存在与恒成立问题
恒成立与存在性问题的解题策略
“恒成立问题”与“存在性问题”的基本解题战略之袁州冬雪创作一、“恒成立问题”与“存在性问题”的基本类型 恒成立、能成立、恰成立问题的基本类型 1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立⇒()max a f x >；()()min a f x a f x ≤⇒≤恒成立2、能成立问题的转化：()a f x >能成立⇒()mina f x >；()()max a f x a f x ≤⇒≤能成立3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立⇔()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ⎧>⎪⇔⎨≤⎪⎩在上恒成立在上恒成立另外一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max .4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min min ≥5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤8、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f =，设f(x)在区间[a,b]上的值域为A ，g(x)在区间[c,d]上的值域为B,则A B.9、若不等式()()>在区间D上恒成立，则等价于在区间D上f xg x函数()y g x=图象上方；=和图象在函数()y f x10、若不等式()()<在区间D上恒成立，则等价于在区间Df xg x上函数()=图象下方；y g xy f x=和图象在函数()恒成立问题的基本类型在数学问题研究中常常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题.函数在给定区间上某结论成立问题,其表示形式通常有:在给定区间上某关系恒成立;某函数的定义域为全体实数R;某不等式的解为一切实数;某表达式的值恒大于a等等…恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形连系、函数与方程等思想方法，有利于考察学生的综合解题才能，在培养思维的矫捷性、创造性等方面起到了积极的作用.因此也成为积年高考的一个热点.恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质；⑤直接根据函数的图象.二、恒成立问题处理的基本战略大家知道，恒成立问题分等式中的恒成立问题和不等式中的恒成立问题.等式中的恒成立问题，特别是多项式恒成立问题，常简化为对应次数的系数相等从而建立一个方程组来处理问题的.（一）两个基本思想处理“恒成立问题”思路1、max )]([)(x f m D x x f m ≥⇔∈≥上恒成立在 思路2、min )]([)(x f m D x x f m ≤⇔∈≤上恒成立在如何在区间D 上求函数f(x)的最大值或者最小值问题,我们可以通过习题的实际,采纳合理有效的方法停止求解,通常可以思索操纵函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导等等方法求函数f （x ）的最值.这类问题在数学的学习涉及的知识比较广泛，在处理上也有许多特殊性，也是近些年来高考中频频出现的试题类型，希望同学们在日常学习中注意积累.（二）、赋值型——操纵特殊值求解等式恒成立问题等式中的恒成立问题，经常常使用赋值法求解，特别是对处理填空题、选择题能很快求得.例1．如果函数y=f(x)=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=8π-对称，那末a=（）.A.1B.-1 C .2 D. -2.略解：取x=0及x=4π-，则f(0)=f(4π-),即a=-1，故选B. 此法体现了数学中从一般到特殊的转化思想. 例（备用）．由等式x4+a1x3+a2x2+a3x+a4=(x+1)4+b1(x+1)3+ b2(x+1)2+b3(x+1)+b4 定义映射f ：(a1,a2,a3,a4)→b1+b2+b3+b4,则f ：(4,3,2,1) → ( )略解：取x=0，则 a4=1+b1+b2+b3+b4,又 a4=1,所以b1+b2+b3+b4 =0 ，故选D（三）分清基本类型，运用相关基本知识，掌控基本的解题战略1、一次函数型：若原题可化为一次函数型,则由数形连系思想操纵一次函数知识求解,十分简捷给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于0)(0)(>>n f m f 同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0， 则有)(0)(<<n f m f求使不等式x 关键在于该把哪一个字母当作是一个变量，另外一个作为常数.显然可将a 视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于a 的一次函数大于0恒成立的问题.解：原不等式转化为(x-1)a+x2-2x+1>0在|a|≤2时恒成立,设f(a)= (x-1)a+x2-2x+1,则f(a)在[-2,2]上恒大于0，故有：⎩⎨⎧>>-0)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧>->+-0103422x x x 解得：⎩⎨⎧-<><>1113x x x x 或或∴x<-1或x>3. 即x∈(－∞,－1)∪(3,+∞)此类题实质上是操纵了一次函数在区间[m,n]上的图象是一线段，故只需包管该线段两头点均在x 轴上方（或下方）即可.2、二次函数型涉及到二次函数的问题是复习的重点，同学们要加强学习、归纳、总结，提炼出一些详细的方法，在此后的解题中自觉运用.（1）若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)大于0恒成立，则有00<∆>且a（2）若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，可以操纵韦达定理以及根的分布知识求解.类型1：设)0()(2≠++=a c bx ax x f 在R 上恒成立，（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a .类型2：设)0()(2≠++=a c bx ax x f 在区间],[βα上恒成立（1）当>a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧>>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a ba b f a b 或或， ],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎩⎨⎧<<⇔0)(0)(βαf f（2）当0<a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎩⎨⎧>>⇔0)(0)(βαf f],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧<>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a ba b f a b 或或 类型3：设)0()(2≠++=a c bx ax x f 在区间 (-∞ , ]上恒成立. f(x)>0a>0且<0或-b/2a>且f()>0 f(x)<0a<0且<0或-b/2a>且f()<0类型4：设)0()(2≠++=a c bx ax x f 在区间 [，+∞)上恒成立. f(x)>0a>0,<0或-b/2a<且f()>0 f(x)<0a<0,<0或-b/2a<且f()<0例3． 若函数12)1()1()(22++-+-=a x a x a x f 的定义域为R ，求实数 a 的取值范围.分析：该题就转化为被开方数012)1()1(22≥++-+-a x a x a 在R 上恒成立问题，而且注意对二次项系数的讨论.解：依题意，当时，R x ∈012)1()1(22≥++-+-a x a x a 恒成立， 所以，①当,1,01,01{,0122=≠+=-=-a a aa 时，即当此时.1,0112)1()1(22=∴≥=++-+-a a x a x a ②当时，时，即当012)1(4)1(,01{012222≤+---=∆>-≠-a a a a a有,91,09101{22≤<⇒≤+->a a a a 综上所述，f(x)的定义域为R 时，]9,1[∈a2()3f x x ax a =++-，在R 上()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.分析：()y f x =的函数图像都在X 轴及其上方，如右图所示：略解：()22434120a a a a ∆=--=+-≤62a ∴-≤≤ 变式1：若[]2,2x ∈-时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.解析一. （零点分布战略） 本题可以思索f(x)的零点分布情况停止分类讨论，分无零点、零点在区间的左侧、零点在区间的右侧三种情况，即Δ≤0或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥--≤->∆0)2(0)2(22f f a 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥-≥->∆0)2(0)2(22f f a ，即a 的取值范围为[-7，2].解法二分析：（运用二次函数极值点的分布分类讨论）要使[]2,2x ∈-时，()0f x ≥恒成立，只需)(x f 的最小值0)(≥a g 即可.略解：（分类讨论）22()324a a f x x a ⎛⎫=+--+ ⎪⎝⎭，令()f x 在[]2,2-上的最小值为()g a .⑴当22a -<-，即4a >时，()(2)730g a f a =-=-≥73a ∴≤ 又4a >a ∴不存在.⑵当222a -≤-≤，即44a -≤≤时，2()()3024a a g a f a ==--+≥62a ∴-≤≤又44a -≤≤42a ∴-≤≤⑶当22a->，即4a <-时，()(2)70g a f a ==+≥7a ∴≥- 又4a <-74a ∴-≤<- 综上所述，72a -≤≤.变式2：若[]2,2x ∈-时，()2f x ≥恒成立，求a 的取值范围. 解法一：分析：题目中要证明2)(≥x f 在[]2,2-上恒成立，若把2移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间[]2,2-时恒大于等于0的问题.例2 已知a ax x x f -++=3)(2，若0)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立，求a 的取值范围.略解：2()320f x x ax a =++--≥，即2()10f x x ax a =++-≥在[]2,2-上成立.⑴()2410a a ∆=--≤22a ∴--≤≤-+⑵24(1)0(2)0(2)02222a a f f a a ⎧∆=-->⎪≥⎪⎪⎨-≥⎪⎪-≥-≤-⎪⎩或2225--≤≤-∴a 综上所述，2225-≤≤-a .解法二：（运用二次函数极值点的分布）⑴当22a -<-，即4a >时，()(2)732g a f a =-=-≥()54,3a ∴≤∉+∞a∴不存在.⑵当222a -≤-≤，即44a -≤≤时，2()()3224a a g a f a ==--+≥，⑶当22a ->，即4a <-时，()(2)72g a f a ==+≥，综上所述2225-≤≤-a .此题属于含参数二次函数，求最值时，对于轴变区间定的情形，对轴与区间的位置停止分类讨论；还有与其相反的，轴动区间定，方法一样.对于二次函数在R 上恒成立问题往往采取辨别式法（如例4、例5），而对于二次函数在某一区间上恒成立问题往往转化为求函数在此区间上的最值问题 3、变量分离型若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另外一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的双方，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解.运用不等式的相关知识不难推出如下结论：若对于x 取值范围内的任何一个数都有f(x)>g(a)恒成立，则g(a)<f(x)min;若对于x 取值范围内的任何一个数，都有f(x)<g(a)恒成立，则g(a)>f(x)max.(其中f(x)max 和f(x)min 分别为f(x)的最大值和最小值)例 5.已知三个不等式①0342<+-x x ，②0862<+-x x ，③0922<+-m x x ．要使同时知足①②的所有x 的值知足③，求m 的取值范围.略解：由①②得2<x<3,要使同时知足①②的所有x 的值知足③,即不等式0922<+-m x x 在)3,2(∈x 上恒成立，即)3,2(922∈+-<x x x m 在上恒成立，又，上大于在9)3,2(922∈+-x x x所以 9≤m例6. 函数)(x f 是奇函数，且在]1,1[-上单调递增，又1)1(-=-f ，若12)(2+-≤at t x f 对所有的]1,1[-∈a 都成立，求t 的取值范围 .解：据奇函数关于原点对称，,1)1(=f又1)1()(]1,1[)(max ==-f x f x f 上单调递增在12)(2+-≤at t x f 对所有的]1,1[-∈a 都成立.因此，只需122+-at t 大于或等于上在]1,1[)(-x f 的最大值1， 都成立对所有又]1,1[-∈a ，即关于a 的一次函数在[-1，1]上大于或等于0恒成立，即：),2[}0{]2,(+∞--∞∈ t操纵变量分离处理恒成立问题，主要是要把它转化为函数的最值问题补例． 已知()||,=-+∈R f x x x a b x ．若0b <，且对任何[]0,1x ∈不等式()0f x <恒成立，求实数a 的取值范围．解：当0x =时，a 取任意实数，不等式()0f x <恒成立， 故只需思索(]0,1x ∈，此时原不等式变成||b x a x--< 即b b x a x x x+<<- 故(]max min ()(),0,1b b x a x x x x+<<-∈ 又函数()b g x x x =+在(]0,1上单调递增，所以max ()(1)1b x g b x+==+； 对于函数(](),0,1b h x x x x=-∈ ①当1b <-时，在(]0,1上()h x 单调递减，min ()(1)1b x h b x-==-，又11b b ->+，所以，此时a 的取值范围是(1,1)b b +-．②当10b -≤<，在(]0,1上，()b h x x x =-≥ 当x =min ()b x x-=a 存在，必须有110b b ⎧+<⎪⎨-≤<⎪⎩ 即13b -≤<，此时a 的取值范围是(1b +综上，当1b <-时，a 的取值范围是(1,1)b b +-；当13b -≤<时，a 的取值范围是(1b +；当2230b -≤<时，a 的取值范围是∅． 4、根据函数的奇偶性、周期性等性质 若函数f(x)是奇(偶)函数，则对一切定义域中的x ,f(-x)=-f(x)(f(-x)=f(x))恒成立；若函数y=f(x)的周期为T ，则对一切定义域中的x,f(x)=f(x+T)恒成立.5、直接根据图象断定若把等式或不等式停止合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号双方函数的图象，则可以通过画图直接断定得出成果.尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷.例7. a a x x x 恒成立，求实数，不等式对任意实数>--+21的取值范围.分析：设y=|x+1|-|x-2|,恒成立，不等式对任意实数a x x x >--+21即转化为求函数y=|x+1|-|x-2|的最小值，画出此函数的图象即可求得a 的取值范围.解：令⎪⎩⎪⎨⎧≥<<---≤-=--+=2321121321x x x x x x y在直角坐标系中画出图象如图所示，由图象可看出，要使a x x x >--+21，不等式对任意实数恒成立，只需3-<a .故实数.3）-∞a的取值范围是（-，注：本题中若将a--1改为对任意实数>+2，不等式axxx恒成立，求实数，同样由图象可得①a--对任意实数<1+2axxx恒成立，求实数，不等式a>3;②a-对任意实数>+21,构造函数，画出+a，不等式xx恒成立，求实数x图象，得a<3.操纵数形连系处理恒成立问题，应先构造函数，作出符合已知条件的图形，再思索在给定区间上函数与函数图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范围.例8. 设常数a∈R,函数f(x)=3|x|+|2x-a|,g(x)=2-x.若函数y=f(x)与y=g(x)的图像有公共点，则a的取值范围为.解：1）a<=0x<=a/2<=0时，f(x)=-3x+(-2x+a)=-5x+aa/2<=x<=0时，f(x)=-3x+(2x-a)=-x-ax>=0时，f(x)=3x+(2x-a)=5x-a，最小值为-a<=2则与g(x)有交点，即：-2<=a<=0.2）a>0x<=0时，f(x)=-3x+(-2x+a)=-5x+a0<=x<=a/2时，f(x)=3x+(-2x+a)=x+ax>=a/2时，f(x)=3x+(2x-a)=5x-a最小值a<=2时与g(x)有交点，即：0<a<=2综上所述，-2<=a<=2时f(x)=3|x|+|2x-a|与g(x)=2-x 有交点.三、在恒成立问题中，主要是求参数的取值范围问题，是一种热点题型，先容一些基本的解题战略，在学习中学会把问题分类、归类，熟练基本方法.（一）换元引参，显露问题实质1、对于所有实数x ，不等式恒成立，求a 的取值范围.解：因为的值随着参数a 的变更而变更，若设， 则上述问题实质是“当t 为何值时，不等式恒成立”.这是我们较为熟悉的二次函数问题，它等价于求解关于t 的不等式组：. 解得，即有，易得. 2、设点P （x ，y ）是圆4)1(22=-+y x 上任意一点，若不等式x+y+c ≥0恒成立，求实数c 的取值范围.（二）分离参数，化归为求值域问题3、若对于任意角总有成立，求m 的范围.解：此式是可分离变量型，由原不等式得， 又，则原不等式等价变形为恒成立. 根据鸿沟原理知，必须小于2cos cos )(2+=θθθf 的最小值，这样问题化归为怎样求的最小值.因为2cos cos )(2+=θθθf 即时，有最小值为0，故.（三）变动主元，简化解题过程4、若对于，方程都有实根，求实根的范围.解：此题一般思路是先求出方程含参数m 的根，再由m 的范围来确定根x 的范围，但这样会遇到很多费事，若以m 为主元，则，由原方程知，得 又，即解之得或.5、当1≤a 时，若不等式039)6(2>-+-+a x a x 恒成立，求x 的取值范围.（四）图象解题，形象直观6、设]40(，∈x ，若不等式ax x x >-)4(恒成立，求a 的取值范围. 解：若设)4(1x x y -=，则为上半圆.设，为过原点，a 为斜率的直线. 在同一坐标系内 作出函数图象依题意，半圆恒在直线上方时，只有时成立，即a 的取值范围为. 