离散数学考试试题(A、B卷及答案)

离散数学考试试题(A卷及答案）

一、证明题（10分）

1) (P∧Q∧A→C)∧(A→P∨Q∨C)⇔ (A∧(P↔Q))→C。P<->Q=(p->Q)合取（Q->p）

证明: (P∧Q∧A→C)∧(A→P∨Q∨C)

⇔(⌝P∨⌝Q∨⌝A∨C)∧(⌝A∨P∨Q∨C)

⇔((⌝P∨⌝Q∨⌝A)∧(⌝A∨P∨Q))∨C反用分配律

⇔⌝((P∧Q∧A)∨(A∧⌝P∧⌝Q))∨C

⇔⌝( A∧((P∧Q)∨(⌝P∧⌝Q)))∨C再反用分配律

⇔⌝( A∧(P↔Q))∨C

⇔(A∧(P↔Q))→C

2) ⌝(P↑Q)⇔⌝P↓⌝Q。

证明：⌝(P↑Q)⇔⌝(⌝(P∧Q))⇔⌝(⌝P∨⌝Q))⇔⌝P↓⌝Q。

二、分别用真值表法和公式法求(P→(Q∨R))∧(⌝P∨(Q↔R))的主析取范式与主合取范式，并写出其相应的成真赋值和成假赋值（15分）。

主析取范式与析取范式的区别：主析取范式里每个括号里都必须有全部的变元。

主析取范式可由析取范式经等值演算法算得。

证明：

公式法：因为(P→(Q∨R))∧(⌝P∨(Q↔R))

⇔(⌝P∨Q∨R)∧(⌝P∨(Q∧R)∨(⌝Q∧⌝R))

⇔(⌝P∨Q∨R)∧(((⌝P∨Q)∧(⌝P∨R))∨(⌝Q∧⌝R))分配律

⇔(⌝P∨Q∨R)∧(⌝P∨Q∨⌝Q)∧(⌝P∨Q∨⌝R)∧(⌝P∨R∨⌝Q)∧(⌝P ∨R∨⌝R)

⇔(⌝P∨Q∨R)∧(⌝P∨Q∨⌝R)∧(⌝P∨⌝Q∨R)

⇔4

M∧5

M使（非P析取Q析取R）为0所赋真值，即100，二进制

M∧6

为4

⇔0m∨1m∨2m∨3m∨7m

所以，公式(P→(Q∨R))∧(⌝P∨(Q↔R))为可满足式，其相应的成真赋值为000、001、010、011、111：成假赋值为：100、101、110。

真值表法：

P Q R Q↔R P→(Q∨R)⌝P∨(Q↔R) (P→(Q∨R))∧(⌝P∨(Q↔R))

0 0 0 0 0 1 0 1 0

0 1 1

1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

由真值表可知，公式(P→(Q∨R))∧(⌝P∨(Q↔R))为可满足式，其相应的成真赋值为000、001、010、011、111：成假赋值为：100、101、110。

三、推理证明题（10分）

1）⌝P∨Q，⌝Q∨R，R→S P→S。

证明：

(1)P附加前提

(2)⌝P∨Q P

(3)Q T(1)(2)，I（析取三段论）

(4)⌝Q∨R P

(5)R T(3)(4)，I（析取三段论）

(6)R→S P

(7)S T(5)(6)，I（假言推理）

(8)P→S CP

2) ∀x(P(x)→Q(y)∧R(x))，∃xP(x)⇒Q(y)∧∃x(P(x)∧R(x))

证明（1）∃xP(x)

(2)P(a)

(3)∀x(P(x)→Q(y)∧R(x))

(4)P(a)→Q(y)∧R(a)

(5)Q(y)∧R(a)

(6)Q(y)

(7)R(a)

(8)P(a)

(9)P(a)∧R(a)

(10)∃x(P(x)∧R(x))

(11)Q(y)∧∃x(P(x)∧R(x))

五、已知A、B、C是三个集合，证明(A∪B)－C＝(A－C)∪(B－C) （10分）

证明：因为

x∈(A∪B)－C⇔x∈(A∪B)－C

⇔x∈(A∪B)∧x∉C

⇔(x∈A∨x∈B)∧x∉C

⇔(x∈A∧x∉C)∨(x∈B∧x∉C)

⇔x∈(A－C)∨x∈(B－C)

⇔x∈(A－C)∪(B－C)

所以，(A∪B)－C＝(A－C)∪(B－C)。

八、证明整数集I上的模m同余关系R={|x≡y(mod m)}是等价关系。其中，x≡y(mod m)的含义是x-y可以被m整除（15分）。X(modm)=y(modm)

证明：1）∀x∈I，因为（x-x）/m=0，所以x≡x(mod m)，即xRx。

2）∀x,y∈I，若xRy，则x≡y(mod m)，即（x-y）/m=k∈I，所以（y - x）/m=-k∈I，所以y≡x(mod m)，即yRx。

3）∀x,y,z∈I，若xRy，yRz，则（x-y）/m=u∈I，（y-z）/m=v∈I，于是（x-z）/m=（x-y+y-z）/m=u+v ∈I，因此xRz。

九、若f:A→B和g:B→C是双射，则（gf）-1=f-1g-1（10分）。

证明：

因为f、g是双射，所以gf：A→C是双射，所以gf有逆函数（gf）-1：C→A。同理可推f-1g-1：C→A是双射。

因为∈f-1g-1⇔存在z（∈g-1∧∈f-1）⇔存在z（∈f∧∈g）⇔∈gf⇔∈（gf）-1,所以（gf）-1=f-1g-1。

离散数学考试试题(B卷及答案）

一、证明题（10分）

1)((P∨Q)∧⌝(⌝P∧(⌝Q∨⌝R)))∨(⌝P∧⌝Q)∨(⌝P∧⌝R)⇔T

证明: 左端⇔((P∨Q)∧(P∨(Q∧R)))∨⌝((P∨Q)∧(P∨R))(摩根律)

⇔ ((P∨Q)∧(P∨Q)∧(P∨R))∨⌝((P∨Q)∧(P∨R))(分配律)