法可以解决各种类型的定积分计算问题。
求定积分的四种方法
求定积分的四种方法定积分是微积分中的重要概念之一，可以用不同的方法来求解。
下面将介绍四种常用的方法：基本函数法、换元法、分部积分法和定积分的性质。
第一种方法是基本函数法。
基本函数法是指利用基本函数的积分表达式求解定积分。
在基本函数法中，通过查表或记忆基本函数的积分公式，将被积函数转化为基本函数的积分形式，从而求解定积分。
例如，要求解$\int (x^2+2x+1)dx$，可以将被积函数分解为$(x^2+2x+1)=x^2+2x+1=\frac{1}{3}x^3+x^2+x$，由基本函数的积分表达式，可知$\int x^3dx=\frac{1}{4}x^4+C_1$，$\intx^2dx=\frac{1}{3}x^3+C_2$，$\int xdx=\frac{1}{2}x^2+C_3$。
因此，$\int (x^2+2x+1)dx=\frac{1}{3}x^3+x^2+x+C$，其中C为常数。
第二种方法是换元法。
换元法是指通过变量代换，将原来的积分转化为更简单的形式。
在换元法中，通过选择合适的变量代换来使被积函数的形式简化，然后求解新变量下的积分，最后再将变量代换回原来的变量。
例如，要求解$\int \frac{1}{(x+1)^2}dx$，可以令$u=x+1$，则有$du=dx$。
将变量代换后的积分形式$\int \frac{1}{u^2}du$，由基本函数的积分表达式可得$\int \frac{1}{u^2}du=-\frac{1}{u}+C=-\frac{1}{x+1}+C$，其中C为常数。
最后将变量代换回原来的变量，得到$\int \frac{1}{(x+1)^2}dx=-\frac{1}{x+1}+C$。
第三种方法是分部积分法。
分部积分法是指利用函数的乘积积分的性质，将原来的积分转化为两个函数的乘积积分的形式。
在分部积分法中，通过选择乘法中的两个函数，并将被积函数分解为这两个函数的乘积形式，然后利用乘积积分公式求解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高中数学常见题型解法归纳 求定积分的方法
【知识要点】 一、曲边梯形的定义
我们把由直线,,0x a x b y ===和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形. 二、曲边梯形的面积的求法
分割→近似代替（以直代曲）→求和→取极限 三、定积分的概念
一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点
0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L
将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x D （b a
x n
-D =），在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点()1,2,,i i n x =L ，作和式：1
1
()()n
n
n i
i i i b a
S f x x f n ξ==-=
∆=∑∑
如果x D 无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数
()f x 在区间[,]a b 上的定积分.记为：()b
a
S f x dx =⎰，
其中
⎰
是积分号，b 是积分上限，a 是积分下限，()f x 是被积函数，x 是积分变量，[,]a b 是积分区间，()f x dx
是被积式.
说明：（1）定积分
()b
a
f x dx ⎰
是一个常数，可以是正数，也可以是负数，也可以是零，即n S 无限趋
近的常数S （n →+∞时）记为
()b
a
f x dx ⎰
，而不是n S ．
（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③
求和：1
()n
i i b a
f n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞=-=∑⎰ 四、定积分的性质
根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： 性质1()()()b
b
a a
kf x dx k f x dx k =⎰⎰为常数（定积分的线性性质）；
性质2
1212[()()]()()b
b b
a
a
a
f x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰
⎰⎰（定积分的线性性质）；
性质3()()()()b
c b
a
a
c
f x dx f x dx f x dx a c b =+<<⎰
⎰⎰其中（定积分对积分区间的
可加性）
五、定积分的几何意义
（1）从几何上看，如果在区间[],a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ≥，那么定积分()b
a
f x dx ⎰表示由
直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积.
（2）从几何上看，如果在区间[],a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ≤，那么定积分()b
a
f x dx ⎰表示由
直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积的相反数.
（3）从几何上看，如果在区间[],a b 上函数()f x 连续，且函数()y f x =的图像有一部分在x 轴上方，有一部分在x 轴下方，那么定积分
()b
a
f x dx ⎰表示x 轴上方的曲边梯形的面积减去下方的曲边梯形的面积.
（4）图中阴影部分的面积S=
1
2
[()()]b
a
f x f x dx -⎰
六、微积分基本定理
一般地，如果()f x 是区间[,]a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，那么()()()b
a
f x dx F b F a =-⎰，
这个结论叫做微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼茨公式.为了方便，我们常把()()F b F a -记成()b
a
F x ，
即
()()()()b
b a a
f x dx F x F b F a ==-⎰
.
计算定积分的关键是找到满足()()F x f x '=的函数()F x . 七、公式
（1） 1
()cx c = （2）1
(sin )cos x x = （3）1
(cos )sin x x -=
( 4)11
(
)(1)1
n n m x mx n n +=≠-+ (5)(ln )a a x x '=； (6) x x e e =')(
（7）1(sin 2)cos 22x x ¢= （8）1(ln(x 1))1
x ¢+=+
八、求定积分的方法
(1)代数法： 利用微积分基本原理求；（2）几何法：数形结合利用面积求.
【方法讲评】
【例1】 定积分
1
1
(||1)x dx --ò
的值为____________.
【点评】本题要先利用定积分的性质化简，再利用微积分基本原理求解. 【反馈检测1】220
sin 2
x dx π
=⎰ ．
【反馈检测2】若)(x f 在R 上可导,3)2('2)(2
++=x f x x f ,则
3
()f x dx =⎰
( )
A ．16
B ．18-
C ．24-
D ．54
【例2】计算
10
(1dx +⎰
的结果为（ ）.
A ．1
B ．4
π C ．14π+ D ．12π+
【解析】先利用定积分的几何意义求
dx x ⎰
-1
21：令)10(12≤≤-=x x y ，即
)0,10(12
2
≥≤≤=+y x y x 表示单位圆的41（如图）
，dx x ⎰-102
1即是4
1圆面积，即4π；所以 1
(1dx +⎰
=4
1111
21
π
+
=-+
⎰
⎰
dx x dx .
【点评】（1）本题中函数1y =所以先利用定积分的性质化简原式，再利用数形结合分析解答.（2）利用数形结合分析解答时，主要变量的范围，不要扩大了变量的范围，导致扩大了平面区域.)10(12≤≤-=x x y ，即)0,10(122≥≤≤=+y x y x 表示单位圆的
4
1
（如图），不是右半圆或整个圆.(3)等价转化是数学里的重要数学思想，它要求我们在每一步的变形和推理时，都必须注意等价变换.
【反馈检测3】3
1
3)___________
dx =⎰
参考答案
【反馈检测1答案】
14
2
π
-
【反馈检测1详细解析】
⎰
⎰⎰⎰-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=20
2020202
2cos 212cos 212sin π
πππ
dx x dx dx x dx x 2140214|sin 21|22
020-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=ππππx x 【反馈检测2答案】18-
【反馈检测3答案】263
π 【反馈检测3详细解析】
由于3
13)dx =ò1
⎰
+3
1
3dx ⎰．
其中
1
⎰
值相当于（2，0）为圆心，以2为半径的圆在x 从1到3部分与x 轴所围成的图形
的面积的大小，即图中阴影部分的面积．
故其值是S △ACQ +S 扇形ABQ +S △BDQ =
21112
1212623
ππ⨯⨯⨯+⨯=+
又313dx ⎰=6，∴313)dx =ò2
63π+ ．
故答案为：2
63
π．。