7、当x ∈(1,2)时，不等式(x-1)2<logax 恒成立，求a 的取值范围.解：设y1=(x-1)2,y2=logax,则y1的图象为右图所示的抛物线要使对一切x ∈ (1,2),y1<y2恒成立，显然a>1,而且必须也只需当x=2时y2的函数值大于等于y1的函数值.故loga2>1, ∴ 1<a <2.8、已知关于x 的方程lg(x2+4x)-lg(2x-6a-4)=0有唯一解，求实数a 的取值范围.分析：方程可转化成lg(x2+4x)=lg(2x-6a-4),从而得x2+4x=2x-6a-4>0,注意到若将等号双方当作是二次函数y= x2+4x 及一次函数y=2x-6a-4，则只需思索这两个函数的图象在x 轴上方恒有唯一交点即可.解：令y1=x2+4x=（x+2）2-4,y2=2x-6a-4,y1的图象为一个定抛物线 y2的图象是k=2，而截距不定的直线，要使y1和y2在x 轴上方有唯一交点，则直线必须位于l1和l2之间.（包含l1但不包含l2）当直线为l1时，直线过点（-4，0），此时纵截距为-8-6a-4=0,a=2-;当直线为l2时，直线过点（0，0），纵截距为-6a-4=0，a=32-∴a 的范围为)32,2[-- （五）合理联想，运用平几性质9、不管k 为何实数，直线与曲线恒有交点，求a 的范围.分析：因为题设中有两个参数，用解析几何中有交点的实际将二方程联立，用辨别式来解题是比较坚苦的.若思索到直线过定点A （0，1），而曲线为圆,圆心C （a ，0），要使直线恒与圆有交点，那末定点A(0,1)必在圆上或圆内. 解：，C （a ，0），当时，联想到直线与圆的位置关系，则有点A （0，1）必在圆上或圆内，即点A （0，1）到圆心间隔不大于半径，则有，得.（六）分类讨论，防止重复遗漏10、当时，不等式恒成立，求x 的范围. 解：使用的条件，必须将m 分离出来，此时应对停止讨论.①当时，要使不等式恒成立，只要， 解得. ②当时，要使不等式恒成立，只要，解得. ③当时，要使恒成立，只有. 综上①②③得. 解法2：可设，用一次函数知识来解较为简单.我们可以用改变主元的法子，将m 视为主变元，即将元不等式化为：0)12()1(2<---x x m ，；令)12()1()(2---=x x m m f ，则22≤≤-m 时，0)(<m f 恒成立，所以只需⎩⎨⎧<<-0)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧<---<----0)12()1(20)12()1(222x x x x ，所以x 的范围是)231,271(++-∈x .此类题实质上是操纵了一次函数在区间[m,n]上的图象是一线段，故只需包管该线段两头点均在x 轴上方（或下方）即可.11、当31<<x 时，不等式0622>+-ax x 恒成立，求实数a 的取值范围. 解：xx a 32+< 当31<<x 时，623232=≥+x x ，当x x 32=，即6=x 时等号成立. 故实数a 的取值范围:6<a（七）构造函数，体现函数思想12、（1990年全国高考题）设，其中a 为实数，n 为任意给定的自然数，且，如果当时有意义，求a 的取值范围.解：本题即为对于，有恒成立. 这里有三种元素交织在一起，布局复杂，难以下手，若思索到求a 的范围，可先将a 分离出来，得，对于恒成立. 构造函数，则问题转化为求函数在上的值域.由于函数在上是单调增函数，则在上为单调增函数.于是有的最大值为：，从而可得.（八）操纵集合与集合间的关系在给出的不等式中，若能解出已知取值范围的变量，便可操纵集合与集合之间的包含关系来求解，即：[]()(),,m n f a g a ⊂⎡⎤⎣⎦，则()f a m ≤且()g a n ≥，不等式的解即为实数a 的取值范围.例13、当1,33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，log 1a x <恒成立，求实数a 的取值范围. 解：1log 1a x -<<（1） 当1a >时，1x a a <<，则问题转化为11,3,3a a ⎛⎫⎛⎫⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3113a a ≥⎧⎪∴⎨≤⎪⎩3a ∴≥ （2） 当01a <<时，1a x a <<，则问题转化为11,3,3a a ⎛⎫⎛⎫⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1313a a⎧≤⎪⎪∴⎨⎪≥⎪⎩103a ∴<≤ 综上所得：103a <≤或3a ≥ 四、其它类型恒成立问题能成立问题有时是以不等式有解的形式出现的.1、已知函数12)(2+-=ax x x f ，xa x g =)(，其中0>a ，0≠x ． 对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；【分析：】思路、对在分歧区间内的两个函数)(x f 和)(x g 分别求最值，即只需知足)()(max min x g x f >即可．简解：令n(a)=gmax(x)=a/2；令m(a)=fmin(x),f(x)=(x-a)2+1-a2,故(1)对称轴x=a<1，即或0<a<1时，m(a)= fmin(x)=f(1)=2-2a ，由m(a)>n(a) 解得a<4/5,（注意到a 的范围）从而得a 的范围：0<a<4/5;(2)对称轴x=a>2时，m(a)= fmin(x)=f(2)=5-4a ，由m(a)>n(a) 解得a<10/9,（注意到a 的范围）从而得a 无解：;(3)对称轴x=a∈[1,2]时，m(a)= fmin(x)=f(a)=2-2a ，由m(a)>n(a) 解得4171+->a 或4171--<a ，（注意到a 的范围）从而得a的范围21≤<a ：;; 综合（1）（2）（3）知实数a 的取值范围是：(0，4/5)∪[1,2]2、已知两函数2)(x x f =，m x g x -⎪⎭⎫ ⎝⎛=21)(，对任意[]2,01∈x ，存在[]2,12∈x ，使得()21)(x g x f ≥，则实数m 的取值范围为解析：对任意[]2,01∈x ，存在[]2,12∈x ，使得()21)(x g x f ≥等价于m x g x -⎪⎭⎫ ⎝⎛=21)(在[]2,1上的最小值m -41不大于2)(x x f =在[]2,0上的最小值0，既041≤-m ，∴41≥m题型二、主参换位法(已知某个参数的范围，整理成关于这个参数的函数)题型三、分离参数法（欲求某个参数的范围，就把这个参数分离出来）题型四、数形连系（恒成立问题与二次函数接洽（零点、根的分布法））五、不等式能成立问题（有解、存在性）的处理方法 若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x A >成立,则等价于在区间D 上()max f x A >；若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x B <成立,则等价于在区间D 上的()min f x B <.1、存在实数x ，使得不等式2313x x a a ++-≤-有解，则实数a 的取值范围为______.解：设()31f x x x =++-，由()23f x a a ≤-有解，()2min 3a a f x ⇒-≥， 又()()31314x x x x ++-≥+--=，∴234a a -≥，解得41a a ≥≤-或.1、求使关于p 的不等式x p px x 212+<++在p∈[-2,2]有解的x 的取值范围.解：即关于p 的不等式012)1(2<+-+-x x p x 有解,设()()2121f p x p x x =-+-+，则()f p 在[-2,2]上的最小值小于0.(1)当x>1时，f(p)关于p 单调增加，故fmin(p)=f(-2)=x2-4x+3<0,解得1<x<3;2222(2) 当x<1时，f(p)关于p 单调减少，故fmin(p)=f(2)=x2-1<0,解得-1<x<1；(3)当x=1时，f(p)=0,故fmin(p)=f(p)<0不成立.综合（1）（2）（3）知实数x 的取值范围是：(-1，1)∪(1,3) 例、设命题P:x1,x2是方程x2-ax-2=0的二个根，不等式|m2-5m-3|≥|x1-x2|对任意实数a∈[-1,1]恒成立；命题Q ：不等式|x-2m|-|x|>1(m>0)有解；若命题P 和命题Q 都是真命题，求m 的值范围.解：(1)由P 真得：8||221+=-a x x ，注意到a 在区间[-1,1], 3||max 21=-x x ,由于|m2-5m-3|≥|x1-x2|对任意实数a∈[-1,1]恒成立，故有3|||35|max 212=-≥--x x m m解得： m≤-1或m≥6或0≤m≤5(1)由Q 真，不等式|x-2m|-|x|>1(m>0)有解，得（|x-2m|-|x|）max=2m>1,解得：m>1/2由于（1）（2）都是相公命题，故m 的值范围：1/2<m≤5或m≥6. ［举例］（1）已知不等式0224>+⋅-x x a 对于+∞-∈,1[x ）恒成立，求实数a 的取值范围.（2）若不等式0224>+⋅-x x a 对于]3,(-∞∈a 恒成立，求实数x 的取值范围.分析：（1）由0224>+⋅-x x a 得：x x a 222+<对于+∞-∈,1[x ）恒成立，因212≥x ，所以22222≥+x x ，当22=x 22<a . （2）注意到0224>+⋅-x x a 对于]3,(-∞∈a 恒成立是关于a )24(2)(++⋅-=x x a a f ，则)(a f 在]3,(-∞∈a 上单调递减，则问题等价于0)3(>f ，所以2202234>⇒>+⋅-x x x 或12<x ，则x 取值范围为),1()0,(+∞-∞ .小结：恒成立与有解的区别：恒成立和有解是有分明区此外，以下充要条件应细心思考，甄别差别，恰当使用，等价转化，切不成混为一体.①不等式()f x M <对x I ∈时恒成立max ()f x M•⇔<，x I ∈.即()f x 的上界小于或等于M ；②不等式()f x M <对x I ∈时有解min ()f x M•⇔<，x I ∈. 或()f x 的下界小于或等于M ；③不等式()f x M >对x I ∈时恒成立min ()f x M•⇔>，x I ∈.即()f x 的下界大于或等于M ；④不等式()f x M >对x I ∈时有解max()f x M ⇔>，x I ∈.. 或()f x 的上界大于或等于M ； 高中数学难点强化班第四讲（140709）课后操练答案：一．填空选择题（每小题6分，共60分）1、对任意的实数x ，若不等式a x x >--+21恒成立，那末实数a 的取值范围.答案：|x+1|-|x-2| -|(x+1)-(x-2)|=-3,故实数a 的取值范围：a<-32、不等式2sin 4sin 10x x a -+-<有解，则a 的取值范围是解：原不等式有解()()22sin 4sin 1sin 231sin 1a x x x x ⇒>-+=---≤≤有解，而()2minsin 232x ⎡⎤--=-⎣⎦，所以2a >-. x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）(A)1a <- (B)||1a ≤ (C)||1a < （D ）1a ≥ 解析：对∀x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立 则由一次函数性质及图像知11a -≤≤，即||a 答案：选B 4．当(1,2)x ∈时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是. 解析: 当(1,2)x ∈时，由240x mx ++<得24x m x +<-.令244()x f x x x x+==+，则易知()f x 在(1,2)上是减函数，所以[1,2]x ∈时()(1)5max f x f ==，则2min 4()5x x+->-∴5m ≤-. 5．已知不等式223(1)1ax x a x x a -++>--+对任意(0)a ∈+∞，都成立，那末实数x 的取值范围为．分析：已知参数a 的范围，要求自变量x 的范围，转换主参元x 和a 的位置，构造以a 为自变量x 作为参数的一次函数()g a ，转换成∀(0)a ∈+∞，，()0g a >恒成立再求解. ax y x解析：由题设知“223(1)1ax x a x x a -++>--+对∀(0)a ∈+∞，都成立，即22(2)20a x x x +-->对∀(0)a ∈+∞，都成立.设22()(2)2g a x a x x =+--（a R ∈），则()g a 是一个以a 为自变量的一次函数.220x +>恒成立，则对∀x R ∈，()g a 为R 上的单调递增函数. 所以对∀(0)a ∈+∞，，()0g a >恒成立的充分需要条件是(0)0g ≥，220x x --≥，∴20x -≤≤，于是x 的取值范围是{|20}x x -≤≤.6．已知函数()()()22241,f x mx m x g x mx =--+=，若对于任一实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是（ )A ．(0，2)B ．(0，8)C ．(2，8)D ．(－∞，0)分析：()f x 与()g x 的函数类型，直承受参数m 的影响，所以首先要对参性质及图像解题.解析：当0m =时，()810f x x =-+>在1(,)8-∞在R 上恒成立，显然不知足题意；(如图1) 当0m <时，()g x 在R 上递减且()0g x mx =>只在(-∞而()f x 是一个启齿向下且恒过定点（0，1知足题意.当0m >时，()g x 在R 上递增且()0g x mx =>在(0,)+∞上恒成立， 而()f x 是一个启齿向上且恒过定点（0，1）的二次函数，要使对任一实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数则只需()0f x >在(,0]-∞上 恒成立.(如图3) 则有24024(4)80m m m m -⎧<⎪⎨⎪∆=--<⎩或402m m -≥解得48m <<或04m <≤， 综上可得08m <≤即(0,8)m ∈. 故选B.７、已知两函数()2728f x x x c =--，g(x)=6x2-24x+21.（1）对任意[]3,3x ∈-，都有()()f x g x ≤成立，那末实数c 的取值范围 c≥0 ；（2）存在[]3,3x ∈-，使()()f x g x ≤成立，那末实数c 的取值范围 c≥-25；（3）对任意[]12,3,3x x ∈-，都有()()12f x g x ≤，那末实数c 的取值范围 c≥150 ；（4）存在[]12,3,3x x ∈-，都有()()12f x g x ≤，那末实数c 的取值范围 c≥-175 ；解析：（1）设()()()322312h x g x f x x x x c =-=--+，问题转化为[]3,3x ∈-时，()0h x ≥恒成立，故()min 0h x ≥.令()()()266126120h x x x x x '=--=+-=，得1x =-或2.由导数知识，可知()h x 在[]3,1--单调递增，在[]1,2-单调递减，在[]2,3单调递增，且()345h c -=-，()()17h x h c =-=+极大值，()()220h x h c ==-极小值，()39h c =-，∴()()min345h x h c =-=-，由450c -≥，得45c ≥.（2）据题意：存在[]3,3x ∈-，使()()f x g x ≤成立，即为：()()()0h x g x f x =-≥在[]3,3x ∈-有解，故()max 0h x ≥，由（1）知()max 70h x c =+≥，于是得7c ≥-.（3）它与（1）问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别，对任意[]12,3,3x x ∈-，都有()()12f x g x ≤成立，不等式的左右两头函数的自变量分歧，1x ，2x 的取值在[]3,3-上具有任意性，∴要使不等式恒成立的充要条件是：max min ()(),[3,3]f x g x ••x •≤∈-.∵()()[]27228,3,3f x x c x =---∈-∴()()max 3147f x f c =-=-， ∵()26840g x x x '=+-=()()23102x x +-，∴()0g x '=在区间[]3,3-上只有一个解2x =. ∴()()min 248g x g ==-，∴14748c -≤-，即195c ≥.（4）存在[]12,3,3x x ∈-，都有()()12f xg x ≤，等价于()()min 1max 2f x g x ≤，由(3)得()()min 1228f x f c ==--，()()max 23102g x g =-=，28102130c c --≤⇒≥- 点评：本题的三个小题，概况形式非常相似，究其实质却大相径庭，应认真审题，深入思考，多加训练，准确使用其成立的充要条件.二．简答题（每题10分）８、（10分）若不等式2(1)(1)3(1)0m x m x m +--+-<对任意实数x 恒成立，求实数m 取值范围 解：)10,2[9、①对一切实数x,不等式32x x a --+>恒成立，求实数a 的范围. ②若不等式32x x a --+>有解，求实数a 的范围. ③若方程32x x a --+=有解，求实数a 的范围.解：①5-<a ②5<a ③]5,5[-∈a(Ⅰ)若()x f 的定义域Φ≠A ,试求a 的取值范围.(Ⅱ) 若()x f 在()3,2∈x 上有意义, 试求a 的取值范围.(Ⅲ)若()0>x f 的解集为()3,2,,试求a 的值.解答：这三问中,第(Ⅰ)问是能成立问题,第(Ⅱ)问是恒成立问题,第(Ⅲ)问是恰成立问题. (Ⅰ) ()x f 的定义域非空,相当于存在实数x ,使02>--x ax a 成立, 即()2x ax a x --=ϕ的最大值大于0成立,(),0444422max >+=---=a a a a x ϕ解得 4-<a 或0>a . (Ⅱ)()x f 在区间()3,2上有意义,等价于()2x ax a x --=ϕ0>在()3,2恒成立,即()x ϕ的最小值大于0.解不等式组 ()⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-,03,252ϕa 或()⎪⎩⎪⎨⎧≥>-,02,252ϕa ⎩⎨⎧≥---≥,093,5a a a 或⎩⎨⎧≥---<042,5a a a 解得 .29-≤a (Ⅲ)()0>x f 的解集为()3,2,等价于不等式12>--x ax a 的解集为()3,2;于是有012<-++a ax x ,这等价于方程012=-++a ax x 的两个根为2和3, 于是可解得5-=a .。
方法技巧专题16 函数中恒成立与存在性问题(解析版)
函数中恒成立与存在性问题二、函数中恒成立问题【例1】不等式3ln 1xx e a x x --≥+对任意(1,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围（ ）A ．(,1]e -∞-B ．2(,2]e -∞-C ．(,2]-∞-D ．(,3]-∞-【解析】3ln 1x a x x e x -≤--对()1,x ∀∈+∞恒成立，即31ln x x e x a x ---≤对()1,x ∀∈+∞恒成立，从而求31ln x x e x y x ---=，()1,x ∈+∞的最小值，而33ln 3ln 3ln 1x x x x x x e e e e x x ---==≥-+故313ln 113ln x x e x x x x x ---≥-+--=-即313ln 3ln ln x x e x xx x----≥=-当3ln 0x x -=时，等号成立，方程3ln 0x x -=在()1,+∞内有根，故3min13ln x x e x x -⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，所以3a ≤-，故选D.【例2】已知函数()ln f x ax x x =+的图象在点e x =（e 为自然对数的底数）处的切线的斜率为3． (1)求实数a 的值；(2)若2()f x kx ≤对任意0x >成立,求实数k 的取值范围. 【解析】(1)∵()ln f x ax x x =+,∵'()ln 1f x a x =++, 又∵()f x 的图象在点e x =处的切线的斜率为3,∵'(e)3f =, 即lne 13a ++=,∵1a =； (2)由（1）知,()ln f x x x x =+, ∵2()f x kx ≤对任意0x >成立1ln xk x+⇔≥对任意0x >成立, 令1ln ()xg x x +=,则问题转化为求()g x 的最大值, 221(1ln )ln '()x x x x g x x x ⋅-+==-,令'()0g x =,解得1x =, 当01x <<时,'()0g x >,∵()g x 在(0,1)上是增函数； 当1x >时,'()0g x <,∵()g x 在(1,)+∞上是减函数． 故()g x 在1x =处取得最大值(1)1g =,∵1k ≥即为所求. 2.巩固提升综合练习【练习1】已知函数()log a f x x =,()2log (22)a g x x t =+-,其中0a >且1a ≠,t R ∈． (1)若4t =,且1[,2]4x ∈时,()()()F x g x f x =-的最小值是－2,求实数a 的值； (2)若01a <<,且1[,2]4x ∈时,有()()f x g x ≥恒成立,求实数t 的取值范围. 【答案】(1)15；(2)[2,)+∞. 【解析】(1)∵4t =,∵24(1)()()()2log (22)log log a a a x F x g x f x x x x+=-=+-=1log 4(2)a x x=++ 易证1()4(2)h x x x =++在1[,1]4上单调递减,在[1,2]上单调递增,且1()(2)4h h >,∵min ()(1)16h x h ==,max 1()()254h x h ==,∵当1a >时,min ()log 16a F x =,由log 162a =-,解得14a =（舍去）当01a <<时,min ()log 25a F x =,由log 252a =-,解得15a =. 综上知实数a 的值是15. (2)∵()()f x g x ≥恒成立,即log 2log (22)a a x x t ≥+-恒成立,∵1log log (22)2a a x x t ≥+-.又∵01a <<,1[,2]4x ∈22x t ≤+-,22t x ≥-+∵恒成立,∵max (22)t x ≥-.令2117122)([,2])484y x x =-=-+∈,∵max 2y =.故实数t 的取值范围为[2,)+∞.【练习2】若(0,)x ∈+∞，1ln x e x x a x-≥-+恒成立，则a 的最大值为（ ）A ．1B ．1eC ．0D ．e -【答案】C【解析】设x x t ln -=,则11x t e e x--=，原不等式等价于1t e t a --≥恒成立，设1ln ,1y x x y x-='=-是单调递增的，零点为1x =,函数y 的最小值为1，故1t ≥，()()11,1t t f t e t f t e --'=-=-，零点是1t = ()f t 在[)1,+∞上单调递增，故()min 0f t =，故0a ≤.故选C.【练习3】已知a R ∈，设函数⎩⎨⎧>-≤+-=1,ln 1,22)(2x x a x x a ax x x f 若关于x 的不等式0)(≥x f 在R 上恒成立，则a 的取值范围为（ ） A ．[]0,1 B ．[]0,2 C ．[]0,e D ．[]1,e【答案】C 【解析】∵(0)0f ≥，即0a ≥，当01a ≤≤时，2222()22()22(2)0f x x ax a x a a a a a a a =-+=-+-≥-=->， 当1a <时，(1)10f =>，故当0a ≥时，2220x ax a -+≥在(,1]-∞上恒成立； 若ln 0x a x -≥在(1,)+∞上恒成立，即ln xa x≤在(1,)+∞上恒成立， 令()ln xg x x=，则2ln 1'()(ln )x g x x -=，当,x e >函数单增，当0,x e <<函数单减，故max ()()g x g e e ==，所以a e ≤.当0a ≥时，2220x ax a -+≥在(,1]-∞上恒成立； 综上可知，a 的取值范围是[0,]e ， 故选C.1.例题【例1】定义域为R 的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当[]0,2x 时，()[)[)232,0,11,1,22x x x x f x x -⎧-∈⎪⎪=⎨⎛⎫-∈⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩，若当[)4,2x ∈--时，不等式()2142m f x m ≥-+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[]2,3B ．[]1,3C ．[]1,4D ．[]2,4【答案】B【解析】因为当[)4,2x ∈--时，不等式()2142m f x m ≥-+恒成立，所以()2min 142m f x m ≥-+，当[)[)4,2,40,2x x ∈--+∈时，()()()112424f x f x f x =+=+ ()()[)[)2342144,40,1411,41,242x x x x x +-⎧⎡⎤+-++∈⎪⎣⎦⎪=⎨⎛⎫⎪-+∈ ⎪⎪⎝⎭⎩当[)40,1x +∈时，()()()211114444416f x x x ⎡⎤=+-+≥-⨯=-⎣⎦，当[)41,2x +∈时，()342111424x f x +-⎛⎫=-≥- ⎪⎝⎭，因此当[)4,2x ∈--时，()2min1113442m f x m m =-≥-+∴≤≤，选B.【例2】若对I x ∀，()2,x m ∈+∞，且12x x <，都有122121ln ln 1x x x x x x -<-，则m 的取值范围是（ ）注:（ e 为自然对数的底数，即 2.71828e =…） A ．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．[),e +∞C ．[)1,+∞D ．[)1,-+∞ 【答案】C【解析】因为对于()ln f x x =,定义域为()0,∞+ ,所以120x x << 当满足120x x <<时,122121ln ln 1x x x x x x -<-成立化简可得122121ln ln x x x x x x -<-,移项合并后可得121221ln ln x x x x x x +<+,即()()1221ln 11ln x x x x +<+因为120x x <<,所以可等价于()()2121ln 1ln 1x x x x ++<即满足()ln 1x g x x +=为减函数，()221ln 1ln 'x xg x x x ---==， 因为()ln 1x g x x +=为减函数，所以()'0g x ≤,即2ln 0xx -≤， 则1x ≥ ，因为对1x ∀，()2,x m ∈+∞，且12x x <，都有122121ln ln 1x x x x x x -<-所以1m ≥ ,即m 的取值范围为[)1,+∞，故选C. 【例3】已知函数21ln 21)(2-+-=x x a x x f ，对任意x ∈[1，＋∞)，当mx x f ≥)(恒成立时实数m 的最 大值为1，则实数a 的取值范围是 ．【解析】对任意x ∈[1，＋∞)，有f(x)≥mx恒成立，即()f x m x ≥恒成立，即min()f x m x ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦，又当f(x)≥mx 恒成立时实数m 的最大值为1，所以min()1f x x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.因为(1)11f = 所以问题等价转化为()1f x x≥在[1,)+∞上恒成立，即()0f x x -≥在[1,)+∞上恒成立. 设()()g x f x x =-211ln 22x a x =--（1x ≥），2()x ag x x-'=①当1a ≤时，因为1x ≥，所以2()0x ag x x-'=≥，因此()g x 在[1,)+∞上是单调递增函数，所以()(1)0g x g ≥=，即()0f x x -≥在[1,)+∞上恒成立；②当1a >时，在上，有()0g x '<；在)+∞上，有()0g x '>， 所以()g x 在上为单调递减函数，在)+∞上为单调递增函数. 当(1,)x a ∈，有()(1)0g x g <=，即()0f x x -≥在[1,)+∞上不恒成立. 综合①②得：实数a 的取值范围是(,1]-∞.2.巩固提升综合练习 【练习1】已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）A ．(]e ，∞-B ．），（e ∞-C ．），（2-e∞ D ．⎥⎦⎤ ⎝⎛∞2-e ， 【答案】D【解析】因为所以即，即当时，恒成立，所以在内是一个增函数，设，则有即 ，设则有， 当时，即，当时，即所以当时，最小，即 ，故选D.【练习2】已知定义在R 上的偶函数()f x 在[0,)+∞上递减，若不等式2(ln 1)(ln 1)f ax x f ax x -+++--()31f ≥对[]1,3x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[]2,e B ．1[,)e+∞C ．1[,]e eD ．12ln 3[,]3e +【答案】D【解析】由题设可得(ln 1)(ln 1)f ax x f ax x -++=--，则原不等式可化为(ln 1)(1)f ax x f -++≥， 即ln 11ax x --≤，也即ln 20ax x --≤在[1,3]上恒成立，由于0x >，因此2ln xa x+≤， 令2ln ()x h x x +=，则/2212ln 1ln ()x x h x x x --+==-，所以当1ln 1x x e >-⇒>时，/()0h x <，函数2ln ()x h x x+=单调递减，因11e <，故函数2ln ()x h x x+=在[1,3]上单调递减， 故min max 2ln13ln 3()2,()13h x h x ++===， 当11x e e -==时，函数1min 12ln ()e h x e e --+==，所以a e ≤，应选答案D.【练习3】若，满足恒成立，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】（1），显然成立；（2）时，由 ，由在为增在恒成立，由在为增，，，综上，，故答案为.【三】数形结合法1.例题【例1】已知函数()222f x x kx =-+,在1x ≥-恒有()f x k ≥,求实数k 的取值范围.【解析】令()()222F x f x k x kx k=-=-+-,则()0F x ≥对[)1,x ∈-+∞恒成立,而()F x 是开口向上的抛物线.当图象与x 轴无交点满足0∆<,即()24220k k ∆=--<,解得21k -<<.当图象与x 轴有交点,且在[)1,x ∈-+∞时()0F x ≥,则由二次函数根与系数的分布知识及图象可得： ()010212F k ⎧⎪∆≥⎪⎪-≥⎨⎪-⎪-≤-⎪⎩，解得32k -≤≤-,故由①②知31k -≤<.【例2】已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－|x 3－2x 2＋x |， x <1，ln x ， x ≥1，若对于∀t ∈R ，f (t )≤kt 恒成立，则实数k 的取值范围是________． 【答案】[1e，1]【解析】令y ＝x 3－2x 2＋x ，x <1，则y ′＝3x 2－4x ＋1＝(x －1)·(3x －1)， 令y ′>0，即(x －1)(3x －1)>0，解得x <13或x >1.又因为x <1，所以x <13.令y ′<0，得13<x <1，所以y 的增区间是(－∞，13)，减区间是(13，1)，所以y 极大值＝427.根据图像变换可作出函数y ＝－|x 3－2x 2＋x |，x <1的图像．又设函数y ＝ln x (x ≥1)的图像经过原点的切线斜率为k 1，切点(x 1，ln x 1)，因为y ′＝1x ，所以k 1＝1x 1＝ln x 1－0x 1－0，解得x 1＝e ，所以k 1＝1e .函数y ＝x 3－2x 2＋x 在原点处的切线斜率k 2＝1.因为∀t ∈R ，f (t )≤kt ，所以根据f (x )的图像，数形结合可得1e≤k ≤1.2.巩固提升综合练习【练习1】已知定义在R 上的奇函数()f x 满足:当0x ≥时,()3f x x =,若不等式()()242f t f m mt ->+对任意实数t 恒成立,则实数m 的取值范围是（ ）A ．(,-∞ B ．()C. ()),0-∞⋃+∞ D ．(),-∞⋃+∞【答案】A【解析】当0x <时,()33()()()()f x f x x f x x x R f x =--=⇒=∈⇒在R 上是增函数242t m mt ⇒->+对任意实数t 恒成立2442t mt t m ⇒->++对任意实数t 恒成立,结合二次函数图象可得201680m m m <⎧⇒⇒∈⎨∆-<⎩(,-∞,故选A.【练习2】若不等式()2211x m x ->-对任意[]1,1m ∈-恒成立,实数x 的取值范围是 .12x <<【解析】()2211x m x ->-可转化为()21210m x x --+<,设()()21210f m m x x =--+<,则()f m 是关于m 的一次型函数,要使()0f m <恒成立,只需()()221201220f x x f x x ⎧=-<⎪⎨-=--+<⎪⎩,12x <<. 【练习3】已知函数23ln ,1(),46,1x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩若不等式()|2|f x x a ≥-对任意(0,)x ∈+∞上恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．13,3e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[3,3ln 5]+C ．[3,4ln 2]+D ．13,5e⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】由题意得：设g(x)=|2|x a -，易得a ＞0，可得2,2g(x)=2,2a x a x ax a x ⎧-≥⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩＜，g(x)与x 轴的交点为(,0)2a ，①当2ax ≥，由不等式()|2|f x x a ≥-对任意(0,)x ∈+∞上恒成立，可得临界值时，()g()f x x 与相 切，此时2()46,1f x x x x =-+>，()2,2a g x x a x =-≥，可得'()24f x x =-，可得切线斜率为2，242x -=，3x =，可得切点坐标（3，3）， 可得切线方程：23y x =-，切线与x 轴的交点为3(,0)2,可得此时322a =，3a =， 综合函数图像可得3a ≥；②同理，当2ax ＜，由()g()f x x 与相切， （1）当2()46,1f x x x x =-+>，()2,2a g x x a x =-+＜，可得'()24f x x =-，可得切线斜率为-2，242x -=-，1x =，可得切点坐标（1，3），可得切线方程25y x =-+，可得5a =，综合函数图像可得5a ≤，（2）当()3ln ,1f x x x =-≤，()2,2a g x x a x =-+＜，()g()f x x 与相切，可得'1()f x x， 此时可得可得切线斜率为-2，12x -=-，12x =，可得切点坐标1(,32)2In +,可得切线方程：1(32)2()2y In x -+=--，242y x In =-++可得切线与x 轴的交点为2(2,0)2In +，可得此时2222a In =+，42a In =+， 综合函数图像可得42a In ≤+，综上所述可得342a In ≤≤+，故选C.1.例题【例1】 已知函数f (x )＝x ||x 2－a ，若存在x ∈[]1，2，使得f (x )<2，则实数a 的取值范围是________． 【答案】 (－1,5)【解析】解法1 当x ∈[1,2]时，f (x )<2，等价于|x 3－ax |<2，即－2<x 3－ax <2，即x 3－2<ax <x 3＋2，得到x 2－2x <a <x 2＋2x，即⎝⎛⎭⎫x 2－2x min <a <⎝⎛⎭⎫x 2＋2x max ，得到－1<a <5. 解法2 原问题可转化为先求：对任意x ∈[1,2]，使得f (x )≥2时，实数a 的取值范围． 则有x |x 2－a |≥2，即|a －x 2|≥2x.(1) 当a ≥4时，a ≥x 2＋2x ≥22＋22＝5，得到a ≥5.(2) 当a ≤1时，x 2－a ≥2x ，有a ≤x 2－2x ≤1－21＝－1，得到a ≤－1.(3) 当1<a <4时，|a －x 2|≥0，与2x >0矛盾．那么有a ≤－1或a ≥5，故原题答案为－1<a <5. 【例2】已知=)(x f x x +221,=)(x g a x -+)1ln(,若存在]2,0[,21∈x x ,使得)()(21x g x f >,求实数a 的取值范围；【答案】()4,-+∞【解析】()(),f x g x 在[]0,2上都是增函数,所以()f x 的值域，，]40[=A ()g x 的值域]3ln ,[a a B --=.若存在]2,0[,21∈x x ,使得)()(21x g x f >,则min max )()(x g x f >,即4>a -,所以4->a .实数a 的取值围是()4,-+∞.AB ≠∅.（【例3】已知=)(x f x x +221,=)(x g a x -+)1ln(,若存在]2,0[,21∈x x ,使得)()(21x g x f =,求实数a 的取值范围.【答案】[]4,ln3-【解析】()(),f x g x 在[]0,2上都是增函数,所以()f x 的值域，，]40[=A ()g x 的值域]3ln ,[a a B --=. 若存在21,x x 使得)()(21x g x f =,则A B ≠∅,∵4a -≤且ln30a -≥,∵实数a 的取值围是[]4,ln3-.2.巩固提升综合练习【练习1】已知函数22()()()xaf x x a e e=+++，若存在0x ，使得024()1f x e ≤+，则实数a 的值为______． 【答案】2211e e -+ 【解析】函数f （x ）=（x+a ）2+（e x +a e）2， 函数f （x ）可以看作是动点M （x ，e x ）与动点N （-a ，-ae）之间距离的平方， 动点M 在函数y=e x 的图象上，N 在直线y=1e x 的图象上，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由y=e x 得，y′=e x =1e，解得x=-1，所以曲线上点M （-1，1e ）到直线y=1e x 的距离最小，最小距离则f （x ）≥241e +， 根据题意，要使f （x 0）≤241e +，则f （x 0）=241e +， 此时N 恰好为垂足，由K MN =-e ，解得a=2211e e -+ ． 故答案为：2211e e -+．【练习2】已知函数2,1()1,1x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩，若1x ∃、2R x ∈，12x x ≠，使得12()()f x f x =成立，则a的取值范围是（ ）． A ．2a > B ．2a <C ．22a -<<D ．2a <-或2a >【答案】B【解析】当2a <时，12a <，函数()f x 在,2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上递增，在,12a ⎛⎫⎪⎝⎭上递减，则：1x ∃、2R x ∈，12x x ≠，使得12()()f x f x =成立.当2a ≥时，12a≥，函数()f x 在(),1-∞上递增，在()1,+∞也递增， 又21111a a -+⨯=⨯-，所以函数()f x 在R 上单调递增，此时一定不存在1x 、2R x ∈，12x x ≠，使得12()()f x f x =成立.故选B.【练习3】已知函数24,0(),0x x x f x e e x x⎧+-≤⎪=⎨->⎪⎩，2()314g x x x =--，若存在实数x ，使得()()18g m f x -=成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．)7,4(- B ．[4,7]-C ．(,4)(7,)-∞-+∞D ．(,4][7,)-∞-+∞【答案】D【解析】由题意，当0x ≤时，()|2|44f x x =+-≥-，当且仅当2x =-时取“=”，当0x >时，函数()x e f x e x =-，则2(1)'()xx e f x x-=， 当(0,1)x ∈时，()0f x '<，当时，()0f x '>，所以函数()f x 在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)+∞上单调增， 所以()(1)0f x f ≥=，综上可得()4f x ≥-，因为存在实数x ，使得()()18g m f x -=成立，则()()1841814g m f x =+≥-+=， 即231414m m --≥，即23280m m --≥，解得或4m ≤-，故实数m 的取值范围为(,4][7,)-∞-+∞，故选D. 【练习4】已知函数()ln f x x =,()()h x a x a R =∈.（1）函数()f x 的图象与()h x 的图象无公共点,求实数a 的取值范围；（2）是否存在实数m ,使得对任意的1(,)2x ∈+∞,都有函数()m y f x x =+的图象在()x e g x x =的图象的下方？若存在,请求出整数m 的最大值；若不存在,请说理由.（参考数据：ln 20.6931=,ln3 1.0986=1.3956==）. 【解析】（1）函数()f x 与()h x 无公共点,等价于方程ln xa x=在(0,)+∞无解 令ln ()x t x=,则21ln '(),xt x -=令'()0,t x =得x e =因为x e =是唯一的极大值点,故max ()t t e e==……………4分 故要使方程ln xa x =在(0,)+∞无解, 当且仅当1a e >,故实数a 的取值范围为1(,)e +∞（2）假设存在实数m 满足题意,则不等式ln x m e x x x +<对1(,)2x ∈+∞恒成立.即ln x m e x x <-对1(,)2x ∈+∞恒成立.令()ln xr x e x x =-,则'()ln 1xr x e x =--,令()ln 1xx e x ϕ=--,则1'()x x e x ϕ=-,∵'()x ϕ在1(,)2+∞上单调递增,121'()202e ϕ=-<,'(1)10e ϕ=->,且'()x ϕ的图象在1(,1)2上连续,∵存在01(,1)2x ∈,使得0'()0x ϕ=,即0010xe x -=,则00ln x x =-,∵ 当01(,)2x x∈时,()x ϕ单调递减；当0(,)x x ∈+∞时,()x ϕ单调递增,则()x ϕ取到最小值000001()ln 11xx e x x x ϕ=--=+-110≥=>, ∵ '()0r x >,即()r x 在区间1(,)2+∞内单调递增. 11221111()ln ln 2 1.995252222m r e e ≤=-=+=,∵存在实数m 满足题意,且最大整数m 的值为1.【例1】已知函数[]()2(),2,2f x x x =∈-，2()sin(2)3,0,62g x a x a x ππ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦，[]12,2x ∀∈-，总00,2x π⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()()01g x f x =成立，则实数a 的取值范围是____________.【答案】(][),46,-∞-+∞【解析】∵[2,2]x ∈-，∵2()[0,4]f x x =∈∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵72666x πππ≤+≤，∵1sin(2)126x π-≤+≤ ∵221()[3,3]2g x a a a a ∈-++ 要使[]12,2x ∀∈-，总00,2x π⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()()01g x f x =成立， 则需满足：221[0,4][3,3]2a a a a ⊆-++ ∵22130234a a a a ⎧-+≤⎪⎨⎪+≥⎩，解得4a ≤-或6a ≥ ∵a 的取值范围是(,4][6,)-∞-⋃+∞.【例2】已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋1，g (x )＝ax，其中a >0，x ≠0.(1) 对任意[]2,1∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；(2) 对任意[]2,11∈x ，任意[]4,22∈x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围； (3) 对任意[]2,11∈x ，存在[]4,22∈x ，使)()(21x g x f >成立，求实数a 的取值范围； (4) 存在[]2,11∈x ，任意[]4,22∈x ，使)()(21x g x f >成立，求实数a 的取值范围． 【解答】（1） 因为对任意x ∈[1,2]，都有f (x )>g (x )恒成立，即对任意x ∈[1,2]，x 2－2ax ＋1>ax恒成立，所以a <x 3＋x2x 2＋1在x ∈[1,2]上恒成立．令φ(x )＝x 3＋x 2x 2＋1，则φ′(x )＝2x 4＋x 2＋1(2x 2＋1)2>0，所以φ(x )min ＝φ(1)＝23，所以a <23.又因为a >0，所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，23. （2）函数f (x )＝x 2－2ax ＋1＝(x －a )2＋1－a 2在区间[1,2]上的最小值有以下三种情况：①当0<a ≤1时，f (x )min ＝f (1)＝2－2a ；②当1<a <2时，f (x )min ＝f (a )＝a 2－2a 2＋1＝1－a 2； ③当a ≥2时，f (x )min ＝f (2)＝5－4a . 函数g (x )的最大值为a2.当0<a ≤1时，由f (x )min >a 2，即2－2a >a 2，解得0<a <45；当1<a <2时，由f (x )min ＝1－a 2>a2，无解；当a ≥2时，f (x )min ＝5－4a >a2，无解．综上可知，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，45. （3）函数f (x )＝x 2－2ax ＋1＝(x －a )2＋1－a 2在区间[1,2]上的最小值有以下三种情况：①当0<a ≤1时，f (x )min ＝f (1)＝2－2a ；②当1<a <2时， f (x )min ＝f (a )＝a 2－2a 2＋1＝1－a 2； ③当a ≥2时，f (x )min ＝f (2)＝5－4a . 函数g (x )的最小值为4a当0<a ≤1时，由f (x )min >4a ，即2－2a >4a ，解得0<a <98；当1<a <2时，由f (x )min ＝1－a 2>4a，无解； 当a ≥2时，f (x )min ＝5－4a >4a，无解． 综上可知，实数a 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛980，. （4）函数g (x )的最大值为a2.函数f (x )＝x 2－2ax ＋1＝(x －a )2＋1－a 2在区间[1,2]上的最大值有以下三种情况： ①当0<a ≤23时，245)2()(max a a f x f >-==，解得0<a <910； ②当23>a 时，222)1()(max aa f x f >-==，无解.综上可知，实数a 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛9100，. 2. 巩固提升综合练习【练习1】已知二次函数 f (x )=ax 2+bx +c (a >0) 的图象过点 (1,0)若对任意的 x 1∈[0,2]，存在 x 2∈[0,2]，使得 f (x 1)+f (x 2)>32a ，求 ba 的取值范围.【解析】 由题意，对任意的 x 1∈[0,2]，存在 x 2∈[0,2]，使得 f (x 1)+f (x 2)>32a . 所以 f min (x )+f max (x )>32a .因为 a +b +c =0 ，所以 f (x )=ax 2+bx −a −b ，其对称轴为 x =−b2a . ①当 −b2a <0 即 ba >0 时，f (x ) 在 [0,2] 上单调递增，所以 f min (x )+f max (x )=f (0)+f (2)=−a −b +3a +b =2a >32a .所以b a>0 符合题意.②当 0≤−b2a <1 即 −2<ba ≤0 时，f (x ) 在 [0,−b2a ] 上递减，在 [−b2a ,2] 上递增且 f (0)<f (2) . 所以 f min (x )+f max (x )=f (−b2a)+f (2)=−b 24a −a −b +3a +b =−b 24a +2a . 所以由 −b 24a +2a >32a 得：−√2<ba ≤0 符合题意. ③当 1≤−b2a <2 即 −4<ba ≤−2 时， f (x ) 在 [0,−b 2a ] 上递减，在 [−b 2a,2] 上递增且 f (0)≥f (2) .所以 f min (x )+f max (x )=f (−b2a )+f (0)=−b 24a −a −b −a −b =−b 24a −2a −2b . 所以由 −b 24a −2a −2b >32a 得：−4−√2<ba <−4+√2． 所以 −4<b a <−4+√2 符合题意.④当 −b 2a≥2 即 b a≤−4 时，f (x ) 在 [0,2] 上单调递减，所以 f min (x )+f max (x )=f (2)+f (0)=3a +b −a −b =2a >32a . 所以 ba ≤−4 符合题意.综上所述：所以 ba <−4+√2 或 ba >−√2 .【练习2】 已知函数 f (x )=12ax 2−(2a +1)x +2lnx (a ∈R )．（1）若曲线 y =f (x ) 在 x =1 和 x =3 处的切线互相平行，求 a 的值； （2）求 f (x ) 的单调区间；（3）设 g (x )=x 2−2x ，若对 x 1∈(0,2]，均存在 x 2∈(0,2]，使得 f (x 1)<g (x 2)，求 a 的取值范围 【解析】（1） fʹ(x )=ax −(2a +1)+2x (x >0)． 由题意知 fʹ(1)=fʹ(3)，即 a −(2a +1)+2=3a −(2a +1)+23，解得 a =23． （2） fʹ(x )=(ax−1)(x−2)x(x >0)．① 当 a ≤0 时，因为 x >0，所以 ax −1<0，在区间 (0,2) 上，fʹ(x )>0， 在区间 (2,+∞) 上，fʹ(x )<0，故 f (x ) 的单调递增区间是 (0,2)，单调递减区间是 (2,+∞)．②当 0<a <12 时，1a >2，在区间 (0,2) 和 (1a ,+∞) 上，fʹ(x )>0， 在区间 (2,1a ) 上 fʹ(x )<0，故 f (x ) 的单调递增区间是 (0,2) 和 (1a ,+∞)，单调递减区间是 (2,1a )． ③当 a =12 时，fʹ(x )=(x−2)22x≥0，故 f (x ) 的单调递增区间是 (0,+∞)．④当 a >12 时，0<1a <2，在区间 (0,1a ) 和 (2,+∞) 上，fʹ(x )>0， 在区间 (1a ,2) 上，fʹ(x )<0，故 f (x ) 的单调递增区间是 (0,1a ) 和 (2,+∞)，单调递减区间是 (1a ,2)．（3） 由题意知，在 (0,2] 上有 f (x )max <g (x )max ． 由已知得 g (x )max =0，由（2）可知，①当 a ≤12时，f (x ) 在 (0,2] 上单调递增，故 f (x )max =f (2)=2a −2(2a +1)+2ln2=−2a −2+2ln2， 所以 −2a −2+2ln2<0，解得 a >ln2−1， 故 ln2−1<a ≤12．②当 a >12 时，f (x ) 在 (0,1a ) 上单调递增； 在 [1a ,2] 上单调递减，故 f (x )max =f (1a )=−2−12a −2lna ．由 a >12 可知 lna >ln 12>ln 1e =−1，所以 2lna >−2，即 −2lna <2，所以 −2−2lna <0， 所以 f (x )max <0，符合． 综上所述，a >ln2−1． 1．已知函数()ln f x ax x x =+的图象在点e x =（e 为自然对数的底数）处的切线的斜率为3． (1)求实数a 的值；(2)若2()f x kx ≤对任意0x >成立,求实数k 的取值范围.(2)由（1）知,()ln f x x x x =+, ∴2()f x kx ≤对任意0x >成立1ln xk x+⇔≥对任意0x >成立, 令1ln ()xg x x +=,则问题转化为求()g x 的最大值, 221(1ln )ln '()x x x x g x x x⋅-+==-,令'()0g x =,解得1x =, 当01x <<时,'()0g x >,∴()g x 在(0,1)上是增函数； 当1x >时,'()0g x <,∴()g x 在(1,)+∞上是减函数． 故()g x 在1x =处取得最大值(1)1g =,∴1k ≥即为所求.2.已知函数()log a f x x =,()2log (22)a g x x t =+-,其中0a >且1a ≠,t R ∈． (1)若4t =,且1[,2]4x ∈时,()()()F x g x f x =-的最小值是－2,求实数a 的值； (2)若01a <<,且1[,2]4x ∈时,有()()f x g x ≥恒成立,求实数t 的取值范围. 【答案】(1)15；(2)[2,)+∞.(2)∵()()f x g x ≥恒成立,即log 2log (22)a a x x t ≥+-恒成立,∴1log log (22)2a a x x t ≥+-.又∵01a <<,1[,2]4x ∈,22x t ≤+-,22t x ≥-+∴max (22)t x ≥-.令2117122)([,2])484y x x =-=-+∈,∴max2y=.故实数t 的取值范围为[2,)+∞.3.设函数()()21xf x e x ax a =--+,其中1a <,若存在唯一的整数t ,使得()0f t <,则a 的取值范围是（ ）A ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B ．33,24e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C ．33,24e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】令()()()21,xg x ex h x ax a =-=-.由题意知存在唯一整数t ,使得()g t 在直线()h x 的下方.()()'21x g x e x =+,当12x <-时,函数单调递减,当12x >-,函数单调递增,当12x =-时,函数取得最小值为122e --.当0x =时,(0)1g =-,当1x =时,(1)0g e =>,直线()h x ax a =-过定点()1,0,斜率为a ,故()0a g ->且()113g e a a --=-≥--,解得3,12m e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.4.已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋10,若在区间[1,2]内至少存在一个实数x ,使得f (x )<0成立,求实数a 的取值范围．5.若不等式()2211x m x ->-对任意[]1,1m ∈-恒成立,求实数x 的取值范围.12x <<【解析】()2211x m x ->-可转化为()21210m x x --+<,设()()21210f m m x x =--+<,则()f m 是关于m 的一次型函数,要使()0f m <恒成立,只需()()221201220f x x f x x ⎧=-<⎪⎨-=--+<⎪⎩,12x <<. 6.若不等式()()21313ln1ln33x xa x ++-⋅≥-⋅对任意的(],1x ∈-∞恒成立,则a 的取值范围是（ ）A. 10,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B. 10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. [)2,+∞D. (],2-∞ 【答案】D【解析】由题意结合对数的运算法则有： ()213133lnln 33x xxa ++-⋅≥,由对数函数的单调性有：()21313333x xxa ++-⋅≥,整理可得： 2133x x a +≤,由恒成立的条件有： 2min133x xa ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭,其中21313233xx xxy +⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭,当且仅当0x =时等号成立.即0x =时,函数2133x x y +=取得最小值2.综上可得： 2a ≤.本题选择D 选项.7.已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧-+≥=⎨-<⎩,若关于的不等式()()20f x af x ⎡⎤+<⎣⎦恰有个整数解,则实数的最大值是（ ） A.B.C. 5D.【答案】D8.已知函数()1x f x x e=+,若对任意x R ∈, ()f x ax >恒成立,则实数a 的取值范围是（ ） A. (),1e -∞- B. (]1,1e - C. [)1,1e - D. ()1,e -+∞ 【答案】B【解析】函数()1x f x x e =+，对任意x R ∈, ()f x ax >恒成立,∴1x x ax e +>恒成立,即()11xa x e >-x 恒成立；设()()()1,1x g x h x a x e==-,x ∈R ；在同一坐标系内画出两个函数的图象,如图所示；则满足不等式恒成立的是h (x )的图象在g (x )图象下方,求()g x 的导数()'xg x e -=-,且过()g x 图象上点()00,x y 的切线方程为()000x y y e x x --=--,且该切线方程过原点(0,0),则000x y ex -=-⋅,即000x x e e x --=-⋅,解得01x =-；∴切线斜率为0x k e e -=-=-,∴应满足a −1>−e ,即a >1−e ；又a −1⩽0,∴a ⩽1,∴实数a 的取值范围是(1−e ,1].故选B.9.已知函数()()ln 224(0)f x x a x a a =+--+>,若有且只有两个整数1x , 2x 使得()10f x >,且()20f x >,则a 的取值范围是（ ）A. ()ln3,2B. [)2ln3,2-C. (]0,2ln3- D. ()0,2ln3- 【答案】C【解析】由题意可知, ()0f x >,即()()ln 2240,0x a x a a +--+>>, ()22ln 40ax a x x a ∴->-->,设()()2ln 4,2g x x x h x ax a =--=-,由()121'2x g x x x -=-=,可知()2ln 4g x x x =--,在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数,在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上为增函数, ()2h x ax a =-的图象恒过点()2,0,在同一坐标系中作出()(),g x h x 的图象如下：若有且只有两个整数12,x x ,使得()10f x >,且()20f x >,则()()()(){11 33a h g h g >>≤,即0{2 23a a a ln >->-≤-,解得02ln3a <≤-,故选C.10.已知对任意的，总存在唯一的，使得成立（为自然对数的底数），则实数的取值范围是( ) A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】。
高三数学高考导数专题8： 恒成立与存在性问题
专题8：恒成立与存在性问题1．设函数()(21)x f x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x 使得0()0f x <，则a 的取值范围是()A ．3[,1)2e-B ．33[,)24e -C ．33[,)24eD ．3[,1)2e【解析】设()(21)x g x e x =-，y ax a =-，由题意知存在唯一的整数0x 使得0()g x 在直线y ax a =-的下方，()(21)2(21)x x x g x e x e e x '=-+=+，∴当12x <-时，()0g x '<，当12x >-时，()0g x '>， ∴当12x =-时，()g x 取最小值122e --，当0x =时，(0)1g =-，当1x =时，g （1）0e =>， 直线y ax a =-恒过定点(1,0)且斜率为a ， 故(0)1a g ->=-且1(1)3g e a a --=---，解得312a e< 故选：D ．2．设函数()(21)x f x e x ax a =--+，其中1a <，若存在两个整数1x ，2x ，使得1()f x ，2()f x 都小于0，则a 的取值范围是( ) A ．25[3e ，3)2eB ．3[2e-，3)2eC ．25[3e ，1)D ．3[2e，1)【解析】函数()(21)x f x e x ax a =--+，其中1a <，设()(21)x g x e x =-，y ax a =-， 存在两个整数1x ，2x ， 使得1()f x ，2()f x 都小于0，∴存在两个整数1x ，2x ，使得()g x 在直线y ax a =-的下方，()(21)x g x e x '=+，∴当12x <-时，()0g x '<， ∴当12x =-时，121[()]()22min g x g e -=-=-．当0x =时，(0)1g =-，g （1）0e =>，直线y ax a =-恒过(1,0)，斜率为a ，故(0)1a g ->=-， 且1(1)3g e a a --=-<--，解得32a e <．(2)2g a a ---，解得253a e，a ∴的取值范围是25[3e ，3)2e． 故选：A ．3．设函数()(21)x f x x e =-，()(1)g x a x =-，其中1a <，若存在唯一的整数0x 使得00()()f x g x <，则a 的取值范围是( ) A ．3[2e-，1)B ．3[2e，1)C ．3[2e-，3)4D ．3[2e，3)4【解析】设()(21)x f x e x =-，()(1)g x a x =-， 由存在唯一的整数0x 使得00()()f x g x <，()(21)2(21)x x x f x e x e e x '=-+=+，∴当12x <-时，()0f x '<，当12x >-时，()0f x '>， ∴当12x =-时，()f x 取最小值122e --，当0x =时，(0)1f =-，当1x =时，f （1）0e =>， 直线()(1)g x a x =-恒过定点(1,0)且斜率为a ， 故(0)1a f ->=-且1(1)3f e a a --=---，解得312a e< 故选：B ．4．设函数()(31)x f x e x ax a =--+，其中1a <，若有且只有一个整数0x 使得0()0f x ，则a 的取值范围是()A ．23(,)4eB ．23[,)4eC ．2(,1)eD ．2[,1)e【解析】设()(31)x g x e x =-，()h x ax a =-， 则()(32)x g x e x '=+，2(,)3x ∴∈-∞-，()0g x '<，()g x 单调递减，2(3x ∈-，)+∞，()0g x '>，()g x 单调递增， 23x ∴=-，取最小值233e --， (0)1(0)g a h ∴=-<-=，g （1）h -（1）20e =>，直线()h x ax a =-恒过定点(1,0)且斜率为a ，1(1)(1)420g h e a -∴---=-+>， 2a e∴>， 1a <， a ∴的取值范围2(e，1)． 故选：C ．5．已知函数2()()f x x a lnx =-，曲线()y f x =上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，则实数a 的取值范围是( ) A ．21(,0)e-B ．(1,0)-C ．21(,)e-+∞D ．(1,)-+∞【解析】曲线()y f x =上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，()20af x xlnx x x∴'=+-=有两个不同的解， 即得222a x lnx x =+有两个不同的解， 设222y x lnx x =+，则44y xlnx x '=+，10x e ∴<<，0y '<，函数递减，1x e>，0y '>，函数递增， 1x e∴=时，函数取得极小值2e --，x →+∞，y →+∞， 20e a -∴-<<，故选：A ．6．已知函数1()()xf x x a e =-，曲线()y f x =上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，则实数a 的取值范围是( ) A ．2(e -，)+∞ B ．2(e -，0)C ．21(e-，)+∞ D ．21(e-，0)【解析】曲线()y f x =上存在不同的两点， 使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，()(1)0x f x a x e -∴'=+-=有两个不同的解，即得(1)x a x e -=-有两个不同的解， 设(1)x y x e -=-，则(2)x y x e -'=-，2x ∴<，0y '<，函数递减，2x >，0y '>，函数递增， 2x ∴=时，函数取得极小值2e --，x →+∞，0y →，20a e -∴>>-．故选：D ．7．已知21()(0)2f x alnx x a =+>，若对任意两个不等的正实数1x ，2x 都有1212()()2f x f x x x --恒成立，则a 的取值范围是()A ．(1,)+∞B ．[1，)+∞C ．(0，1]D ．(0,1) 【解析】设对任意两个不等的正实数12x x >都有2>恒成立，则1212()()22f x f x x x --， 1122()2()2f x x f x x ∴--，令21()()222g x f x x alnx x x =-=+-，则12()()g x g x ，所以函数()g x 是增函数，()20(0)ag x x x x'=+->恒成立， 22a x x ∴-恒成立，222(1)1x x x -=--+，∴当1x =时，2()2g x x x =-取得最大值g （1）1=，1a ∴．即a 的取值范围是[1，)+∞． 故选：B ． 8．已知21()2f x alnx x =+，若对任意两个不等的正实数1x ，2x 都有1212()()0f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围是()A ．[0，)+∞B ．(0,)+∞C ．(0,1)D ．(0，1]【解析】对任意两个不等的正实数1x ，2x ，都有1212()()0f x f x x x ->-恒成立则当0x >时，()0f x '>恒成立()0af x x x'=+>在(0,)+∞上恒成立 则2()max a x >- 而20x -<，则0a故选：A ． 9．已知函数2()(1)f x aln x x =+-，若对p∀，(0,1)q ∈，且p q≠，有(1)(1)2f p f q p q+-+>-恒成立，则实数a 的取值范围为() A ．(,18)-∞ B ．(-∞，18] C ．[18，)+∞D ．(18,)+∞【解析】因为2()(1)f x aln x x =+-，所以2(1)[(1)1](1)f x aln x x +=++-+， 所以(1)2(1)2af x x x '+=-++． 因为p，(0,1)q ∈，且p q≠，所以(1)(1)2f p f q p q+-+>-恒成立(1)(1)2(1)(1)f p f q p q +-+⇔>+-+恒成立(1)2f x '⇔+恒成立，即2(1)2(01)2ax x x -+<<+恒成立， 所以22(2)(01)a x x >+<<恒成立， 又因为(0,1)x ∈时，282(2)18x <+<，所以18a ．故选：C ．10．已知函数21()(1)2f x aln x x =+-，在区间(0,1)内任取两个数p ，q ，且p q ≠，不等式(1)(1)3f p f q p q+-+>-恒成立，则实数a 的取值范围是()A ．[8，)+∞B ．(3，8]C ．[15，)+∞D ．[8，15]【解析】由函数21()(1)2f x aln x x =+-，22111(1)[(1)1](1)(2)222f x aln x x aln x x x ∴+=++-+=+---(1)12af x x x ∴'+=--+， p ，(0,1)q ∈，且p q ≠，不等式(1)(1)3f p f q p q +-+>-恒成立等价式(1)(1)3(1)(1)f p f q p q +-+>+-+恒成立，转化为(1)3f x '+>恒成立，即132ax x -->+，(01)x <<恒成立， 整理可得：268a x x >++，01x <<，∴函数2268(3)1y x x x =++=+-在(0,1)是递增函数．15max y ∴<故得15a ．故选：C ．11．设函数3()(33)(2)x x f x e x x ae x x=-+---，若不等式()0f x 有解，则实数a 的最小值为( ) A ．21e-B ．22e-C ．11e-D ．212e +【解析】()0f x 可化为3(33)0x x e x x ae x -+--，即333xx ax x e -+-，令3()33xx F x x x e =-+-，则21()33(1)(33)x xx F x x x x e e--'=-+=-++， 令()33x G x x e -=++，则()3x G x e -'=-， 故当3x e -=，即3x ln =-时，()33x G x x e -=++有最小值(3)3363(23)0G ln ln ln -=-+=->，故当[2x ∈-，1)时，()0F x '<，(1,)x ∈+∞时，()0F x '>； 故()F x 有最小值F （1）111331ee=-+-=-；故实数α的最小值为11e-．故选：C ．12．设函数3()()(31)(3)f x x lnx x lnx a x =-++-，若不等式()0f x 有解，则实数a 的最小值为() A ．21e-B ．22e-C ．212e +D ．11e-【解析】若不等式()0f x 有解， 则31()(3)3alnx lnx x-++有解，令31()()(3)3g x lnx lnx x=-++， 则11()(1)[3(1)]g x lnx lnx xx'=-++，令1()3(1)h x lnx x=++，则231()x h x x-'=， 令()0h x '>，解得：13x >，令()0h x '<，解得：103x <<，故()h x 在1(0,)3递减，在1(3，)+∞，故1()()3(23)03min h x h ln ==->，故()0h x >，令()0g x '>，即10lnx ->，解得：x e >， 令()0g x '<，即10lnx -<，解得：0x e <<， 故()g x 在(0,)e 递减，在(,)e +∞递增， 故()min g x g =（e ）11e=-，故a 的最小值是11e-，故选：D ．13．设函数323()(62)22x x f x e x x x ae x =+-+--，若不等式()0f x 在[2-，)+∞上有解，则实数a 的最小值为( ) A ．312e--B ．322e--C ．3142e--D ．11e--【解析】323()(62)202x x f x e x x x ae x=+-+--在[2-，)+∞上有解3232(62)2x x ae e x x x x ⇔+-+-在[2-，)+∞上有解323(62)22[](2)x min xe x x x x a x e +-+-⇔-． 令32323(62)32()622x x xe x x x xx g x x x x e e+-+-==+-+-，则211()336(1)(36)x xx g x x x x x ee -'=+--=-++， [2x ∈-，)+∞，∴当[2x ∈-，1)时，()0g x '<，()g x 在区间[2-，1)上单调递减；当(1,)x ∈+∞时()0g x '>，()g x 在区间(1,)+∞上单调递增；∴当1x =时，()g x 取得极小值g （1）313116222e e=+-+-=--，也是最小值， 3122a e∴--， 3142a e∴--． 故选：C ． 14．已知函数2()()()lnx x b f x b R x +-=∈，若存在1[2x ∈，2]，使得()()f x x f x >-'，则实数b 的取值范围是( ) A ．(,-∞B ．3(,)2-∞C ．9(,)4-∞D ．(,3)-∞【解析】2()()lnx x b f x x+-=，0x >， 2212()()()x x b lnx x b f x x +----∴'=，12()()()x x b f x xf x x+-∴+'=， 存在1[2x ∈，2]，使得()()0f x xf x +'>，12()0x x b ∴+->12b x x∴<+，设1()2g x x x=+， ()max b g x ∴<，2221()2x g x x -∴'=，当()0g x '=时，解得：x =，当()0g x '>2x <时，函数单调递增， 当()0g x '<时，即1222x <时，函数单调递减，∴当2x =时，函数()g x 取最大值，最大值为g （2）94=， 94b ∴<， 故选：C ．15．已知()x f x xe =，2()(1)g x x a =-++，若存在1x ，2x R ∈，使得21()()f x g x 成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．1[e，)+∞B ．1[e-，)+∞C ．(0,)eD ．1[e-，0)【解析】1x ∃，2x R ∈，使得21()()f x g x 成立，等价于()()minmax f x g x ，()(1)x x x f x e xe x e '=+=+，当1x <-时，()0f x '<，()f x 递减，当1x >-时，()0f x '>，()f x 递增，所以当1x =-时，()f x 取得最小值1()(1)min f x f e=-=-；当1x =-时()g x 取得最大值为()(1)max g x g a =-=， 所以1a e-，即实数a 的取值范围是1a e-， 故选：B ．16．设过曲线()2cos g x ax x =+上任意一点处的切线为1l ，总存在过曲线()x f x e x =--上一点处的切线2l ，使得12//l l ，则实数a 的取值范围为()A ．[1，)+∞B ．[1，]+∞C ．(-∞，3]-D ．(,3)-∞-【解析】设()2cos g x ax x =+上为1(x ，1())g x ，()f x 上切点为2(x ，2())f x ， 依题得1x R ∀∈，2x R ∃∈，有112sin 1x a x e -=--，[2a -，2](,1)a +⊆-∞-易得3a <-． 故选：D ． 17．设函数24(),()xx f x g x xe x+==，若对任意1x ，2(0x ∈，]e ，不等式12()()1g x f x +恒成立，则正数的取值范围为( )A ．141(,]e e e + B ．(e ，4]C ．1(0,]4e e e+-D ．14(0,]4e e +- 【解析】对任意1x ，2(0x ∈，]e ，不等式12()()1g x f x +恒成立，等价于12()()()()1maxmin g x f x +恒成立，2444()24x f x x x x x x+==+⋅=，当且仅当2x =时等号成立，∴2()4()min f x =；又()x g x xe =，()(1)0x x x g x e xe x e ∴'=+=+>在(0，]e 上恒成立， 则11()()11e maxg x e +++， ∴141e e ++，又0>，解得1404e e +<-． ∴正数的取值范围为14(0,]4e e +-． 故选：D ．18．设e 表示自然对数的底数，函数22()()()()4x e a f x x a a R -=+-∈，若关于x 的不等式1()5f x 有解，则实数a 的值为 15．【解析】22()()()()4x e a f x x a a R -=+-∈，若关于x 的不等式1()5f x 有解， 5)5x 有解，由y =，可得函数y 的几何意义为点(,)2xe x 和点(,)2a a 的距离，由于两点在曲线2xe y =和直线20x y -=运动，当直线20x y t -+=与曲线相切，设切点为(,)2me m ，可得切线的斜率为122m e =，解得0m =，则切点为1(0,)2，可得切点到直线20x y -=的距离为d =，55有解，且等号成立，由20x y -=和122y x =-+联立，可得交点为1(5，1)10， 即有15a =，故答案为：15．19．已知21()2f x alnx x x =++，若对任意两个不等的正实数1x ，2x ，都有122212()()1f x f x x x -<-恒成立，则a 的取值范围是 (-∞，1]4-．【解析】设12x x >，则221212()()f x f x x x -<-，221122()()f x x f x x ∴-<-，令221()()2g x f x x alnx x x =-=-+，12()()g x g x ∴<，()g x ∴在(0,)+∞上单调递减，()10ag x x x∴'=-+， 2211()24a x x x ∴-=--，14x ∴=时，21()4min x x -=-， 14a ∴-．a ∴的取值范围是(-∞，1]4-．故答案为：(-∞，1]4-．20．（1）设函数()(21)x f x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是3[2e，1) ．（2）已知()x f x xe =，2()(1)g x x a =-++，若1x ∃，2x R ∈，使得21()()f x g x 成立，则实数a 的取值范围 ．【解析】（1）函数()(21)x f x e x ax a =--+，其中1a <， 设()(21)x g x e x =-，y ax a =-，存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，∴存在唯一的整数0x ，使得0()g x 在直线y ax a =-的下方，()(21)x g x e x '=+，∴当12x <-时，()0g x '<， ∴当12x =-时，121[()]()22min g x g e -=-=-．当0x =时，(0)1g =-，g （1）0e =>，直线y ax a =-恒过(1,0)，斜率为a ，故(0)1a g ->=-， 且1(1)3g e a a --=---，解得32ae． a ∴的取值范围是3[,1)2e． （2）1x ∃，2x R ∈，使得21()()f x g x 成立，等价于()()min max f x g x ，()x f x xe =-， ()(1)x f x x e ∴'=+，当1x <-时，()0f x '<；1x >-时，()0f x '>．1x ∴=-时，1()min f x e=-． 2()(1)g x x a =++， ()max g x a ∴=．1a e∴-， ∴实数m 的取值范围是1[,)e-+∞．故答案分别为：（1）3[,1)2e；（2）1[,)e-+∞．21．当(0,)x ∈+∞时，不等式22(1)0c x cx lnx cx -++恒成立，则实数c 的取值范围是1[e，){}e +∞- ．【解析】当(0,)x ∈+∞时，不等式22(1)0c x cx lnx cx -++恒成立，即(0,)x ∈+∞时，()(1)0xc lnx xc -+恒成立，即(0,)x ∈+∞时，1lnx c xc x ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩或1lnxc xc x ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩，令()lnx f x x=，21()lnx f x x-'=， 令()0f x '>，解得：0x e <<， 令()0f x '<，解得：x e >，()f x ∴在(0,)e 递增，在(,)e +∞递减， ()max f x f∴=（e ）1e=，而10y x =-<，又当1x e=时，2()(1)(1)0c xc lnx xc e-+=+符合条件，c e ∴=-，故1ce，或c e =-， 故答案为：1[e，){}e +∞-．22．若关于x 的不等式(1)()0x ax e aex +-在(0,)+∞上恒成立，则实数a 的取值范围是[0，1]．【解析】当0a =时，不等式(1)()0x ax e aex +-即为0x e >显然成立；当0a >时，0x >，10ax +>，只要0x e aex-，即有xe aex 的最小值，令()xe g x x=，2(1)()x e x g x x-'=，当1x >时，()0g x '>，()g x 递增；当01x <<时，()0g x '<，()g x 递减． 即有1x =处取得最小值，且为e ， 则aee ，解得01a <；当0a <时，0x >，0x e aex ->， 只要10ax +恒成立，由于11ax +， 则0a <不恒成立．综上可得a 的范围是[0，1]． 故答案为：[0，1]．23．关于x 的不等式(1)()0ax lnx ax -+在(0,)+∞上恒成立，则实数a 的取值范围是1a e-或a e = ．【解析】0a <，则0lnx ax+，令y lnx ax =+，则1y a x'=+， 10x a∴<<-时，0y '>，1x a>-时，0y '<1x a∴=-时，函数取得最大值1()1ln a--，0lnx ax +，1()10ln a ∴--，1a e∴-；0a =时，则0lnx ，在(0,)+∞上不恒成立，不合题意；0a >时，100ax lnx ax -⎧⎨+⎩或100ax lnx ax -⎧⎨+⎩，a e =， 综上，1ae-或a e =． 24．已知关于x 的不等式321ax x xlnx x+++在(0,)+∞上恒成立，则实数a 的取值范围是 (-∞，1]-．【解析】当0a时，取1x =，则3222ax x x a ++=+>，11lnx x+=，不等式321ax x x lnx x+++在(0,)+∞上不恒成立， 0a ∴<．①当1a -时，3232ax x x x x x ++-++，令32()g x x x x =-++，2()321(31)(1)g x x x x x '=-++=-+-，当(0,1)x ∈时，()0g x '>，()g x 为增函数，当(1,)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 为减函数，()g x ∴在(0,)+∞上的极大值也是最大值为g （1）1=．又1()f x lnx x=+，22111()x f x x x x-'=-=，当(0,1)x ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数，()f x ∴在(0,)+∞上的极小值也是最小值为f （1）11ln g =+=（1）．()()f x g x ∴在(0,)+∞上恒成立；①当(1,0)a ∈-时，取1x =，则3221ax x x a ++=+>，11lnx x+=，不等式321ax x x lnx x+++在(0,)+∞上不恒成立． 综上，1a -．故答案为：(-∞，1]-．25．已知函数()1(0)f x x alnx a =--<，4()g x x=，若对任意1x ，2(0x ∈，1]都有1212|()()||()()|f x f x g x g x --成立，则实数a 的取值范围为 [3-，0) ．【解析】函数()f x 的定义域为(0,)+∞，则当0a <时，()10a f x x'=->恒成立， 此时，函数()f x 在(0,)+∞上是增函数， 又函数4()g x x=，在(0，1]上是减函数不妨设1201x x <，则1221|()()|()()f x f x f x f x -=-，121244|()()|g x g x x x -=-，则不等式1212|()()||()()|f x f x g x g x --等价为121211|()()|4||f x f x x x --， 即212144()()f x f x x x ++设44()()1h x f x x alnx xx=+=--+，则121211|()()|4||f x f x x x --，等价于函数()h x 在区间(0，1]上是减函数 22244()1a x ax h x x x x --'=--=， 240x ax ∴--在(0，1]上恒成立，即4ax x -在(0，1]上恒成立，即a 不小于4y x x=-在(0，1]内的最大值．而函数4y x x=-在(0，1]是增函数，4y x x∴=-的最大值为3-3a ∴-，又0a <，[3a ∴∈-，0)． 故答案为：[3-，0)．26．若()1f x x alnx =--，()xex g x e=，0a <，且对任意1x ，2[3x ∈，124]()x x ≠，121211|()()|||()()f x f x g x g x -<-的恒成立，则实数a 的取值范围为 22[33e -，0)．【解析】易知1(),()f xg x 在[3x ∈，4]上均为增函数， 不妨设12x x <，则121211|()()|||()()f x f xg x g x -<- 等价于212111()()()()f x f xg x g x -<-， 即212111()()()()f x f xg x g x -<-； 令1()()1()xe h xf x x alnxg x ex=-=---，则()h x 在[3x ∈，4]为减函数，则2(1)()10x a e x h x x ex'-=--在(3,4)x ∈上恒成立，∴11,[3,4]x x e a x ex x---+∈恒成立； 令11(),[3,4]x x e u x x ex x--=-+∈， ∴11122(1)113()11[()],[3,4]24x x x e x u x ee x x x ----'=-+=--+∈， ()u x ∴为减函数，()u x ∴在[3x ∈，4]的最大值为22(3)33u e =-；综上，实数a 的取值范围为22[33e -，0)．故答案为：22[33e -，0)．27．设过曲线()3x f x e x a =--+上任意一点处的切线为1l ，总存在过曲线()(1)2cos g x x a x =-+上一点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为 [1-，2] ．【解析】由()x f x e x =--，得()1x f x e '=--，11x e +>，∴1(0,1)1xe ∈+， 由()(1)2cos g x x a x =-+，得()2sin g x a x '=-， 又2sin [2x -∈-，2]，2sin [2a x a ∴-∈-+，2]a +，要使过曲线()3x f x e x a =--+上任意一点的切线为1l ，总存在过曲线()(1)2cos g x a x x =-+上一点处的切线2l ，使得12l l ⊥， 则2021a a -⎧⎨+⎩，解得12a -． 即a 的取值范围为[1-，2]， 故答案为[1-，2]． 28．设函数2221(),()x e x e xf xg x x e +==，对任意1x 、2(0,)x ∈+∞，不等式12()()1f xg x k k+，恒成立，则正数k 的取值范围是 1k ．【解析】当0x >时，21()2f x e x x =+12x e x=， 1(0,)x ∴∈+∞时，函数1()f x 有最小值2e ，2()x e x g x e =，2(1)()x e x g x e -∴'=，当1x <时，()0g x '>，则函数()g x 在(0,1)上单调递增， 当1x >时，()0g x '<，则函数在(1,)+∞上单调递减， 1x ∴=时，函数()g x 有最大值g （1）e =，则有1x 、2(0,)x ∈+∞，12()2()min max f x e g x e =>=，不等式12()()1f x g x k k +恒成立且0k >， ∴21ee k k +， 1k ∴故答案为：1k ．29．已知函数()1()f x x alnx a R =--∈，()xe g x x =，当0a <时，且对任意的1x ，2[4x ∈，125]()x x ≠，1212|()()||()()|f x f x g x g x -<-恒成立，则实数a 的取值范围为 ．【解析】当0a <时，()10a f x x'=->在[4x ∈，5]上恒成立， ∴函数()f x 在[4x ∈，5]上单调递增，()xe g x x =，2(1)()0x e x g x x -'=>在[4x ∈，5]上恒成立， ()g x ∴在[4，5]上为增函数．当0a <时，且对任意的1x ，2[4x ∈，125]()x x ≠，1212|()()||()()|f x f x g x g x -<-恒成立，即2211()()()()f x g x f x g x -<-在[4x ∈，5]上恒成立．设()()()1x e F x f x g x x alnx x =-=---，则()F x 在[4x ∈，5]上为减函数．2(1)()10x a e x F x x x -'=--在[4x ∈，5]上恒成立，化为xx e a x e x-+恒成立． 设()x xe H x x e x =-+， 222(1)11113()11(1)1[()]24x x x x e x H x e e e x x x x -'=-+=--+=--+，[4x ∈，5]． 231133[()]1244x e e x ∴-+>>，[4x ∈，5]． ()0H x ∴'<在[4x ∈，5]上恒成立，即()H x 为减函数．()H x ∴在[4x ∈，5]上的最大值为H （4）444134444e e e =-+=-． 43404e a ∴-<．。
恒成立与存在问题解参数技巧(1)(1)
数学恒成立&存在问题解参数技巧一、分类讨论法：例如：函数，若恒成立，求的取值范围。
解析：根据题意，只需求时，的取值范围。
根据求导，讨论的取值，求出，并使其满足时，的取值即可。
此题求得。
二、构造函数法：1、构造一种函数法：仍以函数，若恒成立，求的取值范围为例。
解析：当时，在恒成立，当时，原试可化简为恒成立，故可构造，若使其恒成立，只需即可，即只需求出。
此题在上单调递增，由极限性得（洛必达法则解）。
2、构造函数和，数形结合解。
（这是一种技巧，解决选择填空题非常快捷，由于方法特殊，简答题不到万不得已时建议勿用，但可以用来检查简答题的正误。
）这里主要讲解该技巧的应用。
（1）、函数，若恒成立，求的取值范围。
解析：将原试写为，构造，，则题意等价于在时恒成立。
思维转换，可理解为时，的函数图像始终在的上方。
由于，由右图图像知，当与相切时，,当图像向上转动时，与图像在出现两个交点，即的图像在此区间不是始终在上方，不合题意。
当图像向下转动时，图像在，始终在上方，符合题意，故所求。
（2）、已知函数，若其在定义域内是单调递增函数，求参数的取值范围。
解析：根据题意知，在恒成立。
构造，，则题意等价于在恒成立，即的函数图像始终在的上方。
由图像知，当与相切时，与只有一个交点，设交点为，此时参数，则由切线性质可得到以下关系式：联立解得，，故当的函数图像始终在的上方时，所求。
（3）、设，若在处取得极大值，求实数的取值范围。
解析：右图为在1附近处的大致图像，由图知，若在处取得极大值，则存在1附近的值（），使得当时，恒成立，当时，恒成立。
即在与在时恒成立。
构造，则题意转换为：时，恒成立，且时，恒成立。
由图像知，当相切时，存在，使得，的图像在图像下方，由知，切点为，设此时，则，故。
当所求时，不存在，使得，恒成立，不合题意；当将切线向下旋转时，显然不符合题意；当将图像向上旋转移动时，存在，使得当，的函数图像上方，且存在，使得当，使得的函数图像在下方。
恒成立与存在性问题的解题策略
“恒成立问题”与“存在性问题”的基本解题策略一、“恒成立问题”与“存在性问题”的基本类型恒成立、能成立、恰成立问题的基本类型1、恒成立问题的转化： a f x 恒成立a f x ；max a f x 恒成立 a f xmin2、能成立问题的转化： a f x 能成立a f x ；min a f x 能成立 a f xmax3 、恰成立问题的转化： a f x 在M 上恰成立 a f x 的解集为M a f x 在M 上恒成立a f x 在C M 上恒成立R另一转化方法：若x D,f (x) A在D 上恰成立，等价于 f (x) 在D 上的最小值f min (x) A，若x D, f ( x) B在D 上恰成立，则等价于 f (x) 在D 上的最大值f max (x) B .4、设函数 f x 、g x ，对任意的x1 a , b ，存在x2 c,d ，使得 f x1 g x2 ，则f mi n xg mi n x5、设函数 f x 、g x ，对任意的x1 a , b ，存在x2 c , d ，使得 f x1 g x2 ，则f max xg max x6 、设函数 f x 、g x ，存在x1 a , b ，存在x2 c , d ，使得 f x1 g x2 ，则f m a x xg m i n x7 、设函数 f x 、g x ，存在x1 a , b ，存在x2 c , d ，使得 f x1 g x2 ，则f m i n xg m a xx8、设函数 f x 、g x ，对任意的x1 a , b ，存在x2 c , d ，使得 f x1 g x2 ，设f(x) 在区间[a,b]上的值域为 A ，g(x)在区间[c,d] 上的值域为B, 则A B.9、若不等式 f x g x 在区间D 上恒成立，则等价于在区间 D 上函数y f x 和图象在函数y g x 图象上方；10、若不等式 f x g x 在区间 D 上恒成立，则等价于在区间 D 上函数y f x 和图象在函数y g x 图象下方；恒成立问题的基本类型在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题.函数在给定区间上某结论成立问题,其表现形式通常有: 在给定区间上某关系恒成立; 某函数的定义域为全体实数R; 某不等式的解为一切实数; 某表达式的值恒大于 a 等等⋯恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起第 1 页到了积极的作用。
函数的恒成立与存在性问题
1．若关于x的不等式x2＋ax－2>0在区间[1,5]上有解，则 实数a的取值范围为( )
A．－253，＋∞ C．(1，＋∞)
B．－253，1 D．(－∞，－1)
答案 A
解析 问题等价转化为不等式ax>2－x2在区间[1,5]上有
解，即不等式a>
2 x
－x在区间[1,5]上有解，令
方法三 分离变量法 若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不 等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参 数范围．这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操 作性更强．一般地有f(x)<g(a)(a为参数)恒成立⇔g(a)>f(x)max， f(x)>g(a)(a为参数)恒成立⇔g(a)<f(x)min .
因为函数y＝
1 ex
为R上的减函数，所以y＝－
1 ex
为R上的增
函数，故f(x)＝ex－
1 ex
为R上的增函数，由f(－4t)>f(2m＋mt2)，
可得－4t>2m＋mt2，即mt2＋4t＋2m<0对任意t∈R恒成立，当
m＝0时，不等式可化为4t<0，不符合题意，所以m≠0，所以
m<0， Δ＝16－8m2<0，
2022高考一轮复习
函数的恒成立与存在性问题
2021.09.09-10
纵观近几年高考对于函数、不等式中恒成立问题的考查重点是一次函数、二次 函数的性质、不等式的性质及应用，图象.渗透换元、化归、数形结合、函数 与方程、分类讨论、转化等数学思想方法
不等式类型 ∀x∈D，f(x)＞M ∀x∈D，f(x)＜M ∃x0∈D，f(x0)＞M ∃x0∈D，f(x0)＜M ∀x∈D，f(x)＞g(x) ∀x∈D，f(x)＜g(x)
第106课--恒成立与存在性问题
范围.
答案： (, 1 ) (e2 , ) 2e
解析：问题可化为函数 f (x) 在区间 (0, e2 ] 的最小值小于 0
i）当
a
0
时，
f
(x)
ax e x2
0
则函数
f
(x)
在区间 (0, e2 ] 内为减函数，故
f
(x)
的最小值是
f
(e2 )
2a
1 e
0 ，即
a
1 2e
；
ii）当 a 0 时，函数 f (x) 在区间 (0, e ) 内为减函数，在区间 ( e , ) 内为增函数，
单调递减区间是 a, .
（2）依题意，要满足对任意
x1
0,
，均存在
x2
0,1 ，使得
f
x1
g
x2
，只需满足
f
x
max
g
x
max
.
因为
g x
x2
2x
2a
，
x 0,1 ，所以
g
x
max
2a
，
由（1）知，当 a 0 时，函数 f x 在区间 0, 上单调递减，值域为 R ，不符合题意；
a
（2）∵存在 x0 1,e 使不等式 g x0 ex0 lnx0 成立，∴存在 x0 1,e 使 p lnx0 1 ex0 x0 成立，
令
h
x
lnx
1 ex
x
x
1, e
，则
p
h
x min
， h
'
x
1 x
lnx
1 ex
1
，
由（1）知当 a
恒成立与存在性问题解题策略
“恒成立问题〞与“存在性问题〞的根本解题策略一、“恒成立问题〞与“存在性问题〞的根本种类恒成立、能成立、恰成立问题的根本种类1、恒成立问题的转变：()a f x >恒成立⇒()maxa f x >；()()min a f x a f x ≤⇒≤恒成立2、能成立问题的转变：()a f x >能成立⇒()min a f x >；()()max a f x a f x ≤⇒≤能成立3、恰成立问题的转变：()a f x >在M 上恰成立⇔()a f x >的解集为M ()()Ra f x M a f x C M ⎧>⎪⇔⎨≤⎪⎩在上恒成立在上恒成立 另一转变方法：假定A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min，假定,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，那么等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max. 4、设函数()x f 、()x g ，对随意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，那么()()x g x f minmin ≥ 5、设函数()x f 、()x g ，对随意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，那么()()x g x f maxmax ≤ 6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，那么()()x g x f min max ≥7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，那么()()x g x f max min ≤8、设函数()x f 、()x g ，对随意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f =，设f(x)在区间[a,b]上的值域为A ，g(x)在区间[c,d]上的值域为B,那么AB.9、假定不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，那么等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方；10、假定不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，那么等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方；恒成立问题的根本种类在数学识题研究中常常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题.函数在给定区间上某结论成立问题,其表现形式往常有:在给定区间上某关系恒成立;某函数的定义域为全体实数R;某不等式的解为一确实数;某表达式的值恒大于a等等…恒成立问题，波及到一次函数、二次函数的性质、图象,浸透着换元、化归、数形联合、函数与方程等思想方法，有益于考察学生的综合解题能力，在培育思想的灵巧性、创建性等方面起到了踊跃的作用。
恒成立与存在性问题的转化策略
恒成立与存在性问题的转化策略一、单函数单变量问题：1.对∀D x ∈,a>)(x f 恒成立⇔函数)(x f y =的图像总在直线a y =的下方⇔a>)(x f max，D x ∈；对∀D x ∈,a<)(x f 恒成立⇔函数)(x f y =的图像总在直线a y =的上方⇔a<)(x f min，D x ∈； 2.∃D x ∈,a>)(x f 能成立⇔函数)(x f y =的图像有点在直线a y =的下方⇔a>)(x f min，D x ∈； 对∃D x ∈,a<)(x f 能成立⇔函数)(x f y =的图像有点在直线a y =的上方⇔a<)(x f max，D x ∈；3.恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立⇔()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ⎧>⎪⇔⎨≤⎪⎩在上恒成立在上恒成立另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若,D x ∈Bx f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max .二、双函数单变量问题：4.对∀D x ∈,不等式)(x f >)(g x 恒成立⇔在区间D 上，函数)(x f y =的图像总在函数)(g x y =的图像的上方⇔[)(x f -)(g x ]min ，D x ∈； 对∀D x ∈,不等式)(x f <)(g x 恒成立⇔在区间D 上，函数)(x f y =的图像总在函数)(g x y =的图像的下方⇔[)(x f -)(g x ]max ，D x ∈； 三、双函数双变量问题：设函数()x f 、()x g ，5.对∀[]b a x ,1∈，∀[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f m ax min ≥；6.对∀[]b a x ,1∈，∃[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min min ≥；7.对∀[]b a x ,1∈，∃[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤；8.存在[]b a x ,1∈，∃[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥；9.存在[]b a x ,1∈，∃[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤；10.对∀[]b a x ,1∈，总∃[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f =⇔{)(x f ∣[]b a x ,∈}⊆{)(g x ∣[]d ,c ∈x }。
三元方程(不等式)中存在与恒成立问题解答策略
三元方程(不等式)中存在与恒成立问题解答策略
一、什么是三元方程(不等式)
三元方程(不等式)是一种由三个未知数组成的方程，它可以用来求解三个未知数的值。
它
可以用来求解比较复杂的问题，也可以用来解决组合数学中的问题。
二、三元方程(不等式)中存在与恒成立问题
在解决三元方程(不等式)时，有时会遇到“与恒成立”问题。
这种情况下，当我们把三元
方程(不等式)中的三个未知数替换为实际的值时，方程的结果不会改变，也就是说，方程
的结果是恒定的。
三、解决三元方程(不等式)中存在与恒成立问题的策略
1. 检查方程中的未知数：首先，我们需要在解决三元方程(不等式)时，检查方程中的未
知数是否存在重复，如果有，则可以直接排除，因为重复的未知数会导致方程的结果与恒
成立。
2. 改变方程的形式：如果方程中的未知数没有重复，那么我们可以尝试改变方程的形式，比如把方程中的未知数改变为不同的变量，或者把方程变换为其他形式，这样可以有效地
避免方程的结果与恒成立。
3. 使用数值解法：如果改变方程的形式仍然不能解决问题，那么我们可以尝试使用数值
解法，比如使用牛顿迭代法或其他数值解法，来求解三元方程(不等式)中的未知数。
4. 使用图像解法：如果以上方法都不能解决问题，那么我们可以尝试使用图像解法，比
如用图像来可视化三元方程(不等式)的解，以此来求解未知数。
总结
以上就是解决三元方程(不等式)中存在与恒成立问题的策略，即检查方程中的未知数，改
变方程的形式，使用数值解法和图像解法。
在解决三元方程(不等式)时，如果遇到“与恒
成立”问题，可以使用上述方法来解决。
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存在与恒成立问题题型一不等式的恒成立问题例1已知函数f(x)＝ax－1－ln x，a∈R.(1)讨论函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在x＝1处取得极值，对∀x∈(0，＋∞)，f(x)≥bx－2恒成立，求实数b的取值范围．破题切入点有关不等式的恒成立求参数范围的问题，通常采用的是将参数分离出来的方法．例2已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1处取得极值，且在x＝0处的切线的斜率为－3.(1)求f(x)的解析式；(2)若过点A(2，m)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．破题切入点(1)利用极值处导数为0及导数的几何意义求出f(x)．(2)借助导数几何意义表示切线方程，然后分离参数，利用数形结合求m范围．题型三存在与恒成立的综合性问题例3已知a>0，函数f(x)＝ln x－ax2，x>0.(f(x)的图象连续不断)(1)求f(x)的单调区间；(2)当a＝18时，证明：存在x0∈(2，＋∞)，使f(x0)＝f⎝⎛⎭⎪⎫32；(3)若存在均属于区间[1,3]的α，β，且β－α≥1，使f(α)＝f(β)，证明：ln 3－ln 25≤α≤ln 23.破题切入点考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性，解不等式函数的零点等基础知识，既有存在，又有恒成立问题．总结提高(1)存在与恒成立两个热点词汇在高考中频繁出现，关键要把握两个词语的本质：存在即特称量词，“有的”意思；恒成立即全称量词，“任意的”意思．(2)解决这类问题的关键是转化与化归思想，转化为求解函数的最大值与最小值问题．(3)函数与方程思想的应用在求解参数范围中体现的淋漓尽致，将参数分离出来，另一侧设为函数，转化为求解另一侧函数的最大值和最小值问题．1．(2013·课标全国Ⅱ)若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是()A．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞)C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞)2．已知函数f (x )＝2ax 3－3ax 2＋1，g (x )＝－a 4x ＋32，若任意给定的x 0∈[0,2]，总存在两个不同的x i (i ＝1,2)∈[0,2]，使得f (x i )＝g (x 0)成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．[－1,1]3．(2014·课标全国Ⅱ)设函数f (x )＝3sin πx m .若存在f (x )的极值点x 0满足x 20＋[f (x 0)]2<m 2，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－6)∪(6，＋∞)B ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)4．(2014·山东)已知实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( )A.1x 2＋1>1y 2＋1 B ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1)C ．sin x >sin yD ．x 3>y 35．若x ∈[0，＋∞)，则下列不等式恒成立的是( )A ．e x ≤1＋x ＋x 2 B.11＋x≤1－12x ＋14x 2 C ．cos x ≥1－12x 2 D ．ln(1＋x )≥x －18x 27．设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(x ∈R )，若对于任意x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，则实数a 的值为________．8．(2014·江苏)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________．9．已知函数f(x)＝x－1x＋1，g(x)＝x2－2ax＋4，若对于任意x1∈[0,1]，存在x2∈[1,2]，使f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是__________．10．(2014·浙江)已知函数f(x)＝x3＋3|x－a|(a∈R)．(1)若f(x)在[－1,1]上的最大值和最小值分别记为M(a)，m(a)，求M(a)－m(a)；(2)设b∈R，若[f(x)＋b]2≤4对x∈[－1,1]恒成立，求3a＋b的取值范围．11．已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－x＋1.(1)若xf′(x)≤x2＋ax＋1，求a的取值范围；(2)证明：(x－1)f(x)≥0.12．(2014·陕西)设函数f(x)＝ln x＋mx，m∈R.(1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；(2)讨论函数g(x)＝f′(x)－x3零点的个数；(3)若对任意b>a>0，f(b)－f(a)b－a<1恒成立，求m的取值范围．存在与恒成立问题题型一 不等式的恒成立问题例1 已知函数f (x )＝ax －1－ln x ，a ∈R .(1)讨论函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在x ＝1处取得极值，对∀x ∈(0，＋∞)，f (x )≥bx －2恒成立，求实数b 的取值范围． 破题切入点 有关不等式的恒成立求参数范围的问题，通常采用的是将参数分离出来的方法．解 (1)在区间(0，＋∞)上，f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x ，当a ≤0时，f ′(x )<0恒成立，f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减；当a >0时，令f ′(x )＝0得x ＝1a ，在区间(0，1a )上，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，在区间(1a ，＋∞)上，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．综上所述：当a ≤0时，f (x )的单调递减区间是(0，＋∞)，无单调递增区间；当a >0时，f (x )的单调递减区间是(0，1a )，单调递增区间是(1a ，＋∞)．(2)因为函数f (x )在x ＝1处取得极值，所以f ′(1)＝0，解得a ＝1，经检验可知满足题意．由已知f (x )≥bx －2，即x －1－ln x ≥bx －2，即1＋1x －ln x x ≥b 对∀x ∈(0，＋∞)恒成立，令g (x )＝1＋1x －ln x x ，则g ′(x )＝－1x 2－1－ln x x 2＝ln x －2x 2，易得g (x )在(0，e 2]上单调递减，在[e 2，＋∞)上单调递增，所以g (x )min ＝g (e 2)＝1－1e 2，1题型二 存在性问题例2 已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 在x ＝±1处取得极值，且在x ＝0处的切线的斜率为－3.(1)求f (x )的解析式；(2)若过点A (2，m )可作曲线y ＝f (x )的三条切线，求实数m 的取值范围．破题切入点 (1)利用极值处导数为0及导数的几何意义求出f (x )．(2)借助导数几何意义表示切线方程，然后分离参数，利用数形结合求m 范围． 解 (1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .依题意⎩⎨⎧ f ′(1)＝3a ＋2b ＋c ＝0，f ′(－1)＝3a －2b ＋c ＝0，⇒⎩⎨⎧b ＝0，3a ＋c ＝0.又f ′(0)＝－3，∴c ＝－3，∴a ＝1，∴f (x )＝x 3－3x .(2)设切点为(x 0，x 30－3x 0)，∵f ′(x )＝3x 2－3.∴f ′(x 0)＝3x 20－3.∴切线方程为y －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(x －x 0)． 又切线过点A (2，m )．∴m －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(2－x 0)．∴m ＝－2x 30＋6x 20－6.令g (x )＝－2x 3＋6x 2－6，则g ′(x )＝－6x 2＋12x＝－6x (x －2)，由g ′(x )＝0得x ＝0或x ＝2.g (x )极小值＝g (0)＝－6，g (x )极大值＝g (2)＝2.画出草图如右图．∴当－6<m <2时，m ＝－2x 3＋6x 2－6有三解．即可作曲线y ＝f (x )的三条切线．题型三 存在与恒成立的综合性问题例3 已知a >0，函数f (x )＝ln x －ax 2，x >0.(f (x )的图象连续不断)(1)求f (x )的单调区间；(2)当a ＝18时，证明：存在x 0∈(2，＋∞)，使f (x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32；(3)若存在均属于区间[1,3]的α，β，且β－α≥1，使f (α)＝f (β)，证明：ln 3－ln 25≤α≤ln 23.破题切入点 考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性，解不等式函数的零点等基础知识，既有存在，又有恒成立问题．(1)解 f ′(x )＝1x －2ax ＝1－2ax 2x ，x ∈(0，＋∞)， 令f ′(x )＝0，解得x ＝2a 2a， 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )(2)证明 当a ＝18时，f (x )＝ln x －18x 2.由(1)知f (x )在(0,2)内单调递增，在(2，＋∞)内单调递减． 令g (x )＝f (x )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，由于f (x )在(0,2)内单调递增， 故f (2)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，即g (2)>0.取x ′＝32e>2，则g (x ′)＝41－9e 232<0.所以存在x 0∈(2，x ′)，使g (x 0)＝0，即存在x 0∈(2，＋∞)，使f (x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32.(说明：x ′的取法不唯一，只要满足x ′>2，且g (x ′)<0即可) (3)证明 由f (α)＝f (β)及(1)的结论知α<2a2a <β， 从而f (x )在[α，β]上的最小值为f (α)． 又由β－α≥1，α，β∈[1,3]，知1≤α≤2≤β≤3. 故⎩⎨⎧f (2)≥f (α)≥f (1)，f (2)≥f (β)≥f (3)， 即⎩⎨⎧ln 2－4a ≥－a ，ln 2－4a ≥ln 3－9a .从而ln 3－ln 25≤a≤ln 23.总结提高(1)存在与恒成立两个热点词汇在高考中频繁出现，关键要把握两个词语的本质：存在即特称量词，“有的”意思；恒成立即全称量词，“任意的”意思．(2)解决这类问题的关键是转化与化归思想，转化为求解函数的最大值与最小值问题．(3)函数与方程思想的应用在求解参数范围中体现的淋漓尽致，将参数分离出来，另一侧设为函数，转化为求解另一侧函数的最大值和最小值问题．1．(2013·课标全国Ⅱ)若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是()A．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞)C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞)答案 D解析∵2x(x－a)<1，∴a>x－1 2x.令f(x)＝x－12x，∴f′(x)＝1＋2－x ln 2>0.∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴f(x)>f(0)＝0－1＝－1，∴a的取值范围为(－1，＋∞)，故选D.2．已知函数f(x)＝2ax3－3ax2＋1，g(x)＝－a4x＋32，若任意给定的x0∈[0,2]，总存在两个不同的x i(i＝1,2)∈[0,2]，使得f(x i)＝g(x0)成立，则实数a的取值范围是() A．(－∞，－1)B．(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．[－1,1]答案 A解析当a＝0时，显然不成立，故排除D；当a>0时，注意到f′(x)＝6ax2－6ax＝6ax(x－1)，即f(x)在[0,1]上是减函数，在[1,2]上是增函数，又f(0)＝1<32＝g(0)，当x 0＝0时，结论不可能成立；进一步，可知a <0，此时g (x )在[0,2]上是增函数， 且取值范围是[32，－a 2＋32]，同时f (x )在0≤x ≤1时，函数值从1增大到1－a ， 在1≤x ≤2时，函数值从1－a 减少到1＋4a ， 所以“任意给定的x 0∈[0,2]， 总存在两个不同的x i (i ＝1,2)∈[0,2]， 使得f (x i )＝g (x 0)成立”当且仅当⎩⎨⎧f (x )的最大值>g (x )的最大值，f (x )的最小值<g (x )的最小值，即⎩⎪⎨⎪⎧1－a >－a 2＋32，1＋4a <32，解得a <－1.3．(2014·课标全国Ⅱ)设函数f (x )＝3sin πx m .若存在f (x )的极值点x 0满足x 20＋[f (x 0)]2<m 2，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－6)∪(6，＋∞) B ．(－∞，－4)∪(4，＋∞) C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 答案 C解析 ∵f (x )＝3sin πx m 的极值点即为函数图象中的最高点或最低点的横坐标，由三角函数的性质可知T ＝2ππm ＝2m ，∴x 0＝m 2＋km (k ∈Z )．假设不存在这样的x 0，即对任意的x 0都有x 20＋[f (x 0)]2≥m 2，则(m 2＋km )2＋3≥m 2，整理得m 2(k 2＋k －34)＋3≥0，即k 2＋k －34≥－3m 2恒成立，因为y ＝k 2＋k －34的最小值为－34(当k ＝－1或0时取得)，故－2≤m ≤2，因此原特称命题成立的条件是m >2或m <－2.4．(2014·山东)已知实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( ) A.1x 2＋1>1y 2＋1B ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1)C ．sin x >sin yD ．x 3>y 3 答案 D解析 因为0<a <1，a x <a y ，所以x >y .采用赋值法判断，A 中，当x ＝1，y ＝0时，12<1，A 不成立．B 中，当x ＝0，y ＝－1时，ln 1<ln 2，B 不成立．C 中，当x ＝0，y ＝－π时，sin x ＝sin y ＝0，C 不成立．D 中，因为函数y ＝x 3在R 上是增函数，故选D.5．若x ∈[0，＋∞)，则下列不等式恒成立的是( ) A ．e x ≤1＋x ＋x 2 B.11＋x≤1－12x ＋14x 2 C ．cos x ≥1－12x 2 D ．ln(1＋x )≥x －18x 2 答案 C解析 对于C 项，设f (x )＝cos x ＋12x 2－1， 则f ′(x )＝－sin x ＋x ≥0(x ≥0)， 所以f (x )＝cos x ＋12x 2－1是增函数， 所以f (x )＝cos x ＋12x 2－1≥f (0)＝0，即cos x ≥1－12x 2.6．(2014·辽宁)当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－5，－3] B ．[－6，－98] C ．[－6，－2] D ．[－4，－3] 答案 C解析 当x ＝0时，ax 3－x 2＋4x ＋3≥0变为3≥0恒成立，即a ∈R .当x ∈(0,1]时，ax 3≥x 2－4x －3，a ≥x 2－4x －3x 3，∴a ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－4x －3x 3max . 设φ(x )＝x 2－4x －3x 3，φ′(x )＝(2x －4)x 3－(x 2－4x －3)3x 2x 6＝－x 2－8x －9x 4＝－(x －9)(x ＋1)x 4>0，∴φ(x )在(0,1]上递增，φ(x )max ＝φ(1)＝－6. ∴a ≥－6.当x ∈[－2,0)时，a ≤x 2－4x －3x 3，∴a ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－4x －3x 3min . 仍设φ(x )＝x 2－4x －3x 3，φ′(x )＝－(x －9)(x ＋1)x 4. 当x ∈[－2，－1)时，φ′(x )<0， 当x ∈(－1,0)时，φ′(x )>0.∴当x ＝－1时，φ(x )有极小值，即为最小值． 而φ(x )min ＝φ(－1)＝1＋4－3－1＝－2，∴a ≤－2.综上知－6≤a ≤－2.7．设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(x ∈R )，若对于任意x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，则实数a 的值为________． 答案 4解析 若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0显然成立；当x >0时，即x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1x 3. 即g (x )＝3x 2－1x 3， 则g ′(x )＝3(1－2x )x 4，所以g (x )在区间(0，12]上单调递增，在区间[12，1]上单调递减， 因此g (x )max ＝g (12)＝4，从而a ≥4.当x <0时，即x ∈[－1,0)时，同理a ≤3x 2－1x 3.g (x )在区间[－1,0)上单调递增， 所以g (x )min ＝g (－1)＝4， 从而a ≤4，综上可知a ＝4.8．(2014·江苏)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________．答案 (－22，0) 解析作出二次函数f (x )的图象，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0，则有⎩⎨⎧f (m )<0，f (m ＋1)<0，即⎩⎨⎧m 2＋m 2－1<0，(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0，解得－22<m <0. 9．已知函数f (x )＝x －1x ＋1，g (x )＝x 2－2ax ＋4，若对于任意x 1∈[0,1]，存在x 2∈[1,2]，使f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是__________． 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫94，＋∞解析 由于f ′(x )＝1＋1(x ＋1)2>0，因此函数f (x )在[0,1]上单调递增，所以x ∈[0,1]时，f (x )min ＝f (0)＝－1.根据题意可知存在x ∈[1,2]，使得g (x )＝x 2－2ax ＋4≤－1，即x 2－2ax ＋5≤0，即a ≥x 2＋52x 能成立，令h (x )＝x 2＋52x ，则要使a ≥h (x )在x ∈[1,2]能成立，只需使a ≥h (x )min ，又函数h (x )＝x 2＋52x 在x ∈[1,2]上单调递减，所以h (x )min ＝h (2)＝94，故只需a ≥94.10．(2014·浙江)已知函数f (x )＝x 3＋3|x －a |(a ∈R )．(1)若f (x )在[－1,1]上的最大值和最小值分别记为M (a )，m (a )，求M (a )－m (a )； (2)设b ∈R ，若[f (x )＋b ]2≤4对x ∈[－1,1]恒成立，求3a ＋b 的取值范围．解 (1)因为f (x )＝⎩⎨⎧x 3＋3x －3a ，x ≥a ，x 3－3x ＋3a ，x <a ，所以f ′(x )＝⎩⎨⎧3x 2＋3，x ≥a ，3x 2－3，x <a .由于－1≤x ≤1.①当a ≤－1时，有x ≥a ，故f (x )＝x 3＋3x －3a . 此时f (x )在(－1,1)上是增函数，因此，M (a )＝f (1)＝4－3a ，m (a )＝f (－1)＝－4－3a ， 故M (a )－m (a )＝(4－3a )－(－4－3a )＝8. ②当－1<a <1时，若x ∈(a,1)，f (x )＝x 3＋3x －3a ，在(a,1)上是增函数；若x ∈(－1，a )，f (x )＝x 3－3x ＋3a ，在(－1，a )上是减函数， 所以，M (a )＝max{f (1)，f (－1)}，m (a )＝f (a )＝a 3. 由于f (1)－f (－1)＝－6a ＋2，因此当－1<a ≤13时，M (a )－m (a )＝－a 3－3a ＋4； 当13<a <1时，M (a )－m (a )＝－a 3＋3a ＋2. ③当a ≥1时，有x ≤a ，故f (x )＝x 3－3x ＋3a ， 此时f (x )在(－1,1)上是减函数，因此，M (a )＝f (－1)＝2＋3a ，m (a )＝f (1)＝－2＋3a ， 故M (a )－m (a )＝(2＋3a )－(－2＋3a )＝4.综上可知，M (a )－m (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧8，a ≤－1，－a 3－3a ＋4，－1<a ≤13，－a 3＋3a ＋2，13<a <1，4，a ≥1.(2)令h (x )＝f (x )＋b ，则h (x )＝⎩⎨⎧ x 3＋3x －3a ＋b ，x ≥a ，x 3－3x ＋3a ＋b ，x <a ，h ′(x )＝⎩⎨⎧3x 2＋3，x ≥a ，3x 2－3，x <a .因为[f (x )＋b ]2≤4对x ∈[－1,1]恒成立， 即－2≤h (x )≤2对x ∈[－1,1]恒成立， 所以由(1)知，①当a ≤－1时，h (x )在(－1,1)上是增函数， h (x )在[－1,1]上的最大值是h (1)＝4－3a ＋b ， 最小值是h (－1)＝－4－3a ＋b ，则－4－3a ＋b ≥－2且4－3a ＋b ≤2，矛盾；②当－1<a ≤13时，h (x )在[－1,1]上的最小值是h (a )＝a 3＋b ，最大值是h (1)＝4－3a ＋b ， 所以a 3＋b ≥－2且4－3a ＋b ≤2，从而－2－a 3＋3a ≤3a ＋b ≤6a －2且0≤a ≤13. 令t (a )＝－2－a 3＋3a ，则t ′(a )＝3－3a 2>0，t (a )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13上是增函数，故t (a )≥t (0)＝－2， 因此－2≤3a ＋b ≤0.③当13<a <1时，h (x )在[－1,1]上的最小值是 h (a )＝a 3＋b ，最大值是h (－1)＝3a ＋b ＋2， 所以a 3＋b ≥－2且3a ＋b ＋2≤2， 解得－2827<3a ＋b ≤0.④当a ≥1时，h (x )在[－1,1]上的最大值是 h (－1)＝2＋3a ＋b ，最小值是h (1)＝－2＋3a ＋b ，所以3a ＋b ＋2≤2且3a ＋b －2≥－2，解得3a ＋b ＝0. 综上，得3a ＋b 的取值范围是－2≤3a ＋b ≤0. 11．已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1. (1)若xf ′(x )≤x 2＋ax ＋1，求a 的取值范围； (2)证明：(x －1)f (x )≥0.(1)解 f ′(x )＝x ＋1x ＋ln x －1＝ln x ＋1x ，xf ′(x )＝x ln x ＋1，而xf ′(x )≤x 2＋ax ＋1(x ＞0)等价于ln x －x ≤a . 令g (x )＝ln x －x ，则g ′(x )＝1x －1.当0＜x ＜1时，g ′(x )＞0；当x ≥1时，g ′(x )≤0，x ＝1是 g (x )的最大值点，∴g (x )≤g (1)＝－1. 综上可知，a 的取值范围是[)－1，＋∞. (2)证明 由(1)知，g (x )≤g (1)＝－1， 即ln x －x ＋1≤0.当0＜x ＜1时，f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1＝x ln x ＋(ln x －x ＋1)<0，∴(x －1)f (x )>0； 当x ≥1时，f (x )＝ln x ＋(x ln x －x ＋1) ＝ln x ＋x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x －1＝ln x －x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x －1x ＋1≥0.∴(x －1)f (x )≥0.综上，在定义域内满足(x －1)f (x )≥0恒成立． 12．(2014·陕西)设函数f (x )＝ln x ＋mx ，m ∈R .(1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f (x )的极小值；(2)讨论函数g (x )＝f ′(x )－x3零点的个数； (3)若对任意b >a >0，f (b )－f (a )b －a<1恒成立，求m 的取值范围． 解 (1)由题设，当m ＝e 时，f (x )＝ln x ＋ex ， 则f ′(x )＝x －ex 2，∴当x ∈(0，e)时，f ′(x )<0，f (x )在(0，e)上单调递减， 当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(e ，＋∞)上单调递增， ∴当x ＝e 时，f (x )取得极小值f (e)＝ln e ＋ee ＝2， ∴f (x )的极小值为2.(2)由题设g (x )＝f ′(x )－x 3＝1x －m x 2－x3(x >0)， 令g (x )＝0，得m ＝－13x 3＋x (x >0)．设φ(x )＝－13x 3＋x (x ≥0)，则φ′(x )＝－x 2＋1＝－(x －1)(x ＋1)，当x ∈(0,1)时，φ′(x )>0，φ(x )在(0,1)上单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )<0，φ(x )在(1，＋∞)上单调递减．∴x ＝1是φ(x )的唯一极值点，且是极大值点，因此x ＝1也是φ(x )的最大值点， ∴φ(x )的最大值为φ(1)＝23.又φ(0)＝0，结合y ＝φ(x )的图象(如图)，可知①当m >23时，函数g (x )无零点；②当m ＝23时，函数g (x )有且只有一个零点； ③当0<m <23时，函数g (x )有两个零点； ④当m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点．综上所述，当m>23时，函数g(x)无零点；当m＝23或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点；当0<m<23时，函数g(x)有两个零点．(3)对任意的b>a>0，f(b)－f(a)b－a<1恒成立，等价于f(b)－b<f(a)－a恒成立．(*)设h(x)＝f(x)－x＝ln x＋mx－x(x>0)，∴(*)等价于h(x)在(0，＋∞)上单调递减．由h′(x)＝1x－mx2－1≤0在(0，＋∞)上恒成立，得m≥－x2＋x＝－(x－12)2＋14(x>0)恒成立，∴m≥14(对m＝14，h′(x)＝0仅在x＝12时成立)，∴m的取值范围是[14，＋∞)．。